Eno praštevilo ali ne. Praštevila: običajnost nerešene uganke

• Prevod

Lastnosti praštevil so prvi preučevali matematiki antične Grčije. Matematike pitagorejske šole (500 - 300 pr.n.št.) so zanimale predvsem mistične in numerološke lastnosti praštevil. Bili so prvi, ki so dobili ideje o popolnih in prijaznih številkah.

Popolno število ima svoje lastne delilnike, enake samemu sebi. Na primer, ustrezni delilniki števila 6 so: 1, 2 in 3. 1 + 2 + 3 = 6. Delitelji števila 28 so 1, 2, 4, 7 in 14. Poleg tega je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Števila imenujemo prijazna, če je vsota pravilnih deliteljev enega števila enaka drugemu, in obratno – na primer 220 in 284. Lahko rečemo, da je popolno število prijazno samemu sebi.

Do pojava dela Evklidovega "Začetka" leta 300 pr. Več pomembnih dejstev o praštevilih je bilo že dokazanih. V IX knjigi Elementov je Evklid dokazal, da obstaja neskončno število praštevil. Mimogrede, to je eden prvih primerov uporabe dokaza z protislovjem. Dokazuje tudi osnovni aritmetični izrek – vsako celo število je mogoče na edinstven način predstaviti kot produkt praštevil.

Pokazal je tudi, da če je število 2 n -1 pra, potem bo število 2 n-1 * (2 n -1) popolno. Drugi matematik, Euler, je leta 1747 uspel pokazati, da je mogoče vsa soda popolna števila zapisati v tej obliki. Do danes ni znano, ali obstajajo neparna popolna števila.

Leta 200 pr.n.št. Grški Eratosten je pripravil algoritem za iskanje praštevil, imenovan Eratostenovo sito.

In potem je prišlo do velikega preloma v zgodovini študija praštevil, povezanih s srednjim vekom.

Naslednja odkritja je že v začetku 17. stoletja izvedel matematik Fermat. Dokazal je domnevo Alberta Girarda, da je mogoče katero koli praštevilo oblike 4n+1 enolično zapisati kot vsoto dveh kvadratov, in oblikoval tudi izrek, da je vsako število mogoče predstaviti kot vsoto štirih kvadratov.

Razvil je novo metodo faktorizacije za velika števila in jo pokazal na številu 2027651281 = 44021 × 46061. Dokazal je tudi Fermatov mali izrek: če je p praštevilo, potem bo p = a po modulu p resničen za vsako celo število a.

Ta izjava dokazuje polovico tistega, kar je bilo znano kot "kitajska hipoteza" in sega 2000 let prej: celo število n je pra, če in samo če je 2n-2 deljivo z n. Drugi del hipoteze se je izkazal za napačnega - na primer, 2341 - 2 je deljivo s 341, čeprav je število 341 sestavljeno: 341 = 31 × 11.

Fermatov mali izrek je bil osnova za številne druge rezultate v teoriji števil in metode za preverjanje, ali so števila praška, od katerih so mnoge še danes v uporabi.

Fermat si je veliko dopisoval s svojimi sodobniki, zlasti z menihom po imenu Marin Mersenne. V enem od svojih pisem je domneval, da bodo števila v obliki 2 n + 1 vedno praška, če je n potenca dvojke. To je preizkusil za n = 1, 2, 4, 8 in 16 in bil prepričan, da če n ni potenca dvojke, število ni nujno prvo. Ta števila se imenujejo Fermatova števila in šele 100 let pozneje je Euler pokazal, da je naslednje število, 232 + 1 = 4294967297, deljivo s 641 in zato ni pra.

Številke v obliki 2 n - 1 so bile tudi predmet raziskav, saj je enostavno pokazati, da če je n sestavljeno, je tudi samo število sestavljeno. Te številke se imenujejo Mersennove številke, ker jih je aktivno preučeval.

Vendar niso vsa števila v obliki 2 n - 1, kjer je n pra, pra. Na primer, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. To je bilo prvič odkrito leta 1536.

Dolga leta so tovrstna števila matematikom dajala največja znana praštevila. Da je število M 19 dokazal Cataldi leta 1588 in je bilo 200 let največje znano praštevilo, dokler ni Euler dokazal, da je tudi M 31 praštevilo. Ta rekord je držal še sto let, nato pa je Lucas pokazal, da je M 127 prost (in to je že število 39 števk), nato pa so se raziskave nadaljevale s prihodom računalnikov.

Leta 1952 je bila dokazana preprostost števil M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 in M ​​2281.

Do leta 2005 je bilo najdenih 42 Mersennovih praštevil. Največji med njimi, M 25964951 , je sestavljen iz 7816230 števk.

Eulerjevo delo je imelo velik vpliv na teorijo števil, vključno s praštevili. Razširil je Fermatov mali izrek in uvedel φ-funkcijo. Faktoriziral 5. Fermatovo število 2 32 +1, našel 60 parov prijaznih števil in oblikoval (vendar ni uspel dokazati) kvadratnega zakona vzajemnosti.

