Bočná strana je pravidelný trojuholník. Čo robí pyramídu geometrickým zázrakom?

Definícia

Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlých strán, ktoré sa zhodujú s strany mnohouholníka.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trojuholníky \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) atď. sa volajú bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. – bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – top.

Výška pyramídy sú kolmicou zostupujúcou z vrcholu pyramídy k rovine základne.

Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.

Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;

\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom kružnice opísanej blízko základne;

\((c)\) bočné rebrá sú sklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.

\((d)\) bočné steny sklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.

Pravidelný štvorsten- Toto trojuholníková pyramída, ktorého všetky strany sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.

Veta

Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.

Dôkaz

Zistime výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.

1) Dokážme, že z \((a)\) vyplýva \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Pretože \(PH\perp \alpha\), potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, čo znamená, že trojuholníky sú pravouhlé. To znamená, že tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To znamená \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\), teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké na dvoch nohách. To znamená, že ich uhly sú tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).

3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a pozdĺž nohy a ostrý roh. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((d)\) .

Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom \(H\) je stred opísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmica na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú projekcie kolmé na strany) naklonené \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch stranách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovné.

5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že segmenty \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú rovnaké rovný. To podľa definície znamená, že \(H\) je stred kruhu vpísaného do základne. Ale pretože V prípade pravidelných mnohouholníkov sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom je \(H\) stredom kružnice opísanej. Chtd.

Dôsledok

Bočné plochy pravidelná pyramída– rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Definícia

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.

Dôležité poznámky

1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy spadá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo stredníc) základne (základňa je pravidelný trojuholník).

2. Výška pravidelného štvorbokého ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).

3. Výška je správna šesťhranná pyramída padá v priesečníku uhlopriečok základne (základňa je pravidelný šesťuholník).

4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.

Definícia

Pyramída je tzv pravouhlý, ak je jedna z jeho bočných hrán kolmá na rovinu podstavy.

Dôležité poznámky

1. V pravouhlej pyramíde je hrana kolmá na základňu výškou pyramídy. To znamená, že \(SR\) je výška.

2. Pretože \(SR\) je teda kolmá na akúkoľvek čiaru od základne \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\)– pravouhlé trojuholníky.

3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- tiež pravouhlý.
To znamená, že akýkoľvek trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúca z vrcholu tejto hrany ležiacej na základni bude pravouhlý.

\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]

Veta

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \

Dôsledky

Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.

1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravý trojuholník.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objem pravidelný štvorsten rovná sa \(V_(\text(pravé tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Veta

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovičnému súčinu obvodu základne a apotému.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definícia

Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\)) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\), ktoré sú si navzájom podobné.

Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.

Dôležité poznámky

1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.

2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (teda pyramídy získanej prierezom pravidelného ihlana) je výška.

Naďalej zvažujeme úlohy zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Už sme študovali problémy, kde je daná podmienka a je potrebné nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi alebo uhol.

Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník, ostatné steny sú trojuholníky a majú spoločný vrchol.

Pravidelná pyramída je pyramída, na základni ktorej leží pravidelný mnohouholník a jej vrchol sa premieta do stredu základne.

Správne štvorhranná pyramída— základňa je štvorec Vrchol pyramídy sa premieta v priesečníku uhlopriečok základne (štvorca).

ML - apotém
∠MLO - dihedrálny uhol na základni pyramídy
∠MCO - uhol medzi bočným okrajom a rovinou základne pyramídy

V tomto článku sa pozrieme na problémy na vyriešenie pravidelnej pyramídy. Musíte nájsť nejaký prvok, bočnú plochu, objem, výšku. Samozrejme, musíte poznať Pytagorovu vetu, vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy a vzorec na nájdenie objemu pyramídy.

V článku "" predstavuje vzorce, ktoré sú potrebné na riešenie problémov v stereometrii. Takže úlohy:

SABCD bodka O- stred základne,S vrchol, SO = 51, A.C.= 136. Nájdite bočnú hranuS.C..

