Основни формули за намиране на разстояния чрез проекция на вектор върху ос. Векторна проекция. Координатни оси. Точкова проекция. Координати на точката върху оста. Как да определим знака на проекцията върху оста

а. Проекцията на точка A върху оста PQ (фиг. 4) е основата a на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към дадена ос. Оста, върху която проектираме, се нарича проекционна ос.

b. Нека са дадени две оси и вектор A B, както е показано на фиг. пет.

Векторът, чието начало е проекцията на началото и краят - проекцията на края на този вектор, се нарича проекция на вектора A B върху оста PQ, Записва се така;

Понякога индикаторът PQ не е изписан най-долу, това се прави в случаите, когато освен PQ няма друга ос, върху която може да се проектира.

с. Теорема I. Стойностите на векторите, лежащи на една и съща ос, са свързани като стойностите на техните проекции върху всяка ос.

Нека са дадени осите и векторите, показани на фиг.6 От подобието на триъгълниците се вижда, че дължините на векторите са свързани като дължините на техните проекции, т.е.

Тъй като векторите на чертежа са насочени в различни посоки, техните величини имат различни стойности, следователно,

Очевидно стойностите на проекцията също имат различен знак:

замествайки (2) в (3) в (1), получаваме

Обръщайки знаците, получаваме

Ако векторите са еднакво насочени, тогава ще има една посока и техните проекции; във формули (2) и (3) няма да има знаци минус. Замествайки (2) и (3) в равенство (1), веднага получаваме равенство (4). Така теоремата е доказана за всички случаи.

д. Теорема II. Стойността на проекцията на вектор върху всяка ос е равна на стойността на вектора, умножена по косинуса на ъгъла между оста на проекциите и оста на вектора. Нека векторът е даден на оста, както е показано на фиг. . 7. Да построим вектор, еднакво насочен с неговата ос и отложен, например, от точката на пресичане на осите. Нека дължината му е равна на единица. Тогава неговата стойност

§ 3. Векторни проекции върху координатните оси

1. Намиране на проекции геометрично.

вектор
- проекция на вектора върху оста ОХ
- проекция на вектора върху оста ой

Определение 1. Векторна проекция на всяка координатна ос се нарича число, взето със знак "плюс" или "минус", съответстващо на дължината на сегмента, разположен между основите на перпендикулярите, спуснати от началото и края на вектора до координатната ос.

Знакът на проекцията се определя по следния начин. Ако при движение по координатната ос има движение от проекционната точка на началото на вектора до проекционната точка на края на вектора в положителната посока на оста, тогава проекцията на вектора се счита за положителна . Ако - е срещуположно на оста, тогава проекцията се счита за отрицателна.

Фигурата показва, че ако векторът по някакъв начин е ориентиран срещу координатната ос, тогава неговата проекция върху тази ос е отрицателна. Ако векторът е ориентиран по някакъв начин в положителната посока на координатната ос, тогава неговата проекция върху тази ос е положителна.

Ако векторът е перпендикулярен на координатната ос, тогава неговата проекция върху тази ос е равна на нула.
Ако векторът е сънасочен с ос, тогава неговата проекция върху тази ос е равна на модула на вектора.
Ако векторът е противоположен на координатната ос, тогава неговата проекция върху тази ос е равна по абсолютна стойност на векторния модул, взет със знак минус.

2. Най-общо определение за проекция.

От правоъгълен триъгълник ABD: .

Определение 2. Векторна проекция на всяка координатна ос се нарича число, равно на произведението на модула на вектора и косинуса на ъгъла, образуван от вектора с положителната посока на координатната ос.

Знакът на проекцията се определя от знака на косинуса на ъгъла, образуван от вектора с положителната посока на оста.
Ако ъгълът е остър, тогава косинусът има положителен знак и проекциите са положителни. За тъпите ъгли косинусът има отрицателен знак, така че в такива случаи проекциите върху оста са отрицателни.
- така че за вектори, перпендикулярни на оста, проекцията е нула.

Оста е посоката. Следователно проекцията върху ос или върху насочена линия се счита за една и съща. Проекцията може да бъде алгебрична или геометрична. От геометрична гледна точка проекцията на вектор върху ос се разбира като вектор, а от алгебрична гледна точка това е число. Тоест, използват се понятията проекция на вектор върху ос и числена проекция на вектор върху ос.

Ако имаме ос L и ненулев вектор A B → , тогава можем да построим вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначавайки проекциите на неговите точки A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 ще бъде проекцията на вектора A B → върху L .

