Priama rovnica v rovine. Priamy sprievodca vektorom. Vektor normálne. Vypracovanie a riešenie rovnice chemických rovníc Director v segmentoch

Urobte rovnicu - to znamená expresiu v matematickej forme vzťahu medzi údajmi (známymi) úlohami a požadovanými (neznámymi) hodnotami. Niekedy je toto spojenie tak jasne obsiahnuté vo formulácii problému, že kompilácia rovnice je jednoducho doslovné opotrebenie problému, v jazyku matematických značiek.

Príklad 1. Petrov sa dostal na prácu pre 160 rubľov. Viac ako polovica sumy, ktorú prijal Ivanov. Spolu majú 1120 rubľov. Koľko dostali prácu Petrov a Ivanov? Označuje X Zisk Ivanova. Polovica jej zisku je 0,5x; Mesačné zárobky Petrova 0.5x + 160 Spoločne získavajú 1120 rubľov; Matematický záznam poslednej frázy bude

(0,5x + 160) + x \u003d 1120.

Rovnica je vypracovaná. Rozhodovanie s týmto časom na zavedené pravidlá, hľadanie zárobkov Ivanov x \u003d 640 rubľov; Zisk Petrova 0,5x + 160 \u003d 480 (Rub.).

Pohár sa však stáva, že vzťah medzi údajmi a požadovanými hodnotami nie je v tejto úlohe špecifikovaná priamo; Musí byť inštalovaný na základe podmienok úlohy. V praktických úlohách sa to deje takmer vždy. Vyššie uvedený príklad je definovaný; V živote sa nenašlo takmer také úlohy.

Zostavte rovnicu, preto nie je možné poskytnúť celkom vyčerpávajúce pokyny. Najprv je však užitočný byť vedený nasledujúcim. Budeme mať hodnotu požadovanej hodnoty (alebo viacerých množstiev) nejaký druh náhodného čísla (alebo niekoľkých čísel) a dajte úlohu na kontrolu, či sme uhádli správne riešenie problému alebo nie. Ak sa nám podarilo stráviť túto kontrolu a zistíme, že náš odhad je pravdivý, alebo to, čo je nesprávne (s najväčšou pravdepodobnosťou sa to stane, samozrejme, druhý), môžeme okamžite urobiť požadovanú rovnicu (alebo niekoľko rovníc). Je to, že budeme zapísať samotné kroky, ktoré sme vytvorili na kontrolu, len namiesto náhodného, \u200b\u200bpredstavujeme alkalické znamenie neznámej hodnoty. Dostaneme požadovanú rovnicu.

Príklad 2. Kus medenej zliatiny a zväzku zinku v 1 DM3 váži 8,14 kg. Koľko medi je obsiahnutá v zliatine? (UD. Hmotnosť meďnatej 8,9 kg / dm3; zinok - 7,0 kg / dm3).

Urobte si náhodne číslo vyjadrujúce požadované množstvo medi, napríklad 0,3 dm3. Skontrolujte, že sme úspešne absolvovali toto číslo. Pretože 1 kg / dm3 meď váži 8,9 kg, potom 0,3 DM3 váži 8,9 * 0,3 \u003d 2,67 (kg). Objem zinku v zliatine je 1 - 0,3 \u003d 0,7 (DM3). Jeho hmotnosť 7,0 0,7 \u003d 4,9 (kg). Celková hmotnosť zinku a medi 2,67 + + 4,9 \u003d 7,57 (kg). Medzitým hmotnosť nášho kusu pod podmienkou problému, 8,14 kg. Náš odhad je neudržateľný. Ale okamžite získame rovnicu riešenia, ktorá bude mať správnu odpoveď. Namiesto rýchleho počtu 0,3 dm3, označujeme množstvo medi (v DM3) až X. Namiesto práce 8.9 0,3 \u003d 2.67, vykonávame generované 8,9 x. Toto je hmotnosť medi v zliatine. Namiesto 1 - 0,3 \u003d 0,7 užívanie 1 - x; Toto je zväzok zinku. Namiesto 7,0 0,7 \u003d 4.9 berieme 7,0 (1 - x); Toto je hmotnosť zinku. Namiesto 2,67 + 4,9 vezmite 8,9 x + 7,0 (1 - x); Toto je celková hmotnosť zinku a medi. Pod podmienkou je 8,14 kg; Preto 8,9 x + 7,0 (1 - x) \u003d 8,14.

Roztok tejto rovnice dáva x \u003d 0,6. Kontrola náhodne sa rozhodnutie môže uskutočniť rôznymi spôsobmi; Preto možno získať rôzne typy rovnice pre ten istý problém; Všetky z nich však budú udelené pre požadovanú hodnotu toho istého riešenia, tieto rovnice sa navzájom nazývajú ekvivalentné.

Samozrejme, po prijatí zručností pri príprave rovníc nie je potrebné kontrolovať náhodné číslo: je možné, aby hodnota požadovanej veľkosti nie je číslo, ale akékoľvek písmeno (x, y, atď.) A Urobte to isté, ako keby tento list (neznámy) bol medzi číslom, ktoré budeme kontrolovať.

Riešenie problému sa zvyčajne znižuje na nájdenie hodnoty akejkoľvek hodnoty prostredníctvom logických uvažovaní a výpočtov. Napríklad, nájsť rýchlosť, čas, vzdialenosť, veľa nejakého predmetu alebo číslo niečoho.

Takáto úloha môže byť vyriešená pomocou rovnice. Na tento účel je požadovaná hodnota označovaná premennou, potom sa rovnica vykonáva logickým uvažovaním a vyrieši rovnicu. Rozhodovanie o rovnici, skontrolujte, či riešenie spĺňa rovnicu k podmienkam problému.

Dizajn lekcie

Záznamové výrazy obsahujúce neznáme

Riešenie problému je sprevádzaný prípravou rovnice k tomuto problému. V počiatočnom štádiu štúdií úloh je vhodné naučiť sa, ako predstavovať abecedné výrazy opisujúce to alebo že životnú situáciu. Táto etapa nie je zložitá a môže byť študovaná v procese riešenia samotnej úlohy.

Zvážte niekoľko situácií, ktoré môžu byť napísané s matematickým výrazom.

Úloha 1.. Vek otca x. rokov. Mama za dva roky mladšie. Syn mladší ako môj otec 3 krát. Zapíšte si vek každej pomocou výrazov.

Rozhodnutie:

Úloha 2.. Vek otca x. Rokov, mama po dobu 2 rokov mladšia ako môj otec. Syn mladší ako môj otec 3 krát, mladšia dcéra matky 3 krát. Zapíšte si vek každej pomocou výrazov.

Rozhodnutie:

Úloha 3.. Vek otca x. Rokov, mama už 3 roky mladšia ako môj otec. Syn mladší ako môj otec 3 krát, mladšia dcéra matky 3 krát. Ako starý je každý, ak je celkový vek otec, mamičky, syna a dcér 92 rokov?

Rozhodnutie:

V tejto úlohe, okrem písania výrazov, je potrebné vypočítať vek každého člena rodiny.

Najprv napíšeme vek každého člena rodiny pomocou výrazov. Pre premennú x. Budeme trvať vek Otca a potom pomocou tejto premennej na vytvorenie zostávajúcich výrazov:

Teraz definujeme vek každého člena rodiny. Aby sme to urobili, musíme vyriešiť a vyriešiť rovnicu. Všetky komponenty rovnice sú pre nás pripravené. Zostáva len zbierať ich spoločne.

Celkový vek v 92 rokoch sa ukázal prostredníctvom pridania staroveku pápeža, mama, syna a dcéry:

Pre každý vek sme zaúčtovali matematický výraz. Tieto výrazy budú komponenty našej rovnice. Poďme zbierať našu rovnicu podľa tejto schémy a tabuľku, ktorá bola uvedená vyššie. To znamená, že slová otec, mama, syna, dcéry nahradia výraz na ňom v tabuľke:

Výraz zodpovedný za vek mamy x - 3, Pre jasnosť bola prijatá v zátvorkách.

Teraz vyriešime výslednú rovnicu. Ak chcete začať, môžete odhaliť konzoly, kde to môže byť:

Na uvoľnenie rovnice z frakcií, vynásobte obe časti pre 3

Výslednú rovnicu vyriešime s použitím slávnych identických transformácií:

Zistili sme hodnotu premennej x. . Táto premenná bola zodpovedná za vek Otca. Takže vek otca je 36 rokov.

Poznať vek otca, môžete vypočítať vek iných členov rodiny. Ak to chcete urobiť, musíte nahradiť hodnotu premennej x. V tých výrazoch, ktoré sú zodpovedné za vek konkrétneho člena rodiny.

Úloha povedala, že mama mala 3 roky. Jej vek sme označili výrazom x-3. Variabilná hodnota x. Teraz je známe a vypočítať vek mamy, musíte vyjadriť x - 3. namiesto toho x. Nahraďte hodnotu nájdenú 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 rokov mama.

Podobne sa určuje vek ostatných členov rodiny:

Skontrolovať:

Úloha 4.. Kilogram jablká stojace x. rubľov. Zapíšte si výraz, ktorý vypočíta, koľko kilogramov jabĺk je možné kúpiť 300 rubľov.

Rozhodnutie

Ak stojí za to kilogram jabĺk x. rubľov, potom 300 rubľov si môžete kúpiť kilogram jabĺk.

Príklad. Kilogram jablká stojí 50 rubľov. Potom si môžete kúpiť 300 rubľov, to znamená, že 6 kilogramov jabĺk.

Úloha 5.. Zapnutý x. Rubles boli zakúpené 5 kg jabĺk. Zapíšte si výraz, ktorý vypočíta, koľko rubľov je jeden kilogram jabĺk.

Rozhodnutie

Ak bolo zaplatené 5 kg jabĺk x. rubľov, potom jeden kilogram bude stáť rubľov

Príklad. Pre 300 rubľov bolo zakúpených 5 kg jabĺk. Potom za to stojí jeden kilogram jabĺk, to znamená 60 rubľov.

Úloha 6.. Tom, John a Leo na zmenu išli do jedálenskej miestnosti a kúpili sa na sendvič a na kruhu kávy. Sendvičové stojany x. rubľov a kávový hrnček - 15 rubľov. Určite náklady na sendviče, ak je známe, že za všetko bolo vyplatené 120 rubľov?

Rozhodnutie

Samozrejme, táto úloha je jednoduchá ako tri kopecky a môže byť vyriešená bez toho, aby sa uchýlili k rovnici. Ak to chcete urobiť, z 120 rubľov musíte odpočítať náklady na tri hrnčeky na kávy (15 × 3) a získaný výsledok je rozdelený na 3

Ale naším cieľom je urobiť rovnicu za úlohu a vyriešiť túto rovnicu. Takže náklady na sendviče x. rubľov. Kúpil ich len tri. Zvýšenie nákladov trikrát, dostaneme výraz, ktorý opisuje, koľko rubľov bolo zaplatené za tri sendviče

3x - náklady na tri sendviče

A náklady na tri kruhy kávy môžu byť napísané ako 15 × 3. 15 Toto je náklady na jeden hrnček kávy a 3 multiplikátor (Tom, John a Leo), ktorý tieto náklady zvyšujú trikrát.

Pod podmienkou úlohy pre všetko zaplatené 120 rubľov. Už máme približný systém, ktorý musíte urobiť:

Výrazy opisujúce náklady na tri sendviče a tri hrnčeky na kávu, sme pripravení. Ide o výrazy 3. x. a 15 × 3. Pomocou schémy, aby sa rovnica a riešila:

Takže náklady na jeden sendvič je 25 rubľov.

Úloha sa vyrieši správne len vtedy, ak je rovnica, ktorá je k nej zostavená správne. Na rozdiel od obvyklých rovníc, ktorými sa naučíme nájsť korene, rovnice na riešenie úloh majú vlastnú aplikáciu. Každá zložka takejto rovnice môže byť opísaná v slovnej forme. Vytvorením rovnice je potrebné pochopiť, čo zahrnieme do jeho zloženia jeden alebo iný komponent a prečo je to potrebné.

Je tiež potrebné si uvedomiť, že rovnica je rovnosť, po ktorej by sa mala ľavá časť rovná pravej strane. Zložená rovnica by nemala túto myšlienku odporučiť.

Predstavte si, že rovnica je váhy s dvoma miskami a obrazovkou, ktorá ukazuje stav váh.

V súčasnosti sa obrazovka zobrazuje znak rovnosti. Je jasné, prečo sa ľavá misa rovná pravej miske - nie je nič na miskách. Stav šupín a absencia niečoho na miske niečoho s pomocou nasledujúcej rovnosti:

0 = 0

Na ľavé puzdro plávame váhy:

Ľavá misa zavesená pravá šálka a obrazovka skórovala alarm, zobrazujúci znak nie je rovný (≠). Toto znamenie naznačuje, že ľavá misa nie je rovná pravej miske.

Teraz sa snažte vyriešiť problém. Nech sa chcú zistiť, koľko melónu váži, ktorý leží na ľavej miske. Ale ako to zistiť? Koniec koncov, naše váhy sú určené len na kontrolu, či je ľavá misa rovná doprava.

Rovnice prichádzajú na záchranu. Pripomeňme, že rovnica podľa definície je rovnosťobsahujúca premenlivú hodnotu, ktorá je povinná nájsť. Šupiny v tomto prípade zohrávajú úlohu tejto rovnice a hmotnosť melónu je premenná, ktorej hodnota je potrebné nájsť. Naším cieľom je správne kompilovať túto rovnicu. Pochopiť, zarovnať váhy, aby sme mohli vypočítať hmotnosť melónu.

Ak chcete zarovnať váhy, môžete na pravej miske dať ľubovoľnú položku. Napríklad sme tam dali hmotnosť 7 kg.

Teraz, naopak, pravá miska visila doľava. Obrazovka stále ukazuje, že misky nie sú rovnaké.

Pokúsme sa dať váhu 4 kg na ľavej miske

Teraz sa stupnice vyrovnali. Obrázok ukazuje, že ľavá misa na úrovni pravej misy. A obrazovka zobrazuje znak rovnosti. Toto znamenie naznačuje, že ľavá misa sa rovná pravej miske.

Získali sme teda rovnicu - rovnosť obsahujúca neznáma. Ľavá misa je ľavou časťou rovnice pozostávajúcej z komponentov 4 a premennej x. (Hmotnosť vody) a pravá misa je pravou stranou rovnice pozostávajúcej z komponentu 7.

No, nie je ťažké uhádnuť, že koreň rovnice 4 + x. \u003d 7 je 3. To znamená, že hmotnosť melónu je 3 kg.

Podobne sú veci a s inými úlohami. Ak chcete nájsť nejakú neznáme hodnoty, rôzne prvky pridávajú rôzne prvky doľava alebo na pravej časti rovnice: termíny, multiplikátory, výrazy. V školských úlohách sú tieto prvky už dané. Zostáva len riadne štruktúrovať a vybudovať rovnicu. Boli sme zapojení do tohto príkladu, skúšali váhy rôznych hmôt na výpočet hmotnosti melónu.

Samozrejme, tieto údaje, ktoré sú uvedené v úlohe, musia najprv viesť k formuláru, v ktorej môžu byť zahrnuté do rovnice. Preto, ako sa hovorí "Chceš, že nechcete, a musíte myslieť".

Zvážte nasledujúcu úlohu. Vek Otca sa rovná veku syna a dcéry. Syn je dvakrát starší ako jeho dcéra a dvadsať rokov mladšie ako jeho otec. Ako starý je všetci?

Vek dcéry môže byť označený x. . Ak je syn dvakrát starší ako jeho dcéra, potom bude jeho vek označený ako 2 x. . Pokiaľ ide o problém, je to povedané, že spolu vek jeho dcéry a syna sa rovná veku Otca. Takže vek otec bude označený podľa sumy x. + 2x.

V vyjadrení môžete priniesť podobné výrazy. Potom sa vek otca označuje ako 3 x.

Teraz urobte rovnicu. Musíme získať rovnosť, v ktorej môžete nájsť neznámy x. . Používame váhy. Na ľavej miske, dajte vek otca (3 x.) A na pravej miske veku syna (2 x.)

Je jasné, prečo ľavá misa vnoďová vpravo a prečo sa obrazovka zobrazuje znak (≠). Koniec koncov, je to logické, že vek otec je viac ako vek syna.

Ale musíme vyrovnať váhy, aby ste mohli vypočítať neznáme x. . Ak to chcete urobiť, musíte pridať ľubovoľné číslo na správny pohár. Aký druh čísla je uvedený v úlohe. Podmienka povedala, že Syn je mladší ako otec 20 rokov. Takže 20 rokov je rovnaké číslo, aby sa na váhy.

Šupiny sú vyrovnané, ak pridáme tieto 20 rokov na správnu misku váh. Inými slovami, pestujte môjho syna do veku otca

Teraz sa stupnice vyrovnali. Ukázala sa, že rovnica ktorý sa ľahko vyrieši:

x. Denne sme veku dcéry. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Dcéra 20 rokov.

No, konečne som vypočítal vek Otca. Úloha uviedla, že sa rovná súčtu staroveku syna a dcéry, to znamená (20 + 40) rokov.

Vráťme sa späť do stredu úlohy a venovať pozornosť na jeden okamih. Keď vložíme vek otca a veku syna na váhy, ľavá misa otočila pravé

Rozhodli sme sa však tento problém pridaním ďalších 20 rokov na pravej miske. V dôsledku toho boli váhy vyrovnané a my sme sa dostali

Ale nebolo možné pridať tieto 20 rokov do správnej minulosti a odčítajte ich zľava. Dostali by sme rovnosť av tomto prípade

Tentokrát sa získa rovnica . Koreň rovnice je stále rovný 20

To znamená, že rovnice a sú ekvivalentné. A pamäime si, že ekvivalentné rovnice koreňov sa zhodujú. Ak sa pozorne pozeráte na tieto dve rovnice, môžete vidieť, že druhá rovnica sa získa presunutím čísla 20 z pravej strany doľava s opačným znamienkom. A táto akcia, ako bola uvedené v predchádzajúcej lekcii, nezmení korene rovnice.

