Ko je kosinus enak sinusu. Pravila za iskanje trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens in kotangens

Preučevanje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije.

Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.

Ostri kot- manj kot 90 stopinj.

Topi kot- več kot 90 stopinj. V zvezi s takšnim kotom "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu.

Noge- strani ležita nasproti ostrih kotov.

Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.

Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje nasprotne strani do sosednje:

Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):

Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.

Dokažimo nekatere izmed njih.

V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svoje. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?

S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko najdete vse njegove trigonometrične funkcije s pomočjo posebnih tabel. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.

Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.

Upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih vrednostih kotov tangens in kotangens ne obstajata.

Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.

1. V trikotniku je kot , . Najdi .

Problem je rešen v štirih sekundah.

Od , .

2. V trikotniku je kot , , . Najdi .

Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.

Problem je rešen.

Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!

Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.

Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.

Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznanih stranic ali kotov. A to še ni vse! IN Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki je veliko problemov, kjer se pojavljajo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.

V tem članku bomo pokazali, kako dati definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota in števila v trigonometriji. Tukaj bomo govorili o notacijah, podali primere vnosov in podali grafične ponazoritve. Za zaključek naj potegnemo vzporednico med definicijami sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa v trigonometriji in geometriji.

Navigacija po straneh.

Definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa

Poglejmo, kako se oblikuje ideja sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa šolski tečaj matematika. Pri pouku geometrije je podana definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku. In kasneje se preučuje trigonometrija, ki govori o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu kota zasuka in številu. Naj predstavimo vse te definicije, navedemo primere in podamo potrebne komentarje.

Ostri kot v pravokotnem trikotniku

Iz predmeta geometrija poznamo definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku. Podane so kot razmerje stranic pravokotnega trikotnika. Naj podamo njihove formulacije.

Opredelitev.

Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Opredelitev.

Kosinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Opredelitev.

Tangenta ostrega kota v pravokotnem trikotniku– to je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Opredelitev.

Kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku- to je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo.

Tam so uvedene tudi oznake za sinus, kosinus, tangens in kotangens - sin, cos, tg oziroma ctg.

Na primer, če je ABC pravokotni trikotnik s pravim kotom C, potem je sinus ostrega kota A enak razmerju med nasprotno stranjo BC in hipotenuzo AB, to je sin∠A=BC/AB.

Te definicije vam omogočajo izračun vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota iz znanih dolžin strani pravokotnega trikotnika, pa tudi iz znane vrednosti poiščite dolžine drugih strani z uporabo sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa in dolžine ene od stranic. Na primer, če bi vedeli, da je v pravokotnem trikotniku krak AC enak 3 in hipotenuza AB enaka 7, potem bi lahko izračunali vrednost kosinusa ostrega kota A po definiciji: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Kot vrtenja

V trigonometriji začnejo na kot gledati širše – uvedejo pojem rotacijski kot. Velikost rotacijskega kota, za razliko od ostrega kota, ni omejena na 0 do 90 stopinj; rotacijski kot v stopinjah (in v radianih) je lahko izražen s poljubnim realnim številom od −∞ do +∞.

V tej luči so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa podane ne za ostri kot, temveč za kot poljubne velikosti - kot vrtenja. Podane so s koordinatama x in y točke A 1, v katero gre tako imenovana izhodiščna točka A(1, 0) po vrtenju za kot α okoli točke O - začetka pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. in središče enotskega kroga.

Opredelitev.

Sinus rotacijskega kotaα je ordinata točke A 1, to je sinα=y.

Opredelitev.

Kosinus rotacijskega kotaα imenujemo abscisa točke A 1, to je cosα=x.

Opredelitev.

Tangens kota vrtenjaα je razmerje med ordinato točke A 1 in njeno absciso, to je tanα=y/x.

Opredelitev.

Kotangens rotacijskega kotaα je razmerje med absciso točke A 1 in njeno ordinato, to je ctgα=x/y.

