प्रोग्रामर के लिए गणित: संभाव्यता सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएं संभाव्यता सिद्धांत जो

"दुर्घटनाएं आकस्मिक नहीं हैं" ... ऐसा लगता है जैसे एक दार्शनिक ने कहा था, लेकिन वास्तव में यादृच्छिकता का अध्ययन करने के लिए गणित के महान विज्ञान का बहुत कुछ है। गणित में, संयोग सिद्धांत यादृच्छिकता से संबंधित है। कार्यों के सूत्र और उदाहरण, साथ ही इस विज्ञान की मुख्य परिभाषाएँ लेख में प्रस्तुत की जाएंगी।

संभाव्यता सिद्धांत क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत गणितीय विषयों में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है।

इसे थोड़ा स्पष्ट करने के लिए, आइए एक छोटा सा उदाहरण दें: यदि आप किसी सिक्के को ऊपर की ओर उछालते हैं, तो वह "सिर" या "पूंछ" गिर सकता है। जब तक सिक्का हवा में है, ये दोनों संभावनाएं संभव हैं। यानी संभावित परिणामों की संभावना 1:1 है। यदि आप 36 कार्डों के साथ एक डेक से बाहर निकालते हैं, तो संभाव्यता को 1:36 के रूप में दर्शाया जाएगा। ऐसा लगता है कि जांच और भविष्यवाणी करने के लिए कुछ भी नहीं है, खासकर गणितीय सूत्रों की मदद से। फिर भी, यदि आप एक निश्चित क्रिया को कई बार दोहराते हैं, तो आप एक निश्चित पैटर्न की पहचान कर सकते हैं और इसके आधार पर, अन्य स्थितियों में घटनाओं के परिणाम की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, शास्त्रीय अर्थ में संभाव्यता का सिद्धांत संख्यात्मक मान में संभावित घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है।

इतिहास के पन्नों से

संभाव्यता का सिद्धांत, सूत्र और पहले कार्यों के उदाहरण सुदूर मध्य युग में दिखाई दिए, जब पहली बार ताश के खेल के परिणाम की भविष्यवाणी करने का प्रयास किया गया था।

प्रारंभ में, संभाव्यता के सिद्धांत का गणित से कोई लेना-देना नहीं था। यह किसी घटना के अनुभवजन्य तथ्यों या गुणों पर आधारित था जिसे व्यवहार में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता था। इस क्षेत्र में गणितीय अनुशासन के रूप में पहला काम 17 वीं शताब्दी में सामने आया। संस्थापक ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट थे। लंबे समय तक उन्होंने जुए का अध्ययन किया और कुछ निश्चित पैटर्न देखे, जिनके बारे में उन्होंने जनता को बताने का फैसला किया।

उसी तकनीक का आविष्कार क्रिश्चियन ह्यूजेंस ने किया था, हालांकि वह पास्कल और फ़र्मेट के शोध के परिणामों से परिचित नहीं थे। "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा, सूत्र और उदाहरण, जिन्हें अनुशासन के इतिहास में पहला माना जाता है, उनके द्वारा पेश किए गए थे।

जैकब बर्नौली, लाप्लास और पॉइसन के प्रमेय के कार्य भी महत्वपूर्ण हैं। उन्होंने संभाव्यता के सिद्धांत को गणितीय अनुशासन की तरह बना दिया। संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और बुनियादी कार्यों के उदाहरणों ने कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों के लिए अपना वर्तमान स्वरूप प्राप्त किया। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, संभाव्यता का सिद्धांत गणितीय शाखाओं में से एक बन गया है।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। घटनाक्रम

इस अनुशासन की मुख्य अवधारणा "घटना" है। घटनाएँ तीन प्रकार की होती हैं:

• विश्वसनीय।जो कुछ भी होगा (सिक्का गिर जाएगा)।
• असंभव।घटनाएँ जो किसी भी स्थिति में नहीं होंगी (सिक्का हवा में लटका रहेगा)।
• यादृच्छिक रूप से।जो होगा या नहीं होगा। वे विभिन्न कारकों से प्रभावित हो सकते हैं, जिनकी भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल है। यदि हम एक सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो यादृच्छिक कारक जो परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं: सिक्के की भौतिक विशेषताएं, इसका आकार, प्रारंभिक स्थिति, फेंकने की शक्ति आदि।

उदाहरणों में सभी घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों में नामित किया गया है, पी के अपवाद के साथ, जिसकी एक अलग भूमिका है। उदाहरण के लिए:

• ए = "छात्र व्याख्यान में आए।"
• Ā = "छात्र व्याख्यान में नहीं आए।"

व्यावहारिक अभ्यासों में घटनाओं को शब्दों में लिखने की प्रथा है।

घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक अवसर की समानता है। यानी, यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो शुरुआती गिरावट के सभी प्रकार तब तक संभव हैं जब तक कि वह गिर न जाए। लेकिन घटनाएं भी समान रूप से संभव नहीं हैं। यह तब होता है जब कोई विशेष रूप से परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, "चिह्नित" ताश या पासा जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थानांतरित हो जाता है।

घटनाएँ संगत और असंगत भी हैं। संगत घटनाएँ एक दूसरे को घटित होने से बाहर नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए:

• ए = "एक छात्र व्याख्यान में आया।"
• बी = "छात्र व्याख्यान में आया।"

ये घटनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करती है। असंगत घटनाएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को बाहर करती है। यदि हम एक ही सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो "पूंछ" गिरने से "सिर" एक ही प्रयोग में प्रकट होना असंभव हो जाता है।

घटनाओं पर कार्रवाई

घटनाओं को गुणा और जोड़ा जा सकता है, क्रमशः, तार्किक संयोजक "AND" और "OR" को अनुशासन में पेश किया जाता है।

राशि इस तथ्य से निर्धारित होती है कि या तो घटना ए, या बी, या दो एक ही समय में हो सकती हैं। मामले में जब वे असंगत हैं, तो अंतिम विकल्प असंभव है, या तो ए या बी गिर जाएगा।

घटनाओं का गुणन एक ही समय में ए और बी की उपस्थिति में होता है।

अब आप मूल बातें, संभाव्यता सिद्धांत और सूत्रों को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए कुछ उदाहरण दे सकते हैं। आगे समस्या समाधान के उदाहरण।

अभ्यास 1: फर्म तीन प्रकार के कार्यों के लिए ठेके की प्रतियोगिता में भाग ले रही है। संभावित घटनाएं जो हो सकती हैं:

• ए = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त होगा।"
• ए 1 = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"
• बी = "फर्म को दूसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• बी 1 = "फर्म को दूसरा अनुबंध नहीं मिलेगा"
• सी = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• सी 1 = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

आइए घटनाओं पर क्रियाओं का उपयोग करके निम्नलिखित स्थितियों को व्यक्त करने का प्रयास करें:

• K = "फर्म को सभी अनुबंध प्राप्त होंगे।"

गणितीय रूप में, समीकरण इस तरह दिखेगा: K = ABC।

• एम = "फर्म को एक भी अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

एम = ए 1 बी 1 सी 1.

कार्य को जटिल बनाना: एच = "फर्म को एक अनुबंध प्राप्त होगा।" चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि फर्म को कौन सा अनुबंध प्राप्त होगा (पहला, दूसरा या तीसरा), संभावित घटनाओं की पूरी श्रृंखला को रिकॉर्ड करना आवश्यक है:

= А 1 ВС 1 AB 1 1 υ А 1 В 1 .

ए 1 ईसा पूर्व 1 घटनाओं की एक श्रृंखला है जहां फर्म को पहला और तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होता है, लेकिन दूसरा प्राप्त होता है। अन्य संभावित घटनाओं को इसी विधि द्वारा दर्ज किया गया था। अनुशासन में प्रतीक υ "OR" लिंक को दर्शाता है। यदि हम दिए गए उदाहरण का मानवीय भाषा में अनुवाद करते हैं, तो फर्म को या तो तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा, या दूसरा, या पहला। इसी तरह, आप "संभाव्यता के सिद्धांत" विषय में अन्य शर्तों को लिख सकते हैं। ऊपर प्रस्तुत समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण आपको इसे स्वयं करने में मदद करेंगे।

दरअसल, संभावना

शायद, इस गणितीय अनुशासन में, किसी घटना की संभावना केंद्रीय अवधारणा है। संभाव्यता की 3 परिभाषाएँ हैं:

• क्लासिक;
• सांख्यिकीय;
• ज्यामितीय।

संभावनाओं के अध्ययन में प्रत्येक का अपना स्थान है। संभाव्यता सिद्धांत, सूत्र और उदाहरण (ग्रेड 9) मुख्य रूप से शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तरह लगता है:

• स्थिति A की प्रायिकता उन परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है जो इसके घटित होने के पक्ष में हैं और सभी संभावित परिणामों की संख्या से।

सूत्र इस तरह दिखता है: पी (ए) = एम / एन।

ए वास्तव में एक घटना है। यदि ए के विपरीत कोई मामला है, तो इसे Ā या ए 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

