Številka modula (absolutna vrednost števila), definicije, primeri, lastnosti. Absolutna vrednost števila. Neznanstvena razlaga, zakaj je to potrebno Osnovne lastnosti modula realnega števila

Najprej določimo predznak izraza pod znakom modula, nato pa modul razširimo:

• če je vrednost izraza večja od nič, ga preprosto premaknemo izpod znaka modula,
• če je izraz manjši od nič, ga vzamemo izpod predznaka modula, pri tem pa spremenimo predznak, kot smo to storili prej v primerih.

No, bomo poskusili? Ocenimo:

(Pozabil, ponovi.)

Če, potem kakšen znak ima? No, seveda,!

In zato razširimo znak modula in spremenimo predznak izraza:

Razumel? Potem poskusite sami:

odgovori:

Katere druge lastnosti ima modul?

Če moramo pomnožiti števila znotraj znaka modula, lahko enostavno pomnožimo module teh števil !!!

v matematičnem smislu, modul produkta števil je enak zmnožku modulov teh števil.

Na primer:

Kaj pa, če moramo pod znakom modula ločiti dve številki (izrazi)?

Ja, enako kot pri množenju! Pod znakom modula razdelimo na dve ločeni števili (izrazi):

pod pogojem, da (ker ne morete deliti z nič).

Zapomniti si je treba še eno lastnost modula:

Modul vsote števil je vedno manjši ali enak vsoti modulov teh števil:

zakaj je tako? Vse je zelo preprosto!

Kot se spomnimo, je modul vedno pozitiven. Toda znak modula lahko vsebuje poljubno število: pozitivno in negativno. Recimo, da sta številki in obe pozitivni. Potem bo levi izraz enak desnemu izrazu.

Vzemimo primer:

Če je pod znakom modula eno število negativno, drugo pa pozitivno, levi izraz bo vedno manjši od desnega:

Zdi se, da je s to lastnostjo vse jasno, razmislimo o še nekaj uporabnih lastnostih modula.

Kaj pa, če imamo ta izraz:

Kaj lahko storimo s tem izrazom? Ne poznamo vrednosti x, vemo pa že, kaj, kar pomeni.

Število je večje od nič, kar pomeni, da lahko preprosto napišete:

Tako smo prišli do še ene lastnosti, ki jo na splošno lahko predstavimo takole:

In koliko je ta izraz enak:

Torej, pod modulom moramo definirati znak. Ali je treba tukaj definirati znak?

Seveda ne, če se spomnite, da je katero koli število v kvadratu vedno večje od nič! Če se ne spomnite, poglejte temo. In kaj se zgodi? Evo kaj:

Super, kaj? Precej priročno. In zdaj konkreten primer, ki ga je treba popraviti:

No, zakaj dvomi? Delujemo pogumno!

Ste ugotovili? Potem pojdi naprej in treniraj s primeri!

1. Poiščite vrednost izraza če.

2. Katerim številkam je modul enak?

3. Poiščite pomen izrazov:

Če še ni vse jasno in obstajajo težave pri rešitvah, potem ugotovimo:

1. rešitev:

Torej, zamenjajmo vrednosti v izraz

2. rešitev:

Kot se spomnimo, so nasprotna števila enaka po absolutni vrednosti. To pomeni, da je vrednost modula enaka dvema številkama: in.

3. rešitev:

a)
b)
v)
G)

Ste vse ujeli? Potem je čas, da se premaknete na težje!

Poskusimo poenostaviti izraz

rešitev:

Torej se spomnimo, da vrednost modula ne more biti manjša od nič. Če je predznak modula pozitiven, potem lahko znak preprosto zavržemo: modul števila bo enak temu številu.

Če pa je predznak modula negativen, potem je vrednost modula enaka nasprotni številki (to je številki, vzeti z znakom "-").

Da bi našli modul katerega koli izraza, morate najprej ugotoviti, ali ima pozitivno ali negativno vrednost.

