Definícia pravidelného štvorstenu. Pravidelný štvorsten (pyramída). Tetrahedra v mikrokozme

Všetky jeho steny sú navzájom rovnaké trojuholníky. Vývoj izoedrického štvorstenu je trojuholník rozdelený tromi stredovými čiarami na štyri rovnaké trojuholníky. V izoedrickom štvorstene ležia základne výšok, stredy výšok a priesečníky výšok plôch na povrchu jednej gule (guľa s 12 bodmi) (analóg Eulerovej kružnice pre trojuholník ).

Vlastnosti izoedrického štvorstenu:

Všetky jeho plochy sú rovnaké (zhodné).
Hrany kríženia sú v pároch rovnaké.
Trojstenné uhly sú rovnaké.
Opačné uhly sú rovnaké.
Dva rovinné uhly založené na tej istej hrane sú rovnaké.
Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 180°.
Vývoj štvorstenu je trojuholník alebo rovnobežník.
Opísaný rovnobežnosten je pravouhlý.
Štvorsten má tri osi symetrie.
Spoločné kolmice krížiacich sa hrán sú párovo kolmé.
Stredové čiary sú párovo kolmé.
Obvody tvárí sú rovnaké.
Plochy tvárí sú rovnaké.
Výšky štvorstenu sú rovnaké.
Segmenty spájajúce vrcholy s ťažiskami protiľahlých plôch sú rovnaké.
Polomery kruhov opísaných v blízkosti plôch sú rovnaké.
Ťažisko štvorstenu sa zhoduje so stredom opísanej gule.
Ťažisko sa zhoduje so stredom vpísanej gule.
Stred opísanej gule sa zhoduje so stredom opísanej gule.
Vpísaná guľa sa dotýka plôch v stredoch kružníc opísaných okolo týchto plôch.
Súčet normál vonkajšej jednotky (jednotkové vektory kolmé na plochy) je nula.
Súčet všetkých dihedrických uhlov je nula.

Ortocentrický štvorsten

Všetky výšky spadnuté z vrcholov na protiľahlé plochy sa pretínajú v jednom bode.

Vlastnosti ortocentrického štvorstenu:

Výšky štvorstenu sa pretínajú v jednom bode.
Základňami výšok štvorstenu sú ortocentrá tvárí.
Každé dva protiľahlé okraje štvorstenu sú kolmé.
Súčty štvorcov protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.
Segmenty spájajúce stredy protiľahlých hrán štvorstenu sú rovnaké.
Súčin kosínusov opačných dihedrálnych uhlov je rovnaký.
Súčet štvorcov plôch plôch je štyrikrát menší ako súčet druhých mocnín súčinov protiľahlých hrán.
O ortocentrický štvorsten 9-bodové kruhy (Eulerove kruhy) každej tváre patria do rovnakej gule (24-bodová guľa).
O ortocentrický štvorstenťažiská a priesečníky výšok plôch, ako aj body deliace úsečky každej výšky štvorstenu od vrcholu k priesečníku výšok v pomere 2:1 ležia na jednu guľu (guľa s 12 bodmi).

Obdĺžnikový štvorsten

Všetky hrany susediace s jedným z vrcholov sú na seba kolmé. Obdĺžnikový štvorsten sa získa odrezaním štvorstenu s rovinou z pravouhlého rovnobežnostena.

Drôtený štvorsten

Je to štvorsten, ktorý spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:

je tu guľa dotýkajúca sa všetkých okrajov,
súčty dĺžok pretínajúcich sa hrán sú rovnaké,
súčty dihedrálnych uhlov na opačných okrajoch sú rovnaké,
kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch,
všetky štvoruholníky získané pri vývoji štvorstenu sú ohraničené,
kolmice vztýčené k tváram zo stredov do nich vpísaných kružníc sa pretínajú v jednom bode.

Porovnateľný štvorsten

Vlastnosti zodpovedajúceho štvorstenu:

Dvojité výšky sú rovnaké. Dvojité výšky štvorstenu sú spoločné kolmice na dve pretínajúce sa hrany (hrany, ktoré nemajú spoločné vrcholy).
Priemet štvorstenu na rovinu kolmú na ľubovoľnú bimediány, tam je kosoštvorec . Bimediányštvorsten nazývaný segmenty spájajúce stredy jeho pretínajúcich sa hrán (nemajú žiadne spoločné vrcholy).
Plochy ohraničeného rovnobežnostena sú rovnaké.
Nasledujúce vzťahy sú splnené: $4a^2(a_1)^2- (b^2+(b_1)^2-c^2-(c_1)^2)^2=4b^2(b_1)^2- (c^2+(c_1) ^2-a^2-(a_1)^2)^2=4c^2(c_1)^2- (a^2+(a_1)^2-b^2-(b_1)^2)^2$ , kde $a$ a $a_1$ , $b$ a $b_1$ , $c$ a $c_1$ - dĺžky protiľahlých hrán.
Pre každý pár protiľahlých hrán štvorstenu sú roviny pretiahnuté jednou z nich a stredom druhej strany kolmé.
Do opísaného rovnobežnostenu úmerného štvorstenu možno vpísať guľu.

Incentrický štvorsten

V tomto type sa segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch pretínajú v jednom bode. Vlastnosti incentrického štvorstenu:

Segmenty spájajúce ťažiská plôch štvorstenov s opačnými vrcholmi (strednice štvorstenov) sa vždy pretínajú v jednom bode. Tento bod je ťažiskom štvorstenu.
Komentujte. Ak v poslednej podmienke nahradíme ťažiská tvárí ortocentrami tvárí, zmení sa to na novú definíciu ortocentrický štvorsten. Ak ich nahradíme stredmi kruhov vpísanými do tvárí, niekedy nazývanými stredy, dostaneme definíciu novej triedy štvorstenov - sústredné.
Segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch sa pretínajú v jednom bode.
Osy uhlov dvoch plôch nakreslených k spoločnej hrane týchto plôch majú spoločnú základňu.
Súčin dĺžok protiľahlých hrán je rovnaký.
Trojuholník tvorený druhými priesečníkmi troch hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu s ľubovoľnou guľou prechádzajúcou cez tri konce týchto hrán je rovnostranný.

pravidelný štvorsten

Toto je izoedrický štvorsten, v ktorom sú všetky steny pravidelné trojuholníky. Je to jedna z piatich platónskych telies.