Prvi je uvedel metode matematične analize in razvil analitično teorijo števil. Dokazal je, da ne samo harmonska vrsta ∑ (1/n), ampak tudi vrsta oblike

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Dobljeno z vsoto količin, inverznih praštevilom, se tudi razhaja. Vsota n členov harmonične vrste raste približno tako kot log(n), medtem ko se drugi niz razhaja počasneje, kot log[ log(n) ]. To pomeni, da bo na primer vsota recipročnih vrednosti vseh doslej najdenih praštevil dala le 4, čeprav se serija še vedno razlikuje.

Na prvi pogled se zdi, da so praštevila razporejena med cela števila precej naključno. Na primer, med 100 števili tik pred 10000000 je 9 praštevilov, med 100 števili takoj za to vrednostjo pa le 2. Toda na velikih segmentih so praštevila razporejena precej enakomerno. Z njihovo distribucijo sta se ukvarjala Legendre in Gauss. Gauss je nekoč rekel prijatelju, da v vseh prostih 15 minutah vedno prešteje število praštevil v naslednjih 1000 številih. Do konca svojega življenja je preštel vsa praštevila do 3 milijone. Legendre in Gauss sta enako izračunala, da je za veliko n gostota praštevil 1/log(n). Legendre je ocenil število praštevil med 1 in n kot

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

In Gauss - kot logaritemski integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Z integracijskim intervalom od 2 do n.

Izjava o gostoti praštevil 1/log(n) je znana kot izrek o praštevilih. To so poskušali dokazati skozi vse 19. stoletje in Chebyshev in Riemann sta napredovala. Povezali so jo z Riemannovo hipotezo, doslej nedokazano domnevo o porazdelitvi ničel Riemannove zeta funkcije. Gostoto praštevil sta hkrati dokazala Hadamard in de la Vallée-Poussin leta 1896.

V teoriji praštevil je še vedno veliko nerešenih vprašanj, od katerih so nekatera stara več sto let:

• Hipoteza o praštevilu dvojčkov - o neskončnem številu parov praštevil, ki se med seboj razlikujejo za 2
• Goldbachova domneva: vsako sodo število, ki se začne s 4, je mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil
• Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n 2 + 1?
• ali je vedno mogoče najti praštevilo med n 2 in (n + 1) 2 ? (dejstvo, da je med n in 2n vedno praštevilo, je dokazal Čebišev)
• Ali obstaja neskončno število Fermatovih praštevil? ali obstajajo Fermatova praštevila po 4.?
• ali obstaja aritmetična progresija zaporednih praštevil za katero koli dano dolžino? na primer za dolžino 4: 251, 257, 263, 269. Največja najdena dolžina je 26 .
• Ali obstaja neskončno število nizov treh zaporednih praštevil v aritmetični progresiji?
• n 2 - n + 41 je praštevilo za 0 ≤ n ≤ 40. Ali obstaja neskončno število takih praštevil? Enako vprašanje za formulo n 2 - 79 n + 1601. Ta števila so praška za 0 ≤ n ≤ 79.
• Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n# + 1? (n# je rezultat množenja vseh praštevil, manjših od n)
• Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n# -1?
• Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n! +1?
• Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n! - eno?
• če je p praštevila, ali 2 p -1 vedno ne vsebuje med faktorji praštevil na kvadrat
• Ali Fibonaccijevo zaporedje vsebuje neskončno število praštevil?

Največja praštevila dvojčka so 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sestavljena so iz 58711 števk in so bila najdena leta 2007.

Največje faktorsko praštevilo (v obliki n! ± 1) je 147855! - 1. Sestavljen je iz 142891 števk in je bil ugotovljen leta 2002.

Največje praštevilo (število v obliki n# ± 1) je 1098133# + 1.

Oznake: Dodaj oznake

Opredelitev 1. praštevilo je naravno število, večje od 1, ki je deljivo samo s sabo in 1.

Z drugimi besedami, število je pra, če ima samo dva različna naravna delitelja.

Opredelitev 2. Vsako naravno število, ki ima poleg sebe in ena še druge delitelje, se imenuje sestavljeno število.

Z drugimi besedami, naravna števila, ki niso praška, imenujemo sestavljena števila. Definicija 1 pomeni, da ima sestavljeno število več kot dva naravna delitelja. Število 1 ni niti prasko niti sestavljeno. ima samo en delilec 1 in poleg tega veliko izrekov o praštevilih ne velja za enoto.

Definiciji 1 in 2 pomenita, da je vsako pozitivno celo število, večje od 1, pra ali sestavljeno število.

Spodaj je program za prikaz praštevil do 5000. Izpolnite celice, kliknite na gumb "Ustvari" in počakajte nekaj sekund.

Tabela praštevil

Izjava 1. Če str je praštevilo in a poljubno celo število, potem tudi a deljeno s str, oz str in a relativno praštevila.

res. Če str praštevilo, potem je deljivo samo s sabo in 1 če a ni deljivo z str, potem največji skupni delilec a in str enako 1. Potem str in a relativno praštevila.

