विषय निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि है। भौतिक मात्राओं का मापन

चलो कुछ यादृच्छिक चर एमापा एनएक ही स्थिति में बार। माप परिणामों ने एक सेट दिया एनअलग संख्या

पूर्ण त्रुटि- आयामी मूल्य। के बीच में एननिरपेक्ष त्रुटियों के मान आवश्यक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों ही पाए जाते हैं।

मात्रा के सबसे संभावित मूल्य के लिए एआमतौर पर ले लो औसतमाप मूल्य

.

मापों की संख्या जितनी बड़ी होगी, औसत मान सत्य के उतना ही करीब होगा।

पूर्ण त्रुटिमैं

.

रिश्तेदारों की गलतीमैं-वें आयाम को मात्रा कहा जाता है

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है। आमतौर पर सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसके लिए ई मैं 100% से गुणा करें। सापेक्ष त्रुटि का परिमाण माप सटीकता की विशेषता है।

औसत पूर्ण त्रुटिइस तरह परिभाषित:

.

हम मात्राओं के निरपेक्ष मूल्यों (मॉड्यूल) को योग करने की आवश्यकता पर जोर देते हैं D एक मैं।अन्यथा, एक समान शून्य परिणाम प्राप्त होगा।

औसत सापेक्ष त्रुटिमात्रा कहा जाता है

.

बड़ी संख्या में माप के साथ।

सापेक्ष त्रुटि को मापा मूल्य की प्रति इकाई त्रुटि के मान के रूप में माना जा सकता है।

माप की सटीकता को माप परिणामों की त्रुटियों की तुलना के आधार पर आंका जाता है। इसलिए, माप त्रुटियों को इस तरह से व्यक्त किया जाता है कि सटीकता का आकलन करने के लिए, मापी गई वस्तुओं के आयामों की तुलना किए बिना या इन आयामों को लगभग जाने बिना, परिणामों की त्रुटियों की तुलना करना पर्याप्त है। अभ्यास से ज्ञात होता है कि कोण को मापने में पूर्ण त्रुटि कोण के मान पर निर्भर नहीं करती है, और लंबाई मापने में पूर्ण त्रुटि लंबाई के मान पर निर्भर करती है। लंबाई मान जितना बड़ा होगा, दी गई माप पद्धति और शर्तों के साथ निरपेक्ष त्रुटि उतनी ही अधिक होगी। इसलिए, परिणाम की पूर्ण त्रुटि से, कोण को मापने की सटीकता का न्याय करना संभव है, लेकिन लंबाई को मापने की सटीकता का न्याय करना असंभव है। सापेक्ष रूप में त्रुटि की अभिव्यक्ति, कुछ मामलों में, कोणीय और रैखिक माप की सटीकता की तुलना करना संभव बनाती है।

संभाव्यता के सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। कोई भी त्रुटि।

यादृच्छिक त्रुटि से माप त्रुटि का घटक कहलाता है, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप करने पर बेतरतीब ढंग से बदल जाता है।

जब हम एक ही निरंतर अपरिवर्तित मात्रा के बार-बार माप को समान देखभाल और समान परिस्थितियों में करते हैं, तो हमें माप के परिणाम मिलते हैं - उनमें से कुछ एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और उनमें से कुछ मेल खाते हैं। माप परिणामों में इस तरह की विसंगतियां उनमें त्रुटि के यादृच्छिक घटकों की उपस्थिति का संकेत देती हैं।

एक यादृच्छिक त्रुटि तब होती है जब कई स्रोत एक साथ कार्य करते हैं, जिनमें से प्रत्येक का माप परिणाम पर एक अगोचर प्रभाव होता है, लेकिन सभी स्रोतों का कुल प्रभाव काफी मजबूत हो सकता है।

यादृच्छिक त्रुटियां किसी भी माप का एक अनिवार्य परिणाम हैं और इसके कारण होते हैं:

क) उपकरणों और उपकरणों के पैमाने पर रीडिंग की अशुद्धि;

बी) दोहराए गए माप की समान स्थितियां नहीं;

ग) बाहरी परिस्थितियों (तापमान, दबाव, बल क्षेत्र, आदि) में यादृच्छिक परिवर्तन जिन्हें नियंत्रित नहीं किया जा सकता है;

डी) माप पर अन्य सभी प्रभाव, जिनके कारण हमारे लिए अज्ञात हैं। यादृच्छिक त्रुटि की मात्रा को बार-बार प्रयोग की पुनरावृत्ति और परिणामों के उपयुक्त गणितीय प्रसंस्करण द्वारा कम किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक त्रुटि विभिन्न निरपेक्ष मूल्यों के मूल्यों को ले सकती है, जिसकी भविष्यवाणी किसी दिए गए माप अधिनियम के लिए नहीं की जा सकती है। यह त्रुटि समान रूप से सकारात्मक और नकारात्मक हो सकती है। एक प्रयोग में यादृच्छिक त्रुटियां हमेशा मौजूद होती हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के अभाव में, वे वास्तविक मान के सापेक्ष बार-बार माप के बिखराव का कारण बनते हैं।

आइए मान लें कि पेंडुलम के दोलन की अवधि को स्टॉपवॉच की मदद से मापा जाता है, और माप को कई बार दोहराया जाता है। स्टॉपवॉच को शुरू करने और रोकने में त्रुटियां, रीडिंग वैल्यू में त्रुटि, पेंडुलम की गति में थोड़ी अनियमितता - यह सब बार-बार माप के परिणामों में बिखराव का कारण बनता है और इसलिए इसे यादृच्छिक त्रुटियों की श्रेणी के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

यदि कोई अन्य त्रुटियां नहीं हैं, तो कुछ परिणामों को कुछ हद तक कम करके आंका जाएगा, जबकि अन्य को कुछ हद तक कम करके आंका जाएगा। लेकिन अगर, इसके अलावा, घड़ी भी पिछड़ जाती है, तो सभी परिणामों को कम करके आंका जाएगा। यह पहले से ही एक व्यवस्थित त्रुटि है।

कई कारक एक ही समय में व्यवस्थित और यादृच्छिक दोनों त्रुटियों का कारण बन सकते हैं। इसलिए, स्टॉपवॉच को चालू और बंद करके, हम पेंडुलम की गति के सापेक्ष घड़ी के शुरुआती और रुकने के समय का एक छोटा अनियमित फैलाव बना सकते हैं और इस तरह एक यादृच्छिक त्रुटि का परिचय दे सकते हैं। लेकिन अगर, इसके अलावा, हर बार जब हम स्टॉपवॉच को चालू करने की जल्दी में होते हैं और इसे बंद करने में कुछ देर हो जाती है, तो इससे एक व्यवस्थित त्रुटि होगी।

रैंडम त्रुटियाँ लंबन त्रुटि के कारण होती हैं जब इंस्ट्रूमेंट स्केल डिवीजनों को पढ़ते समय, भवन की नींव को हिलाते हुए, हवा की हल्की गति का प्रभाव आदि।

यद्यपि व्यक्तिगत माप की यादृच्छिक त्रुटियों को बाहर करना असंभव है, यादृच्छिक घटना का गणितीय सिद्धांत हमें अंतिम माप परिणाम पर इन त्रुटियों के प्रभाव को कम करने की अनुमति देता है। यह नीचे दिखाया जाएगा कि इसके लिए एक नहीं, बल्कि कई माप करना आवश्यक है, और जितना छोटा त्रुटि मान हम प्राप्त करना चाहते हैं, उतना ही अधिक माप करने की आवश्यकता है।

इस तथ्य के कारण कि यादृच्छिक त्रुटियों की घटना अपरिहार्य और अपरिहार्य है, किसी भी माप प्रक्रिया का मुख्य कार्य त्रुटियों को न्यूनतम करना है।

त्रुटियों का सिद्धांत दो मुख्य मान्यताओं पर आधारित है, जो अनुभव द्वारा पुष्टि की जाती है:

1. बड़ी संख्या में माप के साथ, एक ही परिमाण की यादृच्छिक त्रुटियां, लेकिन विभिन्न संकेतों की, यानी परिणाम बढ़ने और घटाने की दिशा में त्रुटियां काफी आम हैं।

2. निरपेक्ष मान में बड़ी त्रुटियां छोटी त्रुटियों की तुलना में कम आम हैं, इस प्रकार, इसके मूल्य में वृद्धि के साथ त्रुटि की संभावना कम हो जाती है।

यादृच्छिक चर का व्यवहार सांख्यिकीय पैटर्न का वर्णन करता है जो संभाव्यता सिद्धांत का विषय है। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा मैंघटनाक्रम मैंरवैया है

कहां एन- प्रयोगों की कुल संख्या, मैं- प्रयोगों की संख्या जिसमें घटना मैंहुआ। इस मामले में, प्रयोगों की कुल संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए ( एन® ). बड़ी संख्या में माप के साथ, यादृच्छिक त्रुटियां सामान्य वितरण (गॉसियन वितरण) का पालन करती हैं, जिनमें से मुख्य विशेषताएं इस प्रकार हैं:

1. वास्तविक मान से मापे गए मान का विचलन जितना अधिक होगा, ऐसे परिणाम की संभावना उतनी ही कम होगी।

2. दोनों दिशाओं में वास्तविक मान से विचलन समान रूप से संभावित हैं।

उपरोक्त धारणाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए इस मात्रा को कई बार मापना आवश्यक है। मान लीजिए हम कुछ मात्रा x माप रहे हैं। इसे उत्पादित होने दें एनमाप: एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन- उसी विधि से और उसी देखभाल के साथ। आप उम्मीद कर सकते हैं कि संख्या डीएनप्राप्त परिणाम, जो से काफी संकीर्ण अंतराल में स्थित हैं एक्सइससे पहले एक्स + डीएक्स, के लिए आनुपातिक होना चाहिए:

लिए गए अंतराल का मान डीएक्स;

माप की कुल संख्या एन.