Vlastnosti pravidelného štvorstenu:

Všetky hrany štvorstenu sú rovnaké
Všetky steny štvorstenu sú rovnaké
obvody a plochy všetkých plôch sú rovnaké.
Pravidelný štvorsten je zároveň ortocentrický, drôtový, izohedrický, incentrický a úmerný.
Štvorsten je pravidelný, ak patrí do dvoch uvedených typov štvorstenov: ortocentrický, drôtový, incentrický, proporcionálny, izohedrický.
Ak je štvorsten, je pravidelný izogonálne a patrí k jednému z nasledujúcich typov tetraedrov: ortocentrický, drôtový, incentrický, proporcionálny.
Osemsten môže byť vpísaný do pravidelného štvorstenu, navyše štyri (z ôsmich) stien osemstenu budú zarovnané so štyrmi stenami štvorstenu, všetkých šesť vrcholov osemstenu bude zarovnaných so stredmi šiestich hrán štvorstenu .
Pravidelný štvorsten pozostáva z jedného vpísaného osemstenu (v strede) a štyroch štvorstenov (pozdĺž vrcholov), pričom okraje týchto štvorstenov a osemstenov sú polovičné ako okraje pravidelného štvorstenu.
Pravidelný štvorsten je možné vpísať do kocky dvoma spôsobmi, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú zarovnané so štyrmi vrcholmi kocky.
Pravidelný štvorsten môže byť vpísaný do dvadsaťstena, navyše štyri vrcholy štvorstenu budú kombinované so štyrmi vrcholmi dvadsaťstena.
Hrany kríženia pravidelného štvorstenu sú navzájom kolmé.

Objem štvorstenu

Objem štvorstenu (berúc do úvahy znamienko), ktorého vrcholy sú v bodoch $\mathbf(r)_1 (x_1,y_1,z_1),$ $\mathbf(r)_2 (x_2,y_2,z_2),$ $\mathbf(r)_3 (x_3,y_3,z_3),$ $\mathbf(r)_4 (x_4,y_4,z_4),$ rovná sa

V = \frac16 \begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),

alebo

$V = \frac(1)(3)\S H,$

kde $S$ je oblasť akejkoľvek tváre a $H$ je výška znížená na tejto ploche.

Objem štvorstenu z hľadiska dĺžky hrán je vyjadrený pomocou Cayley-Mengerovho determinantu:

288 \cdot V^2 = 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 & d_(34)^2 & 0\end(vmatrix).

Tento vzorec má plochý analóg pre oblasť trojuholníka vo forme variantu Heronovho vzorca prostredníctvom podobného determinantu.
Objem štvorstenu z hľadiska dĺžok dvoch protiľahlých hrán a a b ako križujúce sa čiary, ktoré sú odstránené v diaľke h od seba a zvierajú medzi sebou uhol $\phi$ , sa nachádza podľa vzorca:

$V = \frac(1)(6) ab h \sin \phi .$

V = \frac(1)(3)\ abc \sqrt (D),

kde $D=\begin(vmatica)1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).$

Analógom pre rovinu posledného vzorca je vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho dvoch strán a a b, vychádzajúce z jedného vrcholu a zvierajúce medzi sebou uhol $\gamma$ :

S = \frac(1)(2)\ ab \sqrt (D),

kde $D=\begin(vmatica)1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).$

Tetrahedra v mikrokozme

Počas sp 3 hybridizácie atómových orbitálov vzniká pravidelný štvorsten (ich osi smerujú k vrcholom pravidelného štvorstenu a jadro centrálneho atómu sa nachádza v strede opísanej gule pravidelného štvorstenu), preto, mnohé molekuly, v ktorých prebieha takáto hybridizácia centrálneho atómu, majú formu tohto mnohostenu
CH 4 molekula metánu
Síranový ión SO 4 2-, fosfátový ión PO 4 3-, chloristanový ión ClO 4 - a mnoho ďalších iónov
Diamant C je štvorsten s hranou rovnou 2,5220 angstromov
Fluorit CaF 2 , štvorsten s hranou rovnou 3 8626 angstromov
Sfalerit, ZnS, štvorsten s hranou rovnou 3,823 angstromov
Komplexné ióny - , 2-, 2-, 2+
Silikáty, ktorých štruktúry sú založené na kremíku-kyslíkovom štvorstene 4-

Tetrahedra v prírode

Niektoré plody, ktoré sú na jednej strane štyri, sa nachádzajú vo vrcholoch štvorstenu blízko pravidelného. Tento dizajn je spôsobený skutočnosťou, že stredy štyroch rovnakých guľôčok, ktoré sa navzájom dotýkajú, sú umiestnené vo vrcholoch pravidelného štvorstenu. Preto guľovité plody tvoria podobné vzájomné usporiadanie. Takto sa dajú naaranžovať napríklad vlašské orechy.

Tetrahedra v strojárstve

pozri tiež

Simplex - n-rozmerný štvorsten

Napíšte recenziu na článok "Tetrahedron"

Poznámky

Literatúra

Matizen V. E., Dubrovský. Z geometrie štvorstenu "Quantum", č.9, 1988, str.66.
Zaslavsky A. A. // Matematicke vzdelanie, ser. 3 (2004), číslo 8, strany 78-92.

Správne

Správne
nekonvexné

konvexné

vzorce,
vety,
teórie

Iné

Úryvok charakterizujúci Tetrahedron

Na štvrtý deň začali na Zubovskom Vale horieť.
Pierre bol odvezený s trinástimi ďalšími do krymského Fordu, do kočárne v kupcovom dome. Pierre prechádzal ulicami a dusil sa dymom, ktorý akoby stúpal nad celým mestom. Požiare boli viditeľné zo všetkých strán. Pierre ešte nerozumel významu spálenej Moskvy a s hrôzou sa pozeral na tieto požiare.
V kočiarni domu neďaleko Krymského Fordu zostal Pierre ďalšie štyri dni a počas týchto dní sa z rozhovoru francúzskych vojakov dozvedel, že každý, kto tu bol, každý deň očakával rozhodnutie maršala. Aký maršál, Pierre sa nemohol naučiť od vojakov. Pre vojaka sa očividne zdal maršál najvyšším a trochu tajomným článkom moci.
Tieto prvé dni, až do 8. septembra, dňa, keď boli väzni odvedení na druhý výsluch, boli pre Pierra najťažšie.

