Visos taisyklingos trikampės piramidės formulės. Piramidė ir jos elementai

Hipotezė: manome, kad piramidės formos tobulumą lemia jos formai būdingi matematiniai dėsniai.

Tikslas: Ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, paaiškinkite jos formos tobulumą.

Užduotys:

1. Pateikite matematinį piramidės apibrėžimą.

2. Ištirkite piramidę kaip geometrinį kūną.

3. Supraskite, kokias matematines žinias egiptiečiai įtraukė į savo piramides.

Privatūs klausimai:

1. Kas yra piramidė kaip geometrinis kūnas?

2. Kaip galima paaiškinti unikalią piramidės formą matematiniu požiūriu?

3. Kuo paaiškinami geometriniai piramidės stebuklai?

4. Kas paaiškina piramidės formos tobulumą?

Piramidės apibrėžimas.

PIRAMIDĖ (iš graikų pyramis, gen. pyramidos) - daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likę paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę (brėžinys). Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės skirstomos į trikampes, keturkampes ir kt.

PIRAMIDĖ - monumentalus statinys, turintis geometrinę piramidės formą (kartais ir laiptuotą arba bokšto formą). Piramidėmis vadinami milžiniški senovės Egipto faraonų kapai III–II tūkstantmetyje prieš Kristų. e., taip pat senovės Amerikos šventyklų postamentai (Meksikoje, Gvatemaloje, Hondūre, Peru), siejami su kosmologiniais kultais.

Gali būti, kad graikiškas žodis „piramidė“ kilęs iš egiptiečių posakio per-em-us, t.y. iš termino, reiškiančio piramidės aukštį. Žymus rusų egiptologas V. Struvė manė, kad graikiškas „puram...j“ kilęs iš senovės egiptiečių „p“-mr.

Iš istorijos. Išstudijavę Atanasyano autorių vadovėlio „Geometrija“ medžiagą. Butuzovo ir kitų, sužinojome, kad: Daugiakampis, sudarytas iš n kampo A1A2A3 ... An ir n trikampių PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, vadinamas piramide. Daugiakampis A1A2A3 ... An yra piramidės pagrindas, o trikampiai PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 šoniniai veidai piramidės, P – piramidės viršus, atkarpos PA1, PA2,…, PAn – šoninės briaunos.

Tačiau toks piramidės apibrėžimas egzistavo ne visada. Pavyzdžiui, senovės graikų matematikas, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autorius Euklidas, apibrėžia piramidę kaip vientisą figūrą, apribotą plokštumų, susiliejančių iš vienos plokštumos į vieną tašką.

Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių, kurių pagrindas yra daugiakampis“.

Mūsų grupė, palyginusi šiuos apibrėžimus, padarė išvadą, kad jie neturi aiškios „pamato“ sąvokos formuluotės.

Išnagrinėjome šiuos apibrėžimus ir radome Adrieno Marie Legendre apibrėžimą, kuris 1794 m. savo darbe „Geometrijos elementai“ apibrėžia piramidę taip: „Piramidė yra vientisa figūra, sudaryta iš trikampių, susiliejančių viename taške ir besibaigiančių skirtingose ​​jo pusėse. plokščias pagrindas“.

Mums atrodo, kad paskutinis apibrėžimas aiškiai parodo piramidę, nes kalba apie tai, kad pagrindas yra plokščias. Kitas piramidės apibrėžimas pasirodė XIX amžiaus vadovėlyje: „piramidė yra kietasis kampas, kertamas plokštumos“.

Piramidė kaip geometrinis kūnas.

Tai. Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių (pagrindas) yra daugiakampis, likusieji paviršiai (kraštinės) yra trikampiai, turintys vieną bendrą viršūnę (piramidės viršūnę).

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos, vadinamas aukščioh piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra teisinga piramidė kurio pagrindu yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

Paveiksle yra piramidė PABCD, ABCD yra jos pagrindas, PO yra jos aukštis.

Plotas viso paviršiaus piramidė yra visų jos paviršių plotų suma.

Sfull = Sside + Smain, Kur Šoninė– šoninių paviršių plotų suma.

Piramidės tūris randama pagal formulę:

V=1/3Sbas. h, kur Sbas. - bazinis plotas, h- aukštis.

Taisyklingos piramidės ašis yra tiesi linija, kurioje yra jos aukštis.
Apothem ST yra taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Sside. =1/2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h- šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A'B'C'D', lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

2) skerspjūvyje gaunamas daugiakampis A’B’C’D’, panašus į pagrindą;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Nupjautinės piramidės pagrindai– panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai yra trapecijos.

Aukštis nupjauta piramidė – atstumas tarp pagrindų.

Sutrumpintas tūris Piramidė randama pagal formulę:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Taisyklingos nupjautos piramidės šoninis paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Pusė. = ½(P+P') h, kur P ir P’ yra bazių perimetrai, h- šoninio veido aukštis (įprasto sutrumpinto piramio apotema

Piramidės atkarpos.

Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai.

Atkarpa, einanti per du negretimus piramidės šoninius kraštus, vadinama įstrižainė pjūvis.

Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tada jos pėdsakas iki piramidės pagrindo plokštumos bus ši pusė.

Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės paviršiaus, ir tam tikrą pjūvio pėdsaką pagrindinėje plokštumoje, tada konstrukcija turėtų būti atliekama taip:

· rasti tam tikro veido plokštumos ir piramidės pjūvio pėdsako susikirtimo tašką ir jį pažymėti;

sukonstruoti tiesią liniją, einanti per duotas taškas ir gautą susikirtimo tašką;

· pakartokite šiuos veiksmus su kitais veidais.