संभावना डीडब्ल्यूई(एक्स) कि कुछ मूल्य एक्सकी सीमा में है एक्सइससे पहले एक्स + डीएक्स,निम्नानुसार परिभाषित किया गया है :

(माप की संख्या के साथ एन ®¥).

समारोह एफ(एन एस) वितरण फलन या प्रायिकता घनत्व कहलाता है।

त्रुटियों के सिद्धांत के एक अभिधारणा के रूप में, यह माना जाता है कि प्रत्यक्ष माप के परिणाम और बड़ी संख्या में उनकी यादृच्छिक त्रुटियां सामान्य वितरण के कानून का पालन करती हैं।

गॉस द्वारा पाया गया एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सइस तरह दिखता है:

जहां एम और एस - वितरण पैरामीटर .

सामान्य वितरण का पैरामीटर m माध्य मान . के बराबर है एक्सएक यादृच्छिक चर का, जो एक मनमाना ज्ञात वितरण फलन के लिए समाकलन द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इस प्रकार, मान m मापा मान x का सबसे संभावित मान है, अर्थात। उसका सबसे अच्छा अनुमान।

सामान्य वितरण का पैरामीटर s 2 यादृच्छिक चर के प्रसरण D के बराबर है, जो सामान्य स्थिति में निम्नलिखित अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

प्रसरण का वर्गमूल यादृच्छिक चर का मानक विचलन कहलाता है.

यादृच्छिक चर ásñ का औसत विचलन (त्रुटि) वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है

औसत माप त्रुटि ásñ, गाऊसी वितरण फलन से परिकलित, मानक विचलन s के मान से निम्नानुसार संबंधित है:

< एस > = 0.8 एस।

पैरामीटर s और m एक दूसरे से इस प्रकार संबंधित हैं:

.

यदि कोई सामान्य वितरण वक्र है, तो यह व्यंजक आपको मानक विचलन s ज्ञात करने की अनुमति देता है।

गाऊसी फ़ंक्शन का ग्राफ आंकड़ों में दिखाया गया है। समारोह एफ(एक्स) बिंदु पर खींची गई कोटि के संबंध में सममित है एक्स =एम; बिंदु पर अधिकतम से गुजरता है एक्स = m और m ± s के बिंदुओं पर एक विभक्ति है। इस प्रकार, विचरण वितरण फ़ंक्शन की चौड़ाई की विशेषता है, या यह दर्शाता है कि एक यादृच्छिक चर के मान उसके वास्तविक मूल्य के सापेक्ष कितने व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। माप जितना सटीक होगा, व्यक्तिगत माप के परिणाम वास्तविक मूल्य के उतने ही करीब होंगे, अर्थात। s का मान कम होता है। चित्र ए फ़ंक्शन दिखाता है एफ(एक्स) s . के तीन मानों के लिए .

एक वक्र से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल एफ(एक्स) और बिंदुओं से खींची गई लंबवत रेखाएं एक्स 1 और एक्स 2 (अंजीर। बी) , संख्यात्मक रूप से अंतराल D . में आने वाले माप परिणाम की प्रायिकता के बराबर है एक्स = एक्स 1 - एक्स 2, जिसे कॉन्फिडेंस लेवल कहा जाता है। संपूर्ण वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल एफ(एक्स) 0 से के अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता के बराबर है, अर्थात।

,

क्योंकि एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

सामान्य वितरण का उपयोग करते हुए, त्रुटि सिद्धांत दो मुख्य समस्याओं को प्रस्तुत करता है और हल करता है। सबसे पहले माप की सटीकता का आकलन करना है। दूसरा माप परिणामों के अंकगणितीय माध्य की सटीकता का आकलन करना है। विश्वास अंतराल। छात्र का गुणांक।

संभाव्यता सिद्धांत आपको उस अंतराल के आकार को निर्धारित करने की अनुमति देता है जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ वूव्यक्तिगत माप के परिणाम पाए जाते हैं। इस संभावना को कहा जाता है आत्मविश्वास का स्तर, और इसी अंतराल (<एक्स> ± डी एक्स)वूबुलाया विश्वास अंतराल।आत्मविश्वास का स्तर भी विश्वास अंतराल के भीतर आने वाले परिणामों के सापेक्ष अनुपात के बराबर होता है।

यदि माप की संख्या एनकाफी बड़ा है, तो आत्मविश्वास का स्तर कुल के अनुपात को व्यक्त करता है एनवे माप जिनमें मापा गया मान विश्वास अंतराल के भीतर था। प्रत्येक आत्मविश्वास का स्तर वूइसके विश्वास अंतराल से मेल खाती है। w २८०%। विश्वास अंतराल जितना व्यापक होगा, उस अंतराल के भीतर परिणाम प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। संभाव्यता के सिद्धांत में, विश्वास अंतराल के मूल्य, आत्मविश्वास की संभावना और माप की संख्या के बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित किया जाता है।

यदि हम माध्य त्रुटि के अनुरूप अंतराल को विश्वास अंतराल के रूप में चुनते हैं, अर्थात D ए =áD एñ, तो पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए यह आत्मविश्वास के स्तर से मेल खाता है वू 60%। माप की संख्या में कमी के साथ, इस तरह के आत्मविश्वास अंतराल (बी .) के अनुरूप आत्मविश्वास की संभावना एñ ± áD एएन) घट जाती है।

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के लिए, कोई औसत त्रुटि के मान का उपयोग कर सकता है áD एñ .

यादृच्छिक त्रुटि के परिमाण को चिह्नित करने के लिए, दो संख्याओं को सेट करना आवश्यक है, अर्थात्, विश्वास अंतराल का मान और विश्वास संभाव्यता का मान . इसी आत्मविश्वास की संभावना के बिना अकेले त्रुटि की भयावहता का संकेत काफी हद तक अर्थहीन है।

यदि औसत माप त्रुटि ásñ ज्ञात है, तो प्रपत्र में लिखा गया विश्वास अंतराल (<एक्स> ± आसन) वू, आत्मविश्वास के स्तर के साथ निर्धारित वू= 0,57.

यदि मानक विचलन s ज्ञात है माप परिणामों का वितरण, निर्दिष्ट अंतराल का रूप है (<एक्स>± टी डब्ल्यूएस) वू, कहां टी डब्ल्यूएक गुणांक है जो आत्मविश्वास के स्तर पर निर्भर करता है और इसकी गणना गाऊसी वितरण का उपयोग करके की जाती है।

सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली मात्रा D एक्सतालिका 1 में दिखाया गया है।

अक्सर जीवन में हमें विभिन्न अनुमानित मूल्यों से निपटना पड़ता है। अनुमानित गणना हमेशा त्रुटि के कुछ मार्जिन के साथ गणना होती है।

पूर्ण त्रुटि अवधारणा

अनुमानित मान की निरपेक्ष त्रुटि सटीक मान और अनुमानित मान के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान है।
यही है, सटीक मूल्य से, आपको अनुमानित मूल्य घटाना होगा और परिणामी संख्या मॉड्यूलो लेना होगा। इस प्रकार, पूर्ण त्रुटि हमेशा सकारात्मक होती है।

निरपेक्ष त्रुटि की गणना कैसे करें

आइए दिखाते हैं कि यह व्यवहार में कैसा दिख सकता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास कुछ मान का एक ग्राफ है, इसे एक परवलय होने दें: y = x ^ 2।

ग्राफ से, हम कुछ बिंदुओं पर अनुमानित मूल्य निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, x = 1.5 पर, y का मान लगभग 2.2 (y≈2.2) है।

सूत्र y = x ^ 2 द्वारा हम बिंदु x = 1.5 y = 2.25 पर सटीक मान ज्ञात कर सकते हैं।

अब आइए हमारे मापों की पूर्ण त्रुटि की गणना करें। |२.२५-२.२ | = | ०.०५ | = ०.०५.

पूर्ण त्रुटि 0.05 है। ऐसे मामलों में, वे यह भी कहते हैं कि मान की गणना 0.05 की सटीकता के साथ की जाती है।

अक्सर ऐसा होता है कि सटीक मान हमेशा नहीं पाया जा सकता है, और इसलिए, पूर्ण त्रुटि हमेशा खोजना संभव नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक रूलर का उपयोग करके दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं, या एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण के मान की गणना करते हैं, तो हमें अनुमानित मान प्राप्त होंगे। लेकिन सटीक मूल्य की गणना नहीं की जा सकती है। इस स्थिति में, हम ऐसी संख्या इंगित कर सकते हैं, जिससे अधिक निरपेक्ष त्रुटि का मान नहीं हो सकता है।

रूलर के उदाहरण में, यह 0.1 सेमी होगा, क्योंकि रूलर पर ग्रेजुएशन 1 मिलीमीटर है। चांदा के लिए उदाहरण में, 1 डिग्री क्योंकि चांदा का पैमाना हर डिग्री में स्नातक होता है। इस प्रकार, पहले मामले में पूर्ण त्रुटि का मान 0.1 है, और दूसरे मामले में, 1.