IN v tomto prípade základňa je štvorec. To znamená, že uhlopriečky AC a BD sú rovnaké, pretínajú sa a sú rozpoltené priesečníkom. Všimnite si, že v pravidelnej pyramíde výška spadnutá z jej vrcholu prechádza stredom základne pyramídy. Takže SO je výška a trojuholníkSOCpravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety:

Ako extrahovať koreň z veľké číslo.

odpoveď: 85

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, A.C.= 6. Nájdite bočnú hranu S.C..

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, S.C. = 5, A.C.= 6. Nájdite dĺžku segmentu SO.

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, S.C.= 5. Nájdite dĺžku segmentu A.C..

SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 7, a S.R.= 16. Nájdite plochu bočného povrchu.

Plocha bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému (apotém je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu):

Alebo môžeme povedať toto: plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná súčtu plôch troch bočných stien. Bočné steny v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú trojuholníky rovnakej plochy. V tomto prípade:

odpoveď: 168

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1, a S.R.= 2. Nájdite plochu bočného povrchu.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu S.R..

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC L- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe SL= 2 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu AB.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC M. Oblasť trojuholníka ABC je 25, objem pyramídy je 100. Nájdite dĺžku segmentu PANI.

Základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník. Preto Mje stred základne aPANI- výška pravidelnej pyramídySABC. Objem pyramídy SABC rovná sa: zobraziť riešenie

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 3, PANI= 1. Nájdite objem pyramídy.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Objem pyramídy je 1, PANI= 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.

Skončime tu. Ako vidíte, problémy sa riešia v jednom alebo dvoch krokoch. V budúcnosti zvážime ďalšie problémy z tejto časti, kde sú uvedené revolučné orgány, nenechajte si to ujsť!

Prajem ti úspech!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

hypotéza: veríme, že dokonalosť tvaru pyramídy je spôsobená matematickými zákonmi, ktoré sú vlastné jej tvaru.

Cieľ: Po preštudovaní pyramídy ako geometrického telesa vysvetlite dokonalosť jej tvaru.

Úlohy:

1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.

2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.

3. Pochopte, aké matematické poznatky Egypťania začlenili do svojich pyramíd.

Súkromné ​​otázky:

1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?

2. Ako možno z matematického hľadiska vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?

3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?

4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?

Definícia pyramídy.

PYRAMÍDA (z gréčtiny pyramis, gen. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (kresba). Na základe počtu rohov základne sú pyramídy klasifikované ako trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

PYRAMÍDA - monumentálna stavba s geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovité alebo vežovité). Pyramídy sú pomenovanie pre obrovské hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom. e., ako aj staroveké americké chrámové podstavce (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru), spojené s kozmologickými kultmi.

Je možné, že grécke slovo „pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, t. j. z výrazu, ktorý znamená výšku pyramídy. Vynikajúci ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram...j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.

Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzova a ďalších sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 sa nazýva pyramída. Mnohouholník A1A2A3...An je základňa pyramídy a trojuholníky PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty PA1, PA2,.. ., PAn sú bočné okraje.

Táto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.

Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Je to postava ohraničená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a ktorej základňou je mnohouholník.

Naša skupina po porovnaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.

Preskúmali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendre, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je pevná postava tvorená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a končiacimi na rôznych stranách. plochá základňa."

Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože hovoríme ože základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je pevný uhol, ktorý pretína rovina“.

Pyramída ako geometrické teleso.

To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je mnohouholník, ostatné plochy (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).

Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva výškah pyramídy.

Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú správna pyramída na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.

Na obrázku je pyramída PABCD, ABCD je jej základňa, PO je jej výška.

Oblasť celoplošný pyramída je súčet plôch všetkých jej plôch.

Plný = Sstrana + Smain, Kde Side– súčet plôch bočných plôch.

Objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:

V=1/3Sbas. h, kde Sbas. - základná plocha, h- výška.

Os pravidelnej pyramídy je priamka obsahujúca jej výšku.
Apotéma ST je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy.

Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočného čela (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D' rovnobežná so základňou, potom:

1) bočné rebrá a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

2) v priereze sa získa mnohouholník A’B’C’D’, podobný základni;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Základy zrezanej pyramídy– podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné strany sú lichobežníky.

Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.

Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej strany (apotém pravidelnej skrátenej pirami

Časti pyramídy.

Rezy pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.

Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva diagonálny rez.

Ak rez prechádza bodom na bočnom okraji a na strane základne, potom jeho stopa k rovine základne pyramídy bude táto strana.

Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daný úsek rezu na základnej rovine, potom by sa mala konštrukcia vykonať takto:

· nájsť priesečník roviny danej steny a stopy rezu pyramídy a označiť ho;

zostrojiť prechádzajúcu priamku daný bod a výsledný priesečník;

· zopakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.

, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; vertikálnu nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tej, ktorá sa rodí z oboch.

Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nebola to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zvečniť postavením pyramídy založenej na trojuholníku 3:4:5? Ťažko nájsť úspešnejší príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorú poznali Egypťania dávno pred jej objavením Pytagorom.

Teda brilantní tvorcovia egyptské pyramídy sa snažili ohromiť vzdialených potomkov hĺbkou svojich vedomostí a dosiahli to výberom „zlatého“ pravouhlého trojuholníka ako „hlavnej geometrickej myšlienky“ pre Cheopsovu pyramídu a „posvätného“ alebo „egyptského“ trojuholníka pre Khafreho pyramídu. .

Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.

V matematike encyklopedický slovník Uvádza sa nasledujúca definícia zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v extrémnom a priemernom pomere - rozdelenie segmentu AB na dve časti tak, že jeho väčšia časť AC je priemerná úmerná medzi celým segmentom AB a jeho menšia časť SV.

Algebraické určenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a – x), z ktorej x sa približne rovná 0,62a. Pomer x môžeme vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.

Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva nasledovne: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE = 1/2 AB, spoja sa A a E, DE = BE je prepustený a nakoniec AC = AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2:3.

Zlatý pomerčasto sa používa v umeleckých dielach, architektúre a nachádza sa v prírode. Živými príkladmi sú socha Apolla Belvedere a Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízky 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si môžete všimnúť, že medzi každými dvoma pármi listov sa tretí nachádza v zlatom reze (sklíčka). Každý z nás „nesie“ zlatý pomer so sebou „vo svojich rukách“ - to je pomer falangov prstov.

Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch výpočtu a merania. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto problémov sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často zahŕňali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.

Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celých čísel nazývaný "seced". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Age of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný n-tým počtom horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku vzostupu. . Táto jednotka merania je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. Preto egyptské slovo „seced“ súvisí s naším moderné slovo"gradient"".

Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. Z praktického hľadiska je to najjednoduchší spôsob, ako vyrobiť šablóny potrebné na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.

Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón túžil vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu pre každú pyramídu. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie, skryté v rôznych pomeroch. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.

Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nevedeli o trojuholníku 3:4:5, dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. ale matematické problémy otázky týkajúce sa pyramíd sa vždy rozhodujú na základe druhého uhla - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.

Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli nepochybne známym starým Egypťanom. Je možné, že tieto vzťahy pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptského výtvarného umenia. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy boli významné, pretože vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený ucelenému dizajnu navrhnutému tak, aby odrážal určitú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.

V knihe The Mystery of Orion predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy spájajúce pyramídy v Gíze so súhvezdím Orion, najmä s hviezdami Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris a existuje dôvod na to, aby sa každá pyramída ako reprezentácia jedného z troch hlavných božstiev - Osiris, Isis a Horus.

„GEOMETRICKÉ“ ZÁZRAKY.

Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujíma osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Skôr ako začneme analyzovať tvar a veľkosť Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „lakť“ (466 mm), ktorý sa rovnal siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).

Analyzujme rozmery Cheopsovej pyramídy (obr. 2) na základe argumentov uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasjutinského „Zlatý pomer“ (1990).

Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná L= 233,16 m. Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 „lakťom“. Úplná zhoda s 500 „lakťami“ nastane, ak sa dĺžka „lakťa“ považuje za rovnú 0,4663 m.

Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci rôzne od 146,6 do 148,2 m. A v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky vzťahy jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhadoch výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina dnes meria približne 10´ 10 m, no pred storočím to bolo 6´ 6 m. Vrch pyramídy bol zjavne demontovaný a nezodpovedá tomu pôvodnému.

Pri posudzovaní výšky pyramídy je potrebné s tým počítať fyzikálny faktor, ako „návrh“ štruktúry. vzadu dlho vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) sa výška pyramídy oproti pôvodnej výške znížila.

Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená nájdením základnej "geometrickej myšlienky" pyramídy.

Obrázok 2

V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovnaký a= 51°51". Táto hodnota je dodnes uznávaná väčšinou výskumníkov. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a), rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC na polovicu svojej základne C.B.(obr.2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú si navzájom veľmi blízke. Ak vezmeme uhol a= 51°50", to znamená, že ho znížte len o jednu oblúkovú minútu, potom hodnotu a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou. Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".

Tieto merania viedli výskumníkov k nasledujúcej veľmi zaujímavej hypotéze: trojuholník ACB Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / C.B. = = 1,272!

Zvážte teraz pravý trojuholník ABC, v ktorom pomer nôh A.C. / C.B.= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC určiť podľa X, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/X= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať pomocou vzorca:

Ak prijmeme X = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Obrázok 3."Zlatý" pravouhlý trojuholník.

Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.

Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom môžeme ľahko vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:

H = (L/2)' = 148,28 m.

Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Najmä nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy C.B. na jednotku, teda: C.B.= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH budú rovné SEFGH = 4.

Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných stien pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k ploche základne sa bude rovnať zlatému pomeru! To je to, čo to je - hlavná geometrická záhada Cheopsovej pyramídy!

Skupina „geometrických zázrakov“ Cheopsovej pyramídy zahŕňa skutočné a pritiahnuté za vlasy vlastnosti vzťahov medzi rôznymi dimenziami v pyramíde.

Spravidla sa získavajú pri hľadaní určitých „konštantín“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; dôvodov prirodzené logaritmy"e" (Neperovo číslo), rovné 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618... atď.

Môžete pomenovať napr.: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška)2 = 0,5 čl. základné x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 čl. základ = Druhá odmocnina z "F"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. základné : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Hrany: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 čl. základné = "F"; 5) Majetok K. Kleppischa: (čl. main.)2: 2(čl. hlavný. x apotém) = (čl. hlavný. W. Apothema) = 2 (čl. hlavný. x apotém) : ((2 čl. základ X Apothem) + (čl. základ)2). Atď. Takýchto vlastností môžete vymyslieť veľa, najmä ak spojíte dve susediace pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefyeva“ možno uviesť, že rozdiel v objemoch Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Mikerinovej pyramídy...

veľa zaujímavé ustanovenia Najmä stavba pyramíd podľa „zlatého rezu“ je opísaná v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Gicka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme si, že „zlatý pomer“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, že časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A/B sa rovná číslu „F“ == 1,618... Použitie „zlatého rezu“ je naznačené nielen v jednotlivých pyramídach, ale aj v celom komplexe pyramíd v Gíze.

Najzaujímavejšie však je, že jedna a tá istá Cheopsova pyramída jednoducho „nemôže“ obsahovať toľko úžasných vlastností. Ak vezmeme určitú vlastnosť jednu po druhej, možno ju „vybaviť“, ale všetky sa nezmestia naraz - nezhodujú sa, protirečia si. Ak teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností zoberieme na začiatku rovnakú stranu základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, ktoré sú navonok podobné Cheopsovi, ale zodpovedajú rôzne vlastnosti. Všimnite si, že v „geometrických“ vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať len niečo, čo bolo pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, v ktorých sa merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze porovnávajú s niektorými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát menej, miliardkrát menej a tak ďalej. Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.