Sinus in kosinus sta definirana za vsak kot α, saj lahko vedno določimo absciso in ordinato točke, ki jo dobimo z vrtenjem izhodišča za kot α. Toda tangens in kotangens nista definirana za noben kot. Tangenta ni definirana za kote α, pri katerih gre začetna točka v točko z ničelno absciso (0, 1) ali (0, −1), in to se zgodi pri kotih 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Dejansko pri takšnih kotih vrtenja izraz tgα=y/x nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Kar zadeva kotangens, ni definiran za kote α, pri katerih gre začetna točka v točko z ničelno ordinato (1, 0) ali (−1, 0), in to se zgodi za kote 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Torej sta sinus in kosinus definirana za vse kote rotacije, tangens je definiran za vse kote razen 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), kotangens pa je definiran za vse kote razen 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definicije vključujejo že znane oznake sin, cos, tg in ctg, uporabljajo pa se tudi za označevanje sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota vrtenja (včasih lahko najdete oznake tan in cot, ki ustrezata tangensu in kotangensu) . Tako lahko sinus rotacijskega kota 30 stopinj zapišemo kot sin30°, vnosa tg(−24°17′) in ctgα ustrezata tangensu rotacijskega kota −24 stopinj 17 minut in kotangensu rotacijskega kota α . Spomnimo se, da pri pisanju radianske mere kota pogosto izpustimo oznako "rad". Na primer, kosinus rotacijskega kota treh pi rad je običajno označen s cos3·π.

Za zaključek te točke velja omeniti, da ko govorimo o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu vrtilnega kota, pogosto izpustimo izraz "rotacijski kot" ali besedo "rotacija". To pomeni, da se namesto besedne zveze "sinus rotacijskega kota alfa" običajno uporablja besedna zveza "sinus kota alfa" ali, še krajše, "sinus alfa". Enako velja za kosinus, tangens in kotangens.

Povedali bomo tudi, da so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku skladne s pravkar podanimi definicijami za sinus, kosinus, tangens in kotangens rotacijskega kota v razponu od 0 do 90 stopinj. To bomo utemeljili.

Številke

Opredelitev.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens števila t je število, ki je enako sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu rotacijskega kota v t radianih.

Na primer, kosinus števila 8·π je po definiciji število, ki je enako kosinusu kota 8·π rad. In kosinus kota 8·π rad je enak ena, torej je kosinus števila 8·π enak 1.

Obstaja še en pristop k določanju sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila. Sestoji iz dejstva, da vsak realno število t je pripisan točki na enotskem krogu s središčem v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema, sinus, kosinus, tangens in kotangens pa so določeni prek koordinat te točke. Oglejmo si to podrobneje.

Pokažimo, kako se vzpostavi ujemanje med realnimi števili in točkami na krogu:

• številu 0 priredimo izhodišče A(1, 0);
• pozitivnemu številu t je pridružena točka na enotskem krogu, do katere pridemo, če se po krožnici premaknemo od začetne točke v nasprotni smeri urinega kazalca in prehodimo pot dolžine t;
• negativno število t je pridružena točka enotskega kroga, v katero pridemo, če se po krožnici premikamo od začetne točke v smeri urinega kazalca in prehodimo pot dolžine |t| .

Zdaj preidimo na definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila t. Predpostavimo, da število t ustreza točki na krožnici A 1 (x, y) (na primer število &pi/2; ustreza točki A 1 (0, 1) ).

Opredelitev.

Sinus števila t je ordinata točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je sint=y.

Opredelitev.

Kosinus števila t imenujemo abscisa točke enotskega kroga, ki ustreza številu t, to je cena=x.

Opredelitev.

Tangens števila t je razmerje med ordinato in absciso točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je tgt=y/x. V drugi enakovredni formulaciji je tangens števila t razmerje med sinusom tega števila in kosinusom, to je tgt=sint/strošek.

Opredelitev.

