Ako pridať zmiešané zlomky s podobnými menovateľmi. Ako sčítať zlomky s podobnými menovateľmi

Niektoré z najťažších pre študenta na pochopenie sú rôzne akcie s jednoduchými zlomkami. Je to spôsobené tým, že pre deti je stále ťažké myslieť abstraktne a zlomky im v skutočnosti presne tak pripadajú. Učitelia preto pri prezentovaní učiva často siahajú po prirovnaniach a odčítanie a sčítanie zlomkov vysvetľujú doslova na prstoch. Aj keď ani jedna školská hodina matematiky sa nezaobíde bez pravidiel a definícií.

Základné pojmy

Než začnete, je vhodné pochopiť niekoľko základných definícií a pravidiel. Spočiatku je dôležité pochopiť, čo je zlomok. Vzťahuje sa na číslo, ktoré predstavuje jeden alebo viac zlomkov jednotky. Ak napríklad rozrežete bochník na 8 kúskov a dáte z nich 3 plátky na tanier, 3/8 bude zlomok. Navyše v tomto písaní to bude jednoduchý zlomok, kde číslo nad riadkom je čitateľ a pod ním je menovateľ. Ale ak to zapíšete ako 0,375, bude to už desatinný zlomok.

Okrem toho sa jednoduché zlomky delia na správne, nevlastné a zmiešané. Prvý zahŕňa všetky, ktorých čitateľ je menší ako menovateľ. Ak je naopak menovateľ menší ako čitateľ, bude to už nesprávny zlomok. Ak správnemu číslu predchádza celé číslo, nazývajú sa zmiešané čísla. Teda zlomok 1/2 je správny, ale 7/2 nie. A ak to napíšete v tomto tvare: 3 1/2, bude to zmiešané.

Aby ste ľahšie pochopili, čo je sčítanie zlomkov, a aby ste ho mohli ľahko vykonávať, je tiež dôležité pripomenúť si jeho podstatu v nasledujúcom texte. Ak sa čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. Práve táto vlastnosť vám umožňuje vykonávať jednoduché operácie s obyčajnými a inými zlomkami. V skutočnosti to znamená, že 1/15 a 3/45 sú v podstate rovnaké čísla.

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi

Vykonanie tejto akcie zvyčajne nespôsobuje veľké ťažkosti. Sčítanie zlomkov je v tomto prípade veľmi podobné podobnej operácii s celými číslami. Menovateľ zostáva nezmenený a čitatelia sa jednoducho sčítajú. Napríklad, ak potrebujete pridať zlomky 2/7 a 3/7, riešenie školského problému vo vašom notebooku bude takéto:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Okrem toho možno toto sčítanie frakcií vysvetliť pomocou jednoduchý príklad. Vezmite obyčajné jablko a nakrájajte ho napríklad na 8 kusov. Najprv samostatne rozložte 3 časti a potom k nim pridajte ďalšie 2. Výsledkom je, že pohár bude obsahovať 5/8 celého jablka. Samotný aritmetický problém je napísaný takto:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Často sa však vyskytujú zložitejšie problémy, pri ktorých je potrebné spočítať, napríklad 5/9 a 3/5. Tu vznikajú prvé ťažkosti pri práci so zlomkami. Koniec koncov, pridanie takýchto čísel bude vyžadovať ďalšie znalosti. Teraz si budete musieť plne zapamätať ich hlavnú vlastnosť. Ak chcete pridať zlomky z príkladu, musíte ich najprv priviesť k jednému spoločnému menovateľovi. Aby ste to dosiahli, musíte jednoducho vynásobiť 9 a 5, vynásobiť čitateľa „5“ 5 a „3“ 9. Takto sú už pridané nasledujúce zlomky: 25/45 a 27/45. Teraz už zostáva len pridať čitateľov a dostať odpoveď 52/45. Na kúsku papiera by príklad vyzeral takto:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 1 7/45.

