Koks yra didžiausias skaičius žemėje. Dideli skaičiai turi didelius vardus

Atsakant į tokį sunkų klausimą, kas tai yra didžiausias skaičius pasaulyje, pirmiausia reikėtų pažymėti, kad šiandien yra 2 priimtini skaičių įvardijimo būdai – angliškas ir amerikietiškas. Pagal Angliška sistema, prie kiekvieno didelio skaičiaus eilės tvarka pridedamos galūnės – milijardas arba – milijonas, todėl gaunami skaičiai milijonas, milijardas, trilijonas, trilijonas ir pan. Jei pereisime nuo amerikietiškos sistemos, tai pagal ją prie kiekvieno didelio skaičiaus reikia pridėti priesagą -milijonas, todėl susidaro skaičiai trilijonas, kvadrilijonas ir dideli. Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad angliška skaičių sistema yra labiau paplitusi modernus pasaulis, o jame esančių skaičių visiškai pakanka normaliam visų mūsų pasaulio sistemų funkcionavimui.

Žinoma, atsakymas į klausimą apie didžiausią skaičių loginiu požiūriu negali būti vienareikšmis, nes tiesiog prie kiekvieno sekančio skaitmens pridėjus po vieną, gaunamas naujas didesnis skaičius, todėl šis procesas neturi ribų. Tačiau, kaip bebūtų keista, vis dar yra didžiausias skaičius pasaulyje ir jis įtrauktas į Gineso rekordų knygą.

Grahamo skaičius yra didžiausias skaičius pasaulyje

Būtent šis skaičius pasaulyje pripažintas didžiausiu rekordų knygoje, tačiau kas tai yra ir kokio dydžio – paaiškinti labai sunku. Bendrąja prasme tai yra tripletai, padauginti kartu, todėl skaičius yra 64 eilėmis didesnis nei kiekvieno žmogaus supratimo taškas. Dėl to galime pateikti tik paskutinius 50 Greimo skaičiaus skaitmenų – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Googol numeris

Šio skaičiaus istorija nėra tokia sudėtinga, kaip minėta. Taigi amerikiečių matematikas Edwardas Kasneris, kalbėdamas su savo sūnėnais apie didelius skaičius, negalėjo atsakyti į klausimą, kaip pavadinti skaičius, turinčius 100 nulių ar daugiau. Išradingas sūnėnas tokiems skaičiams pasiūlė savo pavadinimą – googol. Pažymėtina, kad šis skaičius neturi didelės praktinės reikšmės, tačiau kartais matematikoje naudojamas begalybei išreikšti.

Googleplex

Šį skaičių taip pat sugalvojo matematikas Edwardas Kasneris ir jo sūnėnas Miltonas Sirotta. Bendrąja prasme jis reiškia skaičių iki dešimtosios googolio laipsnio. Atsakant į daugelio smalsių žmonių klausimą, kiek nulių yra „Googleplex“, verta paminėti, kad klasikinėje versijoje šio skaičiaus neįmanoma pavaizduoti, net jei visą planetos popierių padengiate klasikiniais nuliais.

Skewes skaičius

Kitas pretendentas į didžiausio skaičiaus titulą yra Skeweso skaičius, kurį įrodė Johnas Littwoodas 1914 m. Remiantis pateiktais įrodymais, šis skaičius yra maždaug 8 185 10 370.

Moser numeris

Šis pavadinimo metodas yra labai dideli skaičiai sugalvojo Hugo Steinhaus, kuris pasiūlė juos žymėti daugiakampiais. Atlikus tris matematinius veiksmus, skaičius 2 gimsta megagone (daugiakampyje su mega kraštinėmis).

Kaip jau galite pastebėti, puiki suma matematikai pasistengė jį surasti – didžiausias skaičius pasaulyje. Kiek šie bandymai buvo sėkmingi, žinoma, spręsti ne mes, tačiau reikia pastebėti, kad realus tokių skaičių pritaikymas yra abejotinas, nes jie net nepaklūsta žmogaus supratimui. Be to, visada bus skaičius, kuris bus didesnis, jei atliksite labai paprastą matematinį veiksmą +1.

Yra skaičių, kurie yra tokie neįtikėtinai, neįtikėtinai dideli, kad jiems net užrašyti prireiktų visos visatos. Bet štai kas tikrai beprotiška... kai kurie iš šių neaprėpiamai didelių skaičių yra labai svarbūs norint suprasti pasaulį.

Kai sakau „didžiausias skaičius visatoje“, iš tikrųjų turiu omenyje didžiausią reikšmingas skaičius, didžiausias galimas skaičius, kuris tam tikru būdu yra naudingas. Pretendentų į šį titulą yra daug, bet tuoj pat perspėsiu: tikrai yra rizika, kad bandant visa tai suprasti, išmušite galvą. Be to, su per daug matematikos jums nebus labai smagu.