Je tiež potrebné venovať pozornosť tomu, že na začiatku riešenia úlohy môže byť vek každého člena rodiny určený inými výrazmi.

Povedzme si, že vek syna, aby určil x. A keďže on je dve staršie dcéry, potom vek svojej dcéry, aby určila (pochopiť, aby sa jej mladšia ako syn dvakrát). A vek otca, pretože je to súčtom vekových kategórií syna a dcér, aby určila výrazom. Nuž, nakoniec, aby ste vytvorili logicky správnu rovnicu, číslo 20 by malo byť pridané do veku syna, pretože otec je starší dvadsať rokov. V dôsledku toho sa ukáže úplne iná rovnica . Nechať túto rovnicu rozhodnúť

Ako môžete vidieť odpovede na úlohu sa nezmenili. Syn ešte 40 rokov. Dcéry stále rokov a otca 40 + 20 rokov.

Inými slovami, úloha môže byť vyriešená rôznymi metódami. Preto by sa nemal zúfalstvo, že to nie je možné vyriešiť túto alebo túto úlohu. Ale musíte mať na pamäti, že existujú najjednoduchšie spôsoby, ako vyriešiť problém. Môžete si prenajať rôzne trasy do centra mesta, ale vždy je tu vždy najvhodnejšia, rýchla a bezpečná trasa.

Príklady riešenia problémov

Úloha 1. Dva balíčky len 30 notebookov. Ak sa z prvého balenia preniesli do druhého 2 notebookov, potom v prvom balení by bolo dvakrát toľko notebookov ako v druhom. Koľko notebookov bolo v každom balení?

Rozhodnutie

Zaznamenaný x. Počet notebookov, ktoré boli v prvom balíku. Ak boli všetky notebooky 30, a premenná x. Toto je počet notebookov z prvého balenia, počet notebookov v druhom balení bude označený prostredníctvom výrazu 30 - x. . To znamená, že z celkového počtu notebookov odpočítame počet notebookov z prvého balenia a tým získajte počet notebookov z druhého balenia.

a pridajte tieto dva notebooky do druhého balenia

Pokúsme sa urobiť rovnicu z existujúcich výrazov. Dajte na váhy oba balíky notebookov

Ľavá misa je ťažšia. Je to preto, že v stave úlohy sa hovorí, že po dvoch notebookoch odobral z prvého balenia a dať ich do druhého, počet notebookov v prvom balení bolo dvakrát toľko ako v druhom.

Ak chcete vyrovnať váhy a získajte rovnicu, dvakrát zvýšte pravú stranu. Ak to chcete urobiť, vynásobte ho na 2

Získa sa rovnica. Nechajte túto rovnicu:

Prvý zväzok sme označili cez premennú x. . Teraz sme našli svoj význam. Premenlivý x. Rovná 22. Takže v prvom balíku bolo 22 notebookov.

A my sme označili druhý balíček prostredníctvom výrazu 30 - x. a od hodnoty zmeny x. Teraz je známe, potom môžete vypočítať počet notebookov v druhom zväzku. Je rovný 30 - 22, to znamená, že 8 ks.

Úloha 2.. Dvaja ľudia vyčistili zemiaky. Človek bol purifikovaný za minútu dva zemiaky a druhý je tri zemiaky. Spolu vyčistili 400 ks. Koľko času robili všetci, ak druhý pracoval 25 minút viac ako prvý?

Rozhodnutie

Zaznamenaný x. Čas otvárania prvej osoby. Keďže druhá osoba pracovala 25 minút viac ako prvý, potom bude jeho čas označený výrazom

Prvá práca za minútu vyčistili 2 zemiaky, a odkedy pracoval x. minút, potom sa zbavil 2 x. Zemiak.

Druhá osoba bola zúčtovaná z troch zemiakov za minútu, a odkedy pracoval minúty, vymazal zemiaky.

Spolu vyčistili 400 zemiakov

Z existujúcich komponentov a riešenie rovnice. V ľavej časti rovnice budú zemiaky, purifikované každou osobou a v správnej časti ich súčet:

Na začiatku riešenia tohto problému prostredníctvom premennej x. Ukázali sme otvárací čas prvej osoby. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Prvá osoba pracovala 65 minút.

A druhá osoba pracovala niekoľko minút, a od hodnoty premennej x. Teraz je známe, potom môžete vypočítať čas prevádzky druhej osoby - je rovný 65 + 25, to znamená 90 minút.

Úloha z učebnice na algebre Andrei Petrovich Kiseleva. Zo odrôd čaju sa skladá zmes 32 kg. Kilogram prvej triedy stojí 8 rubľov a druhá trieda je 6 rubľov. 50 kopecks Koľko kilogramov je prevzatých z druhej odrody, ak je kilogram zmesi (bez zisku a straty) 7 rubľov. 10 policajt.?

Rozhodnutie

Zaznamenaný x. Hmotný čaj prvej triedy. Potom bude hmotnosť čaju druhej triedy označovaná prostredníctvom výrazu 32 - x.

Kilogram čaju prvý stupeň stojí 8 rubľov. Ak sa tieto osem rubľov vynásobí počet kilogramov prvej triedy kilogram, potom bude možné vedieť, koľko rubľov to stojí x. KG Čajom prvý stupeň.

Kilogram čaju druhej triedy stojí 6 rubľov. 50 kopecks Ak sú tieto 6 rubľov. 50 kopecks Vynásobte 32. - X. Potom môžete zistiť, koľko rubľov stojí 32 - X.kG čaj druhý stupeň.

Podmienka hovorí, že kilogram zmesi stojí 7 rubľov. 10 policajta Celkovo sa pripravilo 32 kg zmesi. Vynásobte 7 rubľov. 10 policajta Dňa 32, môžeme zistiť, koľko stojí 32 kg zmesi.

Vymazanie, ktorého vypracujeme rovnicu, teraz vykonajte nasledujúci formulár:

Pokúsme sa urobiť rovnicu z existujúcich výrazov. Dajte náklady na čajové zmesi prvého a druhého stupňa na ľavej strane stupnice a hodnotíme hodnotu 32 kg zmesi na pravej miske, to znamená, že celkové náklady na zmesi, ako súčasť ktorej súčasti Obe odrody čaju:

Na začiatku riešenia tohto problému prostredníctvom premennej x. Ukázali sme hmotnosť prvého stupňa. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Premenlivý x. rovná 12,8. Takže 12,8 kg čaju prvého stupňa bolo prijaté na prípravu zmesi.

A prostredníctvom expresie 32 - X. Označili sme hmotnosť druhého stupňa čaju a od hodnoty zmeny x. Teraz je známe, potom môžete vypočítať hmotnosť druhého stupňa čaju. Je rovný 32 - 12,8, to znamená 19,2. Na prípravu zmesi sa tak odobrala 19,2 kg čaju druhej triedy.

Úloha 3.. Cyklista riadil určitú vzdialenosť rýchlosťou 8 km / h. Mal by sa vrátiť ďalšie drahé, čo bolo 3 km dlhšie ako prvé, a hoci sa vracia, išiel rýchlosťou 9 km / h, použil čas na minúty. Ako dlho boli cesty?

Rozhodnutie

Niektoré úlohy môžu ovplyvniť témy, ktoré človek nemusí študovať. Táto úloha sa vzťahuje na takýto okruh úloh. Ovplyvňuje koncepty vzdialenosti, rýchlosti a času. Preto, aby ste takúto úlohu vyriešili, musíte mať predstavu o týchto veciach uvedených v úlohe. V našom prípade potrebujete vedieť, aká je vzdialenosť, rýchlosť a čas.

Úlohou, ktorú potrebujete na nájdenie vzdialeností dvoch ciest. Musíme vytvoriť rovnicu, ktorá vypočíta tieto vzdialenosti.

Pripomeňme, ako vzájomne prepojená vzdialenosť, rýchlosť a čas. Každá z týchto hodnôt je možné opísať pomocou alfablónovej rovnice:

Pravá strana jednej z týchto rovníc budeme používať na zostavenie vašej rovnice. Ak chcete zistiť, čo presne sa musíte vrátiť k textu úlohy a venovať pozornosť na nasledujúci moment:

Pozornosť by sa mala venovať v čase, keď cyklista na opačnom spôsobe použil čas minúta. Tento tip nám označuje, že je možné použiť rovnicu, a to jeho správnu časť. To nám umožní vypracovať rovnicu, ktorá obsahuje premennú S. .

Takže sme označili dĺžku prvej cesty cez S. . Táto cesta cyklista idla rýchlosťou 8 km / h. Čas, počas ktorého sa prekonáva táto cesta, bude označená výrazom, pretože čas je pomer vzdialenosti prejdenej k rýchlosti

Spiatočná cesta pre cyklistov bola dlhšia ako 3 km. Preto bude jeho vzdialenosť označovaná prostredníctvom výrazu S.+ 3. Tento cestný cyklista išiel rýchlosťou 9 km / h. Takže čas, ktorý prekonal túto cestu, bude označený výrazom.

Teraz urobte rovnicu z existujúcich výrazov

Správna misa je ťažšia. Je to preto, že úlohou hovorí, že cyklista strávil na ceste späť na čas na viac.

Ak chcete vyrovnať váhy pridať do ľavej strany týchto minút. Ale najprv preložíme minúty do hodín, pretože v tomto probléme sa rýchlosť meria v kilometroch za hodinu, a nie v metroch za minútu.

Pre preklad minút do hodín, musíte ich rozdeliť o 60

Minút tvorí hodinu. Tieto hodiny pridávame na ľavú stranu rovnice:

Získa sa rovnica . Túto rovnicu vyriešime. Ak sa chcete zbaviť frakcií, obe časti časti sa môžu vynásobiť 72. Ďalej, s použitím známych identických transformácií nájdeme hodnotu premennej S.

Cez premennú S. Denne sme označili vzdialenosť prvej cesty. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Premenlivý S. rovná 15. Diaľková vzdialenosť je 15 km.

A vzdialenosť druhej cesty sme označili prostredníctvom výrazu S.+ 3, a od hodnoty premennej S. Teraz je známe, môžete vypočítať vzdialenosť druhej cesty. Táto vzdialenosť sa rovná množstvu 15 + 3, to znamená 18 km.

Úloha 4.. Na diaľnici sú dve autá s rovnakou rýchlosťou. Ak prvá zvýši rýchlosť o 10 km / h a druhá zníži rýchlosť 10 km / h, potom prvý prejde toľko ako druhý po dobu 3 hodín. S akou rýchlosťou sú autá?

Rozhodnutie

Zaznamenaný v. Rýchlosť každého stroja. Ďalej, úloha zobrazuje výzvy: Rýchlosť prvého auta sa zvýši o 10 km / h a druhá rýchlosť je znížiť 10 km / h. Používame tento tip

Ďalej uvádza, že pri takýchto rýchlostiach (zväčšení a znížení o 10 km / h), prvé auto prejde za 2 hodiny, pokiaľ je vzdialenosť tak dlho, ako 3 hodiny. Fráza "toľko" možno chápať ako "Vzdialenosť prejdená prvým strojom bude rovnako Vzdialenosť prejdená druhým strojom ".

Vzdialenosť, ako si pamätáme, je určená vzorcom. Zaujímame sa o pravú stranu tejto listovej rovnice - to nám umožní vypracovať rovnicu obsahujúcu premennú v. .

Tak, pri rýchlosti v + 10 km / h Prvé auto prejde 2 (V + 10) KM a druhá prejde 3 (V - 10) KM . S touto stavom bude stroj rovnaké vzdialenosti, preto stačí kombinovať tieto dva prejavy rovnosti do rovnice. Potom dostaneme rovnicu. Riešim to:

Stav úloh povedal, že autá idú rovnakou rýchlosťou. Túto rýchlosť sme identifikovali prostredníctvom premennej v. . Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Premenlivý v. 50. Rýchlosť oboch strojov bola 50 km / h.

Úloha 5.. 9 hodín pozdĺž rieky je loď rovnakým spôsobom, že za 11 hodín proti prúdu. Nájdite si vlastnú výšku, ak prietok rieky 2 km / h.

Rozhodnutie

Zaznamenaný v. Vlastnou rýchlosťou lode. Prietok rieky je 2 km / h. Prúdom rieky bude rýchlosť lode v + 2 km / h a proti aktuálnemu (V - 2) KM / H.

V stave problému sa hovorí, že za 9 hodín pozdĺž rieky, motorová loď prechádza rovnakým spôsobom, že za 11 hodín proti aktuálnemu. Fráza "Rovnaký spôsob" možno chápať ako "Vzdialenosť prejdená loďou pri rieke za 9 hodín, rovnako Vzdialenosť prejdená loďou proti prúdu rieky 11 hodín. To znamená, že vzdialenosti budú rovnaké.

Vzdialenosť sa stanoví vzorcom. Používame pravú stranu tejto alfabliny rovnice na zostavenie vašej rovnice.

Tak, za 9 hodín prúdom rieky, motorová loď prejde 9 (V + 2) KM a 11 hodín proti aktuálnemu 11 (V - 2) KM. Keďže obidve výrazy opisujú v rovnakej vzdialenosti, vytvárame prvý výraz na druhú. V dôsledku toho získame rovnicu. Riešim to:

To znamená, že jeho vlastná rýchlosť lode je 20 km / h.

Pri riešení problémov s užitočným zvykom je určiť vopred na to, čo na to rozhodnutie hľadá.

Predpokladajme, že úloha potrebná na nájdenie času, pre ktorý bude chodca prekonať určenú cestu. Určili sme čas cez premennú t. Ďalej bola rovnica obsahujúca túto premennú a našla svoju hodnotu.

Z praxe vieme, že čas pohybu objektu môže mať celé čísla a frakčné, napríklad 2 hodiny, 1,5 hodiny, 0,5 hodiny. Potom môžeme povedať, že riešenie tohto problému je vyhľadávané súborom racionálnych čísel Q.Vzhľadom k tomu, každá z hodnôt 2H, 1,5 hodiny, 0,5 h môže byť reprezentovaná ako frakcia.

Preto po neznámom hodnote bola určená cez premennú, je užitočné označiť, ktorá nastavená táto hodnota patrí. V našom príklade čas t. patrí do súboru racionálnych čísel Q.

t. ∈ Q.

Stále môžete zadať limit pre premennú t. Zadaním, že môže prijať iba pozitívne hodnoty. V skutočnosti, ak objekt strávený na ceste určitého času, potom tento čas nemôže byť negatívny. Takže vedľa výrazu t.∈ Q. Uvádzame, že jeho hodnota by mala byť väčšia ako nula:

t.∈ R., t. > 0

Pri riešení rovnice dostaneme zápornú hodnotu pre premennú t. Potom bude možné dospieť k záveru, že úloha je nesprávne riešená, pretože toto rozhodnutie nebude spĺňať podmienku t.∈ Q. , t.> 0 .

Ďalší príklad. Ak sme sa rozhodli, že úloha, v ktorej bolo potrebné nájsť počet ľudí, aby vykonali konkrétnu prácu, potom toto množstvo by sme označili prostredníctvom premennej x. . V takejto úlohe by sa rozhodnutie žiadalo o súbore prírodných čísel

x. ∈ N.

V skutočnosti, počet ľudí je celé číslo, napríklad 2 osoby, 3 osoby, 5 ľudí. Ale nie 1.5 (jedna celá osoba a polovica osoby) alebo 2.3 (dvaja ľudia a tri desatiny).

Tu by bolo možné uviesť, že počet ľudí by mal byť väčší ako nula, ale čísla zahrnuté v mnohých prírodných číslach N. Sú pozitívne a veľké nula. V tejto súprave nie sú žiadne záporné čísla a čísla 0. Preto výraz x\u003e 0 nemôže písať.

Úloha 6.. Pre opravu školy prišla brigáda, v ktorej bola 2,5-krát viac ako ragers ako tesári. Čoskoro, že majster zahŕňal štyri ďalšie maliari v brigáde a dva tesári preložené do iného objektu. V dôsledku toho sa maliari v brigáde ukázali ako 4-krát viac ako tesári. Koľko Rampas a koľko tesárov boli pôvodne v brigáde

Rozhodnutie

Zaznamenaný x. Pôvodne tesári príde na opravy.

Počet tesárov je celé číslo, veľké nula. Preto to naznačujeme x. vo vlastníctve mnohých prírodných čísel

x.∈ N.

Malyarov bol 2,5-krát viac ako tesári. Počet maliarov bude preto označený ako 2.5x.

A počet maliarov sa zvýši o 4

Teraz bude počet tesárov a maliarov určený nasledujúcimi výrazmi:

Poďme sa pokúsiť urobiť rovnicu z existujúcich výrazov:

Pravá misa je viac, pretože po zahrnutí do brigády sú stále štyri rohože, a pohyb dvoch tesárov k inému objektu, počet maliarov v brigáde sa ukázal byť 4-krát viac ako tesári. Ak chcete vyrovnať váhy, musíte zvýšiť ľavý šálku 4 krát:

Prijatá rovnica. Riešim to:

Cez premennú x. Bolo uvedené počiatočné množstvo tesárov. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Premenlivý x. 8. Takže 8 tesárov boli pôvodne v brigáde.

A počet RAWS bol určený prostredníctvom výrazu 2.5 x. a od hodnoty premennej x. Teraz je známe, potom môžete vypočítať počet maliarov - je rovný 2,5 × 8, to znamená 20.

Vrátime sa na začiatok úlohy a uistite sa, že je stav pozorovaný x.∈ N. Premenlivý x. rovná 8 a prvky súboru prirodzených čísel N. Toto sú všetky čísla začínajúce 1, 2, 3 a tak ďalej do nekonečna. Rovnaký súbor obsahuje číslo 8, ktoré sme našli.

8 ∈ N.

To isté možno povedať o počte maliarov. Číslo 20 patrí do súboru prirodzených čísel:

20 ∈ N.

