Postoji srednja linija formule trapeziranja. Kvadratni trapezijum

Trg trapeza. Pozdrav! U ovoj publikaciji razmotrit ćemo navedenu formulu. Zašto je to baš tako i kako to razumjeti. Ako postoji razumijevanje, onda nemate potrebe da ga naučite. Ako samo želite vidjeti ovu formulu i ono što je hitno, možete se odmah pomaknuti prema dolje)))

Sada detaljno i po redu.

Trapezij je četverostrani, dvije strane ovog Quadrillera paralelne su, postoje još dvije osobe. Oni koji nisu paralelni - ovo je temelj trapeza. Dvoje drugih nazivaju se bočnim strankama.

Ako su bočne strane jednake, trapezijum se naziva izolirano. Ako je jedna strana bočnih strana okomita na temelje, tada se takav trapez naziva pravokutno.

U klasičnom obliku, trapezoid je prikazan na sljedeći način - veća baza je ispod, odnosno manje. Ali niko ne zabranjuje prikazuje i obrnuto. Evo skica:

Sljedeći važan koncept.

Srednja linija Trapezija je segment koji povezuje sredinu strane. Srednja linija je paralelna s bazama trapeza i jednaka je pola semit.

Sada dišemo duboko. Zašto?

Razmislite o trapezu sa terenima a i B. i sa srednjom linijom l. I izvršit ću neke dodatne konstrukcije: kroz temelje će se provesti ravno, a kroz krajeve srednje linije okomito na raskrižje sa bazama:

* Abebfetične oznake vrhova i drugih točaka nisu namjerno uvedene kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.

Pogledajte, trouglovi 1 i 2 jednaki su na drugoj osnovi jednakosti trouglova, trouglova 3 i 4 iste. Od ravnopravnosti trouglova prati se jednakost elemenata, naime kaketa (oni su naznačene u skladu s tim plavim i crvenim).

Pažnja! Ako mentalno "izrezujemo" iz donje baze plavog i crvenog segmenta, imat ćemo segment (ovo je strana pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Nadalje, ako "ljepimo" rezim plave i crvene segmente do gornje baze trapeza, tada imamo i segment (ovo je takođe pravokutnička strana) jednaka srednjoj liniji trapeza.

Uhvaćen? Ispada da će količina osnova biti jednaka dvije srednje crte trapeza:

Pogledajte još jedno objašnjenje

Učinit ćemo sljedeće - izgradit ćemo ravnu liniju koja prolazi kroz donju bazu trapeza i direktno, što će proći kroz točke A i B:

Dobijamo trouglove 1 i 2, oni su jednaki sa strane i susjedni u uglove (drugi znak jednakosti trouglova). To znači da je rezultirajući segment (na skici označen plavom) jednak gornjoj bazi trapeza.

Sada razmislite o trokutu:

* Srednja linija ovog trapeza i srednje linije trougla podudara se.

Poznato je da je trokut jednak polovini baza paralelno s tim, to je:

Pa, smislio se. Sada o kvadratu trapeza.

Trg formule Trapezium:

Kažu: Trg trapeza je jednak radu polovine kao osnova i visine.

To jest, ispada da je jednak proizvodu srednje linije i visine:

Vjerovatno ste već primijetili da je očigledno. Može se geometrijski izraziti: ako mentalno presečemo trapezoidne trouglove 2 i 4 i u skladu s tim stavite na trouglove 1 i 3:

Da ćemo imati pravokutnik na kvadratu jednakoj području našeg trapeza. Područje ovog pravokutnika bit će jednako proizvodu srednje linije i visine, odnosno možemo napisati:

Ali poenta ovdje nije u zapisu, naravno, već u razumijevanju.

Preuzimanje (View) članak članak u * PDF formatu

To je sve. Uspeh za vas!

S poštovanjem, Aleksandar.

U ovom ćemo članku potruditi što je brže da u potpunosti odražavamo svojstva trapeza. Konkretno, razgovarat ćemo o općim znakovima i nekretninama Trapezija, kao i svojstava upisanog trapeza i kruga upisane u trapeziju. Učestvujemo na svojstva nepristupačnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da se raspadate na mjestima u mojoj glavi i bolje je sjetiti materijala.

Trapeza i sve-sve-sve

Za početak, ukratko se sjeća onome što je trapez i koji su drugi pojmovi povezani s tim.