भौतिक मात्राओं को "त्रुटि सटीकता" की अवधारणा की विशेषता है। एक कहावत है कि माप लेने से ज्ञान हो सकता है। यह आपको कई अन्य लोगों की तरह यह पता लगाने की अनुमति देगा कि घर की ऊंचाई या गली की लंबाई क्या है।

परिचय

आइए "माप एक मात्रा" शब्द का अर्थ समझते हैं। मापन प्रक्रिया में इसकी तुलना सजातीय मात्राओं से की जाती है, जिन्हें एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

मात्रा निर्धारित करने के लिए लीटर का उपयोग किया जाता है, द्रव्यमान की गणना के लिए ग्राम का उपयोग किया जाता है। गणना करने के लिए इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, इकाइयों के अंतर्राष्ट्रीय वर्गीकरण की एसआई प्रणाली शुरू की गई थी।

लंबाई मापने के लिए मीटर अटक गए, द्रव्यमान-किलोग्राम, आयतन-घन लीटर, समय-सेकंड, गति-मीटर प्रति सेकंड।

भौतिक मात्राओं की गणना करते समय, पारंपरिक पद्धति का उपयोग करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, यह एक सूत्र का उपयोग करके गणना को लागू करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, औसत गति जैसे मीट्रिक की गणना करने के लिए, आपको यात्रा के समय से तय की गई दूरी को विभाजित करना होगा। इस प्रकार औसत गति की गणना की जाती है।

माप की इकाइयों का उपयोग करना जो स्वीकृत माप इकाइयों के संकेतकों से दस, एक सौ, एक हजार गुना अधिक हैं, उन्हें गुणक कहा जाता है।

प्रत्येक उपसर्ग का नाम अपनी गुणक संख्या से मेल खाता है:

1. डेका।
2. हेक्टो।
3. किलो।
4. मेगा।
5. गीगा।
6. तेरा।

भौतिक विज्ञान में, ऐसे कारकों को लिखने के लिए 10 की शक्ति का उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए, एक मिलियन को 10 6 के रूप में दर्शाया जाता है।

एक साधारण शासक में, लंबाई की माप की एक इकाई होती है - एक सेंटीमीटर। यह एक मीटर से 100 गुना कम है। 15 सेमी रूलर 0.15 मीटर लंबा है।

लंबाई संकेतकों को मापने के लिए रूलर सबसे सरल प्रकार का मापक यंत्र है। अधिक परिष्कृत उपकरणों का प्रतिनिधित्व थर्मामीटर द्वारा किया जाता है - एक हाइग्रोमीटर के लिए - आर्द्रता निर्धारित करने के लिए, एक एमीटर - बल के स्तर को मापने के लिए जिसके साथ एक विद्युत प्रवाह फैलता है।

माप कितने सटीक होंगे?

एक शासक और एक पेंसिल लें। हमारा काम इस स्टेशनरी की लंबाई नापना है।

सबसे पहले, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि मापने वाले उपकरण के पैमाने पर विभाजन मूल्य क्या इंगित किया गया है। दो डिवीजनों पर, जो पैमाने के निकटतम स्ट्रोक हैं, संख्याएं लिखी जाती हैं, उदाहरण के लिए, "1" और "2"।

इन संख्याओं के अंतराल में कितने भाग शामिल हैं, इसकी गणना करना आवश्यक है। सही गिनती का परिणाम "10" होगा। बड़ी संख्या से घटाएं, जो संख्या छोटी होगी, और संख्या से विभाजित करें, जो संख्याओं के बीच का विभाजन है:

(2-1) / 10 = 0.1 (सेमी)

इसलिए हम निर्धारित करते हैं कि स्टेशनरी के विभाजन को निर्धारित करने वाली कीमत 0.1 सेमी या 1 मिमी है। यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि किसी भी माप उपकरण का उपयोग करके विभाजन के लिए मूल्य सूचकांक कैसे निर्धारित किया जाता है।

10 सेमी से थोड़ी कम लंबाई वाली एक पेंसिल को मापकर, हम प्राप्त ज्ञान का उपयोग करेंगे। रूलर पर छोटे विभाजनों की अनुपस्थिति में, निष्कर्ष यह होगा कि वस्तु की लंबाई 10 सेमी है। इस अनुमानित मान को मापने की त्रुटि कहा जाता है। यह अनिश्चितता के स्तर को इंगित करता है जिसे मापते समय सहन किया जा सकता है।

उच्च स्तर की सटीकता के साथ पेंसिल की लंबाई के मापदंडों का निर्धारण करके, उच्च स्नातक मान अधिक माप सटीकता प्राप्त करेगा, जो एक छोटी त्रुटि प्रदान करता है।

उसी समय, बिल्कुल सटीक माप नहीं किया जा सकता है। और संकेतक विभाजन मूल्य के आकार से अधिक नहीं होने चाहिए।

यह पाया गया कि मापने की त्रुटि के आयाम कीमत के ½ हैं, जो डिवाइस के डिवीजनों पर इंगित किया जाता है, जिसका उपयोग आयामों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

9.7 सेमी पेंसिल का माप लेने के बाद, हम इसकी त्रुटि के संकेतक निर्धारित करेंगे। यह 9.65 - 9.85 सेमी की अवधि है।

ऐसी त्रुटि को मापने वाला सूत्र गणना है:

ए = ए ± डी (ए)

ए - प्रक्रियाओं को मापने के लिए मात्रा के रूप में;

ए - माप परिणाम का मूल्य;

डी - पूर्ण त्रुटि का पदनाम।

त्रुटि के साथ मूल्यों को घटाना या जोड़ना, परिणाम त्रुटि संकेतकों के योग के बराबर होगा, जो प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य है।

अवधारणा के साथ परिचित

यदि हम विचार करें, तो इसकी अभिव्यक्ति के तरीके के आधार पर, निम्नलिखित किस्मों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

• शुद्ध।
• रिश्तेदार।
• दिया गया।

पूर्ण माप त्रुटि बड़े अक्षर "डेल्टा" द्वारा इंगित की जाती है। इस अवधारणा को मापा जा रहा है कि भौतिक मात्रा के मापा और वास्तविक मूल्यों के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

निरपेक्ष माप त्रुटि के लिए अभिव्यक्ति उस मात्रा की इकाई है जिसे मापने की आवश्यकता है।

द्रव्यमान को मापते समय, इसे व्यक्त किया जाएगा, उदाहरण के लिए, किलोग्राम में। यह माप सटीकता के लिए एक मानक नहीं है।

प्रत्यक्ष माप की त्रुटि की गणना कैसे करें?

माप त्रुटियों को प्रदर्शित करने और उनकी गणना करने के तरीके हैं। इसके लिए आवश्यक सटीकता के साथ भौतिक मात्रा निर्धारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है, यह जानने के लिए कि पूर्ण माप त्रुटि क्या है, कि कोई भी इसे कभी नहीं ढूंढ सकता है। केवल इसके सीमा मूल्य की गणना करना संभव है।

भले ही इस शब्द का पारंपरिक रूप से उपयोग किया जाता है, यह सीमा डेटा को सटीक रूप से इंगित करता है। निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों को समान अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, अंतर उनके लेखन में होता है।

लंबाई को मापते समय, निरपेक्ष त्रुटि को उन इकाइयों में मापा जाएगा जिनमें लंबाई की गणना की जाती है। और सापेक्ष त्रुटि की गणना आयामों के बिना की जाती है, क्योंकि यह माप परिणाम के लिए पूर्ण त्रुटि का अनुपात है। यह मान अक्सर प्रतिशत या अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है।

भौतिक मात्राओं के आधार पर, पूर्ण और सापेक्ष माप त्रुटियों में कई अलग-अलग गणना विधियां होती हैं।

प्रत्यक्ष माप अवधारणा

प्रत्यक्ष माप की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि डिवाइस की सटीकता वर्ग और वजन त्रुटि को निर्धारित करने की क्षमता पर निर्भर करती है।

त्रुटि की गणना कैसे की जाती है, इसके बारे में बात करने से पहले, परिभाषाओं को स्पष्ट करना आवश्यक है। प्रत्यक्ष माप को एक माप कहा जाता है जिसमें परिणाम सीधे उपकरण पैमाने से पढ़ा जाता है।

जब हम थर्मामीटर, रूलर, वोल्टमीटर या एमीटर का उपयोग करते हैं, तो हम हमेशा सीधे माप करते हैं, क्योंकि हम सीधे पैमाने के साथ उपकरण का उपयोग करते हैं।

रीडिंग की प्रभावशीलता को प्रभावित करने वाले दो कारक हैं:

• उपकरण त्रुटि।
• संदर्भ के फ्रेम की त्रुटि से।

प्रत्यक्ष माप में पूर्ण त्रुटि की सीमा डिवाइस द्वारा दिखाई गई त्रुटि और गणना प्रक्रिया के दौरान होने वाली त्रुटि के योग के बराबर होगी।

डी = डी (उदा।) + डी (उदा।)

एक चिकित्सा थर्मामीटर के साथ एक उदाहरण

त्रुटि संकेतक डिवाइस पर ही इंगित किए जाते हैं। मेडिकल थर्मामीटर में 0.1 डिग्री सेल्सियस की त्रुटि है। रीडिंग एरर आधा स्केल डिवीजन है।

डी डेट। = सी / 2

यदि विभाजन मान 0.1 डिग्री है, तो चिकित्सा थर्मामीटर के लिए, गणना की जा सकती है:

डी = 0.1 ओ सी + 0.1 ओ सी / 2 = 0.15 ओ सी

एक अन्य थर्मामीटर के पैमाने के पीछे एक तकनीकी विनिर्देश होता है और यह इंगित किया जाता है कि सही माप के लिए थर्मामीटर को पूरी पीठ के साथ विसर्जित करना आवश्यक है। निर्दिष्ट नहीं है। जो कुछ बचा है वह है काउंटिंग एरर।

यदि इस थर्मामीटर का पैमाना विभाजन 2 o C है, तो तापमान को 1 o C की सटीकता से मापा जा सकता है। ये अनुमेय निरपेक्ष माप त्रुटि की सीमाएँ और निरपेक्ष माप त्रुटि की गणना हैं।

सटीकता की गणना के लिए एक विशेष प्रणाली का उपयोग विद्युत माप उपकरणों में किया जाता है।

विद्युत माप उपकरणों की शुद्धता

ऐसे उपकरणों की सटीकता निर्दिष्ट करने के लिए, सटीकता वर्ग नामक मात्रा का उपयोग किया जाता है। इसके पदनाम के लिए "गामा" अक्षर का प्रयोग करें। निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटि को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको डिवाइस की सटीकता वर्ग को जानना होगा, जो कि पैमाने पर इंगित किया गया है।

उदाहरण के लिए, एक एमीटर लें। इसके पैमाने पर, सटीकता वर्ग इंगित किया गया है, जो संख्या 0.5 दिखाता है। यह प्रत्यक्ष और प्रत्यावर्ती धारा पर माप के लिए उपयुक्त है, विद्युत चुम्बकीय प्रणाली के उपकरणों को संदर्भित करता है।

यह काफी सटीक साधन है। यदि आप इसकी तुलना स्कूल वाल्टमीटर से करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इसकी सटीकता कक्षा 4 है। यह मान आगे की गणना के लिए जाना जाना चाहिए।

ज्ञान का अनुप्रयोग

इस प्रकार, डी सी = सी (अधिकतम) एक्स γ / 100

हम विशिष्ट उदाहरणों के लिए इस सूत्र का उपयोग करेंगे। आइए एक वाल्टमीटर का उपयोग करें और बैटरी द्वारा दिए जाने वाले वोल्टेज को मापने में त्रुटि का पता लगाएं।

तीर शून्य पर है या नहीं, यह जांचने के बाद, हम बैटरी को सीधे वोल्टमीटर से जोड़ते हैं। डिवाइस को कनेक्ट करते समय, तीर 4.2 डिवीजनों से विचलित हो गया। इस स्थिति की विशेषता इस प्रकार की जा सकती है:

1. यह देखा जा सकता है कि इस मद के लिए अधिकतम U मान 6 है।
2. शुद्धता वर्ग - (γ) = 4.
3. यू (ओ) = 4.2 वी।
4. सी = ०.२ वी

इन सूत्र डेटा का उपयोग करते हुए, निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटि की गणना निम्नानुसार की जाती है:

डी यू = डीयू (पीआर।) + सी / 2

डी यू (पीआर।) = यू (अधिकतम) एक्स / 100

डी यू (उदा।) = 6 वी एक्स 4/100 = 0, 24 वी

यह डिवाइस की त्रुटि है।

इस मामले में पूर्ण माप त्रुटि की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

डी यू = 0.24 वी + 0.1 वी = 0.34 वी

सुविचारित सूत्र का उपयोग करके, आप आसानी से पता लगा सकते हैं कि निरपेक्ष माप त्रुटि की गणना कैसे करें।

त्रुटियों के लिए एक गोल नियम है। यह आपको पूर्ण त्रुटि और रिश्तेदार की सीमा के बीच औसत संकेतक खोजने की अनुमति देता है।

तौल त्रुटि का निर्धारण करना सीखना

यह प्रत्यक्ष माप का एक उदाहरण है। तौल का एक विशेष स्थान है। आखिरकार, बीम बैलेंस का कोई पैमाना नहीं होता है। आइए जानें कि ऐसी प्रक्रिया की त्रुटि का निर्धारण कैसे करें। बड़े पैमाने पर माप की सटीकता वजन की सटीकता और स्वयं तराजू की पूर्णता से प्रभावित होती है।

हम वजन के एक सेट के साथ लीवर स्केल का उपयोग करते हैं जिसे स्केल के दाईं ओर रखा जाना चाहिए। तौलने के लिए एक रूलर लीजिए।

प्रयोग शुरू करने से पहले तराजू को संतुलित करें। हमने शासक को बाएं कटोरे पर रखा।

द्रव्यमान स्थापित भार के योग के बराबर होगा। आइए हम इस मात्रा की माप त्रुटि का निर्धारण करें।

डी एम = डी एम (वजन) + डी एम (वजन)

द्रव्यमान माप त्रुटि भार और भार से जुड़े दो शब्दों का योग है। इनमें से प्रत्येक मात्रा का पता लगाने के लिए, तराजू और वजन के उत्पादन के लिए कारखानों में, उत्पादों को विशेष दस्तावेजों के साथ आपूर्ति की जाती है जो आपको सटीकता की गणना करने की अनुमति देते हैं।

तालिकाओं का उपयोग करना

आइए एक मानक तालिका का उपयोग करें। स्केल त्रुटि आपके द्वारा स्केल पर रखे गए वजन पर निर्भर करती है। यह जितना बड़ा होगा, क्रमशः उतनी ही बड़ी त्रुटि होगी।

बहुत हल्का शरीर भी लगाओ तो भी भूल होगी। यह धुरों में होने वाली घर्षण की प्रक्रिया के कारण होता है।

दूसरी तालिका वजन के सेट को संदर्भित करती है। यह इंगित करता है कि उनमें से प्रत्येक की अपनी सामूहिक त्रुटि है। १० ग्राम में १ मिलीग्राम की त्रुटि है, जैसा कि २० ग्राम में होता है। आइए तालिका से लिए गए इनमें से प्रत्येक भार की त्रुटियों के योग की गणना करें।

द्रव्यमान और द्रव्यमान त्रुटि को दो पंक्तियों में लिखना सुविधाजनक है, जो एक के नीचे एक स्थित हैं। वजन जितना छोटा होगा, माप उतना ही सटीक होगा।

परिणामों

विचार की गई सामग्री के दौरान, यह पाया गया कि पूर्ण त्रुटि का निर्धारण करना असंभव है। आप केवल इसके सीमा संकेतक स्थापित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, गणना में ऊपर वर्णित सूत्रों का उपयोग करें। यह सामग्री कक्षा 8-9 के छात्रों के लिए स्कूल में अध्ययन के लिए पेश की जाती है। प्राप्त ज्ञान के आधार पर, पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करना संभव है।

पूर्ण गणना त्रुटि सूत्र द्वारा पाई जाती है:

मापांक चिह्न दर्शाता है कि इससे हमें कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा मान अधिक है और कौन सा कम है। जरूरी, कितना दूरअनुमानित परिणाम एक दिशा या किसी अन्य में सटीक मान से विचलित होता है।

सापेक्ष गणना त्रुटि सूत्र द्वारा पाई जाती है:
, या, वही:

सापेक्ष त्रुटि दिखाता है कितने प्रतिशत सेअनुमानित परिणाम सटीक मूल्य से विचलित। 100% से गुणा किए बिना सूत्र का एक संस्करण है, लेकिन व्यवहार में मैं लगभग हमेशा उपरोक्त विकल्प को प्रतिशत के साथ देखता हूं।

एक संक्षिप्त संदर्भ के बाद, आइए अपनी समस्या पर वापस आते हैं, जिसमें हमने फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य की गणना की थी एक अंतर का उपयोग करना।

आइए एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन के सटीक मान की गणना करें:
, कड़ाई से बोलते हुए, मान अभी भी अनुमानित है, लेकिन हम इसे सटीक मानेंगे। ऐसे कार्यों का सामना करना पड़ता है।

आइए पूर्ण त्रुटि की गणना करें:

आइए सापेक्ष त्रुटि की गणना करें:
, प्रतिशत का हज़ारवां हिस्सा प्राप्त होता है, इसलिए अंतर केवल एक उत्कृष्ट सन्निकटन प्रदान करता है।

उत्तर: , पूर्ण गणना त्रुटि, सापेक्ष गणना त्रुटि

निम्नलिखित उदाहरण स्वयं करें समाधान के लिए है:

उदाहरण 4

बिंदु पर। किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के अधिक सटीक मान की गणना करें, निरपेक्ष और सापेक्ष गणना त्रुटि का अनुमान लगाएं।

पाठ के अंत में परिष्करण और उत्तर का एक मोटा उदाहरण।

कई लोगों ने देखा है कि सभी उदाहरणों में जड़ें दिखाई देती हैं। यह आकस्मिक नहीं है; ज्यादातर मामलों में, विचाराधीन समस्या वास्तव में जड़ों के साथ कार्य करती है।

लेकिन पीड़ित पाठक के लिए, मैंने एक छोटे से आर्क्सिन उदाहरण का पता लगाया है:

उदाहरण 5

लगभग अंतर का उपयोग करके फ़ंक्शन के मान की गणना करें बिंदु पर

यह छोटा लेकिन सूचनात्मक उदाहरण एक स्वतंत्र समाधान के लिए भी है। और मैंने नए जोश के साथ एक विशेष कार्य पर विचार करने के लिए थोड़ा आराम किया:

उदाहरण 6

अंतर का उपयोग करके लगभग गणना करें, परिणाम को दो दशमलव स्थानों पर गोल करें।

समाधान:असाइनमेंट में नया क्या है? शर्त के अनुसार, परिणाम को दो दशमलव स्थानों पर गोल करना आवश्यक है। लेकिन यह बात नहीं है, मुझे लगता है कि स्कूल के चक्कर लगाने की समस्या आपके लिए कोई कठिनाई पेश नहीं करती है। तथ्य यह है कि हमारे पास डिग्री में व्यक्त तर्क के साथ एक स्पर्शरेखा है। जब आपसे डिग्री वाले त्रिकोणमितीय फलन को हल करने के लिए कहा जाए तो क्या करें? उदाहरण के लिए , आदि।

समाधान एल्गोरिथ्म मौलिक रूप से संरक्षित है, अर्थात, यह आवश्यक है, जैसा कि पिछले उदाहरणों में है, सूत्र को लागू करने के लिए

एक स्पष्ट कार्य लिखना

मान के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। गंभीर सहायता प्रदान की जाएगी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान तालिका ... वैसे, जिसने इसे प्रिंट नहीं किया है, मैं ऐसा करने की सलाह देता हूं, क्योंकि आपको उच्च गणित के अध्ययन के दौरान वहां देखना होगा।

तालिका का विश्लेषण करते हुए, हम स्पर्शरेखा का "अच्छा" मान देखते हैं, जो 47 डिग्री के करीब है:

इस प्रकार:

प्रारंभिक विश्लेषण के बाद डिग्री को रेडियन में परिवर्तित किया जाना चाहिए... तो, और केवल इतना!

इस उदाहरण में, आप सीधे त्रिकोणमितीय तालिका से यह पता लगा सकते हैं। डिग्री को रेडियन में बदलने के सूत्र के अनुसार: (सूत्र एक ही तालिका में पाए जा सकते हैं)।

आगे बॉयलरप्लेट:

इस प्रकार: (हम गणना में मूल्य का उपयोग करते हैं)। परिणाम, जैसा कि शर्त के अनुसार आवश्यक है, दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है।

उत्तर:

उदाहरण 7

अंतर का उपयोग करके लगभग गणना करें, परिणाम को तीन दशमलव स्थानों पर गोल करें।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है, हम डिग्री को रेडियन में बदलते हैं और सामान्य समाधान एल्गोरिदम का पालन करते हैं।

दो चर के फ़ंक्शन के कुल अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना

सब कुछ बहुत, बहुत समान होगा, इसलिए, यदि आप इस विशेष कार्य के साथ इस पृष्ठ पर आए हैं, तो पहले मेरा सुझाव है कि आप पिछले पैराग्राफ के कम से कम कुछ उदाहरण देखें।

एक पैराग्राफ का अध्ययन करने के लिए, आपको खोजने में सक्षम होना चाहिए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न , हम उनके बिना कहाँ जा सकते हैं। उपरोक्त पाठ में, मैंने एक अक्षर के माध्यम से दो चरों के कार्य को निरूपित किया है। विचाराधीन कार्य के संबंध में, समतुल्य अंकन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

जैसा कि एक चर के एक समारोह के मामले में, समस्या की स्थिति को अलग-अलग तरीकों से तैयार किया जा सकता है, और मैं सामने आने वाले सभी फॉर्मूलेशन पर विचार करने का प्रयास करूंगा।

उदाहरण 8

समाधान:कोई फर्क नहीं पड़ता कि शर्त कैसे लिखी जाती है, समाधान में ही फ़ंक्शन को निरूपित करने के लिए, मैं दोहराता हूं, "z" अक्षर का उपयोग नहीं करना बेहतर है, लेकिन .

और यहाँ कार्य सूत्र है:

हमसे पहले वास्तव में पिछले पैराग्राफ के सूत्र की बड़ी बहन है। चर बस बड़ा हो गया। मैं क्या कह सकता हूँ, खुद समाधान एल्गोरिथ्म मूल रूप से समान होगा!

शर्त के अनुसार, बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करना आवश्यक है।

हम संख्या 3.04 को इस रूप में निरूपित करते हैं। जिंजरब्रेड आदमी खुद खाने के लिए कहता है:
,

हम संख्या 3.95 को इस रूप में निरूपित करते हैं। कोलोबोक के दूसरे भाग की बारी आई:
,

और हर तरह की लोमड़ी की चाल मत देखो, एक जिंजरब्रेड आदमी है - तुम्हें इसे खाना है।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

एक बिंदु पर फ़ंक्शन का अंतर सूत्र द्वारा पाया जाता है:

सूत्र से यह निम्नानुसार है कि आपको खोजने की आवश्यकता है आंशिक अवकलज पहले क्रम दें और एक बिंदु पर उनके मूल्यों की गणना करें।

आइए बिंदु पर पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें:

बिंदु पर पूर्ण अंतर:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार, बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान:

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के सटीक मान की गणना करें:

यह मान बिल्कुल सटीक है।

त्रुटियों की गणना मानक सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, जिन पर इस लेख में पहले ही चर्चा की जा चुकी है।

पूर्ण त्रुटि:

रिश्तेदारों की गलती:

उत्तर:, पूर्ण त्रुटि:, सापेक्ष त्रुटि:

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करें पूर्ण अंतर का उपयोग करके एक बिंदु पर, पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाएं।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। जो कोई भी इस उदाहरण पर अधिक विस्तार से ध्यान देता है, वह इस तथ्य पर ध्यान देगा कि गणना की त्रुटियां बहुत, बहुत ही ध्यान देने योग्य हैं। यह निम्नलिखित कारणों से हुआ: प्रस्तावित समस्या में, तर्कों की वृद्धि काफी बड़ी है:।

सामान्य पैटर्न इस प्रकार हैए - निरपेक्ष मूल्य में ये वृद्धि जितनी बड़ी होगी, गणना की सटीकता उतनी ही कम होगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक समान बिंदु के लिए, वेतन वृद्धि छोटी होगी: और अनुमानित गणना की सटीकता बहुत अधिक होगी।

यह सुविधा एक चर (पाठ का पहला भाग) के एक फ़ंक्शन के मामले में भी सही है।

उदाहरण 10

समाधान:आइए हम दो चरों के फलन के कुल अंतर का उपयोग करके इस व्यंजक की गणना करें:

उदाहरण ८-९ से अंतर यह है कि हमें पहले दो चरों के एक फलन की रचना करने की आवश्यकता है: ... मुझे लगता है कि फ़ंक्शन की रचना कैसे की जाती है, यह सभी के लिए सहज है।

४.९९७३ का मान पाँच के करीब है, इसलिए:,।
मान 0.9919 "एक" के करीब है, इसलिए, हम मानते हैं:।

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

बिंदु पर अंतर सूत्र द्वारा पाया जाता है:

ऐसा करने के लिए, हम एक बिंदु पर पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की गणना करते हैं।

यहां व्युत्पन्न सबसे आसान नहीं हैं, और आपको सावधान रहना चाहिए:

;

.

बिंदु पर पूर्ण अंतर:

इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति का अनुमानित मूल्य:

आइए माइक्रो कैलकुलेटर का उपयोग करके अधिक सटीक मान की गणना करें: २.९९८८९९५२७

आइए सापेक्ष गणना त्रुटि खोजें:

उत्तर: ,

उपरोक्त का सिर्फ एक उदाहरण, माना समस्या में, तर्कों की वृद्धि बहुत छोटी है, और त्रुटि काल्पनिक रूप से कम हो गई है।

उदाहरण 11

दो चरों के फलन के पूर्ण अंतर का प्रयोग करते हुए, इस व्यंजक के सन्निकट मान की गणना कीजिए। कैलकुलेटर का उपयोग करके उसी अभिव्यक्ति की गणना करें। सापेक्ष गणना त्रुटि के प्रतिशत का अनुमान लगाएं।

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। पाठ के अंत में समाप्त करने का एक मोटा उदाहरण।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इस प्रकार के असाइनमेंट में सबसे लगातार अतिथि किसी प्रकार की जड़ें हैं। लेकिन समय-समय पर अन्य कार्य भी होते हैं। और विश्राम के लिए एक अंतिम सरल उदाहरण:

उदाहरण 12

दो चरों वाले किसी फलन के कुल अंतर का प्रयोग करते हुए, फलन के अनुमानित मान की गणना करें यदि

समाधान पृष्ठ के निचले भाग के करीब है। एक बार फिर, पाठ कार्यों के फॉर्मूलेशन पर ध्यान दें, अभ्यास में विभिन्न उदाहरणों में फॉर्मूलेशन भिन्न हो सकते हैं, लेकिन यह मूल रूप से समाधान के सार और एल्गोरिदम को नहीं बदलता है।

सच कहूं तो मैं थोड़ा थक गया था, क्योंकि सामग्री उबाऊ थी। लेख की शुरुआत में यह कहना शैक्षणिक नहीं था, लेकिन अब यह पहले से ही संभव है =) वास्तव में, कम्प्यूटेशनल गणित की समस्याएं आमतौर पर बहुत कठिन नहीं होती हैं, बहुत दिलचस्प नहीं होती हैं, सबसे महत्वपूर्ण बात, शायद, बनाना नहीं है सामान्य गणना में त्रुटि।

अपने कैलकुलेटर की चाबियों को मिटाने न दें!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: , ,

इस प्रकार:

उत्तर:

उदाहरण 4:

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: , ,

इस प्रकार:

आइए एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन के अधिक सटीक मान की गणना करें:

पूर्ण त्रुटि:

रिश्तेदारों की गलती:

उत्तर: , पूर्ण गणना त्रुटि, सापेक्ष गणना त्रुटि

उदाहरण 5:

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस मामले में: , ,

इस प्रकार:

उत्तर:

उदाहरण 7:

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: , ,

सटीक प्राकृतिक विज्ञान माप पर आधारित होते हैं। मापन में मात्राओं के मूल्यों को संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो यह दर्शाता है कि मापा गया मान कितनी बार किसी अन्य मात्रा से अधिक या कम है, जिसका मान एक इकाई के रूप में लिया जाता है। माप के परिणामस्वरूप प्राप्त विभिन्न मात्राओं के संख्यात्मक मान एक दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं। ऐसी मात्राओं के बीच संबंध को सूत्रों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो यह दर्शाता है कि कुछ मात्राओं के संख्यात्मक मान दूसरों के संख्यात्मक मानों से कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं।

माप के दौरान अनिवार्य रूप से त्रुटियां होती हैं। माप के दौरान प्राप्त परिणामों के प्रसंस्करण में प्रयुक्त विधियों में कुशल होना आवश्यक है। यह आपको यह सीखने की अनुमति देगा कि माप के एक सेट से सत्य के सबसे करीब परिणाम कैसे प्राप्त करें, समय में विसंगतियों और त्रुटियों को नोटिस करें, माप को स्वयं व्यवस्थित करें और प्राप्त मूल्यों की सटीकता का सही आकलन करें।

यदि माप में एक इकाई के रूप में ली गई किसी अन्य मात्रा के साथ समरूप मात्रा की तुलना करना शामिल है, तो इस मामले में माप को प्रत्यक्ष कहा जाता है।

प्रत्यक्ष (प्रत्यक्ष) माप- ये वे माप हैं जिनमें हम मापी गई मात्रा का संख्यात्मक मान या तो किसी माप (मानक) से सीधे तुलना करके या मापी गई मात्रा की इकाइयों में अंशांकित यंत्रों की सहायता से प्राप्त करते हैं।

हालांकि, ऐसी तुलना हमेशा सीधे तौर पर नहीं की जाती है। ज्यादातर मामलों में, यह हमारे लिए ब्याज की मात्रा नहीं है जिसे मापा जाता है, लेकिन कुछ अनुपातों और कानूनों द्वारा इससे जुड़ी अन्य मात्राएं। इस स्थिति में, आवश्यक मात्रा को मापने के लिए, कई अन्य मात्राओं को पूर्व-माप करना आवश्यक है, जिसके मूल्य के अनुसार वांछित मात्रा का मूल्य गणना द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस माप को अप्रत्यक्ष कहा जाता है।

अप्रत्यक्ष मापमात्रात्मक संबंध द्वारा निर्धारित मात्रा से जुड़ी एक या अधिक मात्राओं के प्रत्यक्ष माप से मिलकर बनता है, और इन आंकड़ों से निर्धारित मात्रा की गणना करता है।

मापन में हमेशा मापने वाले उपकरण शामिल होते हैं, जो एक मात्रा को उससे जुड़ी दूसरी मात्रा के साथ पत्राचार में रखते हैं, जो हमारी इंद्रियों की सहायता से मात्रात्मक मूल्यांकन के लिए सुलभ है। उदाहरण के लिए, विभाजन के साथ पैमाने पर तीर के विक्षेपण के कोण को वर्तमान ताकत सौंपी जाती है। इस मामले में, माप प्रक्रिया की दो बुनियादी शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए: परिणाम की अस्पष्टता और प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता। ये दो शर्तें हमेशा लगभग पूरी होती हैं। इसीलिए माप प्रक्रिया में वांछित मूल्य खोजने और माप की अशुद्धि का आकलन शामिल है.

एक आधुनिक इंजीनियर को आवश्यक विश्वसनीयता को ध्यान में रखते हुए माप परिणामों की त्रुटि का अनुमान लगाने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, माप परिणामों के प्रसंस्करण पर बहुत ध्यान दिया जाता है। त्रुटियों की गणना के बुनियादी तरीकों से परिचित होना प्रयोगशाला कार्यशाला के मुख्य कार्यों में से एक है।

त्रुटियां क्यों होती हैं?

माप त्रुटियों के कई कारण हैं। आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें।

· माप की वस्तु के साथ डिवाइस की बातचीत के दौरान होने वाली प्रक्रियाएं अनिवार्य रूप से मापा मूल्य को बदल देती हैं। उदाहरण के लिए, वर्नियर कैलीपर के साथ किसी भाग के आयामों को मापने से, भाग का संपीड़न होता है, अर्थात इसके आयामों में परिवर्तन होता है। कभी-कभी मापा मूल्य पर उपकरण का प्रभाव अपेक्षाकृत छोटा हो सकता है, लेकिन कभी-कभी यह तुलनीय होता है या मापा मूल्य से भी अधिक होता है।

· किसी भी उपकरण में संरचनात्मक अपूर्णता के कारण मापे गए मान को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की सीमित क्षमता होती है। उदाहरण के लिए, एक एमीटर के सुई ब्लॉक में विभिन्न भागों के बीच घर्षण इस तथ्य की ओर जाता है कि वर्तमान में कुछ छोटे, लेकिन परिमित, मान में परिवर्तन से तीर के विक्षेपण कोण में परिवर्तन नहीं होगा।

· माप की वस्तु के साथ डिवाइस की बातचीत की सभी प्रक्रियाओं में, बाहरी वातावरण हमेशा शामिल होता है, जिसके पैरामीटर बदल सकते हैं और अक्सर, अप्रत्याशित तरीके से। यह माप की स्थिति की प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता को सीमित करता है, और इसलिए माप परिणाम की।

· डिवाइस की रीडिंग को दृष्टिगत रूप से लेते समय, हमारी आंख की सीमित क्षमताओं के कारण डिवाइस की रीडिंग को पढ़ने में अस्पष्टता हो सकती है।

अधिकांश मात्राओं का निर्धारण परोक्ष रूप से उपकरणों द्वारा प्रत्यक्ष रूप से मापी गई वांछित मात्रा और अन्य मात्राओं के बीच संबंध के बारे में हमारे ज्ञान के आधार पर किया जाता है। जाहिर है, अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि सभी प्रत्यक्ष मापों की त्रुटियों पर निर्भर करती है। इसके अलावा, मापी गई वस्तु के बारे में हमारे ज्ञान की सीमितता, और मात्राओं के बीच संबंधों के गणितीय विवरण का सरलीकरण, और उन मात्राओं के प्रभाव को अनदेखा करना, जिनका प्रभाव माप प्रक्रिया में महत्वहीन माना जाता है, त्रुटियों में योगदान करते हैं अप्रत्यक्ष माप के

त्रुटि वर्गीकरण

त्रुटि मानएक निश्चित मात्रा की माप आमतौर पर इसकी विशेषता होती है:

1. पूर्ण त्रुटि प्रयोगात्मक रूप से पाई गई (मापा) और एक निश्चित मात्रा के सही मूल्य के बीच का अंतर है

. (1)

निरपेक्ष त्रुटि दर्शाती है कि X के एक निश्चित मान को मापते समय हम कितने गलत हैं।

2. मापा मान X . के वास्तविक मान के लिए निरपेक्ष त्रुटि के अनुपात के बराबर एक सापेक्ष त्रुटि

सापेक्ष त्रुटि से पता चलता है कि हम कितने गलत हैं X का सही मूल्य।

गुणवत्ताएक निश्चित मात्रा के माप परिणाम एक सापेक्ष त्रुटि की विशेषता है। मान को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सूत्रों (१) और (२) से यह इस प्रकार है कि निरपेक्ष और सापेक्ष माप त्रुटियों को खोजने के लिए, न केवल मापी गई, बल्कि हमारे लिए ब्याज की मात्रा का सही मूल्य भी जानना आवश्यक है। लेकिन अगर वास्तविक मूल्य ज्ञात हो, तो मापने की कोई आवश्यकता नहीं है। माप का उद्देश्य हमेशा एक निश्चित मात्रा के पहले अज्ञात मूल्य का पता लगाना होता है और यदि इसका वास्तविक मूल्य नहीं है, तो कम से कम एक ऐसा मूल्य जो इससे थोड़ा अलग हो। इसलिए, सूत्र (1) और (2), जो त्रुटियों के परिमाण को निर्धारित करते हैं, व्यवहार में उपयुक्त नहीं हैं। व्यावहारिक माप में, त्रुटियों की गणना नहीं की जाती है, लेकिन अनुमान लगाया जाता है। मूल्यांकन प्रयोग की शर्तों, तकनीक की सटीकता, उपकरणों की गुणवत्ता और कई अन्य कारकों को ध्यान में रखते हैं। हमारा काम यह सीखना है कि प्रायोगिक तकनीक का निर्माण कैसे किया जाए और अनुभव से प्राप्त डेटा का सही उपयोग किया जाए ताकि मापी गई मात्राओं के मूल्यों का पता लगाया जा सके जो वास्तविक मूल्यों के काफी करीब हैं, माप त्रुटियों का यथोचित अनुमान लगाते हैं।