Kotangens števila t je razmerje med absciso in ordinato točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je ctgt=x/y. Druga formulacija je naslednja: tangens števila t je razmerje med kosinusom števila t in sinusom števila t: ctgt=cost/sint.

Tukaj ugotavljamo, da so pravkar navedene definicije skladne z definicijo, podano na začetku tega odstavka. Dejansko točka na enotskem krogu, ki ustreza številu t, sovpada s točko, ki jo dobimo z vrtenjem začetne točke za kot t radianov.

Še vedno je vredno pojasniti to točko. Recimo, da imamo vnos sin3. Kako lahko razumemo, ali govorimo o sinusu števila 3 ali sinusu rotacijskega kota 3 radianov? To je običajno jasno iz konteksta, sicer verjetno ni bistvenega pomena.

Trigonometrične funkcije kotnega in numeričnega argumenta

V skladu z definicijami, podanimi v prejšnjem odstavku, vsak rotacijski kot α ustreza zelo specifični vrednosti sinα, kot tudi vrednosti cosα. Poleg tega vsi rotacijski koti, razen 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), ustrezajo vrednostim tgα, vrednosti, ki niso 180°k, k∈Z (πk rad ) – vrednosti od ctgα. Zato so sinα, cosα, tanα in ctgα funkcije kota α. Z drugimi besedami, to so funkcije kotnega argumenta.

Podobno lahko govorimo o funkcijah sinus, kosinus, tangens in kotangens numeričnega argumenta. Dejansko vsako realno število t ustreza zelo specifični vrednosti sint, pa tudi strošku. Poleg tega vse številke razen π/2+π·k, k∈Z ustrezajo vrednostim tgt, številke π·k, k∈Z pa vrednostim ctgt.

Imenujemo funkcije sinus, kosinus, tangens in kotangens osnovne trigonometrične funkcije.

Običajno je iz konteksta jasno, ali imamo opravka s trigonometričnimi funkcijami kotnega argumenta ali numeričnega argumenta. V nasprotnem primeru si lahko neodvisno spremenljivko predstavljamo kot merilo kota (kotni argument) in numerični argument.

Vendar se v šoli učimo predvsem numeričnih funkcij, torej funkcij, katerih argumenti in njihove ustrezne vrednosti funkcij so števila. Zato, če govorimo o posebej glede funkcij je priporočljivo trigonometrične funkcije obravnavati kot funkcije numeričnih argumentov.

Razmerje med definicijami iz geometrije in trigonometrije

Če upoštevamo vrtilni kot α v območju od 0 do 90 stopinj, potem so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vrtilnega kota v kontekstu trigonometrije popolnoma skladne z definicijami sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostri kot v pravokotnem trikotniku, ki so podani pri tečaju geometrije. Utemeljimo to.

Upodabljajmo enotski krog v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy. Označimo izhodišče A(1, 0) . Zasukamo ga za kot α od 0 do 90 stopinj, dobimo točko A 1 (x, y). Spustimo navpičnico A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Lahko vidimo, da je v pravokotnem trikotniku kot A 1 OH enak kotu rotacija α, dolžina kraka OH, ki meji na ta kot, je enaka abscisi točke A 1, to je |OH|=x, dolžina kraka A 1 H nasproti kotu je enaka ordinati točka A 1, to je |A 1 H|=y, dolžina hipotenuze OA 1 pa je enaka ena, saj je polmer enotskega kroga. Potem je po definiciji iz geometrije sinus ostrega kota α v pravokotnem trikotniku A 1 OH enak razmerju nasprotnega kraka proti hipotenuzi, to je sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. In po definiciji iz trigonometrije je sinus rotacijskega kota α enak ordinati točke A 1, to je sinα=y. To kaže, da je določitev sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku enakovredna določitvi sinusa rotacijskega kota α, ko je α od 0 do 90 stopinj.

Podobno je mogoče pokazati, da so definicije kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota α skladne z definicijami kosinusa, tangensa in kotangensa rotacijskega kota α.

Reference.

