Zostrojenie dotyčnice ku grafu funkcie. Tangenta ku grafu funkcie v bode. Tangentová rovnica. Geometrický význam derivácie

Zapnuté moderná scéna rozvoj vzdelania, jednou z jeho hlavných úloh je formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základ pre študentov používať ich tvorivé sily, schopnosti a talent formujú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je problém formovania systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školský kurz matematika nemá malý význam. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených interagujúcich prvkov, ktoré majú celistvosť a stabilnú štruktúru.

Uvažujme o technike, ako naučiť študentov písať rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie. V podstate všetky problémy hľadania tangensovej rovnice spočívajú v potrebe vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicou ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (rovnobežný lúč priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy problémov:

1) problémy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) problémy na dotyčnici danej jej sklonom.

Školenie v riešení tangenciálnych problémov sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jeho zásadný rozdiel z už známych je, že úsečka dotykového bodu sa označuje písmenom a (namiesto x0), a preto rovnica dotyčnice nadobúda tvar

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(porovnaj s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho pochopiť, kde sú súradnice aktuálneho bodu v všeobecnú tangentovú rovnicu a kde sú body dotyku.

Algoritmus na zostavenie tangensovej rovnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Nájdené čísla a, f(a), f "(a) dosaďte do všeobecnej rovnice dotyčnice y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe nezávislej identifikácie operácií študentov a postupnosti ich implementácie.

Prax ukázala, že postupné riešenie každého z kľúčových problémov pomocou algoritmu vám umožňuje rozvíjať zručnosti zapisovania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako referenčné body pre akcie. . Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

• dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
• dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je dotykový bod, pretože

1. a = 3 – úsečka dotykového bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentová rovnica.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = – x 2 – 4x + 2 prechádzajúcej bodom M(– 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, keďže f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a = – 2, rovnica dotyčnice má tvar y = 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

• dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
• dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y = 9x + 1.

1. a – úsečka dotykového bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhej strane f "(a) = 9 (podmienka rovnobežnosti). To znamená, že potrebujeme vyriešiť rovnicu 3a 2 – 6a = 9. Jej korene sú a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f" (– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – tangensová rovnica.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 – 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) = tan 45° zistíme a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – úsečka dotykového bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému spočíva v riešení jedného alebo viacerých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka dotykového bodu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka bodu dotyku jednej zo strán pravý uhol.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnica prvej dotyčnice.

Nech a je uhol sklonu prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdeme

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je rovný .

Ďalšie riešenie sa týka kľúčovej úlohy 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. – úsečka druhého bodu dotyku.
2.
3.
4.
– rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Uhlový koeficient dotyčnice sa dá ľahšie zistiť, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = – 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií

Riešenie. Problém spočíva v nájdení úsečky tečných bodov spoločných dotyčníc, teda pri riešení kľúčového problému 1 v všeobecný pohľad, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú všeobecné, potom

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na samostatné rozpoznanie typu kľúčového problému pri riešení zložitejších problémov, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém (inverzný k problému 1) nájsť funkciu z rodiny jej dotyčníc.

3. Pre aké b a c sú priamky y = x a y = – 2x dotyčnica ku grafu funkcie y = x 2 + bx + c?

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka dotykového bodu priamky y = – 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c – t 2 a rovnica dotyčnice y = – 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c – p 2 .

Zostavme a riešme sústavu rovníc

odpoveď:

Zvážte nasledujúci obrázok:

Znázorňuje určitú funkciu y = f(x), ktorá je diferencovateľná v bode a. Bod M so súradnicami (a; f(a)) je označený. Sečnica MR je nakreslená cez ľubovoľný bod P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu.

Ak sa teraz bod P posunie pozdĺž grafu do bodu M, potom sa priamka MR bude otáčať okolo bodu M. V tomto prípade bude ∆x inklinovať k nule. Odtiaľ môžeme formulovať definíciu dotyčnice ku grafu funkcie.

Tangenta ku grafu funkcie

Dotyčnica ku grafu funkcie je limitnou pozíciou sečny, pretože prírastok argumentu má tendenciu k nule. Treba si uvedomiť, že existencia derivácie funkcie f v bode x0 znamená, že v tomto bode grafu je dotyčnica jemu.

V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice bude rovnať derivácii tejto funkcie v tomto bode f'(x0). Toto je geometrický význam derivácie. Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode x0 je určitá priamka prechádzajúca bodom (x0;f(x0)) a má uhlový koeficient f’(x0).

