Absoliučios ir santykinės paklaidos radimas. Absoliuti ir santykinė klaida

Klaidos matuojant fizikinius dydžius

1. Įvadas (matavimas ir matavimo paklaida)

2.Atsitiktinės ir sisteminės klaidos

3. Absoliučios ir santykinės paklaidos

4. Matavimo priemonių klaidos

5. Elektrinių matavimo priemonių tikslumo klasė

6.Skaitymo klaida

7. Pilnas absoliuti klaida tiesioginiai matavimai

8.Galutinio tiesioginio matavimo rezultato fiksavimas

9. Netiesioginių matavimų klaidos

10.Pavyzdys

1. Įvadas (matavimas ir matavimo paklaida)

Fizika kaip mokslas gimė daugiau nei prieš 300 metų, kai Galilėjus iš esmės sukūrė mokslinį fizikinių reiškinių tyrimą: fiziniai dėsniai nustatomi ir eksperimentiškai tikrinami kaupiant ir lyginant eksperimentinius duomenis, pavaizduotus skaičių rinkiniu, dėsniai formuluojami kalba. matematikos, t.y. naudojant formules, jungiančias skaitines fizikinių dydžių vertes pagal funkcinę priklausomybę. Štai kodėl fizika-mokslas eksperimentinis, fizika yra kiekybinis mokslas.

Susipažinkime su kai kuriomis būdingomis bet kokių matavimų savybėmis.

Matavimas – tai fizikinio dydžio skaitinės vertės nustatymas eksperimentiniu būdu naudojant matavimo priemones (liniuotę, voltmetrą, laikrodį ir kt.).

Matavimai gali būti tiesioginiai arba netiesioginiai.

Tiesioginis matavimas yra fizinio dydžio skaitinės vertės nustatymas tiesiogiai matavimo būdu. Pavyzdžiui, ilgis – liniuote, atmosferos slėgis – barometru.

Netiesioginis matavimas – tai fizikinio dydžio skaitinės vertės nustatymas naudojant formulę, kuri susieja norimą dydį su kitais dydžiais, nustatytais tiesioginiais matavimais. Pavyzdžiui, laidininko varža nustatoma pagal formulę R=U/I, kur U ir I matuojami elektriniais matavimo prietaisais.

Pažvelkime į matavimo pavyzdį.

Išmatuokite juostos ilgį liniuote (padalos vertė yra 1 mm). Galime tik pasakyti, kad juostos ilgis yra nuo 22 iki 23 mm. Intervalo „nežinomas“ plotis yra 1 mm, tai yra lygus padalijimo kainai. Pakeitus liniuotę jautresniu prietaisu, pavyzdžiui, suportu, šis intervalas sumažės, o tai padidins matavimo tikslumą. Mūsų pavyzdyje matavimo tikslumas neviršija 1 mm.

Todėl matavimai niekada negali būti atlikti visiškai tiksliai. Bet kurio matavimo rezultatas yra apytikslis. Matavimo neapibrėžtis apibūdinama paklaida – fizikinio dydžio išmatuotos vertės nukrypimu nuo tikrosios vertės.

Išvardinkime keletą priežasčių, dėl kurių atsiranda klaidų.

1. Ribotas matavimo priemonių gamybos tikslumas.

2. Įtaka išorinių sąlygų (temperatūros pokyčių, įtampos svyravimų...) matavimui.

3. Eksperimentuotojo veiksmai (chronometro paleidimo delsimas, skirtingos akių padėtys...).

4. Apytikslis dėsnių, naudojamų išmatuotiems dydžiams rasti, pobūdis.

Išvardintų klaidų priežasčių negalima pašalinti, nors jas galima sumažinti. Siekiant nustatyti mokslinių tyrimų metu gautų išvadų patikimumą, yra nustatyti šių klaidų vertinimo metodai.

2. Atsitiktinės ir sisteminės klaidos

Klaidos, atsirandančios atliekant matavimus, skirstomos į sistemines ir atsitiktines.

Sisteminės klaidos – tai paklaidos, atitinkančios išmatuotos vertės nuokrypį nuo tikrosios fizinio dydžio vertės, visada viena kryptimi (didėjimo arba mažėjimo). Atliekant pakartotinius matavimus, paklaida išlieka ta pati.

Sisteminių klaidų priežastys:

1) matavimo priemonių neatitikimas standartui;

2) neteisingas matavimo priemonių montavimas (pasvirimas, disbalansas);

3) instrumentų pradinių rodiklių ir nulio neatitikimas ir su tuo susijusių pataisymų ignoravimas;

4) neatitikimas tarp išmatuoto objekto ir prielaidos apie jo savybes (tuštumų buvimas ir pan.).

Atsitiktinės klaidos yra klaidos, kurios nenuspėjamai keičia jų skaitinę reikšmę. Tokios klaidos atsiranda didelis skaičius nekontroliuojamos priežastys, turinčios įtakos matavimo procesui (objekto paviršiaus nelygumai, pučiantis vėjas, galios šuoliai ir kt.). Atsitiktinių klaidų įtaka gali būti sumažinta kartojant eksperimentą daug kartų.

3. Absoliučios ir santykinės paklaidos

Norint kiekybiškai įvertinti matavimų kokybę, įvedamos absoliučios ir santykinės matavimo paklaidos sąvokos.

Kaip jau minėta, bet koks matavimas suteikia tik apytikslę fizinio dydžio reikšmę, tačiau galite nurodyti intervalą, kuriame yra tikroji jo reikšmė:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Vertė D A vadinama absoliučia paklaida matuojant dydį A. Absoliuti paklaida išreiškiama matuojamo dydžio vienetais. Absoliuti paklaida lygi fizinio dydžio didžiausio galimo nuokrypio nuo išmatuotos vertės moduliui. Ir pr yra fizinio dydžio, gauto eksperimentiniu būdu, vertė; jei matavimas buvo atliktas pakartotinai, tada šių matavimų aritmetinis vidurkis.