Ak chcete pochopiť podstatu problému a správnej kompilácii rovnice, nie je potrebné používať model váh s miskami vôbec. Môžete použiť iné modely: segmenty, stoly, schémy. Môžete prísť s vaším modelom, ktorý by bol opísať podstatu úlohy.

Úloha 9.. 30% odliatku mlieka z hrnca. V dôsledku toho zostáva 14 litrov. Koľko mliečnych litrov bolo pôvodne v Bidone?

Rozhodnutie

Požadovaná hodnota je počiatočným počtom litrov v Bidone. Obrázkyjte počet litrov vo forme riadku a podpíšte tento riadok ako x

Hovorí sa, že 30% mlieka bolo obsadenie z hrnca. Zdôrazňujeme na obrázku približne 30%

Percento podľa definície je jedna stotina niečoho. Ak bolo 30% mlieka obsadenie, zostávajúcich 70% zostalo v Bidone. Títo 70% prichádza 14 litrov uvedených v úlohe. Zvýrazňujeme zostávajúce 70% na obrázku

Teraz môžete vytvoriť rovnicu. Pripomeňme, ako nájsť percento čísla. Na tento účel sa celkový počet niečoho rozdelil do 100 a výsledok sa vynásobí požadovaným počtom percent. Všimli sme si, že 14 litrov tvoriacich 70% možno získať rovnakým spôsobom: počiatočný počet litrov X. Rozdelené 100 a výsledok sa vynásobí 70. Toto všetko je prirovnávané na číslo 14

Alebo získajte jednoduchšiu rovnicu: 70% písať ako 0,70, potom sa vynásobte x a zodpovedá tomuto výrazu na 14

Spočiatku v Bidone bolo 20 litrov mlieka.

Úloha 9.. Vzali dve zlaté a strieborné zliatiny. V jednom počte týchto kovov je v súvislosti s 1: 9, a v ostatných 2: 3. Koľko by mala každá zliatina prijať dostať 15 kg novej zliatiny, v ktorom by sa zlato a striebro zaobchádzalo ako 1: 4?

Rozhodnutie

Pokúsme sa zistiť, koľko zlata a striebra bude obsiahnutých v 15 kg novej zliatiny. Úloha hovorí, že obsah týchto kovov by mal byť z hľadiska 1: 4, to znamená, že jedna časť zliatiny by mala mať zlato a štyri časti sú striebro. Potom budú celé časti v zliatine 1 + 4 \u003d 5 a hmotnosť jednej časti bude 15: 5 \u003d 3 kg.

Definujeme, koľko zlata bude obsiahnutých v 15 kg zliatiny. Na tento účel 3 kg vynásobte počtom zlatých častí:

3 kg × 1 \u003d 3 kg

Definujeme, koľko striebra bude obsiahnutých v 15 kg zliatiny:

3 kg × 4 \u003d 12 kg

Takže zliatina hmotnosti 15 kg bude obsahovať 3 kg zlata a 12 kg striebra. Teraz sa vráťme do pôvodných zliatin. Použite každý z nich. Zaznamenaný x. Hmotnosť prvej zliatiny a hmotnosť druhej zliatiny môžu byť označené po 15 - x.

Vyjadrite všetky vzťahy, ktoré sú uvedené v úlohe a vyplňte im nasledujúcu tabuľku:

V prvej zliatine sú zlato a striebro vo vzťahu k 1: 9. Potom budú celkové časti 1 + 9 \u003d 10. Z nich bude zlato a striebro .

Presuňte tieto údaje do tabuľky. 10% Vyhľadajte prvý riadok v grafe "Percento zlata v zliatine"90% tiež prehľadáva prvý riadok stĺpca "Percentuálny podiel striebra v zliatine"a v poslednom počte "Zliatina hmota" Urobme premennú x. Pretože sme označili hmotnosť prvého zliatiny:

Podobne robíme s druhou zliatinou. Zlato a striebro v ňom sú vo vzťahu k 2: 3. Potom budú celkové časti 2 + 3 \u003d 5. Z toho, zlato bude a striebro .

Presuňte tieto údaje do tabuľky. 40% priniesť druhý riadok na stĺpec "Percento zlata v zliatine"60% tiež prehliada v druhom riadku "Percentuálny podiel striebra v zliatine"a v poslednom počte "Zliatina hmota" Poďme viesť výraz 15 - x. Keďže sme označili hmotnosť druhej zliatiny:

Vyplňte posledný reťazec. Výsledná zliatina hmotnosť 15 kg bude obsahovať 3 kg zlata, čo je Zliatina a strieborná Zliatiny. V poslednom počte, zapíšte si hmotnosť zliatiny získanej 15

Teraz podľa tejto tabuľky môžete vytvoriť rovnice. Pamätáme si. Ak sme samostatne pridať zlato oboch zliatin a zodpovedá tomuto množstvu na hmoty zlata Získanú zliatinu, môžeme zistiť, čo sa rovná hodnote x..

V prvej zliatine zlata bola 0,10 x. a v druhom zliatinovom zlate bol 0,40 (15 - x.). Potom vo výslednej zliatine bude hmotnosť zlata súčtom hmotnosti zlata prvých a druhých zliatin a táto hmotnosť je 20% novej zliatiny. A 20% novej zliatiny je 3 kg zlata, vypočítané nás skôr. V dôsledku toho získame rovnicu 0,10x.+ 0.40(15 − x.) = 3 . Nechajte túto rovnicu:

Spočiatku x. Ukázali sme hmotnosť prvého zliatiny. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Premenlivý x. rovná 10. A po 15 - sme označili hmotnosť druhej zliatiny x. a od hodnoty premennej x. Teraz je známe, potom môžete vypočítať hmotnosť druhej zliatiny, je rovná 15 - 10 \u003d 5 kg.

Znamená to získať novú zliatinu s hmotnosťou 15 kg, v ktorej sa zlato a striebro bude považovať za 1: 4, musíte si vziať 10 kg prvého a 5 kg druhej zliatiny.

Rovnica by mohla byť vypracovaná pomocou druhého stĺpca výslednej tabuľky. Potom by sme dostali rovnicu 0,90x.+ 0.60(15 − x.) = 12. Koreň tejto rovnice je tiež rovný 10

Úloha 10.. Existuje ruda dvoch vrstiev s obsahom medi 6% a 11%. Koľko musíte vziať chudobnú rudu, aby ste sa dostali, keď sa zmieša s bohatými 20 tonami s obsahom medi 8%?

Rozhodnutie

Zaznamenaný x. Hmotnostné chudobné rudy. Vzhľadom k tomu, že potrebujete dostať 20 ton rudy, potom bude bohatá ruda vzatá 20 - x. . Keďže obsah medi v zlej rude je 6%, potom x. Hrubé tony bude 0,06 x. Ton medi. V bohatom rude je obsah medi 11%, a v 20 - x. Tony bohatej rudy bude obsahovať 0,11 (20 - x.) Medené tony.

V výsledných 20 ton rudy by mal obsah medi 8%. Takže v 20 ton medenej rudy bude obsahovať 20 × 0,08 \u003d 1,6 tony.

Strážovanie výrazov 0.06. x. a 0,11 (20 - x.) a zodpovedá tomuto množstvu na 1,6. Dostaneme rovnicu 0,06x +.0,11(20 − x.) = 1,6

Nechajte túto rovnicu:

Znamená to získať 20 ton rudy s obsahom medi 8%, musíte mať 12 ton chudobnej rudy. Bohatý bude prijatý 20 - 12 \u003d 8 ton.

Úloha 11.. Zvýšením priemernej rýchlosti od 250 do 300 m / min Athlete začal prevádzkovať vzdialenosť za 1 minúty rýchlejšie. Aká je dĺžka vzdialenosti?

Rozhodnutie

Dĺžka vzdialenosti (alebo vzdialenosti vzdialenosti) môže byť opísaná nasledujúca abecedná rovnica:

Používame pravú stranu tejto rovnice na zostavovanie vašej rovnice. Spočiatku, športovec bežal vzdialenosť rýchlosťou 250 metrov za minútu. S touto rýchlosťou bude dĺžka vzdialenosti opísaná výrazom 250 t.

Športovec potom zvýšil rýchlosť na 300 metrov za minútu. S touto rýchlosťou bude dĺžka vzdialenosti opísaná výrazom 300T.

Upozorňujeme, že dĺžka vzdialenosti je trvalá hodnota. Zo skutočnosti, že športovec zvýši rýchlosť alebo zníži, dĺžka vzdialenosti zostane nezmenená.

To nám umožňuje rovnotovať výraz 250 t. na výraz 300. t. Pretože oba výrazy opisujú dĺžku tej istej vzdialenosti

250t. = 300t.

Úloha však hovorí, že rýchlosťou 300 metrov za minútu, športovec začal prevádzkovať vzdialenosť 1 minúty rýchlejšie. Inými slovami, rýchlosťou 300 metrov za minútu, čas pohybu sa zníži o jeden. Preto v rovnici 250 t.= 300t. V správny čas potrebujete znížiť jednotku:

Pri rýchlosti 250 metrov za minútu, športovec preteká vzdialenosť za 6 minút. Poznať rýchlosť a čas, môžete určiť dĺžku vzdialenosti:

S. \u003d 250 × 6 \u003d 1500 m

A rýchlosťou 300 metrov za minútu športovca prevádzkuje vzdialenosť t.- 1, to znamená, že za 5 minút. Ako už bolo uvedené, dĺžka vzdialenosti sa nezmení:

S.\u003d 300 × 5 \u003d 1500 m

Úloha 12.. Jazdec je dobieranie chodec, ktorý je vzdialený 15 km. Po koľkých hodinách, jazdec dohľad nad chodcom, ak každú hodinu prvé pohony 10 km a druhá prechádza len 4 km?

Rozhodnutie

Táto úloha je. Môže byť vyriešený určením rýchlosti zblíženia a rozdeliť počiatočnú vzdialenosť medzi jazdcom a chodcom pri tejto rýchlosti.

Rýchlosť zblíženia je určená odpočítaním nižších rýchlostí väčšou:

10 km / h - 4 km / h \u003d 6 km / h (rýchlosť zblíženia)

Každú hodinu bude 15 kilometrov znížená o 6 km. Ak chcete zistiť, keď sa úplne znižuje (keď jazdec doháňa chodcom), potrebujete 15 delené 6

15: 6 \u003d 2,5 h

2,5 c. Toto sú dve celé čísla a pol hodiny. A pol hodiny je 30 minút. Takže jazdec bude po 2 hodinách 30 minút riadiť chodca.

Tento problém budem vyriešiť s rovnicou.

Potom, čo bol po ňom, jazdec bol uvoľnený rýchlosťou 10 km / h. A rýchlosť chodcov je len 4 km / h. To znamená, že jazdec po chvíli zobrazí chodník. Tentokrát musíme nájsť.

Keď jazdec dobehne chodcom, to znamená, že prešli rovnakou vzdialenosťou dohromady. Vzdialenosť prejdená jazdcom a chodcom je opísaná nasledovnou rovnicou:

Používame pravú stranu tejto rovnice na zostavovanie vašej rovnice.

Vzdialenosť prejdená jazdcom bude opísaná výrazom 10 t. . Vzhľadom k tomu, že chodca šiel na jazdcovi predtým a podarilo sa mu prekonať 15 km, potom ich vzdialenosť odovzdaná bude opísaná výrazom 4 t. + 15 .

V čase, keď jazdca bude riadiť chodca, obe prejdú v rovnakej vzdialenosti. To nám umožňuje priradiť vzdialenosti cestoval jazdec a chodcom:

Ukázalo sa, že najjednoduchšia rovnica. Riešim to:

Úlohy pre vlastné riešenia

Úloha 1. Z jedného mesta do iného osobného vlaku prichádza na 45 minút rýchlejšie ako komodita. Vypočítali vzdialenosť medzi mestami, ak je rýchlosť osobného vlaku 48 km / h, a komerčné 36 km / h.

Rozhodnutie

Rýchlosti vlaku v tejto úlohe sa merajú v kilometroch za hodinu. Preto 45 minút, uvedené v úlohe, prenesieme na hodiny. 45 min je to 0,75 hodín

Označuje čas, ktorý príde obchodný vlak do mesta cez premennú t. . Keďže cestujúci vlak prichádza do tohto mesta o 0,75 hodín rýchlejšie, čas jeho hnutia bude označený výrazom t -0,75

Osobný vlak prekonáva 48 ( t -0,75) KM, A TRADE 36 t. km. Keďže hovoríme o rovnakej vzdialenosti, vytvoríme prvý výraz na druhú. V dôsledku toho získame rovnicu 48(t -0.75) = 36t. . Riešim to:

Teraz vypočítame vzdialenosť medzi mestami. Na to bude rýchlosť obchodného vlaku (36 km / h) múdrejší počas jeho hnutia t. Variabilná hodnota t. Teraz je známe - je to rovné tri hodiny

36 × 3 \u003d 108 km

Ak chcete vypočítať vzdialenosť, môžete použiť rýchlosť osobného vlaku. Ale v tomto prípade hodnota premennej

Variabilná hodnota t. Rovnako 1.2. Takže autá sa stretli za 1,2 hodiny.

Odpoveď:autá sa stretli za 1,2 hodiny.

Úloha 3. V troch workshopoch závodu len 685 pracovníkov. V druhom workshope sú pracovníci trikrát viac ako v prvom, av treťom - o 15 pracovníkov menej ako v druhom workshope. Koľko pracovníkov v každej workshope?

Rozhodnutie

Byť x. Pracovníci boli v prvom workshope. V druhom workshope to bolo trikrát viac ako v prvom, a preto počet pracovníkov v druhom workshope môže byť označený prostredníctvom výrazu 3 x. . V treťom workshope 15 pracovníkov menej ako v druhom. Počet pracovníkov v treťom workshope preto môže byť označený prostredníctvom výrazu 3 x -15 .

Úloha hovorí, že len pracovníci boli 685. Preto môžete pridať výrazy x., 3x., 3x -15 a zodpovedá tomuto množstvu na číslo 685. V dôsledku toho získame rovnicu x +.3x + (3x -15) = 685

Cez premennú x. Bol uvedený počet pracovníkov v prvom workshope. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej, je to rovná 100. Takže v prvom workshope bolo 100 pracovníkov.

V druhom workshopu bolo 3 x. Pracovníkov, to znamená, že 3 × 100 \u003d 300. A v treťom workshope 3 x -15, to znamená 3 × 100 - 15 \u003d 285

Odpoveď:v prvom workshope sa v druhej - 300, v treťom - 285.

Úloha 4. Dve opravy v priebehu týždňa by mali opravovať podľa plánu 18 motorov. Prvá workshop vykonala 120% plán a druhá je 125%, preto sa počas týždňa opravia 22 motorov. Aký plán na opravu motorov na týždeň mal každý workshop?

Rozhodnutie

Byť x. Motory by mali opraviť prvú workshopu. Potom mal byť druhý workshop 18 − x.motor.

Keďže prvý workshop vykonal svoj plán o 120%, znamená to, že opravuje 1.2 x. Motory. A druhý workshop vykonal svoj plán o 125%, čo znamená, že je opravený 1,25 (18 - x.) Motory.

Úloha hovorí, že 22 motorov bolo opravených. Takže môžete pridať výrazy 1,2x.a 1,25 (18 - X.) , potom zodpovedá tomuto množstvu na číslo 22. V dôsledku toho získame rovnicu 1,2x +.1,25(18 - X.) = 22

Cez premennú x. Počet motorov bol označený, ktorý mal opraviť prvú dielňu. Teraz sme zistili význam tejto premennej, je to rovné 10. Takže prvý workshop mal byť opravené 10 motorov.

A prostredníctvom výrazu 18 - x. Počet motorov, ktoré by mali opraviť druhú dielňu, boli označené. Takže druhý workshop mal byť opravený 18 - 10 \u003d 8 motorov.

Odpoveď:prvá dielňu by mala byť opravená 10 motorov a druhý - 8 motorov.

Úloha 5. Cena tovaru vzrástla o 30% a je teraz 91 rubľov. Koľko stojí tovar pred zvýšením ceny?

Rozhodnutie

Byť x. rubľov nákladový tovar pred zvýšením cien. Ak cena zvýšila o 30%, znamená to, že sa zvýšila o 0,30% x. rubľov. Po zvýšení cien sa produkt stál 91 rubľov. Zmiešajte X od 0,30 x. a zodpovedá tomuto množstvu 91. V dôsledku toho získame rovnicu S poklesom počtu o 10% sa ukázalo, že 45. Ak chcete nájsť pôvodnú hodnotu čísla. X -

Odpoveď:na získanie 12% roztoku soli je potrebné pridať 0,25 kg 20% \u200b\u200broztoku na 1 kg 10% roztoku.

Úloha 12. Dostanú dve roztoky soli vo vode, ktorých koncentrácie sa rovnajú 20% a 30%. Koľko kilogramov každého roztoku by sa malo zmiešať v jednej nádobe, aby získal 25 kg 25,2% roztoku?

Rozhodnutie

Byť x. Musí sa prijať CG prvého riešenia. Vzhľadom k tomu, že je potrebné pripraviť 25 kg roztoku, potom môže byť hmotnosť druhého roztoku označená cez expresiu 25 - x.

V prvom roztoku bude obsahovať 0,20x kg solí a druhá je 0,30 (25 - x) kg solí. V výslednom roztoku bude obsah soli 25 × 0,252 \u003d 6,3 kg. Stohovanie výrazov 0.20x a 0,30 (25 - x), potom sme pripravovali toto množstvo na 6.3. V dôsledku toho získame rovnicu

Takže prvé riešenie, ktoré potrebujete vziať 12 kg a druhý 25 - 12 \u003d 13 kg.

Odpoveď:prvé riešenie, ktoré potrebujete na 12 kg a druhá 13 kg.