Определение 1

Проекцията на вектора върху остасе нарича вектор, чието начало и край са проекции на началото и края на дадения вектор. n p L A B → → обичайно е да се означава проекцията на A B → върху L . За да построите проекция върху L, пуснете перпендикулярите върху L.

Пример 1

Пример за проекция на вектор върху ос.

В координатната равнина O x y е посочена точка M 1 (x 1, y 1). Необходимо е да се построят проекции върху O x и O y за изображението на радиус вектора на точката M 1 . Нека вземем координатите на векторите (x 1 , 0) и (0 , y 1) .

Ако говорим за проекцията на a → върху ненулево b → или проекцията на a → върху посоката b → , тогава имаме предвид проекцията на a → върху оста, с която съвпада посоката b →. Проекцията a → върху правата, определена от b →, се означава с n p b → a → → . Известно е, че когато ъгълът е между a → и b → , можем да считаме n p b → a → → и b → съпосочни. В случай, че ъгълът е тъп, n p b → a → → и b → са противоположно насочени. В ситуация на перпендикулярност a → и b → и a → е нула, проекцията на a → по посока b → е нулев вектор.

Числовата характеристика на проекцията на вектор върху ос е числената проекция на вектор върху дадена ос.

Определение 2

Числова проекция на вектора върху останаричаме число, което е равно на произведението на дължината на даден вектор и косинуса на ъгъла между дадения вектор и вектора, който определя посоката на оста.

Числената проекция на A B → върху L се означава с n p L A B → , а a → върху b → - n p b → a → .

Въз основа на формулата получаваме n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откъдето a → е дължината на вектора a → , a ⇀ , b → ^ е ъгълът между векторите a → и b → .

Получаваме формулата за изчисляване на числената проекция: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Приложимо е за известни дължини a → и b → и ъгъла между тях. Формулата е приложима за известни координати a → и b → , но има нейна опростена версия.

Пример 2

Намерете числената проекция a → върху права линия в посока b → с дължина a → равна на 8 и ъгъл между тях е 60 градуса. По условие имаме a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. И така, заместваме числените стойности във формулата n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Отговор: 4.

С известен cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имаме a → , b → като скаларно произведение на a → и b → . Следвайки формулата n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , можем да намерим числената проекция a → насочена по вектора b → и да получим n p b → a → = a → , b → b → . Формулата е еквивалентна на определението, дадено в началото на клаузата.

Определение 3

Числената проекция на вектора a → върху оста, съвпадаща по посока с b →, е отношението на скаларното произведение на векторите a → и b → към дължината b → . Формулата n p b → a → = a → , b → b → е приложима за намиране на числената проекция на a → върху права линия, съвпадаща по посока с b → , с известни a → и b → координати.

Пример 3

Дадено е b → = (- 3 , 4) . Намерете числената проекция a → = (1 , 7) върху L .

Решение

В координатната равнина n p b → a → = a → , b → b → има формата n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , с a → = (a x , a y ) и b → = b x , b y . За да намерите числената проекция на вектора a → върху оста L, трябва: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Отговор: 5.

Пример 4

Намерете проекцията a → върху L , съвпадаща с посоката b → , където има a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Дадено е триизмерно пространство.

Решение

Дадено е a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z изчислете скаларното произведение: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Намираме дължината b → по формулата b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. От това следва, че формулата за определяне на числената проекция a → ще бъде: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Заменяме числовите стойности: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Отговор: - 6 7 .

Нека разгледаме връзката между a → върху L и дължината на проекцията на a → върху L . Начертайте ос L, като добавите a → и b → от точка към L, след което начертайте перпендикулярна линия от края на a → към L и проектираме върху L. Има 5 варианта на изображението:

Първиятслучаят, когато a → = n p b → a → → означава a → = n p b → a → → , следователно n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второ case предполага използването на n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , така че n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третиятслучай обяснява, че когато n p b → a → → = 0 → получаваме n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, тогава n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвъртослучаят показва n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), следва n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Петослучай показва a → = n p b → a → → , което означава a → = n p b → a → → , следователно имаме n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Определение 4

Числовата проекция на вектора a → върху оста L , която е насочена като b → , има смисъла:

• дължината на проекцията на вектора a → върху L, при условие че ъгълът между a → и b → е по-малък от 90 градуса или равен на 0: n p b → a → = n p b → a → → с условието 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• нула при условие на перпендикулярност a → и b → : n p b → a → = 0, когато (a → , b → ^) = 90 ° ;
• дължината на проекцията a → върху L, по -1, когато има тъп или сплескан ъгъл на векторите a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условието 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Дадена е дължината на проекцията a → върху L , равна на 2 . Намерете числената проекция a → като се има предвид, че ъгълът е 5 π 6 радиана.