Googol ir googolplex

Edvardas Kasneris

Galime pradėti nuo dviejų didžiausių skaičių, apie kuriuos kada nors girdėjote, ir tai iš tikrųjų yra du didžiausi skaičiai, kurių apibrėžimai yra visuotinai priimtini Anglų kalba. (Yra gana tiksli nomenklatūra, skirta žymėti tokius didelius skaičius, kokių norite, tačiau šių dviejų skaičių šiais laikais žodynuose nerasite.) Googol, nes jis išgarsėjo visame pasaulyje (nors su klaidomis, atkreipkite dėmesį. iš tikrųjų tai yra googol). ) Google forma, gimusi 1920 m. kaip būdas sudominti vaikus dideliais skaičiais.

Šiuo tikslu Edwardas Kasneris (nuotraukoje) išsivedė savo du sūnėnus Miltoną ir Edviną Sirotus pasivaikščioti po Naujojo Džersio Palisades. Jis pakvietė juos sugalvoti bet kokių idėjų, o tada devynmetis Miltonas pasiūlė „googol“. Iš kur jis gavo šį žodį, nežinoma, bet Kasneris taip nusprendė arba skaičius, kuriame šimtas nulių eina po vieneto, nuo šiol bus vadinamas googoliu.

Tačiau jaunasis Miltonas tuo neapsiribojo – jis pasiūlė dar didesnį skaičių – googolplex. Tai yra skaičius, pasak Miltono, kuriame pirmoji vieta yra 1, o tada tiek nulių, kiek galite parašyti prieš pavargdami. Nors idėja žavi, Kasneris nusprendė, kad reikia formalesnio apibrėžimo. Kaip jis paaiškino savo 1940 m. knygoje Mathematics and the Imagination, Miltono apibrėžimas palieka atvirą rizikingą galimybę, kad atsitiktinis buferis gali tapti pranašesniu matematiku už Albertą Einšteiną vien dėl to, kad turi didesnę ištvermę.

Taigi Kasneris nusprendė, kad googolplex būtų arba 1, o tada nulių googolis. Priešingu atveju ir žymėjimu, panašiu į tą, kurį nagrinėsime kitiems skaičiams, sakysime, kad googolpleksas yra . Norėdamas parodyti, kaip tai žavu, Carlas Saganas kartą pažymėjo, kad fiziškai neįmanoma užrašyti visų „googolplex“ nulių, nes visatoje tiesiog nėra pakankamai vietos. Jei visą stebimos Visatos tūrį užpildysime mažomis maždaug 1,5 mikrono dydžio dulkių dalelėmis, tada skaičius įvairiais būdaisšių dalelių vieta bus maždaug lygi vienam googolpleksui.

Kalbiniu požiūriu googol ir googolplex tikriausiai yra du didžiausi reikšmingi skaičiai (bent jau anglų kalba), tačiau, kaip dabar išsiaiškinsime, yra be galo daug būdų apibrėžti „reikšmingumą“.

Realus pasaulis

Jei kalbame apie didžiausią reikšmingą skaičių, yra pagrįstas argumentas, kad tai iš tikrųjų reiškia, kad turime rasti didžiausią skaičių, kurio vertė iš tikrųjų egzistuoja pasaulyje. Pradėti galime nuo dabartinės žmonių populiacijos, kuri šiuo metu yra apie 6920 mln. Apskaičiuota, kad 2010 m. pasaulio BVP siekė apie 61 960 mlrd. USD, tačiau abu šie skaičiai yra nereikšmingi, palyginti su maždaug 100 trilijonų ląstelių, sudarančių žmogaus kūną. Žinoma, nė vienas iš šių skaičių negali būti lyginamas su bendru dalelių skaičiumi Visatoje, kuris paprastai laikomas apytiksliu , ir šis skaičius yra toks didelis, kad mūsų kalba neturi žodžio.

Galime šiek tiek žaisti su matų sistemomis, kad skaičiai būtų didesni ir didesni. Taigi, Saulės masė tonomis bus mažesnė nei svarais. Puikus būdas tai padaryti – naudoti Plancko vienetų sistemą, kuri yra mažiausi įmanomi matai, kuriems vis dar galioja fizikos dėsniai. Pavyzdžiui, Visatos amžius Planko laiku yra apie . Jei grįšime į pirmąjį Planko laiko vienetą po Didžiojo sprogimo, pamatysime, kad Visatos tankis tada buvo . Mūsų vis daugiau ir daugiau, bet dar net nepasiekėme googol.

Didžiausias skaičius naudojant bet kurią realaus pasaulio programą – arba, in tokiu atveju tikras pritaikymas pasauliuose – tikriausiai , – vienas iš naujausių visatų skaičiaus multivisatoje įvertinimų. Šis skaičius toks didelis, kad žmogaus smegenys tiesiogine prasme negalės suvokti visų šių skirtingų visatų, nes smegenys gali tik apytiksliai konfigūruoti. Tiesą sakant, šis skaičius tikriausiai yra didžiausias skaičius, kuris turi praktinę prasmę, nebent atsižvelgtumėte į multivisatos idėją kaip visumą. Tačiau ten vis dar slypi daug didesni skaičiai. Tačiau norėdami juos rasti, turime eiti į grynosios matematikos sritį, o ne geriau pradeti, kaip pirminiai skaičiai.