X
8. septembra vošiel do maštale k väzňom veľmi dôležitý dôstojník, súdiac podľa toho, s akou úctou sa k nemu správali dozorcovia. Tento dôstojník, pravdepodobne štábny dôstojník, so zoznamom v rukách zavolal všetkým Rusom a zavolal Pierrovi: celui qui n "avoue pas son nom [ten, kto nehovorí jeho meno]. A ľahostajne a lenivo pri pohľade na všetkých väzňov prikázal stráži, aby sa dôstojník riadne obliekol a upratal, kým ich odvedie k maršálovi. O hodinu neskôr dorazila družina vojakov a Pierra a ďalších trinásť mužov odviedli k Panenskej. Pole.Deň bol jasný,slnečný po daždi,a vzduch bol nezvyčajne čistý.Dym sa nešplhal dole,keďže v deň keď Pierra vyviedli zo strážnice Zubovského šachty stúpal dym v stĺpoch v čistom vzduchu Nikde nebolo vidieť oheň ohňov, ale zo všetkých strán stúpali stĺpy dymu a celá Moskva, všetko, čo Pierre videl, bola jedna ohnivá. Bolo vidieť pustatiny s kachľami a komínmi a občas obhorené steny kamenných domov na všetky strany. Pierre sa pozeral na požiare a nespoznával známe štvrte mesta. Miestami bolo vidieť zachované kostoly. Kremeľ, nezničený, bol z diaľky biely s vežami a Ivan Ve tvár. Neďaleko sa veselo leskla kupola novodevičského kláštora a zvlášť hlasno sa odtiaľ ozývali zvony a píšťalky. Tento Blagovest Pierrovi pripomenul, že je nedeľa a sviatok Narodenia Panny Márie. Zdalo sa však, že tento sviatok nemá kto oslavovať: skaza požiaru bola všade a od ruského ľudu sa len občas našli otrhaní, vystrašení ľudia, ktorí sa skryli pred pohľadom Francúzov.
Je zrejmé, že ruské hniezdo bolo zničené a zničené; ale za zničením tohto ruského poriadku života Pierre nevedome cítil, že nad týmto zničeným hniezdom bol nastolený jeho vlastný, úplne iný, ale pevný francúzsky poriadok. Cítil to z pohľadu tých, veselo a veselo, pochodujúcich v pravidelných radoch vojakov, ktorí ho sprevádzali s ďalšími zločincami; cítil to z pohľadu nejakého významného francúzskeho úradníka v dvojvozi, ktorý viedol vojak a ktorý išiel k nemu. Cítil to z veselých zvukov plukovnej hudby, ktorá prichádzala z ľavej strany poľa, a zvlášť to cítil a rozumel tomu zo zoznamu, ktorý pri zvolaní väzňov prečítal francúzsky dôstojník, ktorý dnes ráno prišiel. Pierra vzali niektorí vojaci, odviezli ho na jedno miesto, na druhé s desiatkami ďalších ľudí; zdalo sa, že na neho môžu zabudnúť, pomiešať ho s ostatnými. Ale nie: jeho odpovede poskytnuté počas výsluchu sa mu vrátili v podobe jeho mena: celui qui n "avoue pas son nom. A pod týmto menom, ktoré bolo pre Pierra hrozné, ho teraz niekam viedli, s nepochybnou dôverou, napísané na ich tváre, že všetci ostatní väzni a on boli tí, ktorí potrebovali, a že ich vedú tam, kam potrebovali. Pierre sa cítil ako bezvýznamný čip, ktorý padol do kolies pre neho neznámeho, no správne fungujúceho stroja.
Pierra a ďalších zločincov odviedli na pravú stranu Panenského poľa, neďaleko kláštora, do veľkého bieleho domu s obrovskou záhradou. Bol to dom kniežaťa Shcherbatova, v ktorom Pierre často navštevoval majiteľa a v ktorom teraz, ako sa dozvedel z rozhovoru vojakov, stál maršál, vojvoda z Ekmulského.
Priviedli ich na verandu a jeden po druhom začali vchádzať do domu. Pierra priviedli ako šiesty. Cez presklenú galériu, predsieň, predsieň známu Pierrovi bol vedený do dlhej nízkej kancelárie, pri dverách ktorej stál pobočník.
Davout sedel na konci miestnosti nad stolom s okuliarmi na nose. Pierre sa k nemu priblížil. Davout bez toho, aby zdvihol oči, zdalo sa, že sa vyrovnáva s nejakým papierom ležiacim pred ním. Bez toho, aby zdvihol oči, sa potichu spýtal:
Qui etes vous? [Kto si?]
Pierre bol ticho, pretože nebol schopný vysloviť slová. Davout pre Pierra nebol len francúzsky generál; pretože Pierre Davout bol muž známy svojou krutosťou. Pri pohľade na chladnú tvár Davouta, ktorý ako prísny učiteľ súhlasil, že bude mať trpezlivosť a bude zatiaľ čakať na odpoveď, Pierre cítil, že každá sekunda oneskorenia ho môže stáť život; ale nevedel čo povedať. Neodvážil sa povedať to isté, čo povedal pri prvom výsluchu; odhaliť svoju hodnosť a postavenie bolo nebezpečné aj hanebné. Pierre mlčal. No skôr, ako sa Pierre stihol o niečom rozhodnúť, Davout zdvihol hlavu, na čelo si zdvihol okuliare, prižmúril oči a uprene sa pozrel na Pierra.
"Poznám tohto muža," povedal odmeraným, chladným hlasom, zjavne vypočítaným na to, aby Pierra vystrašil. Chlad, ktorý predtým prebehol Pierrovi po chrbte, sa mu zmocnil hlavy ako zverák.
– Mon generál, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [Nemohli ste ma poznať, generál, nikdy som vás nevidel.]
- C "est un espion russe, [Toto je ruský špión,] - prerušil ho Davout a obrátil sa k inému generálovi, ktorý bol v miestnosti a ktorého si Pierre nevšimol. A Davout sa odvrátil. S nečakaným buchotom v hlase, Pierre zrazu rýchlo prehovoril.
"Nie, Monseigneur," povedal, keď si zrazu spomenul, že Davout bol vojvoda. - Nie, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Nie, Vaša Výsosť... Nie, Vaša Výsosť, nemohli ste ma poznať. Som policajt a neopustil som Moskvu.]
– Votre nom? [Vaše meno?] zopakoval Davout.
- Besouhof. [Bezukhov.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Kto mi dokáže, že neklameš?]
- Monseigneur! [Vaša výsosť!] Pierre vykríkol nie urazene, ale prosebným hlasom.
Davout zdvihol oči a uprene pozrel na Pierra. Niekoľko sekúnd sa na seba pozerali a tento pohľad zachránil Pierra. V tomto pohľade sa popri všetkých podmienkach vojny a súdu medzi týmito dvoma ľuďmi vytvoril aj ľudský vzťah. Obaja v tej jednej minúte nejasne cítili nespočetné množstvo vecí a uvedomili si, že obaja sú deti ľudstva, že sú bratia.
Na prvý pohľad, pre Davouta, ktorý len zdvihol hlavu zo svojho zoznamu, kde sa ľudské záležitosti a život nazývali číslami, bol Pierre iba okolnosťou; a bez toho, aby si vzal zlý skutok do svedomia, Davout by ho zastrelil; ale teraz ho videl ako muža. Na chvíľu sa zamyslel.
– Komentujte ma prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Ako mi dokážeš správnosť svojich slov?] – chladne povedal Davout.
Pierre si spomenul na Rambala a pomenoval svoj pluk, jeho priezvisko a ulicu, na ktorej bol dom.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Nie ste to, čo hovoríte.] - zopakoval Davout.
Pierre trasúcim sa zlomeným hlasom začal vydávať dôkazy o platnosti svojho svedectva.
Ale v tej chvíli vstúpil pobočník a niečo oznámil Davoutovi.
Davout sa zrazu rozžiaril správou od pobočníka a začal si zapínať gombíky. Na Pierra zrejme úplne zabudol.
Keď mu pobočník pripomenul väzňa, zamračil sa, prikývol smerom k Pierrovi a povedal mu, aby sa dal viesť. Ale kam mal byť vedený - Pierre nevedel: späť do búdky alebo na pripravené miesto popravy, ktoré mu pri prechode cez Dievčenské pole ukázali jeho druhovia.
Otočil hlavu a videl, že pobočník sa opäť niečo pýta.
– Oui, sans doute! [Áno, samozrejme!] - povedal Davout, ale Pierre nevedel, čo je "áno".
Pierre si nepamätal, ako, ako dlho kráčal a kde. On, v stave úplnej nezmyselnosti a omráčenia, nič okolo seba nevidel, pohyboval nohami spolu s ostatnými, až kým sa všetci nezastavili, a on prestal. Jedna myšlienka bola celý ten čas v hlave Pierra. Bola to myšlienka, kto, kto ho napokon odsúdil na smrť. Neboli to tí istí ľudia, ktorí ho vypočúvali v komisii: nikto z nich to nechcel a samozrejme ani nemohol. Nebol to Davout, kto sa naňho tak ľudsky pozeral. Ešte minútu a Davout by pochopil, čo robia zle, ale tejto minúte zabránil pobočník, ktorý vstúpil. A tento pobočník zjavne nechcel nič zlé, ale možno nevstúpil. Kto ho nakoniec popravil, zabil, vzal mu život - Pierre so všetkými jeho spomienkami, ašpiráciami, nádejami, myšlienkami? Kto to urobil? A Pierre cítil, že to nie je nikto.
Bola to objednávka, skladisko okolností.
Zabíjal ho nejaký rozkaz - Pierre, pripravil ho o život, o všetko, zničil ho.