Jedno z tvrdení znie: „ak vydelíte stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostanete presne 10 milióntin zemskej osi“. Vypočítajte: vydeľte 233 číslom 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.

Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijeme „egyptský lakeť“, ktorý sám vymyslel, strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšiemu trvaniu slnečného roka, vyjadrenému s presnosťou na jednu miliardtinu dňa“ – 365,540. 903,777.

Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Aj keď sa zvyčajne berie výška 146,6 m, Smith ju bral ako 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je polohlavná os zemskej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.

Posledné zaujímavé tvrdenie:

"Ako môžeme vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Mykerinus navzájom súvisia, ako sú hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd sú: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Zem - 1 000; Mars - 0,108.

Takže napriek skepticizmu si všimneme dobre známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako čiara „ide do vesmíru“, zodpovedá vzdialenosti od Zeme k Slnku; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vysledovať napríklad vo včelej reči, ktorú analyzoval Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tejto veci nebudeme vyjadrovať.

TVAR PYRAMÍDY

Slávny štvorstenný tvar pyramíd nevznikol okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ tretej dynastie faraón Džoser (Zoser) stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.

A tu, podľa historikov, dôležitá úloha„Nová koncepcia zbožštenia“ kráľa zohrala úlohu pri posilňovaní centrálnej moci. Aj keď sa kráľovské pohrebiská vyznačovali väčšou nádherou, v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, boli to rovnaké stavby - mastaby. Nad komorou so sarkofágom obsahujúcim múmiu bol nasypaný obdĺžnikový kopec malých kameňov, kde bola potom umiestnená malá budova z veľkých kamenných blokov - „mastaba“ (v arabčine - „lavička“). Faraón Džoser postavil prvú pyramídu na mieste mastaby svojho predchodcu Sanachta. Bol stupňovitý a bol viditeľným prechodným štádiom z jednej architektonickej formy do druhej, od mastaby k pyramíde.

Takto faraóna „vychoval“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za čarodejníka a Gréci ho stotožnili s bohom Asclepiusom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských štandardov - 1000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže bola prístavba robená nižšie, zdalo sa, že sú tam dva schodíky.

Táto situácia architekta neuspokojila a na hornú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka sa nachádzala pod pyramídou.

Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu štvorstenných pyramíd, ktoré sú nám známejšie. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované pozdĺž štyroch svetových strán, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.

Čo však určilo uhol sklonu tvárí? V knihe „Princíp proporcií“ je tomu venovaná celá kapitola: „Čo mohlo určiť uhly sklonu pyramíd. Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy Starej ríše, je trojuholník s pravým uhlom na vrchole.

Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, okraje sú rovnostranné trojuholníky." Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Gick a ďalších.

Aká je výhoda poloktaedrónového uhla? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol odobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne umiestniť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomáha teoretický výpočet: stredy loptičiek by ste mali spojiť čiarami (mentálne). Základňa bude štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.

Tesné balenie loptičiek ako 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.

Prečo si ho však mnohé pyramídy, tiahnuce sa k podobnému tvaru, nezachovajú? Pyramídy pravdepodobne starnú. Na rozdiel od známeho výroku:

„Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd,“ budovy pyramíd musia starnúť, môžu a mali by v nich prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného „zmršťovania“, z ktorých pyramídy sa môžu znížiť. Zmrašťovanie je možné aj preto, že, ako odhalila práca D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných triesok, inými slovami, z „betónu“. Práve podobné procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia Medumskej pyramídy, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký znetvorený?“ pýta sa V. Zamarovský „Obvyklé odkazy na ničivé pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby“ tu nie sú vhodné.

Väčšina jej blokov a obkladových dosiek zostala na svojom mieste dodnes, v troskách na jej úpätí.“ Ako uvidíme, množstvo ustanovení nás dokonca núti myslieť si, že „scvrkla“ aj slávna Cheopsova pyramída. v každom prípade, na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...

Tvar pyramíd mohol vzniknúť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzorky, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.