Dakle, trapezij - četverostrani broj, dvije strane od kojih su paralelne jedna s drugom (ovo je temelj). I dvije nisu paralelne - to su strane.

U trapezu se visina može spustiti - okomito na temelji. Izvršeni su srednja linija i dijagonala. A također je moguće iznijeti bisektor.

O različitim svojstvima povezanim sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, razgovaraćemo sada.

Nekretnine dijagonale Trapezijum

Da biste bili jasniji dok čitate, skicirajte se na listu acklasa i provedite dijagonalu u njemu.

1. Ako pronađete sredinu svakog dijagonala (označavamo ove tačke X i T) i povežite ih, on ispada segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza nalazi se u činjenici da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina može se dobiti odvajanjem razlike u osnovama za dvoje: Ht \u003d (a - b) / 2.
2. Pred nama, svi isti trapezijum acme. Dijagonali se presijecaju u točki O. Pogledajmo trouglove OO-a i IOC-a formiranim segmentima dijagonala zajedno s bazama trapeza. Ovi trouglovi su slični. Koeficijent likovanja K trouglovi izražavaju se kroz omjer baza trapeza: k \u003d AE / km.
   Odnos područja trouglova i IOC opisana je koeficijentom K 2.
3. Sve isti trapezijum, isti dijagonali se presijecaju u točki O. Samo ovaj put razmotrit ćemo trouglove koji su rezali dijagonale formirane zajedno sa stranama trapeza. Područje trouglova AKO-a i EMO-a jednaki su - njihovi su trgovi isti.
4. Druga imovina trapeza ugrađuje izgradnju dijagonala. Dakle, ako nastavite sa strane AK-a i mene u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije preći na neku tačku. Nadalje, kroz sredinu baza trapezija će provesti direktno. Prelazi temelje na bodovima X i T.
   Ako sada proširimo Direct HT, spojit će se mjesto sjecišta dijagonala trapeza, točka u kojoj nastavak strane i sredina baze X i T.
5. Kroz tačku dijagonale za raskrižju, vršimo segment koji povezuje bazu trapeza (T nalazi se na manjioj bazi cm, x - na većem AE). Tačka raskrižja dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: Onda / oh \u003d km / ae.
6. A sada kroz tačku dijagonala raskrižja, provest ćemo paralelne baze trapeza (A i B) segmenta. Točka raskrižja podijelit će ga na dva jednaka dijela. Dužina segmenta možete pronaći formulom 2AB / (A + B).

Svojstva srednje linije

Srednja linija u trapezu paralelno s njegovim osnovama.

1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati ako su sklopljene osnovne dužine i da ih podijelite na pola: m \u003d (a + b) / 2.
2. Ako provedete kroz oba baza trapezijum bilo kojeg segmenta (visine, na primjer, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Bisektor nekretnine Trapezijum

Odaberite bilo koji kut trapeza i vrtloga. Uzmi, na primjer, ugao našeg trapezanja ACME-a. Nakon što se izvršite sami, lako se pobrinite da je bisektor odsječen iz baze (ili njegov nastavak na ravno iz samog broja) segment iste dužine kao i bočne strane.

Svojstva uglova trapeza

1. Šta je od dva para susjednog na boku uglova koje niste odabrali, zbroj uglova u paru je uvijek 180 0: α + β \u003d 180 0 i γ + Δ \u003d 180 0.
2. Spojite sredinu baza trapezoidnog segmenta TX. Sada pogledajte uglove u bazu trapeza. Ako su zbroj uglova u bilo kojem od njih 90 0, dužina segmenta TX je jednostavan za izračunavanje na temelju razlike u osnovnim duljinama, na pola: TX \u003d (AE - km) / 2.
3. Ako kroz bok ugla trapeza za obavljanje paralelnih ravnih linija, oni odvoje boku ugla na proporcionalnim segmentima.