Tačiau norint įvertinti matavimo kokybę, būtina nustatyti santykinę paklaidą e. e = D A/A pr arba e= (D A/A pr)*100%.

Jei matavimo metu gaunama santykinė paklaida, didesnė nei 10%, tada jie sako, kad buvo atliktas tik išmatuotos vertės įvertinimas. Fizikos dirbtuvių laboratorijose rekomenduojama atlikti matavimus su santykine paklaida iki 10%. Mokslinėse laboratorijose kai kurie tikslūs matavimai (pavyzdžiui, nustatomi šviesos bangos ilgiai) atliekami milijoninių procentų tikslumu.

4. Matavimo priemonių klaidos

Šios klaidos dar vadinamos instrumentinėmis arba instrumentinėmis. Jas lemia matavimo prietaiso konstrukcija, jo pagaminimo ir kalibravimo tikslumas. Paprastai jie pasitenkina leistinomis instrumentinėmis klaidomis, kurias gamintojas nurodė šio įrenginio pase. Šios leistinos klaidos yra reguliuojamos GOST. Tai taip pat taikoma standartams. Paprastai žymima absoliuti instrumentinė klaida D ir A.

Jei nėra informacijos apie leistiną klaidą (pavyzdžiui, su liniuote), tada šia klaida gali būti laikoma pusė padalijimo reikšmės.

Svėrimo metu absoliuti instrumentinė paklaida susideda iš svarstyklių ir svarmenų instrumentinių paklaidų. Lentelėje pateikiamos dažniausiai leistinos klaidos

matavimo prietaisai, sutikti atliekant mokyklinius eksperimentus.

Matavimas	Matavimo riba	Padalinimo vertė	Leidžiama klaida
studentų valdovas
parodomasis valdovas
matavimo juostos
stiklinė
sveria 10,20, 50 mg
sveria 100 200 mg
sveria 500 mg
apkabos
mikrometras
dinamometras
treniruočių svarstyklės
Chronometras			1s per 30 min
aneroidinis barometras	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
laboratorinis termometras	0-100 laipsnių C
mokyklos ampermetras
mokyklos voltmetras

5. Elektrinių matavimo priemonių tikslumo klasė

Rodyklės elektriniai matavimo prietaisai pagal priimtinos vertės paklaidos skirstomos į tikslumo klases, kurios instrumentų skalėse nurodomos skaičiais 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Tikslumo klasė g pr Prietaisas parodo, kiek procentų yra absoliuti paklaida nuo visos įrenginio skalės.

g pr = (D ir A/A maks.)*100 % .

Pavyzdžiui, 2,5 klasės prietaiso absoliuti instrumentinė paklaida yra 2,5% jo skalės.

Jei žinoma prietaiso tikslumo klasė ir jo skalė, tuomet galima nustatyti absoliučią instrumentinio matavimo paklaidą

D ir A = (g pr * A max)/100.

Norint padidinti matavimų tikslumą rodyklės elektriniu matavimo prietaisu, reikia parinkti tokios skalės prietaisą, kad matavimo proceso metu jis būtų antroje prietaiso skalės pusėje.

6. Skaitymo klaida

Skaitymo klaida atsiranda dėl nepakankamai tikslių matavimo priemonių rodmenų.

Daugeliu atvejų absoliuti skaitymo paklaida laikoma lygi pusei padalijimo vertės. Išimtys daromos matuojant su laikrodžiu (rodyklės juda trūkčiojančiai).

Paprastai žymima absoliuti skaitymo klaida D oA

7. Bendra absoliuti tiesioginių matavimų paklaida

Atliekant tiesioginius fizikinio dydžio A matavimus, turi būti įvertintos šios paklaidos: D ir A, D oA ir D сА (atsitiktinis). Žinoma, reikėtų atmesti kitus klaidų šaltinius, susijusius su neteisingu instrumentų montavimu, prietaiso rodyklės pradinės padėties nesutapimu su 0 ir pan.

Bendra absoliuti tiesioginio matavimo paklaida turi apimti visų trijų tipų paklaidas.

Jei atsitiktinė paklaida yra maža, palyginti su mažiausia vertė, kurį galima išmatuoti tam tikra matavimo priemone (palyginti su padalijimo kaina), tada jo galima nepaisyti ir tada fizinio dydžio vertei nustatyti pakanka vieno matavimo. Kitu atveju tikimybių teorija rekomenduoja matavimo rezultatą rasti kaip vidurkį aritmetinė vertė visos kartotinių matavimų serijos rezultatus, rezultato paklaida apskaičiuojama matematinės statistikos metodu. Žinios apie šiuos metodus peržengia mokyklos mokymo programą.

8. Galutinio tiesioginio matavimo rezultato fiksavimas

Galutinis fizikinio dydžio A matavimo rezultatas turi būti parašytas šia forma;

A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.

Ir pr yra fizinio dydžio, gauto eksperimentiniu būdu, vertė; jei matavimas buvo atliktas pakartotinai, tada šių matavimų aritmetinis vidurkis. D A yra bendra absoliuti tiesioginio matavimo paklaida.

Absoliuti paklaida paprastai išreiškiama vienu reikšmingu skaičiumi.

Pavyzdys: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13 %.

9. Netiesioginių matavimų klaidos

Apdorojant fizikinio dydžio, funkciškai susijusio su tiesiogiai matuojamais fizikiniais dydžiais A, B ir C netiesioginių matavimų rezultatus, pirmiausia nustatoma netiesioginio matavimo santykinė paklaida. e=D X/X pr, naudojant lentelėje pateiktas formules (be įrodymų).