Решение

От условието се вижда, че този ъгъл е тъп: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Отговор: - 2.

Пример 6

Дадена е равнина O x y z с дължина на вектора a → равна на 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с ъгъл 30 градуса. Намерете координатите на проекцията a → върху оста L.

Решение

Първо, изчисляваме числената проекция на вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

По условие ъгълът е остър, тогава числената проекция a → = е дължината на проекцията на вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Този случай показва, че векторите n p L a → → и b → са сънасочени, което означава, че има число t, за което е вярно равенството: n p L a → → = t · b → . От тук виждаме, че n p L a → → = t b → , така че можем да намерим стойността на параметъра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогава n p L a → → = 3 b → с координатите на проекцията на вектора a → върху оста L са b → = (- 2 , 1 , 2) , където е необходимо да се умножат стойностите по 3 Имаме n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Отговор: (- 6 , 3 , 6) .

Необходимо е да се повтори предварително изучената информация за условието за колинеарност на вектора.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека два вектора и са дадени в пространството. Отделете от произволна точка Овектори и . ъгълмежду векторите и се нарича най-малкият от ъглите. Означено .

Помислете за оста ли върху него начертайте единичен вектор (т.е. вектор, чиято дължина е равна на единица).

Ъгъл между вектор и ос лразберете ъгъла между векторите и .

Така че нека ле някаква ос и е вектор.

Означаваме с A 1и B1проекции върху оста лточки Аи б. Нека се преструваме, че A 1има координата х 1, а B1- координирам x2на ос л.

Тогава проекциявектор на ос лсе нарича разлика х 1 – x2между координатите на проекциите на края и началото на вектора върху тази ос.

Проекция на вектор върху ос лще обозначим .

Ясно е, че ако ъгълът между вектора и оста лрязко тогава x2> х 1, и проекцията x2 – х 1> 0; ако този ъгъл е тъп, тогава x2< х 1и проекция x2 – х 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси л, тогава x2= х 1и x2– х 1=0.

По този начин проекцията на вектора върху оста ле дължината на сегмента A 1 B 1взети с определен знак. Следователно проекцията на вектор върху ос е число или скалар.

Проекцията на един вектор върху друг се определя по подобен начин. В този случай проекциите на краищата на този вектор се намират на правата, на която лежи вторият вектор.

Нека да разгледаме някои от основните проекционни свойства.

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМИ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМИ СИСТЕМИ ОТ ВЕКТОРИ

Нека разгледаме няколко вектора.

Линейна комбинацияот тези вектори е всеки вектор от формата , където са някои числа. Числата се наричат ​​коефициенти на линейната комбинация. Също така се казва, че в този случай е линейно изразено по отношение на дадени вектори, т.е. получени от тях чрез линейни операции.

Например, ако са дадени три вектора, тогава векторите могат да се разглеждат като тяхната линейна комбинация:

Ако един вектор е представен като линейна комбинация от някои вектори, тогава се казва, че е такъв разложенипо тези вектори.

Векторите се наричат линейно зависими, ако има такива числа, не всички равни на нула, това . Ясно е, че дадените вектори ще бъдат линейно зависими, ако някой от тези вектори е линейно изразен по отношение на останалите.

В противен случай, т.е. когато съотношението извършва само когато , тези вектори се наричат линейно независими.

Теорема 1.Всеки два вектора са линейно зависими тогава и само ако са колинеарни.

Доказателство:

Следващата теорема може да се докаже по подобен начин.

Теорема 2.Три вектора са линейно зависими тогава и само ако са копланарни.

Доказателство.

ОСНОВАНИЕ

Основае съвкупността от ненулеви линейно независими вектори. Елементите на основата ще бъдат означени с .

В предишния подраздел видяхме, че два неколинеарни вектора в равнината са линейно независими. Следователно, съгласно теорема 1 от предходния абзац, база в равнина са всеки два неколинеарни вектора в тази равнина.

По същия начин, всеки три некомпланарни вектора са линейно независими в пространството. Следователно три некомпланарни вектора се наричат ​​базис в пространството.

Вярно е следното твърдение.

Теорема.Нека в пространството е дадена основа. Тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация , където х, г, z- някои числа. Такова разлагане е уникално.

Доказателство.

По този начин основата ви позволява да свържете уникално всеки вектор с тройка числа - коефициентите на разширение на този вектор по отношение на векторите на основата: . Обратното също е вярно, всяка тройка от числа x, y, zизползвайки основата, можете да съпоставите вектора, ако направите линейна комбинация .

Ако основата и , след това числата x, y, zНаречен координативектори в дадения базис. Координатите на вектора означават .

