Padalijimas iš trupmenos. Lygčių sistemos sudarymas

Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Dauguma sunkus momentas tuose veiksmuose buvo sumažintos trupmenos iki Bendras vardiklis.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, pažiūrėkime paprasčiausias atvejis, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.

Pavadinimas:

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.

Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ją, žinoma, reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.

Pagal apibrėžimą mes turime:

Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad vienu metu būtų „sudeginti“ keli trūkumai:

1. Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
2. Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame jį už daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Padauginame tai, kas liko normalios taisyklės. Mes gauname:

Dar kartą priminsiu, kad prieš trupmeną su paryškintu atsiranda minuso ženklas visa dalis, konkrečiai nurodo visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį neigiami skaičiai: Dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pagal apibrėžimą mes turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda todėl, kad sudėjus trupmenos skaitiklis sukuria sumą, o ne skaičių sandaugą. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes šioje savybėje mes kalbame apie konkrečiai apie skaičių dauginimą.

Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra teisingas sprendimas Ankstesnė užduotis atrodo taip:

Teisingas sprendimas:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

Norėdami išspręsti įvairias matematikos ir fizikos kursų problemas, turite padalyti trupmenas. Tai padaryti labai paprasta, jei žinote tam tikras šio matematinės operacijos atlikimo taisykles.

Prieš pereidami prie trupmenų padalijimo taisyklės formulavimo, prisiminkime keletą matematinių terminų:

1. Viršutinė trupmenos dalis vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu.
2. Dalijant skaičiai vadinami taip: dividendas: daliklis = koeficientas

Kaip padalinti trupmenas: paprastosios trupmenos

Norėdami padalinti dvi paprastas trupmenas, padauginkite dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės. Ši trupmena taip pat vadinama apversta, nes ji gaunama sukeitus skaitiklį ir vardiklį. Pavyzdžiui:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kaip padalinti trupmenas: mišrios frakcijos

Jei turime padalinti mišrias trupmenas, tai čia taip pat viskas yra gana paprasta ir aišku. Pirmiausia mišrią trupmeną paverčiame įprasta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, padauginkite tokios trupmenos vardiklį iš sveikojo skaičiaus ir pridėkite skaitiklį prie gautos sandaugos. Dėl to gavome naują mišrios trupmenos skaitiklį, tačiau jo vardiklis išliks nepakitęs. Be to, trupmenų padalijimas bus atliekamas lygiai taip pat, kaip ir paprastų trupmenų padalijimas. Pavyzdžiui:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kaip padalyti trupmeną iš skaičiaus

Norint padalyti paprastąją trupmeną iš skaičiaus, pastaroji turėtų būti rašoma trupmena (netaisyklinga). Tai padaryti labai paprasta: šis skaičius rašomas vietoje skaitiklio, o tokios trupmenos vardiklis lygus vienetui. Atliekamas tolesnis padalijimas įprastu būdu. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kaip padalinti po kablelio

Dažnai suaugusiam žmogui be skaičiuoklės pagalbos sunku padalyti sveiką skaičių ar dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos.

Taigi, norint padalinti po kablelio skaičių, tereikia išbraukti kablelį daliklyje ir nustoti į tai kreipti dėmesį. Dividenduose kablelis turi būti perkeltas į dešinę tiksliai tiek vietų, kiek buvo daliklio trupmeninėje dalyje, prireikus pridedant nulius. Ir tada jie atlieka įprastą padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Kad tai būtų aiškiau, apsvarstykite šį pavyzdį.

§ 87. Trupmenų sudėjimas.

Trupmenų pridėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių pridėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetų vienetai ir trupmenos.

Mes nagrinėsime tris atvejus iš eilės:

1. Sudėjus trupmenas su tie patys vardikliai.
2. Trupmenų sudėjimas su skirtingus vardiklius.
3. Mišrių skaičių pridėjimas.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.

Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5.

Paimkime atkarpą AB (17 pav.), paimkime kaip vieną ir padalinkime iš 5 lygiomis dalimis, tada šio segmento dalis AC bus lygi 1/5 segmento AB, o dalis to paties segmento CD bus lygi 2/5 AB.

Iš brėžinio aišku, kad jei imsime atkarpą AD, ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra būtent atkarpų AC ir CD suma. Taigi galime parašyti:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Atsižvelgdami į šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.

Iš čia gauname kita taisyklė: Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti tą patį vardiklį.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.

Sudėkime trupmenas: 3 / 4 + 3 / 8 Pirmiausia jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:

Neįmanoma įrašyti tarpinės nuorodos 6/8 + 3/8; aiškumo dėlei tai parašėme čia.

Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, pridėti jų skaitiklius ir pažymėti bendrą vardiklį.

Panagrinėkime pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):

3. Mišrių skaičių pridėjimas.

Sudėkime skaičius: 2 3/8 + 3 5/6.

Pirmiausia suveskime savo skaičių trupmenines dalis į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašykime:

Dabar iš eilės pridedame sveikąsias ir trupmenines dalis:

§ 88. Trupmenų atėmimas.

Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kurio pagalba, atsižvelgiant į dviejų ir vieno iš jų sumą, randamas kitas terminas. Panagrinėkime tris atvejus iš eilės:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

13 / 15 - 4 / 15

Paimkime atkarpą AB (18 pav.), imkime kaip vienetą ir padalinkime į 15 lygių dalių; tada šio segmento dalis AC sudarys 1/15 AB, o to paties segmento dalis AD atitiks 13/15 AB. Atidėkime kitą atkarpą ED, lygią 4/15 AB.