Absoliuti paklaida nustatoma pagal formulę D X = X pr *e,

kur e išreikštas dešimtaine trupmena, o ne procentais.

Galutinis rezultatas registruojamas taip pat, kaip ir tiesioginių matavimų atveju.

Funkcijos tipas	Formulė
X=A+B+C
X = A-B
X=A*B*C
X = A n
X=A/B

Pavyzdys: Apskaičiuokime trinties koeficiento matavimo paklaidą dinamometru. Eksperimentas susideda iš tolygiai traukiant bloką ant horizontalaus paviršiaus ir išmatuojant veikiančią jėgą: ji lygi slydimo trinties jėgai.

Naudodami dinamometrą, pasverkite bloką su svarmenimis: 1,8 N. F tr = 0,6 N

μ = 0,33. Dinamometro instrumentinė paklaida (ją randame iš lentelės) yra Δ ir = 0,05 N, Nuskaitymo paklaida (pusė padalos vertės)

Δ o =0,05 N. Absoliuti svorio ir trinties jėgos matavimo paklaida yra 0,1 N.

Santykinė matavimo paklaida (5 lentelės eilutė)

, todėl netiesioginio matavimo μ absoliuti paklaida yra 0,22*0,33=0,074

Skaičiuodami su begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis, patogumo dėlei šiuos skaičius turite apytiksliai, tai yra, suapvalinti. Apytiksliai skaičiai taip pat gaunami iš įvairių matavimų.

Gali būti naudinga žinoti, kiek apytikslė skaičiaus reikšmė skiriasi nuo tikslios jo reikšmės. Akivaizdu, kad kuo mažesnis šis skirtumas, tuo geriau, tuo tiksliau atliekamas matavimas ar skaičiavimas.

Norint nustatyti matavimų (skaičiavimų) tikslumą, tokia sąvoka kaip aproksimacijos klaida. Jie tai vadina kitaip absoliuti klaida. Apytikslė paklaida yra modulo skirtumas tarp tikslios skaičiaus reikšmės ir jo apytikslės reikšmės.

Jei a yra tiksli skaičiaus reikšmė, o b yra apytikslė jo reikšmė, tai aproksimacijos paklaida nustatoma pagal formulę |a – b|.

Tarkime, kad matavimų rezultatas buvo 1,5. Tačiau apskaičiavus pagal formulę, tiksli šio skaičiaus reikšmė yra 1,552. Šiuo atveju aproksimavimo paklaida bus lygi |1,552 – 1,5| = 0,052.

Begalinių trupmenų atveju aproksimavimo paklaida nustatoma pagal tą pačią formulę. Vietoje tikslaus skaičiaus rašoma pati begalinė trupmena. Pavyzdžiui, |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Čia paaiškėja, kad aproksimacijos paklaida išreiškiama neracionaliuoju skaičiumi.

Kaip žinoma, aproksimaciją galima atlikti ir pagal trūkumą, ir pagal perteklių. Tas pats skaičius π aproksimuojant pagal trūkumą 0,01 tikslumu yra lygus 3,14, o aproksimuojant pertekliu 0,01 tikslumu - 3,15. Priežastis, kodėl skaičiuojant naudojamas aproksimacijos trūkumas, yra apvalinimo taisyklių taikymas. Pagal šias taisykles, jei pirmasis atmestinas skaitmuo yra penki arba didesnis nei penki, tada atliekamas perteklinis aproksimavimas. Jei mažiau nei penki, vadinasi, dėl trūkumo. Kadangi trečiasis skaitmuo po skaičiaus π po kablelio yra 1, todėl aproksimuojant 0,01 tikslumu, jis atliekamas pagal trūkumą.

Iš tiesų, jei apskaičiuosime 0,01 skaičiaus π aproksimavimo paklaidas pagal trūkumą ir perteklių, gausime:

|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...

Nuo 0,00159...

Kalbant apie aproksimacijos paklaidą, taip pat esant pačiam aproksimavimui (pertekliu ar trūkumu), nurodomas jos tikslumas. Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje su skaičiumi π reikėtų pasakyti, kad jis lygus skaičiui 3,14, kurio tikslumas yra 0,01. Juk skirtumo tarp paties skaičiaus ir jo apytikslės reikšmės modulis neviršija 0,01 (0,00159... ≤ 0,01).

Panašiai π yra lygus 3,15 0,01 tikslumu, nes 0,0084... ≤ 0,01. Tačiau jei kalbame apie didesnį tikslumą, pavyzdžiui, iki 0,005, tai 0,005 tikslumu galime sakyti, kad π yra lygus 3,14 (nuo 0,00159... ≤ 0,005). Negalime to pasakyti apie 3,15 aproksimaciją (nuo 0,0084... > 0,005).

1. Kaip nustatyti matavimo paklaidas.

Spektaklis laboratoriniai darbai susiję su įvairių fizikinių dydžių matavimu ir vėlesniu jų rezultatų apdorojimu.

Matavimas- fizinio dydžio vertės nustatymas eksperimentiniu būdu naudojant matavimo priemones.

Tiesioginis matavimas- fizikinio dydžio vertės nustatymas tiesiogiai matavimo būdu.

Netiesioginis matavimas- fizikinio dydžio vertės nustatymas naudojant formulę, jungiančią jį su kitais fizikiniais dydžiais, nustatytais tiesioginiais matavimais.

Įveskime tokį užrašą:

A, B, C, ... - fizikiniai dydžiai.

O pr yra apytikslė fizikinio dydžio reikšmė, t.y. vertė, gauta atliekant tiesioginius arba netiesioginius matavimus.

ΔA yra absoliuti fizikinio dydžio matavimo paklaida.