Izjava 2. Če je zmnožek več številk a 1 , a 2 , a 3 , ... je deljivo s praštevilom str, nato vsaj eno od številk a 1 , a 2 , a 3 , ... je deljivo z str.

res. Če nobeno od številk ni deljivo z str, nato številke a 1 , a 2 , a 3 , ... bi bila relativno praštevila glede na str. Toda iz posledice 3 () izhaja, da je njihov produkt a 1 , a 2 , a 3 , ... je tudi koprimeren glede na str, kar je v nasprotju s pogojem trditve. Zato je vsaj eno od številk deljivo z str.

Izrek 1. Vsako sestavljeno število je lahko vedno predstavljeno, poleg tega pa na edinstven način, kot produkt končnega števila praštevil.

Dokaz. Pustiti k sestavljeno število in pustimo a 1 je eden od njegovih deliteljev, ki se razlikuje od 1 in samega sebe. Če a 1 je sestavljen, potem ima poleg 1 in a 1 in še en delilnik a 2. Če a 2 je sestavljeno število, potem ima poleg 1 in a 2 in še en delilnik a 3 . Argumentiranje na ta način in ob upoštevanju, da so številke a 1 , a 2 , a 3 , ... zmanjšanje in ta vrsta vsebuje končno število členov, bomo dosegli neko praštevilo str ena . Potem k se lahko predstavi kot

Recimo, da obstajata dve razširitvi števila k:

Ker k=p 1 str 2 str 3 ... je deljivo s praštevilom q 1, potem vsaj eden od dejavnikov, na primer str 1 je deljivo z q ena . Ampak str 1 je pra in je deljivo samo z 1 in samim seboj. Posledično str 1 =q 1 (ker q 1 ≠1)

Potem lahko iz (2) izključimo str 1 in q 1:

Tako poskrbimo, da vsako praštevilo, ki vstopi v prvo razširitev kot faktor enkrat ali večkrat, vstopi v drugo razširitev vsaj enako število krat in obratno, katero koli praštevilo, ki vstopi v drugo razširitev kot faktor ena ali več krat vsaj tolikokrat vstopi tudi v prvo razširitev. Zato vsako praštevilo vstopi kot faktor v obe razširitvi enako število in tako sta ti dve razširitvi enaki.■

Razgradnja sestavljenega števila k lahko zapišemo v naslednji obliki

(3)

kje str 1 , str 2 , ... različna praštevila, α, β, γ ... cela pozitivna števila.

Razgradnja (3) se imenuje kanonična razgradnjaštevilke.

Praštevila v nizih naravnih števil se pojavljajo neenakomerno. V nekaterih delih serije jih je več, v drugih - manj. Dlje ko se premikamo po številski vrsti, redkejša so praštevila. Vprašanje je, ali obstaja največje praštevilo? Starogrški matematik Evklid je dokazal, da obstaja neskončno veliko praštevil. Spodaj predstavljamo ta dokaz.

Izrek 2. Število praštevil je neskončno.

Dokaz. Recimo, da obstaja končno število praštevilov in naj je največji praštevil str. Upoštevajmo vse številke str. Po predpostavki izjave morajo biti ta števila sestavljena in deljiva z vsaj enim od praštevil. Izberimo število, ki je produkt vseh teh praštevil plus 1:

Številka z več str Ker 2pže več str. str ni deljivo z nobenim od teh praštevil, saj ko jih delimo z vsakim od njih, dobimo preostanek 1. Tako pridemo do protislovja. Zato obstaja neskončno število praštevil.

Ta izrek je poseben primer splošnejšega izreka:

Izrek 3. Naj bo podana aritmetična progresija

Nato katero koli praštevilo v n, je treba vključiti tudi v m, torej v n ne more vključevati drugih primarnih faktorjev, ki niso vključeni v m in poleg tega ti glavni dejavniki v n pojavljajo največkrat kot v m.

Velja tudi obratno. Če je vsak prafaktor števila n se pojavi vsaj enako število krat m, potem m deljeno s n.

Izjava 3. Pustiti a 1 ,a 2 ,a 3 ,... različna praštevila se pojavljajo v m torej

kje jaz=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . opazi, da a i sprejema α vrednosti +1, β j sprejema β vrednosti +1, γ k traja γ +1 vrednosti, ... .

Že od časa starih Grkov so bila praštevila za matematike zelo privlačna. Nenehno iščejo različne načine, kako jih najti, a za najučinkovitejšo »lovijo« praštevila velja metoda, ki jo je našel aleksandrijski astronom in matematik Eratosten. Ta metoda je stara že približno 2000 let.

Katera števila so praška

Kako definirati praštevilo? Veliko števil je enakomerno deljivih z drugimi števili. Število, s katerim je celo število deljivo, se imenuje delilec.

V tem primeru govorimo o delitvi brez ostanka. Število 36 lahko na primer delimo z 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 in samo s seboj, torej s 36. Torej ima 36 9 deliteljev. Število 23 je deljivo samo s seboj in z 1, torej ima to število 2 delitelja - to število je pra.

Števila, ki imajo samo dva delitelja, imenujemo praštevila. To pomeni, da se število, ki je brez ostanka deljivo samo s seboj in z eno, imenuje praštevilo.

