Kaip apskaičiuoti trapecijos plotą pagal keturias puses. Trapecijos plotas: kaip apskaičiuoti, formulė

Matematikoje žinomi keli keturkampių tipai: kvadratas, stačiakampis, rombas, lygiagretainis. Tarp jų yra trapecija – išgaubto keturkampio tipas, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne. Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos pagrindais, o kitos dvi – šoninėmis trapecijos kraštinėmis. Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurio linija. Trapecijos yra kelių tipų: lygiašonės, stačiakampės, lenktos. Kiekvienam trapecijos tipui yra formulės, kaip rasti plotą.

Trapecijos plotas

Norėdami rasti trapecijos plotą, turite žinoti jos pagrindų ilgį ir aukštį. Trapecijos aukštis yra atkarpa, statmena pagrindams. Viršutinė bazė bus a, apatinė b, o aukštis h. Tada galite apskaičiuoti plotą S naudodami formulę:

S = ½ * (a+b) * h

tie. paimkite pusę bazių sumos, padauginto iš aukščio.

Taip pat bus galima apskaičiuoti trapecijos plotą, jei žinomas aukštis ir vidurio linija. Pažymime vidurinę liniją – m. Tada

Išspręskime sudėtingesnį uždavinį: žinomi keturių trapecijos kraštinių ilgiai - a, b, c, d. Tada plotas bus rastas naudojant formulę:

Jei žinomi įstrižainių ilgiai ir kampas tarp jų, tada sritis ieškoma taip:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

kur d su indeksais 1 ir 2 yra įstrižainės. Šioje formulėje skaičiuojant pateikiamas kampo sinusas.

Atsižvelgiant į žinomus pagrindų a ir b ilgius ir du kampus apatiniame pagrinde, plotas apskaičiuojamas taip:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Lygiašonės trapecijos plotas

Lygiašonė trapecija yra ypatingas trapecijos atvejis. Jo skirtumas tas, kad tokia trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio simetrijos ašis eina per dviejų priešingų kraštinių vidurio taškus. Jo pusės yra lygios.

Rasti sritį lygiašonė trapecija galima keliais būdais.

• Per trijų pusių ilgius. Tokiu atveju kraštinių ilgiai sutaps, todėl jie žymimi viena reikšme - c, o a ir b - pagrindų ilgiais:

• Jei žinomas viršutinio pagrindo ilgis, šonas ir kampas ties apatiniu pagrindu, tada plotas apskaičiuojamas taip:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kur a yra viršutinė bazė, c - pusėje.

• Jei vietoj viršutinio pagrindo žinomas apatinio ilgis - b, plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Jei žinomi du pagrindai ir kampas prie apatinio pagrindo, plotas apskaičiuojamas pagal kampo liestinę:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Plotas taip pat apskaičiuojamas per įstrižaines ir kampą tarp jų. Šiuo atveju įstrižainės yra vienodo ilgio, todėl kiekvieną žymime raide d be apatinių indeksų:

S = ½ * d2 * sin α

• Apskaičiuokime trapecijos plotą, žinodami kraštinės ilgį, vidurio liniją ir kampą prie apatinio pagrindo.

Tegul pusė būna su, vidurinė linija- m, kampas - a, tada:

S = m * c * sin α

Kartais į lygiakraštę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, kurio spindulys bus r.

Žinoma, kad į bet kurią trapeciją galima įbrėžti apskritimą, jei pagrindų ilgių suma lygi jo kraštinių ilgių sumai. Tada plotą galima rasti per įrašyto apskritimo spindulį ir kampą prie apatinio pagrindo:

S = 4r2 / sinα

Tas pats skaičiavimas atliekamas naudojant įbrėžto apskritimo skersmenį D (beje, jis sutampa su trapecijos aukščiu):

Žinant pagrindą ir kampą, lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip:

S = a * b / sin α

(ši ir tolesnės formulės galioja tik trapecijoms su įbrėžtu apskritimu).

Naudojant apskritimo pagrindus ir spindulį, plotas randamas taip:

Jei žinomos tik bazės, tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

Per pagrindus ir šoninę liniją trapecijos plotas su įrašytu apskritimu ir per pagrindus bei vidurinę liniją - m apskaičiuojamas taip:

Stačiakampės trapecijos plotas

Trapecija vadinama stačiakampe, jei viena iš jos kraštinių yra statmena pagrindui. Šiuo atveju kraštinės ilgis sutampa su trapecijos aukščiu.