Páči sa vám lekcia?
Pridajte sa k našej novej skupine VKONTAKTE a začnite prijímať oznámenia o nových lekciách

Priama rovnica v rovine.
Priamy sprievodca vektorom. Vektor normálne

Priama čiara v lietadle je jedným z najjednoduchších geometrických tvarov, známych vám z mladších tried, a dnes sa naučiť, ako sa s ním vyrovnať podľa metód analytickej geometrie. Ak chcete zvládnuť materiál, musíte byť schopní vybudovať priamku; Vedzte, akú rovnicu je nastavená priamo, najmä priame, prechádzajúce cez pôvod a priame súradnice, paralelne s súradnicovými osami. Tieto informácie nájdete v metódach. Grafy a vlastnosti základných funkciíVytvoril som ho pre Mathan, ale časť o lineárnej funkcii sa ukázala byť veľmi úspešná a podrobná. Preto, drahí čajovníci, prvý warp tam. Okrem toho musíte mať základné vedomosti vektoryV opačnom prípade bude porozumenie materiálu neúplné.

V tejto lekcii budeme zvážiť spôsoby, s ktorými môžete urobiť priamu rovnicu v lietadle. Odporúčam nezanedbávať praktické príklady (aj keď sa zdá, že je to veľmi jednoduché), pretože im budem dodávať základné a dôležité fakty, technické techniky, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných častiach vyššej matematiky.

• Ako urobiť priamu rovnicu s uhlovým koeficientom?
• Ako?
• Ako nájsť sprievodcu vektora na všeobecnej rovnici priamo?
• Ako urobiť rovnicu priamo na mieste a vektor normálu?

a začneme:

Priama rovnica s uhlovým koeficientom

Slávny "školský" pohľad na rovnicu sa volá priama rovnica s uhlovým koeficientom. Napríklad, ak je priamy definovaný rovnicou, potom jeho uhlový koeficient :. \\ T Zvážte geometrický význam tohto koeficientu a ako jeho hodnota ovplyvňuje priamu polohu:

Priebeh geometrie je dokázaný rohový koeficient priamy tangent Angla medzi pozitívnou osou A toto priame: A uhol je "odskrutkovaný" proti smeru hodinových ručičiek.

Aby som nebola spojiť kresbu, som nakreslil rohy len pre dve rovné čiary. Zvážte "červený" rovný a jeho rohový koeficient. Podľa vyššie uvedeného: (uhol "alfa" je označený zeleným oblúkom). Pre "modré" priamo s uhlovým koeficientom je rovnosť veľtrh (uhol "beta" je označený hnedým oblúkom). A ak je známy dotyčnica uhla, potom sa dá ľahko nájsť a rohový roh Použitie reverznej funkcie - Arctanens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo mikrokalkulátor. Teda uhlový koeficient charakterizuje stupeň sklonu dopredu na os Abscissu.

V tomto prípade sú možné tieto prípady: \\ t

1) Ak je uhlový koeficient negatívny:, potom čiaru, zhruba, prejde zhora nadol. Príklady - "Modrá" a "Raspberry" rovno na výkrese.

2) Ak je uhlový koeficient pozitívny: potom linka stúpa nahor. Príklady - "čierna" a "červená" rovná na výkrese.

3) Ak je uhlový koeficient nulový:, rovnica má formu, a zodpovedajúca rovná paralelná os. Príklad - "žltá" rovná.

4) Pre rodinu priamych, paralelných osí (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotného osi), uhlový koeficient neexistuje (Tangent o 90 stupňov nie je definované).

Čím viac uhlového koeficientu modulu, strmší program je priamy.

Napríklad zvážte dve rovné. Tu, takže priamka má najkrajší svah. Pripomínam vám, že modul vám umožňuje vziať do úvahy znamenie, máme záujem absolútne hodnoty Rohové koeficienty.

Zase, rovno ostré ako priame .

Späť: Čím menej uhlový koeficient modulu, tým lepšie je bežnejšie.

Pre priame čiary Pomerne nerovnosť, preto nasmerovať viac ako baldachýn. Detská šmýkačka, takže nie je potrebné dať modriny a šišky.

Prečo to potrebujete?

Rozšírte svoje trápenia z poznatkov vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť vaše chyby, najmä chyby pri budovaní grafov - ak sa ukázalo na kresbe "Je zrejmé, že je niečo zlé." Výhodne pre vás okamžite Bolo jasné, že napríklad rovno veľmi chladné a ide smerom nahor, a rovná - veľmi farba, úzko stlačená na os a pochádza zhora nadol.

V geometrických úlohách je často opísaných niekoľko rovných čiar, takže sú pohodlne označované niečím.

Označenie: Priamo určené malé latinské písmená :. Populárna možnosť je označenie toho istého listu s prírodnými substitučnými indexmi. Napríklad tie päť rovných čiar, ktoré sme práve uvažovali, môžu byť označené .

Keďže každá priama je jednoznačne určená dvoma bodmi, môže byť označená týmito bodmi: atď. Označenie samozrejme znamená, že body patria priamo.

Je čas zahrievať trochu:

Ako urobiť priamu rovnicu s uhlovým koeficientom?

Ak je bod patriaci k určitým priamym a uhlovým koeficientom tejto priamky, rovnica tejto priamych vyjadrená vzorcom:

Príklad 1.

Urobte priamu rovnicu s uhlovým koeficientom, ak je známe, že bod patrí k tejto priamej.

Rozhodnutie: Rovnica priamo do vzorca . V tomto prípade:

Odpoveď:

Skontrolovať Vykonáva sa elementárny. Po prvé, pozeráme sa na výslednú rovnicu a uistite sa, že náš rohový koeficient je na svojom mieste. Po druhé, bodové súradnice musia spĺňať túto rovnicu. Nahradiť ich rovnicou:

Získa sa správna rovnosť, znamená to, že bod spĺňa získanú rovnicu.

Výkon: Rovnica sa nachádza správne.

Viac Cunning Príklad pre vlastné riešenia:

Príklad 2.

Urobte rovnicu priamo, ak je známe, že jeho uhol sklon k pozitívnemu smeru osi je a bod patrí k tejto línii.

Ak je ťažkosti, teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, mnoho dôkazov, ktoré preskočím.

Posledný hovor zazvonil, maturitná lopta sa zazvonila a analytická geometria na nás čaká na bránu natívnej školy. Vtipy skončili ... A možno len začať \u003d)

Nostalgicky, rukoväť je známa a oboznámená so všeobecnou rovnicou rovno. Pretože v analytickej geometrii v cestách, to je:

Všeobecná rovnica Direct má názor: Kde sú niektoré čísla. Súčasne koeficienty zároveň Nie je rovná nule, pretože rovnica stráca svoj význam.

Otvorené v obleku a kravatu rovnicu s uhlovým koeficientom. Po prvé, presunieme všetky komponenty doľava:

Termín s "xom" musí byť uvedený na prvom mieste:

V zásade má rovnica už formu, ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého termínu (v tomto prípade) pozitívny. Zmeniť značky:

Pamätajte na túto technickú funkciu! Prvý koeficient (najčastejšie) je pozitívny!

V analytickej geometrii bude priama rovnica takmer vždy špecifikovaná vo všeobecnosti. V prípade potreby je ľahké viesť k myseľ "školská" s uhlovým koeficientom (s výnimkou priamych, paralelných osí nadradu).

Pýtajte sa ma dosť Vedieť postaviť rovno? Dva body. Ale o tomto prípade Orcupy neskôr, teraz vládne palice s šípkami. Každý priamy má úplne definovaný svah, ku ktorému je ľahké "prispôsobiť" vektor.

Vektor, ktorý je paraleny, sa nazýva vektor priameho vedenia.. Je zrejmé, že akékoľvek priame nekonečne veľa vodiacich vektorov bude, a všetci budú kolineárne (ko-smerujú alebo nie - bez ohľadu na to).

Vodiaci vektor budem označiť nasledovne :.

Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky, vektor je voľný a nie je viazaný na žiadny bod roviny. Preto je potrebné navyše potrebné poznať určitý bod, ktorý patrí do riadku.

Ako urobiť rovnicu priamo na mieste a sprievodcu vektora?

Ak je známy určitý bod, ktorý patrí do priamej čiary, a vodiaci vektor tejto línie, rovnica tejto priamej môže byť zostavená vzorcom:

Niekedy sa to nazýva kanonická rovnica priamo .

Čo robiť, keď jeden zo súradníc rovná nule, zistíme v praktických príkladoch nižšie. Mimochodom, oznámenie - naraz Súradnice nemôžu byť nula, pretože nulový vektor nešpecifikuje určitý smer.

Príklad 3.

Urobte rovnicu priamo na bode a vodiaci vektor

Rozhodnutie: Priama rovnica na vzorec. V tomto prípade:

Použitie vlastností podielu sa zbavujeme frakcií:

A dať rovnicu do všeobecnej mysle:

Odpoveď:

Výkres v takýchto príkladoch, spravidla nemusí robiť, ale kvôli pochopeniu:

Na výkrese vidíme východiskový bod, pôvodný vodiaci vektor (môže byť odložený z akéhokoľvek bodu roviny) a je postavený priamy. Mimochodom, v mnohých prípadoch, budovanie priame výhodne vhodné byť vykonané len s rovnicou s uhlovým koeficientom. Naša rovnica je jednoduchá previesť na formu a uľahčiť, aby si vybral iný bod na vytvorenie priamky.

Ako je uvedené na začiatku odseku, priame nekonečne veľa vodiacich vektorov a všetky z nich sú kolineárne. Napríklad som upravil tri takéto verzie: . Bez ohľadu na vedúci vektor sme sa v dôsledku toho vybrali rovnakú rovnicu.

Urobíme rovnicu priamo na mieste a sprievodcu vektorom:

Zničujeme podiel:

Rozdeľujeme obe časti na -2 a získame známu rovnicu:

Tí, ktorí chcú testovať vektory Alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.

Poďme sa rozhodnúť:

Ako nájsť sprievodcu vektora na všeobecnej rovnici priamo?

Veľmi jednoduché:

Ak je priamou rovnicou v obdĺžnikovom súradnicovom systéme, vektor je vektorom tohto riadku.

Príklady vyhľadávania vodiacich vektorov priamych:

Theertion vám umožňuje nájsť iba jeden sprievodca vektora z nespočetného množstva, ale nepotrebujeme viac. Hoci v niektorých prípadoch sa súradnice vektorov vektorov odporúča znížiť:

Rovnica teda špecifikuje priamu, ktorá je rovnobežná s osou a súradnicami získaného vedeckého vektora vhodne rozdeleného -2, čím sa presne získate základný vektor ako vodiaci vektor. Logické.

Podobne, rovnica špecifikuje priamu, paralelnú os a rozdeľujeme súradnice vektora na 5, získavame ako vodiaci vektor ortu.

Teraz príklad 3.. Príklad vzrástol, takže som to pripomenul, že sme urobili rovnú rovnicu v bode a vodiaceho vektora

NajprvPodľa priamej rovnice obnovte svoj vodiaci vektor: - Všetko je v poriadku, zdrojový vektor bol získaný (v niektorých prípadoch, môže byť získaný kolineárny zdroj vektora, a to je zvyčajne ľahko notické na proporcionalitu príslušných súradníc).

Po druhé, Point súradnice musia spĺňať rovnicu. Nahrádzame ich do rovnice:

Získa sa spoľahlivá rovnosť, ktorú sme veľmi potešení.

Výkon: Úloha sa vykonáva správne.

Príklad 4.

Urobte rovnicu priamo na bode a vodiaci vektor

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Je mimoriadne žiaduce kontrolovať, že algoritmus práve diskutoval. Skúste vždy (ak je to možné) vykonávať kontroly návrhu. Je hlúpe umožniť chyby, kde sa dá vyhnúť ich 100%.

V prípade, že jeden z súradníc vodiaceho vektora nula, príde veľmi jednoducho:

Príklad 5.

Rozhodnutie: Vzorec nie je vhodný, pretože denominátor pravej strany je nula. Tam je výjazd! Použitie vlastností podielu prepíšte vzorec vo forme a ďalej sa zvinúť pozdĺž hlbokej ruky:

Odpoveď:

Skontrolovať:

1) Obnovenie vektora linky Vector:
- výsledný vektorový kolinearín v pôvodnom vektorovom vektore.

2) nahradiť súradnice bodu na rovnicu:

Získa sa spoľahlivá rovnosť

Výkon: Úloha dokončená správne

Existuje otázka, prečo je to s vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať v každom prípade? Existujú dva dôvody. Po prvé, vzorec vo forme zlomku veľa je oveľa lepšie zapamätané. A po druhé, nedostatok univerzálneho vzorca je to výrazne zvyšuje riziko Pri nahradení súradníc.

Príklad 6.

Urobte rovnicu priamo na bod a vodiaceho vektora.

Toto je príklad pre nezávislé riešenie.

Poďme sa vrátiť do Omnipropent dvoch bodov:

Ako urobiť rovnicu priamo pre dva body?

Ak sú známe dva body, rovnica priameho prechodu prostredníctvom údajov údajov môže byť zostavená vzorcom:

V skutočnosti je to druh vzorca a preto sú známe dva body, vektor bude priamou čiarou tohto riadku. Na lekcii Vektory pre žnávky Uvažovali sme o najjednoduchšej úlohe - ako nájsť súradnice vektora v dvoch bodoch. Podľa tohto problému súradnice vodiaceho vektora:

Poznámka : Body môžu byť "zmenené roly" a použiť vzorec . Toto rozhodnutie bude rovnocenné.

Príklad 7.

Urobte rovnicu priamo dva body .

Rozhodnutie: Používame vzorec:

SACH reklamy:

A vytiahnite palubu:

Teraz je vhodné zbaviť sa frakčných čísel. V tomto prípade musíte znásobiť obidve časti o 6:

Odhaliť zátvorky a priniesť rovnicu na myseľ:

Odpoveď:

Skontrolovať Zrejmé - súradnice východiskových bodov musia byť splnené so získanou rovnicou: \\ t

1) Náhradu súradníc bodu:

Skutočná rovnosť.

2) Náhradu súradníc bodu:

Skutočná rovnosť.

Výkon: Rovnica je priamo vypracovaná správne.

Ak aspoň jeden Z bodov nespĺňa rovnicu, pozrite sa na chybu.

Stojí za zmienku, že grafická kontrola v tomto prípade je ťažké, pretože stavať rovno a zistiť, či patrí jej , nie tak jednoduché.

Všimnem si pár technických momentov. Možno, že táto úloha je výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec a na rovnakých bodoch Urobte rovnicu:

Taki menšie frakcie. Ak chcete, môžete priviesť riešenie do konca, v dôsledku toho by sa mala objaviť rovnaká rovnica.

Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a odhadnúť, či je to stále ľahké zjednodušiť? Napríklad, ak sa ukázalo, že rovnica sa odporúča, aby ste tu dvakrát znížili: - rovnica nastaví rovnakú priamu. Toto je však téma konverzácie vzájomné umiestnenie.

Po prijatí odpovede V príklade 7, ja, len v prípade, skontroloval, či nie sú rozdelené všetky koeficienty rovnice na 2, 3 alebo 7. Hoci sa najčastejšie takéto skratky vykonávajú v priebehu roztoku.

Príklad 8.

Urobte rovnicu priamo prechádzajú body .

Toto je príklad pre nezávislé riešenie, ktoré vám umožní lepšie pochopiť a vypracovať techniku \u200b\u200bvýpočtov.

Podobne ako predchádzajúci odsek: Ak vo vzorci Jeden z nenominátorov (súradnica vodiaceho vektora) sa nakreslí na nulu, potom ho prepíšte vo forme. A opäť si všimnite, ako to nešikovné a mätúce začalo vyzerať. Nevidím žiadny zvláštny zmysel dať praktické príklady, pretože takáto úloha, ktorú sme už skutočne zaostreli (pozri č. 5, 6).

Vektor rovný normálny (normálny vektor)

Čo je normálne? Jednoduché slová, normálne je kolmé. To znamená, že vektor normálneho priameho kolmého na tento riadok. Je zrejmé, že všetky priamo z nich sú nekonečne veľa (ako aj vodiace vektory) a všetky normy priamych stojanov budú kolineárne (potiahnuté alebo nie - žiadny rozdiel).

Demontáž s nimi bude ešte jednoduchšie ako s vodiacimi vektormi:

Ak je priamou rovnicou v obdĺžnikovom súradnicovom systéme, vektor je vektor normálnej čiary.

Ak súradnice vodiaceho vektora, musia jemne "vytiahnuť" z rovnice, súradnice normálneho vektora súradnice jednoducho "odstrániť".

Vektor normálneho je vždy ortogonálny vodiaci vektor rovný. Uistite sa, že v ortogonalite týchto vektorov pomocou skalárna práca:

Uverejujem príklady s rovnakými rovnicami ako v príručnom vektore:

Je možné urobiť rovnicu rovno, poznať jeden bod a vektor normálneho? Cíti sa sklzom. Ak je vektor známy, smer je jedinečný definovaný a smer najviac priamej je "tvrdý dizajn" s uhlom 90 stupňov.

Ako urobiť rovnicu priamo na mieste a vektor normálu?

Ak je známy určitý bod, ktorý patrí do priamej čiary, a normálny vektor tejto priamy, rovnica tejto priamej je vyjadrený vzorcom:

To všetko stojí bez zlomkov a iných nefans. Tu máme normálny vektor. Milujem to. A rešpekt \u003d)

Príklad 9.

Urobte rovnicu priamo na bode a vektor normálu. Nájdite vektor linky.

Rozhodnutie: Používame vzorec:

Všeobecná rovnica je priama prijatá, vykonajte kontrolu:

1) "Odstrániť" súradnice vektora normálneho z rovnice: - Áno, skutočne, zdrojový vektor z stavu (buď by sa mal získať vektor kolineárny zdroj).

2) Skontrolujte, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Potom, čo sme presvedčili, že rovnica je vykonaná správne, budeme vykonávať druhú, ľahšiu časť úlohy. Vytiahnite vektor linky vektor:

Odpoveď:

Na výkrese situácia vyzerá takto:

Na účely vzdelávania je podobnou úlohou nezávislého riešenia:

Príklad 10.

Urobte rovnicu priamo na bode a normálny vektor. Nájdite vektor linky.

