Napíšte rovnicu pre priamku. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. V článku" " Sľúbil som vám, že analyzujete druhý spôsob riešenia uvedených problémov na nájdenie derivácie s grafom danej funkcie a dotyčnicou k tomuto grafu. Túto metódu preskúmame v , Nenechajte si ujsť! Prečo?Ďalšie?

Faktom je, že sa tam použije vzorec rovnice priamky. Samozrejme, jeden by mohol jednoducho ukázať tento vzorec a poradiť vám, aby ste sa ho naučili. Ale je lepšie vysvetliť, odkiaľ pochádza (ako je odvodený). Je to nevyhnutné! Ak ho zabudnete, rýchlo ho obnovtenebude ťažké. Všetko je podrobne uvedené nižšie. Takže máme dva body A na rovine súradníc(x 1; y 1) a B (x 2; y 2) je nakreslená priamka cez uvedené body:

Tu je priamy vzorec:

*To znamená, že pri dosadení konkrétnych súradníc bodov dostaneme rovnicu v tvare y=kx+b.

** Ak je tento vzorec jednoducho „zapamätaný“, potom je vysoká pravdepodobnosť, že sa zameníte s indexmi X. Okrem toho môžu byť indexy označené rôznymi spôsobmi, napríklad:

Preto je dôležité pochopiť význam.

Teraz odvodenie tohto vzorca. Všetko je veľmi jednoduché!

Trojuholníky ABE a ACF sú podobné ostrý roh(prvý znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov). Z toho vyplýva, že pomery zodpovedajúcich prvkov sú rovnaké, to znamená:

Teraz jednoducho vyjadríme tieto segmenty z hľadiska rozdielu v súradniciach bodov:

Samozrejme, nedôjde k chybe, ak napíšete vzťahy prvkov v inom poradí (hlavná vec je zachovať korešpondenciu):

Výsledkom je rovnaká rovnica priamky. To je všetko!

To znamená, že bez ohľadu na to, ako sú označené samotné body (a ich súradnice), po pochopení tohto vzorca vždy nájdete rovnicu priamky.

Vzorec možno odvodiť pomocou vlastností vektorov, ale princíp odvodenia bude rovnaký, keďže budeme hovoriť o proporcionalite ich súradníc. V tomto prípade funguje rovnaká podobnosť pravouhlých trojuholníkov. Podľa môjho názoru je vyššie popísaný záver zrozumiteľnejší)).

Zobraziť výstup cez vektorové súradnice >>>

Nech je zostrojená priamka na súradnicovej rovine prechádzajúcej dvomi dané body A (x 1; y 1) a B (x 2; y 2). Označme ľubovoľný bod C na priamke so súradnicami ( X; r). Označujeme tiež dva vektory:

Je známe, že pre vektory ležiace na rovnobežných čiarach (alebo na jednej čiare) sú ich zodpovedajúce súradnice proporcionálne, to znamená:

- zapíšeme rovnosť pomerov zodpovedajúcich súradníc:

Zvážte príklad:

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body so súradnicami (2;5) a (7:3).

Nemôžete dokonca postaviť samotnú linku. Aplikujeme vzorec:

Je dôležité, aby ste pri zostavovaní pomeru zachytili korešpondenciu. Nemôžeš sa pokaziť, ak napíšeš:

Odpoveď: y=-2/5x+29/5 pokračujte y=-0,4x+5,8

Aby ste sa uistili, že výsledná rovnica je nájdená správne, nezabudnite ju skontrolovať - ​​dosaďte do nej súradnice údajov v stave bodov. Mali by ste získať správnu rovnosť.

To je všetko. Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.

S pozdravom Alexander.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Priamku prechádzajúcu bodom K(x 0; y 0) rovnobežnú s priamkou y = kx + a nájdeme podľa vzorca:

y – y 0 \u003d k (x – x 0) (1)

Kde k je sklon priamky.

Alternatívny vzorec:
Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1 ; y 1) rovnobežná s priamkou Ax+By+C=0 je vyjadrená rovnicou

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K( ;) rovnobežne s priamkou y = x + .