Stačiakampę trapeciją sudaro kvadratas ir trikampis. Suradę kiekvienos figūros plotą, sudėkite rezultatus ir gaukite bendrą figūros plotą.

Taip pat stačiakampės trapecijos plotui apskaičiuoti tinka bendrosios trapecijos ploto skaičiavimo formulės.

• Jei žinomi pagrindų ilgiai ir aukštis (arba statmena kraštinė), tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = (a + b) * h / 2

Šoninė pusė c gali veikti kaip h (aukštis). Tada formulė atrodo taip:

S = (a + b) * c / 2

• Kitas būdas apskaičiuoti plotą yra padauginti vidurio linijos ilgį iš aukščio:

arba pagal šoninės statmenos kraštinės ilgį:

• Kitas skaičiavimo būdas yra pusė įstrižainių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Jei įstrižainės yra statmenos, formulė supaprastinama taip:

S = ½ * d1 * d2

• Kitas būdas apskaičiuoti yra per pusperimetrą (dviejų priešingų kraštinių ilgių sumą) ir įbrėžto apskritimo spindulį.

Ši formulė galioja bazėms. Jei imsime kraštinių ilgius, tada vienas iš jų bus lygus dvigubam spinduliui. Formulė atrodys taip:

S = (2r + c) * r

• Jei į trapeciją įrašytas apskritimas, tada plotas apskaičiuojamas taip pat:

kur m yra vidurio linijos ilgis.

Išlenktos trapecijos plotas

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, apribota neneigiamos tolydžios funkcijos y = f(x) grafiku, apibrėžta atkarpoje, abscisių ašyje ir tiesėse x = a, x = b. Iš esmės dvi jos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai (pagrindai), trečioji yra statmena pagrindams, o ketvirtoji yra kreivė, atitinkanti funkcijos grafiką.

Kreivinės trapecijos plotas ieškomas per integralą, naudojant Niutono-Leibnizo formulę:

Taip skaičiuojami plotai įvairių tipų trapecijos formos. Tačiau, be šonų savybių, trapecijos turi tas pačias kampų savybes. Kaip ir visų esamų keturkampių, trapecijos vidinių kampų suma yra 360 laipsnių. O kampų, esančių šalia šono, suma yra 180 laipsnių.

Norint jaustis užtikrintai ir sėkmingai spręsti uždavinius geometrijos pamokose, neužtenka išmokti formulių. Pirmiausia juos reikia suprasti. Bijoti, o juo labiau nekęsti formulių – neproduktyvu. Šiame straipsnyje bus analizuojama prieinama kalba įvairių būdų Trapecijos ploto radimas. Dėl geresnis įsisavinimas atitinkamas taisykles ir teoremas, atkreipsime dėmesį į jo savybes. Tai padės suprasti, kaip veikia taisyklės ir kokiais atvejais reikėtų taikyti tam tikras formules.

Trapecijos apibrėžimas

Kokia tai apskritai figūra? Trapecija yra daugiakampis su keturiais kampais ir dviem lygiagrečiomis kraštinėmis. Į kitas dvi trapecijos puses galima pakreipti skirtingi kampai. Ji lygiagrečios pusės yra vadinami bazėmis, o nelygiagrečioms pusėms naudojamas pavadinimas „šonai“ arba „klubai“. Tokie skaičiai yra gana dažni kasdienybė. Trapecijos kontūrai matomi drabužių, interjero daiktų, baldų, indų ir daugelio kitų siluetuose. Atsiranda trapecija skirtingi tipai: skalinė, lygiakraštė ir stačiakampė. Toliau straipsnyje mes išsamiau išnagrinėsime jų tipus ir savybes.

Trapecijos savybės

Trumpai pakalbėkime apie šio paveikslo savybes. Kampų, esančių šalia bet kurios kraštinės, suma visada yra 180°. Reikėtų pažymėti, kad visi trapecijos kampai sudaro 360°. Trapecija turi vidurio linijos sąvoką. Jei kraštinių vidurio taškus sujungsite su segmentu, tai bus vidurinė linija. Jis žymimas m. Vidurinė linija turi svarbios savybės: jis visada yra lygiagretus pagrindams (atsimename, kad pagrindai taip pat lygiagrečiai vienas kitam) ir lygus jų pusei:

Šį apibrėžimą reikia išmokti ir suprasti, nes tai yra raktas į daugelio problemų sprendimą!