मी संभावित अनुकूल मामलों की संख्या है।

n - सभी घटनाएँ जो हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, A = "हार्ट सूट का एक कार्ड बनाएं।" एक मानक डेक में 36 कार्ड होते हैं, उनमें से 9 दिल होते हैं। तदनुसार, समस्या को हल करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी (ए) = 9/36 = 0.25।

परिणामस्वरूप, डेक से हार्ट-सूट कार्ड निकाले जाने की प्रायिकता 0.25 है।

उच्च गणित की ओर

अब यह थोड़ा ज्ञात हो गया है कि प्रायिकता का सिद्धांत क्या है, स्कूल के पाठ्यक्रम में आने वाले कार्यों को हल करने के सूत्र और उदाहरण। हालांकि, उच्च गणित में संभाव्यता सिद्धांत भी पाया जाता है, जो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है। अक्सर, वे सिद्धांत और जटिल सूत्रों की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाओं के साथ काम करते हैं।

संभाव्यता का सिद्धांत बहुत दिलचस्प है। संभाव्यता की सांख्यिकीय (या आवृत्ति) परिभाषा के साथ - छोटे से सूत्र और उदाहरण (उच्च गणित) सीखना शुरू करना बेहतर है।

सांख्यिकीय दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण का खंडन नहीं करता है, लेकिन इसका थोड़ा विस्तार करता है। यदि पहले मामले में यह निर्धारित करना आवश्यक था कि घटना किस डिग्री की संभावना के साथ होगी, तो इस पद्धति में यह इंगित करना आवश्यक है कि यह कितनी बार घटित होगा। यहां हम एक नई अवधारणा "सापेक्ष आवृत्ति" पेश करते हैं, जिसे W n (A) द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र क्लासिक से अलग नहीं है:

यदि शास्त्रीय सूत्र की गणना पूर्वानुमान के लिए की जाती है, तो सांख्यिकीय एक - प्रयोग के परिणामों के अनुसार। उदाहरण के लिए, एक छोटा सा असाइनमेंट लें।

तकनीकी नियंत्रण विभाग गुणवत्ता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। 100 उत्पादों में से 3 खराब गुणवत्ता के पाए गए। आप किसी गुणवत्तापूर्ण उत्पाद की बारंबारता की प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं?

ए = "एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की उपस्थिति।"

डब्ल्यू एन (ए) = 97/100 = 0.97

इस प्रकार, एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति 0.97 है। आपको 97 कहां से मिले? जिन 100 वस्तुओं की जांच की गई, उनमें से 3 खराब गुणवत्ता की पाई गईं। हम १०० में से ३ घटाते हैं, हमें ९७ मिलते हैं, यह गुणवत्ता वाले सामानों की मात्रा है।

कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में थोड़ा

संभाव्यता सिद्धांत की एक अन्य विधि को कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है। इसका मूल सिद्धांत यह है कि यदि ए का एक निश्चित विकल्प एम अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है, और बी-एन का चुनाव अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, तो ए और बी का चुनाव गुणा द्वारा किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, शहर A से शहर B तक जाने वाली 5 सड़कें हैं। शहर B से शहर C तक 4 रास्ते हैं। आप शहर A से शहर C तक कितने रास्तों से जा सकते हैं?

यह आसान है: 5x4 = 20, यानी, आप बिंदु ए से बिंदु सी तक बीस अलग-अलग तरीकों से प्राप्त कर सकते हैं।

आइए कार्य को जटिल करें। सॉलिटेयर में ताश खेलने के कितने तरीके हैं? डेक में 36 कार्ड हैं - यह शुरुआती बिंदु है। तरीकों की संख्या जानने के लिए, आपको शुरुआती बिंदु से एक कार्ड को "घटाना" और गुणा करना होगा।

यानी 36x35x34x33x32 ... x2x1 = परिणाम कैलकुलेटर स्क्रीन पर फिट नहीं होता है, इसलिए आप इसे केवल 36 के रूप में नामित कर सकते हैं। संकेत "!" संख्या के आगे इंगित करता है कि संख्याओं की पूरी श्रृंखला आपस में गुणा की जाती है।

कॉम्बिनेटरिक्स में, क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट और संयोजन जैसी अवधारणाएँ हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना सूत्र है।

एक समुच्चय में तत्वों का एक क्रमित समुच्चय व्यवस्था कहलाता है। प्लेसमेंट दोहराए जा सकते हैं, यानी एक तत्व का कई बार उपयोग किया जा सकता है। और कोई दोहराव नहीं, जब तत्वों को दोहराया नहीं जाता है। n सभी तत्व हैं, m ऐसे तत्व हैं जो प्लेसमेंट में भाग लेते हैं। बिना दोहराव के प्लेसमेंट का फॉर्मूला होगा:

ए एन एम = एन! / (एन-एम)!

n तत्वों के संयोजन जो केवल प्लेसमेंट के क्रम में भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। गणित में, यह है: P n = n!

n तत्वों का m द्वारा संयोजन ऐसे यौगिक हैं जिनमें यह महत्वपूर्ण है कि वे कौन से तत्व थे और उनकी कुल संख्या क्या थी। सूत्र इस तरह दिखेगा:

ए एन एम = एन! / एम! (एन-एम)!

बर्नौली का सूत्र

संभाव्यता के सिद्धांत के साथ-साथ हर विषय में अपने क्षेत्र में उत्कृष्ट शोधकर्ताओं के काम हैं जिन्होंने इसे एक नए स्तर पर ले लिया है। इन कार्यों में से एक बर्नौली सूत्र है, जो आपको स्वतंत्र परिस्थितियों में होने वाली एक निश्चित घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है। इससे पता चलता है कि किसी प्रयोग में A का दिखना पहले या बाद के परीक्षणों में उसी घटना के प्रकट होने या न होने पर निर्भर नहीं करता है।

बर्नौली का समीकरण:

पी एन (एम) = सी एन एम × पी एम × क्यू एन-एम।

घटना (ए) की घटना की संभावना (पी) प्रत्येक परीक्षण के लिए अपरिवर्तित है। n प्रयोगों की संख्या में स्थिति ठीक m बार घटित होने की प्रायिकता की गणना ऊपर प्रस्तुत सूत्र द्वारा की जाएगी। तदनुसार, प्रश्न उठता है कि संख्या q का पता कैसे लगाया जाए।

यदि घटना A क्रमशः p संख्या में घटित होती है, तो यह घटित नहीं हो सकती है। एक वह संख्या है जिसका उपयोग किसी अनुशासन में किसी स्थिति के सभी परिणामों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इसलिए, q एक संख्या है जो घटना के न होने की संभावना को दर्शाती है।

अब आप बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) को जानते हैं। हम आगे समस्याओं (प्रथम स्तर) को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 2:स्टोर विज़िटर 0.2 की संभावना के साथ खरीदारी करेगा। 6 आगंतुकों ने स्वतंत्र रूप से स्टोर में प्रवेश किया। क्या संभावना है कि कोई आगंतुक खरीदारी करेगा?

समाधान: चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि कितने आगंतुकों को खरीदारी करनी चाहिए, एक या सभी छह, बर्नौली सूत्र का उपयोग करके सभी संभावित संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है।

A = "आगंतुक खरीदारी करेगा।"

इस स्थिति में: p = ०.२ (जैसा कि कार्य में दर्शाया गया है)। तदनुसार, क्यू = 1-0.2 = 0.8।

n = 6 (चूंकि स्टोर में 6 ग्राहक हैं)। संख्या m 0 से बदल जाएगी (कोई भी ग्राहक खरीदारी नहीं करेगा) से 6 (स्टोर पर आने वाले सभी आगंतुक कुछ खरीदेंगे)। परिणामस्वरूप, हमें समाधान मिलता है:

पी ६ (०) = सी ० ६ × पी ० × क्यू ६ = क्यू ६ = (०.८) ६ = ०.२६२१।

कोई भी खरीदार 0.2621 की संभावना के साथ खरीदारी नहीं करेगा।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) का और कैसे उपयोग किया जाता है? समस्या समाधान के उदाहरण (द्वितीय स्तर) नीचे।

उपरोक्त उदाहरण के बाद, प्रश्न उठता है कि C और p कहाँ गए हैं। पी के संबंध में, 0 की शक्ति की संख्या एक के बराबर होगी। सी के लिए, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

सी एन एम = एन! / एम! (एनएम)!

चूँकि पहले उदाहरण में क्रमशः m = 0, C = 1 है, जो सिद्धांत रूप में परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। नए फॉर्मूले का उपयोग करते हुए, आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि दो आगंतुकों द्वारा सामान खरीदने की क्या संभावना है।

पी 6 (2) = सी 6 2 × पी 2 × क्यू 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( ०.८) ४ = १५ × ०.०४ × ०.४०९६ = ०.२४६।

संभाव्यता का सिद्धांत इतना जटिल नहीं है। बर्नौली का सूत्र, जिसके उदाहरण ऊपर प्रस्तुत हैं, इसका प्रत्यक्ष प्रमाण है।

पॉइसन का सूत्र

पॉइसन के समीकरण का उपयोग असंभावित यादृच्छिक स्थितियों की गणना के लिए किया जाता है।

मूल सूत्र:

पी एन (एम) = λ एम / एम! × ई (-λ)।

इसके अलावा, = n x p. यहाँ एक ऐसा सरल पॉइसन सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) है। हम आगे समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 3: कारखाने ने १००,००० टुकड़ों की मात्रा में भागों का उत्पादन किया। दोषपूर्ण भाग उपस्थिति = 0.0001। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक बैच में 5 खराब पुर्जे होंगे?