Za matematike je odkritje vzorcev v nizu številk, ki jih potem lahko uporabimo za gradnjo hipotez, zelo prijeten dogodek. Toda praštevila nočejo ubogati nobenega vzorca. Vendar obstaja način za definiranje praštevil. To metodo je našel Eratosten, imenuje se "Eratostenovo sito". Oglejmo si različico takšnega "sita", predstavljenega v obliki tabele številk do 48, in razumemo, kako je sestavljena.

V tej tabeli so označena vsa praštevila, manjša od 48 oranžna. Najdejo se takole:

• 1 - ima en delitelj in zato ni praštevilo;
• 2 je najmanjše praštevilo in edino sodo, saj so vsa ostala soda števila deljiva z 2, torej imajo vsaj 3 delilce, se ta števila zmanjšajo na vijolični stolpec;
• 3 je praštevilo, ima dva delitelja, vsa ostala števila, ki so deljiva s 3, so izključena - ta števila so povzeta v rumenem stolpcu. Stolpec, označen z vijolično in rumeno, vsebuje številke, deljive z 2 in 3;
• 5 je praštevilo, vsa števila, ki so deljiva s 5, so izključena - ta števila so obdana z zelenim ovalom;
• 7 je praštevilo, vsa števila, ki so deljiva s 7, so obkrožena z rdečo - niso praštevila;

Vsa neprasta števila so označena z modro. Nadalje je to tabelo mogoče sestaviti po sliki in podobnosti.

Števila so različna: naravna, naravna, racionalna, cela in ulomna, pozitivna in negativna, kompleksna in praštevilna, liha in soda, realna itd. Iz tega članka lahko izveste, kaj so praštevila.

Katere številke se imenujejo angleška beseda "simple"?

Zelo pogosto šolarji ne vedo, kako odgovoriti na eno izmed na videz preprostih vprašanj v matematiki, kaj je praštevilo. Praštevila pogosto zamenjujejo z naravnimi števili (to je številkami, ki jih ljudje uporabljajo pri štetju predmetov, medtem ko v nekaterih virih začnejo od nič, v drugih pa od enega). Ampak to sta dva popolnoma različna pojma. Praštevila so naravna števila, torej cela in pozitivna števila, ki so večja od ena in imajo samo 2 naravna delitelja. V tem primeru je eden od teh deliteljev dano število, drugi pa enota. Na primer, tri je praštevilo, ker ni enakomerno deljivo z nobenim drugim številom, razen s samim seboj in z eno.

Sestavljene številke

Nasprotje praštevilom so sestavljena števila. Prav tako so naravni, tudi večji od enega, vendar nimajo dva, ampak več deliteljev. Tako so na primer števila 4, 6, 8, 9 itd. naravna, sestavljena, ne pa praštevila. Kot vidite, so to večinoma sode številke, ne pa vse. Toda "dva" je sodo število in "prva številka" v nizu praštevil.

Zaporedje

Če želite zgraditi serijo praštevil, je treba narediti izbor iz vseh naravnih števil ob upoštevanju njihove definicije, to pomeni, da morate delovati protislovno. Vsako od naravnih pozitivnih števil je treba upoštevati glede tega, ali ima več kot dva delitelja. Poskusimo zgraditi vrsto (zaporedje), ki je sestavljena iz praštevil. Seznam se začne z dvema, nato pridejo trije, saj je deljiv samo sam s seboj in ena. Razmislite o številki štiri. Ali ima delitelje razen štirih in ena? Da, to število je 2. Torej štiri ni praštevilo. Pet je tudi pra (poleg 1 in 5 ni deljivo z nobenim drugim številom), šest pa je deljivo. In na splošno, če sledite vsem sodim številkam, boste opazili, da razen "dve" nobeno od njih ni pra. Iz tega sklepamo, da soda števila, razen dveh, niso praška. Še eno odkritje: vsa števila, ki so deljiva s tri, razen trojke same, bodisi sode ali lihe, prav tako niso proste (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 itd.). Enako velja za števila, ki so deljiva s pet in sedem. Ves njihov nabor tudi ni preprost. Naj povzamemo. Torej vsa liha števila, razen ena in devet, spadajo med enostavna enomestna števila, iz sodih pa le "dve". Same desetice (10, 20,... 40 itd.) niso preproste. Dvomestna, trimestna itd. praštevila je mogoče definirati na podlagi zgornjih načel: če nimajo drugih deliteljev kot sama in ena.

Teorije o lastnostih praštevil

Obstaja znanost, ki preučuje lastnosti celih števil, vključno s prvimi. To je veja matematike, ki se imenuje višja. Poleg lastnosti celih števil se ukvarja tudi z algebrskimi, transcendentnimi števili ter funkcijami različnega izvora, ki so povezane z aritmetiko teh števil. Pri teh študijah se poleg osnovnih in algebraičnih metod uporabljajo tudi analitične in geometrijske. Natančneje, študij praštevil se ukvarja s "teorijo števil".