Z domu kniežaťa Ščerbatova viedli väzňov rovno po Panenskom poli naľavo od Dievčenského kláštora a viedli do záhrady, na ktorej stál stĺp. Za stĺpom bola veľká jama s čerstvo vykopanou zeminou a okolo jamy a stĺpa stál v polkruhu veľký zástup ľudí. Dav pozostával z malého počtu Rusov a veľkého počtu napoleonských jednotiek mimo poradia: Nemcov, Talianov a Francúzov v heterogénnych uniformách. Napravo a naľavo od stĺpa stáli fronty francúzskych jednotiek v modrých uniformách s červenými epoletami, čižmami a šako.
Zločinci boli umiestnení v určitom poradí, ktoré bolo na zozname (Pierre bol šiesty), a privedení na miesto. Z oboch strán zrazu udrelo niekoľko bubnov a Pierre cítil, že pri tomto zvuku akoby sa odtrhla časť jeho duše. Stratil schopnosť myslieť a uvažovať. Mohol len vidieť a počuť. A mal jedinú túžbu – túžbu, aby sa čo najskôr stalo niečo strašné, čo bolo treba urobiť. Pierre sa pozrel späť na svojich kamarátov a preskúmal ich.
Dvaja ľudia z okraja boli oholení strážcovia. Jeden je vysoký, tenký; druhý je čierny, chlpatý, svalnatý, so splošteným nosom. Tretí bol dvor, asi štyridsaťpäťročný, s prešedivenými vlasmi a plným, dobre živeným telom. Štvrtý bol sedliak, veľmi pekný, s hustou blond bradou a čiernymi očami. Piaty bol továrnik, žltý, chudý chlapík, osemnásťročný, v župane.
Pierre počul, že Francúzi diskutujú o tom, ako strieľať - po jednom alebo po dvoch? "Dva," odpovedal chladne a pokojne starší dôstojník. V radoch vojakov nastal pohyb a bolo badať, že sa všetci ponáhľali – a neponáhľali sa tak, ako sa ponáhľajú splniť úlohu, ktorá je každému zrozumiteľná, ale rovnakým spôsobom, ako sa ponáhľajú dokončiť nevyhnutnú, ale nepríjemnú a nepochopiteľnú úlohu.
Francúzsky úradník v šatke pristúpil k pravej strane radu zločincov a prečítal rozsudok v ruštine a francúzštine.
Potom sa k zločincom priblížili dve dvojice Francúzov a na pokyn dôstojníka zobrali dvoch strážcov, ktorí stáli na okraji. Strážcovia, ktorí išli k stĺpu, sa zastavili a kým prinášali vrecia, mlčky sa obzerali okolo seba, ako sa spadnuté zviera pozerá na vhodného lovca. Jeden sa neustále krížil, druhý sa škrabal po chrbte a perami urobil pohyb podobný úsmevu. Vojaci, ktorí sa ponáhľali s rukami, im začali zaväzovať oči, obliekať tašky a priviazať ich k stĺpu.
Dvanásť mužov strelcov s puškami vystúpilo spoza radov odmeranými, pevnými krokmi a zastavili sa na osem krokov od stanovišťa. Pierre sa odvrátil, aby nevidel, čo príde. Zrazu sa ozval rachot a rev, ktorý sa Pierrovi zdal hlasnejší ako najstrašnejšie hromy, a rozhliadol sa. Bol dym a Francúzi s bledými tvárami a trasúcimi sa rukami niečo robili pri jame. Vzali ďalších dvoch. Rovnakým spôsobom, tými istými očami, sa títo dvaja na všetkých márne pozerali tými istými očami, mlčky, prosili o ochranu a zrejme nechápali a neverili, čo sa stane. Nemohli uveriť, lebo len oni sami vedeli, aký je ich život, a preto nechápali a neverili, že sa im to dá vziať.
Pierre sa nechcel pozerať a znova sa odvrátil; ale zase, ako keby mu do sluchu udrela strašná explózia, a spolu s týmito zvukmi videl dym, niečiu krv a bledé, vystrašené tváre Francúzov, ktorí opäť niečo robili na stĺpe, tlačili sa trasúcimi sa rukami. Pierre, ťažko dýchajúc, sa rozhliadol okolo seba, akoby sa pýtal: čo je to? Rovnaká otázka bola vo všetkých pohľadoch, ktoré stretli Pierra.

V tejto lekcii sa pozrieme na štvorsten a jeho prvky (hrana štvorstenu, povrch, plochy, vrcholy). A my vyriešime niekoľko problémov na konštrukciu rezov v štvorstene pomocou všeobecnej metódy na konštrukciu rezov.

Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín

Lekcia: Tetrahedron. Problémy konštrukcie rezov v štvorstene

Ako postaviť štvorsten? Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC. Ľubovoľný bod D neleží v rovine tohto trojuholníka. Získame 4 trojuholníky. Povrch tvorený týmito 4 trojuholníkmi sa nazýva štvorsten (obr. 1.). Súčasťou štvorstenu sú aj vnútorné body ohraničené touto plochou.

Ryža. 1. Tetrahedron ABCD

Prvky štvorstenu
ALE,B, C, D - vrcholy štvorstenu.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - okraje štvorstenu.
ABC, ABD, bdc, ADC - tváre štvorstenu.

komentár: môžete ísť lietadlom ABC za štvorstenná základňa a potom pointa D je vrchol štvorstenu. Každá hrana štvorstenu je priesečníkom dvoch rovín. Napríklad rebro AB je priesečník rovín ABD a ABC. Každý vrchol štvorstenu je priesečníkom troch rovín. Vertex ALE leží v rovinách ABC, ABD, ALEDOD. Bodka ALE je priesečník troch označených rovín. Táto skutočnosť je napísaná takto: ALE= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definícia štvorstenu

takže, štvorsten je plocha tvorená štyrmi trojuholníkmi.