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवाह एक अप्रत्याशित घटना है, और इसलिए गणना के लिए पॉइसन के सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के उदाहरण अनुशासन के अन्य कार्यों से अलग नहीं हैं, हम दिए गए सूत्र में आवश्यक डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

ए = "यादृच्छिक रूप से चयनित हिस्सा खराब हो जाएगा।"

पी = 0.0001 (कार्य की स्थिति के अनुसार)।

n = 100000 (भागों की संख्या)।

मी = 5 (दोषपूर्ण भाग)। हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी 100000 (5) = 10 5/5! एक्स ई -10 = 0.0375।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) की तरह, समाधान के उदाहरण जिनके साथ ऊपर लिखा गया है, पॉइसन के समीकरण में एक अज्ञात ई है। वास्तव में, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

ई -λ = लिम एन -> (1-λ / एन) एन।

हालांकि, ऐसे विशेष टेबल हैं जिनमें ई के लगभग सभी मान होते हैं।

मोइवरे-लाप्लास प्रमेय

यदि बर्नौली योजना में परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, और सभी योजनाओं में घटना ए की घटना की संभावना समान है, तो घटना ए की घटना की संभावना परीक्षणों की एक श्रृंखला में एक निश्चित संख्या में पाई जा सकती है लाप्लास सूत्र:

एन (एम) = 1 / npq x ϕ (एक्स एम)।

एक्स एम = एम-एनपी / एनपीक्यू।

लैपलेस फॉर्मूला (प्रायिकता सिद्धांत) को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, नीचे आपकी मदद करने के लिए समस्याओं के उदाहरण हैं।

सबसे पहले, हम एक्स एम पाते हैं, डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं (वे सभी ऊपर इंगित किए गए हैं) सूत्र में और 0.025 प्राप्त करते हैं। तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम संख्या ϕ (0.025) पाते हैं, जिसका मान 0.3988 है। अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:

आर ८०० (२६७) = १ / (८०० x १/३ x २/३) x ०.३९८८ = ३/४० x ०.३९८८ = ०.०३।

तो संभावना है कि फ्लायर ठीक 267 बार फायर करेगा 0.03 है।

बेयस फॉर्मूला

बेयस का सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत), कार्यों को हल करने के उदाहरण जिनकी मदद से नीचे दिया जाएगा, एक समीकरण है जो किसी घटना की संभावना का वर्णन करता है, जो उन परिस्थितियों के आधार पर होता है जो इससे जुड़ी हो सकती हैं। मूल सूत्र इस तरह दिखता है:

पी (ए | बी) = पी (बी | ए) एक्स पी (ए) / पी (बी)।

A और B निश्चित घटनाएँ हैं।

पी (ए | बी) - सशर्त संभावना, यानी घटना ए हो सकती है बशर्ते कि घटना बी सच हो।

पी (बी | ए) - घटना बी की सशर्त संभावना।

तो, संक्षिप्त पाठ्यक्रम "संभाव्यता का सिद्धांत" का अंतिम भाग बेयस सूत्र है, जिसके साथ समस्याओं के समाधान के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

असाइनमेंट 5: हम तीन कंपनियों के फोन गोदाम में लाए। वहीं, पहले प्लांट में बनने वाले फोन का हिस्सा 25%, दूसरे पर - 60%, तीसरे में - 15% है। यह भी ज्ञात है कि पहले कारखाने में दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत 2% है, दूसरे में - 4%, और तीसरे में - 1%। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि यादृच्छिक रूप से चयनित फोन खराब हो जाएगा।

ए = "बेतरतीब ढंग से उठाया गया फोन।"

बी 1 - वह फोन जो पहली फैक्ट्री द्वारा बनाया गया था। तदनुसार, इनपुट बी 2 और बी 3 (दूसरे और तीसरे कारखानों के लिए) होंगे।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

पी (बी १) = २५% / १००% = ०.२५; पी (बी 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - इस प्रकार हमने प्रत्येक विकल्प की प्रायिकता ज्ञात की।

अब आपको वांछित घटना की सशर्त संभावनाएं खोजने की जरूरत है, यानी फर्मों में दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना:

पी (ए / बी १) = 2% / १००% = ०.०२;

पी (ए / बी 2) = ०.०४;

पी (ए / बी 3) = 0.01।

अब हम डेटा को बेयस फॉर्मूला में प्लग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी (ए) = ०.२५ x ०.२ + ०.६ x ०.४ + ०.१५ x ०.०१ = ०.०३०५।

लेख संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण प्रस्तुत करता है, लेकिन यह केवल एक विशाल अनुशासन के हिमशैल का सिरा है। और जो कुछ लिखा जा चुका है, उसके बाद यह प्रश्न पूछना तर्कसंगत होगा कि क्या जीवन में संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता है। एक सामान्य व्यक्ति के लिए इसका उत्तर देना कठिन है, इसके बारे में उसी से पूछना बेहतर है जिसने इसकी मदद से एक से अधिक बार जैकपॉट मारा हो।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

घटनाओं के प्रकार और उनके घटित होने की संभावना के बारे में संभाव्यता सिद्धांत

संभाव्यता सिद्धांत घटनाओं के प्रकार और उनके घटित होने की संभावनाओं का अध्ययन करता है। संभाव्यता सिद्धांत का उद्भव 17 वीं शताब्दी के मध्य में हुआ, जब गणितज्ञों को जुआरियों द्वारा उत्पन्न समस्याओं में दिलचस्पी हो गई और उन्होंने जीत की उपस्थिति जैसी घटनाओं का अध्ययन करना शुरू कर दिया। इन समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता और गणितीय अपेक्षा जैसी अवधारणाएँ क्रिस्टलीकृत हो गईं। उस समय के वैज्ञानिक - ह्यूजेंस (1629-1695), पास्कल (1623-1662), फ़र्मेट (1601-1665) और बर्नौली (1654-1705) आश्वस्त थे कि बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के आधार पर स्पष्ट पैटर्न उत्पन्न हो सकते हैं। साथ ही, प्राथमिक अंकगणितीय और संयोजनीय संचालन अनुसंधान के लिए पर्याप्त थे।

तो, संभाव्यता का सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं और यादृच्छिक चर को नियंत्रित करने वाले विभिन्न पैटर्न की व्याख्या और अन्वेषण करता है। आयोजन क्या कोई तथ्य है जिसे अवलोकन या अनुभव के परिणामस्वरूप कहा जा सकता है। अवलोकन या अनुभव कुछ शर्तों की प्राप्ति है जिसमें कोई घटना हो सकती है।

किसी घटना के घटित होने की संभावना को निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानना चाहिए

वे सभी घटनाएँ जिन्हें लोग स्वयं देखते हैं या बनाते हैं, उनमें विभाजित हैं:

• विश्वसनीय घटनाएँ;
• असंभव घटनाएं;
• यादृच्छिक घटनाएँ।

विश्वसनीय घटनाएं हमेशा तब होता है जब परिस्थितियों का एक निश्चित सेट बनाया गया हो। उदाहरण के लिए, यदि हम काम करते हैं, तो हमें इसके लिए पुरस्कार मिलता है, यदि हम परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं और प्रतियोगिता में उत्तीर्ण होते हैं, तो हम छात्रों की संख्या में शामिल होने पर भरोसा कर सकते हैं। भौतिकी और रसायन विज्ञान में विश्वसनीय घटनाओं को देखा जा सकता है। अर्थशास्त्र में, विश्वसनीय घटनाएँ मौजूदा सामाजिक संरचना और कानून से जुड़ी होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम जमा के लिए बैंक में पैसा डालते हैं और एक निश्चित अवधि के भीतर इसे प्राप्त करने की इच्छा व्यक्त करते हैं, तो हमें धन प्राप्त होगा। इसे एक विश्वसनीय घटना के रूप में गिना जा सकता है।

असंभव घटनाएं निश्चित रूप से ऐसा नहीं होता है यदि शर्तों का एक निश्चित सेट बनाया गया है। उदाहरण के लिए, पानी जमता नहीं है, यदि तापमान प्लस 15 डिग्री सेल्सियस है, तो बिजली के बिना उत्पादन नहीं किया जाता है।

यादृच्छिक घटनाएं जब शर्तों का एक निश्चित सेट महसूस किया जाता है, तो वे हो भी सकते हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, यदि हम एक बार सिक्का उछालते हैं, तो प्रतीक गिर सकता है या नहीं, आप लॉटरी टिकट से जीत सकते हैं, या आप जीत नहीं सकते, उत्पादित उत्पाद अच्छा हो सकता है, या यह दोषपूर्ण हो सकता है। एक दोषपूर्ण वस्तु की उपस्थिति एक यादृच्छिक घटना है, जो अच्छी वस्तुओं के उत्पादन से अधिक दुर्लभ है।