Tangentová rovnica

Skúsme získať rovnicu dotyčnice ku grafu nejakej funkcie f v bode A(x0; f(x0)). Rovnica priamky so sklonom k ​​má ďalší pohľad:

Pretože náš koeficient sklonu sa rovná derivácii f'(x0), potom bude mať rovnica nasledujúci tvar: y = f'(x0)*x + b.

Teraz vypočítajme hodnotu b. Využívame na to fakt, že funkcia prechádza bodom A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtiaľto vyjadríme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Výslednú hodnotu dosadíme do rovnice dotyčnice:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Uvažujme nasledujúci príklad: nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v bode x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dosaďte získané hodnoty do tangentového vzorca, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov dostaneme: y = 4*x - 7.

Odpoveď: y = 4*x - 7.

Všeobecná schéma na zostavenie tangentovej rovnice do grafu funkcie y = f(x):

1. Určte x0.

2. Vypočítajte f(x0).

3. Vypočítajte f’(x)

V tomto článku analyzujeme všetky typy problémov, ktoré treba nájsť

Spomeňme si geometrický význam derivácie: ak je ku grafu funkcie v bode nakreslená dotyčnica, potom koeficient sklonu dotyčnice (rovnajúci sa dotyčnici uhla medzi dotyčnicou a kladným smerom osi) sa rovná derivácii funkcie. v bode.

Zoberme si ľubovoľný bod na dotyčnici so súradnicami:

A zvážte pravouhlý trojuholník:

V tomto trojuholníku

Odtiaľ

Toto je rovnica dotyčnice nakreslená ku grafu funkcie v bode.

Na napísanie rovnice dotyčnice nám stačí poznať rovnicu funkcie a bod, v ktorom je dotyčnica nakreslená. Potom môžeme nájsť a .

Existujú tri hlavné typy problémov tangenciálnych rovníc.

1. Daný kontaktný bod

2. Je daný koeficient sklonu dotyčnice, teda hodnota derivácie funkcie v bode.

3. Dané sú súradnice bodu, cez ktorý je dotyčnica vedená, ale ktorý nie je dotykovým bodom.

Pozrime sa na každý typ úlohy.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

.

b) Nájdite hodnotu derivátu v bode . Najprv nájdime deriváciu funkcie

Nájdené hodnoty dosadíme do tangentovej rovnice:

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice. Dostaneme:

odpoveď: .

2. Nájdite úsečku bodov, v ktorých sa funkcie dotýkajú grafu rovnobežne s osou x.

Ak je dotyčnica rovnobežná s osou x, uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi je nulový, preto je dotyčnica uhla dotyčnice nula. To znamená, že hodnota derivácie funkcie v bodoch dotyku je nula.

a) Nájdite deriváciu funkcie .

b) Prirovnajme deriváciu k nule a nájdime hodnoty, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou:

Prirovnaním každého faktora k nule dostaneme:

Odpoveď: 0;3;5

3. Napíšte rovnice pre dotyčnice ku grafu funkcie , paralelný rovno .

Dotyčnica je rovnobežná s priamkou. Sklon tejto čiary je -1. Keďže dotyčnica je rovnobežná s touto priamkou, sklon dotyčnice je tiež -1. Teda poznáme sklon dotyčnice, a tým, derivačná hodnota v bode dotyku.

Toto je druhý typ problému na nájdenie tangentovej rovnice.

Dostaneme teda funkciu a hodnotu derivácie v bode dotyku.

a) Nájdite body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná -1.

Najprv nájdime derivačnú rovnicu.

Prirovnajme deriváciu k číslu -1.

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa podmienok)

.

b) Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa stavu).

Dosadme tieto hodnoty do tangentovej rovnice:

.

odpoveď:

4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke , prechod cez bod

Najprv skontrolujme, či je bod dotykovým bodom. Ak je bod dotykovým bodom, potom patrí do grafu funkcie a jeho súradnice musia spĺňať rovnicu funkcie. Dosadíme súradnice bodu do rovnice funkcie.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} záporné číslo, rovnosť nie je pravdivá a bod nepatrí do grafu funkcie a nie je styčným bodom.

Toto je posledný typ problému na nájdenie tangentovej rovnice. Prvá vec musíme nájsť úsečku dotykového bodu.

Poďme nájsť hodnotu.

Nech je styčným bodom. Bod patrí dotyčnici ku grafu funkcie. Ak dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice, dostaneme správnu rovnosť:

.

Hodnota funkcie v bode je .

Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode.

Najprv nájdime deriváciu funkcie. Toto .

Derivácia v bode sa rovná .

Dosadíme výrazy za a do tangentovej rovnice. Dostaneme rovnicu pre:

Poďme vyriešiť túto rovnicu.