ДЕКАРТОВА КООРДИНАТНА СИСТЕМА

Нека е дадена точка в пространството Ои три некомпланарни вектора.

Декартова координатна системав пространството (на равнина) се нарича множеството от точка и основа, т.е. набор от точка и три некомпланарни вектора (2 неколинеарни вектора), излизащи от тази точка.

Точка Онаречен произход; правите линии, минаващи през началото по посока на базисните вектори, се наричат ​​координатни оси - абсцисната, ординатната и апликативната ос. Равнините, минаващи през координатните оси, се наричат ​​координатни равнини.

Разгледайте произволна точка в избраната координатна система М. Нека въведем понятието координата на точка М. Векторът, който свързва началото с точката М. Наречен радиус векторточки М.

Вектор в избраната основа може да бъде свързан с тройка числа - нейните координати: .

Координати на радиус вектор на точка М. Наречен координати на точка М. в разглежданата координатна система. M(x,y,z). Първата координата се нарича абциса, втората е ордината, а третата е апликат.

Декартовите координати на равнината се определят по подобен начин. Тук точката има само две координати - абсцисата и ординатата.

Лесно се вижда, че за дадена координатна система всяка точка има определени координати. От друга страна, за всяка тройка от числа има една точка, която има тези числа като координати.

Ако векторите, взети за основа в избраната координатна система, имат единична дължина и са перпендикулярни по двойки, тогава координатната система се нарича Декартов правоъгълник.

Лесно е да се покаже това.

Насочващите косинуси на вектор напълно определят посоката му, но не казват нищо за дължината му.

Решаването на задачи за равновесието на сближаващи се сили чрез конструиране на затворени многоъгълници на сила е свързано с тромави конструкции. Универсален метод за решаване на такива проблеми е преходът към определяне на проекциите на дадени сили върху координатните оси и работа с тези проекции. Оста се нарича права линия, на която е зададена определена посока.

Проекцията на вектор върху ос е скаларна стойност, която се определя от сегмента на оста, отрязан от перпендикулярите, пуснати върху нея от началото и края на вектора.

Проекцията на вектор се счита за положителна, ако посоката от началото на проекцията до нейния край съвпада с положителната посока на оста. Проекцията на вектор се счита за отрицателна, ако посоката от началото на проекцията до нейния край е противоположна на положителната посока на оста.

Така проекцията на силата върху координатната ос е равна на произведението на модула на силата и косинуса на ъгъла между вектора на силата и положителната посока на оста.

Помислете за редица случаи на проектиране на сили върху ос:

Вектор на силата Е(фиг. 15) сключва остър ъгъл с положителната посока на оста x.

За да намерим проекцията, от началото и края на вектора на силата спускаме перпендикулярите към оста ох; получаваме

1. Fx = Е cosα

Проекцията на вектора в този случай е положителна

Сила Е(фиг. 16) е с положителната посока на оста хтъп ъгъл α.

Тогава Е x= Е cos α, но тъй като α = 180 0 - φ,

Е x= Е cosα = Е cos180 0 - φ =- Езащото фи.

Проекция на сила Ена ос охв този случай е отрицателен.

Сила Е(фиг. 17) перпендикулярно на оста ох.

Проекция на сила F върху оста хнула

Е x= Е cos 90° = 0.

Сила, разположена в равнина хау(фиг. 18), може да се проектира върху две координатни оси охи OU.

Сила Емогат да бъдат разделени на компоненти: Е x и Е y . Векторен модул Е x е равно на векторната проекция Ена ос вол, и модулът на вектора Е y е равно на проекцията на вектора Ена ос ой.

От Δ OAB: Е x= Е cosα, Е x= Е sinα.

От Δ SLA: Е x= Езащото фи, Е x= Егрях фи.

Модулът на силата може да се намери с помощта на Питагоровата теорема:

Проекцията на векторната сума или резултата върху която и да е ос е равна на алгебричната сума на проекциите на членовете на векторите върху същата ос.

Помислете за сближаващи се сили Е 1 , Е 2 , Е 3 и Е 4, (фиг. 19, а). Геометричният сбор или резултантната на тези сили Еопределена от затварящата страна на силовия полигон

Пуснете от върховете на силовия многоъгълник върху оста хперпендикуляри.

Отчитайки получените проекции на сили директно от завършената конструкция, имаме

Е= Е 1x+ Е 2x+ Е 3x+ Е 4x

където n е броят на членовете на векторите. Техните проекции влизат в горното уравнение със съответния знак.

В равнина геометричната сума на силите може да се проектира върху две координатни оси, а в пространството, съответно, върху три.