यादृच्छिक घटनाओं की घटना की अपेक्षित आवृत्ति संभाव्यता की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। यादृच्छिक घटनाओं की घटना और गैर-घटना के नियमों की जांच संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा की जाती है।

यदि आवश्यक शर्तों का सेट केवल एक बार लागू किया जाता है, तो हमें यादृच्छिक घटना के बारे में अपर्याप्त जानकारी प्राप्त होती है, क्योंकि यह हो भी सकती है और नहीं भी। यदि शर्तों का एक सेट कई बार लागू किया जाता है, तो कुछ नियमितताएं दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, यह जानना कभी संभव नहीं है कि अगले ग्राहक को स्टोर में कौन सी कॉफी मशीन की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि लंबे समय तक सबसे अधिक मांग वाली कॉफी मशीनों के ब्रांड ज्ञात हों, तो इस डेटा के आधार पर यह संभव है। मांग को पूरा करने के लिए उत्पादन या आपूर्ति को व्यवस्थित करना।

बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं को नियंत्रित करने वाले कानूनों का ज्ञान यह भविष्यवाणी करना संभव बनाता है कि ये घटनाएं कब होंगी। उदाहरण के लिए, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सिक्का उछालने का परिणाम पहले से नहीं देखा जा सकता है, लेकिन यदि सिक्का कई बार फेंका जाता है, तो प्रतीक का पूर्वाभास किया जा सकता है। त्रुटि छोटी हो सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत विधियों का व्यापक रूप से प्राकृतिक विज्ञान, सैद्धांतिक भौतिकी, भूगणित, खगोल विज्ञान, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, त्रुटि अवलोकन सिद्धांत और कई अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक विज्ञान की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत का व्यापक रूप से उत्पादन योजना और संगठन, उत्पाद गुणवत्ता विश्लेषण, प्रक्रिया विश्लेषण, बीमा, जनसंख्या सांख्यिकी, जीव विज्ञान, बैलिस्टिक और अन्य उद्योगों में उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला ए, बी, सी, आदि के बड़े अक्षरों में दर्शाया जाता है।

यादृच्छिक घटनाएं हो सकती हैं:

• असंगत;
• संयुक्त।

घटनाएँ A, B, C... कहलाती हैं असंगत , यदि एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक घटना हो सकती है, लेकिन दो या अधिक घटनाओं का होना असंभव है।

यदि एक यादृच्छिक घटना की घटना दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है, तो ऐसी घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त ... उदाहरण के लिए, यदि अगले भाग को कन्वेयर बेल्ट से हटा दिया जाता है और ईवेंट A का अर्थ है "भाग मानक को पूरा करता है", और ईवेंट B का अर्थ है "भाग मानक को पूरा नहीं करता है", तो A और B असंगत घटनाएं हैं। यदि ईवेंट C का अर्थ "ग्रेड II भाग लिया गया" है, तो यह ईवेंट ईवेंट A के साथ संयुक्त है, लेकिन ईवेंट B के साथ असंगत है।

यदि प्रत्येक अवलोकन (परीक्षण) में असंगत यादृच्छिक घटनाओं में से एक और केवल एक ही घटित होना चाहिए, तो इन घटनाओं का गठन होता है घटनाओं का पूरा सेट (सिस्टम) .

एक विश्वसनीय घटना घटनाओं के पूरे सेट से कम से कम एक घटना की घटना है।

यदि घटनाएँ जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, जोड़ीवार असंगत , तो अवलोकन के परिणामस्वरूप, इनमें से केवल एक घटना हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक छात्र को परीक्षण की दो समस्याओं को हल करना चाहिए। निम्नलिखित में से एक और केवल एक निश्चित रूप से होगा:

• पहला कार्य हल हो जाएगा और दूसरा कार्य हल नहीं होगा;
• दूसरा कार्य हल हो जाएगा और पहला कार्य हल नहीं होगा;
• दोनों कार्यों को हल किया जाएगा;
• कोई भी कार्य हल नहीं होगा।

ये घटनाएँ बनती हैं असंगत घटनाओं का पूरा सेट .

यदि घटनाओं के कुल सेट में केवल दो असंगत घटनाएं होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है परस्पर विपरीत या विकल्प आयोजन।

घटना के विपरीत घटना को नामित किया गया है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के के एक बार उछालने की स्थिति में, अंकित मूल्य () या हथियारों का कोट () दिखाई दे सकता है।

घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभव यदि उनमें से किसी के भी वस्तुनिष्ठ लाभ नहीं हैं। इस तरह की घटनाएं भी घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं। इसका मतलब है कि अवलोकन या परीक्षण के परिणामस्वरूप, समान रूप से संभव घटनाओं में से कम से कम एक निश्चित रूप से घटित होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, घटनाओं का एक पूरा समूह एक सिक्के के एक उछाल के साथ संप्रदाय और हथियारों के कोट के नुकसान से बनता है, पाठ के एक मुद्रित पृष्ठ पर 0, 1, 2, 3 और 3 से अधिक त्रुटियों की उपस्थिति।

शास्त्रीय और सांख्यिकीय संभावनाएं। संभाव्यता सूत्र: शास्त्रीय और सांख्यिकीय

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा।एक अवसर या अनुकूल मामला एक ऐसा मामला है, जब किसी घटना की परिस्थितियों का एक निश्चित सेट महसूस किया जाता है एहोना। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में अनुकूल मामलों या अवसरों की संख्या की सीधे गणना करना शामिल है।

घटना की संभावना एइस घटना के लिए अनुकूल अवसरों की संख्या और सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या का अनुपात है एनजो एकल परीक्षण या अवलोकन के परिणामस्वरूप हो सकता है। प्रायिकता सूत्र घटनाक्रम ए:

यदि हम किस घटना के बारे में बात कर रहे हैं, इसकी संभावना के बारे में पूरी तरह से स्पष्ट है, तो संभावना को एक छोटे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है पीघटना पदनाम निर्दिष्ट किए बिना।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार संभाव्यता की गणना करने के लिए, सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या का पता लगाना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कितने घटना की परिभाषा के अनुकूल हैं ए.

उदाहरण 1।एक पासे को फेंकने पर संख्या 5 प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। मालूम हो कि सभी छह चेहरों के पास शीर्ष पर रहने का समान अवसर है। 5 अंक केवल एक ही फलक पर अंकित होता है। सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या 6 है, जिनमें से संख्या 5 के लिए केवल एक अनुकूल अवसर ( एम= 1)। इसका मतलब है कि संख्या 5 . प्राप्त करने की वांछित संभावना

उदाहरण २।बॉक्स में समान आकार की 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद बिना देखे ही ली गई। एक लाल गेंद लिए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। संभावना की तलाश

संभावनाओं को स्वयं खोजें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 3.एक पासा फेंका जाता है। आयोजन बी- एक सम संख्या छूट गई। इस घटना की संभावना की गणना करें।

उदाहरण 5.कलश में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। 1 गेंद बेतरतीब ढंग से निकाली जाती है। आयोजन ए- सफेद गेंद खींची जाती है। आयोजन बी- एक काली गेंद खींची जाती है। इन घटनाओं की संभावनाओं की गणना करें।

शास्त्रीय संभाव्यता को पूर्व संभाव्यता भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी गणना परीक्षण या अवलोकन की शुरुआत से पहले की जाती है। शास्त्रीय संभाव्यता की प्राथमिक प्रकृति इसका मुख्य दोष है: केवल दुर्लभ मामलों में, अवलोकन की शुरुआत से पहले, अनुकूल घटनाओं सहित सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की गणना करना संभव है। ऐसे अवसर आमतौर पर खेल जैसी स्थितियों में उत्पन्न होते हैं।

संयोजन।यदि घटनाओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, तो संभावित घटनाओं की संख्या की गणना संयोजनों की संख्या के रूप में की जाती है:

उदाहरण 6.एक समूह में 30 विद्यार्थी हैं। तीन छात्रों को कंप्यूटर विज्ञान विभाग में जाकर एक कंप्यूटर और एक प्रोजेक्टर लेने जाना चाहिए। इस संभावना की गणना करें कि तीन विशिष्ट छात्र इसे करेंगे।

समाधान। संभावित घटनाओं की संख्या की गणना सूत्र (2) का उपयोग करके की जाती है:

संभावना है कि तीन विशिष्ट छात्र विभाग में जाएंगे:

उदाहरण 7. 10 मोबाइल फोन बिक रहे हैं। इनमें 3 ऐसे हैं जिनमें खामियां हैं। खरीदार ने 2 फोन चुने। इस प्रायिकता की गणना कीजिए कि दोनों चयनित फोन खराब होंगे।

समाधान। सभी समान रूप से संभावित घटनाओं की संख्या सूत्र (2) द्वारा ज्ञात की जाती है:

उसी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम घटना के अनुकूल अवसरों की संख्या पाते हैं:

इस संभावना की तलाश में कि दोनों चयनित फोन खराब होंगे:

प्रायिकता स्वयं ज्ञात कीजिए और फिर हल देखिए

उदाहरण 8.परीक्षा टिकट में 40 प्रश्न होते हैं जिन्हें दोहराया नहीं जाता है। छात्र ने उनमें से 30 के उत्तर तैयार किए। प्रत्येक टिकट में 2 प्रश्न होते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी टिकट पर दोनों प्रश्नों के उत्तर जानता है?