Praštevila so "gradniki" naravnih števil

V aritmetiki obstaja izrek, ki se imenuje glavni izrek. Po njem je vsako naravno število, razen enote, mogoče predstaviti kot produkt, katerega faktorji so praštevila, vrstni red faktorjev pa je edinstven, kar pomeni, da je metoda predstavitve edinstvena. Imenuje se razgradnja naravnega števila na prafaktorje. Obstaja še eno ime za ta proces - faktorizacija števil. Izhajajoč iz tega lahko praštevila imenujemo "gradbeni material", "bloki" za konstruiranje naravnih števil.

Iskanje praštevil. Preizkusi preprostosti

Mnogi znanstveniki različnih časov so poskušali najti nekatera načela (sisteme) za iskanje seznama praštevil. Znanost pozna sisteme, imenovane Atkinovo sito, Sundartamovo sito, Eratostenovo sito. Vendar pa ne dajejo pomembnih rezultatov, za iskanje praštevil pa se uporablja preprost test. Algoritme so ustvarili tudi matematiki. Imenujejo se testi primarnosti. Na primer, obstaja test, ki sta ga razvila Rabin in Miller. Uporabljajo ga kriptografi. Obstaja tudi test Kayala-Agrawala-Saskena. Kljub zadostni natančnosti pa ga je zelo težko izračunati, kar zmanjšuje njegovo praktično vrednost.

Ali ima nabor praštevil mejo?

Dejstvo, da je nabor praštevil neskončen, je v knjigi "Začetki" zapisal starogrški znanstvenik Evklid. Rekel je takole: »Predstavljajmo si za trenutek, da imajo praštevila mejo. Nato jih pomnožimo med seboj in produktu dodamo eno. Število, ki ga dobimo kot rezultat teh preprostih operacij, ni mogoče deljivo z nobenim od nizov praštevil, ker bo ostanek vedno ena. In to pomeni, da obstaja še kakšno drugo število, ki še ni vključeno v seznam praštevil. Zato naša predpostavka ni resnična in ta niz ne more imeti meje. Poleg Evklidovega dokaza obstaja sodobnejša formula, ki jo je podal švicarski matematik Leonhard Euler iz osemnajstega stoletja. Po njegovem mnenju vsota, povratna vrednost vsote prvih n številk, z rastjo števila n raste v nedogled. In tukaj je formula izreka glede porazdelitve praštevil: (n) raste kot n / ln (n).

Kaj je največje praštevilo?

Vseeno je Leonard Euler uspel najti največje praštevilo za svoj čas. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Vendar je bilo do leta 2013 izračunano še eno najbolj natančno največje na seznamu praštevil - 2 57885161 - 1. Imenuje se Mersennovo število. Vsebuje približno 17 milijonov decimalnih števk. Kot lahko vidite, je število, ki ga je našel znanstvenik iz osemnajstega stoletja, nekajkrat manjše od tega. Tako bi moralo biti, saj je Euler ta izračun opravil ročno, a je našemu sodobniku verjetno pomagal računalnik. Poleg tega je bila ta številka pridobljena na Oddelku za matematiko enega od ameriških oddelkov. Številke, poimenovane po tem znanstveniku, opravijo Luc-Lehmerjev test primarnosti. Vendar se znanost pri tem ne želi ustaviti. Fundacija Electronic Frontier Foundation, ki je bila ustanovljena leta 1990 v Združenih državah Amerike (EFF), je ponudila denarno nagrado za iskanje velikih praštevil. In če so do leta 2013 nagrado prejemali tisti znanstveniki, ki jih bodo našli med 1 in 10 milijoni decimalnih številk, je danes ta številka dosegla od 100 milijonov na 1 milijardo. Nagrade se gibljejo od 150 do 250 tisoč ameriških dolarjev.

Imena posebnih praštevil

Številke, ki so bile najdene zahvaljujoč algoritmom, ki so jih ustvarili določeni znanstveniki in so opravili test preprostosti, se imenujejo posebne. Tukaj je nekaj izmed njih:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Preprostost teh številk, poimenovanih po zgornjih znanstvenikih, se ugotavlja z naslednjimi testi:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge in drugi.

Sodobna znanost se tu ne ustavi in ​​verjetno bo svet v bližnji prihodnosti izvedel imena tistih, ki so z iskanjem največjega praštevila uspeli dobiti nagrado 250.000 dolarjev.

V tem članku bomo preučili prosta in sestavljena števila. Najprej podamo definicije pra in sestavljenih števil ter navedemo tudi primere. Po tem dokažemo, da obstaja neskončno veliko praštevil. Nato napišemo tabelo praštevil in razmislimo o metodah za sestavljanje tabele praštevil, še posebej pa se bomo podrobneje posvetili metodi, imenovani Eratostenovo sito. Za zaključek izpostavimo glavne točke, ki jih je treba upoštevati pri dokazovanju, da je dano število pra ali sestavljeno.

Navigacija po straneh.

Osnovna in sestavljena števila - definicije in primeri

Koncepti praštevil in sestavljenih števil se nanašajo na tista, ki so večja od ena. Taka cela števila se glede na število njihovih pozitivnih deliteljev delijo na prosta in sestavljena števila. Torej razumeti definicije pra in sestavljenih števil, morate imeti dobro predstavo o tem, kaj so delitelji in večkratniki.

