किसी दी गई संख्या का विलोम ज्ञात करना। पारस्परिक संख्या

विषय:

सभी प्रकार के बीजीय समीकरणों को हल करते समय व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक भिन्नात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो आप पहली संख्या को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। इसके अलावा, एक सीधी रेखा के समीकरण को खोजने के लिए व्युत्क्रम का उपयोग किया जाता है।

कदम

1 भिन्न या पूर्णांक का व्युत्क्रम ज्ञात करना

1. 1 एक भिन्नात्मक संख्या को पलट कर उसका व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।"पारस्परिक संख्या" को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। इसकी गणना करने के लिए, बस "1 (मूल संख्या)" अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। एक भिन्नात्मक संख्या के लिए, व्युत्क्रम एक अन्य भिन्नात्मक संख्या है जिसे केवल अंश को "उलट" करके (अंश और हर की अदला-बदली करके) गणना की जा सकती है।
   • उदाहरण के लिए, 3/4 का व्युत्क्रम है 4 / 3 .
2. 2 किसी पूर्ण संख्या के व्युत्क्रम को भिन्न के रूप में लिखिए।और इस मामले में, व्युत्क्रम की गणना 1 (मूल संख्या) के रूप में की जाती है। एक पूर्ण संख्या के लिए, व्युत्क्रम को भिन्न के रूप में लिखें, गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है और इसे दशमलव के रूप में लिखें।
   • उदाहरण के लिए, 2 का व्युत्क्रम 1 ÷ 2 = . है 1 / 2 .

2 मिश्रित भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करना

1. 1 "मिश्रित अंश" क्या है?मिश्रित भिन्न वह संख्या होती है जिसे पूर्ण संख्या और साधारण भिन्न के रूप में लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, 2 4/5. मिश्रित भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करना दो चरणों में किया जाता है, जिसका वर्णन नीचे किया गया है।
2. 2 मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।बेशक, आपको याद है कि इकाई को (संख्या) / (समान संख्या) के रूप में लिखा जा सकता है, और समान हर वाले भिन्न (पंक्ति के नीचे की संख्या) को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है। यहां बताया गया है कि यह भिन्न 2 4/5 के लिए कैसे किया जा सकता है:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 अंश को पलटें।जब मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है, तो हम आसानी से अंश और हर की अदला-बदली करके व्युत्क्रम ढूंढ सकते हैं।
   • ऊपर के उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम 14/5 होगा - 5 / 14 .

3 दशमलव का व्युत्क्रम ज्ञात करना

1. 1 यदि संभव हो तो दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करें।आपको यह जानना आवश्यक है कि अनेक दशमलवों को सरल भिन्नों में आसानी से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.5 = 1/2 और 0.25 = 1/4। जब आप किसी संख्या को साधारण भिन्न के रूप में लिखते हैं, तो आप भिन्न को पलट कर आसानी से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, 0.5 का व्युत्क्रम 2/1 = 2 है।
2. 2 विभाजन का उपयोग करके समस्या का समाधान करें।यदि आप दशमलव को भिन्न के रूप में नहीं लिख सकते हैं, तो समस्या को हल करके व्युत्क्रम की गणना करें: 1 (दशमलव)। आप इसे हल करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं, या यदि आप मैन्युअल रूप से मान की गणना करना चाहते हैं तो अगले चरण पर जा सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, 0.4 के व्युत्क्रम की गणना 1 0.4 के रूप में की जाती है।
3. 3 पूर्णांकों के साथ कार्य करने के लिए व्यंजक बदलें।दशमलव भाग में पहला चरण स्थितीय बिंदु को तब तक स्थानांतरित करना है जब तक कि व्यंजक में सभी संख्याएं पूर्णांक न हों। क्योंकि आप लाभांश और भाजक दोनों में स्थितीय अल्पविराम को समान स्थानों पर ले जाते हैं, आपको सही उत्तर मिलता है।
4. 4 उदाहरण के लिए, आप व्यंजक 1 0.4 लेते हैं और इसे 10 4 लिखते हैं।इस मामले में, आपने अल्पविराम को एक स्थान दाईं ओर ले जाया है, जो प्रत्येक संख्या को दस से गुणा करने के समान है।
5. 5 संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करके समस्या का समाधान करें।किसी कॉलम से भाग देकर आप किसी संख्या के व्युत्क्रम की गणना कर सकते हैं। यदि आप 10 को 4 से विभाजित करते हैं, तो आपको 2.5 प्राप्त करना चाहिए, जो कि 0.4 का व्युत्क्रम है।

• ऋणात्मक व्युत्क्रम का मान -1 से गुणा की गई संख्या का व्युत्क्रम होगा। उदाहरण के लिए, 3/4 का ऋणात्मक व्युत्क्रम -4/3 है।
• किसी संख्या के व्युत्क्रम को कभी-कभी "पारस्परिक" या "पारस्परिक" कहा जाता है।
• संख्या 1 स्वयं का व्युत्क्रम है क्योंकि 1 1 = 1 है।
• शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं है क्योंकि व्यंजक 1 0 का कोई हल नहीं है।

संख्याओं का एक युग्म जिसका गुणनफल एक के बराबर होता है, कहलाता है परस्पर उलटा.