Okraj štvorstenu- priesečník dvoch rovín štvorstenu.

Zo 6 zápaliek vytvorte 4 rovnaké trojuholníky. Problém nie je možné vyriešiť v lietadle. A vo vesmíre je to ľahké. Zoberme si štvorsten. 6 zápaliek sú jeho okraje, štyri strany štvorstenu a budú to štyri rovnaké trojuholníky. Problém je vyriešený.

Dan štvorsten ABCD. Bodka M patrí k okraju štvorstenu AB, bodka N patrí k okraju štvorstenu ATD a bodka R patrí na okraj DOD(obr. 2.). Zostrojte rez štvorstenom rovinou MNP.

Ryža. 2. Kresba k úlohe 2 - Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Predstavte si tvár štvorstenu Dslnko. Na tomto okraji bodu N a P tváre patria Dslnko, a teda štvorsten. Ale podľa stavu bodu N, P patria do roviny rezu. znamená, NP je priesečník dvoch rovín: čelných rovín Dslnko a rovinu rezu. Predpokladajme, že čiary NP a slnko nie sú paralelné. Ležia v rovnakej rovine DSlnko. Nájdite priesečník čiar NP a slnko. Označme to E(Obr. 3.).

Ryža. 3. Nákres k úlohe 2. Nájdenie bodu E

Bodka E patrí do roviny rezu MNP, keďže leží na linke NP a priamku NP leží úplne v rovine rezu MNP.

Tiež bodka E leží v lietadle ABC pretože leží na čiare slnko mimo lietadla ABC.

Chápeme to JESŤ- priesečník rovín ABC a MNP, pretože body E a M ležať súčasne v dvoch rovinách - ABC a MNP. Spojte body M a E a pokračujte v riadku JESŤ ku križovatke s čiarou AC. priesečník čiar JESŤ a AC označovať Q.

Takže v tomto prípade NPQM- požadovaný úsek.

Ryža. 4. Nákres úlohy 2. Riešenie úlohy 2

Zvážte teraz prípad, kedy NP paralelný BC. Ak rovno NP rovnobežná s nejakou čiarou, napríklad čiarou slnko mimo lietadla ABC, potom priamka NP rovnobežne s celou rovinou ABC.

Požadovaná rovina rezu prechádza priamkou NP, rovnobežne s rovinou ABC, a pretína rovinu v priamke MQ. Takže priesečník MQ rovnobežne s priamkou NP. Dostaneme NPQM- požadovaný úsek.

Bodka M leží na boku ALEDATštvorsten ABCD. Zostrojte rez štvorstenom rovinou, ktorá prechádza bodom M rovnobežne so základňou ABC.

Ryža. 5. Kresba k úlohe 3 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
rovina rezu φ rovnobežne s rovinou ABC podľa podmienky, potom táto rovina φ rovnobežné s rovnými čiarami AB, AC, slnko.
V lietadle ABD cez bod M nakreslíme rovnú čiaru PQ paralelný AB(obr. 5). Rovno PQ leží v lietadle ABD. Podobne v rovine ACD cez bod R nakreslíme rovnú čiaru PR paralelný AC. získal bod R. Dve pretínajúce sa čiary PQ a PR lietadlo PQR sú rovnobežné s dvoma pretínajúcimi sa čiarami AB a AC lietadlo ABC, teda lietadlá ABC a PQR sú paralelné. PQR- požadovaný úsek. Problém je vyriešený.

Dan štvorsten ABCD. Bodka M- vnútorný bod, bod štvorstennej steny ABD. N- vnútorný bod segmentu DOD(obr. 6.). Zostrojte priesečník priamky NM a lietadlo ABC.

Ryža. 6. Kresba pre úlohu 4

Riešenie:
Na vyriešenie zostrojíme pomocnú rovinu DMN. Nechajte linku DM pretína priamku AB v bode Komu(obr. 7.). potom SCD je časť roviny DMN a štvorsten. V lietadle DMN lži a rovné NM a výsledný riadok SC. Ak teda NM nie paralelne SC, potom sa v určitom bode pretínajú R. Bodka R a bude požadovaným priesečníkom čiary NM a lietadlo ABC.

Ryža. 7. Nákres úlohy 4. Riešenie úlohy 4

Dan štvorsten ABCD. M- vnútorný bod tváre ABD. R- vnútorný bod tváre ABC. N- vnútorný bod okraja DOD(obr. 8.). Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi M, N a R.

Ryža. 8. Kresba k úlohe 5 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Zoberme si prvý prípad, kedy je linka MN nie sú rovnobežné s rovinou ABC. V predchádzajúcej úlohe sme našli priesečník priamky MN a lietadlo ABC. Toto je pointa Komu, získa sa pomocou pomocnej roviny DMN, t.j. robíme DM a získajte bod F. Trávime CF a na križovatke MN získať bod Komu.

Ryža. 9. Kresba k úlohe 5. Hľadanie bodu K

Nakreslíme rovnú čiaru KR. Rovno KR leží v rovine rezu aj v rovine ABC. Získavanie bodov R 1 a R 2. Pripája sa R 1 a M a pri pokračovaní získame bod M 1. Spojenie bodky R 2 a N. V dôsledku toho získame požadovaný prierez R 1 R 2 NM 1. Problém v prvom prípade je vyriešený.
Zoberme si druhý prípad, kedy je linka MN rovnobežne s rovinou ABC. Lietadlo MNP prechádza priamkou MN rovnobežne s rovinou ABC a prekročí rovinu ABC pozdĺž nejakej línie R 1 R 2, potom priamka R 1 R 2 rovnobežne s touto čiarou MN(Obr. 10.).

Ryža. 10. Nákres problému 5. Požadovaný rez

Teraz nakreslíme čiaru R 1 M a získajte bod M 1.R 1 R 2 NM 1- požadovaný úsek.

Takže sme zvážili štvorsten, vyriešili niektoré typické úlohy na štvorstene. V ďalšej lekcii sa pozrieme na krabicu.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chorý. Geometria. 10. – 11. ročník: učebnica pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň)

2. Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill. Geometria. 10.-11. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M. : Drop, 008. - 233 s. :ochorený. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a profilovým štúdiom matematiky

Ďalšie webové zdroje

2. Ako zostrojiť rez štvorstenom. Matematika ().

3. Festival pedagogických myšlienok ().

Urobte si doma úlohy na tému „Štvorsten“, ako nájsť okraj štvorstena, steny štvorstenu, vrcholy a povrch štvorstenu

1. Geometria. 10.-11. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill. Úlohy 18, 19, 20 s. 50

2. Bod E stredné rebro MAštvorsten IAWS. Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi B, C a E.

3. V štvorstene MAVS patrí bod M k ploche AMB, bod P k ploche BMC a bod K k hrane AC. Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi M, R, K.