कई, "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा का सामना करते हैं, यह सोचकर डर जाते हैं कि यह कुछ भारी है, बहुत मुश्किल है। लेकिन वास्तव में सब कुछ इतना दुखद नहीं है। आज हम संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा पर विचार करेंगे, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखेंगे।

विज्ञान

"संभाव्यता सिद्धांत" के रूप में गणित की ऐसी शाखा क्या अध्ययन करती है? वह पैटर्न और मात्रा नोट करती है। अठारहवीं शताब्दी में पहली बार वैज्ञानिकों को इस मुद्दे में दिलचस्पी हुई, जब उन्होंने जुए का अध्ययन किया। संभाव्यता के सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई भी तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन से पता चलता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता के सिद्धांत की एक और बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों का यह सेट संयोग से नहीं, बल्कि एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाया गया था। अवलोकन के लिए, यहाँ शोधकर्ता स्वयं प्रयोग में भाग नहीं लेता है, लेकिन केवल इन घटनाओं को देखता है, वह किसी भी तरह से जो हो रहा है उसे प्रभावित नहीं करता है।

घटनाक्रम

हमने सीखा कि संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन हमने वर्गीकरण पर विचार नहीं किया। वे सभी निम्नलिखित श्रेणियों में आते हैं:

• विश्वसनीय।
• असंभव।
• यादृच्छिक रूप से।

प्रयोग के दौरान चाहे किसी भी प्रकार की घटनाएँ देखी या बनाई गई हों, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम आपको प्रत्येक प्रकार से अलग से परिचित होने के लिए आमंत्रित करते हैं।

विश्वसनीय घटना

यह एक ऐसी स्थिति है, जिसके सामने आवश्यक जटिल उपाय किए गए हैं। सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कुछ उदाहरण देना बेहतर है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक विश्वसनीय घटना के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणा शामिल है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
• हमने परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण की, प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, जिसके लिए हमें एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश के रूप में पुरस्कार मिलता है।
• हमने बैंक में पैसा लगाया है, जरूरत पड़ी तो वापस कर देंगे।

ऐसे आयोजन विश्वसनीय होते हैं। यदि हमने सभी आवश्यक शर्तें पूरी कर ली हैं, तो हमें निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम मिलेगा।

असंभव घटनाएं

अब हम प्रायिकता के सिद्धांत के तत्वों को देख रहे हैं। हम अगले प्रकार की घटना, अर्थात् असंभव की व्याख्या पर आगे बढ़ने का प्रस्ताव करते हैं। आरंभ करने के लिए, आइए सबसे महत्वपूर्ण नियम निर्धारित करें - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।

समस्याओं का समाधान करते समय कोई भी इस सूत्रीकरण से विचलित नहीं हो सकता। स्पष्टीकरण के लिए, ऐसी घटनाओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• पानी प्लस टेन के तापमान पर जम गया (यह असंभव है)।
• बिजली की कमी किसी भी तरह से उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (जैसा कि पिछले उदाहरण में असंभव है)।

यह अधिक उदाहरण देने के लायक नहीं है, क्योंकि ऊपर वर्णित लोग इस श्रेणी के सार को बहुत स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। किसी भी परिस्थिति में अनुभव के दौरान असंभव घटना कभी नहीं घटेगी।

यादृच्छिक घटनाएं

तत्वों का अध्ययन करते हुए इस विशेष प्रकार की घटना पर विशेष ध्यान देना चाहिए। यह वे हैं जो यह विज्ञान अध्ययन करता है। अनुभव के फलस्वरूप कुछ हो भी सकता है और नहीं भी। इसके अलावा, परीक्षण असीमित बार किया जा सकता है। हड़ताली उदाहरण हैं:

• सिक्के का उछाल एक अनुभव है, या एक परीक्षा है, सिर का गिरना एक घटना है।
• बैग से गेंद को आँख बंद करके खींचना एक परीक्षा है, एक लाल गेंद पकड़ी जाती है - यह एक घटना है, और इसी तरह।

ऐसे उदाहरणों की असीमित संख्या हो सकती है, लेकिन सामान्य तौर पर, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं के बारे में प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित करने के लिए एक तालिका दी गई है। संभाव्यता सिद्धांत प्रस्तुत सभी की केवल अंतिम प्रजातियों का अध्ययन करता है।

शीर्षक	परिभाषा
विश्वसनीय	कुछ शर्तों के अधीन 100% गारंटी के साथ होने वाली घटनाएँ।	प्रवेश परीक्षा के अच्छे उत्तीर्ण के साथ एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश।
असंभव	ऐसी घटनाएँ जो किसी भी परिस्थिति में कभी नहीं होंगी।	हवा के तापमान से अधिक तीस डिग्री सेल्सियस पर बर्फबारी हो रही है।
यादृच्छिक रूप से	एक घटना जो प्रयोग / परीक्षण के दौरान हो भी सकती है और नहीं भी।	बास्केटबॉल को टोकरी में फेंकते समय मारना या गायब होना।

कानून

संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह इसके भी कुछ नियम हैं। संभाव्यता के सिद्धांत के निम्नलिखित नियम हैं:

• यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण।
• बड़ी संख्या का कानून।

एक जटिल की संभावना की गणना करते समय, आप एक आसान और तेज़ तरीके से परिणाम प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक सेट का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि कुछ प्रमेयों का उपयोग करके संभाव्यता सिद्धांत के नियम आसानी से सिद्ध हो जाते हैं। हमारा सुझाव है कि आप पहले पहले नियम से परिचित हो जाएं।

यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण

ध्यान दें कि कई प्रकार के अभिसरण हैं:

• यादृच्छिक चर का एक क्रम संभाव्यता में परिवर्तित होता है।
• लगभग असंभव।
• रूट-माध्य-वर्ग अभिसरण।
• वितरण अभिसरण।

तो, मक्खी पर, सार को समझना बहुत मुश्किल है। यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं जो आपको इस विषय को समझने में मदद करेंगी। शुरुआत के लिए, पहला दृश्य। अनुक्रम कहा जाता है संभाव्यता में अभिसरण, यदि निम्न शर्त पूरी होती है: n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जिस संख्या की ओर अनुक्रम जाता है वह शून्य से अधिक है और एक के करीब है।

चलिए अगले फॉर्म पर चलते हैं, लगभग निश्चित रूप से... अनुक्रम अभिसरण करने के लिए कहा जाता है लगभग निश्चित रूप सेएक यादृच्छिक चर के रूप में n अनंत की ओर जाता है, और P एकता के करीब एक मान की ओर जाता है।

अगला प्रकार है आरएमएस अभिसरण... एसके-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वय स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम हो जाता है।

अंतिम प्रकार रहता है, आइए समस्याओं को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए इसका संक्षेप में विश्लेषण करें। वितरण में अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", नीचे हम बताएंगे कि क्यों। कमजोर अभिसरणसीमित वितरण फलन की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण कार्यों का अभिसरण है।

हम निश्चित रूप से अपना वादा निभाएंगे: कमजोर अभिसरण उपरोक्त सभी से अलग है कि यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान में परिभाषित नहीं किया गया है। यह संभव है क्योंकि स्थिति विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग करके बनाई गई है।

बड़ी संख्या का नियम

संभाव्यता सिद्धांत के प्रमेय, जैसे:

• चेबीशेव की असमानता।
• चेबीशेव का प्रमेय।
• सामान्यीकृत चेबीशेव का प्रमेय।
• मार्कोव का प्रमेय।

यदि हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करें, तो यह प्रश्न कई दसियों पृष्ठों तक खिंच सकता है। हमारा मुख्य कार्य संभाव्यता के सिद्धांत को व्यवहार में लागू करना है। हमारा सुझाव है कि आप इसे अभी करें और करें। लेकिन इससे पहले, आइए संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों पर विचार करें, वे समस्याओं को हल करने में मुख्य सहायक होंगे।

अभिगृहीत

जब हम एक असंभव घटना के बारे में बात करते हैं तो हम पहले ही मिल चुके होते हैं। आइए याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। हमने एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार उदाहरण दिया: तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर बर्फबारी हुई।

दूसरा इस प्रकार है: एक विश्वसनीय घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब हम दिखाएंगे कि इसे गणितीय भाषा का उपयोग करके कैसे लिखा जाता है: P (B) = 1.

तीसरा: एक यादृच्छिक घटना घटित हो सकती है या नहीं भी हो सकती है, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक में भिन्न होती है। मान जितना करीब होगा, संभावना उतनी ही अधिक होगी; यदि मान शून्य के करीब पहुंचता है, तो संभावना बहुत कम है। आइए इसे गणितीय भाषा में लिखें: 0<Р(С)<1.