ε – santykinė fizikinio dydžio matavimo paklaida, lygi:

Δ Ir A yra absoliuti instrumentinė paklaida, nulemta prietaiso konstrukcijos (matavimo priemonių klaida; žr. 1 lentelę).

Δ 0 A - absoliuti skaitymo paklaida (atsiranda dėl nepakankamai tikslių matavimo priemonių rodmenų); daugeliu atvejų jis yra lygus pusei padalos vertės, matuojant laiką – chronometro ar laikrodžio dalybos reikšmei.

1 lentelė

Absoliučios matavimo priemonių instrumentinės paklaidos

№	Matavimas	Matavimo riba	Padalinimo vertė	Absoliuti instrumentinė klaida
1	Valdovas
	studentas	iki 50 cm	1 mm	± 1 mm
	piešimo kambarys	iki 50 cm	1 mm	±0,2 mm
	instrumentinis (plieninis)	20 cm	1 mm	±0,1 mm
	demonstracija	100 cm	1 cm	± 0,5 cm
2	Matavimo juostos	150 cm	0,5 cm	± 0,5 cm
3	Matavimo cilindras	iki 250 ml	1 ml	± 1 ml
4	Apkabos	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Mikrometras	25 mm	0,01 mm	± 0,005 mm
6	Treniruočių dinamometras	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Treniruotės svarstyklės	200 g	-	±0,01 g
8	Chronometras	0-30 min	0,2 s	± 1 s per 30 min
9	Aneroidinis barometras	720-780 mm Hg. Art.	1 mmHg Art.	± 3 mmHg Art.
10	Laboratorinis termometras	0-100 0 C	10 C	± 1 0 С
11	Mokyklinis ampermetras	2 A	0,1 A	±0,05A
12	Mokyklinis voltmetras	6 V	0,2 V	±0,15 V

Didžiausia absoliuti tiesioginių matavimų paklaida susideda iš absoliučios instrumentinės paklaidos ir absoliučios skaitymo paklaidos, jei nėra kitų klaidų:

Absoliuti matavimo paklaida paprastai suapvalinama iki vieno reikšmingo skaičiaus (ΔA = 0,17 ≈ 0,2); skaitinė reikšmė matavimo rezultatas suapvalinamas taip, kad paskutinis jo skaitmuo būtų toks pat kaip ir paklaidos skaitmuo (A = 10,332 ≈ 10,3).

Fizinio dydžio A kartotinių matavimų, atliekamų tomis pačiomis kontroliuojamomis sąlygomis ir naudojant pakankamai jautrias ir tikslias (su mažomis paklaidomis) matavimo priemones, rezultatai dažniausiai skiriasi vienas nuo kito. Šiuo atveju Apr randamas kaip visų matavimų aritmetinis vidurkis, o paklaida ΔA (ji vadinama atsitiktine paklaida) nustatoma matematinės statistikos metodais.

Mokyklos laboratorinėje praktikoje tokie matavimo prietaisai praktiškai nenaudojami. Todėl atliekant laboratorinius darbus būtina nustatyti didžiausias fizikinių dydžių matavimo paklaidas. Norint gauti rezultatą, pakanka vieno matavimo.

Santykinė netiesioginių matavimų paklaida nustatoma taip, kaip parodyta 2 lentelėje.

2 lentelė

Netiesioginių matavimų santykinės paklaidos skaičiavimo formulės

№	Fizinio kiekio formulė	Santykinės paklaidos formulė
1
2
3
4

Netiesioginių matavimų absoliuti paklaida nustatoma pagal formulę ΔA = A pr ε (ε išreiškiamas dešimtaine trupmena).

2. Apie elektrinių matavimo priemonių tikslumo klasę.

Norėdami nustatyti absoliučią prietaiso instrumentinę paklaidą, turite žinoti jo tikslumo klasę. Matavimo prietaiso tikslumo klasė γ parodo, kiek procentų yra absoliuti instrumentinė paklaida Δ ir A nuo visos prietaiso skalės (A max):

Tikslumo klasė nurodoma įrenginio skalėje arba jo pase (% ženklas šiuo atveju nerašomas). Yra šios elektrinių matavimo priemonių tikslumo klasės: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Žinodami prietaiso tikslumo klasę (γ pr) ir visą jo skalę (A max), nustatykite fizinio dydžio A matavimo šiuo prietaisu absoliučią paklaidą Δ ir A:

3. Kaip palyginti matavimo rezultatus.

1. Matavimo rezultatus parašykite dvigubų nelygybių forma:

A 1np – ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr – ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Palyginkite gautus reikšmių intervalus: jei intervalai nesutampa, tai rezultatai nėra vienodi; jei jie sutampa, jie yra identiški tam tikrai santykinei matavimo paklaidai.

4. Kaip parengti atliktų darbų ataskaitą.

1. Laboratorinis darbas Nr....
2. Kūrinio pavadinimas.
3. Darbo tikslas.
4. Brėžinys (jei reikia).
5. Reikalingų kiekių formulės ir jų paklaidos.
6. Matavimo ir skaičiavimo rezultatų lentelė.
7. Galutinis rezultatas, išvada ir pan. (pagal darbo tikslą).

5. Kaip užrašyti matavimo rezultatą.

A = A pr ± ΔA
e = ...%.

Esė

Absoliuti ir santykinė klaida

Įvadas

Absoliuti klaida - yra absoliučios matavimo paklaidos įvertinimas. Apskaičiuota Skirtingi keliai. Skaičiavimo būdas nustatomas pagal atsitiktinio dydžio skirstinį. Atitinkamai absoliučios paklaidos dydis, priklausantis nuo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo gali būti kitoks. Jeigu yra išmatuota vertė ir yra tikroji vertė, tada nelygybė turi būti įvykdyta su tam tikra tikimybe, artima 1. Jei atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį, tada jo standartinis nuokrypis paprastai laikomas absoliučia paklaida. Absoliuti paklaida matuojama tais pačiais vienetais kaip ir pats kiekis.