1. Geometrija. 7-9 razredi: učbenik za splošno izobraževanje ustanove / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev itd.]. - 20. izd. M .: Izobraževanje, 2010. - 384 str .: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Učbenik. za 7-9 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd.: Izobraževanje, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra in elementarne funkcije: Vadnica za dijake 9. razreda srednje šole / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredil doktor fizikalnih in matematičnih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. M.: Izobraževanje, 1969.
4. Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
5. Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
6. Mordkovič A. G. Algebra in začetki analize. 10. razred. Ob 14. uri : učbenik za vzgojno-izobraževalne ustanove ( raven profila)/ A. G. Mordkovič, P. V. Semenov. - 4. izd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje institucije: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; uredil A. B. Žižčenko. - 3. izd. - I.: Vzgoja, 2010.- 368 str.: ilustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Sine je eden glavnih trigonometrične funkcije, katerega uporaba ni omejena samo na geometrijo. Tabele za izračun trigonometričnih funkcij, kot so inženirski kalkulatorji, niso vedno pri roki, izračun sinusa pa je včasih potreben za reševanje različnih problemov. Na splošno bo izračun sinusa pomagal pri utrjevanju risarskih veščin in znanja o trigonometričnih identitetah.

Igre z ravnilom in svinčnikom

Preprosta naloga: kako najti sinus kota, narisanega na papir? Za rešitev boste potrebovali običajno ravnilo, trikotnik (ali šestilo) in svinčnik. Sinus kota najenostavneje izračunamo tako, da skrajni krak trikotnika s pravim kotom delimo z daljšo stranjo - hipotenuzo. Tako morate najprej dopolniti ostri kot do oblike pravokotnega trikotnika, tako da narišete črto, pravokotno na enega od žarkov na poljubni razdalji od vrha kota. Ohraniti bomo morali kot točno 90°, za kar potrebujemo klerikalni trikotnik.

Uporaba kompasa je nekoliko natančnejša, vendar bo trajalo več časa. Na enem od žarkov morate na določeni razdalji označiti 2 točki, na kompasu nastaviti polmer, ki je približno enak razdalji med točkama, in narisati polkroge s središči na teh točkah, dokler ne dobite presečišč teh črt. S povezovanjem presečišč naših krogov med seboj dobimo strogo pravokotno na žarek našega kota; ostane le, da podaljšamo črto, dokler se ne seka z drugim žarkom.

V dobljenem trikotniku morate z ravnilom izmeriti stran nasproti vogala in dolgo stran na enem od žarkov. Razmerje med prvo dimenzijo in drugo bo želena vrednost sinusa ostrega kota.

Poiščite sinus za kot, večji od 90°

Za tupi kot naloga ni veliko težja. Iz oglišča moramo z ravnilom potegniti žarek v nasprotni smeri, da z enim od žarkov kota, ki nas zanima, tvori premico. S prejetim oster kot naj nadaljuje, kot je opisano zgoraj, sinusi sosednji vogali, ki skupaj tvorita vzvratni kot 180°, sta enaka.

Računanje sinusa z uporabo drugih trigonometričnih funkcij

Prav tako je izračun sinusa možen, če so znane vrednosti drugih trigonometričnih funkcij kota ali vsaj dolžine stranic trikotnika. Pri tem nam bodo pomagali trigonometrične identitete. Poglejmo pogoste primere.

Kako najti sinus z znanim kosinusom kota? Prva trigonometrična istovetnost, ki temelji na Pitagorovem izreku, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka ena.

Kako najti sinus z znanim tangensom kota? Tangens dobimo tako, da oddaljeno stran delimo z bližnjo stranjo ali sinus delimo s kosinusom. Tako bo sinus produkt kosinusa in tangensa, kvadrat sinusa pa kvadrat tega produkta. Kvadrat kosinusa nadomestimo z razliko med enoto in kvadratnim sinusom v skladu s prvo trigonometrično istovetnostjo in s preprostimi manipulacijami enačbo reduciramo na izračun kvadratnega sinusa skozi tangens; v skladu s tem boste izračunali sinus izluščiti koren dobljenega rezultata.