Mersenne pirmauja

Dalis sunkumų kyla geras apibrėžimas kas yra „reikšmingas“ skaičius. Vienas iš būdų yra mąstyti pirminiais ir sudėtiniais skaičiais. Pirminis skaičius, kaip tikriausiai prisimenate iš mokyklinės matematikos, yra bet koks natūralusis skaičius (pastaba nelygi vienam), kuris dalijasi tik iš savęs. Taigi, ir yra pirminiai skaičiai, ir ir yra sudėtiniai skaičiai. Tai reiškia, kad bet kurį sudėtinį skaičių galiausiai galima pavaizduoti pirminiais veiksniais. Kai kuriais atžvilgiais skaičius yra svarbesnis nei, tarkime, , nes jokiu būdu negalima išreikšti mažesnių skaičių sandauga.

Akivaizdu, kad galime eiti šiek tiek toliau. , pavyzdžiui, iš tikrųjų yra tik , o tai reiškia, kad hipotetiniame pasaulyje, kuriame mūsų žinios apie skaičius apsiriboja , matematikas vis tiek gali išreikšti skaičių . Tačiau kitas skaičius yra pirminis, o tai reiškia, kad vienintelis būdas jį išreikšti yra tiesiogiai žinoti apie jo egzistavimą. Tai reiškia, kad žaidžia didžiausi žinomi pirminiai skaičiai svarbus vaidmuo, bet, tarkime, googolis – kuris galiausiai yra tik skaičių rinkinys ir , padaugintas iš jų – iš tikrųjų ne. Ir kadangi pirminiai skaičiai iš esmės yra atsitiktiniai, nėra žinomo būdo numatyti, kad neįtikėtinai didelis skaičius iš tikrųjų bus pirminis. Iki šiol atrasti naujus pirminius skaičius yra sunkus darbas.

matematikai Senovės Graikija pirminių skaičių sampratą turėjo bent jau 500 m. pr. Kr., o po 2000 metų žmonės vis dar žinojo, kurie skaičiai yra pirminiai, tik iki maždaug 750. Euklido laikų mąstytojai matė supaprastinimo galimybę, tačiau iki Renesanso matematikai negalėjo iš tikrųjų pateikti tai praktiškai. Šie skaičiai žinomi kaip Merseno skaičiai, pavadinti XVII amžiaus prancūzų mokslininko Marin Mersenne vardu. Idėja gana paprasta: Mersenne skaičius yra bet koks formos skaičius. Taigi, pavyzdžiui, , ir šis skaičius yra pirminis, tas pats pasakytina ir apie .

Merseno pirminius skaičius yra daug greičiau ir lengviau nustatyti nei bet kurios kitos rūšies pirminius skaičius, o kompiuteriai sunkiai dirbo jų ieškodami pastaruosius šešis dešimtmečius. Iki 1952 m. didžiausias žinomas pirminis skaičius buvo skaičius – skaičius su skaitmenimis. Tais pačiais metais kompiuteris apskaičiavo, kad skaičius yra pirminis, o šis skaičius susideda iš skaitmenų, todėl jis yra daug didesnis nei googolis.

Nuo to laiko kompiuteriai buvo medžiojami, o šiuo metu Merseno skaičius yra didžiausias žmonijai žinomas pirminis skaičius. 2008 m. atrastas skaičius sudaro beveik milijonus skaitmenų. Tai didžiausias žinomas skaičius, kurio negalima išreikšti jokiais mažesniais skaičiais, o jei norite pagalbos ieškant dar didesnio Mersenne skaičiaus, jūs (ir jūsų kompiuteris) visada galite prisijungti prie paieškos adresu http://www.mersenne.org /.

Skewes skaičius

Stanley Skewesas

Dar kartą pažvelkime į pirminius skaičius. Kaip sakiau, jie elgiasi iš esmės neteisingai, o tai reiškia, kad nėra galimybės numatyti, koks bus kitas pirminis skaičius. Matematikai buvo priversti griebtis keleto gana fantastiškų matavimų, kad sugalvotų kokį nors būdą, kaip nuspėti ateities pirminius skaičius, net ir tam tikru miglotu būdu. Sėkmingiausias iš šių bandymų tikriausiai yra pirminių skaičių skaičiavimo funkcija, kurią XVIII amžiaus pabaigoje išrado legendinis matematikas Carlas Friedrichas Gaussas.

Nepagailėsiu sudėtingesnės matematikos – vis tiek turime daug daugiau – bet funkcijos esmė tokia: bet kuriam sveikajam skaičiui galite įvertinti, kiek pirminių skaičių yra mažesnių už . Pavyzdžiui, jei , funkcija numato, kad turi būti pirminiai skaičiai, jei pirminiai skaičiai yra mažesni už , o jei , tada turėtų būti mažesni skaičiai, kurie yra pirminiai.