Yra keletas būdų, kaip parašyti kiekį kartu su jo absoliučia klaida.

· Paprastai naudojamas užrašas ± . Pavyzdžiui, 100 metrų rekordas, pasiektas 1983 m., yra 9,930±0,005 s.

· Norint įrašyti labai tiksliai išmatuotus kiekius, naudojamas kitas žymėjimas: skliausteliuose pridedami skaičiai, atitinkantys paskutinių mantisos skaitmenų paklaidą. Pavyzdžiui, išmatuota Boltzmanno konstantos vertė yra 1,380 6488 (13) × 10?23 J/C, kuris taip pat gali būti parašytas daug ilgiau kaip 1 380 6488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/C.

Santykinė klaida- matavimo paklaida, išreikšta absoliučios matavimo paklaidos ir išmatuotos vertės faktinės arba vidutinės vertės santykiu (RMG 29-99):.

Santykinė paklaida yra dydis be matmenų arba matuojamas procentais.

1. Kas yra apytikslė vertė?

Su pertekliumi ir nepakankamu? Skaičiuojant dažnai tenka susidurti su apytiksliais skaičiais. Leisti A- tiksli tam tikro kiekio vertė, toliau vadinama tikslus skaičius A.Pagal apytikslę vertę A,arba apytiksliai skaičiaiskambino numeriu A, pakeičiant tikslią kiekio vertę A.Jeigu A< A,Tai Avadinama apytiksle skaičiaus reikšme Ir dėl trūkumo.Jeigu A> A,- Tai pertekliumi.Pavyzdžiui, 3,14 yra apytikslis skaičiaus ? pagal trūkumą, o 3,15 - pertekliumi. Šio aproksimavimo tikslumo laipsniui apibūdinti naudojama sąvoka klaidų arba klaidų.

Klaida ?Aapytikslis skaičius Avadinamas formos skirtumu

?a = A - a,

Kur A- atitinkamas tikslus skaičius.

Iš paveikslo matyti, kad atkarpos AB ilgis yra nuo 6 cm iki 7 cm.

Tai reiškia, kad 6 yra apytikslė atkarpos AB ilgio reikšmė (centimetrais) > su trūkumu, o 7 su pertekliumi.

Atkarpos ilgį pažymėdami raide y, gauname: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentasAB (žr. 149 pav.) yra arčiau 6 cm nei 7 cm. Apytiksliai lygu 6 cm Sakoma, kad skaičius 6 gautas suapvalinus atkarpos ilgį iki sveikųjų skaičių.

. Kas yra aproksimacijos klaida?

A) Absoliutus?

B) giminaitis?

A) Absoliuti aproksimacijos paklaida yra skirtumo tarp tikrosios dydžio vertės ir jo apytikslės reikšmės dydis. |x - x_n|, kur x yra tikroji reikšmė, x_n yra apytikslė reikšmė. Pavyzdžiui: A4 formato popieriaus lapo ilgis yra (29,7 ± 0,1) cm, o atstumas nuo Sankt Peterburgo iki Maskvos yra (650 ± 1) km. Absoliuti paklaida pirmuoju atveju neviršija vieno milimetro, o antruoju - vieno kilometro. Klausimas yra palyginti šių matavimų tikslumą.

Jei manote, kad lapo ilgis matuojamas tiksliau, nes absoliuti paklaida neviršija 1 mm. Tada tu klysti. Šių verčių negalima tiesiogiai palyginti. Pamąstykime.

Matuojant lapo ilgį, absoliuti paklaida neviršija 0,1 cm 29,7 cm, tai yra, procentais ji yra 0,1/29,7 * 100% = 0,33% išmatuotos vertės.

Kai matuojame atstumą nuo Sankt Peterburgo iki Maskvos, absoliuti paklaida neviršija 1 km 650 km, o tai procentais yra 1/650 * 100% = 0,15% išmatuotos vertės. Matome, kad atstumas tarp miestų matuojamas tiksliau nei A4 formato lapo ilgis.

B) Santykinė aproksimacijos paklaida yra absoliučios paklaidos ir dydžio apytikslės reikšmės absoliučios vertės santykis.

matematinės klaidos trupmena

kur x yra tikroji reikšmė, x_n yra apytikslė vertė.

Santykinė paklaida paprastai išreiškiama procentais.

Pavyzdys. Suapvalinus skaičių 24,3 iki vienetų gaunamas skaičius 24.

Santykinė paklaida yra lygi. Jie sako, kad santykinė paklaida šiuo atveju yra 12,5%.

) Koks apvalinimas vadinamas apvalinimu?

A) Su trūkumu?

B) Perteklius?

A) Apvalinimas žemyn

Suapvalinant skaičių, išreikštą dešimtaine trupmena iki artimiausio 10^(-n), pirmieji n skaitmenų po kablelio išsaugomi, o vėlesni atmetami.

Pavyzdžiui, suapvalinus 12,4587 iki artimiausio tūkstančio, gauname 12,458.

B) Apvalinimas

Suapvalinant skaičių, išreikštą dešimtaine trupmena iki artimiausio 10^(-n), pirmieji n skaitmenų po kablelio išlaikomi pertekliai, o vėlesni atmetami.

Pavyzdžiui, suapvalinus 12,4587 iki artimiausio tūkstančio, gauname 12,459.

) Dešimtainių skaičių apvalinimo taisyklė.