Ale sčítanie zlomkov s takýmito menovateľmi nie vždy vyžaduje jednoduché vynásobenie čísel pod čiarou. Najprv hľadajte tú najmenšiu spoločný menovateľ. Napríklad, čo sa týka zlomkov 2/3 a 5/6. Pre nich to bude číslo 6. Ale odpoveď nie je vždy jednoznačná. V tomto prípade stojí za to pripomenúť si pravidlo hľadania najmenšieho spoločného násobku (skrátene LCM) dvoch čísel.

Chápe sa ako najmenší spoločný faktor dvoch celých čísel. Aby ho našli, rozložia každý na hlavné faktory. Teraz zapíšte tie z nich, ktoré sa v každom čísle vyskytujú aspoň raz. Vynásobia ich spolu a získajú rovnakého menovateľa. V skutočnosti všetko vyzerá trochu jednoduchšie.

Napríklad musíte pridať zlomky 4/15 a 1/6. Takže 15 sa získa vynásobením jednoduchých čísel 3 a 5 a šesť sa získa vynásobením jednoduchých čísel dva a tri. To znamená, že LCM pre nich bude 5 x 3 x 2 = 30. Teraz, vydelením 30 menovateľom prvého zlomku, dostaneme násobiteľa pre jeho čitateľa - 2. A pre druhý zlomok to bude číslo 5 Zostáva teda sčítať obyčajné zlomky 8/30 a 5/30 a dostať odpoveď 13/30. Všetko je mimoriadne jednoduché. Do zošita by ste si mali túto úlohu zapísať takto:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15,6) = 30.

Sčítanie zmiešaných čísel

Teraz, keď poznáte všetky základné techniky sčítania jednoduchých zlomkov, môžete si vyskúšať zložitejšie príklady. A budú to zmiešané čísla, ktoré znamenajú zlomok tohto tvaru: 2 2 / 3. Tu pred napísaním správneho zlomku celú časť. A veľa ľudí je pri vykonávaní akcií s takýmito číslami zmätených. V skutočnosti tu platia rovnaké pravidlá.

Ak chcete pridať zmiešané čísla, pridajte celé časti a vlastné zlomky oddelene. A potom sú tieto 2 výsledky zhrnuté. V praxi je všetko oveľa jednoduchšie, len treba trochu cvičiť. Napríklad problém vyžaduje pridanie nasledujúcich zmiešaných čísel: 1 1/3 a 4 2/5. Ak to chcete urobiť, najprv pridajte 1 a 4, aby ste dostali 5. Potom pridajte 1/3 a 2/5 pomocou techník najnižšieho spoločného menovateľa. Riešením bude 15.11. A konečná odpoveď je 5 11/15. V školskom zošite to bude vyzerať oveľa kratšie:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Pridávanie desatinných miest

Okrem obyčajných zlomkov existujú aj desatinné čísla. Mimochodom, v živote sú oveľa bežnejšie. Napríklad cena v obchode často vyzerá takto: 20,3 rubľov. Toto je rovnaký zlomok. Tie sa samozrejme skladajú oveľa ľahšie ako obyčajné. V zásade stačí pridať 2 obyčajné čísla, hlavná vec je, že na správnom mieste dať čiarku. Tu vznikajú ťažkosti.

Napríklad musíte pridať 2,5 a 0,56. Aby ste to urobili správne, musíte k prvému na konci pridať nulu a všetko bude v poriadku.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Je dôležité vedieť, že každé desatinné miesto možno previesť na zlomok, ale nie každý zlomok možno zapísať ako desatinné číslo. Takže z nášho príkladu 2,5 = 2 1/2 a 0,56 = 14/25. Ale zlomok ako 1/6 sa bude približne rovnať iba 0,16667. Rovnaká situácia nastane s ďalšími podobnými číslami - 2/7, 1/9 atď.

Záver

Mnohí školáci, ktorí nerozumejú praktickej stránke práce so zlomkami, zaobchádzajú s touto témou bezstarostne. Tieto základné znalosti vám však umožnia rozlúsknuť zložité príklady pomocou logaritmov a nájsť deriváty, ako sú orechy. Preto stojí za to raz dôkladne pochopiť operácie so zlomkami, aby ste si neskôr frustrovane nehryzli lakte. Je totiž nepravdepodobné, že by sa učiteľ na strednej škole k tejto už prebratej téme vrátil. Takéto cvičenia by mal zvládnuť každý stredoškolák.