उदाहरण: 5 और 1/5, -6/7 और -7/6, और

किसी भी संख्या के लिए जो शून्य के बराबर नहीं है, एक प्रतिलोम 1/a होता है।

शून्य का व्युत्क्रम अनंत है।

प्रतिलोम भिन्न- ये दो भिन्न हैं, जिनका गुणनफल 1 है। उदाहरण के लिए, 3/7 और 7/3; 5/8 और 8/5 आदि।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "रिवर्स नंबर" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

एक संख्या जिसका गुणनफल किसी दी गई संख्या का गुणा एक के बराबर होता है। ऐसी दो संख्याओं को व्युत्क्रम कहते हैं। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, 5 और 1/5, 2/3 और 3/2, आदि ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

पारस्परिक संख्या- - [एएस गोल्डबर्ग। अंग्रेजी रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] विषय ऊर्जा सामान्य EN में उलटा संख्यापारस्परिक संख्या ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

एक संख्या जिसका गुणनफल किसी दी गई संख्या का गुणा एक के बराबर होता है। ऐसी दो संख्याओं को व्युत्क्रम कहते हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, 5 और 1/5, 2/3 और 3/2, आदि। * * * रिवर्स नंबर रिवर्स नंबर, एक संख्या जिसका उत्पाद समय दी गई संख्या है ... विश्वकोश शब्दकोश

एक संख्या जिसका गुणनफल एक दी गई संख्या के बराबर है। ऐसी दो संख्याओं को व्युत्क्रम कहते हैं। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, 5 और ए, शून्य के बराबर नहीं, एक व्युत्क्रम है ... महान सोवियत विश्वकोश

संख्या, k का गुणनफल और दी गई संख्या एक के बराबर होती है। ऐसी दो संख्याओं को कहा जाता है परस्पर उलटा। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, 5 और 1/5। 2/3 और 3/2 आदि... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

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पारस्परिक संख्या(पारस्परिक, पारस्परिक) किसी दिए गए नंबर के लिए एक्सवह संख्या है जिसका गुणा एक्स, एक देता है। स्वीकृत प्रविष्टि: $\backslash frac(1)x$या $एक्स^(-1)$. दो संख्याएँ जिनका गुणनफल एक के बराबर होता है, कहलाती हैं परस्पर उलटा. किसी संख्या के व्युत्क्रम को किसी फलन के व्युत्क्रम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$प्रतिलोम कोज्या फलन के मान से भिन्न - आर्ककोसाइन, जिसे निरूपित किया जाता है $\backslash cos^(-1)x$या $\backslash arccos\; x$.

वास्तविक संख्या के विपरीत

जटिल संख्या रूप	संख्या $(जेड)$	उलटना $\backslash बाएं\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
बीजगणितीय	$एक्स+आईवाई$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
त्रिकोणमितीय	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
प्रदर्शन	$पुनः^(मैं\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

सबूत:
बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूपों के लिए, हम एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करते हैं, जटिल संयुग्म द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं:

• बीजीय रूप:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• त्रिकोणमितीय रूप:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• सांकेतिक रूप:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

इस प्रकार, जब किसी सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात किया जाता है, तो उसके घातांकीय रूप का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

उदाहरण:

जटिल संख्या रूप	संख्या $(जेड)$	उलटना $\backslash बाएं\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
बीजगणितीय	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
त्रिकोणमितीय	$2\; \backslash बाएं\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ या $2\; \backslash बाएं\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash बाएं\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ या $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
प्रदर्शन	$2\; ई^(मैं\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

काल्पनिक इकाई के विपरीत

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ या__ $मैं^(-1)=-मैं$

इसी तरह के लिए $-मैं$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ या __ $-i^(-1)=i$

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टिप्पणियाँ

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पारस्परिक संख्या की विशेषता वाला एक अंश