Turime atimti trupmeną 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad atkarpa ED turi būti atimta iš segmento AD. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:

Mūsų pateiktame pavyzdyje matyti, kad skirtumo skaitiklis gautas atėmus skaitiklius, tačiau vardiklis liko toks pat.

Todėl, norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažosios dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.

2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Pavyzdys. 3/4 - 5/8

Pirmiausia sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio:

Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė 6 / 8 - 5 / 8, tačiau vėliau ją galima praleisti.

Taigi, norėdami atimti trupmeną iš trupmenos, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuendo skaitiklį iš mažumos skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

3. Mišriųjų skaičių atėmimas.

Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.

Sumažinkime trupmenines minuend ir atimties dalis iki mažiausio bendro vardiklio:

Iš visumos atėmėme visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė poskyrio dalis yra didesnė už trupmeninę minuend dalį. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš visos minuend dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie trupmeninės minutės dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:

§ 89. Trupmenų daugyba.

Tirdami trupmenų daugybą, mes atsižvelgsime tolesni klausimai:

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas.
3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas. Panagrinėkime juos paeiliui.

1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Padauginti trupmeną (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (koeficiento) reiškia sukurti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.

Tai reiškia, kad jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:

Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,

Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek vienetų yra sveikame skaičiuje. Ir kadangi trupmenos didinimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį

arba sumažinant jo vardiklį , tada skaitiklį galime padauginti iš sveikojo skaičiaus arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas yra įmanomas.

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, padauginkite skaitiklį iš viso skaičiaus ir palikite vardiklį tokį pat arba, jei įmanoma, padalykite vardiklį iš to skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.

Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, dėl kurių turite rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių problemų nuo kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada pristatysime jų sprendimo būdą.

1 užduotis. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?

2 užduotis. Traukinys turi nuvažiuoti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 šio atstumo. Kiek tai kilometrų?

3 užduotis. Kaime yra 400 namų, 3/4 jų mūriniai, likusieji mediniai. Kiek iš viso yra mūrinių namų?

Tai yra keletas iš daugelio problemų, su kuriomis susiduriame norėdami rasti tam tikro skaičiaus dalį. Paprastai jie vadinami problemomis, siekiant rasti tam tikro skaičiaus trupmeną.

1 problemos sprendimas. Nuo 60 rub. 1/3 išleidau knygoms; Tai reiškia, kad norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:

2 problemos sprendimas. Problemos esmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Pirmiausia apskaičiuokime 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:

300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).

Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, t. y. padauginti iš 2:

100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).

3 problemos sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų, kurie sudaro 3/4 iš 400, skaičių. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 400,

400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).

Norint apskaičiuoti tris ketvirčius iš 400, gautą koeficientą reikia patrigubinti, ty padauginti iš 3:

100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).

Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:

Norėdami rasti trupmenos vertę iš nurodyto skaičiaus, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir padauginti gautą koeficientą iš jo skaitiklio.

3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.

Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turėtų būti suprantama kaip identiškų narių sudėjimas (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Šioje pastraipoje (1 punktas) nustatyta, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus reiškia, kad reikia rasti identiškų narių sumą, lygią šiai trupmenai.

Abiem atvejais dauginimas susideda iš identiškų terminų sumos radimo.

Dabar pereiname prie sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos. Čia, pavyzdžiui, susidursime su daugyba: 9 2/3. Akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju negalioja. Tai akivaizdu iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vienodus skaičius.

Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, t.y., kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.

Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė yra aiški iš šio apibrėžimo: sveikojo skaičiaus (daugiklio) padauginimas iš trupmenos (daugiklis) reiškia, kad reikia rasti šią daugiklio trupmeną.

Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios problemos buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigsime 6.

Tačiau dabar yra įdomus ir svarbus klausimas: kodėl jie tokie iš pirmo žvilgsnio? įvairių veiksmų Kaip aritmetikoje rasti vienodų skaičių sumą ir skaičiaus trupmeną vadinama tuo pačiu žodžiu „daugyba“?

Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus su terminais kartojimas kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymus į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimais, kad vienarūšiai klausimai ar užduotys išsprendžiami tuo pačiu veiksmu.

Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?

Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).

Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmena: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?“

Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (3/4).

Jame esančius skaičius galite keisti dar kelis kartus, nekeisdami uždavinio reikšmės, pavyzdžiui, paimkite 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.

Kadangi šios problemos yra vienodo turinio ir skiriasi tik skaičiais, jas sprendžiant naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos?

Paimkime skaičius, su kuriais susiduriama paskutinėje užduotyje:

Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 50, o tada 3/4.

1/4 iš 50 yra 50/4;

3/4 skaičiaus 50 yra .

Vadinasi.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: 12 5 / 8 =?

1/8 skaičiaus 12 yra 12/8,

5/8 skaičiaus 12 yra .

Vadinasi,

Iš čia gauname taisyklę:

Norėdami padauginti sveiką skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveiką skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti šios trupmenos vardiklį.

Parašykime šią taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38

Svarbu atsiminti, kad prieš atlikdami daugybą, turėtumėte atlikti (jei įmanoma) sumažinimai, Pavyzdžiui:

4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, t.

Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.

Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?