Svojstva ravnoteže (jednakih) trapeza

1. U ravnotežnom trapezu uglovima su jednaki bilo kojem od razloga.
2. Sada izgradite trapez ponovo da zamislite o čemu se radi. Pogledajte pažljivo na bazi AE - vrh suprotnog baza M predviđa se u vrstu na ravnu liniju koja sadrži AE. Udaljenost od vrha a do točke projekcije vrtoglavice i prosječna linija izjednačanog trapeza je jednaka.
3. Nekoliko riječi o vlasništvu dijagonala izjednačenog trapeza - njihove dužine su jednake. Kao i isti uglovi naginjanja ovih dijagonala u bazu trapeza.
4. Samo oko ravnoteže Trapezij može se opisati u obodu, jer je zbroj suprotnih uglova četverokutnika 180 0 preduvjet za to.
5. Iz prethodnog stava, vlasništvo ravnoteže Trapezija slijedi - ako možete opisati krug u blizini trapeza, to je izjednačeno.
6. Od značajki ravnoteže trapezijuma, visina trapeznih tokova: Ako njegova dijagonala presijecaju se pod pravim uglom, dužina visine jednaka je polovini količine razloga: h \u003d (A + B) / 2.
7. Ponovo potrošite segment TX-a kroz sredinu baza trapeza - u ravnotežnom trapezu je okomito na temelje. I istovremeno TX - osovina simetrije uređenog trapeza.
8. Ovog vremena izostavljaju u veću bazu (označavamo je a) visina suprotne kralježnice trapeza. Ispada dva segmenta. Duljina jedne možete pronaći ako su osnovne dužine preklopljene i podijeljene za pola: (A + B) / 2. Drugo ćemo dobiti kada iz veće baze, manji i rezultirajuća razlika podijeljena je na dva: (A - b) / 2.

Svojstva trapeza u krugu uključena u krug

Jednom se radilo o trapezu upisanom u krugu, fokusirat ćemo se na ovo pitanje. Konkretno, gdje se centar kruga nalazi u odnosu na trapez. Ovdje se preporučuje i ne smijemo biti lijen da se olovku uđe u ruke i ne nacrtajte nešto o onome što će se raspravljati u nastavku. Tako ćete shvatiti brže i bolje se sjećati.

1. Lokacija centra kruga određena je uglom nagiba trapeza dijagonale na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala može izaći iz vrha trapeza na desnom uglu na stranu. U ovom slučaju veći bazori prelazi centar kruga opisan tačno u sredini (r \u003d ½ae).
2. Dijagonala i strana mogu se pojaviti pod akutnim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
3. Centar opisanog kruga može biti izvan trapeza, za svoju veliku bazu, ako je između trapeznog dijagonale i strane glupi ugao.
4. Kut koji je formiran dijagonalom i velikom bazom ACME trapeza (upisanog ugla) je polovina tog središnjeg ugla, što to odgovara: May \u003d ½m..
5. Ukratko oko dva načina pronalaženja radijusa opisanog kruga. Prvo metoda: Pogledajte pažljivo na svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala razbija trapez u dva trougla. Polumjer se može naći kroz omjer strane trokuta do sinusa suprotnog ugla, pomnoženo sa dva. Na primjer, R \u003d AE / 2 * Siname. Slično tome, formula se može obojiti za bilo koje strane oba trouglova.
6. Metoda drugog: Polumjer opisanog kruga nalazimo kroz područje trokuta koji je formiran dijagonalom, bočnom i bazom trapeza: R \u003d AM * ja * ae / 4 * s.

Svojstva trapezapisa opisana u blizini kruga

Možete unijeti krug u trapezu ako se poštuje jedan uvjet. Više o njemu ispod. I zajedno ova kombinacija brojki ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je krug upisao u trapeziju, duljina njegove srednje linije može se lako pronaći preklopivanjem dužine strana i dijeljenje količine dobivenog na pola: m \u003d (c + d) / 2.
2. ACME trapezij opisani u blizini obima, zbroj osnovnih duljina jednaka je zbroju dužina strana: AK + ME \u003d KM + AE.
3. Od ove nekretnine baze trapeza podrazumijeva obrnutu izjavu: krug se može unijeti u taj trapezij, zbroj od kojih je podjednaka jednaka zbroju strana.
4. Poanta dodirivanja kruga s radijusom R, upisana u trapezu, razbija se bočno sa dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati formulom: r \u003d √ab.
5. I još jedna svojstvo. Da se ne bismo zbunili, ovaj primer se takođe izvlači. Imamo staro-dobru trapeziju Akme, opisane u blizini kruga. Dijagonalno se presijecao na tački O. Trouglovi AOK-a i bočne strane koji su formirani rezovima dijagonala i strana su pravougaoni.
   Visine ovih trouglova, spuštene na hipotenusima (to su, stranice trapesa) podudaraju se s radijusom upisanog kruga. A visina trapeza - podudara se s promjerom upisanog kruga.