, kuris atitinka stačiojo trikampio kojelių santykį 4:3. Šis kojų santykis atitinka gerai žinomą stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3:4:5, kuris vadinamas „tobulu“, „šventuoju“ arba „egipto“ trikampiu. Pasak istorikų, „Egipto“ trikampiui buvo suteikta magiška prasmė. Plutarchas rašė, kad egiptiečiai visatos prigimtį palygino su „šventu“ trikampiu; vertikalią koją jie simboliškai prilygino vyrui, pagrindą – žmonai, o hipotenuzą – tai, kas gimsta iš abiejų.

Trikampio 3:4:5 lygybė yra teisinga: 32 + 42 = 52, kuri išreiškia Pitagoro teoremą. Ar ne šią teoremą Egipto kunigai norėjo įamžinti statydami piramidę pagal trikampį 3:4:5? Sunku rasti sėkmingesnį pavyzdį, iliustruojantį Pitagoro teoremą, kurią egiptiečiai žinojo dar gerokai prieš Pitagoro atradimą.

Taigi puikūs Egipto piramidžių kūrėjai siekė nustebinti tolimus palikuonis savo žinių gilumu ir tai pasiekė pasirinkę „auksinį“ stačiakampį trikampį kaip „pagrindinę geometrinę idėją“ Cheopso piramidei, o „šventą“ arba „egiptietis“ – Khafre piramidė.trikampis.

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudoja aukso santykio proporcijų piramidžių savybes.

Matematikoje enciklopedinis žodynas Pateikiamas toks aukso pjūvio apibrėžimas – tai harmoninis padalijimas, padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu – atkarpą AB padalijant į dvi dalis taip, kad jos didesnė dalis AC būtų vidurkis proporcingas visos atkarpos AB ir jos mažesnė dalis ŠV.

Algebrinis atkarpos auksinės pjūvio nustatymas AB = a redukuoja į lygties a išsprendimą: x = x: (a – x), iš kurios x yra apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 yra Fibonačio skaičiai.

Geometrinė atkarpos AB aukso pjūvio konstrukcija atliekama taip: taške B atkuriamas statmenas AB, ant jo išdėstomas atkarpa BE = 1/2 AB, A ir E yra sujungti, DE = BE atleidžiama ir galiausiai AC = AD, tada tenkinama lygybė AB: CB = 2:3.

Auksinis santykis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje ir randamas gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio ir Partenono skulptūra. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimo pločio ir ilgio santykis yra artimas 0,618. Atsižvelgiant į lapų išsidėstymą ant bendro augalų stiebo, galima pastebėti, kad tarp kas dviejų lapų porų trečiasis yra ties auksiniu santykiu (skaidrių). Kiekvienas iš mūsų „nešioja“ auksinį santykį su savimi „rankose“ - tai yra pirštų falangų santykis.

Dėl kelių matematinių papirusų atradimo egiptologai kai ką sužinojo apie senovės Egipto skaičiavimo ir matavimo sistemas. Juose esančias užduotis sprendė raštininkai. Vienas garsiausių yra Rhindo matematinis papirusas. Nagrinėdami šias problemas, egiptologai sužinojo, kaip senovės egiptiečiai elgėsi su įvairiais dydžiais, kurie atsirado skaičiuodami svorio, ilgio ir tūrio matmenis, kurie dažnai buvo susiję su trupmenomis, taip pat kaip jie tvarkė kampus.

Senovės egiptiečiai naudojo kampų skaičiavimo metodą, pagrįstą stačiojo trikampio aukščio ir pagrindo santykiu. Jie išreiškė bet kokį kampą gradiento kalba. Nuolydžio gradientas buvo išreikštas sveikojo skaičiaus santykiu, vadinamu "seced". Knygoje „Matematika faraonų amžiuje“ Richardas Pillinsas paaiškina: „Taisyklingos piramidės sekedas yra bet kurio iš keturių trikampių paviršių polinkis į pagrindo plokštumą, matuojamas n-tuoju horizontalių vienetų skaičiumi vertikaliam pakilimo vienetui. . Taigi šis matavimo vienetas yra lygiavertis mūsų šiuolaikiniam nuolydžio kampo kotangentui. Todėl egiptiečių žodis „seced“ yra susijęs su mūsų šiuolaikinis žodis"gradientas"".

Skaitmeninis piramidžių raktas yra jų aukščio ir pagrindo santykis. Praktiškai tai yra lengviausias būdas sukurti šablonus, reikalingus nuolat tikrinti teisingą pasvirimo kampą visos piramidės konstrukcijos metu.

Egiptologai mielai mus įtikintų, kad kiekvienas faraonas troško išreikšti savo individualumą, iš čia ir skiriasi kiekvienos piramidės polinkio kampai. Bet gali būti ir kita priežastis. Galbūt visi jie norėjo įkūnyti skirtingas simbolines asociacijas, paslėptas skirtingomis proporcijomis. Tačiau Khafre piramidės kampas (remiantis trikampiu (3:4:5) pasirodo trijose problemose, kurias pateikia Rhindo matematinio papiruso piramidės). Taigi šis požiūris buvo gerai žinomas senovės egiptiečiams.

Teisybės dėlei prieš egiptologus, kurie teigia, kad senovės egiptiečiai nežinojo apie 3:4:5 trikampį, 5 hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas. Bet matematikos uždaviniai Klausimai dėl piramidžių visada sprendžiami pagal antrąjį kampą – aukščio ir pagrindo santykį. Kadangi hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas, buvo padaryta išvada, kad egiptiečiai niekada neskaičiavo trečiosios pusės ilgio.