Akcie so zlomkami.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme k hlavnému problému.

Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Všetky tieto akcie s desiatkový práca so zlomkami sa nelíši od práce s celými číslami. V skutočnosti je to na nich dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.

Zmiešané čísla, ako som už povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.

Ale akcie s obyčajné zlomky budú prefíkanejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.

Sčítanie a odčítanie zlomkov.

Sčítajte (odčítajte) zlomky od rovnakých menovateľov každý môže (naozaj dúfam!). No a tým úplne zábudlivým pripomeniem: pri sčítaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:

Skrátka v všeobecný pohľad:

Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou základnej vlastnosti zlomku (tu sa opäť hodí!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:

Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Jediným účelom, aby boli menovatele rovnaké. Pre každý prípad mi dovoľte poznamenať, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 sú naozaj v poriadku.

Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek matematických úloh. Keď sme od nepríjemné robíme výrazy to isté, ale pohodlnejšie na riešenie.

Ďalší príklad:

Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým vynásobením 3. Toto je všetko jasné. Ale narazili sme na niečo ako:

Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:

Wow! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je deliteľné 7 a 9 súčasne. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak vynásobíme číslo napríklad 7, tak výsledok bude určite deliteľný 7!

Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Stačí nájsť menovateľa spoločného pre všetky zlomky a zredukovať každý zlomok na rovnaký menovateľ. Napríklad:

A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Je ľahšie odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto z týchto čísel ľahko dostanete 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.

Mimochodom, ak zoberiete 1024 ako spoločného menovateľa, všetko sa vydarí, nakoniec sa všetko zníži. Ale nie každý sa k tomu dostane, kvôli výpočtom...

Doplňte príklad sami. Nie nejaký logaritmus... Malo by to byť 29/16.

Takže sčítanie (odčítanie) zlomkov je dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie majú tí, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch... A na nič nezabudli.

A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable tu budú odhalené, áno...

Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:

Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! To je to, čo diktuje hlavná vlastnosť zlomku. Preto nemôžem pridať jednotku k X v prvom zlomku v menovateli. (to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, vidíte, všetko rastie spolu! Zapíšeme si teda riadok zlomku, hore necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a nižšie napíšeme súčin menovateľov, aby sme nezabudli:

A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa na pravej strane, uvedomíme si: ak chcete získať menovateľa x(x+1) v prvom zlomku, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku číslom (x+1) . A v druhom zlomku - na x. Toto získate:

Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré veľa ľudí šliape. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavia, pretože násobíme všetkyčitateľ a všetky menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...

Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateli pravej strany, t.j. Všetko množíme a dávame podobné. Nie je potrebné otvárať zátvorky v menovateľoch ani nič násobiť! Vo všeobecnosti je v menovateloch (akýchkoľvek) produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:

Tak sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Keď vyriešite príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v pridelený čas, všetky tieto operácie sa robia jednou ľavou rukou, automaticky!

A ešte jedna poznámka. Mnohí šikovne narábajú so zlomkami, ale uviaznu na príkladoch celýčísla. Páči sa: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kam upevniť dvojdielne? Nemusíte ho nikam pripevňovať, musíte urobiť zlomok z dvoch. Nie je to ľahké, ale veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.

No osviežili sa znalosti sčítania a odčítania zlomkov. Prevod zlomkov z jedného typu na druhý sa opakoval. Môžete sa tiež nechať skontrolovať. Urovnáme to trochu?)

Vypočítať:

Odpovede (v neporiadku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobenie/delenie zlomkov - na ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky operácie so zlomkami.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Pravidlá sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi sú veľmi jednoduché.