Svojstva pravougaonog trapeza

Pravokutni poziv Trapezij, jedan od uglova koji je direktan. A njena svojstva nastaju iz ove okolnosti.

1. Pravokutni trapezij ima jednu od bočnih strana okomito na temelje.
2. Visina i strana trapeza, susjedni u pravac, jednaki su. To vam omogućuje izračunavanje područja pravokutnog trapeza (opće formule) S \u003d (a + b) * h / 2) Ne samo kroz visinu, već i kroz bočnu stranu, pored direktnog ugla.
3. Za pravougaoni trapezij, opća svojstva dijagonala trapezaja su relevantna.

Dokaz o nekim trapezijskim svojstvima

Jednakost uglova na osnovu nepristupačnog trapeza:

• Vjerojatno ste se pretpostavili da će opet biti potreban trapezoid Akme - nacrtajte jednako Chagrin Trapecy. Provedite sa vrhove MT ravnog mt paralelno sa strane AK (MT || AK).

Rezultirajući četverostrani AKMT - paralelogram (AK || MT, KM || AT). Od mene \u003d KA \u003d MT, Δ MTA je predsjedavajući i met \u003d mtt.

AK || MT, dakle, MTA \u003d KAE, MET \u003d MTA \u003d KA.

Odakle AKM \u003d 180 0 - Met \u003d 180 0 - Kate \u003d Kre.

Q.e.d.

Sada, na osnovu imovine ravnoteže trapeza (ravnopravnost dijagonale), to dokazujemo akme Trapezium je izjednačen:

• Za početak, potrošit ćemo direktan MX - MX || Ke. Dobijamo paralelogram KMCH (baza - MX || KE i KM || ex).

ΔAMH je otpad, jer je AM \u003d KE \u003d mx, a max \u003d mea.

MX || Ke, Kea \u003d Moss, dakle, maja \u003d mahovina.

Pokazalo nam se da su trouglovi Akea i EMA jednaki jedni drugima, jer je AM \u003d KE i AE - uobičajena strana dva trougla. Kao i maja \u003d mahovina. Možemo zaključiti da je AK \u200b\u200b\u003d IU i otuda slijedi i da je akme trapezijum otpad.

Zadatak za ponavljanje

Osnova trapeznog acme je 9 cm i 21 cm, bočna strana od 8 cm, čini ugao od 150 0 sa manjom bazom. Potrebno je pronaći područje trapeza.

Rješenje: od vrha do spuštanja visine do veće baze trapeza. I počnite s obzirom na uglove trapeza.

Ugori AEM-a i Kahna su jednostrani. I to znači, u iznosu koji daju 180 0. Stoga je KAN \u003d 30 0 (na osnovu svojstava uglova trapeza).

Sada smatramo da je pravokutni δank (pretpostavljam da je ovaj trenutak očigledan čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu KN Trapeziona - u trokutu, to je kašalj, koja leži nasuprot uglom od 30 0. Stoga, kn \u003d ½av \u003d 4 cm.

Područje trapeza nalazi se formula: S ACME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Poslije riječi

Ako ste pažljivo i zamišljeno proučili ovaj članak, nisam imao olovku sa olovkom u rukama izvlačenja trapeza za sve zadane svojstva i rastaviti ih u praksi, materijal je bio dobro.

Naravno, ovdje postoji puno informacija, raznolikim i na mjestima čak zbunjujući: Nije tako teško zbuniti svojstva opisanog trapezoida s nekretninama. Ali vi ste se pobrinuli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svih uobičajenih svojstava trapezela. Kao i specifična svojstva i znakovi trapeza izoliranih i pravokutnih. Vrlo su prikladni za upotrebu za pripremu za kontrolu i ispite. Isprobajte sami i podijelite vezu sa prijateljima!

potrebno je blog.set, sa punim ili djelomičnim kopiranjem materijalnog reference na originalni izvor.

Segment ravne linije koji povezuje sredinu strana trapeza naziva se srednja linija trapeza. O tome kako pronaći prosječnu trapezijsku liniju i kako odgovara drugim elementima ove brojke, reći ćemo u nastavku.