Naudodami trapeciją, visada galite nuleisti aukštį iki pagrindo. Aukštis yra statmenas, dažnai žymimas simboliu h, brėžiamas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą bazę arba jos tęsinį. Vidurinė linija ir aukštis padės rasti trapecijos plotą. Tokios problemos dažniausiai pasitaiko mokykliniame geometrijos kurse ir reguliariai atsiranda tarp testų ir egzaminų darbų.

Paprasčiausios trapecijos ploto formulės

Pažvelkime į dvi populiariausias ir paprasčiausias formules, naudojamas trapecijos plotui rasti. Pakanka aukštį padauginti iš pusės pagrindų sumos, kad lengvai rastumėte tai, ko ieškote:

S = h*(a + b)/2.

Šioje formulėje a, b žymi trapecijos pagrindus, h – aukštį. Kad būtų lengviau suvokti, šiame straipsnyje daugybos ženklai formulėse žymimi simboliu (*), nors oficialiose žinynuose daugybos ženklas dažniausiai praleidžiamas.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Duota: trapecija, kurios du pagrindai lygūs 10 ir 14 cm, aukštis 7 cm. Koks trapecijos plotas?

Pažvelkime į šios problemos sprendimą. Naudojant šią formulę, pirmiausia reikia rasti bazių pusę sumos: (10+14)/2 = 12. Taigi, pusinė suma lygi 12 cm. Dabar pusę sumos padauginame iš aukščio: 12*7 = 84. Tai, ko ieškome, yra rasta. Atsakymas: Trapecijos plotas yra 84 kvadratiniai metrai. cm.

Antroji gerai žinoma formulė sako: trapecijos plotas yra lygus vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai. Tai yra, tai iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnės vidurinės linijos sampratos: S=m*h.

Įstrižainių naudojimas skaičiavimams

Kitas būdas rasti trapecijos plotą iš tikrųjų nėra toks sudėtingas. Jis yra prijungtas prie jo įstrižainių. Naudodami šią formulę, norėdami rasti plotą, turite padauginti jo įstrižainių pusgaminį (d 1 d 2) iš kampo tarp jų sinuso:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Panagrinėkime problemą, kuri parodo šio metodo taikymą. Duota: trapecija, kurios įstrižainių ilgis atitinkamai lygus 8 ir 13 cm. Kampas a tarp įstrižainių yra 30°. Raskite trapecijos plotą.

Sprendimas. Naudojant aukščiau pateiktą formulę, lengva apskaičiuoti, ko reikia. Kaip žinote, nuodėmė 30° yra 0,5. Todėl S = 8*13*0,5=52. Atsakymas: plotas 52 kvadratiniai metrai. cm.

Lygiašonės trapecijos ploto radimas

Trapecija gali būti lygiašonė (lygiašonė). Jo kraštinės vienodos, o kampai prie pagrindų lygūs, tai puikiai iliustruoja paveikslas. Lygiašonė trapecija turi tokias pačias savybes kaip ir įprasta, be to, daug specialių. Aplink lygiašonė trapecija apskritimas gali būti aprašytas, o apskritimas gali būti įrašytas į jį.

Kokie yra tokios figūros ploto apskaičiavimo metodai? Toliau pateiktam metodui reikės daug skaičiavimų. Norėdami jį naudoti, turite žinoti kampo ties trapecijos pagrindu sinuso (sin) ir kosinuso (cos) reikšmes. Norint juos apskaičiuoti, reikia arba Bradis lentelių, arba inžinerinio skaičiuotuvo. Štai formulė:

S = c*nuodėmė a*(a - c* cos a),

Kur Su- šoninės šlaunies, a- kampas prie apatinio pagrindo.

Lygiakraščio trapecijos įstrižainės yra vienodo ilgio. Taip pat yra priešingai: jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė. Taigi ši formulė, padedanti rasti trapecijos plotą - įstrižainių kvadrato ir kampo tarp jų sinuso sandauga: S = ½ d 2 sin a.