Paimkime pavyzdį: 3/4 padauginta iš 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia suraskime 1/7 iš 3/4, o tada 5/7

1/7 skaičiaus 3/4 bus išreikšta taip:

5/7 skaičiai 3/4 bus išreikšti taip:

Taigi,

Kitas pavyzdys: 5/8 padauginta iš 4/9.

1/9 iš 5/8 yra ,

4/9 skaičiaus 5/8 yra .

Taigi,

Iš šių pavyzdžių galima padaryti tokią taisyklę:

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį sandaugą - sandaugos vardikliu.

Tai yra taisyklė bendras vaizdas galima parašyti taip:

Dauginant, būtina (jei įmanoma) sumažinti. Pažiūrėkime į pavyzdžius:

5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, daugiklis arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, jie pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Padauginkime, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverskime netinkama trupmena ir gautas trupmenas padauginkime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:

Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal trupmenų dauginimo iš trupmenų taisyklę.

Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:

6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia turėti omenyje, kad daugelis kiekių leidžia jiems skirstyti ne bet kokius, o natūralius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus kapeika, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios yra 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų, arba dešimties kapeikų gabalas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, t.y 25 kapeikų, pusę rublio, t.y. 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai neima, pavyzdžiui, 2/7 rublio, nes rublis neskirstomas į septintąsias dalis.

Svorio vienetas, t.y. kilogramas, pirmiausia leidžia padalyti po kablelio, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g. O tokios kilogramo trupmenos kaip 1/6, 1/11, 1/13 nėra dažnos.

Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia padalyti po kablelio.

Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks gerai pagrįstas padalijimas yra „šimtasis“ padalijimas. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, susijusių su pačiomis įvairiausiomis žmogaus praktikos sritimis.

1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.

Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina buvo 10 rublių. Sumažėjo 1 rubliu. 20 kapeikų

2. Taupomosios kasos indėlininkams per metus išmoka 2/100 santaupoms įneštos sumos.

Pavyzdys. Į kasą įnešama 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus – 10 rublių.

3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.

PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš kurių 60 baigė.

Šimtoji skaičiaus dalis vadinama procentais.

Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalba o jo šaknis „centas“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „už šimtą“. Tokio posakio prasmė išplaukia iš to, kad iš pradžių in senovės Roma palūkanos buvo pinigai, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (tarkim, centimetras).

Pavyzdžiui, užuot sakę, kad per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino 1/100 visos jos gaminamos produkcijos buvo brokuotos, pasakysime taip: per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino vieną procentą defektų. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 produkcijos daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.

Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išreikšti skirtingai:

1. Knygų kaina sumažėjo 12 procentų nuo ankstesnės kainos.

2. Taupomosios kasos indėlininkams moka 2 procentus per metus nuo į santaupų įneštos sumos.

3. Vieną mokyklą baigė 5 procentai visų mokyklos mokinių.

Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentai“ įprasta rašyti simbolį %.

Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas paprastai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, šiuo simboliu reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius.

Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:

Ir atvirkščiai, reikia priprasti prie sveikojo skaičiaus rašymo su nurodytu simboliu, o ne trupmena, kurios vardiklis yra 100:

7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas.

1 užduotis. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržinių malkų?

Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos sudarė tik dalį malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, ir ši dalis išreiškiama trupmena 30/100. Tai reiškia, kad turime užduotį surasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime 200 padauginti iš 30/100 (skaičiaus trupmenos radimo problemos išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).

Tai reiškia, kad 30% iš 200 yra lygus 60.

Dalis 30/100, su kuria susiduria ši problema, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima padaryti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nebūtų pasikeitęs.

2 užduotis. Stovykloje buvo 300 įvairaus amžiaus vaikų. 11 metų vaikai sudarė 21%, 12 metų vaikai – 61%, galiausiai 13 metų vaikai – 18%. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?

Šioje užduotyje reikia atlikti tris skaičiavimus, t. y. paeiliui rasti 11 metų, tada 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.

Tai reiškia, kad čia jums reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime tai:

1) Kiek buvo 11 metų vaikų?

2) Kiek ten buvo 12 metų vaikų?

3) Kiek buvo 13 metų vaikų?

Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Taip pat reikia pažymėti, kad problemos teiginyje nurodytų procentų suma yra 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tai rodo, kad iš viso vaikų stovykloje buvo paimti kaip 100 proc.

3 ir d a h a 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% butams ir šildymui, 4% dujoms, elektrai ir radijui, 10% kultūros reikmėms ir 15% taupė. Kiek pinigų buvo išleista užduotyje nurodytiems poreikiams?

Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti 5 kartų trupmeną iš 1200. Padarykime tai.

1) Kiek pinigų išleido maistui? Problema sako, kad šios išlaidos sudaro 65% viso uždarbio, t. y. 65/100 skaičiaus 1200. Paskaičiuokime:

2) Kiek sumokėjote pinigų už butą su šildymu? Motyvuodami panašiai kaip ir ankstesniame, gauname tokį skaičiavimą:

3) Kiek pinigų sumokėjote už dujas, elektrą ir radiją?

4) Kiek pinigų buvo išleista kultūros reikmėms?

5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?

Norėdami patikrinti, pravartu susumuoti šiuose 5 klausimuose rastus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis imamas kaip 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos teiginyje pateiktus procentus.

Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios problemos buvo susijusios su skirtingais dalykais (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojų išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visuose uždaviniuose reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.

§ 90. Trupmenų skirstymas.

Tirdami trupmenų padalijimą, apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus
3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.
7. Skaičiaus radimas procentais.

Panagrinėkime juos paeiliui.

1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.

Kaip buvo nurodyta sveikųjų skaičių skyriuje, padalijimas yra veiksmas, kurį sudaro tai, kad, atsižvelgiant į dviejų veiksnių sandaugą (dividendą) ir vieną iš šių veiksnių (daliklį), randamas kitas veiksnys.

Skiltyje apie sveikuosius skaičius pažvelgėme į sveikojo skaičiaus padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Ten susidūrėme su dviem padalijimo atvejais: padalijimas be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimas su liekana (100: 9 = 11 ir 1 likutis). Todėl galime sakyti, kad sveikųjų skaičių srityje tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio sandauga iš sveikojo skaičiaus. Įvedę daugybą iš trupmenos, galime laikyti galimu bet kokį sveikųjų skaičių dalijimo atvejį (neįtraukiama tik dalybos iš nulio).

Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga iš 12 būtų lygi 7. Toks skaičius yra trupmena 7 / 12, nes 7 / 12 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14: 25 = 14 / 25, nes 14 / 25 25 = 14.

Taigi, norint padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, reikia sukurti trupmeną, kurios skaitiklis yra lygus dividendui, o vardiklis lygus dalikliui.

2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus.

Padalinkite trupmeną 6/7 iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti antrą koeficientą, kurį padauginus iš 3 gautas sandaugas gautų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis produktas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.

Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti sumažinant jos skaitiklį arba padidinant vardiklį. Todėl galite rašyti:

IN tokiu atveju 6 skaitiklis dalijasi iš 3, todėl skaitiklį reikia padalyti per pusę.

Paimkime kitą pavyzdį: 5 / 8 padalintas iš 2. Čia skaitiklis 5 nesidalija iš 2, tai reiškia, kad vardiklį reikės padauginti iš šio skaičiaus:

Remiantis tuo, galima sudaryti taisyklę: Norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, trupmenos skaitiklį turite padalyti iš sveikojo skaičiaus.(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.

3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.

Tegu reikia padalyti 5 iš 1/2, t.y. rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2 gautų sandaugą 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra tinkama trupmena , o dauginant skaičių tinkamos trupmenos sandauga turi būti mažesnė už dauginamą sandaugą. Kad tai būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1 / 2 = X , o tai reiškia x 1/2 = 5.

Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi padauginus tam tikrą skaičių iš 1/2 reiškia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra lygus 5, ir visas skaičius X dvigubai daugiau, t. y. 5 2 = 10.

Taigi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Patikrinkime:

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad norite padalyti 6 iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).

19 pav

Nubraižykime atkarpą AB, lygią 6 vienetams, ir kiekvieną vienetą padalinkime į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) viso segmento AB yra 6 kartus didesnis, t.y. e. 18/3. Naudodami mažus skliaustus, sujungiame 18 gautų segmentų iš 2; Bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad frakcija 2/3 yra 6 vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, frakcija 2/3 yra 9 kartus mažesnė nei 6 sveiki vienetai. Vadinasi,

Kaip gauti šį rezultatą be brėžinio naudojant vien skaičiavimus? Samprotuokime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, t.y. reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 2/3 yra 6. Iš pradžių išsiaiškinkime: kiek kartų 1/3 yra 6? Visame vienete yra 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, t.y. 18 trečdalių; Norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Tai reiškia, kad 1/3 yra b vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra b vienetuose ne 18 kartų, o perpus tiek kartų, ty 18: 2 = 9 . Todėl dalydami 6 iš 2/3 padarėme taip:

Iš čia gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį sveiką skaičių iš duotosios trupmenos vardiklio ir, padarę šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš duotosios trupmenos skaitiklio.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus padalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Tarkime, kad reikia padalyti 3/4 iš 3/8. Ką reikš skaičius, gautas padalijus? Jis atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).

Paimkime atkarpą AB, paimkime kaip vieną, padalinkime į 4 lygias dalis ir pažymime 3 tokias dalis. Segmentas AC bus lygus 3/4 segmento AB. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada atkarpa AB bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 atkarpos AB. Sujungkime 3 tokias atkarpas lankais, tada kiekvienas atkarpas AD ir DC bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad segmentas, lygus 3/8, yra segmente, lygus 3/4 lygiai 2 kartus; Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas gali būti parašytas taip:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad reikia padalyti 15/16 iš 3/32:

Galime samprotauti taip: reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautume sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nežinomas numeris X yra 15/16

1/32 nežinomo skaičiaus X yra ,

32/32 skaičiai X makiažas .

Vadinasi,

Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios skaitiklio, o pirmąjį sandaugą padaryti skaitikliu, o antrasis vardiklis.

Parašykime taisyklę raidėmis:

Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:

5. Mišriųjų skaičių dalyba.

Dalijant mišrius skaičius pirmiausia juos reikia paversti netinkamosiomis trupmenomis, o po to gautas trupmenas padalinti pagal trupmenų padalijimo taisykles. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Paverskime mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:

Dabar padalinkime:

Taigi, norėdami padalyti mišrius skaičius, turite juos paversti netinkamomis trupmenomis ir tada padalyti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.

6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.