Izkaže se vrednost prvega izraza pod modulom.

Zato je izraz pod predznakom modula negativen. Drugi izraz pod predznakom modula je vedno pozitiven, saj seštevamo dve pozitivni števili.

Torej je vrednost prvega izraza pod predznakom modula negativna, drugega pa pozitivna:

To pomeni, da razširimo znak modula prvega izraza, moramo ta izraz vzeti z znakom "-". Všečkaj to:

V drugem primeru preprosto zavržemo znak modula:

Poenostavimo celoten izraz:

Modul števila in njegove lastnosti (stroge definicije in dokazi)

Opredelitev:

Modul (absolutna vrednost) števila je samo število, če, in število, če:

Na primer:

Primer:

Poenostavite izraz.

rešitev:

Osnovne lastnosti modula

Za vse:

Primer:

Dokaži lastnost št. 5.

Dokaz:

Recimo, da obstajajo takšni

Kvadratirajmo levo in desno stran neenakosti (to je mogoče storiti, saj sta obe strani neenakosti vedno nenegativni):

in to je v nasprotju z definicijo modula.

Posledično takšne ne obstajajo, zato je za vse neenakost

Primeri za samostojno rešitev:

1) Dokaži lastnost 6.

2) Poenostavite izraz.

odgovori:

1) Uporabimo lastnost # 3: in od takrat

Da bodo stvari preproste, morate razširiti module. In če želite razširiti module, morate ugotoviti, ali so izrazi pod modulom pozitivni ali negativni?

a. Primerjajmo številke in in:

b. Zdaj pa primerjajmo in:

Dodajte vrednosti modulov:

Absolutna vrednost števila. Na kratko o glavnem.

Modul (absolutna vrednost) števila je samo število, če, in število, če:

Lastnosti modula:

1. Modul števila je nenegativno število:;
2. Moduli nasprotnih števil so enaki:;
3. Modul produkta dveh (ali več) števil je enak zmnožku njihovih modulov:;
4. Modul količnika dveh števil je enak kvocientu njunih modulov:;
5. Modul vsote števil je vedno manjši ali enak vsoti modulov teh števil:;
6. Konstantni pozitivni faktor lahko vzamemo izven predznaka modula: at;

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Namen in cilj pouka Uvesti definicijo modula realnega števila, razmisliti o lastnostih in razložiti geometrijski pomen modula; Predstavite funkcijo y = | x | , pokaže pravila za sestavo njegovega grafa; Učiti na različne načine reševanja enačb, ki vsebujejo modul; Razvijati zanimanje za matematiko, samostojnost, logično razmišljanje, matematični govor, vzbujati natančnost in delavnost.

Opredelitev. Na primer: | 8 | = 8; | -8 | = - (- 8) = 8;

Lastnosti modula

Geometrijski pomen modula linearnih številk je dober primer niza realnih števil. Označimo dve točki a in b na številski premici in poskusimo najti razdaljo ρ (a; b) med tema točkama. Očitno je ta razdalja enaka b-a, če b> a Če zamenjate, to je a> b, bo razdalja enaka a - b. Če je a = b, potem je razdalja nič, saj je pridobljena točka. Vse tri primere lahko opišemo na enoten način:

Primer. Reši enačbo: a) | x-3 | = 6 b) | x + 5 | = 3 c) | x | = 2,8 d) Rešitev. a) Na koordinatni premici moramo najti točke, ki so oddaljene od točke 3 na razdalji enaki 6. Takšni točki sta 9 in -3. (Od treh so sešteli in odšteli šest.) Odgovor: x = 9 in x = -3 b) | x +5 | = 3, enačbo prepišemo kot | x - (- 5) | = 3. Najdimo razdaljo od točke -5, oddaljene za 3. Ta razdalja, se izkaže, od dveh točk: x = 2 in x = -8 Odgovor: x = 2 in x = -8. c) | x | = 2,8, lahko predstavimo kot | x-0 | = 2,8 ali Očitno je x = -2,8 ali x = 2,8 Odgovor: x = -2,8 in x = 2,8. d) enakovredno Očitno,