4. Aké obrazce možno získať ako výsledok priesečníka štvorstenu rovinou?

Poznámka. Toto je časť hodiny s úlohami z geometrie (časť objemová geometria, úlohy o pyramíde). Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. V úlohách sa namiesto symbolu „druhej odmocniny“ používa funkcia sqrt (), v ktorej sqrt je symbol druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.Pre jednoduché radikálne výrazy možno použiť znak „√“.. pravidelný štvorsten je pravidelná trojuholníková pyramída, ktorej všetky steny sú rovnostranné trojuholníky.

Pre pravidelný štvorsten sú všetky dvojstenné uhly na hranách a všetky trojstenné uhly vo vrcholoch rovnaké

Štvorsten má 4 steny, 4 vrcholy a 6 hrán.

Základné vzorce pre pravidelný štvorsten sú uvedené v tabuľke.

Kde:
S - Povrchová plocha pravidelného štvorstenu
V - objem
h - výška znížená na základňu
r - polomer kružnice vpísanej do štvorstenu
R - polomer kružnice opísanej
a - dĺžka rebra

Praktické príklady

Úloha.
Nájdite povrch trojuholníkovej pyramídy s každou hranou rovnou √3

Riešenie.
Keďže všetky okraje trojuholníkovej pyramídy sú rovnaké, je to správne. Povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je S = a 2 √3.
Potom
S = 3√3

Odpoveď: 3√3

Úloha.
Všetky hrany pravidelného trojuholníkového ihlanu majú 4 cm. Nájdite objem ihlana

Riešenie.
Keďže v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sa výška pyramídy premieta do stredu podstavy, ktorá je zároveň stredom opísanej kružnice, potom

AO = R = √3/3a
AO = 4√3 / 3

Výšku pyramídy OM teda možno zistiť z pravouhlého trojuholníka AOM

AO2 + OM2 = AM 2
OM2 = AM2 - AO2
OM2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Objem pyramídy sa zistí podľa vzorca V = 1/3 Sh
V tomto prípade nájdeme plochu základne podľa vzorca S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odpoveď: 16√2/3 cm

Sekcie: Matematika

Plán prípravy a priebehu hodiny:

I. Prípravná fáza:

Zopakovanie známych vlastností trojuholníkovej pyramídy.
Predloženie hypotéz o možných, predtým neuvažovaných, vlastnostiach štvorstenu.
Vytvorenie skupín na vykonávanie výskumu týchto hypotéz.
Rozdelenie úloh pre každú skupinu (berúc do úvahy túžbu).
Rozdelenie zodpovednosti za úlohu.

II. Hlavné pódium:

Riešenie hypotézy.
Konzultácie s učiteľom.
Pracovná forma.

III. Záverečná fáza:

Prezentácia a obhajoba hypotézy.

Ciele lekcie:

zovšeobecňovať a systematizovať vedomosti a zručnosti žiakov; naštudovať si ďalší teoretický materiál na zadanú tému; naučiť aplikovať vedomosti pri riešení neštandardných problémov, vidieť v nich jednoduché komponenty;
formovať zručnosti študentov pri práci s doplnkovou literatúrou, zlepšovať schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, nájsť to hlavné v tom, čo čítajú, dokazovať nové veci; rozvíjať komunikačné schopnosti žiakov;
pestovať grafickú kultúru.

Prípravná fáza (1 lekcia):

Študentský odkaz „Tajomstvo veľkých pyramíd“.
Úvodné slovo učiteľa o rozmanitosti typov pyramíd.
Otázky do diskusie:

Na základe čoho môžu byť nepravidelné trojuholníkové pyramídy kombinované

Čo rozumieme pod ortocentrom trojuholníka a čo možno nazvať ortocentrom štvorstenu

Má pravouhlý štvorsten ortocentrum?

Ktorý štvorsten sa nazýva izoedrický Aké vlastnosti môže mať

V dôsledku zvažovania rôznych tetraedrov, diskusií o ich vlastnostiach sa pojmy objasňujú a objavuje sa určitá štruktúra:

Zvážte vlastnosti pravidelného štvorstenu. (Príloha)

Vlastnosti 1-4 sú dokázané slovne pomocou snímky 1.

Vlastnosť 1: Všetky hrany sú rovnaké.

Vlastnosť 2: Všetky rovinné uhly sú 60°.

Vlastnosť 3: Súčet rovinných uhlov v ľubovoľných troch vrcholoch štvorstenu je 180°.

Vlastnosť 4: Ak je štvorsten pravidelný, potom sa ktorýkoľvek z jeho vrcholov premieta do ortocentra protiľahlej steny.

Vzhľadom na to:

ABCD je pravidelný štvorsten

AH - výška

dokázať:

H - ortocentrum

dôkaz:

1) bod H sa môže zhodovať s ktorýmkoľvek z bodov A, B, C. Nech H ?B, H ?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Zvážte ABH, BCH, ADH

AD - všeobecné => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB \u003d AC \u003d AD t. H - je ortocentrum ABC

Q.E.D.

V prvej lekcii sú vlastnosti 5-9 formulované ako hypotézy, ktoré vyžadujú dôkaz.

Každá skupina dostane svoju vlastnú domácu úlohu:

Dokážte jednu z vlastností.

Pripravte si zdôvodnenie s prezentáciou.

II. Hlavná fáza (do týždňa):

Riešenie hypotézy.
Konzultácie s učiteľom.
Pracovná forma.

III. Záverečná fáza (1-2 lekcie):

Reprezentácia a obhajoba hypotézy pomocou prezentácií.

Pri príprave materiálu na záverečnú hodinu študenti dospejú k záveru o vlastnostiach priesečníka výšok, súhlasíme s tým, že to budeme nazývať „úžasným“ bodom.

Vlastnosť 5: Stredy opísanej a vpísanej gule sa zhodujú.

Vzhľadom na to:

DABC je pravidelný štvorsten

Asi 1 - stred opísanej gule

O - stred vpísanej gule

N je bod dotyku vpísanej gule s plochou ABC

Dokážte: O 1 = O

dôkaz:

Nech OA = OB =OD = OC sú polomery kružnice opísanej

Zapnite + (ABC)

AON = CON - pravouhlý, pozdĺž nohy a prepony => AN = CN

Vynechať OM + (BCD)

COM DOM - pravouhlý, pozdĺž nohy a prepony => CM = DM

Z odseku 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON,OM - polomery vpísanej kružnice.

Veta bola dokázaná.

Pre pravidelný štvorsten existuje možnosť jeho vzájomného usporiadania s guľou - dotyk s určitou guľou so všetkými jej okrajmi. Takáto guľa sa niekedy nazýva „polopísaná“ guľa.

Vlastnosť 6: Segmenty spájajúce stredy protiľahlých hrán a kolmé na tieto hrany sú polomery napoly vpísanej gule.

Vzhľadom na to:

ABCD je pravidelný štvorsten;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

dokázať:

LO=OK=OS=OM=ON=OP

Dôkaz.