माप त्रुटियों के बारे में बोलते हुए, सबसे पहले उल्लेख करना चाहिए सकल त्रुटियां (गलती)प्रयोगकर्ता की निगरानी या उपकरण की खराबी से उत्पन्न। भूलों से बचना चाहिए। यदि यह स्थापित हो जाता है कि वे घटित हुए हैं, तो संबंधित मापों को त्याग दिया जाना चाहिए।

स्थूल त्रुटियों से संबंधित नहीं होने वाली प्रायोगिक त्रुटियों को यादृच्छिक और व्यवस्थित त्रुटियों में विभाजित किया गया है।

साथरेडियल त्रुटियां।एक ही माप को कई बार दोहराते हुए, कोई यह देख सकता है कि अक्सर उनके परिणाम एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन कुछ औसत के आसपास "नृत्य" करते हैं (चित्र 1)। वे त्रुटियाँ जो परिमाण में परिवर्तन करती हैं और प्रयोग से प्रयोग में संकेत करती हैं, यादृच्छिक कहलाती हैं। इंद्रिय अंगों की अपूर्णता, यादृच्छिक बाहरी कारकों आदि के कारण प्रयोगकर्ता द्वारा अनजाने में यादृच्छिक त्रुटियां पेश की जाती हैं। यदि प्रत्येक व्यक्तिगत माप की त्रुटि मौलिक रूप से अप्रत्याशित है, तो वे मापी गई मात्रा के मूल्य को यादृच्छिक रूप से बदल देते हैं। इन त्रुटियों का अनुमान वांछित मान के अनेक मापों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण द्वारा ही लगाया जा सकता है।

व्यवस्थित अशुद्धियोंउपकरण त्रुटियों (गलत पैमाने, असमान रूप से खींचने वाले वसंत, माइक्रोमेट्रिक स्क्रू की असमान पिच, असमान संतुलन हथियार, आदि) और प्रयोग के साथ ही जुड़ा हो सकता है। वे प्रयोग के दौरान अपना परिमाण (और संकेत!) बनाए रखते हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक त्रुटियों के कारण बिखरे हुए प्रयोग के परिणाम सत्य के आसपास नहीं, बल्कि कुछ पक्षपाती मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव करते हैं (चित्र 2)। डिवाइस की विशेषताओं को जानकर, वांछित मात्रा के प्रत्येक माप की त्रुटि का पहले से अनुमान लगाया जा सकता है।

प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

व्यवस्थित त्रुटियां... व्यवस्थित त्रुटियां मापा मूल्य को नियमित रूप से बदलती हैं। आकलन करने का सबसे आसान तरीका उपकरणों द्वारा माप में पेश की गई त्रुटियां हैं यदि वे स्वयं उपकरणों की डिज़ाइन विशेषताओं से जुड़ी हैं। इन त्रुटियों को उपकरणों के पासपोर्ट में दर्शाया गया है। पासपोर्ट का हवाला दिए बिना कुछ उपकरणों की त्रुटियों का अनुमान लगाया जा सकता है। कई विद्युत माप उपकरणों के लिए, उनकी सटीकता वर्ग सीधे पैमाने पर इंगित किया जाता है।

साधन सटीकता वर्गइस उपकरण का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकने वाले मापे गए मान के अधिकतम मूल्य के लिए डिवाइस की पूर्ण त्रुटि का अनुपात है (यह इस डिवाइस की व्यवस्थित सापेक्ष त्रुटि है, जिसे स्केल रेटिंग के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया है)।

.

तब ऐसे उपकरण की पूर्ण त्रुटि अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है:

.

विद्युत माप उपकरणों के लिए, 8 सटीकता वर्ग शुरू किए गए हैं: 0.05; 0.1; 0.5; 1.0; १.५; २.०; २.५; 4.

मापा मूल्य नाममात्र के जितना करीब होगा, माप परिणाम उतना ही सटीक होगा। किसी दिए गए उपकरण द्वारा प्रदान की जा सकने वाली अधिकतम सटीकता (यानी, सबसे छोटी सापेक्ष त्रुटि) सटीकता वर्ग के बराबर है। मल्टीस्केल उपकरणों का उपयोग करते समय इस परिस्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए। पैमाने को चुना जाना चाहिए ताकि मापा मूल्य, पैमाने के भीतर रहते हुए, जितना संभव हो उतना नाममात्र के करीब हो।

यदि डिवाइस के लिए सटीकता वर्ग निर्दिष्ट नहीं है, तो निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाना चाहिए:

वर्नियर वाले उपकरणों की पूर्ण त्रुटि वर्नियर की सटीकता के बराबर होती है।

· निश्चित एरो स्टेप वाले उपकरणों की पूर्ण त्रुटि स्केल डिवीजन के बराबर होती है।

· डिजिटल उपकरणों की पूर्ण त्रुटि न्यूनतम अंक की इकाई के बराबर होती है।

· अन्य सभी उपकरणों के लिए, पूर्ण त्रुटि को आधे पैमाने के विभाजन के बराबर लिया जाता है।

यादृच्छिक त्रुटियां... ये त्रुटियां एक सांख्यिकीय प्रकृति की हैं और संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं। यह पाया गया कि बहुत बड़ी संख्या में माप के साथ, गॉसियन सामान्य वितरण का उपयोग करके प्रत्येक व्यक्तिगत माप में एक विशेष परिणाम प्राप्त करने की संभावना निर्धारित की जा सकती है। माप की एक छोटी संख्या के साथ, एक विशेष माप परिणाम प्राप्त करने की संभावना के गणितीय विवरण को छात्र का वितरण कहा जाता है (अधिक विवरण के लिए, मैनुअल "भौतिक मात्रा की माप त्रुटियां" देखें)।

मापा मूल्य के सही मूल्य का आकलन कैसे करें?

मान लीजिए, एक निश्चित मान को मापते समय, हमें N परिणाम प्राप्त हुए: ... माप की एक श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य अधिकांश व्यक्तिगत मापों की तुलना में मापी गई मात्रा के सही मूल्य के करीब है। एक निश्चित मात्रा के लिए माप परिणाम प्राप्त करने के लिए, निम्न एल्गोरिथम का उपयोग किया जाता है।

१) । परिकलित औसतएन प्रत्यक्ष माप की श्रृंखला:

2))। परिकलित प्रत्येक माप की पूर्ण यादृच्छिक त्रुटिएन प्रत्यक्ष माप की एक श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य और इस माप के बीच का अंतर है:

.

3))। परिकलित मूल माध्य वर्ग निरपेक्ष त्रुटि:

.

4))। परिकलित पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि... माप की एक छोटी संख्या के साथ, पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि की गणना मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि और एक निश्चित गुणांक के माध्यम से की जा सकती है, जिसे छात्र का गुणांक कहा जाता है:

,

छात्र का गुणांक माप N की संख्या और विश्वसनीयता गुणांक पर निर्भर करता है (तालिका 1 विश्वसनीयता गुणांक के एक निश्चित मान पर माप की संख्या पर छात्र के गुणांक की निर्भरता को दर्शाता है)।

विश्वसनीयता कारकवह प्रायिकता है जिसके साथ मापी गई मात्रा का सही मान विश्वास अंतराल के भीतर आता है।

विश्वास अंतराल - यह एक संख्यात्मक अंतराल है जिसमें मापा मात्रा का सही मूल्य एक निश्चित संभावना के साथ आता है।

इस प्रकार, छात्र का गुणांक वह संख्या है जिससे माप की दी गई संख्या के लिए परिणाम की दी गई विश्वसनीयता सुनिश्चित करने के लिए मूल-माध्य-वर्ग त्रुटि को गुणा किया जाना चाहिए।

माप की एक निश्चित संख्या प्रदान करने के लिए जितनी अधिक विश्वसनीयता आवश्यक है, छात्र का गुणांक उतना ही अधिक होगा। दूसरी ओर, माप की संख्या जितनी बड़ी होगी, दी गई विश्वसनीयता के लिए विद्यार्थी का गुणांक उतना ही कम होगा। हमारी कार्यशाला के प्रयोगशाला कार्य में, हम दी गई और 0.9 के बराबर विश्वसनीयता पर विचार करेंगे। माप की एक अलग संख्या के लिए इस विश्वसनीयता के लिए छात्र के गुणांक के संख्यात्मक मान तालिका 1 में दिए गए हैं।

तालिका एक

माप की संख्या N

छात्र का गुणांक

5). परिकलित पूर्ण पूर्ण त्रुटि।किसी भी माप के साथ, यादृच्छिक और व्यवस्थित दोनों त्रुटियां होती हैं। कुल (कुल) पूर्ण माप त्रुटि की गणना एक आसान काम नहीं है, क्योंकि ये त्रुटियां एक अलग प्रकृति की हैं।

इंजीनियरिंग माप के लिए, व्यवस्थित और यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ना समझ में आता है।

.