तो कहानियाँ कहती हैं, और यह सब पूरी तरह से अनुचित है, क्योंकि जो कोई भी इस मामले के सार में तल्लीन करना चाहता है, वह आसानी से आश्वस्त हो जाएगा।
रूसियों ने बेहतर स्थिति की तलाश नहीं की; लेकिन, इसके विपरीत, अपने पीछे हटने में उन्होंने कई पदों को पार किया जो बोरोडिनो से बेहतर थे। वे इनमें से किसी भी पद पर नहीं रुके: दोनों क्योंकि कुतुज़ोव उस पद को स्वीकार नहीं करना चाहते थे जो उनके द्वारा नहीं चुना गया था, और क्योंकि एक लोकप्रिय लड़ाई की मांग अभी तक पर्याप्त रूप से व्यक्त नहीं की गई थी, और क्योंकि मिलोरादोविच ने अभी तक संपर्क नहीं किया था मिलिशिया के साथ, और इसलिए भी कि अन्य कारण जो असंख्य हैं। तथ्य यह है कि पिछली स्थिति मजबूत थी और बोरोडिनो स्थिति (जिस पर लड़ाई दी गई थी) न केवल मजबूत है, बल्कि किसी कारण से यह रूसी साम्राज्य में किसी भी अन्य स्थान से अधिक स्थिति में नहीं है। , जो, अनुमान लगाते हुए, मानचित्र पर एक पिन के साथ इंगित करेगा।
रूसियों ने न केवल सड़क से एक समकोण पर बोरोडिनो क्षेत्र की स्थिति को बाईं ओर मजबूत किया (अर्थात, वह स्थान जहाँ लड़ाई हुई थी), लेकिन 25 अगस्त, 1812 से पहले कभी नहीं सोचा था कि लड़ाई हो सकती है इस स्थान पर होता है। यह इस बात का सबूत है, सबसे पहले, इस तथ्य से कि न केवल 25 तारीख को इस जगह पर कोई किलेबंदी नहीं थी, बल्कि 25 तारीख को शुरू हुई, वे 26 तारीख को पूरी नहीं हुई थीं; दूसरे, शेवार्डिंस्की रिडाउट की स्थिति सबूत के रूप में कार्य करती है: शेवार्डिंस्की रिडाउट, उस स्थिति के सामने जिस पर लड़ाई हुई थी, इसका कोई मतलब नहीं है। यह संदेह अन्य सभी बिंदुओं की तुलना में अधिक मजबूत क्यों था? और क्यों, 24 तारीख को देर रात तक इसका बचाव करते हुए, सभी प्रयास समाप्त हो गए और छह हजार लोग खो गए? दुश्मन का निरीक्षण करने के लिए, एक कोसैक गश्ती पर्याप्त थी। तीसरा, इस बात का प्रमाण कि जिस स्थिति पर लड़ाई हुई थी, वह पूर्वाभास नहीं थी और शेवार्डिंस्की का पुनर्विक्रय इस स्थिति का आगे का बिंदु नहीं था, वह यह है कि बार्कले डी टॉली और बागेशन 25 वीं तक आश्वस्त थे कि शेवार्डिंस्की रिडाउट का बायां किनारा था स्थिति और कुतुज़ोव ने खुद अपनी रिपोर्ट में, लड़ाई के बाद जल्दबाजी में लिखा, शेवार्डिंस्की को स्थिति के बाएं हिस्से को फिर से शुरू करने के लिए कहते हैं। बहुत बाद में, जब बोरोडिनो की लड़ाई के बारे में खुले तौर पर रिपोर्टें लिखी गईं, तो यह (शायद कमांडर इन चीफ की गलतियों को सही ठहराने के लिए, जिन्हें अचूक होना था) कि अनुचित और अजीब गवाही का आविष्कार किया गया था कि शेवार्डिंस्की रिडाउट ने एक के रूप में कार्य किया उन्नत पोस्ट (जबकि यह केवल बाईं ओर का एक गढ़वाले बिंदु था) और जैसे कि बोरोडिनो की लड़ाई को एक गढ़वाले और पूर्व-चयनित स्थिति में हमारे द्वारा स्वीकार किया गया था, जबकि यह पूरी तरह से अप्रत्याशित और लगभग दुर्गम स्थान पर हुआ था।
मामला, जाहिर है, इस तरह था: कोलोचा नदी के साथ स्थिति का चयन किया गया था, जो मुख्य सड़क को एक सीधी रेखा पर नहीं, बल्कि एक तीव्र कोण पर पार करती थी, ताकि बायां किनारा शेवार्डिन में हो, दायां किनारा पास था नोवी गांव और केंद्र बोरोडिनो में कोलोचा और वो नदियों के संगम पर था। यह स्थिति, कोलोचा नदी की आड़ में, सेना के लिए, जिसका लक्ष्य स्मोलेंस्क रोड के साथ मास्को में जाने वाले दुश्मन को रोकना है, जो कोई भी बोरोडिनो क्षेत्र को देखता है, वह भूल जाता है कि लड़ाई कैसे हुई।
नेपोलियन, 24 तारीख को वैल्यूव को छोड़कर, यूटिसा से बोरोडिन तक रूसियों की स्थिति नहीं देखी (जैसा कि कहानियां कहती हैं) (वह इस स्थिति को नहीं देख सका, क्योंकि यह वहां नहीं था) और उन्नत पद नहीं देखा रूसी सेना, लेकिन रूसियों की स्थिति के बाएं किनारे पर रूसी रियरगार्ड की खोज में ठोकर खाई, शेवार्डिंस्की रिडाउट पर, और अप्रत्याशित रूप से रूसियों के लिए कोलोचा के माध्यम से सैनिकों को स्थानांतरित कर दिया। और रूसियों के पास एक सामान्य लड़ाई में प्रवेश करने का समय नहीं था, वे अपनी वामपंथी के साथ उस स्थिति से पीछे हट गए, जिसे वे लेने का इरादा रखते थे, और एक नई स्थिति ले ली, जिसकी न तो कल्पना की गई थी और न ही गढ़वाले। सड़क के बाईं ओर कोलोचा के बाईं ओर पार करने के बाद, नेपोलियन ने भविष्य की पूरी लड़ाई को दाएं से बाएं (रूसियों की ओर से) स्थानांतरित कर दिया और इसे यूटिसा, सेमेनोव्स्की और बोरोडिनो (इस क्षेत्र में) के बीच के मैदान में स्थानांतरित कर दिया। , जो रूस में किसी भी अन्य क्षेत्र की तुलना में स्थिति के लिए अधिक फायदेमंद नहीं है), और इस मैदान पर पूरी लड़ाई 26 तारीख को हुई थी। मोटे तौर पर प्रस्तावित युद्ध और जो युद्ध हुआ उसकी योजना इस प्रकार होगी:

यदि नेपोलियन 24 तारीख की शाम को कोलोचा के लिए नहीं छोड़ा होता और शाम को तुरंत विद्रोह पर हमला करने का आदेश नहीं दिया होता, लेकिन अगले दिन सुबह हमला शुरू कर दिया होता, तो किसी को संदेह नहीं होता कि शेवार्डिंस्की का विद्रोह था हमारी स्थिति का बायां किनारा; और लड़ाई वैसी ही हुई होगी जैसी हमने उम्मीद की थी। उस स्थिति में, हम शायद शेवार्डिनो रिडाउट का बचाव करते, हमारा बायां किनारा, और भी अधिक हठ; वे केंद्र में या दाईं ओर नेपोलियन पर हमला करेंगे, और 24 तारीख को उस स्थिति में एक सामान्य लड़ाई होगी जो गढ़वाले और पूर्वाभास वाली थी। लेकिन चूंकि हमारे बाएं किनारे पर हमला शाम को हुआ था, हमारे रियरगार्ड के पीछे हटने के बाद, यानी ग्रिडनेवा की लड़ाई के तुरंत बाद, और चूंकि रूसी सैन्य नेताओं के पास एक सामान्य लड़ाई शुरू करने का समय नहीं था या नहीं था उसी 24 शाम ​​को, बोरोडिन्स्की की पहली और मुख्य लड़ाई 24 तारीख को हार गई और जाहिर है, 26 तारीख को दी गई हार का कारण बनी।
शेवार्डिंस्की रिडाउट के नुकसान के बाद, 25 तारीख की सुबह तक हमने खुद को बाईं ओर की स्थिति के बिना पाया और हमें अपने बाएं पंख को पीछे मोड़ने और जल्दबाजी में कहीं भी मजबूत करने के लिए मजबूर होना पड़ा।
लेकिन न केवल 26 अगस्त को कमजोर, अधूरे किलेबंदी के संरक्षण में रूसी सेना खड़ी थी, इस स्थिति का नुकसान इस तथ्य से और बढ़ गया था कि रूसी सैन्य नेताओं ने पूरी तरह से सिद्ध तथ्य (एक स्थिति का नुकसान) को पूरी तरह से नहीं पहचाना बाएं किनारे पर और पूरे भविष्य के युद्ध के मैदान को दाएं से बाएं स्थानांतरित करना), नोवी के गांव से उत्त्सा तक अपनी फैली हुई स्थिति में बने रहे और परिणामस्वरूप, युद्ध के दौरान अपने सैनिकों को दाएं से बाएं स्थानांतरित करना पड़ा। इस प्रकार, पूरी लड़ाई के दौरान, रूसियों के पास पूरी फ्रांसीसी सेना के खिलाफ सबसे कमजोर ताकतें थीं, जो हमारे बाएं पंख पर निर्देशित थीं। (फ्रांसीसी के दाहिने किनारे पर उतित्सा और उवरोव के खिलाफ पोनियातोव्स्की की कार्रवाइयां युद्ध के दौरान अलग-अलग कार्रवाइयां थीं।)
इसलिए, बोरोडिनो की लड़ाई बिल्कुल नहीं हुई (हमारे सैन्य नेताओं की गलतियों को छिपाने की कोशिश कर रही है और परिणामस्वरूप, रूसी सेना और लोगों की महिमा को कम करके) इसका वर्णन करती है। बोरोडिनो की लड़ाई रूसियों की ओर से केवल सबसे कमजोर ताकतों के साथ एक चुनी हुई और गढ़वाली स्थिति पर नहीं हुई थी, और बोरोडिनो की लड़ाई, शेवार्डिंस्की रिडाउट के नुकसान के कारण, रूसियों द्वारा खुले में ली गई थी, फ्रांसीसी के खिलाफ दोगुने सबसे कमजोर ताकतों के साथ लगभग दुर्गम क्षेत्र, यानी ऐसी परिस्थितियों में, जिसमें न केवल दस घंटे तक लड़ना और लड़ाई को अनिर्णायक बनाना असंभव था, बल्कि सेना को पूरी तरह से हार और उड़ान से दूर रखना अकल्पनीय था। तीन घंटे तक।