Posledná časť lekcie bude venovaná menej častým, ale aj dôležitým typom rovných rovníc v lietadle

Rovnica je rovná v segmentoch.
Priama rovnica v parametrickej forme

Rovnica Direct v segmentoch má pohľad, kde nenulé konštanty. Niektoré typy rovníc nemožno predložiť v tejto forme, napríklad priama proporcionalita (keďže voľný člen je nula a jednotka v pravej časti nie je získaná).

Toto, obrazne hovoriť, "technický" typ rovnice. Bežnou úlohou je zabezpečiť, aby bola všeobecná rovnica priamo predložená vo forme priamej rovnice v segmentoch. Čo je to vhodné? Rovnica je rovná v segmentoch vám umožní rýchlo intersee intersekcia priamej s súradnicovými osami, čo je veľmi dôležité v niektorých úloh vyššej matematiky.

Nájdite priesečník s osou. Obnovím "IGREK" a rovnica má formulár. Automaticky sa získa požadovaný bod :.

Podobne aj os - bod, v ktorom priamka prechádza osou Ordinácie.

Tento článok pokračuje v predmete priamej rovnice v lietadle: zvážte takýto typ rovnice, pretože všeobecná rovnica je rovná. Pýtame sa teorem a dávame svoj dôkaz; Urobíme na to, že takáto nekompletná všeobecná rovnica je rovná a ako vykonávať prechody z všeobecnej rovnice do iných typov rovníc priamo. Všetka teória bude konsolidovať s ilustráciami a riešením praktických úloh.

Predpokladajme, že v rovine je uvedený pravouhlý súradnicový systém o x y.

Teorem 1.

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má vzhľad AX + + C \u003d 0, kde A, B, C - Niektoré platné čísla (A a B nie sú rovnaké v rovnakom čase nula) definuje priamu linku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme lietadlo. Na druhej strane, akékoľvek priame v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine je určené rovnicou, ktorá má pohľad A X + B Y + C \u003d 0 s určitým množstvom hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Špecifikovaná veta sa skladá z dvoch bodov, ukážeme každé z nich.

1. Dokážeme, že rovnica A X + B Y + C \u003d 0 určuje priame rovinu.

Predpokladajme, že existuje nejaký bod m 0 (x 0, y 0), ktorých súradnice zodpovedajú rovnici A X + B Y + C \u003d 0. Tak: x 0 + b y 0 + c \u003d 0. Predmetné z ľavej a pravej časti rovnice AX + + C \u003d 0 Ľavé a pravé časti rovnice A X 0 + o 0 + C \u003d 0, získavame novú rovnicu, ktorá má formulár A (X - X 0 ) + b (y - y 0) \u003d 0. Je to ekvivalentné X + B Y + C \u003d 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 je nevyhnutná a dostatočná podmienka pre kolmáciu vektorov n → \u003d (a, b) a m 0 m → \u003d (x - x 0 , y - y 0). Sada bodov m (x, y) špecifikuje v obdĺžnikovom súradnicovom systéme priamky, kolmé na smer vektora n → \u003d (A, B). Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom vektory n → \u003d (a, b) a m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) by neboli kolmé a rovnosti A (X - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 Nebolo by to pravda.

V dôsledku toho rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje niektoré priame v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentná rovnica A X + BY + C \u003d 0 určuje rovnaký priamy . Tak sme dokázali prvú časť teorem.

1. Dodávame dôkaz, že akákoľvek súradnica priamo v obdĺžnikovom systéme môže byť nastavená na prvú stupňu rovnice A X + B Y + C \u003d 0.

Nastavený v obdĺžnikovom súradnicovom systéme v rovine priame A; Bod m 0 (x 0, y 0), cez ktorý táto priama čiara prechádza, ako aj normálny vektor tohto priameho n → \u003d (A, B).

Predpokladajme, že existuje nejaký bod m (x, y) - plávajúci bod je rovný. V tomto prípade sú vektory n → \u003d (a, b) a m 0 m → \u003d (x - x 0, y-y 0) sú na seba kolmé a ich skalárny produkt je nula:

n →, m 0 m → \u003d A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

Prepíšem rovnicu A X + B Y - A X 0 - B Y 0 \u003d 0, definujeme C: C \u003d - A X 0 - B Y 0 a v konečnom dôsledku získavame rovnicu A X + B Y + C \u003d 0.

Tak sme sa dokázali a druhá časť teorému a ukázali všetky theódy vo všeobecnosti.

Definícia 1.

Rovnica X + B Y + C \u003d 0 - toto je všeobecná rovnica priamo V rovine v obdĺžnikovom súradnicovom systéme O x y.

Spoliehanie sa na osvedčenú večnosť, môžeme dospieť k záveru, že priama čiara a jej všeobecná rovnica uvedená v rovine v pevnom obdĺžnikovom súradnicovom systéme sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, počiatočná čiara zodpovedá svojej všeobecnej rovnici; Všeobecná rovnica riadka zodpovedá zadanému priamemu.

Zo dôkazu teorem tiež vyplýva, že koeficienty A a B s premennými X a Y sú súradnice normálnej vektorovej čiary, ktorá je nastavená celkovou rovnicou priameho A X + B Y + C \u003d 0.

Zvážte konkrétny príklad všeobecnej rovnice.

Nechajte rovnicu 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, čo zodpovedá priamke v danej obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Normálny vektor tento rovný - toto je vektor N → \u003d (2, 3). Obrázky danú priamku v kresbe.

Treba tiež argumentovať: Priama, ktorú vidíme na výkrese, je určené celkovou rovnicou 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, pretože súradnice všetkých bodov zadaného priameho zodpovedajú tejto rovnici.

Môžeme získať rovnicu λ · a x + λ · b y + λ · c \u003d 0, čím sa vynásobí obidve časti celkovej rovnice na číslo λ, nie rovno. Výsledná rovnica je ekvivalentná počiatočnej všeobecnej rovnici, preto bude popisovať rovnaké priame na rovine.

Definícia 2.

Plná všeobecná rovnica priamo - Takáto všeobecná rovnica je rovná X + B Y + C \u003d 0, v ktorej čísla A, B, s odlišným od nuly. V opačnom prípade je rovnica neúplný.

Analyzujeme všetky variácie neúplnej rovnice všeobecného riadku.

1. Keď A \u003d 0, v ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica má formulár B Y + C \u003d 0. Takáto nekompletná všeobecná rovnica špecifikuje v obdĺžnikovom súradnicovom systéme O x Y Direct, ktorá je rovnobežná s osou ox, pretože s akoukoľvek platnou hodnotou X bude variabilná hodnota - c b. Inými slovami, všeobecná rovnica je priama A X + B Y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, v ≠ 0, nastaví geometrické miesto bodov (x, y), ktorých súradnice sú rovnaké ako rovnaké číslo - c b.
2. Ak A \u003d 0, v ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica má formu y \u003d 0. Takáto nekompletná rovnica určuje os os x.
3. Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, získame nekompletnú všeobecnú rovnicu A X + C \u003d 0, ktorá špecifikuje rovná, paralelná os poradcu.
4. Nechajte ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom nekompletná všeobecná rovnica bude mať formu X \u003d 0, a to je rovnica súradnice Direct o y.
5. Nakoniec, pri ≠ 0, v ≠ 0, c \u003d 0, neúplná všeobecná rovnica má formulár X + B Y \u003d 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza cez pôvod súradníc. V skutočnosti, pár čísel (0, 0) zodpovedá rovnosti A X + B Y \u003d 0, pretože · 0 + B · 0 \u003d 0.

Sme graficky ilustrujú všetky vyššie uvedené typy neúprosnej rovnice.

Príklad 1.

Je známe, že zadaná rovná čiara rovnobežná s osou ordinácie a prechádza bodom 2 7, - 11. Je potrebné zaznamenať všeobecnú rovnicu zadanej priamej.

Rozhodnutie

Priama, paralelná osrad je daná rovnicou formulára A X + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienkou je tiež daný súradnicami bodu, ktorým je priame, a súradnice tohto bodu zodpovedajú podmienkam nekompletnej všeobecnej rovnice A X + C \u003d 0, t.j. Pravá rovnosť:

A · 2 7 + C \u003d 0

Je možné definovať, ak poskytuje nenulovú hodnotu, napríklad A \u003d 7. V tomto prípade získavame: 7 · 2 7 + c \u003d 0 ⇔ c \u003d - 2. Vieme, že koeficienty A a C, nahrádzame ich do rovnice A X + C \u003d 0 a získavame požadovanú rovnicu Direct: 7 x - 2 \u003d 0

Odpoveď: 7 x - 2 \u003d 0

Príklad 2.

Kresba zobrazuje priamku, je potrebné zaznamenať svoju rovnicu.

Rozhodnutie

Vyššie uvedený výkres nám umožňuje jednoducho prijať zdrojové údaje na vyriešenie problému. Vo výkrese vidíme, že špecifikovaná rovná paralelná os O X a prechádza bodom (0, 3).

Priame, čo je rovnobežné s očami osi, určuje nekompletnú všeobecnú rovnicu b y + c \u003d 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), pretože prechádza cez danú priamu čiaru cez nej, spĺňajú rovnicu priamu b y + c \u003d 0, potom rovnosť je rovnosť: v · 3 + c \u003d 0. Uveďte pre určitú hodnotu iné ako nula. Predpokladajme, že v \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti v · 3 + c \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Použite známe hodnoty v a C, získavame požadovanú priamu rovnicu: Y - 3 \u003d 0.

Odpoveď: y - 3 \u003d 0.

Všeobecná rovnica Priamo prechádzajúcou cez zadaný bod roviny

Nechajte špecifikované priame prechádza cez bod m 0 (x 0, y 0), potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici k línii, t.j. Správna rovnosť: X 0 + B Y 0 + C \u003d 0. Odoberieme ľavé a pravé časti tejto rovnice z ľavej a pravej časti celkovej úplnej rovnice. Získame: A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná počiatočnému celku, prechádza cez bod m 0 (x 0, y 0) a má normálny vektor n → \u003d (A, B).

Výsledkom, ktorý sme dostali, umožňuje zaznamenať všeobecnú rovnicu priameho priameho s známymi súradnicami normálneho vektora priamych a súradníc určitého bodu tejto rovnej.

Príklad 3.

Bod m 0 (- 3, 4), cez ktorý priama línia prechádza, a normálny vektor tejto rovnej N → \u003d (1, - 2). Je potrebné zaznamenávať rovnicu.

Rozhodnutie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na prípravu rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, X 0 \u003d - 3, Y 0 \u003d 4. Potom:

A (X - X 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (X - (- 3)) - 2 · Y (Y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ X - 2 Y + 22 \u003d 0

Úloha by sa mohla vyriešiť inak. Všeobecná rovnica Direct má formu A X + B Y + C \u003d 0. Zadaný normálny vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

X + B Y + C \u003d 0 ⇔ 1 · X - 2 · Y + C \u003d 0 ⇔ X - 2 · Y + C \u003d 0

Teraz nájdeme hodnotu C, pomocou zadanej podmienky úlohy, bod M 0 (- 3, 4), cez ktorý je priamy. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + c \u003d 0, t.j. - 3 - 2 · 4 + c \u003d 0. Preto c \u003d 11. Požadovaná priama rovnica má formulár: X - 2 · Y + 11 \u003d 0.

Odpoveď: X - 2 · y + 11 \u003d 0.

Príklad 4.

Dident 2 3 x - y je daný - 1 2 \u003d 0 a bod m 0, ležiaci na tejto priamke. Je známa iba osi abscisa tohto bodu a je rovná 3. Je potrebné definovať poradie zadaného bodu.

Rozhodnutie

Uveďte označenie súradníc bodu m 0 ako x 0 a y 0. V zdrojových údajoch sa uvádza, že X 0 \u003d - 3. Keďže bod patrí k danému priamemu, čo znamená, že jeho súradnice spĺňajú celkovú rovnicu tohto riadku. Potom bude rovnosť pravda:

2 3 x 0 - Y 0 - 1 2 \u003d 0

Určite Y 0: 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - Y 0 \u003d 0 ⇔ Y 0 \u003d - 5 2

Odpoveď: - 5 2

Prechod zo všeobecnej rovnice je priamo na iné typy rovníc priamo a späť

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovnice toho istého a rovnakého priameho priameho lietadla. Výber pohľadu rovnice závisí od podmienok problému; Je možné si vybrať ten, ktorý je pohodlnejší na riešenie. Tu je veľmi užitočné previesť rovnicu jedného druhu na rovnicu iného druhov.

Ak chcete začať, považujeme prechod z všeobecnej rovnice formulára A X + B Y + C \u003d 0 na kanonickú rovnicu X - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A Y.

Ak A a ≠ 0, potom prenesieme termín B Y na pravú časť všeobecnej rovnice. V ľavej časti vydržíme pre zátvorky. V dôsledku toho dostaneme: X + C A \u003d - B y.

Táto rovnosť môže byť napísaná ako podiel: X + C A - B \u003d Y a.

V prípade, že v ≠ 0, odchádzame v ľavej časti rovnice len termín A X, druhá sa prenesie na pravej strane, získavame: X \u003d - B Y-C. Udržíme - v zátvorkách, potom: X \u003d - B y + c b.

Revízujeme rovnosť vo forme podielu: X - B \u003d y + c b a.

Samozrejme, že zapamätajte si výsledné vzorce nie je potrebné. Stačí poznať algoritmus akcií v prechode zo všeobecnej rovnice k kanonickým.

Príklad 5.

Všeobecná rovnica je nastavená na 3 y - 4 \u003d 0. Je potrebné ho previesť na kanonickú rovnicu.

Rozhodnutie

Píšeme počiatočnú rovnicu ako 3 y - 4 \u003d 0. Ďalej pôsobíme podľa algoritmu: Termín 0 x zostáva v ľavej časti; A v pravej časti, vydržíme - 3 pre zátvorky; Dostaneme: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Získanú rovnosť píšeme ako podiel: X - 3 \u003d Y - 4 3 0. Takže sme dostali rovnicu kanonických druhov.

Odpoveď: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

Aby sa transformovala všeobecná rovnica priamo na parametrickú, najprv vykonajte prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonickej rovnice je priamo na parametrické rovnice.

Príklad 6.

DIRECT je nastavený rovnicou 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Zaznamenajte parametrické rovnice tejto priamky.

Rozhodnutie

Vykonávame prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Teraz vezmeme obe časti získanej kanonickej rovnice, ktorá sa rovná λ, potom:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ r

Odpoveď: X \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r

Všeobecná rovnica môže byť prevedená na rovnicu priamej čiary s uhlovým koeficientom y \u003d k · x + b, ale len vtedy, keď v ≠ 0. Pre prechod na ľavú časť, opustíme termín b y, zostávajú sa prenesie doprava. Získame: b y \u003d - a x - c. Obe časti rovnosti sa rozdelíme na B, odlišné od nuly: Y \u003d - A B x - c b.

Príklad 7.

Všeobecná rovnica je nastavená: 2 x + 7 y \u003d 0. Je potrebné previesť rovnicu na rovnicu s uhlovým koeficientom.

Rozhodnutie

Vyrábame potrebné opatrenia na algoritmus:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Odpoveď: Y \u003d - 2 7 x.

Z všeobecnej rovnice je priama stačí na to, aby sa stala rovnica v segmentoch formulára x A + Y B \u003d 1. Na vykonanie takéhoto prechodu, prenesieme číslo C do pravostrannej časti rovnosti, rozdelíme obe časti získanej rovnosti na-C a nakoniec prenesieme koeficienty s premennými X a Y:

X + B Y + C \u003d 0 ⇔ A X + B Y \u003d C ⇔ ⇔ A - C x + B - C Y \u003d 1 ⇔ X - C A + Y - C B \u003d 1

Príklad 8.

Je potrebné transformovať všeobecnú rovnicu DIRECT X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 na rovnicu priamo v segmentoch.

Rozhodnutie

Prenesieme 1 2 na pravej strane: X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 ⇔ X - 7 Y \u003d - 1 2.

Rozdeľujeme sa do -1/2 obe časti rovnosti: X - 7 Y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 Y \u003d 1.

Odpoveď: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.

Všeobecne platí, že transformácia návratu sa nachádza aj: od iných druhov rovnice do generála.

Rovnica je priamo v segmentoch a rovniciach s uhlovým koeficientom, ktorý sa má ľahko previesť na všeobecné, jednoducho zhromažďovaním všetkých termínov v ľavej časti rovnosti:

x A + Y B ⇔ 1 A X + 1 B Y - 1 \u003d 0 ⇔ A X + B Y + C \u003d 0 Y \u003d K X + B ⇔ Y - K X - B \u003d 0 ⇔ A X + B Y + C \u003d 0

Kánonická rovnica sa prevedie na celkovú nasledujúcu schému:

x - X 1 AX \u003d Y - Y 1 AY ⇔ AY · (X - X 1) \u003d AX (Y - Y 1) ⇔ ⇔ AYX - AXY - AYX 1 + AYY 1 \u003d 0 ⇔ A X + B Y + C \u003d 0.

Presunúť sa z parametrického, prechodu na kanonické a potom na celkom:

x \u003d X 1 + A X λ y \u003d y1 + a y · λ x - x 1 a x \u003d y - y1 a y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

Príklad 9.

Parametrické rovnice sú nastavené na priame x \u003d - 1 + 2 · y \u003d 4. Je potrebné zaznamenať všeobecnú rovnicu tohto priameho.

Rozhodnutie

Vykonávame prechod z parametrických rovníc na kánonical:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 · λ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Poďme z kanonickej až celkom:

x + 1 2 \u003d Y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Odpoveď: Y - 4 \u003d 0

Príklad 10.

Rovnica je nastavená na riadok v segmentoch x 3 + y1 2 \u003d 1. Je potrebné vykonať prechod na celkový typ rovnice.

Rozhodnutie:

Stačí prepísať rovnicu v požadovanom formulári:

x 3 + y1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Vypracovanie všeobecnej priamej rovnice

Hovorili sme o tom, že všeobecná rovnica môže byť napísaná s dobre známymi súradnicami normálneho vektora a súradnicami bodu, ktorým sa rovná čiara prechádza. Takéto priame je určené rovnicou A (X - X 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0. Tiež sme demontovali vhodný príklad.