Stačiakampės trapecijos ploto radimas

Yra žinomas ypatingas stačiakampės trapecijos atvejis. Tai trapecija, kurios viena pusė (jos šlaunys) stačiu kampu ribojasi su pagrindais. Jis turi įprastos trapecijos savybių. Be to, ji turi labai įdomi savybė. Tokios trapecijos įstrižainių kvadratų skirtumas lygus jos pagrindų kvadratų skirtumui. Tam naudojami visi anksčiau aprašyti ploto apskaičiavimo metodai.

Mes naudojame išradingumą

Yra vienas triukas, kuris gali padėti, jei pamiršite konkrečias formules. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra trapecija. Jei mintyse suskirstysime jį į dalis, gausime pažįstamas ir suprantamas geometrines figūras: kvadratą arba stačiakampį ir trikampį (vieną ar du). Jei trapecijos aukštis ir kraštinės yra žinomi, galite naudoti trikampio ir stačiakampio ploto formules ir sudėti visas gautas reikšmes.

Iliustruojame tai tokiu pavyzdžiu. Duota stačiakampė trapecija. Kampas C = 45°, kampai A, D yra 90°. Viršutinis trapecijos pagrindas 20 cm, aukštis 16 cm. Reikia paskaičiuoti figūros plotą.

Ši figūra akivaizdžiai susideda iš stačiakampio (jei du kampai lygūs 90°) ir trikampio. Kadangi trapecija yra stačiakampė, todėl jos aukštis lygus jos kraštinei, tai yra 16 cm. Turime stačiakampį, kurio kraštinės atitinkamai yra 20 ir 16 cm. Dabar apsvarstykite trikampį, kurio kampas yra 45 °. Žinome, kad viena jo kraštinė yra 16 cm.Kadangi ši kraštinė yra ir trapecijos aukštis (o mes žinome, kad aukštis nusileidžia į pagrindą stačiu kampu), todėl antrasis trikampio kampas yra 90°. Taigi likęs trikampio kampas yra 45°. To pasekmė yra ta, kad gauname statųjį lygiašonį trikampį, kurio dvi kraštinės yra vienodos. Tai reiškia, kad kita trikampio pusė lygi aukščiui, tai yra 16 cm. Belieka apskaičiuoti trikampio ir stačiakampio plotą ir pridėti gautas reikšmes.

Stačiakampio plotas lygus pusei jo kojų sandaugos: S = (16*16)/2 = 128. Stačiakampio plotas lygus jo pločio ir ilgio sandaugai: S = 20*16 = 320. Radome reikiamą: trapecijos plotas S = 128 + 320 = 448 kv. žr. Galite lengvai dar kartą patikrinti save naudodami aukščiau pateiktas formules, atsakymas bus identiškas.

Mes naudojame Pick formulę

Galiausiai pateikiame dar vieną originalią formulę, kuri padeda rasti trapecijos plotą. Ji vadinama Pick formule. Patogu naudoti, kai nupiešta trapecija languotas popierius. Panašios problemos dažnai aptinkamos GIA medžiagoje. Tai atrodo taip:

S = M/2 + N - 1,

šioje formulėje M yra mazgų skaičius, t.y. figūros linijų sankirtos su langelio linijomis ant trapecijos ribų (oranžiniai taškai paveiksle), N yra mazgų skaičius figūros viduje ( mėlyni taškai). Patogiausia jį naudoti ieškant netaisyklingo daugiakampio ploto. Tačiau kuo didesnis naudojamų technikų arsenalas, tuo mažiau klaidų ir geresni rezultatai.

Žinoma, pateikta informacija neišsemia trapecijos tipų ir savybių, taip pat jos ploto nustatymo būdų. Šiame straipsnyje apžvelgiamos svarbiausios jo savybės. Sprendžiant geometrinius uždavinius, svarbu veikti palaipsniui, pradėti nuo lengvų formulių ir uždavinių, nuosekliai įtvirtinti savo supratimą ir pereiti į kitą sudėtingumo lygį.

Surinktos dažniausiai pasitaikančios formulės padės mokiniams naršyti įvairiais būdais apskaičiuoti trapecijos plotą ir geriau pasiruošti testams bei bandymaišia tema.

Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje apžvelgsime šią formulę. Kodėl ji yra būtent tokia ir kaip ją suprasti. Jei yra supratimo, tada to mokyti nereikia. Jei norite tiesiog pažvelgti į šią formulę ir skubiai, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))

Dabar išsamiai ir tvarkingai.

Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.

Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.