Taisyklė. Apvalinti dešimtainis iki tam tikro sveikojo skaičiaus ar trupmeninės dalies skaitmens visi smulkesni skaitmenys pakeičiami nuliais arba išbraukiami, o prieš apvalinimo metu išmestą skaitmenį esantis skaitmuo nekeičia jo reikšmės, jei po jo rašomi skaičiai 0, 1, 2, 3, 4 ir padidinamas 1 (vienu), jei skaičiai yra 5, 6, 7, 8, 9.

Pavyzdys. Suapvalinkite trupmeną 93,70584 iki:

dešimtoji tūkstantoji dalis: 93,7058

tūkstantosios dalys: 93,706

šimtosios dalys: 93,71

dešimtinės: 93,7

sveikas skaičius: 94

dešimtys: 90

Nepaisant absoliučių klaidų lygybės, nes išmatuoti dydžiai skiriasi. Kuo didesnis išmatuotas dydis, tuo mažesnė santykinė paklaida, o absoliuti paklaida išlieka pastovi.

Mokymas

Reikia pagalbos studijuojant temą?

Mūsų specialistai patars arba teiks kuravimo paslaugas jus dominančiomis temomis.
Pateikite savo paraišką nurodydami temą dabar, kad sužinotumėte apie galimybę gauti konsultaciją.

Nė vienas matavimas nėra be klaidų arba, tiksliau, matavimo be klaidų tikimybė artėja prie nulio. Klaidų tipai ir priežastys yra labai įvairios ir joms įtakos turi daug veiksnių (1.2 pav.).

Bendras įtakojančių veiksnių charakteristikas galima susisteminti įvairiais požiūriais, pavyzdžiui, pagal išvardintų veiksnių įtaką (1.2 pav.).

Pagal matavimo rezultatus paklaidas galima suskirstyti į tris tipus: sistemines, atsitiktines ir paklaidas.

Sisteminės klaidos savo ruožtu jie skirstomi į grupes pagal jų atsiradimą ir pasireiškimo pobūdį. Juos galima pašalinti Skirtingi keliai, pavyzdžiui, pristatant pakeitimus.

ryžių. 1.2

Atsitiktinės klaidos sukelia sudėtingas kintančių veiksnių rinkinys, dažniausiai nežinomas ir sunkiai analizuojamas. Jų įtaką matavimo rezultatui galima sumažinti, pavyzdžiui, atliekant pakartotinius matavimus, toliau statistiškai apdorojant tikimybių teorijos metodu gautus rezultatus.

KAM praleidžia Tai apima dideles klaidas, atsirandančias dėl staigių eksperimentinių sąlygų pokyčių. Šios klaidos taip pat yra atsitiktinės ir, nustačius, turi būti pašalintos.

Matavimų tikslumas vertinamas matavimo paklaidomis, kurios pagal jų atsiradimo pobūdį skirstomos į instrumentines ir metodines bei pagal skaičiavimo metodą į absoliučiąsias, santykines ir sumažintas.

Instrumentinis Klaida apibūdinama matavimo prietaiso tikslumo klase, kuri nurodyta jo pase normalizuotų pagrindinių ir papildomų paklaidų forma.

Metodinis klaida atsiranda dėl matavimo metodų ir prietaisų netobulumo.

Absoliutus paklaida yra skirtumas tarp išmatuotų G u ir tikrosios dydžio G verčių, nustatytų pagal formulę:

Δ=ΔG=G u -G

Atkreipkite dėmesį, kad kiekis turi išmatuoto dydžio matmenį.

Giminaitis klaida randama iš lygybės

δ=±ΔG/G u ·100 %

Duota paklaida apskaičiuojama pagal formulę (matavimo prietaiso tikslumo klasė)

δ=±ΔG/G norma ·100 %

kur G normos yra išmatuoto dydžio normalizavimo vertė. Jis imamas lygus:

a) galutinė prietaiso skalės vertė, jei nulis yra skalės krašte arba už jos ribų;

b) skalės galutinių verčių suma, neatsižvelgiant į ženklus, jei nulio ženklas yra skalės viduje;

c) skalės ilgis, jei skalė nelygi.

Prietaiso tikslumo klasė nustatoma jo bandymo metu ir yra standartizuota paklaida, apskaičiuota pagal formules

γ=±ΔG/G normos ·100%, jeiΔG m =konst

čia ΔG m yra didžiausia įmanoma absoliuti įrenginio paklaida;

G k – galutinė prietaiso matavimo ribos reikšmė; c ir d yra koeficientai, kuriuose atsižvelgiama į prietaiso matavimo mechanizmo projektinius parametrus ir savybes.

Pavyzdžiui, voltmetrui su pastovia santykine paklaida galioja lygybė

δ m =±c

Santykinės ir sumažintos paklaidos yra susijusios su šiomis priklausomybėmis:

a) bet kuriai sumažintos paklaidos vertei

δ=±γ·G normos/G u

b) už didžiausią sumažintą paklaidą

δ=±γ m ·G normos/G u

Iš šių ryšių matyti, kad atliekant matavimus, pavyzdžiui, su voltmetru, grandinėje esant tokiai pačiai įtampos vertei, kuo mažesnė išmatuota įtampa, tuo didesnė santykinė paklaida. Ir jei šis voltmetras pasirinktas neteisingai, santykinė paklaida gali būti proporcinga vertei G n , o tai nepriimtina. Atkreipkite dėmesį, kad pagal sprendžiamų problemų terminologiją, pavyzdžiui, matuojant įtampą G = U, matuojant srovę C = I, klaidų skaičiavimo formulėse raidžių žymėjimai turi būti pakeisti atitinkamais simboliais.

1.1 pavyzdys. Voltmetras, kurio vertės γ m = 1,0 % U n = G normos, G k = 450 V, išmatuokite įtampą U u, lygią 10 V. Įvertinkime matavimo paklaidas.

Sprendimas.

Atsakymas. Matavimo paklaida yra 45%. Esant tokiai klaidai, išmatuota įtampa negali būti laikoma patikima.