अंतिम, चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, जो इस तरह लगता है: दो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है। हम गणितीय भाषा में लिखते हैं: पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)।

संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना मुश्किल नहीं होगा। आइए पहले से अर्जित ज्ञान के आधार पर कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।

लॉटरी टिकट

आइए सबसे सरल उदाहरण - लॉटरी को देखकर शुरू करें। कल्पना कीजिए कि आपने सौभाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। क्या संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे? कुल मिलाकर, एक हजार टिकट ड्राइंग में भाग लेते हैं, जिनमें से एक में पांच सौ रूबल का पुरस्कार होता है, एक सौ रूबल के लिए दस, बीस रूबल के लिए पचास और पांच के लिए एक सौ। प्रायिकता समस्याएँ भाग्य के अवसर खोजने पर आधारित होती हैं। अब हम उपरोक्त प्रस्तुत कार्य के समाधान का एक साथ विश्लेषण करेंगे।

यदि हम A अक्षर से पांच सौ रूबल की जीत दर्शाते हैं, तो A प्राप्त करने की संभावना 0.001 होगी। हमें यह कैसे मिला? आपको बस "भाग्यशाली" टिकटों की संख्या को उनकी कुल संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है (इस मामले में: 1/1000)।

बी एक सौ रूबल की जीत है, संभावना 0.01 होगी। अब हमने पिछली क्रिया (10/1000) के समान सिद्धांत पर कार्य किया

- जीत बीस रूबल के बराबर है। हम संभावना पाते हैं, यह 0.05 के बराबर है।

बाकी टिकट हमारे लिए रुचिकर नहीं हैं, क्योंकि उनकी पुरस्कार राशि शर्त में निर्दिष्ट राशि से कम है। आइए चौथे स्वयंसिद्ध को लागू करें: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना पी (ए) + पी (बी) + पी (सी) है। अक्षर P इस घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाता है, हम उन्हें पहले ही पिछले कार्यों में पा चुके हैं। यह केवल आवश्यक डेटा जोड़ने के लिए रहता है, उत्तर में हमें 0.061 मिलता है। यह संख्या कार्य प्रश्न का उत्तर होगी।

कार्ड डेक

संभाव्यता सिद्धांत की समस्याएं भी अधिक जटिल हैं, उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित कार्य करें। यहाँ छत्तीस पत्तों का एक डेक है। आपका काम ढेर को मिलाए बिना एक पंक्ति में दो कार्ड बनाना है, पहला और दूसरा कार्ड इक्के होना चाहिए, सूट कोई फर्क नहीं पड़ता।

सबसे पहले, आइए इस संभावना को खोजें कि पहला कार्ड इक्का होगा, इसके लिए हम चार को छत्तीस से विभाजित करते हैं। हमने इसे एक तरफ रख दिया। हम दूसरा कार्ड निकालते हैं, यह तीन पैंतीसवें हिस्से की संभावना वाला इक्का होगा। दूसरी घटना की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि हम पहले कौन सा कार्ड बनाते हैं, हमें आश्चर्य होता है कि यह इक्का था या नहीं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि घटना B घटना A पर निर्भर करती है।

अगला कदम एक साथ होने की संभावना का पता लगाना है, अर्थात, हम ए और बी को गुणा करते हैं। उनका उत्पाद निम्नानुसार पाया जाता है: एक घटना की संभावना को दूसरे की सशर्त संभावना से गुणा किया जाता है, जिसे हम गणना करते हैं, यह मानते हुए कि पहले घटना हुई, यानी, हमने पहले कार्ड के साथ एक इक्का खींचा।

सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, हम ऐसे तत्व को घटनाओं के रूप में एक पदनाम देंगे। यह मानते हुए कि घटना ए हुई है, इसकी गणना की जाती है। निम्नानुसार परिकलित: पी (बी / ए)।

आइए अपनी समस्या को हल करना जारी रखें: पी (ए * बी) = पी (ए) * पी (बी / ए) या पी (ए * बी) = पी (बी) * पी (ए / बी)। प्रायिकता है (4/36) * ((3/35) / (4/36)। गणना करें, निकटतम सौवां पूर्णांक। हमारे पास है: 0.11 * (0.09 / 0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 प्रायिकता कि हम एक पंक्ति में दो इक्के खींचेंगे, नौ सौवें के बराबर है। मान बहुत छोटा है, जिसका अर्थ है कि घटना के घटित होने की संभावना बहुत कम है।

भूले हुए नंबर

हम उन कार्यों के लिए कई और विकल्पों का विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं जो संभाव्यता के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं। आप इस लेख में उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण पहले ही देख चुके हैं, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण थी, उसने बारी-बारी से सब कुछ डायल करना शुरू कर दिया। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि वह तीन बार से अधिक कॉल नहीं करेगा। समस्या का समाधान सबसे सरल है यदि संभाव्यता के सिद्धांत के नियम, कानून और स्वयंसिद्ध ज्ञात हैं।

समाधान को देखने से पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, यानी केवल दस मान हैं। वांछित प्राप्त करने की प्रायिकता 1/10 है।

अगला, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़के ने सही अनुमान लगाया और तुरंत वांछित टाइप किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पहला कॉल मिस है, और दूसरा निशाने पर है। आइए ऐसी घटना की संभावना की गणना करें: 9/10 को 1/9 से गुणा करें, अंत में हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल गलत पते पर थीं, तीसरे से ही लड़के को वहीं मिल गया जहां वह चाहता था। हम ऐसी घटना की संभावना की गणना करते हैं: 9/10 को 8/9 से गुणा करें और 1/8 से, हमें परिणामस्वरूप 1/10 मिलता है। हम समस्या की स्थिति के अनुसार अन्य विकल्पों में रुचि नहीं रखते हैं, इसलिए हमें प्राप्त परिणामों को जोड़ने के लिए रहता है, अंत में हमारे पास 3/10 है। उत्तर: किसी लड़के के तीन बार से अधिक कॉल न करने की प्रायिकता 0.3 है।

नंबर कार्ड

आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक से नौ तक की संख्या लिखी हुई है, संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं। उन्हें एक डिब्बे में डालकर अच्छी तरह मिला दिया जाता था। आपको संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि

• एक सम संख्या गिरा दी जाएगी;
• दो अंक।

समाधान के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम यह निर्धारित करते हैं कि m सफल मामलों की संख्या है, और n विकल्पों की कुल संख्या है। आइए संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात करें। यह गणना करना मुश्किल नहीं होगा कि चार सम संख्याएँ हैं, यह हमारा m होगा, कुल मिलाकर नौ विकल्प हैं, अर्थात m = 9। तब प्रायिकता 0.44 या 4/9 है।

दूसरे मामले पर विचार करें: विकल्पों की संख्या नौ है, लेकिन कोई भी सफल परिणाम बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, यानी एम शून्य के बराबर है। निकाले गए कार्ड में दो अंकों की संख्या होने की प्रायिकता भी शून्य है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा अवधारणा पर आधारित है संभाव्य अनुभव,या एक संभाव्य प्रयोग। इसका परिणाम कई संभावित परिणामों में से एक है, जिसे कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम, और यह उम्मीद करने का कोई कारण नहीं है कि किसी संभाव्य प्रयोग को दोहराते समय कोई भी प्रारंभिक परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकने पर एक संभाव्य प्रयोग पर विचार करें। इस अनुभव का परिणाम पासे के किनारों पर खींचे गए 6 बिंदुओं में से एक है।

इस प्रकार, इस प्रयोग में 6 प्राथमिक परिणाम हैं:

और उनमें से प्रत्येक समान रूप से अपेक्षित है।

आयोजनशास्त्रीय संभाव्य प्रयोग में प्राथमिक परिणामों के सेट का एक मनमाना उपसमुच्चय है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकने के उदाहरण में, घटना, अंकों की एक सम संख्या होती है, जिसमें प्रारंभिक परिणाम होते हैं।

किसी घटना की प्रायिकता वह संख्या है:

जहां घटना को बनाने वाले प्राथमिक परिणामों की संख्या (कभी-कभी वे कहते हैं कि यह प्राथमिक परिणामों की संख्या है जो घटना की घटना के पक्ष में है), और सभी प्राथमिक परिणामों की संख्या है।

हमारे उदाहरण में:

संयुक्त तत्व.

कई संभाव्य प्रयोगों का वर्णन करते समय, प्राथमिक परिणामों की पहचान निम्न में से किसी एक संयोजन की वस्तुओं (परिमित सेटों का विज्ञान) से की जा सकती है।

परिवर्तनसंख्याओं से बिना दोहराव के इन संख्याओं का एक मनमाना क्रमित रिकॉर्ड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं के एक सेट के लिए, 6 अलग-अलग क्रमपरिवर्तन हैं:

, , , , , .