Srednja linija teorema

Nacrtajte trapez u kojem je oglas više baza, BC je manja baza, EF - srednja linija. Nastavljamo osnivanje oglasa po tački D. Izvodimo BF liniju i nastavimo je da komuniciramo sa nastavkom osnovnog oglasa u točki O. Razmotrite trougla ΔBCF i ΔDFO. Uglovi ∟bcf \u003d ∟dfo kao vertikalni. CF \u003d DF, ∟bcf \u003d ∟fdo, jer Sunce // ad. Shodno tome, trouglovi δbcf \u003d ΔDFO. Otuda je strana bf \u003d fo.

Sada razmotrite Δavo i Δebf. ∟abo zajednički za oba trougla. BE / AB \u003d ½ po stanju, bf / bo \u003d ½, od Δbcf \u003d Δdfo. Shodno tome, trouglovi ABO i EFB su slični. Otuda omjer stranaka EF / AO \u003d ½, kao i odnos drugih strana.

Pronalazimo EF \u003d ½ ao. Prema crtežu, može se vidjeti da AO \u003d ad + uradi. DO \u003d BC kao stranke jednakih trouglasta, to znači AO \u003d AD + BC. Otuda i ef \u003d ½ ao \u003d ½ (AD + BC). Oni. Dužina prosječnog trapeza je jednaka polovini baze.

Postoji li uvijek prosječna linija trapeza jednaka sredini baze?

Pretpostavimo da postoji takav poseban slučaj kada je EF ≠ ½ (AD + BC). Tada sunce ≠ učini, dakle, Δbcf ≠ Δdcf. Ali nemoguće je, jer su jednaki dva ugla i strankama između njih. Shodno tome, teorema je tačna u svim uvjetima.

Srednja linija

Pretpostavimo u našem trapezu AVD ad // sunce, ∟a \u003d 90 °, ∟c \u003d 135 °, av \u003d 2 cm, dijagonala pojasa je okomito na bočnu stranu. Pronađite srednju liniju EF trapezoida.

Ako je ∟a \u003d 90 °, a zatim ∟v \u003d 90 °, znači da je δav pravougaono.

∟bca \u003d ∟bcd - ∟acd. ∟ACD \u003d 90 ° po stanju, dakle, ∟bca \u003d ∟bcd - ∟ACD \u003d 135 ° - 90 ° \u003d 45 °.

Ako je jedan ugao 45 ° u pravokutnog trougla, to znači da su karteti jednaki: AV \u003d sunce \u003d 2 cm.

Hypotenus AS \u003d √ (oba + ned²) \u003d √8 cm.

Razmislite o ΔACD. ∟ACD \u003d 90 ° po stanju. ∟CAD \u003d ∟bca \u003d 45 ° kao uglovi formirani prema redoznskoj paralelnoj osnovi trapeza. Slijedom toga, mačaci su AC \u003d CD \u003d √8.

Hypotenus ad \u003d √ (AC² + CD²) \u003d √ (8 + 8) \u003d √16 \u003d 4 cm.

Prosječna linija Trapezoida EF \u003d ½ (AD + BC) \u003d ½ (2 + 4) \u003d 3 cm.

U ovom članku napravljen je još jedan izbor zadataka sa trapezom za vas. Uvjeti su nekako povezani sa srednjim linijama. Vrste zadataka uzimaju se iz otvorene banke tipičnih zadataka. Ako postoji želja, možete osvježiti svoje teorijsko znanje. Blog je već smatrao zadacima od kojih su uvjeti povezani i sa njima. Ukratko o srednjoj liniji:

Srednja linija trapeza povezuje sredinu strane. Paralelno je s terenima i jednak je pola polovine.

Prije rješavanja zadataka, razmotrimo teorijski primjer.

Dana Trapezijum Abcd. Dijagonala zvučnika koja se presijeca sa srednjom linijom čini tačku K, dijagonala BD tačke L. dokazuje da je segment KL jednak polovini razlike u bazi.

Prvo primijetimo činjenicu da prosječna linija trapezoidnih dionica u pola segmenta leži na bazama. Ovaj zaključak sugerira sebe. Zamislite segment koji povezuje dva boda, ona će prekinuti ovaj trapez na još dva. Ispada da je segment paralelan s bazama trapeza i prolazeći se kroz srednju stranu na drugu stranu proći će kroz njegovu sredinu.

Takođe se zasniva na Falez Theorem:

Ako se jedan od dva direktno odgodi uzaludnim jednakim segmentima, a kroz svoje krajeve da se provede paralelno ravno, prelazeći drugi ravni, tada će se odsjeći na drugu izravnu jednake segmente.