Tetrahedron ABCD - pravidelný => AO= BO = CO = DO

Zvážte trojuholníky AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – rovnoramenné =>
OL - medián, výška, os
AO=CO=>?AOC– rovnoramenné =>
OK - medián, výška, os
CO=DO=>?COD– rovnoramenné =>
ON– medián, výška, bisector AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–rovnomerný => BOD=BOC=AOD
OM – medián, výška, stred
AO=DO=>?AOD– rovnoramenné =>
OS - medián, výška, os
BO=CO=>?BOC– rovnoramenné =>
OP – medián, výška, os
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - výšky v rovnakých polomeroch OL,OK,ON,OM,OS, OP

rovnoramenné trojuholníky gule

Dôsledok:

Pravidelný štvorsten obsahuje polovpísanú guľu.

Vlastnosť 7: ak je štvorsten pravidelný, potom sú každé dva protiľahlé okraje štvorstenu navzájom kolmé.

Vzhľadom na to:

DABC je pravidelný štvorsten;

H - ortocentrum

dokázať:

dôkaz:

DABC - pravidelný štvorsten =>? ADB - rovnostranný

(ADB) (EDC) = ED

ED - výška ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Podobne je dokázaná kolmosť ostatných hrán.

Vlastnosť 8: Šesť rovín symetrie sa pretína v jednom bode. Štyri priame čiary sa pretínajú v bode O, vedené stredmi kružníc opísaných v blízkosti plôch kolmých na roviny plôch a bod O je stredom opísanej gule.

Vzhľadom na to:

ABCD je pravidelný štvorsten

dokázať:

O je stred opísanej gule;

6 rovín symetrie sa pretína v bode O;

Dôkaz.

CG + BD BCD - rovnostranný => GO + BD (podľa vety troch kolmíc GO + BD)

BG = GD, pretože AG - ABD medián

ABD (ABD)=> ? BOD - rovnoramenný => BO=DO

ED + AB, as ABD - rovnostranný => OE + AD (podľa vety o troch kolmiciach)

BE = AE, pretože DE - medián?ABD

ABD (ABD) =>?AOB - rovnoramenný =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (troma

BF + AC, pretože ABC - rovnostranné kolmice)

AF = FC, pretože BF - medián? ABC

ABC (ABC) => AOC - rovnoramenné => AO = CO

(AOC) a (ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO sú polomery gule,

AO = CO ohraničený štvorstenom ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

V dôsledku toho:

Bod O je stredom opísanej gule,

V bode O sa pretína 6 rovín symetrie.

Nehnuteľnosť 9: Tupý uhol medzi kolmicami prechádzajúcimi cez vrcholy štvorstenu k ortocentrám je 109°28"

Vzhľadom na to:

ABCD je pravidelný štvorsten;

O je stred opísanej gule;

dokázať:

dôkaz:

1)AS - výška

ASB = 90 o OSB obdĺžnikové

2) (podľa vlastnosti pravidelného štvorstenu)

3)AO=BO - polomery opísanej gule

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

je priesečník výšok pravidelného štvorstenu

je stredom vpísanej gule

je stredom polovpísanej gule

je stredom opísanej gule

je ťažisko štvorstenu

je vrcholom štyroch rovnakých pravidelných trojuholníkových ihlanov so základňami - stenami štvorstenu.

Záver.

(Učiteľ a študenti zhrnú lekciu. Jeden zo študentov hovorí stručnou správou o tetraedroch ako štruktúrnej jednotke chemických prvkov.)

Študujú sa vlastnosti pravidelného štvorstenu a jeho „prekvapivý“ bod.

Zistilo sa, že tvar iba takého štvorstenu, ktorý má všetky vyššie uvedené vlastnosti, ako aj „ideálny“ bod, môžu obsadiť molekuly silikátov a uhľovodíkov. Alebo molekuly môžu pozostávať z niekoľkých pravidelných štvorstenov. V súčasnosti je štvorsten známy nielen ako predstaviteľ starovekej civilizácie, matematiky, ale aj ako základ štruktúry látok.

Silikáty sú soli podobné látky obsahujúce zlúčeniny kremíka s kyslíkom. Ich názov pochádza z latinského slova "silex" - "flint". Základom silikátových molekúl sú atómové radikály, ktoré majú formu tetraédra.

Silikáty sú piesok, hlina, tehly, sklo, cement, smalt, mastenec, azbest, smaragd a topaz.

Silikáty tvoria viac ako 75 % zemskej kôry (a spolu s kremeňom asi 87 %) a viac ako 95 % vyvrelých hornín.

Dôležitou vlastnosťou silikátov je schopnosť vzájomnej kombinácie (polymerizácie) dvoch alebo viacerých kremíkových kyslíkových tetraérov prostredníctvom spoločného atómu kyslíka.

Rovnaká forma molekúl má nasýtené uhľovodíky, ale na rozdiel od kremičitanov pozostávajú z uhlíka a vodíka. Všeobecný vzorec molekúl

Medzi uhľovodíky patrí zemný plyn.

Je potrebné zvážiť vlastnosti pravouhlých a izoedrických štvorstenov.

Literatúra.

Potapov V.M., Tatarinchik S.N. "Organická chémia", Moskva 1976.
Babarin V.P. „Tajomstvá veľkých pyramíd“, Petrohrad, 2000
Sharygin I. F. „Problémy v geometrii“, Moskva, 1984
Veľký encyklopedický slovník.
"Adresár škôl", Moskva, 2001.

|
štvorsten, štvorstenné vzorce
Tetrahedron(staroveká gréčtina τετρά-εδρον - štvorsten, z inej gréčtiny. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέτορες, τέτορες – „štyri“ + iná gréčtina. ἕδρα - "sedadlo, základňa") - najjednoduchší mnohosten, ktorého strany sú štyri trojuholníky. Štvorsten má 4 steny, 4 vrcholy a 6 hrán. Štvorsten, v ktorom sú všetky steny rovnostranné trojuholníky, sa nazýva pravidelný. Pravidelný štvorsten je jedným z piatich pravidelných mnohostenov.

1 Vlastnosti štvorstenu
2 Typy štvorstenov
3 Objem štvorstenu
4 štvorsteny v mikrokozme
5 Tetrahedra v prírode
6 Tetrahedra v strojárstve
7 Poznámky
8 Pozri tiež

Vlastnosti štvorstenu

Rovnobežné roviny prechádzajúce dvojicami krížiacich sa hrán štvorstenu určujú rovnobežnosten opísaný v blízkosti štvorstenu.
Rovina prechádzajúca stredmi dvoch pretínajúcich sa hrán štvorstenu ho rozdeľuje na dve časti rovnakého objemu.: 216-217

Typy štvorstenov

Okrem pravidelného štvorstenu sa rozlišujú nasledujúce špeciálne typy štvorstenov.