Znížte čitateľa a menovateľa zlomku o 2:

Dajme si pravá strana rovnice k spoločný menovateľ. Dostaneme:

Zjednodušme čitateľa zlomku a vynásobme obe strany - tento výraz je striktne väčší ako nula.

Dostaneme rovnicu

Poďme to vyriešiť. Aby sme to urobili, urobme štvorec oboch častí a prejdeme k systému.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))) ( )">!}

Poďme vyriešiť prvú rovnicu.

Rozhodnime sa kvadratická rovnica, dostaneme

Druhý koreň nespĺňa podmienku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napíšeme rovnicu dotyčnice ku krivke v bode. Ak to chcete urobiť, dosaďte hodnotu do rovnice - Už sme to nahrali.

odpoveď:
.

Inštrukcie

Určíme uhlový koeficient dotyčnice ku krivke v bode M.
Krivka predstavujúca graf funkcie y = f(x) je spojitá v určitom okolí bodu M (vrátane samotného bodu M).

Ak hodnota f‘(x0) neexistuje, potom buď neexistuje dotyčnica, alebo prebieha vertikálne. Z tohto hľadiska je prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 spôsobená existenciou nevertikálnej dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice bude rovnať f "(x0). Tým sa objasní geometrický význam derivácie - výpočet uhlového koeficientu dotyčnice.

Nájdite hodnotu abscisy dotyčnicového bodu, ktorý je označený písmenom „a“. Ak sa zhoduje s daným dotykovým bodom, potom „a“ bude jeho x-ová súradnica. Určte hodnotu funkcie f(a) dosadením do rovnice funkcie abscisa hodnota.

Určte prvú deriváciu rovnice funkcie f’(x) a dosaďte doň hodnotu bodu „a“.

Vezmite všeobecnú tangentovú rovnicu, ktorá je definovaná ako y = f(a) = f (a)(x – a), a dosaďte do nej nájdené hodnoty a, f(a), f "(a). Výsledkom bude, že riešenie grafu bude nájdené a dotyčnicové.

Vyriešte úlohu iným spôsobom, ak sa daný dotykový bod nezhoduje s dotykovým bodom. V tomto prípade je potrebné namiesto čísel v tangentovej rovnici nahradiť „a“. Potom namiesto písmen „x“ a „y“ nahraďte hodnotu súradnice daný bod. Vyriešte výslednú rovnicu, v ktorej „a“ je neznáma. Vložte výslednú hodnotu do rovnice dotyčnice.

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu s písmenom „a“, ak problém špecifikuje rovnicu funkcie a rovnicu rovnobežky vzhľadom k požadovanej dotyčnici. Potom potrebujeme deriváciu funkcie

Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Už viete, čo je derivát? Ak nie, najprv si prečítajte tému. Takže hovoríte, že poznáte derivát. Teraz to skontrolujeme. Nájdite prírastok funkcie, keď je prírastok argumentu rovný. Zvládli ste to? Malo by to fungovať. Teraz nájdite deriváciu funkcie v bode. Odpoveď: . Stalo? Ak máte problémy s niektorým z týchto príkladov, dôrazne vám odporúčam vrátiť sa k téme a znova si ju preštudovať. Viem, že téma je veľmi veľká, ale inak nemá zmysel ísť ďalej. Zvážte graf nejakej funkcie:

Vyberme si určitý bod na čiare grafu. Nech je jeho úsečka, potom sa ordináta rovná. Potom vyberieme bod s úsečkou blízko bodu; jeho ordináta je:

Cez tieto body nakreslíme priamku. Nazýva sa to sekans (rovnako ako v geometrii). Označme uhol sklonu priamky k osi ako. Rovnako ako v trigonometrii sa tento uhol meria od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek. Aké hodnoty môže mať uhol? Bez ohľadu na to, ako nakloníte túto priamku, jedna polovica bude stále trčať. Preto maximálny možný uhol je , a minimálny možný uhol je . Znamená, . Uhol nie je zahrnutý, pretože poloha priamky sa v tomto prípade presne zhoduje s a je logickejšie zvoliť menší uhol. Zoberme si bod na obrázku tak, že priamka je rovnobežná s osou x a a je ordináta:

Z obrázku je vidieť, že a. Potom je pomer prírastkov:

(keďže je obdĺžnikový).

Teraz to zredukujme. Potom sa bod priblíži k bodu. Keď sa stane infinitezimálnym, pomer sa rovná derivácii funkcie v bode. Čo sa stane so sektom? Bod bude nekonečne blízko bodu, takže ich možno považovať za rovnaký bod. Ale priamka, ktorá má len jednu s krivkou spoločný bod- to nie je nič viac ako dotyčnica(V v tomto prípade táto podmienka je splnená len na malej ploche - blízko bodu, ale to stačí). Hovorí sa, že v tomto prípade zaberá sekanta limitná poloha.