Teraz zvážte zložitejšie príklady, v ktorých je potrebné určiť súradnice normálneho vektora.

Príklad 11.

Priamka, paralelné priame 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Bod M 0 (4, 1) je tiež známy, cez ktorý zadaná priama čiara prechádza. Je potrebné zaznamenávať rovnicu.

Rozhodnutie

Východiskové podmienky nám hovoria, že priame paralely, zatiaľ čo normálny vektor je rovný, ktorých rovnica je potrebná na písanie, vezmite vektor vektor priame n → (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 . Teraz poznáme všetky potrebné údaje, aby vypracovali spoločnú rovnicu

A (X - X 0) + B (Y-YO 0) \u003d 0 ⇔ 2 (X - 4) - 3 (Y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Odpoveď: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Príklad 12.

Zadané priame prechádza cez pôvod súradníc kolmými na priamku X - 2 3 \u003d Y + 4 5. Je potrebné vytvoriť všeobecnú rovnicu danej priamky.

Rozhodnutie

Normálny vektor zadanej rovnej bude priamy vektor priamy X - 2 3 \u003d Y + 4 5.

Potom n → \u003d (3, 5). Priame prechádza cez pôvod súradníc, t.j. cez bod o (0, 0). Urobme všeobecnú rovnicu

A (X - X 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (X - 0) + 5 (Y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 Y \u003d 0

Odpoveď: 3 x + 5 y \u003d 0.

Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER

Oddelenie VI.

Transformácia rovníc.

___________

Riešenie a zostavovanie rovníc z prvého stupňa

§ 5. Vypracovanie rovnice s jedným unshentom.

Akákoľvek aritmetická úloha je, že na neilných kontrolách a podľa týchto pomerov medzi týmito voľnými hodnotami a inými, neznámami sa nenachádzajú. Algebra poskytuje špeciálny spôsob, ako si rezervovať aritmetické úlohy. Táto metóda je založená na tom, že verbálne výrazné podmienky aritmetických úloh je možné preložiť do algebraického jazyka, t.j. Vyjadrené vzorcami Algebraich.

Preklad slov a expresívnych podmienok problému na algebračnom jazyku všeobecne sa nazýva vzorca.

Podľa podmienok problému, rovnica s jedným neznámym znamená, že je to tak prekladá tieto podmienky na algebraický jazyk tak, aby bola celá sada týchto podmienok vyjadrená jednou rovnicou, ktorá je neznáma. Na to je potrebné, aby počet oddeliteľných problémov nezávislých medzi podmienkami problému sa rovná počtu neznámeho v ňom.

Sledovanie extrémnej rozmanitosti úloh prijímania kompilácie rovníc, ktoré spĺňajú tieto úlohy, sú veľmi rôznorodé. Všeobecné pravidlá pre kompiláciu čistých rovníc. Existuje však jeden všeobecný údaj, ktorý vedie naše úvahy, keď preložíme podmienky pre úlohu pre algebraický jazyk a umožňuje nám od začiatku tvrdenia, aby sme mohli ísť na dosiahnutie posledného CE. Toto je všeobecné označenie, alebo všeobecný princíp zloženia rovnice, budeme vyjadriť drancovanie:

Urobiť podmienky úlohy, rovnica s jedným neznámami, potrebujete:

1) Zvoľte medzi neznámym, ktoré sú v úlohe alebo priamo indikované, alebo znamenať, niektoré prijateľné pre prvý, a určiť ho zjednotiť len nejaký list, napríklad, h. ;

2) Prostredníctvom tohto označenia a označenia, údaje v úlohe, vyjadriť všetky hodnoty, ktorého v tejto úlohe hovoria priamo, alebo ktoré sú implikované dodržiavaním prípravy takýchto výrazov postupne zohľadniť všetky údaje v úlohe a všetky súvisiace s dainou alebo neznámymi hodnotami stavu;

3) Post takejto účasti všetkých podmienok na zistenie medzi zostavovanými alebo jednoducho zaznamenanými výrazmi dve také, ktoré by na základe jednej z týchto podmienok mali byť rovnaké medzi sebou a obchodujte s týmito výrazmi znakom rovnosti.

Prijať túto zásadu na odoslanie dvoch úloh:

Úloha 1 I. Počet mincí v jednej peňaženke je dvakrát menší, dokonca aj v druhom. Ak ste položili z prvých šiestich mincí, a v druhom pridaní osem mincí, potom počet rúrok v prvom bude sedemkrát meee, Chem v druhom. Zistite, koľko mincí v každej peňaženke?

Táto úloha je pozoruhodná alebo nie je veľa neznámych hodnôt. Urobíme na prvý neznámy počet mincí peer peňaženky a. Uznanie x. Budeme stimulovať význam všetkých hodnôt, na ktoré sú podmienky úlohy.

Počet kolegovských kabelín je h. . Pripomeňme si počet mincí v druhej a prvej peňaženky 2 . Takže počet mincí druhej mačky 2x.

Od peer, vyberte 6 Mone. Preto v prvej mačke zostane koherentný h. -6 .

V druhom pridaní 8 mince. V dôsledku toho bude v druhej peňaženke mince 2h. +8 . Nový vzťah medzi číslami mincí druhého a prvej peňaženky je. Je to tiež rovnaké 7 . Na tomto základe sa rovnica vykonáva riešením, ktoré získame x \u003d 10 , po ktorom nie je ťažké identifikovať iné neznáme, o ktorých sme tu spomenuli.

Ak by sme boli akceptovaní pre prvý neznámy počet mincí druhej peňaženky a vymenovali by to, aby odlíšili od predchádzajúceho označenia w. , Aká ľahká je ľahké, aby sa ukázalo byť ďalšou rovnicou, je to ( w. + 8 ):( w. / 2 -6 )=7 ktorý tiež umožňuje úlohu a dáva odpoveď w.=20 .

Bolo by možné prijať číslo Monvt číslo v prvej peňaženke po jej položení pre prvými neznámymi. 6 mince; Potom to označuje z. a ísť rovnakým spôsobom, ako sme chodili v príprave prvej rovnice, dostali by sme rovnicu Z! z. = 4 .

Ale bolo by však možné zmeniť cestu rovnice, napríklad skutočnosťou, že by sme sa najprv zohľadnili modifikovaný vzťah medzi počtom mincí, a zostavenie rovnice by bola založená na tom, čo je známe o počiatočný vzťah. V tomto prípade by sa kompilácia rovnice vykonala takto:

Počet mincí prvej peňaženky po výpočte je z. . Vyslaný 6 mince. Počiatočný počet mincí prvej peňaženky z +.6. Modifikovaný vzťah medzi číslami mincí 7 . Preto modifikovaný počet mincí druhej peňaženky 7z. Pridaný 8 mince. V dôsledku toho počiatočný počet mincí druhej peňaženky 7z. - 8 . Počiatočný vzťah medzi číslami mincí je rovnaký 2 . Na tomto základe máme rovnicu spoločne s predchádzajúcou, hoci sa od neho odlišuje.

Ak ideme tento druhý spôsob, sme prijali pre prvý neznámy počet mincí druhej peňaženky po jeho pridaní 8 mince, potom, označuje to neznáme pre rozdiely a by dostala rovnicu ( a -8 ):( a / 7 + 6 )=2 Z! a =28 .

Tieto vysvetlenia ukazujú, že, vedené rovnakým všeobecným pravidlom na prípravu rovníc, stále dostávame rôzne spôsoby v každej úlohe na dosiahnutie tohto cieľa. Najlepší spôsob je ten, ktorý jednoduchšie vyjadruje podmienky úlohy a vedie rýchlejšie ako kompilácie a vyriešiť rovnicu. V tomto prípade sú prvé a tretie metódy rovnako vhodné na riešenie rovnice, ale prvý je stále jednoduchší, a teda lepší ako zvyšok.

Použitím zadaného pravidla vypracovania rovníc je potrebné pripomenúť, že v akomkoľvek danej presnosti EADCHA by sa malo zohľadniť každý daný počet a každý z výrazných podmienok.

Úloha 2.. Z mesta A vychádzajúci cestujúci prechádzajúci deň 20 Musieť. O dva dni neskôr vyjde z mesta V Ďalší cestujúci, ktorý denne prechádza 30 Musieť. Vzdialenosť A a V rovnako 190 Musieť. Pýta sa, kedy a kde sa obaja cestujúci stretnú?

1. spôsob. Urobíme prvý neznámy čas pohybu prvého cestovateľa z výstupu A pred stretnutím a posledným podmienkou, že vzdialenosť medzi A a V rovnako 190 Musieť. Potom odôvodnenie povedie:

Iirolims, že prvý šiel na stretnutie h. dni. Každý deň prešiel 20 Musieť. Tak prešiel všetko 20h. Musieť.

Druhý vyšší neskôr 2 deň. Tak kráčal na stretnutí h. -2 deň. Každý deň prešiel 30 Musieť. V dôsledku toho prešiel všetko 30 (h. -2 ) Musieť. Spolu cestujúci prešli [ 20h. + 30 (h. -2 )]] Nižšie. Všetky vzdialenosti medzi A a V rovnako 190 Musieť. Na tomto základe nájdeme rovnicu

20h. + 30 (h. -2 ) =190 ,

z x \u003d5 . Z toho vidíme, že prvý cestujúci chodil 5 dní 100 míle, druhý prešiel 3 a prešiel 90 Musieť.

2. spôsob. Urobíme prvú neznámu vzdialenosť, ktorú cestujeme prvým cestovateľom z výjazdu na stretnutie a v poslednom stave, že druhý cestujúci vyšiel neskôr ako prvý 2 deň. Potom sa uvažujete takto:

Veríme, že prvý šiel na stretnutie w. Musieť. Každý deň prešiel 20 Musieť. Takže kráčal všetko w. / 20 dni.

Druhá prešla celým 190 -w. ) Musieť. Každý deň prešiel 30 Musieť. Takže kráčal len dni.

Rozdiel medzi časom pohybu oboch je a je rovnaký 2 . Preto nájdeme rovnicu Z! w. =100 .

3. spôsob. Prvým neznámym je čas pohybu druhého cestujúceho z výstupu V Uvidíme sa, posledným podmienkam je, že prvý komplementárny prechádza denne 20 Musieť.

Dali sme, že druhá ide na stretnutie z. dni. Takže prvá bude prejsť ( z. +2 ) Deň. Denne 30 Vertick, druhá bude všetko 30z. Musieť. Od oboch je potrebné ísť 190 musí, potom zostane prvý ( 190 -30z. ) Musieť. Aby to urobil, mal by robiť denne na Verst. Pretože tento výraz je rovnaký 20 Potom sa získa rovnica, odkiaľ z \u003d 3.

4. spôsob.Prvým neznámym je vzdialenosť prejdená druhým cestovateľom na stretnutie, posledným podmienkam je, že druhý prechádza 10. vercou verzie najprv.

Veríme, že druhá prešla na stretnutie a Musieť. Znamená to, že prvý zostal 190 -a ) Musieť. Odvtedy pred uvoľnením druhého, on už prešiel 40 Sieť, potom po vydaní druhého, stále bol schopný prejsť ( 150 -a ) Musieť. Rozdiel vo vzdialenosti, ktoré prechádzajú súčasne s oboma, je ( 2a-150 ) Musieť. Čas ich celkového pohybu je a / 30 dní. Nažive, druhý deň prechádza viac ako prvý 2a-150 ) : a / 30 Musieť. Pretože tento výraz je rovnaký 10 , potom dostanete rovnicu ( 2a-150 ) : a / 30 =10 ktorý dáva a = 90 .

Predchádzajúce vysvetlenia ukazujú, že rôznorodosť spôsobov prípravy rovníc v tej istej úlohe závisí od poradia konzistentne označovaných hodnôt a poradie dôsledného zohľadnenia podmienok.

231. Dve tváre majú spolu 38 rubľov a prvé 6. pravidlá majú viac peňazí ako druhé. Koľko peňazí z každého?

231. Dve tváre majú spolu 114 rubľov a prvé 18. pravidlá majú viac peňazí ako druhé. Koľko peňazí pre každého?

232. V jednom okne systému Windows 15 menej ako v inom, v oboch domoch 51 okien. Koľko okien v každom?

232. v jednom okne systému Windows 6 menej ako v druhom; Celkovo v oboch domoch 62 okien. Koľko okien v každom?

233. V dvoch peňaženkach je 81 rubľov. Prvé peniaze sú dvakrát menej ako v druhom. Koľko peňazí v každom?

233. V dvoch peňaženkach je 72 rubľov. Prvé peniaze sú päťkrát menej ako v druhom. Koľko peňazí v každom?

234. Otec je starší ako výlet, a súčet oboch z nich je 48 rokov. Určiť vek oboch.

234. Otec je starší ako syn na polovicu a suma oboch rokov sa rovná 13 rokom. Určiť vek oboch.

235. Syn je mladší ako všetci a rozdiel ich rokov sa rovná 27 rokom. Koľko zomrieť?

235. Syn mladší ako otec otca a rozdiel je 32 rokov. Ako starý je všetci?

236. V troch košoch je 47 jabĺk a v prvom a druhom riadku av treťom až 2 jablkách viac ako každý z ostatných. Koľko jabĺk v každom košíku?

236. V troch košoch je 110 jabĺk a v prvom a v treťom rovnakom a v druhom prípade pre 4 jablká menej ako v každom z ostatných. Koľko jabĺk v každom košíku?

237. Tri kusy striebra majú spolu 48 libier. Prvý je ťažší ako 12 f. A tretia ťažšia z prvých 9 libier. Koľko váži každý kus?

237. Tri kusy striebra vážia 33 F .. Prvý je prvý z druhého za 5 libier a tretia je pre prvé pre 2 libry. Koľko váži každý kus?

238. Syn mladší ako otec už 20 rokov a staršia dcéra po dobu 5 rokov. Výška všetkých troch rokov sa rovná 60 rokom. Ako starý je všetci

238. Matka je staršia ako syn 21 rokov a mladší ako otec 7 rokov. Výška rokov všetkých troch rokov sa rovná 64 rokoch. Ako starý je všetci?

239. Na troch policiach je len 66 kníh a na spodnej strane trikrát a stredne dvakrát toľko ako vrchol. Koľko kníh na každej polici?

239. Na troch policiach existuje len 60 kníh a v dolnej časti šesťkrát viac, a na vrchole päťkrát viac ako priemer. Koľko kníh na každej polici?

240. Les, záhradný a lúk stojan spolu 10800 p .. lúka je drahšia ako záhrada 2 krát, a les je drahší ako lúka trikrát. Čo je z nich každý z nich?

240. Les, záhrada a lúka pohromade 17600 P .. Les je drahší ako záhrada 3 krát, a LUGG lesa 4 krát. Čo je z nich každý z nich?

241. Rozdelenie čísla 21 na dve časti tak, že záhyb prvej časti na druhú časť je frakcia 3/4.

241. Rozdeľte číslo 48 do dvoch častí, takže bod voľby druhej časti na prvý bol výsledok druhej časti na prvý.

242. Rozdeľte číslo 88 na tieto dve časti, takže súkromné \u200b\u200bz rozdelenia prvej časti o 5 a druhé až 6 boli rovnaké.

242. Ak chcete rozdeliť číslo 55 na tieto dve časti, takže súkromné \u200b\u200bz rozdelenia prvej časti o 7, a. Druhá bola rovná 4.

243. Súčet dvoch čísel 85 a ich rozdiel 15. Nájdite obe čísla.

243. Súčet dvoch čísel 72 a ich rozdiel 8. Nájdite obe čísla.

244. Rozdiel dvoch čísel 8 a viacnásobný pomer je frakcia 3/2. Zvýšte tieto čísla.

244. Rozdiel dvoch čísel 12 a viacnásobný pomer je frakcia 5/3. Nájsť tieto čísla.

245. Rozdeľte číslo 46 na dve hodiny tak, aby rozdiel medzi súkromným z rozdelenia prvej časti na 3 a druhý až 7 bol 2.

245. Číslo 59 oddeľte do dvoch častí, takže rozdiel v rozdelení prvej časti na 3 a druhý až 5 je 1.

246. Rozdeliť číslo 75 na dve časti tak, že väčšina z troch rozdiel medzi oboma časťami.

246. Číslo 56 oddeľte do dvoch častí, takže menšia časť presahuje trojnásobný rozdiel medzi oboma časťami.

247. Súčet dvoch čísel 64. Pri rozdelení väčšieho počtu na menej, ukázalo sa, že v súkromí 3 a na zvyšok 4. Nájdite tieto čísla.

247. Súčet dvoch čísel 45. Pri rozdelení väčšieho čísla na menšieho, sa ukáže v súkromí 5 a na zvyšok 3. Nájdite tieto čísla.

248. Rozdiel dvoch čísel je 35. Pri rozdelení väčšieho počtu na menej, ukázalo sa, že v súkromí 4 a na zvyšok 2. Nájdite tieto čísla.

248. Rozdiel dvoch čísel 23. Pri rozdelení väčšieho počtu na menej, ukázalo sa, že v súkromí 2 a na zvyšok 11. Nájdite tieto čísla.

249. Jeden z neznámych dvoch čísel je viac ako druhý na 5. Ak rozdelíte menšie číslo o 4, a viac o 3, potom prvá súkromná bude 4 menej ako druhá. Nájsť obe čísla.

249. Jeden z dvoch neznámych čísel je viac ako 15. Ak je rozdelený na väčší počet 9, a menej ako 2, potom prvé súkromné, aby 3 menej ako druhé. Nájsť obe čísla.

250. Jeden z dvoch neznámych čísel je menší ako druhý na 6. Ak je rozdelený na väčšie číslo na polovicu, získané súkromné \u200b\u200bbude tri jednotky menšie ako iné číslo. Nájsť obe čísla.