Funkcija y = | x |

Reši enačbo | x-1 | = 4 1 način (analitična) Naloga 2

2. metoda (grafična)

Modul realnega števila. Identiteta Razmislite o izrazu, če je a> 0, potem vemo, kaj. Kaj pa, če je 0. 2. Naj povzamemo: Po definiciji modula: To je

Modul realnega števila. Primer. Poenostavite izraz, če: a) a-2≥0 b) a -2

Modul realnega števila. Primer. Izračunaj rešitev. Vemo, da: Ostaja še razširiti module. Razmislite o prvem izrazu:

Razmislite o drugem izrazu: Z uporabo definicije razkrijemo znake modulov: Kot rezultat smo dobili: Odgovor: 1.

Zavarovanje novega materiala. št. 16.2, št. 16.3, št. 16.4, št. 16.12, št. 16.16 (a, d), št. 16.19

Naloge za samostojno rešitev. 1. Reši enačbo: a) | x -10 | = 3 b) | x +2 | = 1 c) | x | = 2,8 d) 2. Reši enačbo: a) | 3 x -9 | = 33 b) | 8-4 x | = 16 c) | x +7 | = -3 3. Poenostavite izraz, če a) a-3≥0 b) a -3

Seznam uporabljene literature: Zvavich L.I. algebra. Napredni študij. 8. razred: problemska knjiga / L.I. Zvavič, A.R. Ryazanovsky. - 4. izd., Rev. - M .: Mnemosina, 2006 .-- 284 str. Mordkovich A.G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A.G. Mordkovich. - 12. izd., izbrisano. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 215 str. Mordkovich A.G. et al. Algebra. 8. razred. V 2 urah, 2. del. Problemski zvezek za študente izobraževalnih ustanov / ur. A.G. Mordkovich. - 12. izd., Rev. in dodaj. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 271 str.

§ 1 Modul realnega števila

V tej lekciji bomo raziskali koncept "modula" za katero koli realno število.

Zapišimo lastnosti modula realnega števila:

§ 2 Rešitev enačb

Z uporabo geometrijskega pomena modula realnega števila rešimo več enačb.

Torej ima enačba 2 korena: -1 in 3.

Tako ima enačba 2 korena: -3 in 3.

V praksi se uporabljajo različne lastnosti modulov.

Razmislite o tem v primeru 2:

Tako ste v tej lekciji preučili koncept "modula realnega števila", njegove osnovne lastnosti in geometrijski pomen. Rešili smo tudi nekaj tipičnih problemov o aplikaciji lastnosti in geometrijskem prikazu modula realnega števila.

Seznam uporabljene literature:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Ob 2. uri, 1. del. Učbenik za izobraževalne ustanove / A.G. Mordkovich. - 9. izd., Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215str.: Ilustr.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Ob 2. uri, 2. del. Problemska knjiga za izobraževalne ustanove / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya .. - 8. izd., - M .: Mnemosina, 2006. - 239 str.
3. algebra. 8. razred. Testne naloge za študente izobraževalnih ustanov L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich 2. izd., izbrisano. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. algebra. 8. razred. Samostojno delo za študente izobraževalnih ustanov: k učbeniku A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich, 9. izd., Izbrisano. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

V tem članku bomo podrobno analizirali absolutna vrednost števila... Podali bomo različne definicije modula števila, predstavili zapise in podali grafične ilustracije. V tem primeru bomo obravnavali različne primere iskanja modula števila po definiciji. Po tem bomo našteli in utemeljili glavne lastnosti modula. Na koncu članka se pogovorimo o tem, kako se določi in najde modul kompleksnega števila.