Rovnostranný štvorsten, v ktorom sú všetky steny navzájom rovnaké trojuholníky.
Ortocentrický štvorsten, v ktorom sa všetky výšky klesajúce z vrcholov na opačné steny pretínajú v jednom bode.
Obdĺžnikový štvorsten, v ktorom sú všetky hrany susediace s jedným z vrcholov navzájom kolmé.
Štvorsten kostry – štvorsten, ktorý spĺňa niektorú z nasledujúcich podmienok:
- je tu guľa dotýkajúca sa všetkých okrajov,
- súčty dĺžok pretínajúcich sa hrán sú rovnaké,
- súčty dihedrálnych uhlov na opačných okrajoch sú rovnaké,
- kruhy vpísané do tvárí sa dotýkajú v pároch,
- všetky štvoruholníky vyplývajúce z vývoja štvorstenu sú ohraničené,
- kolmice vztýčené k tváram zo stredov do nich vpísaných kružníc sa pretínajú v jednom bode.
Primeraný štvorsten, ktorého výšky sú rovnaké.
Incentrický štvorsten, v ktorom sa segmenty spájajúce vrcholy štvorstenu so stredmi kružníc vpísaných do protiľahlých plôch pretínajú v jednom bode.

Objem štvorstenu

Objem štvorstenu (berúc do úvahy znamienko), ktorého vrcholy sú v bodoch, sa rovná:

Alebo kde je oblasť ktorejkoľvek tváre a či je výška znížená na túto tvár.

Pokiaľ ide o dĺžky hrán, objem štvorstenu je vyjadrený pomocou Cayley-Mengerovho determinantu:

Tetrahedra v mikrokozme

Počas sp3 hybridizácie atómových orbitálov vzniká pravidelný štvorsten (ich osi sú nasmerované k vrcholom pravidelného štvorstenu a jadro centrálneho atómu sa nachádza v strede opísanej sféry pravidelného štvorstenu), preto je molekuly, v ktorých prebieha takáto hybridizácia centrálneho atómu, majú formu tohto mnohostenu
molekula metánu CH4
Amónny ión NH4+
Síranový ión SO42-, fosfátový ión PO43-, chloristanový ión ClO4- a mnoho ďalších iónov
Diamant C je štvorsten s hranou rovnou 2,5220 angstromov
Fluorit CaF2, štvorsten s hranou rovnou 3 8626 angstromov
Sfalerit, ZnS, štvorsten s hranou rovnou 3,823 angstromov
Komplexné ióny -, 2-, 2-, 2+
Silikáty na báze kremíkovo-kyslíkového štvorstenu 4-

Tetrahedra v prírode

orechový štvorsten

Tetrahedra v strojárstve

Štvorsten tvorí tuhú, staticky určitú štruktúru. Štvorsten z prútov sa často používa ako základ priestorových nosných konštrukcií stavebných rozpätí, stropov, nosníkov, krovov, mostov a pod. Prúty sú zaťažené len pozdĺžnym zaťažením.
Obdĺžnikový štvorsten sa používa v optike. Ak sú plochy s pravým uhlom pokryté reflexnou kompozíciou alebo je celý štvorsten vyrobený z materiálu so silným lomom svetla tak, že dochádza k efektu úplného vnútorného odrazu, potom svetlo smerujúce na tvár oproti vrcholu s pravými uhlami bude sa odráža v tom istom smere, z ktorého prišiel. Táto vlastnosť sa používa na vytvorenie rohových reflektorov, reflektorov.
Kvartérny spúšťací graf je štvorsten.

Poznámky

Dvoretského staroveký grécko-ruský slovník "τετρά-εδρον"
Selivanov D.F.,. Geometrické telo // Encyklopedický slovník Brockhausa a Efrona: 86 zväzkov (82 zväzkov a 4 dodatočné). - Petrohrad, 1890-1907.
Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v príkladoch a problémoch. - M.: Vyššia škola, 1985. - 232 s.
V. E. MATIZEN Izoedrický a drôtený štvorsten "Quantum" č. 7, 1983
http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Spúšťač

pozri tiež

Simplex - n-rozmerný štvorsten

Polyhedra

Správne
(Platónske pevné látky)

Správne
nekonvexné

Hviezdicový dvanásťsten Hviezdicový ikoziddekaedrón Hviezdicový dvadsaťsten Hviezdicový mnohosten Hviezdicový osemsten

konvexné

Archimedove pevné látky	Kuboktaedrón Ikoziddekaedrón Zrezaný štvorsten Zrezaný osemsten Zrezaný dvadsaťsten Zrezaný kváder Zrezaný dvanásťsten Kosoštvorcový osemsten Kosoštvorec Zrezaný kuboktaedrón Kosoštvorcový kosoštvorcový štvorsten Zrezaný ikoziddekaedrón Zrezaný dvojstenný kváder
Katalánske telá	kosoštvorcový štvorsten Kosoštvorcový štvorsten Triakistetraedrón štvorstenný štvorsten päťstenný dodekaedrón trojstenný trojsten triakizikozasahedrón deltový štvorsten ikosittrahedron deltový dvojstenný štvorsten päťuholníkový ikosittrahedron päťuholníkový šesťhranný štvorsten Dishedakisdakisdode
Bez úplného priestorové symetria	Hranol pyramídy Dvojpyramída antihranol Zonohedrón Rovnobežník Kosoštvorcový Prizmatoid Zrezaná pyramída
Pentagondodecahedron Rovnobežník

vzorce,
teorémy
teórie

Aleksandrovova veta o konvexných polytopoch Bleeckerova veta Cauchyho veta o polytopoch Lindelöfova veta o polytope Minkowského veta o polytopoch Sabitovova veta Eulerova veta o polytopoch Schläfliho vzorec

Iné

Ortocentrický štvorsten Izoedrický štvorsten Pravouhlý rovnobežnosten Skupina mnohostenov Dvanásťsteny Plný uhol Jednotková kocka Flexibilný mnohosten Vývoj Schläfli symbol Johnson mnohosten

štvorsten štvorsten štvorsten papierový štvorsten, štvorstenné obrázky, štvorstenové obrázky, štvorstenové obrázky, štvorstenná definícia, štvorstenná definícia, štvorstenná definícia, vzorec štvorsten, vzorec štvorsten, vzorec štvorsten, kresba štvorstena, kresba štvorstena, kresba štvorstena, štvorstenná kresba, štvorstenná kresba, štvorstenná kresba, štvorstenná kresba, štvorstenná kresba

Definícia pravidelného štvorstenu. Pravidelný štvorsten (pyramída). Tetrahedra v mikrokozme

Ortocentrický štvorsten

Obdĺžnikový štvorsten

Drôtený štvorsten

Porovnateľný štvorsten

Incentrický štvorsten

pravidelný štvorsten

Objem štvorstenu

Tetrahedra v mikrokozme

Tetrahedra v prírode

Tetrahedra v strojárstve

pozri tiež

Napíšte recenziu na článok "Tetrahedron"

Poznámky

Literatúra

Úryvok charakterizujúci Tetrahedron

Definícia štvorstenu

Praktické príklady

Vlastnosti štvorstenu

Typy štvorstenov

Objem štvorstenu

Tetrahedra v mikrokozme

Tetrahedra v prírode

Tetrahedra v strojárstve

Poznámky

pozri tiež

Informácie o štvorstene O

Nové články

Populárne články