Tarp įvairių trupmeninių uždavinių kartais pasitaiko tokių, kuriose nurodoma kokios nors nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir reikia šį skaičių rasti. Šio tipo uždaviniai bus atvirkštiniai duoto skaičiaus trupmenos radimo uždaviniui; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia buvo pateikta skaičiaus trupmena ir reikėjo rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei imsimės tokio pobūdžio problemų sprendimo.

1 užduotis. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?

Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.

Namas turėjo 150 langų.

2 užduotis. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, o tai sudaro 3/8 visų parduotuvės miltų atsargų. Koks buvo pradinis miltų tiekimas parduotuvėje?

Sprendimas. Iš problemos sąlygų aišku, kad 1500 kg parduotų miltų sudaro 3/8 visų atsargų; Tai reiškia, kad 1/8 šio rezervo bus 3 kartus mažiau, t.y. norint jį apskaičiuoti reikia 1500 sumažinti 3 kartus:

1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 rezervo).

Akivaizdu, kad visa pasiūla bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,

500 8 = 4000 (kg).

Pradinės miltų atsargos parduotuvėje buvo 4000 kg.

Išnagrinėjus šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.

Norint rasti skaičių iš nurodytos trupmenos reikšmės, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.

Išsprendėme dvi problemas, kaip rasti skaičių, atsižvelgiant į jo trupmeną. Tokios problemos, kaip ypač aiškiai matyti iš paskutiniojo, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).

Tačiau po to, kai išmokome dalyti trupmenas, aukščiau išvardintos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.

Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu tokiu veiksmu:

Ateityje skaičiaus iš jo trupmenos radimo problemas spręsime vienu veiksmu – padalijimu.

7. Skaičiaus radimas procentais.

Šiose problemose turėsite rasti skaičių, žinodami kelis procentus to skaičiaus.

1 užduotis.Šių metų pradžioje iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią prieš metus įdėjau į santaupas. Kiek pinigų įdėjau į taupomąjį kasą? (Kasos kasos suteikia indėlininkams 2% grąžą per metus.)

Problemos esmė ta, kad tam tikrą pinigų sumą įdėjau į taupyklę ir išbuvau ten metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įneštų pinigų. Kiek pinigų įdėjau?

Vadinasi, žinant dalį šių pinigų, išreikštų dviem būdais (rubliais ir trupmenomis), turime rasti visą, dar nežinomą, sumą. Tai įprasta skaičiaus, atsižvelgiant į jo trupmeną, radimo problema. Šios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad į taupyklę buvo įnešta 3000 rublių.

2 užduotis.Žvejai per dvi savaites mėnesio planą įvykdė 64 proc., išgaudami 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?

Iš problemos sąlygų žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Nežinome, kiek tonų žuvies reikia paruošti pagal planą. Šio skaičiaus radimas bus problemos sprendimas.

Tokios problemos išsprendžiamos dalijant:

Tai reiškia, kad pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.

3 užduotis. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių pasiteiravo pro šalį ėjusio konduktoriaus, kiek kelionės jie jau įveikė. Į tai dirigentas atsakė: „Mes jau įveikėme 30% visos kelionės“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?

Iš probleminių sąlygų aišku, kad 30% maršruto iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, t. y. šiai daliai rasti visumą:

§ 91. Abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.

Paimkime trupmeną 2/3 ir vietoj vardiklio pakeiskime skaitiklį, gausime 3/2. Gavome atvirkštinę šios trupmenos vertę.

Norėdami gauti trupmeną, kuri yra atvirkštinė duotajai trupmenai, vietoj vardiklio turite įdėti jos skaitiklį, o vietoj skaitiklio - vardiklį. Tokiu būdu galime gauti bet kurios trupmenos atvirkštinį koeficientą. Pavyzdžiui:

3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkštinis 6/5

Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios vardiklis yra antrojo vardiklis, vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Dabar pagalvokime, kokia trupmena bus 1/2 atvirkštinė vertė. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami atvirkštinės duotosios trupmenos, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), atvirkštiniai skaičiai bus sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5

Kadangi ieškant atvirkštinių trupmenų susidūrėme ir su sveikaisiais skaičiais, toliau kalbėsime ne apie grįžtamąsias trupmenas, o apie grįžtamuosius skaičius.

Išsiaiškinkime, kaip parašyti atvirkštinį sveikąjį skaičių. Dėl trupmenų tai galima išspręsti paprastai: vietoj skaitiklio reikia įdėti vardiklį. Lygiai taip pat galite gauti atvirkštinį sveikąjį skaičių, nes bet kurio sveikojo skaičiaus vardiklis gali būti 1. Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 7 bus 1/7, nes 7 = 7/1; skaičiui 10 atvirkštinė vertė bus 1/10, nes 10 = 10/1

Ši idėja gali būti išreikšta skirtingai: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš duotas numeris . Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Tiesą sakant, jei reikia parašyti atvirkštinę trupmenos 5/9, tai galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.

Dabar atkreipkime dėmesį į vieną dalyką nuosavybė abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui. Iš tikrųjų:

Naudodamiesi šia savybe, galime rasti abipusius skaičius tokiu būdu. Tarkime, kad turime rasti atvirkštinį skaičių 8.

Pažymėkime tai raide X , tada 8 X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, kuris yra atvirkštinis 7/12, ir pažymime jį raide X , tada 7/12 X = 1, vadinasi X = 1: 7/12 arba X = 12 / 7 .

Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių skaičių sąvoką.

Padalinę skaičių 6 iš 3/5, darome taip:

Ypatingą dėmesį atkreipkite į posakį ir palyginkite su duotuoju: .

Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais nutinka tas pats. Todėl galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinės vertės.

Žemiau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.

Trupmena yra viena ar daugiau visumos dalių, paprastai laikoma viena (1). Kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, su trupmenomis galite atlikti visas pagrindines aritmetines operacijas (sudėti, atimti, dalyti, dauginti), tam reikia žinoti darbo su trupmenomis ypatybes ir atskirti jų tipus. Yra keletas trupmenų tipų: dešimtainės ir paprastosios arba paprastosios. Kiekvienas trupmenų tipas turi savo specifiką, tačiau gerai supratę, kaip su jais elgtis, galėsite išspręsti bet kokius pavyzdžius su trupmenomis, nes žinosite pagrindinius aritmetinių skaičiavimų su trupmenomis principus. Pažvelkime į pavyzdžius, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus naudojant skirtingi tipai trupmenomis.

Kaip padalyti paprastąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus?
Paprastosios arba paprastosios trupmenos – tai trupmenos, parašytos skaičių santykio forma, kai trupmenos viršuje nurodomas dividendas (skaitiklis), o apačioje – trupmenos daliklis (vardiklis). Kaip padalyti tokią trupmeną iš sveikojo skaičiaus? Pažiūrėkime į pavyzdį! Tarkime, kad reikia padalyti 8/12 iš 2.

Norėdami tai padaryti, turime atlikti keletą veiksmų:
Taigi, jei susiduriame su užduotimi padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, sprendimo schema atrodys maždaug taip:

Panašiai galite padalyti bet kurią įprastą (paprastą) trupmeną iš sveikojo skaičiaus.

Kaip padalyti dešimtainį skaičių iš sveikojo skaičiaus?
Dešimtainė yra trupmena, kuri gaunama padalijus vienetą į dešimt, tūkstantį ir pan. Aritmetinės operacijos su dešimtainėmis dalimis yra gana paprastos.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Tarkime, kad dešimtainę trupmeną 0,925 reikia padalyti iš natūraliojo skaičiaus 5.

Apibendrinant, apsistokime ties dviem pagrindiniais punktais, kurie yra svarbūs atliekant dešimtainių trupmenų padalijimo iš sveikojo skaičiaus operaciją:

• dėl išsiskyrimo dešimtainis Stulpelių padalijimas naudojamas natūraliajam skaičiui;
  
• Kablelis dedamas į dalinį, kai baigiama dalyti visa dividendo dalis.
  

Taikant šiuos paprastos taisyklės, visada galite lengvai padalyti bet kurią dešimtainę ar paprastąją trupmeną iš sveikojo skaičiaus.

T pamokos tipas: ONZ (naujų žinių atradimas – taikant veikla pagrįsto mokymo metodo technologiją).

Pagrindiniai tikslai:

1. Išveskite trupmenos dalijimo iš natūraliojo skaičiaus metodus;
2. Ugdyti gebėjimą trupmeną padalyti iš natūraliojo skaičiaus;
3. Pakartokite ir sustiprinkite frakcijų padalijimą;
4. Lavinkite gebėjimą mažinti trupmenas, analizuoti ir spręsti problemas.

Įrangos demonstravimo medžiaga:

1. Žinių atnaujinimo užduotys:

Palyginkite išraiškas:

Nuoroda:

2. Bandomoji (individuali) užduotis.

1. Atlikite padalijimą:

2. Atlikite padalijimą neatlikę visos skaičiavimų grandinės: .

Standartai:

• Dalindami trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, galite padauginti vardiklį iš šio skaičiaus, tačiau skaitiklį palikite tą patį.

• Jei skaitiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus, tada dalindami trupmeną iš šio skaičiaus, galite padalyti skaitiklį iš skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.

Per užsiėmimus

I. Motyvacija (apsisprendimas) edukacinei veiklai.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti reikalavimų mokiniui ugdomosios veiklos atžvilgiu atnaujinimą („privalo“);
2. Organizuoti mokinių veiklą, kad būtų nustatytos teminės struktūros („Aš galiu“);
3. Sudaryti sąlygas mokiniui išsiugdyti vidinį poreikį įtraukti į ugdomąją veiklą („noriu“).

Ugdymo proceso organizavimas I etape.

Sveiki! Džiaugiuosi matydamas jus visus matematikos pamokoje. Tikiuosi, tai abipusė.

Vaikinai, kokių naujų žinių įgijote praėjusioje pamokoje? (Padalinkite trupmenomis).

Teisingai. Kas padeda jums dalyti trupmenas? (Taisyklė, savybės).

Kur mums reikia šių žinių? (Pavyzdžiuose, lygtyse, uždaviniuose).

Šauniai padirbėta! Puikiai atlikote užduotis paskutinėje pamokoje. Ar šiandien nori pats atrasti naujų žinių? (Taip).

Tada - eime! O pamokos šūkis bus teiginys „Matematikos neišmoksi žiūrėdamas, kaip tai daro kaimynas!