At negalia Pasirinkus prietaisą (voltmetrą), metodinę paklaidą galima atsižvelgti atliekant pataisą, apskaičiuotą pagal formulę

1.2 pavyzdys. Apskaičiuokite absoliučią voltmetro V7-26 paklaidą matuojant įtampą grandinėje nuolatinė srovė. Voltmetro tikslumo klasė nurodoma maksimalia sumažinta paklaida γ m =±2,5%. Darbe naudojama voltmetro skalės riba U norma = 30 V.

Sprendimas. Absoliuti paklaida apskaičiuojama naudojant žinomas formules:

(nes sumažinta paklaida pagal apibrėžimą išreiškiama formule , tada iš čia galite rasti absoliučią klaidą:

Atsakymas.ΔU = ±0,75 V.

Svarbūs žingsniai matavimo procese yra rezultatų apdorojimas ir apvalinimo taisyklės. Apytikslių skaičiavimų teorija leidžia, žinant duomenų tikslumo laipsnį, įvertinti rezultatų tikslumo laipsnį dar prieš atliekant veiksmus: parinkti duomenis su atitinkamu tikslumo laipsniu, pakankamu užtikrinti reikiamą rezultato tikslumą; bet ne per daug, kad apsaugotų skaičiuotuvą nuo nenaudingų skaičiavimų; racionalizuoti patį skaičiavimo procesą, išlaisvinant jį nuo tų skaičiavimų, kurie neturės įtakos tiksliems skaičiams ir rezultatams.

Apdorojant rezultatus taikomos apvalinimo taisyklės.

• 1 taisyklė. Jei pirmasis atmestas skaitmuo yra didesnis nei penki, paskutinis išsaugotas skaitmuo padidinamas vienu.

• 2 taisyklė. Jei pirmasis iš atmestų skaitmenų yra mažesnis nei penki, tada nedidinamas.

• 3 taisyklė. Jei išmestas skaitmuo yra penki ir už jo nėra reikšmingų skaitmenų, tai apvalinama iki artimiausio lyginio skaičiaus, t.y. paskutinis išsaugotas skaitmuo išlieka toks pat, jei jis lyginis, ir didėja, jei jis nelyginis.

Jei už skaičiaus penki yra reikšmingi skaičiai, apvalinimas atliekamas pagal 2 taisyklę.

Taikant 3 taisyklę apvalinant vieną skaičių, mes nepadidiname apvalinimo tikslumo. Tačiau esant daugybei apvalinimų, pertekliniai skaičiai atsiras maždaug taip pat dažnai, kaip ir nepakankami skaičiai. Didžiausią rezultato tikslumą užtikrins abipusis klaidų kompensavimas.

Iškviečiamas skaičius, kuris akivaizdžiai viršija absoliučią paklaidą (arba blogiausiu atveju yra jai lygus). maksimali absoliuti paklaida.

Didžiausios paklaidos dydis nėra visiškai tikras. Kiekvienam apytiksliui skaičiui turi būti žinoma didžiausia jo paklaida (absoliuti arba santykinė).

Kai ji tiesiogiai nenurodyta, suprantama, kad didžiausia absoliuti paklaida yra pusė paskutinio įrašyto skaitmens vieneto. Taigi, jei apytikslis skaičius yra 4,78, nenurodant didžiausios paklaidos, tada daroma prielaida, kad maksimali absoliuti paklaida yra 0,005. Dėl šio susitarimo visada galite nenurodyti didžiausios skaičiaus, suapvalinto pagal taisykles 1-3, paklaidos, t. y. jei apytikslis skaičius žymimas raide α, tada

kur Δn yra didžiausia absoliuti paklaida; ir δ n yra didžiausia santykinė paklaida.

Be to, apdorojant rezultatus naudojame klaidos nustatymo taisyklės suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas.

• 1 taisyklė. Didžiausia absoliuti sumos paklaida lygi atskirų dėmenų maksimalių absoliučių paklaidų sumai, tačiau esant dideliam dėmenų skaičiui klaidų dažniausiai įvyksta abipusis klaidų kompensavimas, todėl tikroji sumos paklaida yra tik išskirtiniais atvejais sutampa su didžiausia paklaida arba yra artima jai.

• 2 taisyklė. Didžiausia absoliuti skirtumo paklaida yra lygi didžiausių absoliučių klaidų sumai, kurią mažinama arba atimama.

Didžiausią santykinę paklaidą galima lengvai rasti apskaičiuojant maksimalią absoliučią paklaidą.

• 3 taisyklė. Didžiausia santykinė sumos paklaida (bet ne skirtumas) yra tarp mažiausios ir didžiausios terminų santykinės paklaidos.

Jei visi terminai turi tą pačią didžiausią santykinę paklaidą, tada suma turi tą pačią didžiausią santykinę paklaidą. Kitaip tariant, šiuo atveju sumos tikslumas (procentais) nėra prastesnis už terminų tikslumą.

Priešingai nei sumos, apytikslių skaičių skirtumas gali būti ne toks tikslus nei minuend ir subtrahend. Tikslumo praradimas ypač didelis, kai minuend ir subtrahend mažai skiriasi vienas nuo kito.

• 4 taisyklė. Maksimali santykinė sandaugos paklaida yra apytiksliai lygi faktorių maksimalių santykinių paklaidų sumai: δ=δ 1 +δ 2 arba, tiksliau, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2, kur δ yra santykinė produkto paklaida, δ 1 δ 2 - santykinės paklaidos koeficientai.

Pastabos:

1. Jei apytiksliai skaičiai su tuo pačiu reikšminių skaitmenų skaičiumi padauginami, tada gaminyje turėtų likti toks pat reikšminių skaitmenų skaičius. Paskutinis išsaugotas skaitmuo nebus visiškai patikimas.