Opredelitev.

praštevila so cela števila, večja od enega, ki imajo samo dva pozitivna delitelja, in sicer sebe in 1 .

Opredelitev.

Sestavljene številke so cela števila, večja od enega, ki imajo vsaj tri pozitivne delilnike.

Ločeno ugotavljamo, da številka 1 ne velja niti za prosta niti sestavljena števila. Enota ima samo en pozitivni delilec, to je sama številka 1. To loči številko 1 od vseh drugih pozitivnih celih števil, ki imajo vsaj dva pozitivna delitelja.

Glede na to, da so pozitivna cela števila in da ima enota samo en pozitivni delilec, lahko podamo druge formulacije glasovnih definicij pra in sestavljenih števil.

Opredelitev.

praštevila so naravna števila, ki imajo samo dva pozitivna delitelja.

Opredelitev.

Sestavljene številke so naravna števila, ki imajo več kot dva pozitivna delitelja.

Upoštevajte, da je vsako pozitivno celo število, večje od ena, praštevilo ali sestavljeno število. Z drugimi besedami, ni niti enega celega števila, ki ni niti prasko niti sestavljeno. To izhaja iz lastnosti deljivosti, ki pravi, da sta številki 1 in a vedno delitelja katerega koli celega števila a.

Na podlagi podatkov v prejšnjem odstavku lahko podamo naslednjo definicijo sestavljenih števil.

Opredelitev.

Naravna števila, ki niso praška, se imenujejo sestavni del.

Prinesemo primeri prostih in sestavljenih števil.

Kot primere sestavljenih števil navajamo 6 , 63 , 121 in 6697 . Tudi ta izjava potrebuje razlago. Število 6 ima poleg pozitivnih deliteljev 1 in 6 tudi delilnike 2 in 3, saj je 6 \u003d 2 3, zato je 6 res sestavljeno število. Pozitivni delilniki števila 63 so števila 1 , 3 , 7 , 9 , 21 in 63 . Število 121 je enako zmnožku 11 11 , zato so njegovi pozitivni delitelji 1 , 11 in 121 . In število 6697 je sestavljeno, saj sta njegova pozitivna delitelja poleg 1 in 6697 tudi številki 37 in 181.

V zaključku tega odstavka bi rad opozoril tudi na dejstvo, da praštevila in sopraprosta števila še zdaleč niso ista stvar.

Tabela praštevil

Praštevila so zaradi udobja njihove nadaljnje uporabe zabeležena v tabeli, ki se imenuje tabela praštevil. Spodaj je tabela praštevil do 1000.

Postavlja se logično vprašanje: "Zakaj smo tabelo praštevil izpolnili le do 1000, ali ni mogoče narediti tabele vseh obstoječih praštevil"?

Odgovorimo najprej na prvi del tega vprašanja. Za večino problemov, ki vključujejo praštevila, zadostujejo praštevili do tisoč. V drugih primerih se boste najverjetneje morali zateči k nekaterim posebnim tehnikam reševanja. Čeprav lahko seveda razporedimo praštevila do poljubno velikega končnega pozitivnega celega števila, naj bo to 10.000 ali 1.000.000.000 , bomo v naslednjem odstavku govorili o metodah za sestavljanje tabel praštevil, zlasti bomo analizirali metodo poklical.

Zdaj pa poglejmo možnost (oziroma nemožnost) sestavljanja tabele vseh obstoječih praštevil. Ne moremo narediti tabele vseh praštevil, ker jih je neskončno veliko. Zadnja trditev je izrek, ki ga bomo dokazali po naslednjem pomožnem izreku.

Izrek.

Najmanjši pozitivni delilec naravnega števila, večjega od 1, razen 1, je praštevilo.

Dokaz.

Pustiti a je naravno število, večje od ena, b pa najmanj pozitiven neen delitelj a. Dokažimo, da je b po protislovju praštevilo.

Recimo, da je b sestavljeno število. Potem je tu še delitelj števila b (označimo ga z b 1 ), ki se razlikuje tako od 1 kot od b . Če upoštevamo tudi, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende (to poznamo iz lastnosti deljivosti), potem je pogoj 1

Ker je število a po pogoju deljivo z b in smo rekli, da je b deljivo z b 1 , potem nam koncept deljivosti omogoča, da govorimo o obstoju takih celih števil q in q 1, da sta a=b q in b=b 1 q 1 , od koder je a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz tega sledi, da je produkt dveh celih števil celo število, potem enakost a=b 1 ·(q 1 ·q) kaže, da je b 1 delilec števila a . Ob upoštevanju zgornjih neenakosti 1

Zdaj lahko dokažemo, da obstaja neskončno veliko praštevil.

Izrek.

Prašnih številk je neskončno veliko.

Dokaz.

Predpostavimo, da ni. To pomeni, da je samo n praštevilov in da so ti praštevili p 1 , p 2 , …, p n . Pokažimo, da lahko vedno najdemo praštevilo, drugačno od navedenih.