Príklad č. 1. Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (-2,1) a súčasne:
a) rovnobežne s priamkou 2x+3y -7 = 0;
b) kolmo na priamku 2x+3y -7 = 0.
Riešenie . Predstavte si rovnicu s faktor sklonu v tvare y = kx + a . Za týmto účelom prenesieme všetky hodnoty okrem y do pravá strana: 3y = -2x + 7 . Potom pravú stranu vydelíme koeficientom 3 . Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Nájdite rovnicu NK prechádzajúcu bodom K(-2;1) rovnobežným s priamkou y = -2 / 3 x + 7 / 3
Nahradením x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
alebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 alebo 3 roky + 2x +1 = 0

Príklad č. 2. Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s priamkou 2x + 5y = 0 a tvoriacej spolu so súradnicovými osami trojuholník, ktorého obsah je 5.
Riešenie . Keďže čiary sú rovnobežné, rovnica požadovanej čiary je 2x + 5y + C = 0. Oblasť pravouhlého trojuholníka, kde a a b sú jeho nohy. Nájdite priesečníky požadovanej čiary so súradnicovými osami:
;
.
Takže, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vo vzorci pre oblasť nahraďte: . Dostaneme dve riešenia: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y - 10 = 0 .

Príklad č. 3. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2; 5) a rovnobežky 5x-7y-4=0 .
Riešenie. Táto priamka môže byť vyjadrená rovnicou y = 5/7 x – 4/7 (tu a = 5/7). Rovnica požadovanej priamky je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), t.j. 7(y-5)=5(x+2) alebo 5x-7y+45=0.

Príklad č. 4. Riešením príkladu 3 (A=5, B=-7) pomocou vzorca (2) nájdeme 5(x+2)-7(y-5)=0.

Príklad číslo 5. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2;5) a rovnobežnej priamky 7x+10=0.
Riešenie. Tu A=7, B=0. Vzorec (2) dáva 7(x+2)=0, t.j. x+2=0. Vzorec (1) nie je použiteľný, pretože túto rovnicu nemožno vyriešiť vzhľadom na y (táto priamka je rovnobežná s osou y).

Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: zvážte taký typ rovnice ako všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu si upevníme ilustráciami a riešením praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C \u003d 0, kde A, B, C sú niektoré reálne čísla(A a B sa nerovnajú nule súčasne) definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine. Na druhej strane je každá čiara v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

1. Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje priamku v rovine.

Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0 , y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0 . Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítaním od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C \u003d 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 dostaneme novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je ekvivalentné A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je potrebná a dostatočný stav kolmosť vektorov n → = (A , B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) . Množina bodov M (x, y) teda definuje v pravouhlom súradnicovom systéme priamku kolmú na smer vektora n → = (A, B) . Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.

Preto rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definuje určitú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentnú rovnicu A x + B y + C \u003d 0 definuje rovnakú čiaru. Tým sme dokázali prvú časť vety.

1. Dokážme, že ľubovoľnú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine možno dať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0 .

Postavme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovinu; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A , B) .

Nech existuje aj nejaký bod M (x , y) - plávajúca bodka priamky. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny súčin je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepíšme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definujme C: C = - A x 0 - B y 0 a nakoniec získame rovnicu A x + B y + C = 0 .

Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica, ktorá vyzerá Ax + By + C = 0 - toto všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeO x y .

Na základe dokázanej vety môžeme konštatovať, že priamka vedená na rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme a jej všeobecná rovnica sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.

Zvážte konkrétny príklad všeobecná rovnica priamky.

Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, ktorá zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslite na výkres danú priamku.

Tvrdiť možno aj toto: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov danej priamky.

Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dostaneme vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky nenulovým číslom λ. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Kompletná všeobecná rovnica priamky- taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, v ktorej sú čísla A, B, C nenulové. Inak platí rovnica neúplné.

Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

1. Keď A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica sa zmení na By + C \u003d 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme O x y, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x nadobudne premenná y hodnotu - CB. Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C \u003d 0, keď A \u003d 0, B ≠ 0, definuje polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - CB.
2. Ak A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, všeobecná rovnica bude y \u003d 0. Takáto neúplná rovnica definuje os x Ox.
3. Keď A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C \u003d 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s osou y.
4. Nech A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, potom neúplná všeobecná rovnica bude mať tvar x \u003d 0 a toto je rovnica súradnicovej čiary Oy.
5. Nakoniec, keď A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, neúplná všeobecná rovnica má tvar A x + B y \u003d 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. Dvojica čísel (0 , 0) totiž zodpovedá rovnosti A x + B y = 0 , keďže A · 0 + B · 0 = 0 .

Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou y a prechádza bodom 2 7 , - 11 . Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Priamka rovnobežná s osou y je daná rovnicou tvaru A x + C \u003d 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza a súradnice tohto bodu zodpovedajú podmienkam neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je správna:

A27 + C = 0

Z nej je možné určiť C tak, že A dáme nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7 . V tomto prípade dostaneme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú rovnicu priamky: 7 x - 2 = 0

odpoveď: 7 x - 2 = 0

Príklad 2

Na výkrese je znázornená priamka, je potrebné zapísať jej rovnicu.