Gizos piramidėse naudotas aukščio ir pagrindo santykis neabejotinai buvo žinomas senovės egiptiečiams. Gali būti, kad šie santykiai kiekvienai piramidei buvo pasirinkti savavališkai. Tačiau tai prieštarauja skaičių simbolikos svarbai visų rūšių Egipto vaizduojamajame mene. Labai tikėtina, kad tokie santykiai buvo reikšmingi, nes išreiškė specifines religines idėjas. Kitaip tariant, visas Gizos kompleksas buvo pajungtas nuosekliam dizainui, sukurtam atspindėti tam tikrą dievišką temą. Tai paaiškintų, kodėl dizaineriai pasirinko skirtingus trijų piramidžių kampus.

Knygoje „Oriono paslaptis“ Bauvalis ir Gilbertas pateikė įtikinamų įrodymų, siejančių Gizos piramides su Oriono žvaigždynu, ypač su Oriono juostos žvaigždėmis. Tas pats žvaigždynas yra Izidės ir Ozyrio mite, todėl yra pagrindo manyti, kad kiekviena piramidė vaizduoja vieną iš trijų pagrindinių dievybių – Ozyrio, Izidės ir Horo.

„GEOMETRIJI“ STEBUKLUAI.

Tarp grandiozinių Egipto piramidžių ji užima ypatingą vietą Didžioji faraono Cheopso piramidė (Chufu). Prieš pradėdami analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, turėtume prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektį“ (466 mm), kuri buvo lygi septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruožtu, buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Panagrinėkime Cheopso piramidės matmenis (2 pav.), vadovaudamiesi nuostabioje ukrainiečių mokslininko Nikolajaus Vasiutinskio knygoje „Auksinė proporcija“ (1990) pateiktais argumentais.

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad, pavyzdžiui, piramidės pagrindo kraštinės ilgis GF lygus L= 233,16 m. Ši reikšmė beveik tiksliai atitinka 500 „alkūnių“. Visiškai atitiks 500 „alkūnių“, jei „alkūnės“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštis ( H) tyrėjų vertinamas įvairiai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų ryšiai. Kokia yra piramidės aukščio įverčių skirtumų priežastis? Faktas yra tas, kad griežtai kalbant, Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jos viršutinė platforma šiandien yra maždaug 10 × 10 m, o prieš šimtmetį ji buvo 6 × 6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta ir ji neatitinka originalios.

Vertinant piramidės aukštį, būtina į tai atsižvelgti fizinis veiksnys, kaip struktūros „juodraštis“. Už nugaros ilgas laikas veikiant kolosaliam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m2 apatinio paviršiaus), piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu.

Koks buvo pradinis piramidės aukštis? Šį aukštį galima atkurti surandant pagrindinę piramidės „geometrinę idėją“.

2 pav.

1837 metais anglų pulkininkas G. Wise'as išmatavo piramidės veidų pasvirimo kampą: jis pasirodė lygus. a= 51°51". Šią reikšmę dauguma tyrinėtojų pripažįsta ir šiandien. Nurodyta kampo reikšmė atitinka liestinę (tg a), lygus 1,27306. Ši vertė atitinka piramidės aukščio santykį AC iki pusės pagrindo C.B.(2 pav.), tai yra A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Ir čia mokslininkų laukė didelė staigmena!.png" width="25" height="24">= 1,272. Palyginus šią reikšmę su tg reikšme a= 1,27306, matome, kad šios vertės yra labai arti viena kitos. Jei imtume kampą a= 51°50", tai yra, sumažinkite ją tik viena lanko minute, tada vertę a taps lygus 1,272, tai yra, sutaps su reikšme. Pažymėtina, kad 1840 metais G. Wise'as pakartojo savo matavimus ir patikslino, kad kampo reikšmė a=51°50".

Šie matavimai paskatino tyrėjus padaryti tokią labai įdomią hipotezę: Cheopso piramidės trikampis ACB buvo pagrįstas ryšiu AC / C.B. = = 1,272!

Dabar apsvarstykite dešinįjį trikampį ABC, kuriame kojų santykis A.C. / C.B.= (2 pav.). Jei dabar stačiakampio kraštinių ilgiai ABC paskirti pagal x, y, z, taip pat atsižvelgti į tai, kad santykis y/x= , tada pagal Pitagoro teoremą ilgis z galima apskaičiuoti pagal formulę:

Jei priimsime x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3 pav."Auksinis" stačiakampis trikampis.

Stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra susijusios kaip t:auksinis" stačiakampis trikampis.

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia galime lengvai apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Dabar išveskime keletą kitų Cheopso piramidės santykių, kurie išplaukia iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes rasime piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, paimame kojos ilgį C.B. už vienetą, tai yra: C.B.= 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis GF= 2 ir pagrindo plotas EFGH bus lygus SEFGH = 4.

Dabar apskaičiuokime Cheopso piramidės šoninio paviršiaus plotą SD. Nes aukštis AB trikampis AEF lygus t, tada šoninio paviršiaus plotas bus lygus SD = t. Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4 t, o viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui! Štai kas yra - pagrindinė geometrinė Cheopso piramidės paslaptis!

Cheopso piramidės „geometrinių stebuklų“ grupė apima realias ir tolimas įvairių piramidės matmenų santykių savybes.

Paprastai jie gaunami ieškant tam tikrų „konstantų“, ypač skaičiaus „pi“ (Ludolfo skaičius), lygus 3,14159...; pagrindu natūralūs logaritmai„e“ (Nepero skaičius), lygus 2,71828...; skaičius „F“, „auksinės pjūvio“ skaičius, lygus, pavyzdžiui, 0,618... ir t.t.