Pirminių skaičių išdėstymas iš tikrųjų yra netaisyklingas ir yra tik apytikslis faktinio pirminių skaičių skaičius. Tiesą sakant, mes žinome, kad yra pirminių skaičių, mažesnių už , pirminių skaičių, mažesnių už , ir pirminių skaičių, mažesnių už . Be abejo, tai puikus įvertinimas, bet tai visada tik sąmata... o konkrečiau – sąmata iš viršaus.

Visais žinomais atvejais iki , funkcija, kuri randa pirminių skaičių skaičių, šiek tiek pervertina faktinį pirminių skaičių, mažesnių už . Matematikai kažkada manė, kad taip bus visada, ad infinitum, ir kad tai tikrai galioja kai kuriems neįsivaizduojamai dideliems skaičiams, tačiau 1914 m. Johnas Edensoras Littlewoodas įrodė, kad kažkokio nežinomo, neįsivaizduojamai didžiulio skaičiaus atveju ši funkcija pradės gaminti mažiau pirminių skaičių. , tada jis be galo daug kartų persijungs iš viršutinio ir apatinio įvertinimo.

Medžioklė buvo skirta lenktynių starto vietai, o tada pasirodė Stanley Skewesas (žr. nuotrauką). 1933 m. jis įrodė, kad viršutinė riba, kai pirminių skaičių aproksimuojanti funkcija pirmą kartą sukuria mažesnę reikšmę, yra skaičius . Sunku iš tikrųjų suprasti net pačia abstrakčiausia prasme, ką šis skaičius iš tikrųjų reiškia, ir šiuo požiūriu tai buvo didžiausias skaičius, kada nors naudotas rimtam matematiniam įrodymui. Nuo to laiko matematikai sugebėjo sumažinti viršutinę ribą iki palyginti nedidelio skaičiaus, tačiau pradinis skaičius išlieka žinomas kaip Skewes skaičius.

Taigi, koks yra skaičius, kuris nusileidžia net galingam googolpleksui? „Pingvinų smalsių ir įdomių skaičių žodyne“ Davidas Wellsas pasakoja apie vieną būdą, kuriuo matematikas Hardy sugebėjo suprasti Skuse skaičiaus dydį:

„Hardy manė, kad tai „didžiausias skaičius, kada nors panaudotas kokiam nors konkrečiam matematikos tikslui“, ir pasiūlė, kad jei šachmatų partija būtų žaidžiama su visomis visatos dalelėmis kaip figūrėlėmis, vienas ėjimas susideda iš dviejų dalelių apsikeitimo. žaidimas sustotų, kai ta pati pozicija būtų pakartota trečią kartą, tada visų galimų partijų skaičius būtų maždaug lygus Skuse skaičiui.

Paskutinis dalykas prieš pereinant toliau: kalbėjome apie mažesnį iš dviejų Skewes skaičių. Yra dar vienas Skuse skaičius, kurį matematikas atrado 1955 m. Pirmasis skaičius yra kilęs iš to, kad vadinamoji Riemann hipotezė yra teisinga – tai ypač sudėtinga matematikos hipotezė, kuri lieka neįrodyta, labai naudinga, kai mes kalbame apie apie pirminius skaičius. Tačiau jei Riemann hipotezė yra klaidinga, Skuse nustatė, kad šuolių pradžios taškas padidėja iki .

Didumo problema

Prieš priartėdami prie skaičiaus, dėl kurio net Skewes skaičius atrodo mažas, turime šiek tiek pakalbėti apie mastelį, nes kitaip negalime įvertinti, kur eisime. Pirmiausia paimkime skaičių – tai mažas skaičius, toks mažas, kad žmonės iš tikrųjų gali intuityviai suprasti, ką tai reiškia. Yra labai mažai skaičių, atitinkančių šį aprašymą, nes didesni nei šeši skaičiai nustoja būti atskirais skaičiais ir tampa „kelis“, „daug“ ir pan.

Dabar imkime , t.y. . Nors iš tikrųjų negalime intuityviai, kaip tai darėme dėl skaičiaus, suprasti, kas tai yra, labai lengva įsivaizduoti, kas tai yra. Kol kas viskas gerai. Bet kas atsitiks, jei persikelsime į? Tai lygu , arba . Mums labai toli, kad neįsivaizduotume šio kiekio, kaip ir bet kurio kito labai didelio – mes prarandame galimybę suvokti atskiras dalis kažkur apie milijoną. (Tikrai, tai beprotiška didelis skaičius Prireiktų šiek tiek laiko, kol iš tikrųjų viską suskaičiuotume iki milijono, bet faktas yra tas, kad mes vis tiek galime suvokti šį skaičių.)

Tačiau nors ir neįsivaizduojame, bet bent jau galime suprasti bendras kontūras, kas yra 7600 mlrd., galbūt lyginant su kažkuo, pavyzdžiui, JAV BVP. Perėjome nuo intuicijos prie vaizdavimo prie paprasto supratimo, bet bent jau turime tam tikrą spragą mūsų supratime, kas yra skaičius. Tai pasikeis, kai kilsime dar vienu laipteliu aukštyn.