Riešenie

Daný výkres nám umožňuje jednoducho zobrať počiatočné údaje na riešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná čiara je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + С = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním prechádza daná priamka, budú spĺňať rovnicu priamky B y + С = 0, potom platí rovnosť: В · 3 + С = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B \u003d 1, v tomto prípade z rovnosti B · 3 + C \u003d 0 nájdeme C: C \u003d - 3. Používame známe hodnoty B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.

odpoveď: y-3 = 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom roviny

Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Odčítajte ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normálny vektor n → \u003d (A, B) .

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje napísať všeobecnú rovnicu priamky pre známe súradnice normálový vektor priamky a súradnice niektorého bodu na tejto priamke.

Príklad 3

Daný je bod M 0 (- 3, 4), cez ktorý priamka prechádza, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamky má tvar A x + B y + C = 0 . Daný normálny vektor vám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz nájdime hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) daného podmienkou úlohy, ktorým čiara prechádza. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0 .

odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.

Príklad 4

Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.

Riešenie

Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Počiatočné údaje naznačujú, že x 0 \u003d - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude platiť nasledujúca rovnosť:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovnice tej istej priamky v rovine. Voľba typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné si vybrať ten, ktorý je pre jeho riešenie pohodlnejší. Tu je veľmi užitočná zručnosť previesť rovnicu jedného druhu na rovnicu iného druhu.

Najprv zvážte prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ak A ≠ 0, potom člen B y prenesieme na pravú stranu všeobecnej rovnice. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y .

Túto rovnosť môžeme zapísať ako podiel: x + C A - B = y A .

Ak B ≠ 0, ponecháme iba člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x \u003d - B y - C. Vyberieme - B zo zátvoriek, potom: A x \u003d - B y + C B.

Prepíšme rovnosť ako podiel: x - B = y + C B A .

Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Je potrebné ho previesť na kanonickú rovnicu.

Riešenie

Pôvodnú rovnicu zapíšeme ako 3 y - 4 = 0 . Ďalej konáme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravej strane vyberieme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.

Na transformáciu všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najskôr vykoná prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonickej rovnice priamky na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapíšte si parametrické rovnice tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz zoberme obe časti výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno previesť na priamku so sklonom y = k x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod na ľavej strane necháme výraz B y , zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe časti výslednej rovnosti B , ktorá je odlišná od nuly: y = - A B x - C B .

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0 . Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Riešenie

Vykonajte potrebné akcie podľa algoritmu:

2 x + 7 rokov = 0 ⇔ 7 rokov - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odpoveď: y = -27 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b \u003d 1. Aby sme urobili takýto prechod, prenesieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe časti výslednej rovnosti vydelíme - С a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Príklad 8

Je potrebné previesť všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.

Riešenie

Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydeľte -1/2 obe strany rovnice: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odpoveď: x-12 + y114 = 1.

Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.

Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu so sklonom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnice:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ak chcete prejsť z parametrického, najprv sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 9

Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod z parametrických rovníc na kanonické:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Prejdime od kanonického k všeobecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odpoveď: y-4 = 0

Príklad 10

Je uvedená rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné vykonať prechod na všeobecný pohľad rovnice.

Riešenie:

Prepíšme rovnicu do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zostavenie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na tom istom mieste sme analyzovali zodpovedajúci príklad.

Teraz sa pozrime na zložitejšie príklady, v ktorých je najprv potrebné určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Známy je aj bod M 0 (4 , 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu danej priamky.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálový vektor priamky, ktorej rovnicu treba napísať, vezmeme smerovací vektor priamky n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na zostavenie všeobecnej rovnice priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Príklad 12

Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5 . Je potrebné napísať všeobecnú rovnicu danej priamky.

Riešenie

Normálový vektor danej priamky bude smerovací vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5 .

Potom n → = (3 , 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0) . Zostavme všeobecnú rovnicu danej priamky:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) píše sa takto:

Sklon priamky prechádzajúcej cez dva dané body je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve čiary dané rovnicami sklonu

r = k 1 X + B 1 ,

Lekcia zo série "Geometrické algoritmy"

Dobrý deň, milý čitateľ!

Dnes sa začneme učiť algoritmy súvisiace s geometriou. Faktom je, že v počítačovej vede existuje veľa problémov s olympiádou súvisiacich s výpočtovou geometriou a riešenie takýchto problémov často spôsobuje ťažkosti.

V niekoľkých lekciách sa budeme zaoberať niekoľkými základnými podproblémami, na ktorých je založené riešenie väčšiny problémov výpočtovej geometrie.