Galite įvardyti, pavyzdžiui: 1) Herodoto savybė: (Aukštis)2 = 0,5 str. pagrindinis x Apothem; 2) V nuosavybė. Kaina: Aukštis: 0,5 str. bazė = kvadratinė šaknis iš "F"; 3) M. Eisto savybė: Pagrindo perimetras: 2 Aukštis = "Pi"; kitaip interpretuojant - 2 šaukštai. pagrindinis : Aukštis = "Pi"; 4) G. briaunos savybė: Įbrėžto apskritimo spindulys: 0,5 str. pagrindinis = "F"; 5) K. Kleppisch nuosavybė: (Art. Pag.)2: 2(Art. Main. x Apothem) = (Art. Main. W. Apothema) = 2 (Art. Pag. x Apothem) : ((2 str. . bazė X Apothem) + (art. bazė)2). ir kt. Galite sugalvoti daug tokių savybių, ypač jei sujungsite dvi gretimas piramides. Pavyzdžiui, kaip „A. Arefjevo savybes“ galima paminėti, kad Cheopso piramidės ir Chafrės piramidės tūrių skirtumas lygus dvigubam Mikerino piramidės tūriui...

Daug įdomios nuostatos Visų pirma, piramidžių statyba pagal „aukso pjūvį“ aprašyta D. Hambidge'o knygose „Dinaminė simetrija architektūroje“ ir M. Gick „Proporcingumo estetika gamtoje ir mene“. Prisiminkime, kad „auksinis pjūvis“ yra atkarpos padalijimas tokiu santykiu, kad dalis A būtų tiek kartų didesnė už dalį B, kiek kartų A mažesnė už visą atkarpą A + B. Santykis A/B yra lygus skaičiui „F“ == 1,618. .. „Aukso pjūvio“ naudojimas nurodomas ne tik atskirose piramidėse, bet ir visame piramidžių komplekse prie Gizos.

Tačiau įdomiausia, kad vienoje ir toje pačioje Cheopso piramidėje tiesiog „negali“ būti tiek daug nuostabių savybių. Paėmus tam tikrą turtą po vieną, ją galima „priderinti“, tačiau visos jos netelpa iš karto – nesutampa, prieštarauja viena kitai. Todėl jei, pavyzdžiui, tikrindami visas savybes, iš pradžių imsime tą pačią piramidės pagrindo pusę (233 m), tai ir skirtingų savybių piramidžių aukščiai skirsis. Kitaip tariant, yra tam tikra piramidžių „šeima“, kurios išoriškai panašios į Cheopsą, bet atitinka skirtingos savybės. Atkreipkite dėmesį, kad „geometrinėse“ savybėse nėra nieko ypač stebuklingo - daug kas atsiranda grynai automatiškai, iš pačios figūros savybių. „Stebuklu“ reikėtų laikyti tik tai, kas senovės egiptiečiams buvo akivaizdžiai neįmanoma. Tai visų pirma apima „kosminius“ stebuklus, kuriuose Cheopso piramidės arba piramidės komplekso Gizoje matavimai lyginami su kai kuriais astronominiais matavimais ir nurodomi „lyginiai“ skaičiai: milijoną kartų mažiau, milijardą kartų mažiau ir taip toliau. Panagrinėkime kai kuriuos „kosminius“ santykius.

Vienas iš teiginių yra: „Jei padalysite piramidės pagrindo kraštinę iš tikslaus metų ilgio, gausite lygiai 10 milijonųjų Žemės ašies dalių“. Apskaičiuokite: padalinkite 233 iš 365, gausime 0,638. Žemės spindulys yra 6378 km.

Kitas teiginys iš tikrųjų yra priešingas ankstesniam. F. Noetlingas atkreipė dėmesį, kad jei naudosime jo paties sugalvotą „Egipto uolektį“, tai piramidės kraštinė atitiks „tiksliausią Saulės metų trukmę, išreikštą milijardosios paros dalies tikslumu“ – 365,540. 903.777.

P. Smitho teiginys: „Piramidės aukštis yra lygiai viena milijardoji atstumo nuo Žemės iki Saulės dalis“. Nors paprastai imamas aukštis yra 146,6 m, Smithas jį įvertino kaip 148,2 m. Remiantis šiuolaikiniais radarų matavimais, pusiau pagrindinė Žemės orbitos ašis yra 149 597 870 + 1,6 km. Tai yra vidutinis atstumas nuo Žemės iki Saulės, tačiau perihelyje jis yra 5 000 000 kilometrų mažesnis nei prie afelio.

Paskutinis įdomus teiginys:

„Kaip galime paaiškinti, kad Cheopso, Khafre ir Mykerinus piramidžių masės yra susijusios viena su kita, kaip ir planetų Žemės, Veneros ir Marso masės? Paskaičiuokime. Trijų piramidžių masės yra: Khafre - 0,835; Cheopsas – 1000; Mikerinas - 0,0915. Trijų planetų masių santykiai: Venera – 0,815; Žemė - 1000; Marsas – 0,108.

Taigi, nepaisant skepticizmo, pastebime gerai žinomą teiginių konstravimo harmoniją: 1) piramidės aukštis, kaip linija „einanti į kosmosą“, atitinka atstumą nuo Žemės iki Saulės; 2) piramidės pagrindo pusė, esanti arčiausiai „pagrindo“, tai yra, Žemės, yra atsakinga už žemės spindulį ir žemės cirkuliaciją; 3) piramidės tūriai (skaityti – masės) atitinka arčiausiai Žemės esančių planetų masių santykį. Panašų „šifrą“ galima atsekti, pavyzdžiui, bičių kalboje, kurią analizavo Karlas von Frischas. Tačiau kol kas nuo komentarų šiuo klausimu susilaikysime.