Pozrime sa na pravidlá sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi krok za krokom:

1. Nájdite LCM (najmenší spoločný násobok) menovateľov. Výsledný LCM bude spoločným menovateľom zlomkov;

2. Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa;

3. Pridajte zlomky zredukované na spoločného menovateľa.

Na jednoduchom príklade sa naučíme aplikovať pravidlá sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad

Príklad sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Pridajte zlomky s rôznymi menovateľmi:

1	+	5
6		12

Rozhodneme sa krok za krokom.

1. Nájdite LCM (najmenší spoločný násobok) menovateľov.

Číslo 12 je deliteľné 6.

Z toho usudzujeme, že 12 je najmenší spoločný násobok čísel 6 a 12.

Odpoveď: počet čísel 6 a 12 je 12:

LCM(6,12) = 12

Výsledný LCM bude spoločným menovateľom dvoch zlomkov 1/6 a 5/12.

2. Redukujte zlomky na spoločného menovateľa.

V našom príklade je potrebné zredukovať iba prvý zlomok na spoločného menovateľa 12, pretože druhý zlomok už má menovateľa 12.

Vydeľte spoločného menovateľa 12 menovateľom prvého zlomku:

2 má dodatočný multiplikátor.

Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku (1/6) dodatočným faktorom 2.

Zlomkové výrazy sú pre dieťa ťažko pochopiteľné. Väčšina ľudí má problémy s. Pri štúdiu témy „sčítanie zlomkov s celými číslami“ dieťa upadne do strnulosti a je pre neho ťažké vyriešiť problém. V mnohých príkladoch sa pred vykonaním akcie musí vykonať séria výpočtov. Napríklad previesť zlomky alebo previesť nesprávny zlomok na správny zlomok.

Vysvetlime to dieťaťu jasne. Vezmeme tri jablká, z ktorých dve budú celé a tretie nakrájame na 4 časti. Oddeľte jeden plátok od nakrájaného jablka a zvyšné tri položte vedľa dvoch celých plodov. Z jednej strany dostaneme ¼ jablka a z druhej 2 ¾. Ak ich spojíme, získame tri jablká. Skúsme zmenšiť 2 ¾ jabĺk o ¼, to znamená odstrániť ďalší plátok, dostaneme 2 2/4 jabĺk.

Pozrime sa bližšie na operácie so zlomkami, ktoré obsahujú celé čísla:

Najprv si spomeňme na pravidlo výpočtu pre zlomkové výrazy so spoločným menovateľom:

Na prvý pohľad je všetko ľahké a jednoduché. Ale to platí len pre výrazy, ktoré nevyžadujú konverziu.

Ako nájsť hodnotu výrazu, kde sú menovatele odlišné

V niektorých úlohách musíte nájsť význam výrazu, kde sú menovatele odlišné. Pozrime sa na konkrétny prípad:
3 2/7+6 1/3

Nájdime hodnotu tohto výrazu tak, že nájdeme spoločného menovateľa pre dva zlomky.

Pre čísla 7 a 3 je to 21. Celé časti necháme rovnaké a zlomkové časti privedieme na 21, preto vynásobíme prvý zlomok 3, druhý 7, dostaneme:
21. 6. + 7. 21. nezabudnite, že celé časti sa nedajú previesť. Výsledkom je, že dostaneme dva zlomky s rovnakým menovateľom a vypočítame ich súčet:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Čo ak je výsledkom sčítania nesprávny zlomok, ktorý už má celú časť:
2 1/3+3 2/3
IN v tomto prípade Spočítame celé časti a zlomkové časti, dostaneme:
5 3/3, ako viete, 3/3 je jedna, čo znamená 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Nájdenie súčtu je jasné, pozrime sa na odčítanie:

Zo všetkého, čo bolo povedané, vyplýva pravidlo pre operácie so zmiešanými číslami:

• Ak potrebujete odčítať celé číslo od zlomkového výrazu, nemusíte druhé číslo reprezentovať ako zlomok, stačí vykonať operáciu iba na celých častiach.