Norėdami tai padaryti, turime pereiti prie Donaldo Knutho įvesto žymėjimo, žinomo kaip rodyklės žymėjimas. Šis užrašas gali būti parašytas kaip . Kai eisime į , gausime skaičių . Tai lygu ten, kur yra bendras trejetas. Dabar mes gerokai ir tikrai pralenkėme visus kitus skaičius, apie kuriuos jau kalbėjome. Juk net ir didžiausias iš jų rodiklių eilutėje turėjo tik tris ar keturis terminus. Pavyzdžiui, net super-Skuse skaičius yra „tik“ – net ir atsižvelgiant į tai, kad ir bazė, ir rodikliai yra daug didesni nei , tai vis tiek yra niekis, palyginti su skaičių bokšto dydžiu su milijardu narių. .

Akivaizdu, kad neįmanoma suvokti tokių didžiulių skaičių... ir vis dėlto jų kūrimo procesą galima suprasti. Negalėjome suprasti tikrojo kiekio, kurį duoda galių bokštas su milijardu trynukų, bet iš esmės galime įsivaizduoti tokį bokštą su daugybe terminų ir tikrai neblogas superkompiuteris sugebėtų tokius bokštus išsaugoti atmintyje net jei negalėjo apskaičiuoti jų tikrųjų verčių.

Tai darosi vis abstraktiau, bet tik blogės. Galite manyti, kad laipsnių bokštas, kurio eksponento ilgis yra lygus (iš tiesų, ankstesnėje šio įrašo versijoje padariau būtent šią klaidą), bet tai paprasta. Kitaip tariant, įsivaizduokite, kad galite apskaičiuoti tikslią iš elementų sudaryto trynukų jėgos bokšto vertę, tada paėmėte tą vertę ir sukūrėte naują bokštą, kuriame yra tiek daug, kiek... tai suteikia .

Pakartokite šį procesą su kiekvienu paskesniu numeriu ( pastaba pradedant iš dešinės), kol tai padarysite kartų, ir galiausiai gausite . Tai yra skaičius, kuris yra tiesiog neįtikėtinai didelis, bet bent jau žingsniai jį pasiekti atrodo suprantami, jei viską darote labai lėtai. Nebegalime suprasti skaičių ar įsivaizduoti, kokia tvarka jie gaunami, bet bent jau galime suprasti pagrindinį algoritmą, tik per pakankamai ilgą laiką.

Dabar paruošime mintis, kad tai tikrai susprogdintų.

Grahamo numeris (Grahamas)

Ronaldas Greimas

Taip gaunamas Grahamo skaičius, kuris užima vietą Gineso rekordų knygoje kaip didžiausias kada nors naudotas skaičius matematiniuose įrodymuose. Visiškai neįmanoma įsivaizduoti, koks jis didelis, ir lygiai taip pat sunku tiksliai paaiškinti, kas tai yra. Iš esmės Grahamo skaičius atsiranda kalbant apie hiperkubus, kurie yra teoriniai geometrines figūras su daugiau nei trimis matmenimis. Matematikas Ronaldas Grahamas (žr. nuotrauką) norėjo išsiaiškinti, prie ko mažiausias skaičius matavimų, tam tikros hiperkubo savybės išliks stabilios. (Atsiprašau už tokį neaiškų paaiškinimą, bet esu tikras, kad visi turime įgyti bent du matematikos laipsnius, kad būtų tikslesni.)

Bet kuriuo atveju Grehemo skaičius yra šio minimalaus matmenų skaičiaus viršutinis įvertinimas. Taigi, kokia yra ši viršutinė riba? Grįžkime prie skaičiaus, tokio didelio, kad tik miglotai galime suprasti jo gavimo algoritmą. Dabar, užuot tiesiog pašokę dar vienu lygiu iki , skaičiuosime skaičių, kurio rodyklės yra tarp pirmo ir paskutinio trijų. Dabar net menkiausio supratimo apie tai, kas yra šis skaičius ar net ką turime padaryti, kad jį apskaičiuotume.

Dabar pakartokime šį procesą vieną kartą ( pastaba kiekviename kitame žingsnyje rašome rodyklių skaičių, lygų skaičiui, gautam ankstesniame žingsnyje).

Tai, ponios ir ponai, yra Greimo skaičius, kuris yra maždaug eilės tvarka didesnis už žmogaus supratimo tašką. Tai skaičius, kuris yra daug didesnis už bet kurį skaičių, kurį galite įsivaizduoti – jis yra daug didesnis nei bet kokia begalybė, kurią galėtumėte įsivaizduoti – jis tiesiog nepaiso net ir abstraktiausio apibūdinimo.