To je, u ovom slučaju, sredinom AC i L je sredina BD-a. Slijedom toga, EK je srednja linija Trougla ABC, LF je srednja linija DCB trokuta. Svojstva srednje linije trougla:

Sada možemo izraziti segment KL kroz temelje:

Dokazan!

Ovaj primer nije baš tako. U zadacima za neovisno rešenje postoji samo takav zadatak. Samo što ne kaže da segment povezuje sredinom dijagonala nalazi se na srednjoj liniji. Razmotrite zadatke:

27819. Pronađite prosječnu trapezodnu liniju ako su njegovi temelji jednaki 30 i 16.

Izračunajte formulom:

27820. Prosječna linija trapeza je 28, a manja baza je 18. Pronađite veću bazu trapeza.

Express Veća baza:

Na ovaj način:

27836. Okomito, izobličeno je od vrha glupog ugla do veće baze nepristupačnog trapeza, dijeli ga u dijelove koji imaju dužinu 10 i 4. Pronađite srednju liniju ovog trapeza.

Da biste pronašli prosječnu liniju, morate znati temelje. Baza AB je jednostavna: 10 + 4 \u003d 14. Pronađite DC.

Izgradimo drugi perpendikularni DF:

Preseci AF, FE i EB bit će jednaki, respektivno, 4, 6 i 4. Zašto?

U ravnotežnom trapezu, okomito su spustili na veću bazu da ga razbiju u tri segmenta. Njih dvoje, koji su po mjeri naizmjenični trouglovi, jednaki su jedna drugoj. Treći dio je jednak manjim bazi, jer se formira pravokutnik prilikom izgradnje navedenih visina, a u pravokutniku su suprotne strane jednake. U ovom zadatku:

Tako DC \u003d 6. Izračunati:

27839. Osnove trapeze uključuju 2: 3, a srednja linija je jednaka 5. Pronađite manju bazu.

Uvodimo koeficijent proporcionalnosti. Tada AV \u003d 3x, DC \u003d 2x. Možemo napisati:

Stoga je manja baza 2 ∙ 2 \u003d 4.

27840. Perimetar izjednačenog trapeza je 80, srednja linija jednaka je stranici. Pronađite stranu trapeza.

Na osnovu stanja možemo napisati:

Ako odredite prosječnu retku kroz iznos x, ispostavit će se:

Druga jednadžba već se može pisati kao:

27841. Prosječna linija trapeza je 7, a jedna od njegovih baza je veća od druge na 4. Pronađite veću bazu trapeza.

Označite manju bazu (DC) kao x, tada će više (AB) biti x + 4. Možemo zapisati

Dobijena je da je manja baza rana pet, znači jednaka 9.

27842. Prosječna linija trapeza je 12. Jedan od dijagonala dijeli ga u dva segmenta, čija je razlika jednaka 2. Pronađite veću bazu trapeza.

Lako možemo pronaći veći temelj trapeza ako izračunamo segment EO. To je srednja linija u trougao adb, a av \u003d 2 ∙ eo.

Šta imaš? Kaže se da je prosječna linija 12, a razlika između segmenata EO-a i jednaka je 2. Možemo napisati dvije jednadžbe i riješiti sistem:

Jasno je da je u ovom slučaju moguće odabrati nekoliko brojeva bez računanja, to je 5 i 7. Ali, na kraju krajeva, rješavanje sistema:

To znači eo \u003d 12-5 \u003d 7. Dakle, veća baza je av \u003d 2 ∙ eo \u003d 14.

27844. U izjednačujućem trapezu, dijagonalno okomito. Visina trapeza je 12. Pronađite srednju liniju.

Odmah, primjećujemo da se visina provede kroz točku raskrižje dijagonala u ravnotežnom trapesu na osi iz simetriju i prepušta trapeku u dva jednaka pravokutna trapeza, odnosno baza ove visine podijeljena su za pola.

Činilo bi se da bi se izračunalo srednje linije, moramo pronaći temelje. Ovdje dolazi do malih zastoja ... kako saznati visinu u ovom slučaju izračunati baze? I kako! Mnogo je od tih trapeza sa fiksnom visinom i dijagonalima pod uglom od 90 stepeni. Kako biti?

Pogledajte srednju liniju formulu. Uostalom, ne trebamo sami poznavati same terene, dovoljno je znati njihovu sumu (ili pola asuma). To možemo učiniti.