PIRAMIDĖS FORMA

Garsioji tetraedrinė piramidžių forma atsirado ne iš karto. Skitai laidodavo žemiškų kalvų – piliakalnių pavidalu. Egiptiečiai iš akmens statė „kalvas“ – piramides. Pirmą kartą tai įvyko po Aukštutinio ir Žemutinio Egipto suvienijimo, 28 amžiuje prieš Kristų, kai Trečiosios dinastijos įkūrėjas faraonas Džoseris (Zoseris) susidūrė su užduotimi stiprinti šalies vienybę.

Ir štai, pasak istorikų, svarbus vaidmuo Karaliaus „naujoji dievinimo samprata“ suvaidino vaidmenį stiprinant centrinę valdžią. Nors karališkieji palaidojimai ir pasižymėjo didesniu puošnumu, iš esmės jie nesiskyrė nuo rūmų didikų kapų, buvo tie patys statiniai – mastabas. Virš kameros su sarkofagu, kuriame yra mumija, buvo supiltas stačiakampis mažų akmenų kalnas, kuriame buvo pastatytas nedidelis pastatas iš didelių akmens blokų - "mastaba" (arabiškai - "suolas"). Faraonas Džoseris pastatė pirmąją piramidę savo pirmtako Sanakhto mastabos vietoje. Jis buvo laiptuotas ir buvo matomas pereinamasis etapas nuo vienos architektūrinės formos prie kitos, nuo mastabos iki piramidės.

Tokiu būdu išminčius ir architektas Imhotepas, kurį vėliau laikė burtininku, o graikai tapatino su dievu Asklepijumi, „išaugino“ faraoną. Atrodė, lyg iš eilės būtų pastatyti šeši mastabai. Be to, pirmoji piramidė užėmė 1125 x 115 metrų plotą, o numatomas 66 metrų aukštis (pagal Egipto standartus - 1000 „delnų“). Iš pradžių architektas planavo statyti mastabą, bet ne pailgą, o kvadratinio plano. Vėliau jis buvo išplėstas, bet kadangi prailginimas buvo žemesnis, atrodė, kad yra du laipteliai.

Tokia situacija architekto netenkino ir ant didžiulės plokščios mastabos viršutinės platformos Imhotepas pastatė dar tris, palaipsniui mažėdamas link viršaus. Kapas buvo po piramide.

Žinomos dar kelios laiptuotos piramidės, tačiau vėliau statybininkai perėjo prie mums labiau pažįstamų tetraedrinių piramidžių. Tačiau kodėl ne trikampis ar, tarkim, aštuonkampis? Netiesioginį atsakymą duoda tai, kad beveik visos piramidės yra puikiai orientuotos išilgai keturių pagrindinių krypčių, todėl turi keturias puses. Be to, piramidė buvo „namas“, keturkampės laidojimo kameros apvalkalas.

Bet kas lėmė veidų pasvirimo kampą? Knygoje „Proporcijų principas“ tam skirtas visas skyrius: „Kas galėjo lemti piramidžių pasvirimo kampus“. Visų pirma nurodoma, kad „vaizdas, į kurį traukia didžiosios Senosios Karalystės piramidės, yra trikampis, kurio viršūnė yra stačiu kampu.

Erdvėje tai yra pusiau oktaedras: piramidė, kurios pagrindo kraštai ir kraštinės yra lygios, briaunos yra lygiakraščiai trikampiai.

Koks yra pusiau oktaedro kampo pranašumas? Remiantis archeologų ir istorikų aprašymais, kai kurios piramidės sugriuvo nuo savo svorio. Reikėjo „ilgaamžiškumo kampo“, energetiškai patikimiausio kampo. Grynai empiriškai šis kampas gali būti paimtas iš viršūnės kampo trupančio sauso smėlio krūvoje. Tačiau norint gauti tikslius duomenis, reikia naudoti modelį. Paėmus keturis tvirtai pritvirtintus rutulius, ant jų reikia uždėti penktą ir išmatuoti pasvirimo kampus. Tačiau čia galite suklysti, todėl padeda teorinis skaičiavimas: rutulių centrus turėtumėte sujungti linijomis (protiškai). Pagrindas bus kvadratas, kurio kraštinė yra dvigubai didesnė už spindulį. Kvadratas bus tik piramidės pagrindas, kurio kraštų ilgis taip pat bus lygus dvigubam spinduliui.

Taigi, glaudus rutuliukų supakavimas, pavyzdžiui, 1:4, suteiks mums taisyklingą pusiau oktaedrą.

Tačiau kodėl daugelis piramidžių, besikreipiančių į panašią formą, vis dėlto jos neišlaiko? Piramidės tikriausiai sensta. Priešingai nei garsus posakis:

„Pasaulyje viskas bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“, piramidžių pastatai turi senti, juose gali ir turi vykti ne tik išoriniai atmosferos procesai, bet ir vidinio „susitraukimo“ procesai. piramidės gali tapti žemesnės. Susitraukimas galimas ir dėl to, kad, kaip atskleidė D. Davidovito darbas, senovės egiptiečiai naudojo blokelių gamybos iš kalkių drožlių, kitaip tariant, iš „betono“, technologiją. Būtent panašūs procesai galėtų paaiškinti Medumo piramidės, esančios 50 km į pietus nuo Kairo, sunaikinimo priežastį. Jam 4600 metų, pagrindo matmenys 146 x 146 m, aukštis 118 m. „Kodėl jis toks subjaurotas?“ – klausia V. Zamarovskis. „Įprastos nuorodos į destruktyvų laiko poveikį ir „akmens panaudojimą kitiems pastatams“ čia netinka.