Navigacija po straneh.

Številčni modul - definicija, zapis in primeri

Najprej se predstavimo zapis številskega modula... Modul števila a bomo zapisali tako, da bomo levo in desno od števila postavili navpične črtice, ki tvorijo znak modula. Tukaj je nekaj primerov. Na primer, modulo -7 lahko zapišemo kot; modul 4.125 je napisan kot, modul pa je napisan kot.

Naslednja definicija modula se nanaša na in torej na cela števila ter na racionalna in iracionalna števila kot na sestavne dele množice realnih števil. Govorili bomo o modulu kompleksnih številk.

Opredelitev.

Modul števila a Ali je samo število a, če je a pozitivno število, ali število −a, nasprotno številu a, če je a negativno število, ali 0, če je a = 0.

Zvočna definicija modula števila je pogosto zapisana v naslednji obliki , ta zapis pomeni, da če je a> 0, če je a = 0 in če je a<0 .

Zapis je mogoče predstaviti v bolj strnjeni obliki ... Ta zapis pomeni, da če (a je večje ali enako 0) in če je a<0 .

Obstaja tudi zapis ... Tukaj je treba posebej razjasniti primer, ko je a = 0. V tem primeru imamo, vendar −0 = 0, saj se nič šteje za število, ki je nasprotno samemu sebi.

Dajmo primeri iskanja modula števila z uporabo artikulirane definicije. Na primer, poiščimo module številk 15 in. Začnimo z iskanjem. Ker je število 15 pozitivno, je njegov modul po definiciji enak temu številu, tj. In kakšna je absolutna vrednost števila? Ker je število negativno, je njegov modul enak nasprotnemu številu, to je številu ... V to smer, .

V zaključku tega odstavka predstavljamo en sklep, ki ga je zelo priročno uporabiti v praksi pri iskanju modula števila. Iz definicije modula števila izhaja, da modul števila je enak številu pod predznakom modula ne glede na njegov predznak, in iz zgornjih primerov je to zelo jasno vidno. Navedena izjava pojasnjuje, zakaj se imenuje tudi modul števila absolutna vrednost števila... Modul števila in absolutna vrednost števila sta torej ena in ista.

Modul števila kot razdalja

Geometrijsko lahko modul števila razlagamo kot razdalja... Dajmo določanje modula števila glede na razdaljo.

Opredelitev.

Modul števila a Je razdalja od izhodišča na koordinatni črti do točke, ki ustreza številu a.

Ta definicija je skladna z definicijo modula števila, podano v prvem odstavku. Pojasnimo to točko. Razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza pozitivnemu številu, je enaka temu številu. Nič ustreza izhodišču, zato je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 0 enaka nič (ni treba odložiti niti enega odseka enote in niti enega segmenta, ki sestavlja kateri koli del segmenta enote, da bi priti od točke O do točke s koordinato 0). Razdalja od izhodišča do točke z negativno koordinato je enaka številu nasproti koordinati te točke, saj je enaka razdalji od izhodišča do točke, katere koordinata je nasprotna številka.

Na primer, absolutna vrednost 9 je 9, saj je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 9 devet. Dajmo še en primer. Točka s koordinato −3,25 je od točke O oddaljena 3,25, torej .

Zvočna definicija modula števila je poseben primer določanja modula razlike dveh števil.

Opredelitev.

Modul razlike dveh števil a in b je enaka razdalji med točkama koordinatne črte s koordinatama a in b.

To pomeni, da če so točke podane na koordinatni črti A (a) in B (b), je razdalja od točke A do točke B enaka modulu razlike med številkama a in b. Če vzamemo točko O (izvor) kot točko B, dobimo definicijo modula števila, podano na začetku tega odstavka.

Določanje modula števila preko aritmetičnega kvadratnega korena

Občasno se pojavi definicija modula v smislu aritmetičnega kvadratnega korena.