25 तारीख को सुबह पियरे ने मोजाहिद छोड़ दिया। शहर से बाहर जाने वाले विशाल खड़ी और टेढ़े-मेढ़े पहाड़ से उतरते हुए, पहाड़ पर दायीं ओर खड़े गिरजाघर के पीछे, जिसमें एक सेवा और सुसमाचार था, पियरे गाड़ी से बाहर निकला और पैदल चला गया। उसके पीछे पहाड़ पर किसी तरह की घुड़सवार सेना की रेजिमेंट उतरी, जिसके सामने पेसेलनिक थे। कल के कारनामे में घायलों के साथ गाड़ियों की एक ट्रेन उसकी ओर बढ़ रही थी। किसान चालक घोड़ों पर चिल्लाते हुए और कोड़ों से कोड़े मारते हुए एक तरफ से दूसरी तरफ भागे। वे गाड़ियाँ, जिन पर तीन और चार घायल सैनिक लेटे और बैठे थे, खड़ी ढलान पर फुटपाथ के रूप में फेंके गए पत्थरों पर कूद पड़े। घायल, लत्ता में बंधे, पीले, फटे होंठों और भौंहों के साथ, बिस्तर पर पकड़े हुए, कूद गए और गाड़ियों में कूद गए। पियरे की सफेद टोपी और हरे रंग के टेलकोट को हर कोई लगभग भोली-भाली बचपन की जिज्ञासा से देख रहा था।

हम एक परिभाषा देते हैं और पारस्परिक संख्याओं का उदाहरण देते हैं। विचार करें कि किसी प्राकृत संख्या का व्युत्क्रम और साधारण भिन्न का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें। इसके अलावा, हम लिखते हैं और एक असमानता साबित करते हैं जो पारस्परिक संख्याओं के योग की संपत्ति को दर्शाती है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पारस्परिक संख्याएँ। परिभाषा

परिभाषा। पारस्परिक संख्या

व्युत्क्रम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका गुणनफल एक देता है।

यदि a · b = 1 है, तो हम कह सकते हैं कि संख्या a, संख्या b का व्युत्क्रम है, जिस प्रकार संख्या b, संख्या a का व्युत्क्रम है।

पारस्परिक संख्याओं का सबसे सरल उदाहरण दो है। वास्तव में, 1 1 = 1, इसलिए a = 1 और b = 1 परस्पर प्रतिलोम संख्याएँ हैं। एक अन्य उदाहरण संख्या 3 और 1 3 , - 2 3 और - 3 2 , 6 13 और 13 6 , लॉग 3 17 और लॉग 17 3 है। उपरोक्त संख्याओं के किसी भी युग्म का गुणनफल एक के बराबर होता है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, उदाहरण के लिए संख्या 2 और 2 3 के साथ, तो संख्याएँ परस्पर प्रतिलोम नहीं होती हैं।

पारस्परिक संख्याओं की परिभाषा किसी भी संख्या के लिए मान्य है - प्राकृतिक, पूर्णांक, वास्तविक और जटिल।

किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें

आइए सामान्य मामले पर विचार करें। यदि मूल संख्या a के बराबर है, तो इसकी व्युत्क्रम संख्या को 1 a या a - 1 के रूप में लिखा जाएगा। दरअसल, a · 1 a = a · a - 1 = 1 ।

प्राकृत संख्याओं और उभयनिष्ठ भिन्नों के लिए व्युत्क्रम ज्ञात करना काफी आसान है। कोई यह भी कह सकता है कि यह स्पष्ट है। एक अपरिमेय या सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात करने के मामले में, कई गणनाएँ करनी होंगी।