Juk dauguma jo blokų ir apkalų plokščių iki šių dienų išliko savo vietose, jos papėdėje sugriuvę.“ Kaip matysime, nemažai nuostatų net verčia manyti, kad ir garsioji Cheopso piramidė „sutraukė“. bet kokiu atveju visuose senoviniuose vaizduose piramidės yra smailios ...

Piramidžių forma taip pat galėjo būti sukurta imituojant: kai kurie natūralūs pavyzdžiai, „stebuklas tobulumas“, tarkime, kai kurie kristalai oktaedro pavidalu.

Panašūs kristalai gali būti deimanto ir aukso kristalai. Charakteristika didelis skaičius„persidengiantys“ ženklai tokioms sąvokoms kaip faraonas, saulė, auksas, deimantas. Visur – kilnus, genialus (briliantiškas), puikus, nepriekaištingas ir pan. Panašumai nėra atsitiktiniai.

Saulės kultas, kaip žinoma, sudarė svarbią religijos dalį Senovės Egiptas. „Nesvarbu, kaip verčiame didžiausios piramidžių pavadinimą“, – rašoma viename iš šiuolaikinių vadovų „The Sky of Khufu“ arba „The Skyward Khufu“, tai reiškė, kad karalius yra saulė. Jei Khufu savo galios spindesyje įsivaizdavo esąs antrąja saule, tai jo sūnus Djedef-Ra tapo pirmuoju iš Egipto karalių, pasivadinusiu „Ra sūnumi“, tai yra, Saulės sūnumi. Beveik visų tautų saulę simbolizavo „saulės metalas“, auksas. „Didelis šviesaus aukso diskas“ – taip egiptiečiai vadino mūsų dienos šviesą. Egiptiečiai puikiai pažinojo auksą, žinojo jo gimtąsias formas, kur aukso kristalai gali atsirasti oktaedrų pavidalu.

„Saulės akmuo“ – deimantas – čia taip pat įdomus kaip „formų pavyzdys“. Deimanto pavadinimas kilo būtent iš arabų pasaulio, „almas“ - kiečiausias, kiečiausias, nesunaikinamas. Senovės egiptiečiai gana gerai žinojo deimantą ir jo savybes. Kai kurių autorių teigimu, gręžimui jie naudojo net bronzinius vamzdžius su deimantiniais pjaustytuvais.

Šiuo metu pagrindinis deimantų tiekėjas yra Pietų Afrika, tačiau Vakarų Afrikoje taip pat gausu deimantų. Malio Respublikos teritorija netgi vadinama „Deimantų žeme“. Tuo tarpu būtent Malio teritorijoje gyvena dogonai, su kuriais paleo vizito hipotezės šalininkai sieja daug vilčių (žr. toliau). Deimantai negalėjo būti senovės egiptiečių kontaktų su šiuo regionu priežastis. Tačiau vienaip ar kitaip gali būti, kad būtent kopijuodami deimantų ir aukso kristalų oktaedrus senovės egiptiečiai dievino faraonus, „nesunaikinamus“ kaip deimantas ir „briliuojančius“ kaip auksas, Saulės sūnus, palyginamus tik į nuostabiausius gamtos kūrinius.

Išvada:

Ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, susipažinę su jos elementais ir savybėmis, įsitikinome nuomonės apie piramidės formos grožį pagrįstumu.

Atlikę tyrimą priėjome prie išvados, kad egiptiečiai, surinkę vertingiausias matematines žinias, jas įkūnijo piramidėje. Todėl piramidė tikrai yra tobuliausias gamtos ir žmogaus kūrinys.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: vadovėlis. 7-9 klasėms. bendrojo išsilavinimo įstaigos\ ir tt - 9 leidimas - M.: Švietimas, 1999 m

Matematikos istorija mokykloje, M: „Prosveshchenie“, 1982 m.

Geometrija 10-11 kl., M: „Nušvitimas“, 2000 m

Peteris Tompkinsas „Didžiosios Cheopso piramidės paslaptys“, M: „Tsentropoligraf“, 2005 m.

Interneto ištekliai

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Apibrėžimas. Šoninis kraštas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.

Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai- tai yra bendros šoninių paviršių pusės. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.

Apibrėžimas. Piramidės aukštis- tai statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.

Apibrėžimas. Apotema- tai statmenas piramidės šoniniam paviršiui, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.

Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.

Apibrėžimas. Teisinga piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nusileidžia į pagrindo centrą.

Piramidės tūris ir paviršiaus plotas

Formulė. Piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:

Piramidės savybės

Jei visos šoninės briaunos lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.

Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindo plokštumą tais pačiais kampais.

Šoniniai šonkauliai yra lygūs, kai susidaro su pagrindo plokštuma vienodi kampai arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jo centrą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada šoninių paviršių apotemos yra lygios.

Taisyklingos piramidės savybės

1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.

2. Visos šoninės briaunos lygios.

3. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę vienodais kampais į pagrindą.

4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.

5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.

6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.

7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Apribotos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštinių vidurį, susikirtimo taškas.

8. Į piramidę galite sutalpinti rutulį. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.

9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokštumos kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π/n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.

Piramidės ir sferos ryšys

Sfera gali būti apibūdinta aplink piramidę, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama būklė). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.