Na primer, izračunajmo absolutne vrednosti števil -30 in na podlagi te definicije. Imamo. Podobno izračunamo modul dveh tretjin: .

Opredelitev modula števila skozi aritmetični kvadratni koren je tudi skladna z definicijo iz prvega odstavka tega člena. Pokažimo. Naj bo a pozitivno število, medtem ko je število −a negativno. Potem in , če je a = 0, potem .

Lastnosti modula

Modul ima številne značilne rezultate - lastnosti modula... Zdaj bomo dali glavne in najpogosteje uporabljene. Pri utemeljitvi teh lastnosti se bomo zanašali na definicijo modula števila v smislu razdalje.

Začnimo z najbolj očitno lastnostjo modula - modul števila ne more biti negativen... V dobesedni obliki ima ta lastnost zapis obrazca za poljubno število a. To lastnost je zelo enostavno utemeljiti: modul števila je razdalja, razdalje pa ni mogoče izraziti kot negativno število.

Pojdimo na naslednjo lastnost modula. Absolutna vrednost števila je nič, če in samo če je to število nič... Modul nič je po definiciji nič. Nič ustreza izhodišču, nobena druga točka na koordinatni črti ne ustreza nič, saj je vsako realno število povezano z eno točko na koordinatni črti. Iz istega razloga vsako število, ki ni nič, ustreza točki, ki ni izhodišče. In razdalja od izhodišča do katere koli točke, razen točke O, ni nič, saj je razdalja med dvema točkama nič, če in samo če ti točki sovpadata. Zgornje sklepanje dokazuje, da je samo modul nič enak nič.

Kar daj. Nasprotna števila imajo enake module, to je za katero koli število a. Dejansko sta dve točki na koordinatni črti, katerih koordinate sta nasprotni števili, na enaki razdalji od izhodišča, kar pomeni, da so absolutne vrednosti nasprotnih številk enake.

Naslednja lastnost modula je naslednja: modul produkta dveh števil je enak zmnožku modulov teh števil, to je . Po definiciji je modul produkta števil a in b enak bodisi a b, če, ali - (a b), če. Iz pravil za množenje realnih števil izhaja, da je produkt absolutnih vrednosti števil a in b enak bodisi a b, bodisi - (a b), če, kar dokazuje obravnavano lastnost.

Modul količnika deljenja a z b je enak količniku deljenja modula števila a z modulom števila b, to je . Upravičimo to lastnost modula. Ker je količnik enak produktu, potem. Na podlagi prejšnje lastnosti imamo ... Ostaja le še uporaba enakosti, ki velja na podlagi definicije modula števila.

Naslednja lastnost modula je zapisana kot neenakost: , a, b in c so poljubna realna števila. Napisana neenakost ni nič drugega kot neenakost trikotnika... Da bo to jasno, vzemite točke A (a), B (b), C (c) na koordinatni črti in upoštevajte degenerirani trikotnik ABC, katerega oglišča ležijo na eni ravni črti. Po definiciji je modul razlike enak dolžini odseka AB, je dolžina odseka AC in je dolžina odseka CB. Ker dolžina katere koli stranice trikotnika ne presega vsote dolžin drugih dveh stranic, je neenakost zato je tudi neenakost resnična.

Pravkar dokazana neenakost je veliko pogostejša v obliki ... Zapisana neenakost se običajno obravnava kot ločena lastnost modula s formulacijo: » Absolutna vrednost vsote dveh številk ne presega vsote absolutnih vrednosti teh številk". Toda neenakost izhaja neposredno iz neenakosti, če namesto b postavimo −b in vzamemo c = 0.

Kompleksni številski modul

dajmo določanje modula kompleksnega števila... Naj se nam da kompleksno število, zapisano v algebraični obliki, kjer sta x in y nekaj realnih števil, ki predstavljata realni in imaginarni del danega kompleksnega števila z, in je namišljena enota.