250. Jeden z dvoch neznámych čísel je menší ako ten druhý do 18. Ak je rozdelený na väčší počet troch, potom získané súkromné \u200b\u200bbudú dve jednotky viac ako iné číslo. Nájsť obe čísla.

251. V jednej nádrži dvakrát vody ako v druhej; Ak sa nalejete z prvého do druhého 16 lyžíc, potom v oboch voda bude rovná. Koľko vody v každom?

251. V jednej nádrži trikrát viac vody ako v druhom; Ak vylievate z prvého 22 vedro od prvej 22, potom v oboch voda bude rovnaká, koľko vody v každom?

252. Na trhu v dvoch obchodovaní je len 220 vajec; Ak druhý z nich dal prvých 14 vajíčok, potom by počet vajec, z ktorých každý by bol rovnaký. Koľko vajec?

252. Na trhu v dvoch obchodovaní je len 186 vajec; Ak druhý z nich dal prvých 10 vajec, počet vajec, z ktorých každý by bol rovnaký. Koľko vajec?

253. Niekto má 4 krát viac ako rubľov v pravom vrecku ako vľavo; Ak sa posúva z pravého vrecka doľava 6 r., Potom vpravo budú peniaze len 3-krát viac ako vľavo. Koľko peňazí v každom vrecku?

253. Niekto Systém v pravom vrecku 3 krát viac ako rubľov ako vľavo; Ak sa presuniete z ľavého vrecka na pravých 5 rubľov, potom tam budú peniaze v pravých päťkrát viac ako vľavo. Koľko peňazí v každom vrecku?

254. Pri výpočte továrne dvoch pracovníkov, prvý z nich prijal pre prácu 12 rubľov viac ako na druhom, a potom, potom druhý pracovník zaplatil 2 rubľov. dlh. Ukázalo sa, že prvý ponáhľaný domov je trikrát viac ako druhý. Koľko to robili všetci?

254. Pri výpočte továrne dvoch pracovníkov, prvý z nich dostal 20 rubľov menej ako druhý, ale zároveň sa druhý pracovník vrátil 2 rubľov. dlh. Ukázalo sa, že prvý ponáhľaný domov bol dvakrát druhý. Koľko to robili všetci?

255. Jeden chlapec má 30 kopecks, druhý je 11 kopecks .. koľkokrát prídu dať jeden penny tak, že prvý sa ukázal byť dvakrát toľko ako druhý?

255. Jeden chlapec má 48 kopecks, ďalších 22 kopecks .. koľkokrát musia stráviť jeden kopeck, takže prvý sa ukáže, že je trikrát viac peňazí ako druhý?

256. Otec 40 rokov a syn 12 rokov. Koľko rokov bol otec vo svojom seniorskom synovi?

256. Otec 49 rokov a syn 11 rokov. Prostredníctvom toho, ako starý bude otec trikrát syn?

257. Jeden vlastník pôdy má ovce štyrikrát viac ako ostatné. Ak sa obaja kúpili 9 oviec, potom prvé ovce boli trikrát viac ako druhé. Koľko oviec má všetkých?

257. Jeden Predmet má ovce trikrát menej ako ostatné. Ak sa obaja predávali na 10 oviec, potom sa prvá ukázala ako menej ovce menej ako druhá. Koľko oviec má všetkých?

258. Otec je o 39 rokov starší ako jeho syn, a po 7 rokoch bude 4 krát starší syn. Ako starý je druhý?

258. Otec a syn spolu 88 rokov a pred 8 rokmi bol jeho otec starší ako syn 7 krát. Ako starý je druhý?

259. V jednej nádrži 48 vedier a v ďalších 22 vedrách vody. Z prvej liatej vody dvakrát až z druhého, a potom v prvom mieste boli trikrát viac vody ako v druhej. Koľko vedierok sa vylial z každého?

259. V jednom nádrži 42 lyžicach a v ostatných 8 vedrách vody. V prvej oceňovanej vode bola trikrát viac ako v druhom, a potom sa ukázalo v prvých štyroch ďalších vodných vodách ako v druhej. Koľko vedierní je našťastie?

260. Dve tváre, hrajú oddelene na karte, mali na začiatku hry, prvých 72 rubľov, druhý 21 rubľov. Prvý stratený trikrát viac ako druhý vyhral. Po tom, čo sa hra ukázala byť na prvýkrát dvakrát toľko peňazí ako na druhom mieste. Koľko získal druhý a stratil prvý?

260. Dve tváre, hrajú samostatne v kartách, mali prvých 25 rubľov na začiatku hry, druhý 12 rubľov. Prvý zvíťazil dvakrát toľko ako druhý stratený. Po hre sa ukázalo byť viac peňazí z prvých peňazí ako druhý. Koľko ste stratili druhú a vyhral prvý?

261. Rozstup predávaný po prvýkrát časť 2/7 počtu bývalého Yabloku, druhýkrát p rovnakého čísla; Potom mal len 8 jabĺk. Koľko jabĺk to malo?

261. Rozmetadlo sa predáva prvýkrát 1/9 počtu žiadostí od neho už druhýkrát 5/6 rovnakého čísla; Potom mal len 4 jablká. Koľko jabĺk to malo?

262. Z nádrži s vodou bola odovzdaná prvá tretina z celkového množstva vody, potom 5/6 zvyšku a potom zostalo len 6 vedier. Koľko vody bola v nádrži?

262. Z nádrže s vodou odlievaním bola prvá časť 3/5 všetkých množstiev, potom 3/4 zostáva a potom zostalo len 5 vedier. Koľko vody bola v nádrži?

263. V jednej spoločnosti bolo 40 ľudí, ženy a deti. Počet žien predstavoval 3/5 počet mužov a počet detí bolo 2/3 počtu mužov a žien spolu. Koľko mužov, žien a detí?

263. V jednej spoločnosti bolo 72 ľudí mužov, ženy a deti. Počet mužov bol 2/3 počtu žien a počet detí bolo 4/5 počty mužov a žien. Koľko mužov, žien a detí?

264. Pre 30 arshin sukna dva odrody zaplatili len 128 rubľov; Arshyn Prvá trieda stojí 4 1/2 r., A arshin druhého 4 r .. Koľko Archivát kúpil inú odrodu?

264. Pre 27 Arshin Sukna Dva odrody zaplatili len 120 r.; Arshin prvej triedy stojí 5 rubľov; Arshin druhý 3 r. 75 K .. Koľko Arshin kúpil druhý sert?

265. Čajový obchodník predal 38 libier dvoch odrôd, cena 3 p. za libru prvého stupňa a 1 p. 60 k. Za libru druhej triedy a obrátená súčasne pre celú prvú triedu 22 rubľov viac ako na druhom mieste. Koľko sa predáva v niektorých ďalších odrodách?

265. Traktor čaju predal 110 hmôt z dvoch odrôd, cena 4 1/2 p. za libru prvého stupňa a 2 p. 25 k. Za libru druhej triedy a zároveň obnovil prvej triedy 45 rubľov menej ako druhý. Koľko sa predáva v niektorých ďalších odrodách?

266. Dodávateľ si najal zamestnanca s podmienkou na zaplatenie 90 kopecks. Pre každý pracovný deň a odpočítať 40 kopecks z neho. Pre každý pracovný deň. Po 12 dňoch, pracovník dostal 6 p. 90 K .. Koľko dní pracoval?

266. Dodávateľ najal zamestnanca s podmienkou na zaplatenie 80 kopecks. Pre každý pracovný deň a odpočítať 50 kopecks z neho. Pre každý pracovný deň. Po 50 dňoch získal pracovník 21 r. 80. Koľko dní sa prestával?

267. A a V Prehrávanie biliardov s podmienkou, že víťazná strana dostane z Loser 76 K.; Po 20 stranách to ukázalo V Vyhral som len 4 r. 50. Koľko strán získal?

267 A a V Hrajte na biliard s podmienkou, že víťazná strana dostane 50 do porazeného; Po 12 strán sa to ukázalo A Vyhral len 2 r .. Koľko strán stratila?

268. Dvaja kuriéri zostali v rovnakom čase z dvoch miest, ktoré sú vo vzdialenosti 300 míľ a smerom k jednému inde. Prvá prechádzajúca za hodinu 12 míľ, druhá 13 míľ. Kedy sa stretnú?

268. Dvaja kuriéri zostali v rovnakom čase z dvoch miest umiestnených vo vzdialenosti 280 míľ a smerom k sebe. Prvá prechádzajúca za hodinu 11 míle, druhá 17 míľ. Kedy sa stretnú?

269. S dvomi stanicami železnice, ktoré sa nachádzajú vo vzdialenosti 77 míle, sú súčasne dva vlaky a ísť v jednom smere s rýchlosťami 31 1/2, odkazom a 18 2/3 míľ na a prvý ide na druhú. Kedy sa chytí?

{!LANG-4c972bfe230b388e083fb38e4c621468!}

270. {!LANG-19c8ad817012b1c1397ebd0fc6f5993a!}

{!LANG-b7e3dd45ed727275f0bd7c00e7ffa3c0!}

271. {!LANG-3801aea8e6167a5a579d166a0218d000!}

{!LANG-a0f4bef2c1d9392012db12579fc1bd36!}

272. {!LANG-892138c07adf61cc4e164d614ea9e265!}

{!LANG-3dd0577e87443d2faae67735c09509cc!}

273. {!LANG-817be442453a6146aeb0eaa992215765!}

{!LANG-58112b644a354c1fa1a0cd8a45d52601!}

274. {!LANG-3b6b2c33101350a1b4c823b97e3f771f!}

{!LANG-77d2704c5099b9c6e06e0f36fb2b3c18!}

275. {!LANG-a1c84f0f65800389be6a9fa33b270dd7!}

{!LANG-a83ce04ff0abe5e6c20aa64db23fc933!}

276. {!LANG-e92c6d8b7d30db9dfbbfbaf78d8eb6e8!}

{!LANG-bd2317f68a101926a66a5d8ed21575b6!}

277. {!LANG-5b5b4d336e75b60abb177d2c6c4a56a3!}

{!LANG-488f0b06c926e6a01776540db251f56c!}

278. {!LANG-c7ebf7c32158e5a2adfb8352ed015cc4!}

{!LANG-dcb2baf8f2b6eaa10f5ddae411ef236f!}

279. {!LANG-6b1c302765423ccf72ac740faf4fe2ac!}

{!LANG-9d7ed28003e1403c3cd3cc01972c3f6a!}

280. {!LANG-ef74f28f36b1b40b443c0511729c0f42!}

{!LANG-67f21124fa3cccb28e2a998ac5d8c563!}

281. {!LANG-55d4ad1d3f7a0891f7e9c3d8e6492ee4!} A{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} V{!LANG-f878a4406d6f05164782b1062c37bd1d!} V{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} A{!LANG-b35ebdb6c4a888e4af17e2879f4e7e0e!} A{!LANG-968df0b53538fcf5600e9c2a6d5b860d!} V?

{!LANG-261e069ab08bb9dc61fcebd12d5328f6!} A{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} V{!LANG-30659247620244fce72c2ad12a82c5dc!} V{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} A{!LANG-d40bcab91c4990e7c282a29f1528d51e!} A{!LANG-968df0b53538fcf5600e9c2a6d5b860d!} V?

282. {!LANG-db1352e383c4893d25a39ae953d9898e!} A{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} V{!LANG-bb8964b45329cbf05d7f2599c0584b77!} V{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} A{!LANG-c1650f299a29ffe1026e891178a1b0da!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!}{!LANG-538fd994939354c6bd83e9afb698d106!} A{!LANG-dbe489e80687946e7679461635c72172!}

{!LANG-e7b38952c16ce6c6d3b24004443c856a!} A{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} V{!LANG-6781205a64defa21d151b2e0f061abd1!} V{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} A{!LANG-d17f100975b70ddf10b73195025e48ec!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!}{!LANG-757c83ed5c334ac6d69ac4f27c06fa23!} V{!LANG-dbe489e80687946e7679461635c72172!}

283. {!LANG-41f9c3331abc85e3c208f7203a8728f5!}

{!LANG-316fc2806199bb37ea9bc9ff56cea26e!}

284. {!LANG-7c326e4876a542dd2ee3019e6f3540e5!}

{!LANG-b136ac8fbf603b612375669b5da93033!}

285. {!LANG-8db19b5fea7efa5cc3ade2d184cae50e!}

{!LANG-697edf7553a13b0dbd80a530bbdef2fe!}

286. {!LANG-616ef5a5872ceb70774d8aca7cefb99d!}

{!LANG-7e2295ea80ea45d7f08b16f22df502da!}

287. {!LANG-5cd219e6cb6d3248bf8b82798bb29f46!}

{!LANG-f8a7db2d0f1e4e30d338001b95201e6e!}

288. {!LANG-388f6639ed660f36c17466cadc128cad!}

{!LANG-533c12d9a63d4b095707d323155f3b8e!}

289. {!LANG-2491219ff122caba487c570846ce0ade!}

{!LANG-3a2108b75edc3d3e41b24f8cd712a434!}

290. {!LANG-a883d34226ca056d7e59e6c5d1e1a792!}

{!LANG-f9495ac50f231da30e49ecb8498ce864!}

291. {!LANG-5f3f8a35edf5e794376abb31dc668886!}

{!LANG-dedd3a955a389f0aacbe2b552519e6bf!}

292. {!LANG-77da5e6c475c573b6dd1d311453bda61!}

{!LANG-3eac498355f2fbe47a41e81d73bebd6e!}

{!LANG-abc8c92629516c54083c739a86cae90c!}{!LANG-a856f19c3e89047adccb23072df77e06!} V{!LANG-1d382ce079c492c8380d001486b42552!} {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-010686bc129133be6edfa88330aba6e6!} A{!LANG-e3834948d7e699368aa3260cc5de7559!} V{!LANG-5f98287e36cc2d239216398189789c61!} {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}?

293. A{!LANG-a856f19c3e89047adccb23072df77e06!} V{!LANG-bdfa1fc6f0b1f0e3a5fecf4be2de4204!} {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-923df54745fe3b8207a3fea57b247b70!} A{!LANG-5a8a8269f9af62c3b2f14f3296ce6e67!} V{!LANG-5f98287e36cc2d239216398189789c61!} {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}?

294. {!LANG-bc72eac678d0d51d9ea7e67dbe262ea2!}

{!LANG-5d5efdbc3634552cf7f865769648996a!}

295. {!LANG-d880d5d8b1227969b8fc7fce962d3aaf!}

{!LANG-5f96efeb4d065a0dc537652d8e3732ea!}

296. {!LANG-742bb90c25a5f50900028428804dbf84!}

{!LANG-af3acce41196985ba2f8cb3c85bbc703!}

297. {!LANG-4b9545f09fb8ce73e9576b8bf7072f3f!}

{!LANG-333f4d97abc25d86fc735618debd8933!}

298. {!LANG-39e1fa63c8f21e149bd851591144c966!}

{!LANG-13a3c7b56caff8eed69a48f14017b1ab!}

299. {!LANG-a5b593047da767b7ada620a061126431!}

{!LANG-5caed80da815bda39236b4411783432f!}

300. {!LANG-a4a02e0b3d151225285ea6527278bcfa!}

{!LANG-11233f8478a7c00a26bd2543d53ea375!}

{!LANG-8cca82892b9553439a07b89fdaf732e4!}

301. {!LANG-18a8522422dffa7b566b5e45e3371f00!} {!LANG-f4d5d0c0671be202bc241807c243e80b!} {!LANG-c3be117041a113540deb0ff532b19543!} {!LANG-7ff34ef51a2e1be2e45efae428326dcf!}

{!LANG-ae6c349c3a4796c5896238d9c4427479!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-c0ba0b0c7d17e5839705f2aff16b6a1f!} {!LANG-c3be117041a113540deb0ff532b19543!} {!LANG-7ff34ef51a2e1be2e45efae428326dcf!}

302. {!LANG-415d2854e12c8d51d1f252712cfcf895!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-f932796986fef3b79aada48e2953cb89!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-6ef60c7bb4222523c74c8efe553a04eb!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-c45f6b8f93b133c55e7bafbe05d47c7b!}

{!LANG-505842ab3ede4c4abf23721e68104657!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-d6fdd5085d024de2bdd4071c602ab6b0!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-498b0ed6d55ed2202a54658c1337c9f8!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-c45f6b8f93b133c55e7bafbe05d47c7b!}

303. {!LANG-235b051baa17e048978e445b5f089ba0!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-05547b0f6b47b184300d50b7c1817942!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-5351fb731cf65a40f99eff9a2b846c37!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-efebebc761f18c8c9659128cd07148e5!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-b2cdd03e4eb633b5bc8cce4361d5a3b1!}

{!LANG-4c4b238f21b55cf208d478398a09248a!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-bacb1d0209372aff100649030d8d451c!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-34cde2385922202fa9d072ee82d712c3!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-5bede82b097e2a74266644494e5b3812!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-6b6941936d8f6f9c77cd9744a6e83b9e!}

304. {!LANG-25e8ef6ff7ec4989063260a941dbed29!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-cb7c120ae6f16e4a9bf0759a4aec5fe4!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} / {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-391d4e282740467812347d4c583591d8!}

{!LANG-078197da8a61a1e8cc2879b17a27cb8b!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-5a5472ec29f06bebe560e3d971f26b4d!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-de268838ac3b7225125416485d03d8f2!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} / {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-391d4e282740467812347d4c583591d8!}

305. {!LANG-415d2854e12c8d51d1f252712cfcf895!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-ec9affa36594cee6447ab5cd4d6aa637!} {!LANG-c3be117041a113540deb0ff532b19543!} {!LANG-213af6a5980ad34ca0b03c3fde98f8e9!}

{!LANG-5d0378888071db7eeda87d1412505417!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-e7da543fdd23376eb75d8875efafde66!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-a07a394b5f82289ddd20c29cd0c85064!} {!LANG-c3be117041a113540deb0ff532b19543!} {!LANG-c03a99e77e26fe03930b08cc9906d7a1!}

306. {!LANG-3c3c448205491c7cffe977a83657225e!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-37e552d8151336a44f59d0cecca2a810!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-490f1540229358c2f8adf30b770f6ddb!} {!LANG-76febbfccefa976a5d03ecce35784e32!} {!LANG-de268838ac3b7225125416485d03d8f2!} {!LANG-b5b78ea4a4ded2d6d906b6a055958844!} /{!LANG-eb88d9e170e81bf6157f2132e797602a!} {!LANG-391d4e282740467812347d4c583591d8!}

{!LANG-315b1c5ad66cd846970bd7db4e229799!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-8dff3d1d9bcc55bb494a70c0dcadeb8c!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-3472ed98793d403103e0049f882c6bde!} {!LANG-76febbfccefa976a5d03ecce35784e32!} {!LANG-121891b8688aedf3b852b6072badb99d!} {!LANG-b5b78ea4a4ded2d6d906b6a055958844!} /{!LANG-eb88d9e170e81bf6157f2132e797602a!} {!LANG-391d4e282740467812347d4c583591d8!}

307. {!LANG-415d2854e12c8d51d1f252712cfcf895!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-11f0f72a8afb1c956f5c2a0c607f5665!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-39b42e072153da0e7d254d454effae09!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-d0d887ffa76abb945766f4e56aabe0d7!} {!LANG-ea092d2967a4d0e699149eeaeef9a19c!}

{!LANG-bbb23309bbc1d3c88c031a6966709b8c!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-7a14509d343868087bc886e73e74d106!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-39b42e072153da0e7d254d454effae09!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-f74a12032e46870c7b9df7b146d2bd66!} {!LANG-f4d5d0c0671be202bc241807c243e80b!} .