Klasikine forma trapecija pavaizduota taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia jos vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:

Kita svarbi koncepcija.

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.

Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl taip yra?

Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:

* Viršūnių ir kitų taškų raidžių žymėjimai nėra įtraukti sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.

Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos pažymėtos atitinkamai mėlyna ir raudona spalva).

Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada mums liks segmentas (tai yra stačiakampio kraštinė), lygus vidurinei linijai. Toliau, jei iškirptus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime atkarpą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygią trapecijos vidurio linijai.

Supratau? Pasirodo, pagrindų suma bus lygi dviem vidurinėms trapecijos linijoms:

Peržiūrėkite kitą paaiškinimą

Darykime taip – ​​nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:

Mes gauname trikampius 1 ir 2, jie yra lygūs išilgai šoninių ir gretimų kampų (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize jis pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutinei trapecijos pagrindui.

Dabar apsvarstykite trikampį:

*Šios trapecijos vidurio linija ir trikampio vidurio linija sutampa.

Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei jam lygiagrečios bazės, tai yra:

Gerai, mes tai išsiaiškinome. Dabar apie trapecijos plotą.

Trapecijos ploto formulė:

Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.

Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir atitinkamai pastatysime ant 1 ir 3 trikampių:

Tada gauname stačiakampį plote lygus plotui mūsų trapecija. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:

Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.

Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.

Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.

Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.

Ką reikia žinoti apie trapeciją?

Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.

Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.

Trapecijos plotų formulės

Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijos plotą.

Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.

Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime pagrįstai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki tokio tipo: S = m* h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.

Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.

Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.

Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o šoninė ir didesnė bazė sudaro aštrus kampasα. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.

Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.

Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.

Išlenktos trapecijos ploto formulė

Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.

Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.

Pavyzdinės problemos

Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.

1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.

Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.

Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.

Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.

Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.

Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.

Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).

Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Išvada

Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.

Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.

Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniuose tinkluose. Tegul vieningo valstybinio egzamino ir valstybinių egzaminų gerų pažymių būna daugiau!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Yra daug būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Paprastai matematikos mokytojas žino kelis jo skaičiavimo būdus, pažvelkime į juos išsamiau:
1) , kur AD ir BC yra pagrindai, o BH yra trapecijos aukštis. Įrodymas: nubrėžkite įstrižainę BD ir išreikškite trikampių ABD ir CDB plotus per jų pagrindų ir aukščių pusgaminį:

, kur DP yra išorinis aukštis in

Sudėkime šias lygybes po terminą ir atsižvelgdami į tai, kad aukščiai BH ir DP yra vienodi, gauname:

Išdėkime jį iš skliaustų

Q.E.D.

Išvada iš trapecijos ploto formulės:
Kadangi pagrindų pusės suma lygi MN - trapecijos vidurio linijai, tada

2) Keturkampio ploto bendrosios formulės taikymas.
Keturkampio plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp jų sinuso
Norėdami tai įrodyti, pakanka padalyti trapeciją į 4 trikampius, išreikšti kiekvieno plotą „įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandauga“ (imkite kaip kampą, pridėkite gautą išraiškas, išimkite jas iš skliausto ir suskirstykite šį skliaustą naudodami grupavimo metodą, kad gautumėte lygybę išraiškai.

3) Įstrižainės poslinkio metodas
Tai mano vardas. Matematikos mokytojas mokykliniuose vadovėliuose tokios antraštės nesusidurs. Technikos aprašymą galima rasti tik papildomame vadovėliai kaip problemos sprendimo pavyzdys. Atkreipiu dėmesį, kad dauguma įdomių ir naudingų faktų planimetrijos matematikos dėstytojai atskleidžia mokiniams atlikimo procese praktinis darbas. Tai labai neoptimalu, nes studentas turi jas išskirti į atskiras teoremas ir vadinti jas " dideli vardai“ Vienas iš jų yra „įstrižainės poslinkis“. Apie ką mes kalbame apie?Nubrėžkime tiesę, lygiagrečią AC per viršūnę B, kol ji susikirs su apatine baze taške E. Šiuo atveju keturkampis EBCA bus lygiagretainis (pagal apibrėžimą), todėl BC=EA ir EB=AC. Pirmoji lygybė mums dabar svarbi. Mes turime:

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis BED, kurio plotas lygus trapecijos plotui, turi dar keletą puikių savybių:
1) Jo plotas lygus trapecijos plotui
2) Jo lygiašonis atsiranda kartu su pačios trapecijos lygiašoniais
3) jo viršutinis kampas viršūnėje B lygus kampui tarp trapecijos įstrižainių (kuri labai dažnai naudojama problemoms spręsti)
4) Jo mediana BK lygi atstumui QS tarp trapecijos pagrindų vidurio taškų. Neseniai susidūriau su šios savybės naudojimu ruošdamas studentą mechanikai ir matematikai Maskvos valstybiniame universitete, naudodamas Tkachuko vadovėlį, 1973 m. versiją (uždavinys pateiktas puslapio apačioje).