Bet čia keistas dalykas. Kadangi Grahamo skaičius iš esmės yra tik tripletai, padauginti kartu, kai kurias jo savybes žinome jo neapskaičiavę. Negalime pavaizduoti Greimo skaičiaus naudodami bet kokį žinomą žymėjimą, net jei jį užrašydami panaudojome visą visatą, bet dabar galiu pasakyti paskutinius dvylika Greimo skaičiaus skaitmenų: . Ir tai dar ne viskas: mes žinome bent paskutinius Greimo skaičiaus skaitmenis.

Žinoma, verta prisiminti, kad šis skaičius yra tik viršutinė Grahamo pradinės problemos riba. Gali būti, kad tikrasis matavimų skaičius, reikalingas atlikti norimą turtą daug, daug mažiau. Tiesą sakant, nuo devintojo dešimtmečio, pasak daugumos šios srities ekspertų, buvo manoma, kad iš tikrųjų yra tik šeši matmenys – skaičius toks mažas, kad galime jį suprasti intuityviai. Nuo to laiko apatinė riba buvo padidinta iki , tačiau vis dar yra labai didelė tikimybė, kad Greimo problemos sprendimas nėra artimas tokiam skaičiui kaip Greimo skaičius.

Begalybės link

Taigi ar yra skaičių, didesnių už Greimo skaičių? Žinoma, pradedantiesiems yra Grahamo numeris. Kalbant apie reikšmingas skaičius...gerai, yra keletas velniškai sudėtingų matematikos (konkrečiai sritis, vadinama kombinatorika) ir kompiuterių mokslo sritimis, kuriose pasitaiko net didesnių už Greimo skaičių. Bet mes beveik pasiekėme ribą, kurią, tikiuosi, kada nors bus racionaliai paaiškinta. Tiems, kurie yra pakankamai drąsūs, kad galėtų eiti dar toliau, siūlome toliau skaityti savo pačių rizika.

Na, dabar nuostabi citata, kuri priskiriama Douglas Ray ( pastaba Sąžiningai, tai skamba gana juokingai:

„Aš matau neaiškių skaičių sankaupas, kurios yra paslėptos tamsoje, už mažos šviesos dėmės, kurią suteikia proto žvakė. Jie šnabždasi vienas kitam; sąmokslas apie tai, kas ką žino. Galbūt jiems labai nepatinka, kad mintyse fiksuojame savo mažuosius brolius. O gal jie tiesiog gyvena vienaženklį gyvenimą, mūsų supratimą.

Nesuskaičiuojama skirtingi skaičiai mus supa kiekvieną dieną. Tikrai daugelis žmonių bent kartą susimąstė, koks skaičius laikomas didžiausiu. Galite tiesiog pasakyti vaikui, kad tai yra milijonas, bet suaugusieji puikiai supranta, kad milijoną seka kiti skaičiai. Pavyzdžiui, tereikia kiekvieną kartą pridėti vieną prie skaičiaus ir jis taps vis didesnis ir didesnis – taip nutinka be galo. Bet jei pažvelgsite į skaičius, kurie turi pavadinimus, galite sužinoti, kaip vadinamas didžiausias skaičius pasaulyje.

Skaičių pavadinimų išvaizda: kokie metodai naudojami?

Šiandien yra 2 sistemos, pagal kurias numeriams suteikiami pavadinimai - amerikietiškas ir angliškas. Pirmasis yra gana paprastas, o antrasis yra labiausiai paplitęs visame pasaulyje. Amerikietiškas leidžia suteikti vardus dideliems skaičiams taip: pirmiausia nurodomas eilės skaičius lotynų kalba, o tada pridedama priesaga „milijonas“ (išimtis čia yra milijonas, reiškiantis tūkstantį). Šia sistema naudojasi amerikiečiai, prancūzai, kanadiečiai, ji naudojama ir mūsų šalyje.

Anglų kalba plačiai vartojama Anglijoje ir Ispanijoje. Pagal jį skaičiai įvardijami taip: skaičius lotyniškai yra „pliusas“ su priesaga „ilijonas“, o kitas (tūkstantį kartų didesnis) skaičius yra „pliusas“ „milijardas“. Pavyzdžiui, trilijonas ateina pirmiausia, trilijonas – po jo, kvadrilijonas – po kvadrilijono ir t.t.

Taigi tas pats skaičius skirtingose ​​sistemose gali reikšti skirtingus dalykus; pavyzdžiui, Amerikos milijardas anglų sistemoje vadinamas milijardu.

Išoriniai numeriai

Be skaičių, kurie parašyti pagal žinomas sistemas (pateikta aukščiau), yra ir nesisteminių. Jie turi savo pavadinimus, kuriuose nėra lotyniškų priešdėlių.

Galite pradėti juos svarstyti su skaičiumi, vadinamu begale. Jis apibrėžiamas kaip šimtas šimtų (10 000). Tačiau pagal paskirtį šis žodis nėra vartojamas, o vartojamas kaip nesuskaičiuojamos daugybės nuoroda. Net Dahlio žodynas maloniai pateiks tokio skaičiaus apibrėžimą.