पारस्परिक खोजने के अभ्यास में सबसे आम मामलों पर विचार करें।

उभयनिष्ठ भिन्न का व्युत्क्रम

जाहिर है, उभयनिष्ठ भिन्न a b का व्युत्क्रम भिन्न b a है। तो, भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्न को पलटने की आवश्यकता है। यानी अंश और हर की अदला-बदली करें।

इस नियम के अनुसार आप किसी भी साधारण भिन्न का व्युत्क्रम लगभग तुरंत लिख सकते हैं। तो, भिन्न 28 57 के लिए, व्युत्क्रम भिन्न 57 28 होगा, और भिन्न के लिए 789 256 - संख्या 256 789 होगी।

एक प्राकृतिक संख्या का व्युत्क्रम

आप किसी भी प्राकृत संख्या का व्युत्क्रम उसी प्रकार ज्ञात कर सकते हैं जैसे भिन्न का व्युत्क्रम। यह एक प्राकृत संख्या a को साधारण भिन्न a 1 के रूप में निरूपित करने के लिए पर्याप्त है। तो इसका व्युत्क्रम 1 a होगा। प्राकृत संख्या 3 के लिए इसका व्युत्क्रम 1 3 है, संख्या 666 के लिए व्युत्क्रम 1 666 है, इत्यादि।

इकाई पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए, क्योंकि यह एकमात्र संख्या है, जिसका व्युत्क्रम स्वयं के बराबर है।

पारस्परिक संख्याओं का कोई अन्य युग्म नहीं है जहाँ दोनों घटक समान हों।

मिश्रित संख्या का व्युत्क्रम

मिश्रित संख्या a b c के रूप की होती है। इसका व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए, आपको मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के पक्ष में प्रस्तुत करना होगा, और परिणामी भिन्न के लिए व्युत्क्रम का चयन करना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए 7 2 5 का व्युत्क्रम ज्ञात करें। सबसे पहले, आइए 7 2 5 को एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5।

अनुचित भिन्न 37 5 के लिए व्युत्क्रम 5 37 है।

दशमलव का व्युत्क्रम

एक दशमलव अंश को एक सामान्य भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। किसी संख्या के दशमलव भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करना दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में निरूपित करने और उसके व्युत्क्रम को खोजने के लिए नीचे आता है।

उदाहरण के लिए, एक भिन्न 5, 128 है। आइए इसका व्युत्क्रम ज्ञात करें। सबसे पहले, हम दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलते हैं: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125। परिणामी भिन्न के लिए, व्युत्क्रम भिन्न 125641 होगा।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण। दशमलव का व्युत्क्रम ज्ञात करना

आवर्त दशमलव भिन्न 2 , (18) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

दशमलव को साधारण में बदलें:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 +। . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

अनुवाद के बाद, हम भिन्न 24 11 का व्युत्क्रम आसानी से लिख सकते हैं। यह संख्या निश्चित रूप से 11 24 होगी।

एक अनंत और गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंश के लिए, व्युत्क्रम को अंश में एक इकाई के साथ एक अंश के रूप में लिखा जाता है और अंश को हर में ही लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमित भिन्न 3 , 6025635789 के लिए। . . व्युत्क्रम 1 3 , 6025635789 होगा । . . .

इसी तरह, अपरिमेय संख्याओं के लिए गैर-आवधिक अनंत अंशों के लिए, व्युत्क्रम को भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, + 3 3 80 का व्युत्क्रम 80 π + 3 3 है, और 8 + e 2 + e का व्युत्क्रम 1 8 + e 2 + e है।

जड़ों के साथ पारस्परिक संख्या

यदि दो संख्याओं का रूप a और 1 a से भिन्न है, तो यह निर्धारित करना हमेशा आसान नहीं होता है कि संख्याएँ परस्पर प्रतिलोम हैं या नहीं। यह उन संख्याओं के लिए विशेष रूप से सच है जिनके अंकन में मूल चिह्न होता है, क्योंकि आमतौर पर यह हर में जड़ से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत होता है।

आइए अभ्यास की ओर मुड़ें।

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: क्या संख्याएँ 4 - 2 3 और 1 + 3 2 परस्पर हैं।

यह पता लगाने के लिए कि क्या संख्याएँ परस्पर प्रतिलोम हैं, हम उनके गुणनफल की गणना करते हैं।

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

गुणनफल एक के बराबर है, जिसका अर्थ है कि संख्याएँ परस्पर प्रतिलोम हैं।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण। जड़ों के साथ पारस्परिक संख्या

5 3 + 1 का व्युत्क्रम लिखिए।

आप तुरंत लिख सकते हैं कि व्युत्क्रम भिन्न 1 5 3 + 1 के बराबर है। हालाँकि, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, हर में जड़ से छुटकारा पाने की प्रथा है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को 25 3 - 5 3 + 1 से गुणा करें। हम पाते हैं:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