Kako najti sinus z znanim kotangensom kota? Vrednost kotangensa lahko izračunate tako, da dolžino kraka, ki je najbližje kotu, delite z dolžino oddaljenega kraka, pa tudi kosinus delite s sinusom, to pomeni, da je kotangens funkcija, inverzna relativnemu tangentu na število 1. Za izračun sinusa lahko izračunate tangens z uporabo formule tg α = 1 / ctg α in uporabite formulo v drugi možnosti. Po analogiji s tangento lahko izpeljete tudi direktno formulo, ki bo videti takole.

Kako najti sinus treh strani trikotnika

Obstaja formula za iskanje dolžine neznane stranice katerega koli trikotnika, ne le pravokotnega trikotnika, iz dveh znanih strani z uporabo trigonometrične funkcije kosinusa nasprotnega kota. Izgleda takole.

No, sinus lahko nadalje izračunamo iz kosinusa v skladu z zgornjimi formulami.

Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijske definicije, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD|
- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.

α je kot, izražen v radianih. Tangenta () tan α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .) Kotangens (

ctg α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

kje
.
;
;
.

n

- cela.

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
;
;
.

Graf funkcije kotangens, y = ctg x

Lastnosti tangensa in kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x in y = ctg x so periodični s periodo π.

Pariteta

Funkciji tangens in kotangens sta lihi.

Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( na dolžino nasprotnega kraka |BC| .- celota).

	y= tg x	y= ctg x
Obseg in kontinuiteta
Razpon vrednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Povečanje		-
Sestopanje	-
Ekstremi	-	-
Ničle, y = 0
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Izvedeni finančni instrumenti

; .

.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali

Razširitve serije

Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenčni vrsti za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, .

To ustvari naslednje formule.

Ob .
ob . kje Bn
;
;
- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
kje .

Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

, Kje

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

Arkotangens, arcctg
Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.

Kaj je sinus, kosinus, tangens, kotangens kota, vam bo pomagalo razumeti pravokotni trikotnik. Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica \(AC\)); kraka sta dve preostali stranici \(AB\) in \(BC\) (tisti, ki mejita na pravi kot ), in če upoštevamo krake glede na kot \(BC\) , potem je krak \(AB\) sosednja noga

, krak \(BC\) pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?– to je razmerje med nasprotnim (oddaljenim) krakom in hipotenuzo.

V našem trikotniku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus kota– to je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.

V našem trikotniku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangens kota– to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).

V našem trikotniku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens kota– to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).

V našem trikotniku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:

Kosinus→dotik→dotik→sosednji;

Kotangens→dotik→dotik→sosednji.

Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). ne verjameš? Nato se prepričajte z ogledom slike:

Upoštevajte na primer kosinus kota \(\beta \) . Po definiciji iz trikotnika \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lahko pa izračunamo kosinus kota \(\beta \) iz trikotnika \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.

Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!

Za trikotnik \(ABC \), prikazan na spodnji sliki, najdemo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matrika) \)

No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enotni (trigonometrični) krog

Če razumemo koncepte stopinj in radianov, smo obravnavali krog s polmerom \(1\) . Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi \(x\) (v našem primeru je to je polmer \(AB\)).

Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati vzdolž osi \(x\) in koordinati vzdolž osi \(y\). Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku \(ACG\). Pravokoten je, ker je \(CG\) pravokoten na os \(x\).