II. Žinių atnaujinimas ir individualių sunkumų šalinimas bandomajame veiksme.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti išmoktų veiksmų metodų, kurių pakanka naujoms žinioms kaupti, atnaujinimą. Užfiksuokite šiuos metodus žodžiu (kalboje) ir simboliškai (standartiškai) ir juos apibendrinkite;
2. Organizuoti psichinių operacijų ir pažinimo procesų aktualizavimą, pakankamą naujoms žinioms konstruoti;
3. Motyvuoti bandomąjį veiksmą ir jo savarankišką įgyvendinimą bei pagrindimą;
4. Pateikti individualią bandomojo veiksmo užduotį ir ją analizuoti, siekiant nustatyti naują ugdymo turinį;
5. Organizuoti pamokos ugdymo tikslo ir temos fiksavimą;
6. Organizuoti bandomojo veiksmo įgyvendinimą ir pašalinti sunkumus;
7. Organizuokite gautų atsakymų analizę ir fiksuokite individualius sunkumus atliekant bandomąjį veiksmą ar jį pateisinant.

Ugdymo proceso organizavimas II etape.

Priekyje, naudojant planšetes (atskiras lentas).

1. Palyginkite išraiškas:

(Šios išraiškos yra lygios)

Ką įdomaus pastebėjote? (Divideno skaitiklis ir vardiklis, daliklio skaitiklis ir vardiklis kiekvienoje išraiškoje padidėjo tiek pat kartų. Taigi išraiškose dividendai ir dalikliai atvaizduojami trupmenomis, kurios yra lygios viena kitai).

Raskite posakio reikšmę ir užsirašykite ją planšetiniame kompiuteryje. (2)

Kaip galiu parašyti šį skaičių kaip trupmeną?

Kaip atlikote padalijimo veiksmą? (Vaikai taria taisyklę, mokytojas ant lentos iškabina raidžių simbolius)

2. Apskaičiuokite ir registruokite tik rezultatus:

3. Sudėkite rezultatus ir užrašykite atsakymą. (2)

Kaip vadinasi skaičius, gautas atliekant 3 užduotį? (natūralus)

Ar manote, kad galite padalyti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus? (Taip, pabandysime)

Išbandyti šį.

4. Individuali (bandomoji) užduotis.

Atlikti padalijimą: (tik a pavyzdys)

Kokią taisyklę naudojote skirstydami? (Pagal trupmenų dalijimo iš trupmenomis taisyklę)

Dabar padalykite trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, didesnio už paprastu būdu, neatlikus visos skaičiavimų grandinės: (b pavyzdys). Aš tau duosiu 3 sekundes.

Kas negalėjo atlikti užduoties per 3 sekundes?

Kas tai padarė? (tokių nėra)

Kodėl? (mes nežinome kelio)

Ką tu gavai? (Sunkumas)

Kaip manote, ką veiksime klasėje? (Padalinkite trupmenas iš natūraliųjų skaičių)

Taip, atsiverskite sąsiuvinius ir užsirašykite pamokos temą: „Trupmenos padalijimas iš natūraliojo skaičiaus“.

Kodėl ši tema skamba naujai, kai jau mokate skaidyti trupmenas? (Reikia naujo būdo)

Teisingai. Šiandien mes sukursime metodą, kuris supaprastina trupmenos padalijimą iš natūraliojo skaičiaus.

III. Problemos vietos ir priežasties nustatymas.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti atliktų operacijų atkūrimą ir įrašyti (žodinį ir simbolinį) vietą – žingsnį, operaciją – kur iškilo sunkumas;
2. Organizuokite mokinių veiksmų koreliaciją su naudojamu metodu (algoritmu) ir išorinėje kalboje fiksuokite sunkumo priežastį - konkrečias žinias, įgūdžius ar gebėjimus, kurių trūksta norint išspręsti pradinę tokio tipo problemą.

Ugdymo proceso organizavimas III etape.

Kokią užduotį turėjote atlikti? (Padalinkite trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, neperžengdami visos skaičiavimų grandinės)

Kas jums sukėlė sunkumų? (Negalėjau apsispręsti trumpam laikui greitas būdas)

Kokį tikslą išsikeliame sau pamokoje? (Rasti greitas būdas trupmeną padalijus iš natūraliojo skaičiaus)

Kas tau padės? (Jau žinoma trupmenų padalijimo taisyklė)

IV. Sukurkite projektą, kaip išeiti iš problemos.

Scenos paskirtis:

1. Projekto tikslo išaiškinimas;
2. Metodo pasirinkimas (paaiškinimas);
3. Vidutinių (algoritmo) nustatymas;
4. Plano kūrimas tikslui pasiekti.

Ugdymo proceso organizavimas IV etape.

Grįžkime prie bandomosios užduoties. Sakėte, kad dalijote pagal trupmenų padalijimo taisyklę? (Taip)

Norėdami tai padaryti, pakeiskite natūralųjį skaičių trupmena? (Taip)

Kaip manote, kurį žingsnį (ar žingsnius) galima praleisti?

(Sprendimo grandinė atidaryta lentoje:

Išanalizuokite ir padarykite išvadas. (1 žingsnis)

Jei atsakymo nėra, pateikiame klausimus:

Kur dingo natūralus daliklis? (Į vardiklį)

Ar pasikeitė skaitiklis? (Ne)

Taigi kurį žingsnį galite „praleisti“? (1 žingsnis)

Veiksmų planas:

• Padauginkite trupmenos vardiklį iš natūraliojo skaičiaus.
• Skaitiklio nekeičiame.
• Gauname naują trupmeną.