Kitas po daugybės yra googolis, reiškiantis 10 laipsnį 100. Pirmą kartą šį pavadinimą 1938 metais pavartojo amerikiečių matematikas E. Kasneris, kuris pažymėjo, kad šį pavadinimą sugalvojo jo sūnėnas.

„Google“ gavo savo pavadinimą „googol“ garbei ( paieškos sistema). Tada 1 su nulių googoliu (1010100) reiškia googolplex – Kasneris taip pat sugalvojo šį pavadinimą.

Dar didesnis už googolpleksą yra Skuse skaičius (e iki e laipsnio e79 laipsnio), kurį pasiūlė Skuse, įrodydamas Rimmanno spėjimą apie pirminius skaičius (1933). Yra ir kitas Skuse numeris, bet jis naudojamas, kai Rimmanno hipotezė negalioja. Gana sunku pasakyti, kuris iš jų yra didesnis, ypač kai kalbama apie tai aukšti laipsniai. Tačiau šis skaičius, nepaisant jo „didžiulio“, negali būti laikomas pačiu geriausiu iš visų tų, kurie turi savo vardus.

O lyderis tarp didžiausių skaičių pasaulyje yra Grahamo numeris (G64). Pirmą kartą jis buvo panaudotas įrodinėjimui matematikos mokslų srityje (1977).

Kalbant apie tokį skaičių, reikia žinoti, kad neapsieisite be specialios Knutho sukurtos 64 lygių sistemos – to priežastis yra skaičiaus G susiejimas su bichromatiniais hiperkubais. Knuthas išrado superlaipsnį ir, kad būtų patogu jį įrašyti, pasiūlė naudoti rodykles aukštyn. Taigi mes sužinojome, kaip vadinamas didžiausias skaičius pasaulyje. Verta paminėti, kad šis skaičius G buvo įtrauktas į garsiosios rekordų knygos puslapius.

Kartais su matematika nesusiję žmonės susimąsto: koks yra didžiausias skaičius? Viena vertus, atsakymas akivaizdus – begalybė. Boresas netgi paaiškins, kad „plius begalybė“ arba „+∞“ vartoja matematikai. Tačiau šis atsakymas neįtikins labiausiai ėsdinančiųjų, juolab kad tai ne natūralusis skaičius, o matematinė abstrakcija. Tačiau gerai supratę problemą, jie gali atrasti labai įdomią problemą.

Iš tiesų, šiuo atveju nėra dydžio apribojimų, tačiau yra riba žmogaus fantazijai. Kiekvienas skaičius turi pavadinimą: dešimt, šimtas, milijardas, sekstilijonas ir pan. Bet kur baigiasi žmonių vaizduotė?

Negalima painioti su Google Corporation prekės ženklu, nors jie turi bendrą kilmę. Šis skaičius parašytas kaip 10100, ty vienas, po kurio seka šimtas nulių. Sunku įsivaizduoti, bet jis buvo aktyviai naudojamas matematikoje.

Juokinga, kad jį sugalvojo vaikas – matematiko Edvardo Kasnerio sūnėnas. 1938 m. mano dėdė linksmino savo jaunesnius giminaičius diskusijomis apie labai didelį skaičių. Vaiko pasipiktinimui paaiškėjo, kad toks nuostabus skaičius neturi pavadinimo, ir jis pateikė savo versiją. Vėliau mano dėdė jį įdėjo į vieną iš savo knygų, ir terminas įstrigo.

Teoriškai googolis yra natūralusis skaičius, nes jį galima naudoti skaičiuojant. Tačiau vargu ar kam užteks kantrybės suskaičiuoti iki galo. Todėl tik teoriškai.

Kalbant apie įmonės Google pavadinimą, čia įsivėlė dažna klaida. Pirmasis investuotojas ir vienas iš įkūrėjų skubėjo, kai išrašė čekį ir praleido raidę „O“, tačiau norint jį išgryninti, įmonė turėjo būti įregistruota būtent tokia rašyba.

Googolplex

Šis skaičius yra googolio išvestinė, bet yra žymiai didesnis už jį. Priešdėlis „plex“ reiškia dešimties padidinimą iki galios, lygios baziniam skaičiui, taigi gulopleksas yra 10 iki 10 laipsnio 100 arba 101 000.

Gautas skaičius viršija stebimoje Visatoje esančių dalelių skaičių, kuris yra maždaug 1080 laipsnių. Tačiau tai nesutrukdė mokslininkams padidinti skaičių tiesiog pridedant priešdėlį „plex“: googolplexplex, googolplexplex ir pan. O ypač iškrypusiems matematikams jie išrado padidinimo variantą be nesibaigiančio priešdėlio „plex“ kartojimo – tiesiog prieš jį sudėjo graikiškus skaičius: tetra (keturi), penta (penki) ir pan., iki deka ( dešimt). Paskutinis variantas skamba kaip googoldekapleksas ir reiškia dešimteriopus kumuliacinį skaičiaus 10 pakėlimo iki jo bazės laipsnio pakartojimą. Svarbiausia neįsivaizduoti rezultato. Jūs vis tiek negalėsite to suvokti, bet lengva susižaloti psichiškai.