Razmislite o številu p, ki je enako p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jasno je, da se to število razlikuje od vsakega od praštevil p 1 , p 2 , …, p n . Če je število p praprosto, je izrek dokazan. Če je to število sestavljeno, potem na podlagi prejšnjega izreka obstaja prvi delitelj tega števila (označimo ga p n+1 ). Pokažimo, da ta delitelj ne sovpada z nobenim od številk p 1 , p 2 , …, p n .

Če ne bi bilo tako, bi bil po lastnostih deljivosti produkt p 1 ·p 2 ·…·p n deljiv s p n+1 . Toda število p je deljivo tudi s p n+1, enako vsoti p 1 ·p 2 ·…·p n +1. To pomeni, da mora biti drugi člen te vsote, ki je enak eni, deljiv s p n+1, kar je nemogoče.

Tako se dokaže, da je vedno mogoče najti novo praštevilo, ki ni vsebovano med nobenim številom vnaprej podanih praštevil. Zato je prostih številk neskončno veliko.

Torej, zaradi dejstva, da je prostih številk neskončno veliko, se pri sestavljanju tabel praštevil vedno omejijo od zgoraj na neko število, običajno 100, 1.000, 10.000 itd.

Eratostenovo sito

Zdaj bomo razpravljali o načinih sestavljanja tabel praštevil. Recimo, da moramo narediti tabelo praštevil do 100.

Najbolj očitna metoda za reševanje tega problema je zaporedno preverjanje pozitivnih celih števil, ki se začnejo z 2 in končajo s 100 , za prisotnost pozitivnega delitelja, ki je večji od 1 in manjši od števila, ki ga preverjamo (iz lastnosti deljivosti smo vedeti, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende, ki je drugačna od nič). Če takega delitelja ne najdemo, je število, ki se preverja, praštevilo in se vnese v tabelo praštevil. Če se najde tak delilec, je število, ki se preverja, sestavljeno, NE vnese se v tabelo praštevil. Po tem sledi prehod na naslednjo številko, ki se podobno preveri glede prisotnosti delitelja.

Opišimo prvih nekaj korakov.

Začnemo s številko 2. Število 2 nima pozitivnih deliteljev razen 1 in 2. Zato je praštevil, zato ga vnesemo v tabelo praštevil. Tukaj je treba reči, da je 2 najmanjše praštevilo. Pojdimo na številko 3. Njegov možni pozitivni delilec, ki ni 1 in 3, je 2. Toda 3 ni deljivo z 2, zato je 3 praštevilo in ga je treba vnesti tudi v tabelo praštevil. Pojdimo na številko 4. Njena pozitivna delitelja, razen 1 in 4, sta lahko 2 in 3, preverimo ju. Število 4 je deljivo z 2, zato je 4 sestavljeno število in ga ni treba vnesti v tabelo praštevil. Upoštevajte, da je 4 najmanjše sestavljeno število. Pojdimo na številko 5. Preverimo, ali je vsaj eno od števil 2, 3, 4 njegov delilec. Ker 5 ni deljivo z 2, 3 ali 4, je praštevilo in ga je treba zapisati v tabelo praštevil. Nato sledi prehod na številke 6, 7 in tako naprej do 100.

Ta pristop k sestavljanju tabele praštevil še zdaleč ni idealen. Tako ali drugače ima pravico do obstoja. Upoštevajte, da lahko pri tej metodi sestavljanja tabele celih števil uporabite kriterije deljivosti, kar bo nekoliko pospešilo proces iskanja deliteljev.

Obstaja bolj priročen način za sestavljanje tabele praštevil, ki se imenuje . Beseda "sito", ki je prisotna v imenu, ni naključna, saj dejanja te metode tako rekoč pomagajo "presejati" skozi sito Eratosthenovih celih števil, velikih enot, da bi ločili preproste od sestavljenih.

Pokažimo Eratostenovo sito v akciji pri sestavljanju tabele praštevil do 50.

Najprej po vrsti zapišemo številke 2, 3, 4, ..., 50.

Prvo število, zapisano 2, je pra. Zdaj se od številke 2 zaporedno premaknemo v desno za dve številki in te številke prečrtamo, dokler ne pridemo do konca sestavljene tabele številk. Torej bodo vse številke, ki so večkratne dveh, prečrtane.

Prvo neprečrtano število za 2 je 3. To število je pra. Zdaj se od številke 3 zaporedno premaknemo v desno za tri številke (ob upoštevanju že prečrtanih številk) in jih prečrtamo. Torej bodo vse številke, ki so večkratne tri, prečrtane.

Prvo neprečrtano število za 3 je 5. To število je pra. Zdaj se od številke 5 zaporedno premaknemo v desno za 5 številk (upoštevamo tudi prej prečrtane številke) in jih prečrtamo. Torej bodo vse številke, ki so večkratne s pet, prečrtane.

Nato prečrtamo števila, ki so večkratnik 7, nato večkratnik 11 itd. Postopek se konča, ko ni več številk za prečrtanje. Spodaj je izpolnjena tabela s praštevili do 50, pridobljenimi z uporabo Eratostenovega sita. Vsa neprečrtana števila so praška in vsa prečrtana števila so sestavljena.