Kaj je \(\cos \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? Tako je prav \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Poleg tega vemo, da je \(AC\) polmer enotskega kroga, kar pomeni \(AC=1\) . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Kakšna je vrednost \(\sin \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? No seveda \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Nadomestite vrednost polmera \(AC\) v to formulo in dobite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka \(C\), ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če ugotovite, da sta \(\cos \ \alpha \) in \(\sin \alpha \) samo številki? Kateri koordinati ustreza \(\cos \alpha \)? No, seveda, koordinata \(x\)! In kateri koordinati ustreza \(\sin \alpha \)? Tako je, koordiniraj \(y\)! Torej bistvo \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu sta potem enaka \(tg \alpha \) in \(ctg \alpha \)? Tako je, uporabimo ustrezni definiciji tangensa in kotangensa in dobimo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kot (kot sosednji kotu \(\beta \) ). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kot ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kot ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrika) \)

No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati \(y\) ; vrednost kosinusa kota - koordinata \(x\) ; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.

Omenili smo že, da je začetni položaj vektorja radija vzdolž pozitivne smeri osi \(x\). Do sedaj smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca – negativno.

Torej, vemo, da je celoten obrat vektorja radija okoli kroga \(360()^\circ \) ali \(2\pi \) . Ali je možno zasukati vektor polmera za \(390()^\circ \) ali za \(-1140()^\circ \)? No, seveda lahko! V prvem primeru, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tako bo polmerni vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju \(30()^\circ \) ali \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V drugem primeru \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), kar pomeni, da bo polmerni vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju \(-60()^\circ \) ali \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za \(360()^\circ \cdot m \) ali \(2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju vektorja radija.

Spodnja slika prikazuje kot \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika ustreza kotu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ali \(\beta +2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(matrika) \)

Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\besedilo(tg)\ 180()^\circ =\besedilo(tg)\ \pi =?\\\besedilo(ctg)\ 180()^\circ =\besedilo(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\besedilo(tg)\ 270()^\circ =?\\\besedilo (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(matrika) \)

Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:

Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(matrika)\)

Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kotiček v \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) ustreza točki s koordinatami \(\left(0;1 \right) \), torej:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne obstaja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Nadalje, ob upoštevanju iste logike, ugotovimo, da so vogali v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) ustrezajo točkam s koordinatami \(\levo(-1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0;-1 \desno),\besedilo( )\levo(1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0 ;1 \desno) \), oz. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne obstaja

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne obstaja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne obstaja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne obstaja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:

Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:

\(\levo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate si ga zapomniti ali biti sposobni prikazati!! \) !}

Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) navedene v spodnji tabeli, si morate zapomniti:

Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer dokaj preprostega pomnjenja ustreznih vrednosti:

Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnite sinusne vrednosti za vse tri mere kota ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kot tudi vrednost tangensa kota v \(30()^\circ \) . Če poznate te \(4\) vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrika) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), če to veste, lahko obnovite vrednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Števec "\(1 \)" bo ustrezal \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) in imenovalec "\(\sqrt(\text(3)) \)" bo ustrezal \(\besedilo (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite samo \(4\) vrednosti iz tabele.

Koordinate točke na krožnici

Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, če poznamo koordinate središča kroga, njegov polmer in kot vrtenja? No, seveda lahko! Izpeljimo splošno formulo za iskanje koordinat točke. Na primer, tukaj je krog pred nami:

Ta točka nam je dana \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- središče kroga. Polmer kroga je \(1,5\) . Treba je najti koordinate točke \(P\), ki jih dobimo z vrtenjem točke \(O\) za \(\delta \) stopinj.

Kot je razvidno iz slike, koordinata \(x\) točke \(P\) ustreza dolžini odseka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dolžina odseka \(UK\) ustreza koordinati \(x\) središča kroga, kar pomeni, da je enaka \(3\) . Dolžino odseka \(KQ\) lahko izrazimo z definicijo kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potem imamo to za točko \(P\) koordinato \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko \(P\) . torej

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Torej, v splošni pogled koordinate točk so določene s formulami:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \konec(matrika) \), Kje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središča kroga,

\(r\) - polmer kroga,

\(\delta \) - rotacijski kot polmera vektorja.

Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(matrika) \)

Javascript je onemogočen v vašem brskalniku.
Za izvajanje izračunov morate omogočiti kontrolnike ActiveX!