क्रमपरिवर्तन की एक मनमानी संख्या के लिए है

(1 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं की क्रमागत संख्याओं का गुणनफल)।

सॉफ्टवेयर का एक संयोजनसमुच्चय के किसी भी अवयव का मनमाना अव्यवस्थित संग्रह कहलाता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं के एक सेट के लिए, 3 से 2 के 3 अलग-अलग संयोजन हैं:

एक मनमाना युग्म के लिए, और से संयोजनों की संख्या बराबर होती है

उदाहरण के लिए,

हाइपरजोमेट्रिक वितरण।

निम्नलिखित संभाव्य अनुभव पर विचार करें। एक ब्लैक बॉक्स है जिसमें सफेद और काली गेंदें हैं। गेंदें एक ही आकार की होती हैं और स्पर्श से अप्रभेद्य होती हैं। प्रयोग में यादृच्छिक रूप से गेंदों को निकालना शामिल है। घटना, जिसकी प्रायिकता ज्ञात की जानी चाहिए, यह है कि इनमें से गेंदें सफेद हैं, और शेष काली हैं।

आइए 1 से 1 तक की संख्या वाली सभी गेंदों की गणना करें। मान लीजिए कि संख्या 1, , सफेद गेंदों के अनुरूप है, और संख्याएँ, , काली गेंदों के अनुरूप हैं। इस अनुभव में प्राथमिक परिणाम एक सेट से तत्वों का एक अनियंत्रित सेट है, जो कि का संयोजन है। इसलिए, सभी प्राथमिक परिणाम हैं।

आइए उन प्रारंभिक परिणामों की संख्या ज्ञात करें जो घटना के घटित होने के पक्ष में हैं। मिलान सेट "सफेद" और "काले" संख्याओं से बने होते हैं। आप "सफेद" संख्याओं से संख्याओं को तरीकों से चुन सकते हैं, और "काले" से संख्याओं को तरीकों से चुन सकते हैं। सफेद और काले सेट को मनमाने ढंग से जोड़ा जा सकता है, इसलिए केवल प्राथमिक परिणाम हैं जो घटना के पक्ष में हैं।

एक घटना की संभावना है

परिणामी सूत्र को हाइपरजोमेट्रिक वितरण कहा जाता है।

कार्य 5.1.बॉक्स में एक ही प्रकार के 55 सशर्त और 6 दोषपूर्ण भाग हैं। क्या संभावना है कि तीन यादृच्छिक रूप से चुने गए भागों में से कम से कम एक दोषपूर्ण होगा?

समाधान।कुल ६१ विवरण हैं, हम ३ लेते हैं। एक प्रारंभिक परिणाम ६१ से ३ का संयोजन है। सभी प्रारंभिक परिणामों की संख्या समान है। अनुकूल परिणामों को तीन समूहों में बांटा गया है: 1) ये ऐसे परिणाम हैं जिनमें 1 भाग दोषपूर्ण है, और 2 अच्छे हैं; २) २ भाग खराब हैं, और १ अच्छा है; 3) सभी 3 भाग दोषपूर्ण हैं। पहले प्रकार के समुच्चयों की संख्या समान है, दूसरे प्रकार के समुच्चयों की संख्या समान है, तीसरे प्रकार के समुच्चयों की संख्या है। नतीजतन, प्राथमिक परिणाम एक घटना की घटना के पक्ष में हैं। एक घटना की संभावना है

घटनाओं का बीजगणित

प्राथमिक घटनाओं का स्थान किसी दिए गए अनुभव से संबंधित सभी प्राथमिक परिणामों का समुच्चय कहलाता है।

योगदो घटनाओं को एक घटना कहा जाता है, जिसमें घटना या घटना से संबंधित प्राथमिक परिणाम होते हैं।

उत्पाद द्वारादो घटनाओं को एक घटना कहा जाता है जिसमें घटनाओं के साथ-साथ संबंधित प्राथमिक परिणाम होते हैं और।

घटनाएँ और असंगत कहलाती हैं यदि।

घटना कहा जाता है विलोमघटना, यदि घटना उन सभी प्राथमिक परिणामों के पक्ष में है जो घटना से संबंधित नहीं हैं। विशेष रूप से, , ।

योग प्रमेय।

विशेष रूप से, ।

सशर्त संभाव्यताघटनाएँ, बशर्ते कि घटना घटी हो, को प्रतिच्छेदन से संबंधित प्राथमिक परिणामों की संख्या से संबंधित प्राथमिक परिणामों की संख्या का अनुपात कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी घटना की सशर्त संभाव्यता शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें नया संभाव्यता स्थान होता है। घटना की सशर्त संभावना के माध्यम से निरूपित किया जाता है।

उत्पाद के बारे में प्रमेय। ...

घटनाएँ कहलाती हैं स्वतंत्र, अगर । स्वतंत्र घटनाओं के लिए, उत्पाद प्रमेय एक संबंध देता है।

निम्नलिखित दो सूत्र योग और उत्पाद प्रमेयों के परिणाम हैं।

कुल संभावना का सूत्र। परिकल्पनाओं का पूरा समूह असंगत घटनाओं का एक मनमाना समुच्चय है, ,, कुल मिलाकर संपूर्ण संभाव्य स्थान बनाता है:

इस स्थिति में, एक मनमाना घटना के लिए, एक सूत्र मान्य होता है, जिसे कुल संभाव्यता का सूत्र कहा जाता है,

लैपलेस फ़ंक्शन कहाँ है,। लैपलेस फ़ंक्शन सारणीबद्ध है, और किसी दिए गए के लिए इसके मान संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं।

कार्य 5.3।यह ज्ञात है कि भागों के एक बड़े बैच में 11% दोषपूर्ण भाग होते हैं। सत्यापन के लिए 100 भागों का चयन किया गया है। क्या संभावना है कि उनमें से 14 से अधिक दोषपूर्ण नहीं हैं? Moivre-Laplace प्रमेय का उपयोग करके उत्तर का अनुमान लगाएं।

समाधान।हम एक बर्नौली परीक्षण के साथ काम कर रहे हैं, जहां,। सफलता को दोषपूर्ण भाग की खोज माना जाता है, और सफलताओं की संख्या असमानता को संतुष्ट करती है। अत,

प्रत्यक्ष गणना देता है:

, , , , , , , , , , , , , , .

अत, । अब हम Moivre-Laplace के समाकलन प्रमेय को लागू करेंगे। हम पाते हैं:

फ़ंक्शन के मानों की तालिका का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की विषमता को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अनुमानित गणना त्रुटि से अधिक नहीं है।

यादृच्छिक चर

एक यादृच्छिक चर एक संभाव्य अनुभव की एक संख्यात्मक विशेषता है, जो प्राथमिक परिणामों का एक कार्य है। यदि, , प्राथमिक परिणामों का एक समुच्चय है, तो यादृच्छिक चर एक फलन है। हालांकि, एक यादृच्छिक चर को उसके सभी संभावित मूल्यों और संभावनाओं को सूचीबद्ध करके चिह्नित करना अधिक सुविधाजनक है जिसके साथ यह मान लेता है।

ऐसी तालिका को यादृच्छिक चर के वितरण का नियम कहा जाता है। चूंकि घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, इसलिए संभाव्य सामान्यीकरण का नियम पूरा होता है

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, या माध्य मान, संबंधित संभावनाओं द्वारा यादृच्छिक चर के मानों के उत्पादों के योग के बराबर एक संख्या है।

एक यादृच्छिक चर का विचरण (गणितीय अपेक्षा के आसपास मूल्यों के प्रसार की डिग्री) एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है,

यह दिखाया जा सकता है कि

मात्रा

यादृच्छिक चर का माध्य वर्ग विचलन कहलाता है।

यादृच्छिक चर के वितरण फलन के समुच्चय में आने की प्रायिकता होती है, अर्थात्

यह एक गैर-नकारात्मक, गैर-घटता हुआ फ़ंक्शन है जो 0 से 1 तक मान लेता है। मूल्यों के एक सीमित सेट के साथ एक यादृच्छिक चर के लिए, यह राज्यों के बिंदुओं पर दूसरी तरह की असंतोष के साथ एक टुकड़ावार स्थिर कार्य है। इस मामले में, यह बाईं ओर निरंतर है और।

कार्य 5.4।दो पासे लगातार फेंके जाते हैं। यदि एक पासे पर एक, तीन या पांच अंक गिरते हैं, तो खिलाड़ी को 5 रूबल की हानि होती है। जब दो या चार अंक गिराए जाते हैं, तो खिलाड़ी को 7 रूबल मिलते हैं। जब छह अंक गिराए जाते हैं, तो खिलाड़ी 12 रूबल खो देता है। यादृच्छिक मूल्य एक्सपासा फेंकने पर खिलाड़ी का लाभ होता है। वितरण कानून खोजें एक्स, वितरण फ़ंक्शन को प्लॉट करें, गणितीय अपेक्षा और विचरण का पता लगाएं एक्स.