Formulirajmo in dokažimo tudi izrek, ki bo pospešil postopek sestavljanja tabele praštevil s pomočjo Eratostenovega sita.

Izrek.

Najmanj pozitiven ne-en delilec sestavljenega števila a ne presega , kjer je iz a .

Dokaz.

Naj z b označujemo najmanjši delilec sestavljenega števila a, ki se razlikuje od enote (število b je pra, kar izhaja iz izreka, dokazanega na samem začetku prejšnjega odstavka). Potem obstaja celo število q, tako da je a=b q (tu je q pozitivno celo število, ki izhaja iz pravil množenja celih števil) in (ko je b>q, je kršen pogoj, da je b najmanjši delilec a, ker je q tudi delilec a zaradi enakosti a=q b ). Pomnožimo obe strani neenakosti s pozitivnim in večjim od enega celega števila b (to nam je dovoljeno), dobimo , od koder in .

Kaj nam daje dokazani izrek glede Eratostenovega sita?

Prvič, brisanje sestavljenih številk, ki so večkratniki praštevila b, se mora začeti s številom, ki je enako (to izhaja iz neenakosti ). Na primer, prečrtanje številk, ki so večkratniki dveh, se mora začeti s številko 4, večkratniki treh - s številko 9, večkratniki petih - s številko 25 itd.

Drugič, sestavljanje tabele praštevil do števila n z uporabo Eratostenovega sita se lahko šteje za končano, če so prečrtana vsa sestavljena števila, ki so večkratniki praštevil, ki ne presegajo. V našem primeru je n=50 (ker tabuliramo praštevila do 50) in , zato mora Eratostenovo sito izločiti vse sestavljene večkratnike praštevil 2, 3, 5 in 7, ki ne presegajo aritmetičnega kvadratnega korena iz 50 . To pomeni, da nam ni več treba iskati in prečrtati števil, ki so večkratniki praštevil 11 , 13 , 17 , 19 , 23 in tako naprej do 47 , saj bodo že prečrtana kot večkratniki manjših praštevil 2 , 3, 5 in 7.

Je to število pra ali sestavljeno?

Nekatere naloge zahtevajo ugotovitev, ali je dano število pra ali sestavljeno. V splošnem primeru ta naloga še zdaleč ni preprosta, zlasti za številke, katerih zapis je sestavljen iz velikega števila znakov. V večini primerov morate iskati poseben način za rešitev. Vendar pa bomo poskušali usmeriti tok misli za preproste primere.

Nedvomno je mogoče poskusiti uporabiti kriterije deljivosti, da dokažemo, da je dano število sestavljeno. Če na primer neki kriterij deljivosti pokaže, da je dano število deljivo z nekim pozitivnim celim številom, večjim od ena, potem je prvotno število sestavljeno.

Primer.

Dokaži, da je število 898 989 898 989 898 989 sestavljeno.

Rešitev.

Vsota števk tega števila je 9 8+9 9=9 17 . Ker je število, ki je enako 9 17, deljivo z 9, lahko po kriteriju deljivosti z 9 trdimo, da je tudi prvotno število deljivo z 9. Zato je sestavljen.

Pomembna pomanjkljivost tega pristopa je, da nam merila za deljivost ne omogočajo dokazovanja preprostosti števila. Zato morate pri preverjanju števila, ali je pra ali sestavljeno, ravnati drugače.

Najbolj logičen pristop je naštevanje vseh možnih deliteljev danega števila. Če nobeden od možnih deliteljev ni pravi delilec danega števila, je to število pra, sicer pa sestavljeno. Iz izrekov, dokazanih v prejšnjem odstavku, sledi, da je treba delitelje danega števila a iskati med praštevili, ki ne presegajo . Tako lahko dano število a zaporedno delimo s praštevili (ki jih je priročno vzeti iz tabele praštevil), pri čemer poskušamo najti delilec števila a. Če najdemo delilec, je število a sestavljeno. Če med praštevili, ki ne presegajo , ni delitelja števila a, je število a praštevilo.

Primer.

Številka 11 723 enostavna ali sestavljena?

Rešitev.

Ugotovimo, na kakšno praštevilo so lahko delitelji števila 11 723. Za to ocenjujemo.

To je povsem očitno , od 200 2 \u003d 40 000 in 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью primerjava številk). Tako so možni prvi delitelji 11.723 manjši od 200. To že zelo poenostavi našo nalogo. Če tega ne bi vedeli, bi morali razvrstiti vsa praštevila ne do 200, ampak do števila 11 723 .

Po želji lahko natančneje ocenite. Ker 108 2 = 11 664 in 109 2 = 11 881, potem 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Tako je kateri koli praštevil, manjši od 109, potencialno praštevilnik danega števila 11.723.

Zdaj bomo zaporedoma razdelili število 11 723 na praštevila 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 6 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Če je število 11 723 v celoti deljeno z enim od zapisanih praštevil, potem bo sestavljeno. Če ni deljivo z nobenim od zapisanih praštevil, je prvotno število praštevilo.

Ne bomo opisovali celotnega monotonega in monotonega procesa delitve. Recimo, da 11 723