Budući da se dijagonalno presijecaju pod pravim uglom, visina EF formira se s jednakim pravokutnim trouglovima:

Iz gore navedenog slijedi da fo \u003d DF \u003d FC i OE \u003d AE \u003d EB. Sada napišite ono što je jednako visokoj visini izraženo kroz segmente DF-a i AE:

Dakle, srednja linija je 12.

* Općenito, ovo je zadatak, kao što razumijete, za oralni račun. Ali, siguran sam da je predstavljeno detaljno objašnjenje neophodno. I tako ... Ako pogledate crtež (pod uslovom da se ugao između dijagonala primjećuje tijekom izgradnje), jednakost fo \u003d DF \u003d FC i OE \u003d AE \u003d EB, žuri se u oči.

Kao dio prototipa, postoje i dalje vrste zadataka sa trapezima. Izgrađen je na listu u kavezu i dužan je pronaći srednju liniju, strana ćelije je obično 1, ali može postojati još jedna vrijednost.

27848. Pronađite prosječnu trapezodnu liniju A b c d.Ako su strane kvadratnih ćelija jednake 1.

Sve je jednostavno, izračunava baze ćelija i koristimo formulu: (2 + 4) / 2 \u003d 3

Ako su baze izgrađene pod uglom do mobilne mreže, odnosno dva načina. Na primjer!

Koncept srednjeg retka

Za početak, sjetimo se kakve se slike naziva trapezom.

Definicija 1.

Trapezij se naziva četverokut, na koji su dvije strane paralelne, a druga dva nisu paralelna.

Istovremeno, paralelne strane nazivaju se baze trapeza, a ne paralelno - bočne zidove trapeza.

Definicija 2.

Srednja linija trapezazium je segment koji povezuje sredinu strane trapeza.

Srednja linija teorema

Sada predstavljamo teoru o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.

Theorem 1.

Srednja linija trapeza je paralelna sa osnovama i jednaka je pola polovine.

Dokaz.

Dopustite nam da se dobije trapezom od $ abcd $ s bazama $ AD \\ i \\ BC $. I pustite $ MN $ - srednja linija ovog trapeza (Sl. 1).

Slika 1. Srednja linija trapeza

Dokazujemo da je $ MN || oglas \\ i \\ mn \u003d \\ frac (ad + bc) (2) $.

Razmislite o vektoru $ \\ prevladavajte (MN) $. Nadalje koristimo pravilo poligona za dodavanje vektora. S jedne strane, to shvatamo

S druge strane

Pomicanje posljednja dva jednakost, dobivamo

Od $ m $ i $ N $ - srednje strane trapeza, tada ćemo imati

Dobijamo:

Otuda

Iz iste jednakosti (od $ \\ prevladavanja (BC) $ i $ \\ prevladavanje (AD) $ je obložena i, samim tim Collinearry) dobivamo taj $ MN || AD $.

Teorem se dokazuje.

Primjeri zadataka za koncept srednje linije Trapeza

Primjer 1.

Bočne strane trapeze jednake su 15 \\ cm $ i 17 \\ CM $, respektivno. Perimetar trapeza je jednak 52 \\ cm $. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.

Odluka.

Označite prosječnu trapezodnu liniju putem $ N $.

Zbroj strane je jednak

Stoga, budući da je perimetar 52 \\ cm $, količina osnova je jednaka

Dakle, po teoremu 1, dobivamo

Odgovor: 10 \\ CM $.

Primjer 2.

Krajevi promjera kruga uklanjaju se iz tangencijalne, odnosno 9 $ 9 cm i 5 $ Vidi da biste pronašli promjer ovog kruga.

Odluka.

Ostavite nam krug sa centrom na $ o $ tačaka i promjera $ AB $. Izrađujemo tangent $ L $ i izgradimo udaljenost $ AD \u003d 9 \\ CM $ i $ BC \u003d 5 \\ CM $. Izvodimo radijus od $ OH $ (Sl. 2).

Slika 2.

Od $ AD $ i $ BC $ - Udaljenost do tangencijalnog, zatim $ ad \\ bot l $ i $ bc \\ bot l $ i kao $ OH $ - radijus, zatim $ oh \\ bot l $, dakle, $ oh | \\ levo | Ad \\ desno || BC $. Iz ovoga imamo taj $ abcd $ je trapezijum, a $ OH $ je njegova srednja linija. Od strane teoreme 1, dobivamo