गणनाओं की सरलता के लिए, यह निरपेक्ष यादृच्छिक और पूर्ण व्यवस्थित (वाद्य) त्रुटियों के योग के रूप में कुल निरपेक्ष त्रुटि का मूल्यांकन करने के लिए प्रथागत है, यदि त्रुटियां परिमाण के समान क्रम की हैं, और त्रुटियों में से एक की उपेक्षा करें यदि यह अधिक है परिमाण के क्रम से (10 गुना) दूसरे से कम।

6). त्रुटि और परिणाम को पूर्णांकित किया जाता है... चूंकि माप परिणाम मूल्यों के अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका मूल्य कुल निरपेक्ष त्रुटि से निर्धारित होता है, परिणाम का सही गोलाई और त्रुटि महत्वपूर्ण है।

गोलाई एक पूर्ण त्रुटि के साथ शुरू होती है !!!त्रुटि मान में छोड़े गए महत्वपूर्ण अंकों की संख्या, आम तौर पर बोलना, विश्वसनीयता कारक और माप की संख्या पर निर्भर करता है। हालांकि, यहां तक ​​​​कि बहुत सटीक माप (उदाहरण के लिए, खगोलीय) के लिए, जिसमें त्रुटि का सटीक मान महत्वपूर्ण है, दो से अधिक महत्वपूर्ण अंक नहीं बचे हैं। बड़ी संख्या में अंकों का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि त्रुटि की परिभाषा में ही अपनी त्रुटि होती है। हमारी कार्यशाला में, अपेक्षाकृत छोटा विश्वसनीयता कारक और माप की एक छोटी संख्या। इसलिए, जब पूर्ण निरपेक्ष त्रुटि का पूर्णांकन (अधिक के साथ) किया जाता है, तो एक महत्वपूर्ण आंकड़ा बचा रहता है।

निरपेक्ष त्रुटि का महत्वपूर्ण अंक परिणाम मान में पहले संदिग्ध अंक का अंक निर्धारित करता है। इसलिए, परिणाम के मूल्य को उस महत्वपूर्ण अंक में गोल (सही) किया जाना चाहिए, जिसका अंक त्रुटि के महत्वपूर्ण अंक के अंक के साथ मेल खाता है। तैयार किए गए नियम को उन मामलों में भी लागू किया जाना चाहिए जहां कुछ अंक शून्य हैं।

यदि शरीर के वजन को मापते समय परिणाम प्राप्त होता है, तो संख्या 0.900 के अंत में शून्य लिखना आवश्यक है। लिखने का मतलब होगा कि अगले महत्वपूर्ण अंकों के बारे में कुछ भी पता नहीं है, जबकि मापों से पता चला है कि वे शून्य के बराबर हैं।

७)। परिकलित रिश्तेदारों की गलती.

सापेक्ष त्रुटि को पूर्णांकित करते समय, दो सार्थक अंक छोड़ने के लिए पर्याप्त है।

आरएक निश्चित भौतिक मात्रा के माप की एक श्रृंखला का परिणाम मूल्यों के अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो इस अंतराल में गिरने वाले वास्तविक मूल्य की संभावना को दर्शाता है, अर्थात परिणाम को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए:

यहां कुल है, पहले महत्वपूर्ण अंक के लिए गोल, पूर्ण त्रुटि और मापा मूल्य का औसत मूल्य है, पहले से ही गोल त्रुटि को ध्यान में रखते हुए पूर्णांकित किया गया है। माप परिणाम रिकॉर्ड करते समय, मूल्य की माप की इकाई को इंगित करना अनिवार्य है।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. मान लीजिए कि एक खंड की लंबाई को मापते समय, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए: सेमी और सेमी। एक खंड की लंबाई को मापने के परिणाम को सही ढंग से कैसे रिकॉर्ड करें? सबसे पहले, हम पूर्ण त्रुटि को अतिरिक्त के साथ पूर्णांकित करते हैं, एक महत्वपूर्ण अंक को छोड़कर, सौवें स्थान पर त्रुटि का महत्वपूर्ण अंक देखते हैं। फिर हम औसत मान को निकटतम सौवें, यानी उस महत्वपूर्ण अंक में संशोधन के साथ पूर्णांकित करते हैं, जिसका अंक त्रुटि के महत्वपूर्ण अंक के अंक के साथ मेल खाता है सापेक्ष त्रुटि की गणना देखें

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से। मी; ; .

2. मान लीजिए कि कंडक्टर के प्रतिरोध की गणना करते समय, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए: तथा ... सबसे पहले, एक महत्वपूर्ण आंकड़ा छोड़कर, पूर्ण त्रुटि को समाप्त करें। फिर औसत को निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करें। हम सापेक्ष त्रुटि की गणना करते हैं

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हम माप परिणाम को निम्नानुसार लिखते हैं:

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3. मान लीजिए कि कार्गो के द्रव्यमान की गणना करते समय, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए: किलो और किलो। सबसे पहले, एक महत्वपूर्ण अंक छोड़कर, पूर्ण त्रुटि को समाप्त करें किलोग्राम। फिर औसत को निकटतम दहाई में पूर्णांकित करें किलोग्राम। हम सापेक्ष त्रुटि की गणना करते हैं

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त्रुटियों के सिद्धांत पर प्रश्न और कार्य

1. भौतिक मात्रा को मापने का क्या अर्थ है? उदाहरण दो।

2. माप त्रुटियाँ क्यों होती हैं?

3. पूर्ण त्रुटि क्या है?

4. सापेक्ष त्रुटि क्या है?

5. माप की गुणवत्ता में कौन सी त्रुटि विशेषता है? उदाहरण दो।

6. कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

7. "व्यवस्थित त्रुटि" की अवधारणा की परिभाषा दीजिए।

8. व्यवस्थित त्रुटियों के कारण क्या हैं?

9. मापने वाले उपकरण का सटीकता वर्ग क्या है?

10. विभिन्न भौतिक उपकरणों की पूर्ण त्रुटियों का निर्धारण कैसे किया जाता है?

11. किन त्रुटियों को यादृच्छिक कहा जाता है और वे कैसे उत्पन्न होती हैं?

12. मूल माध्य वर्ग त्रुटि की गणना करने की प्रक्रिया का वर्णन करें।

13. प्रत्यक्ष माप की पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि की गणना के लिए प्रक्रिया का वर्णन करें।

14. "सुरक्षा कारक" क्या है?

15. विद्यार्थी का गुणांक क्या पैरामीटर और कैसे निर्भर करता है?

16. प्रत्यक्ष माप की कुल निरपेक्ष त्रुटि की गणना कैसे की जाती है?

17. अप्रत्यक्ष माप की सापेक्ष और निरपेक्ष त्रुटियों को निर्धारित करने के लिए सूत्र लिखें।

18. त्रुटि के साथ परिणाम को पूर्णांकित करने के लिए नियम बनाइए।

19. 0.5 सेमी के ग्रेजुएशन वाले टेप माप का उपयोग करके दीवार की लंबाई मापने में सापेक्ष त्रुटि का पता लगाएं। मापा मूल्य 4.66m था।

20. आयत की भुजाओं A और B की लंबाई मापते समय क्रमशः निरपेक्ष त्रुटियाँ और स्वीकार की गईं। इन मापों के परिणामों से क्षेत्र का निर्धारण करते समय प्राप्त निरपेक्ष त्रुटि S की गणना के लिए एक सूत्र लिखें।

21. घन L के किनारे की लंबाई के मापन में L की त्रुटि थी। इन मापों से घन के आयतन की आपेक्षिक त्रुटि ज्ञात करने के लिए एक सूत्र लिखिए।

22. शरीर आराम की स्थिति से समान रूप से आगे बढ़ रहा था। त्वरण की गणना करने के लिए, हमने पिंड द्वारा तय किए गए पथ S और उसके संचलन के समय t को मापा। इन प्रत्यक्ष मापों की पूर्ण त्रुटियाँ क्रमशः S और t थीं। इस डेटा से सापेक्ष त्वरण त्रुटि की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

23. माप डेटा के अनुसार हीटिंग डिवाइस की शक्ति की गणना करते समय, पाव = 2361.7893735 डब्ल्यू और ΔP = 35.4822 डब्ल्यू के मान प्राप्त किए गए थे। परिणाम को आवश्यकतानुसार एक कॉन्फिडेंस इंटरवल राउंडिंग के रूप में रिकॉर्ड करें।

24. माप डेटा के अनुसार प्रतिरोध मूल्य की गणना करते समय, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: राव = 123.7893735 ओम, R = 0.348 ओम। परिणाम को आवश्यकतानुसार एक कॉन्फिडेंस इंटरवल राउंडिंग के रूप में रिकॉर्ड करें।

25. माप डेटा के अनुसार घर्षण गुणांक के मूल्य की गणना करते समय, मान μср = 0.7823735 और Δμ = 0.03348 प्राप्त किए गए थे। परिणाम को आवश्यकतानुसार एक कॉन्फिडेंस इंटरवल राउंडिंग के रूप में रिकॉर्ड करें।

२६. १६.६ ए के बल के साथ धारा १.५ की सटीकता वर्ग और ५० ए की स्केल रेटिंग वाले एक उपकरण द्वारा निर्धारित की गई थी। इस माप की पूर्ण वाद्य और सापेक्ष त्रुटि का पता लगाएं।

27. लोलक के दोलन काल के 5 मापों की श्रृंखला में, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 2.12 s, 2.10 s, 2.11 s, 2.14 s, 2.13 s। इन आंकड़ों से अवधि निर्धारित करने में पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि का पता लगाएं।

28. एक निश्चित ऊंचाई से गिरने वाले भार का अनुभव 6 बार दोहराया गया था। इस मामले में, भार के गिरने के समय के निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 38.0 s, 37.6 s, 37.9 s, 37.4 s, 37.5 s, 37.7 s। गिरावट का समय निर्धारित करने में सापेक्ष त्रुटि का पता लगाएं।

एक विभाजन एक मापने योग्य मात्रा है जो सूचक को एक विभाजन द्वारा विक्षेपित करने का कारण बनता है। डिवीजन वैल्यू को डिवाइस की ऊपरी माप सीमा के अनुपात के रूप में स्केल डिवीजनों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।