2. Jei vieni faktoriai turi daugiau reikšmių skaitmenų nei kiti, tai prieš dauginant pirmuosius reikia suapvalinti, juose paliekant tiek skaitmenų, kiek yra mažiausiai tikslus koeficientas, arba dar vieną (kaip atsarginį), tolimesnius skaitmenis išsaugoti nenaudinga.

3. Jei reikalaujama, kad dviejų skaičių sandauga būtų iš anksto duotas numeris yra visiškai patikimas, tada kiekviename veiksnyje tikslių skaitmenų skaičius (gautas išmatuojant ar skaičiuojant) turėtų būti vienu daugiau. Jei faktorių skaičius yra didesnis nei du ir mažesnis nei dešimt, tai kiekviename veiksnyje tikslių skaitmenų pilnai garantijai skaičius turi būti dviem vienetais daugiau nei reikiamas tikslių skaitmenų skaičius. Praktiškai visiškai pakanka paimti tik vieną papildomą skaitmenį.

• 5 taisyklė. Didžiausia santykinė koeficiento paklaida yra maždaug lygi dividendo ir daliklio didžiausių santykinių paklaidų sumai. Tiksli maksimalios santykinės paklaidos reikšmė visada viršija apytikslę. Pertekliaus procentas yra maždaug lygus didžiausiai santykinei daliklio paklaidai.

1.3 pavyzdys. Raskite dalinio 2,81: 0,571 maksimalią absoliučią paklaidą.

Sprendimas. Maksimali dividendo santykinė paklaida yra 0,005:2,81=0,2%; daliklis – 0,005:0,571=0,1 %; privatus – 0,2% + 0,1% = 0,3%. Maksimali absoliuti koeficiento paklaida bus maždaug 2,81:0,571·0,0030=0,015

Tai reiškia, kad koeficiente 2,81:0,571=4,92 trečias reikšmingas skaičius nėra patikimas.

Atsakymas. 0,015.

1.4 pavyzdys. Apskaičiuokite pagal grandinę prijungto voltmetro rodmenų santykinę paklaidą (1.3 pav.), kuri gaunama, jei darome prielaidą, kad voltmetras turi be galo didelę varžą ir neįveda į išmatuotą grandinę iškraipymų. Klasifikuokite šios problemos matavimo paklaidą.

ryžių. 1.3

Sprendimas. Realaus voltmetro rodmenis pažymėkime IR, o be galo didelės varžos voltmetro – AND ∞. Reikalinga santykinė klaida

pastebėti, kad

tada gauname

Kadangi R IR >>R ir R > r, paskutinės lygybės vardiklio trupmena yra daug mažesnė už vienetą. Todėl galite naudoti apytikslę formulę , galioja λ≤1 bet kuriam α. Darant prielaidą, kad šioje formulėje α = -1 ir λ= rR (r+R) -1 R Ir -1, gauname δ ≈ rR/(r+R) R Ir.

Kuo didesnė voltmetro varža, palyginti su išorine grandinės varža, tuo mažesnė paklaida. Tačiau sąlyga R<

Atsakymas. Sisteminė metodinė klaida.

1.5 pavyzdys. Nuolatinės srovės grandinėje (1.4 pav.) yra šie įrenginiai: A – ampermetras tipas M 330, tikslumo klasė K A = 1,5 su matavimo riba I k = 20 A; A 1 - ampermetras tipas M 366, tikslumo klasė K A1 = 1,0 su matavimo riba I k1 = 7,5 A. Raskite didžiausią galimą santykinę paklaidą matuojant srovę I 2 ir galimas jos tikrosios vertės ribas, jei prietaisai parodė, kad I = 8,0A. ir I 1 = 6,0 A. Klasifikuokite matavimą.

ryžių. 1.4

Sprendimas. Srovę I 2 nustatome iš prietaiso rodmenų (neatsižvelgdami į jų paklaidas): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 A.

Raskime ampermetrų A ir A 1 absoliučiuosius paklaidos modulius

A mes turime lygybę ampermetrui

Raskime absoliučių klaidų modulių sumą:

Vadinasi, didžiausia galima tos pačios vertės reikšmė, išreikšta šios vertės trupmenomis, yra lygi 1. 10 3 – vienam įrenginiui; 2·10 3 – kitam įrenginiui. Kuris iš šių įrenginių bus tiksliausias?

Sprendimas. Prietaiso tikslumas apibūdinamas paklaidos reciprokiniu koeficientu (kuo prietaisas tikslesnis, tuo paklaida mažesnė), t.y. pirmajam įrenginiui tai bus 1/(1 . 10 3) = 1000, antrojo – 1/(2 . 10 3) = 500. Atkreipkite dėmesį, kad 1000 > 500. Todėl pirmasis prietaisas yra du kartus tikslesnis už antrasis.

Panašią išvadą galima padaryti patikrinus klaidų nuoseklumą: 2. 10 3/1. 10 3 = 2.

Atsakymas. Pirmasis prietaisas yra dvigubai tikslesnis nei antrasis.

1.6 pavyzdys. Raskite apytikslių prietaiso išmatavimų sumą. Raskite teisingų simbolių skaičių: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Sprendimas. Susumavus visus matavimo rezultatus gauname 0,6187. Didžiausia maksimali sumos paklaida yra 0,00005·9=0,00045. Tai reiškia, kad paskutiniame ketvirtame sumos skaitmenyje galima paklaida iki 5 vienetų. Todėl sumą apvaliname iki trečio skaitmens, t.y. tūkstantąsias dalis, gauname 0,619 – rezultatą, kuriame visi ženklai yra teisingi.

Atsakymas. 0,619. Teisingų skaitmenų skaičius yra trys skaitmenys po kablelio.