शक्तियों के साथ पारस्परिक संख्या

मान लीजिए कि संख्या a की किसी घात के बराबर कोई संख्या है। दूसरे शब्दों में, संख्या a को घात n तक बढ़ा दिया गया है। n का व्युत्क्रम a - n है। चलो पता करते हैं। दरअसल: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 ।

उदाहरण। शक्तियों के साथ पारस्परिक संख्या

5 - 3 + 4 का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त के अनुसार वांछित संख्या 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4 . है

लघुगणक के साथ पारस्परिक

संख्या a के आधार b के लघुगणक के लिए, व्युत्क्रम संख्या b के आधार a के लघुगणक के बराबर संख्या है।

लॉग ए बी और लॉग बी ए परस्पर पारस्परिक संख्याएं हैं।

चलो पता करते हैं। यह लघुगणक के गुणों का अनुसरण करता है जो लॉग a b = 1 log b a , जिसका अर्थ है log a b · log b a ।

उदाहरण। लघुगणक के साथ पारस्परिक

लघुगणक 3 5 - 2 3 का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

3 से आधार 3 5 - 2 के लघुगणक का व्युत्क्रम 3 5 - 2 से आधार 3 का लघुगणक है।

एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, पारस्परिक संख्याओं की परिभाषा न केवल वास्तविक संख्याओं के लिए, बल्कि जटिल संख्याओं के लिए भी मान्य है।

सामान्यतः सम्मिश्र संख्याओं को बीजगणितीय रूप z = x + i y में दर्शाया जाता है। इसका व्युत्क्रम भिन्न होगा

1 एक्स + आई वाई। सुविधा के लिए, अंश और हर को x - i y से गुणा करके इस व्यंजक को छोटा किया जा सकता है।

उदाहरण। एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम

मान लीजिए कि एक सम्मिश्र संख्या z = 4 + i है। आइए इसका व्युत्क्रम ज्ञात करें।

z = 4 + i का व्युत्क्रम 1 4 + i के बराबर होगा।

अंश और हर को 4 - i से गुणा करें और प्राप्त करें:

1 4 + आई \u003d 4 - आई 4 + आई 4 - आई \u003d 4 - आई 4 2 - आई 2 \u003d 4 - आई 16 - (- 1) \u003d 4 - आई 17।

इसके बीजीय रूप के अलावा, एक जटिल संख्या को त्रिकोणमितीय या घातीय रूप में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

z = r cos + i sin

जेड = आर ई मैं

तदनुसार, पारस्परिक संख्या इस तरह दिखेगी:

1 आर कॉस (- φ) + मैं पाप (- φ)

आइए इसे सुनिश्चित करें:

r cos + i sin φ 1 r cos (- ) + i sin (- ) = rr cos 2 + sin 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = re 0 = 1

त्रिकोणमितीय और घातीय रूप में जटिल संख्याओं के प्रतिनिधित्व वाले उदाहरणों पर विचार करें।

2 3 cos 6 + i · sin π 6 का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

यह मानते हुए कि r = 2 3 , = π 6 , हम व्युत्क्रम संख्या लिखते हैं

3 2 कॉस - 6 + मैं पाप - π 6

उदाहरण। एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

2 · e i · - 2 5 का विलोम क्या होता है।

उत्तर: 1 2 ई मैं 2 5

पारस्परिक संख्याओं का योग। असमानता

दो पारस्परिक संख्याओं के योग पर एक प्रमेय है।

परस्पर पारस्परिक संख्याओं का योग

दो सकारात्मक और पारस्परिक संख्याओं का योग हमेशा 2 से अधिक या उसके बराबर होता है।

हम प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए, अंकगणितीय माध्य ज्यामितीय माध्य से अधिक या उसके बराबर होता है। इसे असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:

ए + बी 2 ए बी

यदि हम संख्या b के बजाय a का व्युत्क्रम लेते हैं, तो असमानता का रूप ले लेती है:

ए + 1 ए 2 ≥ ए ​​1 ए ए + 1 ए ≥ 2

क्यू.ई.डी.

आइए इस संपत्ति को दर्शाने वाला एक व्यावहारिक उदाहरण दें।

उदाहरण। पारस्परिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए

आइए संख्याओं 2 3 और उसके पारस्परिक योग की गणना करें।

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

जैसा कि प्रमेय कहता है, परिणामी संख्या दो से अधिक है।

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रिवर्स - या पारस्परिक रूप से पारस्परिक - संख्याएं संख्याओं की एक जोड़ी होती हैं, जब गुणा किया जाता है, तो 1. सबसे सामान्य रूप में, पारस्परिक संख्याएं होती हैं। व्युत्क्रम संख्याओं का एक विशिष्ट विशेष मामला एक जोड़ी है। व्युत्क्रम, कहते हैं, संख्याएँ हैं; .