Visada galima apibūdinti sferą aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.

Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Piramidės sujungimas su kūgiu

Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą.

Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam.

Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.

Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Piramidės ir cilindro ryšys

Piramidė vadinama įbrėžta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.

Cilindras gali būti apibūdintas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Apibrėžimas. Nupjauta piramidė (piramidinė prizmė) yra daugiakampis, esantis tarp piramidės pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taigi piramidė turi didelė bazė ir mažesnis pagrindas, panašus į didesnį. Šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

Apibrėžimas. Trikampė piramidė (tetraedras) yra piramidė, kurios trys paviršiai ir pagrindas yra savavališki trikampiai.

Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.

Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampio kampo.

Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).

Bimedian vadinama atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).

Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianos dalijamos per pusę, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.

Apibrėžimas. Pasvirusi piramidė yra piramidė, kurios viena iš kraštinių sudaro bukąjį kampą (β) su pagrindu.

Apibrėžimas. Stačiakampė piramidė yra piramidė, kurios vienas iš šoninių paviršių yra statmenas pagrindui.

Apibrėžimas. Ūmaus kampo piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Bukoji piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Tai vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. IN taisyklingas tetraedras visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.

Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras yra tetraedras, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiu kampu (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas ir paviršiai yra stačiakampiai, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.

Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Toks tetraedras turi lygiašonius trikampius.

Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.

Apibrėžimas. Žvaigždžių piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra žvaigždė.

Apibrėžimas. Bipiramidė- daugiakampis, susidedantis iš dviejų skirtingų piramidžių (piramidės taip pat gali būti nupjautos), turinčios bendrą pagrindą, o viršūnės yra išilgai skirtingos pusės nuo pagrindo plokštumos.

Įvadas

Pradėję studijuoti stereometrines figūras, palietėme temą „Piramidė“. Ši tema mums patiko, nes piramidė labai dažnai naudojama architektūroje. Ir nuo mūsų ateities profesija architektė, įkvėpta šios figūros, manome, kad ji gali pastūmėti mus link puikių projektų.

Architektūrinių konstrukcijų tvirtumas yra svarbiausia jų kokybė. Susiejant tvirtumą, pirma, su medžiagomis, iš kurių jie sukurti, ir, antra, su dizaino sprendimų ypatybėmis, paaiškėja, kad konstrukcijos stiprumas yra tiesiogiai susijęs su jai pagrindine geometrine forma.

Kitaip tariant, mes kalbame apie apie tą geometrinę figūrą, kurią galima laikyti atitinkamos architektūrinės formos modeliu. Paaiškėjo, kad geometrine forma taip pat lemia architektūrinės konstrukcijos tvirtumą.

Nuo seniausių laikų Egipto piramidės buvo laikomos patvariausiomis architektūros statiniais. Kaip žinote, jie turi taisyklingų keturkampių piramidžių formą.

Būtent ši geometrinė forma suteikia didžiausią stabilumą dėl didelio pagrindo ploto. Kita vertus, piramidės forma užtikrina, kad masė mažėtų didėjant aukščiui virš žemės. Būtent šios dvi savybės daro piramidę stabilią, taigi ir stiprią gravitacijos sąlygomis.

Projekto tikslas: sužinokite ką nors naujo apie piramides, pagilinkite žinias ir raskite praktinį pritaikymą.

Norint pasiekti šį tikslą, reikėjo išspręsti šias užduotis:

· Sužinokite istorinę informaciją apie piramidę

· Apsvarstykite piramidę kaip geometrinė figūra

· Raskite pritaikymą gyvenime ir architektūroje

· Raskite panašumus ir skirtumus tarp piramidžių, esančių įvairiose pasaulio vietose

Teorinė dalis

Istorinė informacija

Piramidės geometrijos pradžia buvo nustatyta Senovės Egipte ir Babilone, tačiau ji buvo aktyviai plėtojama m. Senovės Graikija. Pirmasis piramidės tūrį nustatė Demokritas, o Eudoksas Knidas tai įrodė. Senovės graikų matematikas Euklidas susistemino žinias apie piramidę savo „Elementų“ XII tome, taip pat išvedė pirmąjį piramidės apibrėžimą: tvirtą figūrą, apribotą plokštumų, susiliejančių iš vienos plokštumos į vieną tašką.

Egipto faraonų kapai. Didžiausios iš jų – Cheopso, Khafre ir Mikerino piramidės El Gizoje – senovėje buvo laikomos vienu iš septynių pasaulio stebuklų. Piramidės statyba, kurioje graikai ir romėnai jau matė paminklą precedento neturinčiam karalių pasididžiavimui ir žiaurumui, pasmerkusiam visą Egipto žmones beprasmėms statyboms, buvo svarbiausias kulto veiksmas ir, matyt, turėjo išreikšti mistinė šalies ir jos valdovo tapatybė. Šalies gyventojai laisvą nuo žemės ūkio darbų metų dalį dirbo prie kapo statybos. Nemažai tekstų liudija, kokį dėmesį ir rūpestį patys karaliai (nors ir vėlesniu laiku) skyrė savo kapo statybai ir jo statytojams. Taip pat žinoma apie ypatingas kulto garbes, kurios buvo suteiktos pačiai piramidei.

Pagrindinės sąvokos

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusieji paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę.

Apotema- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršūnės;

Šoniniai veidai- trikampiai, susitinkantys viršūnėje;

Šoniniai šonkauliai- bendrosios šoninių paviršių pusės;

Piramidės viršūnė- taškas, jungiantis šoninius šonkaulius ir negulintis pagrindo plokštumoje;

Aukštis- statmena atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);

Įstrižinė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;

Bazė- daugiakampis, kuris nepriklauso piramidės viršūnei.