Specialūs metodai matematikos mokytojui.

Kartais aš siūlau problemas, naudodamas labai sudėtingą trapecijos ploto nustatymo būdą. Priskiriu ją prie specialių technikų, nes praktikoje dėstytojas jas naudoja itin retai. Jei jums reikia pasiruošimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui tik B dalyje, jums nereikia apie juos skaityti. Kitiems papasakosiu toliau. Pasirodo, trapecijos plotas yra du kartus didesnis už trikampio, kurio viršūnės yra vienos kraštinės galuose ir kitos viduryje, plotas, tai yra trikampis ABS paveikslėlyje:
Įrodymas: trikampiuose BCS ir ADS nubrėžkite aukščius SM ir SN ir išreikškite šių trikampių plotų sumą:

Kadangi taškas S yra CD vidurys, tai (įrodykite patys) Raskite trikampių plotų sumą:

Kadangi ši suma pasirodė lygi pusei trapecijos ploto, tada jos antroji pusė. ir kt.

Į dėstytojo specialiųjų technikų rinkinį įtraukčiau lygiašonės trapecijos ploto išilgai jos kraštų apskaičiavimo formą: kur p yra trapecijos pusiau perimetras. Aš nepateiksiu įrodymų. Priešingu atveju jūsų matematikos mokytojas liks be darbo :). Ateik į klasę!

Problemos dėl trapecijos srities:

Matematikos mokytojo pastaba: Žemiau pateiktas sąrašas nėra metodinis temos priedas, tai tik nedidelis pasirinkimas įdomių užduočių aukščiau aptartais metodais.

1) Lygiašonės trapecijos apatinis pagrindas yra 13, o viršutinis - 5. Raskite trapecijos plotą, jei jos įstrižainė yra statmena kraštinei.
2) Raskite trapecijos plotą, jei jos pagrindai yra 2 cm ir 5 cm, o kraštinės yra 2 cm ir 3 cm.
3) Lygiašonėje trapecijoje didesnis pagrindas yra 11, kraštinė yra 5, o įstrižainė yra Raskite trapecijos plotą.
4) Lygiašonės trapecijos įstrižainė lygi 5, o vidurio linija lygi 4. Raskite plotą.
5) Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 12 ir 20, o įstrižainės yra viena kitai statmenos. Apskaičiuokite trapecijos plotą
6) Lygiašonės trapecijos įstrižainė sudaro kampą su apatiniu pagrindu. Raskite trapecijos plotą, jei jos aukštis yra 6 cm.
7) Trapecijos plotas yra 20, o viena iš jos kraštinių yra 4 cm. Raskite atstumą iki jos nuo priešingos kraštinės vidurio.
8) Lygiašonės trapecijos įstrižainė padalija ją į trikampius, kurių plotai yra 6 ir 14. Raskite aukštį, jei šoninė kraštinė lygi 4.
9) Trapecijos įstrižainės lygios 3 ir 5, o atkarpa, jungianti pagrindų vidurio taškus, lygi 2. Raskite trapecijos plotą (Mekhmat MSU, 1970).

Pasirinkau ne pačias sunkiausias problemas (nebijokite mechanikos inžinerijos!) tikėdamasis, kad sugebėsiu jas išspręsti savarankiškai. Spręskite dėl savo sveikatos! Jei jums reikia pasiruošimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, tada nedalyvaujant šiame procese gali atsirasti trapecijos ploto formulės rimtų problemų net su problema B6 ir juo labiau su C4. Nepradėkite temos, o iškilus sunkumams kreipkitės pagalbos. Matematikos mokytojas visada mielai jums padės.

Kolpakovas A.N.
Matematikos mokytojas Maskvoje, pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui Strogine.