Nazvime uhol sklonu sečnice k osi. Potom sa ukáže, že derivát

to jest derivácia sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode.

Keďže dotyčnica je priamka, spomeňme si teraz na rovnicu priamky:

Za čo je zodpovedný koeficient? Pre sklon priamky. Toto sa volá: sklon. Čo to znamená? A skutočnosť, že sa rovná dotyčnici uhla medzi priamkou a osou! Takže toto sa stane:

Ale toto pravidlo sme získali zvážením zvyšujúcej sa funkcie. Čo sa zmení, ak sa funkcia zníži? Pozrime sa:
Teraz sú uhly tupé. A prírastok funkcie je záporný. Uvažujme ešte raz: . Na druhej strane, . Dostaneme: , to znamená, že všetko je ako naposledy. Opäť nasmerujeme bod do bodu a sečna zaujme hraničnú polohu, to znamená, že sa zmení na dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Sformulujme teda posledné pravidlo:
Derivácia funkcie v danom bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo (ktorá je rovnaká) sklonu tejto dotyčnice:

Tak to je geometrický význam derivácie. Dobre, toto všetko je zaujímavé, ale prečo to potrebujeme? Tu príklad:
Na obrázku je znázornený graf funkcie a jej dotyčnica v bode úsečky. Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode.
Riešenie.
Ako sme nedávno zistili, hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice, ktorý sa zase rovná dotyčnici uhla sklonu tejto dotyčnice k osi x. To znamená, že na nájdenie hodnoty derivácie potrebujeme nájsť tangens tangensového uhla. Na obrázku máme vyznačené dva body ležiace na dotyčnici, ktorých súradnice sú nám známe. Dokončime teda konštrukciu pravouhlého trojuholníka prechádzajúceho týmito bodmi a nájdime dotyčnicu dotyčnicového uhla!

Uhol sklonu dotyčnice k osi je. Nájdite tangens tohto uhla: . Derivácia funkcie v bode sa teda rovná.
odpoveď:. Teraz to skúste sami:

Odpovede:

Vedieť geometrický význam derivácie, môžeme veľmi jednoducho vysvetliť pravidlo, že derivácia v bode lokálneho maxima alebo minima sa rovná nule. V skutočnosti je dotyčnica ku grafu v týchto bodoch „horizontálna“, to znamená rovnobežná s osou x:

Prečo? rovný uhlu medzi rovnobežnými čiarami? Samozrejme, nula! A tangens nuly je tiež nula. Takže derivácia sa rovná nule:

Prečítajte si o tom viac v téme „Monotónnosť funkcií. Extrémne body."

Teraz sa zamerajme na ľubovoľné tangenty. Povedzme, že máme nejakú funkciu, napríklad . Nakreslili sme jeho graf a chceme k nemu v určitom bode nakresliť dotyčnicu. Napríklad v bode. Vezmeme pravítko, priložíme ho ku grafu a nakreslíme:

Čo vieme o tejto linke? Čo je najdôležitejšie vedieť o priamke v súradnicovej rovine? Pretože rovná čiara je obraz lineárna funkcia, bolo by veľmi vhodné poznať jeho rovnicu. Teda koeficienty v rovnici

Ale my už vieme! Toto je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná derivácii funkcie v tomto bode:

V našom príklade to bude takto:

Teraz už zostáva len nájsť. Je to také jednoduché ako lúskanie hrušiek: koniec koncov - hodnota. Graficky je to súradnica priesečníka čiary so súradnicovou osou (napokon vo všetkých bodoch osi):

Nakreslíme to (takže je to obdĺžnikové). Potom (do rovnakého uhla medzi dotyčnicou a osou x). Čo sú a čomu sa rovnajú? Obrázok jasne ukazuje, že a. Potom dostaneme:

Všetky získané vzorce spojíme do rovnice priamky:

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Nájsť dotyčnicová rovnica k funkcii v bode.
2. Dotyčnica k parabole pretína os pod uhlom. Nájdite rovnicu tejto dotyčnice.
3. Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku dotykového bodu.
4. Čiara je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenia a odpovede:

ROVNICE TANGENTY KU GRAFU FUNKCIE. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÉ VZORCE

Derivácia funkcie v určitom bode sa rovná dotyčnici dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode alebo sklonu tejto dotyčnice:

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie v bode:

Algoritmus na nájdenie tangensovej rovnice:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nevyhnutne s riešeniami, podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!