Pagrindinės taisyklingos piramidės savybės

Šoniniai kraštai, šoniniai paviršiai ir apotemos yra atitinkamai vienodi.

Dvikampiai kampai prie pagrindo yra lygūs.

Dvikampiai kampai prie šoninių kraštų yra lygūs.

Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių.

Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių paviršių.

Pagrindinės piramidės formulės

Piramidės šoninio ir bendro paviršiaus plotas.

Piramidės (pilnos ir nupjautos) šoninio paviršiaus plotas yra visų jos šoninių paviršių plotų suma, bendras paviršiaus plotas yra visų jos paviršių plotų suma.

Teorema: Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei piramidės pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos.

p- bazinis perimetras;

h- apotemas.

Nupjautos piramidės šoninių ir pilnų paviršių plotas.

1 p, p 2 - baziniai perimetrai;

h- apotemas.

R- bendras taisyklingos nupjautos piramidės paviršiaus plotas;

S pusė- taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas;

S 1 + S 2- bazinis plotas

Piramidės tūris

Forma tūris ula yra naudojamas bet kokios rūšies piramidėms.

H- piramidės aukštis.

Piramidės kampai

Kampai, kuriuos sudaro piramidės šoninis paviršius ir pagrindas, vadinami dvikampiais kampais piramidės pagrinde.

Dvikampį kampą sudaro du statmenai.

Norint nustatyti šį kampą, dažnai reikia naudoti trijų statmenų teoremą.

Vadinami kampai, kuriuos sudaro šoninė briauna ir jos projekcija į pagrindo plokštumą kampai tarp šoninio krašto ir pagrindo plokštumos.

Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių briaunų, vadinamas dvikampis kampas prie piramidės šoninės briaunos.

Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių vienos piramidės briaunos briaunų, vadinamas kampas piramidės viršuje.

Piramidės sekcijos

Piramidės paviršius yra daugiakampio paviršius. Kiekvienas jos paviršius yra plokštuma, todėl pjovimo plokštuma apibrėžta piramidės atkarpa yra trūkinė, susidedanti iš atskirų tiesių.

Įstrižainė pjūvis

Piramidės pjūvis plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nėra tame pačiame paviršiuje, vadinama įstrižainė pjūvis piramidės.

Lygiagrečios sekcijos

Teorema:

Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tai piramidės šoninės briaunos ir aukščiai šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

Šios plokštumos pjūvis yra daugiakampis, panašus į pagrindą;

Pjūvio ir pagrindo plotai yra susieti vienas su kitu kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.

Piramidės tipai

Teisinga piramidė– piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

Įprastai piramidei:

1. šoniniai šonkauliai yra lygūs

2. šoniniai paviršiai lygūs

3. apotemai yra lygūs

4. dvikampiai kampai prie pagrindo yra lygūs

5. dvikampiai kampai prie šoninių briaunų yra lygūs

6. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių

7. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių kraštų

Nupjauta piramidė- piramidės dalis, esanti tarp jos pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios pagrindui.

Nupjautinės piramidės pagrindas ir atitinkama atkarpa vadinama nupjautinės piramidės pagrindai.

Statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą, vadinamas nupjautos piramidės aukščio.

Užduotys

Nr. 1. Dešinėje keturkampė piramidė taškas O yra pagrindo centras, SO=8 cm, BD=30 cm. Raskite šoninę briauną SA.

Problemų sprendimas

Nr. 1. IN teisinga piramidė visi paviršiai ir kraštai yra lygūs.

Apsvarstykite OSB: OSB yra stačiakampis stačiakampis, nes.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramidė architektūroje

Piramidė yra monumentali įprastos taisyklingos geometrinės piramidės formos statinys, kuriame pusės susilieja viename taške. Autorius funkcinis tikslas Piramidės senovėje buvo laidojimo ar kulto kulto vieta. Piramidės pagrindas gali būti trikampis, keturkampis arba daugiakampio formos su savavališku viršūnių skaičiumi, tačiau labiausiai paplitusi versija yra keturkampis pagrindas.

Yra nemažai piramidžių, kurias statė įvairios kultūros. Senovės pasaulis daugiausia kaip šventyklos ar paminklai. Didelės piramidės apima Egipto piramides.

Visoje Žemėje galite pamatyti piramidžių pavidalo architektūrines struktūras. Piramidės pastatai mena senus laikus ir atrodo labai gražiai.

Egipto piramidės didžiausi Senovės Egipto architektūros paminklai, įskaitant vieną iš „septynių pasaulio stebuklų“, Cheopso piramidę. Nuo pėdos iki viršūnės siekia 137,3 m, o kol neprarado viršūnės, jo aukštis siekė 146,7 m.

Apverstą piramidę primenantis radijo stoties pastatas Slovakijos sostinėje pastatytas 1983 m. Be biurų ir tarnybinių patalpų, tūrio viduje yra gana erdvi koncertų salė, kurioje yra vieni didžiausių vargonų Slovakijoje.

Luvras, kuris yra „tylus, nepakitęs ir didingas, kaip piramidė“, per šimtmečius patyrė daug pokyčių, kol tapo didžiausiu muziejumi pasaulyje. Ji gimė kaip tvirtovė, kurią 1190 m. pastatė Pilypas Augustas, kuri netrukus tapo karališka rezidencija. 1793 m. rūmai tapo muziejumi. Kolekcijos praturtėja palikimais ar pirkimais.