308. {!LANG-ce8b2109ce29c35ac03f461682fd3247!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-366df3b751bc70389fe361330534b817!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-d4e65b075937397696357ecd9b7958b9!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-2a0703a12f8a9b45b4bdc76a0bee8dd5!} {!LANG-f4d5d0c0671be202bc241807c243e80b!} {!LANG-a20b2955ac632fbaae1db4bb7ea59e19!}

{!LANG-b59bc660fa00abce0976ebf191045000!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-c7c4b9be7ac6f0f59073884b4d7ab3d3!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-d4e65b075937397696357ecd9b7958b9!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-a13e14fffe305186ae8b804f712a4214!}

309. {!LANG-18a8522422dffa7b566b5e45e3371f00!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-39638fe716fc3d63b59d536de33325ec!} {!LANG-c3be117041a113540deb0ff532b19543!} {!LANG-495fb4287562134acc299d7d61834dc0!}

{!LANG-a673c83c5730145cb7e300995c11b384!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-c58edd2fcfa216a1de828929abc2d066!} {!LANG-72cfd272ace172fa35026445fbef9b03!} {!LANG-0193dd3cc6c42e6584f03960899af75e!}

310. {!LANG-670c03012fadfbd26229cbf225abc763!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-2a4dab29e74c353d0f8cfd2cd01c5d3e!} {!LANG-76febbfccefa976a5d03ecce35784e32!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!}

{!LANG-04c37cf963c918351b591332cf4a3b02!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-7cb73cac67baf1e4f68a1cfb749f6225!} {!LANG-76febbfccefa976a5d03ecce35784e32!} {!LANG-f7f842c3466464fad867f15e57434079!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-15b92746a611d2421abeaea0001b7322!}

311. {!LANG-14afa2fed2ca30177af44e4b58c1766c!} {!LANG-60b725f10c9c85c70d97880dfe8191b3!} {!LANG-78cc500b2e2b169d04a48983fc823803!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} ?

{!LANG-675b8a50ff0da2901ba21181194b440f!} {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!} {!LANG-bd2bba20aa389db2e930729e72c70064!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} ?

312. {!LANG-42bce445c366edbb1b4511c8db73c970!} {!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!} {!LANG-61fe5f43aa85ab5fed4bda49f57f0f75!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-7101e815e42b192a0c6e472bb9f3e95a!}

{!LANG-d63a339cfb904b725b49e134127e9d25!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-352afacb500cbaac95a8a9850d5d9d54!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-00705becc62e2f460ce904b641e192e9!}

313. {!LANG-dd93ae2b010e6482a7db94a2a47a218c!} A a V{!LANG-ce4fad6ef0e27e36a408458d126f1927!} A{!LANG-9b3f98ac91a4c173bb5bd22397b15e46!} V{!LANG-052e7cbe2a94a8949fe3fb9e2b72c20d!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-338c1d38312422b5aa1ee6aee4898a93!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-0fdeda2c6bfae7bcc0b32664d726fa64!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!}{!LANG-1fd13bb6117c4fc5648627bbde5a4e73!} {!LANG-73fe86e2ea14a0360feaa07d896b1228!} {!LANG-50f76d49daaa3329b8d91ffdd9a80902!} A {!LANG-79fb892d64bd0be469f5667245300e68!}

{!LANG-99a33530289b029dcfdba99f8d3e2d82!} A a V{!LANG-97dec74aaf0257ff4fe088eec422f8a0!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-338c1d38312422b5aa1ee6aee4898a93!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-0fdeda2c6bfae7bcc0b32664d726fa64!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!} rovnako {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-3018d67ad28d462703e44d5feb10fcd9!} A{!LANG-84ba71dda493e0636eda63e6bb713ca5!}

314. {!LANG-c6ac887a27b938c44642ba62384ad5d9!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-c085d163746da976ef5b760232d9d6de!} {!LANG-bf35d7536c785cf06730d5a40301eba2!} {!LANG-1a328e935c5cca9cc07b1eeeaf780a6d!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-271bd3ec593c450ef67556d5170bad0e!}

{!LANG-ac8da3f4ce1d06623d467d68c0af06b5!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-33743326e39cf09fc97a94a863ba2646!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-6ad6bb6a228c78028922f878500be1c7!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-5fadb1ec94ef740d4baeecad931034ba!}

315. {!LANG-018e186bb482630696d9cad3bf6f9257!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-3b19a8da19ac9ed31aabfc12237a6440!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-1a5d9e7a95d20abde84b91307ddf06c7!}

{!LANG-7d3cfb2732c98f65ad4973c9529dc97d!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-324903fa64f4885497f9f6816639ba7d!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-c7a7c31d792c62f0f4f7d7f4fe775964!}

316. {!LANG-aa13faa583c31858c535f1ff6503916b!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-1280c24186a053cc71c37973fcd18589!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-f5086ec3c094299ccf7e540d5cffde2d!} {!LANG-5cf6b7a26bd75c492acdd292b74bade1!} {!LANG-f25e43ce2929abbb9510c4e7445e7f13!}

{!LANG-07592df9bd4a029a68444d9010442b42!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-598a102ac7001edca9382bec5b7582c3!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-56952f66d4b982735700cc55b1bc3b6b!} {!LANG-5cf6b7a26bd75c492acdd292b74bade1!} {!LANG-139636aa518029323ea809512a9c1e87!}

317. {!LANG-23d3fd035c66f20054830f871241f117!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-3b6a95b24d42e123aacb13a13ef6fa64!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!}

{!LANG-6410b3ac83785a7e601e376c9399e221!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-6251f6ff209625e3ece3281f49294c68!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-5e368e50e48d4166030341daf7c8384f!}

318. {!LANG-a3109053b249b5a9c222ecb1d61fc31b!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-fdeaee0efa40573196904c7b22739d1c!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-d39ff1c7ad06313629b724ed488aca40!}

{!LANG-f8c06b74d293e85f6e91faaac83e731a!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-c6a9a17fe9d316f8703532dc5a3974ca!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-8174d1ccddacd374b2bc0d6c8d6c27a1!}

319. {!LANG-5415f81b8a042b4db052212e8bb1e8ce!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-13dcf813a7f46e579598475d5ea54905!} t. {!LANG-5c87d3aa36187f57563a792ab5fe62a6!} a {!LANG-7b4102cc13f02dedf6b9f3b8b464f968!}

{!LANG-645b817230d12eee3757e79573ee6038!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-da313fc7b01ecf34d2bcee8f59dcca93!} t. {!LANG-29b2daac0e9dab16762fdcd7f16b1960!} a {!LANG-0213a907d1409956e42a11b8d93637e8!}

320. {!LANG-b0333ca1efbb0725982aa411147e43a6!} A{!LANG-3df26e4212fd140112390148ac561353!} {!LANG-91972d8535094da52cb91e694f9e2aaf!} {!LANG-205db429ad9fd0d7e0f2e906c0538637!} V{!LANG-fe41af1b55e3c7d2c46259e890832d8d!} t. {!LANG-402a4a7e1689a38db29fb418ca2e1d3c!} A{!LANG-661bdb6c0f989a804f78ecfad8c4d389!} a {!LANG-cff9ce67b103015b3ec3866a60ee5b4b!}

{!LANG-a30a7cc433384156d4c9d5f41e4ae4c5!} {!LANG-bf072e9119077b4e76437a93986787ef!}{!LANG-50eebc73005c8aa41ef69d63796cbdfc!} v. {!LANG-8f7b5d7e983ab97d06fef1bdeea22fff!} V{!LANG-1f30dd0be3ee0384c0667de973b971e1!} a {!LANG-68e1933443c8ff442291dcf665cf910a!} A{!LANG-aa7472ce993a96cb17c16d97ee23e3fd!}

321. {!LANG-6563656253573e1815dbf5ba0a99e8f7!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-2008f02e07addebc260907832b4ae785!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-6300a7145af0f027bc0ea8898fd8a238!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-805615686183439c4aca56cae4d48eb1!} {!LANG-f4d5d0c0671be202bc241807c243e80b!} {!LANG-dbbd9b20b42141c2493937dc04ff0585!}

{!LANG-e4f43bdd11cfc8f73e6791d610464ac6!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-620cf283772864bd2699406f5f21a2c2!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-6300a7145af0f027bc0ea8898fd8a238!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-0c0823a9e9e716a774218dc671ac6850!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-805615686183439c4aca56cae4d48eb1!} {!LANG-f4d5d0c0671be202bc241807c243e80b!} {!LANG-fdf200088c06c5a1e3cdda63edde2a9b!}

322. {!LANG-bd98178a530a285d4b9f29bf25250a9b!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-56f47a329f647ece7d3e9e1a2daf1eb8!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-88837663328657509548fbd52b636325!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-984074daa675b6fbf78f77391f3238b0!}

{!LANG-df9628e7e0dc0c667c7b52988030e762!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-0481a56a64beff6b536d4ac1945fec38!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-04d35e398943ab638a24af18b2f4a4e9!} {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!} {!LANG-aad648c1c0bdd26d2d525e1e9d8bf788!}

323. {!LANG-05975ac6261002276f7dae4fc6272df1!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-49843a67ac68c8aa94236a75d8286c63!} {!LANG-8cb4b1f56bfa25055e767c82dc136517!} {!LANG-a4d048d6abd84b71f349216d33980388!} {!LANG-d1c220e9f0d2a3d2726d66baf844341c!}

{!LANG-d3336d12fe75494a8831c50ae178d102!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-44764ff2f9052c1d27811a60b121223c!} {!LANG-8cb4b1f56bfa25055e767c82dc136517!} {!LANG-7ae530f422ef17cfeab988bc643b3082!} {!LANG-d1c220e9f0d2a3d2726d66baf844341c!}

324. {!LANG-f2f7eb504f1cb4d22526c70367df6953!} A a V {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-fb4cbf39eb0b08e12e42b0c3f233010f!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!}{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} t. {!LANG-9385e36dbd5b4ae92504bc36c2945885!} a {!LANG-b11ed0ef9f838e289b8baf7c37b8ddab!}

{!LANG-0ac27dd4e6e52c7ea61ff0a8ba623b2a!} A a V{!LANG-00d39d365a48b0cc0222282bb963049d!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-42c165da20b07216fbeacfb7d5c24a16!} {!LANG-9ec8532330ca1c7643ebd0a7d8a7e18f!}{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} t. {!LANG-edb1810887262bcfa65e45892db64b76!} a {!LANG-a91fba1d79670214433323a819a47f4c!}

325. {!LANG-10c3d961ba5f87ec319f3b45455a4740!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-36fd7dcf5becac3d03f7a27d0ce137b3!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-ea6114794219837028f667e39524e442!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-fc38bb7f60000fea688ba974dac57324!}

{!LANG-279e12186da9730059a1342eed570ac6!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-4df0be9768fc3040ee6ed5dc9cfd9013!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-897d83fc0634f075066328590273db1e!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-1b7d067645723b82bca52002934eeb36!}

326. {!LANG-57e02f93745ddc08fae703530e3b99fe!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-ec99c61470054924a4a473ef93eee2e3!} v. {!LANG-be5b150c2ad35d437ef24d7f56897940!} {!LANG-01fbdc44ef819db6273bc30965a23814!} {!LANG-443399287158da382c29df4e1c0c4a85!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-b54b3bc3878c0e7023708f8aba5a3da9!}

{!LANG-e17b48fb2452f9339ae835e2140f3656!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-9438c8211de2ebdb065b3f9471e57d96!} v. {!LANG-1856c069f43894ff0fa7e2592f2f8b6c!} {!LANG-01fbdc44ef819db6273bc30965a23814!} {!LANG-0dd6f87f11d423573adbcbf94e523f80!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-b54b3bc3878c0e7023708f8aba5a3da9!}

327. {!LANG-29eb298a37dcf815315c64e6d969fea8!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-d10853022a4edc0130234d9e8a05b30b!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-5b56f808445b6fc95c6820565c3229c1!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-6fff378b40ddc328d9a34f8b5882874f!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-5d7506dc3a9b675376201ae8624bf6c0!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-1e86e5f58ca2fe83b0bc314c6b0a8dd1!}

{!LANG-f40f8c3565b7b6d6bbbac6cd0262e043!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-d10853022a4edc0130234d9e8a05b30b!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-ac8e88ba4e7f8d04b23b36c98c1ab64f!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-50b1ce5fafe6e91a94ec48e101106f26!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-6fff378b40ddc328d9a34f8b5882874f!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-4a43b1115b1b3ae243e7dd8fd2ef7f9f!}

328. {!LANG-81587d404f510b4b2185ac14d74f2805!} A a {!LANG-30cf3d7d133b08543cb6c8933c29dfd7!}{!LANG-7bcc3fa924f8b76752fdebecccff8fd8!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-043dc8c82bf743dd85c58939a8cd052a!} {!LANG-e85dde330c34efb0e526ee3082e4353b!} {!LANG-1a7b2ee7e2335ea358a15fddd79fac24!} v. {!LANG-ef1079302506b547733d6d3899c894b7!} A{!LANG-4b7fd6b1cf23c75dd32f452d6bc3e670!} {!LANG-01fbdc44ef819db6273bc30965a23814!} V{!LANG-7a718c9ca5d467b95d5dcc09b2d11f97!}

{!LANG-55847f58c2b18749e0872510117a17e0!} A a {!LANG-30cf3d7d133b08543cb6c8933c29dfd7!}{!LANG-8561dce16b13fe7cca6d3d76704ab8f5!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!} {!LANG-c5d5d727996eafefa67fdf04e948d473!} a {!LANG-570ba2700b752d33ec190fdb8dc5ed88!} v. {!LANG-4b29b2cc966c6b363600db8f3cd7ac28!} A{!LANG-4b7fd6b1cf23c75dd32f452d6bc3e670!} {!LANG-01fbdc44ef819db6273bc30965a23814!} {!LANG-a1549453b264357f39d0304d495e4e42!} {!LANG-30cf3d7d133b08543cb6c8933c29dfd7!}{!LANG-fd3ac420247c3e5df5f69642bdbb6234!}

329. {!LANG-05975ac6261002276f7dae4fc6272df1!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-3f00b030cb8f29b49db0fdce7fc5250c!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-bcd9a5dd6337d8463757c7e27b1f5d87!} {!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!} {!LANG-67f577f00d1b07197eaeea2441900cd5!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-b148837a35a4340607249a9645655476!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-9bd6114f8c045d7a352d1fb1f1af7031!}

{!LANG-43de3804c604ca4da7ff7a7b3cda3f5f!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!} {!LANG-9c7116c84d3e2b42d0e240eba35598d5!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-3caf2dde9632f187c38883766000f6dd!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-6bf66d511e4a5384840181a68e4da476!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-b148837a35a4340607249a9645655476!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-fb5e1f60d3a1e144837ba780ad055e2a!}

330. {!LANG-4c2670702b5ea74690a7a7216bca44a6!} {!LANG-c2cbd03d55edd46f3aec53c1e393456c!} a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-96905229cfa46a83b279e7ea49dab5c3!} A a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-7858615f4dfce966520c64da7cc28f1d!} V A a V{!LANG-9b9ffb60671a80d37e3d92d1291114f6!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-8abc286e582fecb9fbdff86b9960a1aa!} A a {!LANG-b39bfc0e26a30024c76e4dcb8a1eae87!}{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-8abc286e582fecb9fbdff86b9960a1aa!} V a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-073edd9d161a0e04577be70f8b62c938!}

{!LANG-f214e020fa1bef75d2d17205e718fa24!} {!LANG-c2cbd03d55edd46f3aec53c1e393456c!} a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-96905229cfa46a83b279e7ea49dab5c3!} A{!LANG-7858615f4dfce966520c64da7cc28f1d!} V a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-b9dab9dbb76fd7289233f259381a6b11!} A a V{!LANG-64660c18838a8bf9ea00ddb07e5791c2!} {!LANG-537ac3fd61e64b26ee8f05ad7d15aafa!} {!LANG-8abc286e582fecb9fbdff86b9960a1aa!} A a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-bf21428547d17b89999f3a1a0c361c96!} {!LANG-46e29e7e0aa8e6033dbbc285732f3cab!} {!LANG-a260fa92c282e021478c09d5995d3f9d!} V a {!LANG-ad9ca0c72bed9a352629893dadf74d1c!}{!LANG-47548df12743c0664fb83e7c6634a354!} {!LANG-cf9a2cec0f661ae70b64ef89b5f4c61d!} {!LANG-ba643c6e1ae631b4e425abc5b8428211!}