V. Pastatyto projekto įgyvendinimas.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti komunikacinę sąveiką, siekiant įgyvendinti sukonstruotą projektą, skirtą trūkstamų žinių įgijimui;
2. Organizuoti sukonstruoto veiksmo metodo fiksavimą kalboje ir ženklais (naudojant etaloną);
3. Organizuoti pradinės problemos sprendimą ir įrašyti, kaip įveikti sunkumus;
4. Organizuokite paaiškinimą bendras naujų žinių.

Ugdymo proceso organizavimas V etape.

Dabar greitai paleiskite bandomąjį atvejį nauju būdu.

Dabar sugebėjote greitai atlikti užduotį? (Taip)

Paaiškinkite, kaip tai padarėte? (Vaikai kalba)

Tai reiškia, kad įgijome naujų žinių: trupmenos dalijimo iš natūraliojo skaičiaus taisyklę.

Šauniai padirbėta! Pasakykite poromis.

Tada vienas mokinys kalba klasei. Taisyklę-algoritmą nustatome žodžiu ir standarto forma lentoje.

Dabar įveskite raidžių pavadinimus ir užrašykite mūsų taisyklės formulę.

Mokinys rašo lentoje sakydamas taisyklę: dalijant trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, galima vardiklį padauginti iš šio skaičiaus, bet skaitiklį palikti tokį pat.

(Formulę kiekvienas susirašo į sąsiuvinius).

Dabar dar kartą išanalizuokite testo užduoties sprendimo grandinę, ypatingą dėmesį skirdami atsakymui. Ką tu padarei? (Trupmens 15 skaitiklis buvo padalintas (sumažintas) iš skaičiaus 3)

Koks šis skaičius? (natūralus, daliklis)

Taigi, kaip dar galite padalyti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus? (Patikrinkite: jei trupmenos skaitiklis dalijasi iš šio natūraliojo skaičiaus, galite padalyti skaitiklį iš šio skaičiaus, įrašyti rezultatą į naujos trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti tą patį)

Užrašykite šį metodą kaip formulę. (Mokinys tardamas taisyklę užrašo lentoje. Formulę kiekvienas surašo į sąsiuvinius.)

Grįžkime prie pirmojo metodo. Galite naudoti, jei a:n? (Taip tai bendras metodas)

O kada patogu naudoti antrąjį būdą? (Kai trupmenos skaitiklis dalijamas iš natūraliojo skaičiaus be liekanos)

VI. Pirminis konsolidavimas su tarimu išorinėje kalboje.

Scenos paskirtis:

1. Organizuokite vaikų įsisavinimą naujo veiksmo metodo sprendžiant standartines tarimo problemas išorinėje kalboje (priekyje, poromis ar grupėmis).

Ugdymo proceso organizavimas VI etape.

Apskaičiuokite nauju būdu:

• Nr.363 (a; d) – atliekamas prie valdybos, išsakant taisyklę.
• Nr.363 (e; f) - poromis su patikrinimu pagal pavyzdį.

VII. Savarankiškas darbas su savikontrole pagal standartą.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti mokinių savarankišką užduočių atlikimą naujam veikimo būdui;
2. Organizuoti savikontrolę, pagrįstą palyginimu su standartu;
3. Remiantis vykdymo rezultatais savarankiškas darbas organizuoti refleksiją apie naujo veikimo būdo įsisavinimą.

Ugdymo proceso organizavimas VII etape.

Apskaičiuokite nauju būdu:

• Nr. 363 (b; c)

Mokiniai patikrina, ar jie atitinka standartą, ir pažymi vykdymo teisingumą. Analizuojamos klaidų priežastys ir klaidos taisomos.

Mokytojas klausia tų mokinių, kurie padarė klaidų, kokia priežastis?

Šiame etape svarbu, kad kiekvienas studentas savarankiškai patikrintų savo darbą.

VIII. Įtraukimas į žinių sistemą ir kartojimas.

Scenos paskirtis:

1. Organizuoti naujų žinių taikymo ribų nustatymą;
2. Organizuoti ugdymo turinio kartojimą, reikalingą prasmingam tęstinumui užtikrinti.

Ugdymo proceso organizavimas VIII etape.

Organizuoti neišspręstų sunkumų fiksavimą pamokoje kaip kryptį būsimai ugdomajai veiklai;

Organizuokite diskusiją ir namų darbų įrašymą.

Ugdymo proceso organizavimas IX etape.

1. Dialogas:

Vaikinai, kokių naujų žinių atradote šiandien? (Išmoko paprastai padalyti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus)

Suformuluokite bendrą metodą. (Jie sako)

Kokiu būdu ir kokiais atvejais galite jį naudoti? (Jie sako)

Koks naujojo metodo pranašumas?

Ar pasiekėme pamokos tikslą? (Taip)

Kokias žinias panaudojote siekdami savo tikslo? (Jie sako)

Ar tau viskas pavyko?

Kokie buvo sunkumai?

2. Namų darbai: 3.2.4. punktas; Nr.365(l, n, o, p); Nr.370.

3. Mokytojas: Džiaugiuosi, kad šiandien visi buvo aktyvūs ir sugebėjo rasti išeitį iš sunkumo. Ir svarbiausia, atidarant naują ir steigiant, jie nebuvo kaimynai. Ačiū už pamoką, vaikai!