समाधान।आइए पहले विचार करें कि पासा के एक रोल में खिलाड़ी की अदायगी क्या है। मान लीजिए कि घटना में 1, 3 या 5 अंक हैं। फिर, और जीत रूबल होगी। घटना को 2 या 4 अंक होने दें। फिर, और जीत रूबल होगी। अंत में, घटना को 6 अंकों की गिरावट का संकेत दें। फिर पुरस्कार रूबल के बराबर है।

अब हम घटनाओं के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करेंगे, और पासा के दो थ्रो के साथ, और ऐसे प्रत्येक संयोजन के लिए जीत के मूल्यों का निर्धारण करेंगे।

यदि कोई घटना घटी है, तो उसी समय।

यदि कोई घटना घटी है, तो उसी समय।

इसी तरह, क्योंकि हम प्राप्त करते हैं।

सभी पाए गए राज्य और इन राज्यों की कुल संभावनाएं तालिका में लिखी गई हैं:

हम संभाव्य सामान्यीकरण के कानून की पूर्ति की जांच करते हैं: वास्तविक रेखा पर, आपको इस अंतराल में एक यादृच्छिक चर गिरने की संभावना निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए) और तेजी से घट रहा है, ,

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के नियमों का अध्ययन करती है: यादृच्छिक घटनाएँ, यादृच्छिक चर, उनके गुण और उन पर संचालन।

लंबे समय तक, संभाव्यता के सिद्धांत की स्पष्ट परिभाषा नहीं थी। यह केवल 1929 में तैयार किया गया था। एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के उद्भव का श्रेय मध्य युग और जुआ (सिक्का, पासा, रूले) के गणितीय विश्लेषण के पहले प्रयासों को दिया जाता है। 17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट ने जुए में जीतने की भविष्यवाणी की जांच करते हुए, पासा फेंकते समय उत्पन्न होने वाले पहले संभाव्य कानूनों की खोज की।

संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान के रूप में इस विश्वास से उत्पन्न हुआ कि कुछ पैटर्न यादृच्छिक सामूहिक घटनाओं के केंद्र में हैं। संभाव्यता सिद्धांत इन पैटर्नों का अध्ययन करता है।

संभाव्यता सिद्धांत उन घटनाओं के अध्ययन से संबंधित है, जिनकी घटना निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। यह आपको दूसरों की तुलना में कुछ घटनाओं के घटित होने की संभावना की डिग्री का न्याय करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए: एक सिक्का उछालने के परिणामस्वरूप "सिर" या "पूंछ" प्राप्त करने का परिणाम स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, लेकिन बार-बार उछालने के साथ, "हेड" और "टेल" की लगभग समान संख्या गिरती है, जिसका अर्थ है कि "सिर" या "पूंछ" प्राप्त करने की संभावना 50% के बराबर है।

परीक्षणइस मामले में, शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन को कहा जाता है, यानी इस मामले में, एक सिक्का उछालना। चुनौती को असीमित बार खेला जा सकता है। इस मामले में, परिस्थितियों के परिसर में यादृच्छिक कारक शामिल हैं।

परीक्षा परिणाम है प्रतिस्पर्धा... घटना होती है:

1. विश्वसनीय (हमेशा एक परीक्षण के परिणामस्वरूप होता है)।
2. असंभव (कभी नहीं होता)।
3. आकस्मिक (परीक्षण के परिणामस्वरूप हो भी सकता है और नहीं भी)।

उदाहरण के लिए, जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो एक असंभव घटना - सिक्का किनारे पर होगा, एक यादृच्छिक घटना - "सिर" या "पूंछ" का गिरना। विशिष्ट परीक्षा परिणाम को कहा जाता है प्रारंभिक घटना... परीक्षण के परिणामस्वरूप, केवल प्राथमिक घटनाएं होती हैं। सभी संभावित, भिन्न, विशिष्ट परीक्षण परिणामों की समग्रता कहलाती है प्रारंभिक घटनाओं का स्थान.

सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

संभावना- घटना की उत्पत्ति की संभावना की डिग्री। जब किसी संभावित घटना के होने के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभावित या असंभव।

यादृच्छिक मूल्यएक मूल्य है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा मान ले सकता है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है। उदाहरण के लिए: प्रतिदिन फायर स्टेशन की संख्या, 10 शॉट्स के साथ हिट की संख्या, आदि।

यादृच्छिक चर को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

1. असतत यादृच्छिक चरएक मात्रा है, जो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक निश्चित संभावना के साथ कुछ मूल्यों को ले सकती है, एक गणनीय सेट (एक सेट, जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है) का निर्माण करता है। यह समुच्चय परिमित और अनंत दोनों हो सकता है। उदाहरण के लिए, लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है, क्योंकि यह मान अनंत हो सकता है, यद्यपि गणनीय मानों की संख्या।
2. सतत यादृच्छिक चरऐसी मात्रा कहलाती है जो एक निश्चित परिमित या अनंत अंतराल से कोई भी मान ले सकती है। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

प्रायिकता स्थान- ए.एन. द्वारा पेश की गई एक अवधारणा। कोलमोगोरोव ने XX सदी के 30 के दशक में संभाव्यता की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया, जिसने एक कठोर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के तेजी से विकास को जन्म दिया।

प्रायिकता स्थान एक त्रिक होता है (कभी-कभी कोण कोष्ठकों द्वारा तैयार किया जाता है:, जहाँ

यह एक मनमाना समुच्चय है, जिसके तत्वों को प्राथमिक घटनाएँ, परिणाम या बिंदु कहा जाता है;
- उपसमुच्चय का सिग्मा-बीजगणित (यादृच्छिक) घटनाएँ;
- एक संभाव्य उपाय या संभाव्यता, अर्थात। सिग्मा-योज्य परिमित माप जैसे कि।

मोइवरे-लाप्लास प्रमेय- 1812 में लाप्लास द्वारा स्थापित संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में से एक। उनका तर्क है कि दो संभावित परिणामों के साथ एक ही यादृच्छिक प्रयोग के कई दोहराव के साथ सफलताओं की संख्या का लगभग सामान्य वितरण होता है। यह आपको संभाव्यता का अनुमानित मूल्य खोजने की अनुमति देता है।

यदि, प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता () के बराबर है और उन परीक्षणों की संख्या है जिनमें यह वास्तव में होता है, तो असमानता की संभावना मूल्य के करीब (बड़े के लिए) है लाप्लास इंटीग्रल का।

संभाव्यता सिद्धांत में वितरण कार्य- एक फ़ंक्शन जो एक यादृच्छिक चर या एक यादृच्छिक वेक्टर के वितरण की विशेषता है; संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक्स, एक्स से कम या उसके बराबर मान लेगा, जहां एक्स एक मनमाना वास्तविक संख्या है। यदि कुछ शर्तों को पूरा किया जाता है, तो यह पूरी तरह से यादृच्छिक चर निर्धारित करता है।

अपेक्षित मूल्य- यादृच्छिक चर का औसत मूल्य (यह यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे संभाव्यता के सिद्धांत में माना जाता है)। अंग्रेजी भाषा के साहित्य में, इसे रूसी में - द्वारा नामित किया गया है। सांख्यिकी में, अंकन का अक्सर उपयोग किया जाता है।

मान लीजिए कि एक प्रायिकता स्थान और उस पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर दिया गया है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक मापने योग्य कार्य है। फिर, यदि कोई लेबेस्ग ओवर स्पेस का अभिन्न अंग है, तो इसे गणितीय अपेक्षा, या माध्य कहा जाता है, और इसे निरूपित किया जाता है।

यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का एक उपाय, अर्थात, गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। यह रूसी साहित्य और विदेशी साहित्य में इंगित किया गया है। सांख्यिकी में, पदनाम या अक्सर प्रयोग किया जाता है। विचरण के वर्गमूल को मानक विचलन, मानक विचलन या मानक विचलन कहा जाता है।

आज्ञा देना एक निश्चित संभाव्यता स्थान पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर हो। फिर

जहां प्रतीक गणितीय अपेक्षा को दर्शाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में, दो यादृच्छिक घटनाओं को कहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की प्रायिकता में परिवर्तन नहीं होता है। इसी प्रकार, दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं आश्रितयदि उनमें से एक का मूल्य दूसरे के मूल्यों की संभावना को प्रभावित करता है।

बड़ी संख्या के कानून का सबसे सरल रूप बर्नौली का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, घटना की आवृत्ति की संभावना होती है घटना और यादृच्छिक होना बंद हो जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में बड़ी संख्या का नियम बताता है कि एक निश्चित वितरण से एक परिमित नमूने का अंकगणितीय माध्य उस वितरण के सैद्धांतिक माध्य गणितीय अपेक्षा के करीब है। अभिसरण के प्रकार के आधार पर, बड़ी संख्या के कमजोर कानून के बीच अंतर किया जाता है, जब संभाव्यता में अभिसरण होता है, और बड़ी संख्या के मजबूत कानून, जब अभिसरण लगभग निश्चित होता है।

बड़ी संख्या के कानून का सामान्य अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में समान और स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों की संयुक्त क्रिया एक परिणाम की ओर ले जाती है जो सीमा में मामले पर निर्भर नहीं करता है।

परिमित नमूने के विश्लेषण के आधार पर संभाव्यता का अनुमान लगाने के तरीके इस संपत्ति पर आधारित हैं। एक उदाहरण उदाहरण मतदाताओं के नमूने के सर्वेक्षण के आधार पर चुनाव परिणामों का पूर्वानुमान है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय- संभाव्यता के सिद्धांत में प्रमेयों का वर्ग, यह दावा करते हुए कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कमजोर निर्भर यादृच्छिक चर का योग लगभग समान है (कोई भी शब्द हावी नहीं है, योग में एक निर्धारित योगदान नहीं करता है), एक है वितरण सामान्य के करीब

चूंकि अनुप्रयोगों में कई यादृच्छिक चर कई कमजोर निर्भर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में बनते हैं, इसलिए उनका वितरण सामान्य माना जाता है। इस मामले में, शर्त पूरी की जानी चाहिए कि कोई भी कारक प्रमुख नहीं है। इन मामलों में केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य वितरण के आवेदन को सही ठहराते हैं।