पारस्परिक कैसे खोजें

नियम: आपको दी गई संख्या से 1 (एक) को विभाजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 1।

संख्या 8 दी गई है। इसका व्युत्क्रम 1:8 है या (दूसरा विकल्प बेहतर है, क्योंकि ऐसा अंकन गणितीय रूप से अधिक सही है)।

जब एक साधारण भिन्न के व्युत्क्रम की तलाश की जाती है, तो इसे 1 से विभाजित करना बहुत सुविधाजनक नहीं होता है, क्योंकि रिकॉर्डिंग बोझिल हो जाती है। इस मामले में, अन्यथा करना बहुत आसान है: अंश को बस पलट दिया जाता है, अंश और हर की अदला-बदली की जाती है। यदि एक सही भिन्न दिया जाता है, तो उसे पलटने के बाद, एक अनुचित भिन्न प्राप्त होता है, अर्थात्। जिसमें से एक पूरा हिस्सा निकाला जा सकता है। ऐसा करने या न करने के लिए, आपको मामला-दर-मामला आधार पर निर्णय लेने की आवश्यकता है। इसलिए, यदि आपको परिणामी उल्टे अंश (उदाहरण के लिए, गुणा या भाग) के साथ कुछ क्रियाएं करनी हैं, तो आपको पूरे भाग का चयन नहीं करना चाहिए। यदि परिणामी भिन्न अंतिम परिणाम है, तो शायद पूर्णांक भाग का चयन वांछनीय है।

उदाहरण # 2।

अंश दिया। इसके विपरीत:।

यदि आप किसी दशमलव भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करना चाहते हैं, तो आपको पहले नियम का उपयोग करना चाहिए (1 को किसी संख्या से विभाजित करना)। इस स्थिति में, आप 2 में से किसी एक तरीके से कार्य कर सकते हैं। पहला यह है कि केवल 1 को इस संख्या से एक कॉलम में विभाजित किया जाए। दूसरा है अंश में 1 से भिन्न बनाना और हर में एक दशमलव, और फिर अंश और हर को 10, 100 से गुणा करना, या दशमलव बिंदु से छुटकारा पाने के लिए 1 और जितने आवश्यक हो उतने शून्य से गुणा करना हर में। परिणाम एक साधारण अंश होगा, जो परिणाम है। यदि आवश्यक हो, तो आपको इसे छोटा करने, इसमें से एक पूर्णांक भाग निकालने या इसे दशमलव रूप में बदलने की आवश्यकता हो सकती है।

उदाहरण #3।

दी गई संख्या 0.82 है। इसका पारस्परिक है: . अब भिन्न को घटाते हैं और पूर्णांक भाग का चयन करते हैं: ।

कैसे जांचें कि दो नंबर पारस्परिक हैं

सत्यापन का सिद्धांत पारस्परिक की परिभाषा पर आधारित है। यही है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि संख्याएं एक-दूसरे के विपरीत हैं, आपको उन्हें गुणा करना होगा। यदि परिणाम एक है, तो संख्याएँ परस्पर प्रतिलोम हैं।

उदाहरण संख्या 4.

संख्या 0.125 और 8 दी गई है। क्या वे पारस्परिक हैं?

इंतिहान। 0.125 और 8 के गुणनफल को खोजना आवश्यक है। स्पष्टता के लिए, हम इन संख्याओं को साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करते हैं: (पहले अंश को 125 से कम करें)। निष्कर्ष: संख्याएँ 0.125 और 8 प्रतिलोम हैं।

पारस्परिक के गुण

संपत्ति #1

व्युत्क्रम 0 के अलावा किसी भी संख्या के लिए मौजूद है।

यह सीमा इस तथ्य के कारण है कि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और शून्य के पारस्परिक का निर्धारण करते समय, इसे बस हर में स्थानांतरित करना होगा, अर्थात। वास्तव में इसके द्वारा विभाजित करें।

संपत्ति #2

व्युत्क्रम संख्याओं के एक युग्म का योग कभी भी 2 से कम नहीं होता है।

गणितीय रूप से, इस संपत्ति को असमानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:।

संपत्ति #3

किसी संख्या को दो पारस्परिक संख्याओं से गुणा करना एक से गुणा करने के बराबर है। आइए इस गुण को गणितीय रूप से व्यक्त करें: .

उदाहरण संख्या 5.

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.4 0.125 8. चूँकि संख्याएँ 0.125 और 8 व्युत्क्रम हैं (उदाहरण #4 देखें), 3.4 को 0.125 से और फिर 8 से गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है। तो यहाँ उत्तर 3.4 है।