Skúsme si vypočítať význam výrazov sami:

Pozrime sa bližšie na príklad pod písmenom „m“:

4 5/11-2 8/11, čitateľ prvého zlomku je menší ako druhý. Aby sme to urobili, požičiame si jedno celé číslo z prvého zlomku, dostaneme,
3 5/11+11/11=3 celé 16/11, odpočítajte druhý od prvého zlomku:
3 16/11-2 8/11=1 celý 8/11

• Pri plnení úlohy buďte opatrní, nezabudnite previesť nesprávne zlomky na zmiešané zlomky, pričom zvýraznite celú časť. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť hodnotu čitateľa hodnotou menovateľa, potom to, čo sa stane, nahradí celú časť, zvyšok bude čitateľ, napríklad:

19/4=4 ¾, skontrolujeme: 4*4+3=19, menovateľ 4 zostáva nezmenený.

zhrnúť:

Skôr ako začnete vykonávať úlohu súvisiacu so zlomkami, musíte analyzovať, o aký druh výrazu ide, aké transformácie je potrebné na zlomku vykonať, aby bolo riešenie správne. Hľadajte racionálnejšie riešenie. Nechoďte ťažšou cestou. Naplánujte si všetky akcie, vyriešte ich najskôr vo forme konceptu a potom ich preneste do školského zošita.

Aby ste predišli zmätku pri riešení zlomkových výrazov, musíte dodržiavať pravidlo konzistencie. Rozhodnite sa o všetkom opatrne, bez ponáhľania.

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Eley svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.

Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie rôzne body priestor v jednom časovom bode, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, na výpočty sú stále potrebné ďalšie údaje, pomôže vám trigonometria). Osobitne chcem upozorniť na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

Streda 4. júla 2018

Rozdiely medzi setom a multisetom sú veľmi dobre popísané na Wikipédii. Pozrime sa.

Ako vidíte, „v množine nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v množine rovnaké prvky, takáto množina sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto absurdnú logiku. Toto je úroveň hovoriace papagáje a cvičené opice, ktoré nemajú žiadnu inteligenciu od slova „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, v člne pod mostom pri testovaní mosta. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „nezabudnite, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Matematiku sme sa učili výborne a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame výplaty. Matematik si teda k nám príde po svoje peniaze. Odpočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime matematikovi, že zvyšné účty dostane až vtedy, keď dokáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade bude fungovať logika poslancov: "To sa dá použiť na iných, ale nie na mňa!" Potom nás začnú ubezpečovať, že zmenky rovnakej nominálnej hodnoty majú rôzne čísla účtov, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme platy v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Matematik tu začne horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov je pre každú mincu jedinečné...

A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje – o všetkom rozhodujú šamani, veda tu ani zďaleka neklame.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plochy polí sú rovnaké – čo znamená, že máme multiset. Ale keď sa pozrieme na názvy tých istých štadiónov, dostaneme ich veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je množina aj multimnožina. Ktoré je správne? A tu matematik-šaman-sharpista vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte si Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, ktorý by sa dal použiť na nájdenie súčtu číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v jazyku matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to dokážu ľahko.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Majme teda číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický číselný symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden výsledný obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Pridajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“, ktoré vyučujú šamani, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z matematického hľadiska je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov V kalkulácii sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, pozrime sa na číslo 26 z článku o . Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme sa na každý krok pozerať pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla rôzny. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, dostali by ste úplne iné výsledky.

Nula vyzerá rovnako vo všetkých číselných sústavách a nemá žiadny súčet číslic. To je ďalší argument v prospech skutočnosti, že. Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje niečo, čo nie je číslo? Čo, pre matematikov neexistuje nič okrem čísel? Šamanom to môžem dovoliť, ale vedcom nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej operácie nezávisí od veľkosti čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.

Nápis na dvere Otvára dvere a hovorí:

Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium nečistej svätosti duší počas ich vzostupu do neba! Halo hore a šípka hore. Aký iný záchod?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole sú mužské.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím vidieť u kakajúceho človeka (jeden obrázok) mínus štyri stupne (kompozícia viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nepozná fyziku. Má len silný stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jedno a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v šestnástkovej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.