V tejto lekcii napíšeme program pre nájdenie rovnice priamky prechádzajúci daným dve bodky. Na riešenie geometrických problémov potrebujeme určité znalosti z výpočtovej geometrie. Časť hodiny budeme venovať ich spoznávaniu.

Informácie z výpočtovej geometrie

Výpočtová geometria je oblasť počítačovej vedy, ktorá študuje algoritmy na riešenie geometrických problémov.

Počiatočnými údajmi pre takéto problémy môže byť množina bodov v rovine, množina segmentov, mnohouholník (daný napríklad zoznamom jeho vrcholov v smere hodinových ručičiek) atď.

Výsledkom môže byť buď odpoveď na nejakú otázku (napríklad patrí bod do úsečky, či sa dva úsečky pretínajú, ...), alebo nejaký geometrický objekt (napríklad najmenší konvexný mnohouholník spájajúci dané body, plocha mnohouholník atď.).

Problémy výpočtovej geometrie budeme uvažovať iba v rovine a iba v karteziánskom súradnicovom systéme.

Vektory a súradnice

Na uplatnenie metód výpočtovej geometrie je potrebné preložiť geometrické obrázky do reči čísel. Predpokladáme, že na rovine je daný kartézsky súradnicový systém, v ktorom sa smer otáčania proti smeru hodinových ručičiek nazýva kladný.

Geometrické objekty teraz dostávajú analytický výraz. Na určenie bodu teda stačí zadať jeho súradnice: dvojicu čísel (x; y). Segment je možné určiť zadaním súradníc jeho koncov, priamku je možné určiť zadaním súradníc dvojice jeho bodov.

Ale hlavným nástrojom na riešenie problémov budú vektory. Pripomeniem vám preto niekoľko informácií o nich.

oddiel AB, čo má pointu ALE za začiatok (bod aplikácie) a bod IN- koniec sa nazýva vektor AB a označené buď , alebo napríklad tučným malým písmenom ale .

Na označenie dĺžky vektora (teda dĺžky zodpovedajúceho segmentu) použijeme symbol modulu (napríklad ).

Ľubovoľný vektor bude mať súradnice rovné rozdielu medzi zodpovedajúcimi súradnicami jeho konca a začiatku:

,

bodky tu A A B mať súradnice resp.

Na výpočty použijeme koncept orientovaný uhol, teda uhol, ktorý zohľadňuje vzájomnú polohu vektorov.

Orientovaný uhol medzi vektormi a A b kladné, ak je rotácia preč od vektora a do vektora b sa vykonáva v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a zápornom v druhom prípade. Pozri obr.1a, obr.1b. Hovorí sa tiež, že dvojica vektorov a A b pozitívne (negatívne) orientované.

Hodnota orientovaného uhla teda závisí od poradia enumerácie vektorov a môže nadobúdať hodnoty v intervale.

Mnoho problémov výpočtovej geometrie používa koncept vektorových (skosených alebo pseudoskalárnych) súčinov vektorov.

Vektorový súčin vektorov a a b je súčinom dĺžok týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi:

.

Vektorový súčin vektorov v súradniciach:

Výraz vpravo je determinant druhého rádu:

Na rozdiel od definície uvedenej v analytickej geometrii ide o skalár.

Znamienko krížového súčinu určuje vzájomnú polohu vektorov:

a A b pozitívne orientovaný.

Ak je hodnota , potom pár vektorov a A b negatívne orientované.

Krížový súčin nenulových vektorov je nula vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne ( ). To znamená, že ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach.

Uvažujme o niekoľkých jednoduchých úlohách potrebných na riešenie zložitejších.

Definujme rovnicu priamky súradnicami dvoch bodov.

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva rôzne body dané ich súradnicami.

Nech sú na priamke uvedené dva nezhodné body: so súradnicami (x1;y1) a so súradnicami (x2; y2). Podľa toho má vektor so začiatkom v bode a koncom v bode súradnice (x2-x1, y2-y1). Ak je P(x, y) ľubovoľný bod na našej priamke, súradnice vektora sú (x-x1, y - y1).

Pomocou krížového súčinu možno podmienku kolinearity vektorov zapísať takto:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Poslednú rovnicu prepíšeme takto:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Takže priamka môže byť daná rovnicou v tvare (1).

Úloha 1. Sú uvedené súradnice dvoch bodov. Nájdite jeho vyjadrenie v tvare ax + by + c = 0.

V tejto lekcii sme sa oboznámili s niektorými informáciami z výpočtovej geometrie. Vyriešili sme úlohu hľadania rovnice priamky súradnicami dvoch bodov.

V ďalšej lekcii napíšeme program na nájdenie priesečníka dvoch priamok daných našimi rovnicami.