Podobné kryštály by mohli byť diamantové a zlaté kryštály. Charakteristický veľké množstvo„prekrývajúce sa“ znaky pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant. Všade - vznešené, brilantné (brilantné), skvelé, dokonalé atď. Podobnosti nie sú náhodné.

Slnečný kult, ako je známe, tvoril dôležitú súčasť náboženstva Staroveký Egypt. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ poznamenáva jedna z moderných príručiek „Chufuova obloha“ alebo „Khufuová obloha“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Djedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa nazýval „synom Ra“, teda synom Slnka. Slnko bolo medzi takmer všetkými národmi symbolizované „slnečným kovom“, zlatom. „Veľký kotúč jasného zlata“ - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania dokonale poznali zlato, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.

„Slnečný kameň“ – diamant – je tu tiež zaujímavý ako „vzorka foriem“. Názov diamantu pochádza práve z arabského sveta, „almas“ - najťažší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti celkom dobre. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúrky s diamantovými frézami.

V súčasnosti je hlavným dodávateľom diamantov Južná Afrika, ale na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, s ktorými priaznivci hypotézy paleo-návštev vkladajú veľa nádejí (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov tak starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len k najúžasnejším výtvorom prírody.

Záver:

Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o opodstatnenosti názoru o kráse tvaru pyramídy.

Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zozbierali najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.

BIBLIOGRAFIA

„Geometria: učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie\ atď - 9. vydanie - M.: Vzdelávanie, 1999

História matematiky v škole, M: „Prosveshchenie“, 1982.

Geometria 10-11 ročníkov, M: „Osvietenie“, 2000

Peter Tompkins „Tajomstvá Veľkej Cheopsovej pyramídy“, M: „Tsentropoligraf“, 2005.

Internetové zdroje

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Na vine sú slávne veľké egyptské divy sveta. Preto, keď sa začína študovať tento nádherný mnohosten, väčšina študentov si to už jasne predstavuje. Všetky vyššie spomenuté atrakcie majú správny tvar. Čo sa stalo pravidelná pyramída, a aké vlastnosti má a porozprávame saďalej.

V kontakte s

Definícia

Existuje pomerne veľa definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euklides ho definoval ako telesnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že toto bola postava má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Na základe modernej interpretácie je pyramída reprezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa na to podrobnejšie, z akých prvkov pozostáva:

• K-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové tvary vyčnievajú ako okraje bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak sa priamka spustí z vrcholu do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť obsiahnutá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku môže byť na stranu nášho mnohostena nakreslená kolmica, nazývaná apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, napríklad pyramída, možno určiť pomocou výrazu k+1.

Dôležité! Pyramída pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je postava správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, ktoré obmedzujú bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky postavy spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Ďakujem všetkým uvedené nehnuteľnosti, vykonávanie výpočtov prvkov je oveľa jednoduchšie. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné plochy budú mať základňu rovnaké uhly.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky hrany pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Základom je štvorec

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten, ktorého základňa je štvorec.

Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

Štvorec je znázornený na rovine, ale je založený na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom použite nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Je založená na pravidelnom trojuholníku

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom takýto obrázok nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• veľkosť všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• , nakreslené vo vnútri obrázku, sú to rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií plochý. Často v školský kurz geometrie pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelne so základom.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme prierez podobný základni.

Napríklad, ak je na základni štvorec, potom rez rovnobežný so základňou bude tiež štvorec, len menších rozmerov.

Pri riešení úloh za tejto podmienky používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a tá sa odreže vrchná časť mnohosten, potom sa v spodnej časti získa pravidelný zrezaný ihlan. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné plochy rovnostranné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Povrchové plochy

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy hodnôt povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• plocha celého povrchu.

Už z názvu je jasné, o čom hovoríme. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka je Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné doplniť plocha štyrochčísla Sstrana=1/2(al)+1/2(al)+1/2(al)+1/2(al)=1/2*4a*L. Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod základne. A výraz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside = Rosn * L.

Plocha celkového povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p. = Sside + Sbas.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvorhrannej pyramídy