48-asis Merseno numeris

Pagrindiniai veikėjai: Kuperis, jo kompiuteris ir naujas pirminis skaičius

Palyginti neseniai, maždaug prieš metus, mums pavyko atrasti kitą, 48-ąjį Merseno numerį. Šiuo metu tai yra didžiausias pirminis skaičius pasaulyje. Prisiminkime, kad pirminiai skaičiai yra tie, kurie be liekanos dalijasi tik iš vieneto ir patys. Paprasčiausi pavyzdžiai yra 3, 5, 7, 11, 13, 17 ir pan. Problema ta, kad kuo toliau į laukinę gamtą, tuo tokie skaičiai yra retesni. Bet tuo vertingesnis yra kiekvieno kito atradimas. Pavyzdžiui, naujasis pirminis skaičius susideda iš 17 425 170 skaitmenų, jei jis pateikiamas mums žinomos dešimtainės skaičių sistemos forma. Ankstesnėje buvo apie 12 milijonų simbolių.

Jį atrado amerikiečių matematikas Curtisas Cooperis, trečią kartą pradžiuginęs matematikų bendruomenę panašiu rekordu. Jo asmeniniam kompiuteriui prireikė 39 dienų, kad patikrintų jo rezultatą ir įrodytų, kad šis skaičius iš tiesų yra pagrindinis.

Taip atrodo Grahamo skaičius Knutho rodyklės žymėjime. Sunku pasakyti, kaip tai iššifruoti, neturint viso Aukštasis išsilavinimas teorinėje matematikoje. Taip pat neįmanoma to užrašyti mums įprasta dešimtaine forma: stebima Visata tiesiog nepajėgia jo sutalpinti. Vienu metu statyti po vieną laipsnį, kaip yra su googolplexais, taip pat nėra išeitis.

Gera formulė, tik neaiški

Tad kam mums reikalingas šis, atrodytų, nenaudingas skaičius? Pirma, smalsuoliams jis buvo įtrauktas į Gineso rekordų knygą, ir tai jau yra daug. Antra, jis buvo naudojamas išspręsti problemą, įtrauktą į Ramsey problemą, kuri taip pat neaiški, bet skamba rimtai. Trečia, šis skaičius yra pripažintas didžiausiu kada nors naudotu matematikoje ir ne komiškuose įrodymuose ar intelektualiuose žaidimuose, o sprendžiant labai specifinę matematinę problemą.

Dėmesio! Toliau pateikta informacija yra pavojinga jums psichinė sveikata! Skaitydami jį prisiimate atsakomybę už visas pasekmes!

Tiems, kurie nori išbandyti savo protą ir pamedituoti apie Greimo skaičių, galime pabandyti jį paaiškinti (bet tik pabandyti).

Įsivaizduokite 33. Tai gana paprasta – pasirodo 3*3*3=27. O jei dabar padidintume tris iki šio skaičiaus? Rezultatas yra 3 3 iki 3 laipsnio arba 3 27. Dešimtainiu žymėjimu tai lygu 7 625 597 484 987. Daug, bet kol kas tai galima realizuoti.

Knutho rodyklės žymėjime šis skaičius gali būti rodomas kiek paprasčiau – 33. Bet jei pridėsite tik vieną rodyklę, bus sudėtingiau: 33, o tai reiškia 33 laipsniu 33 arba laipsnio žymėjimu. Jei išplėsime iki dešimtainio žymėjimo, gausime 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987. Ar vis dar sugebi sekti savo mintis?

Kitas etapas: 33= 33 33 . Tai yra, jums reikia apskaičiuoti šį laukinį skaičių pagal ankstesnį veiksmą ir padidinti jį iki tos pačios galios.

Ir 33 yra tik pirmasis iš 64 Greimo skaičiaus terminų. Norėdami gauti antrąją, turite apskaičiuoti šios protą sukrečiančios formulės rezultatą ir atitinkamą skaičių rodyklių pakeisti diagramoje 3(...)3. Ir taip toliau, dar 63 kartus.

Įdomu, ar kas nors kitas, išskyrus jį ir dar keliolika supermatematikų, sugebės neišprotėję patekti bent į sekos vidurį?

Ar tu ką nors supratai? Mes nesame. Bet koks jaudulys!

Kodėl mums reikia didžiausių skaičių? Paprastam žmogui tai sunku suprasti ir suvokti. Tačiau su jų pagalba keli specialistai paprastiems žmonėms gali supažindinti su naujais technologiniais žaislais: telefonais, kompiuteriais, planšetėmis. Paprasti žmonės taip pat nesugeba suprasti, kaip jie dirba, bet mielai naudoja juos savo pramogoms. Ir visi laimingi: paprasti žmonės gauna žaislus, „supernerdai“ turi galimybę toliau žaisti savo proto žaidimus.

Neįmanoma teisingai atsakyti į šį klausimą, nes skaičių serija neturi viršutinės ribos. Taigi, prie bet kurio skaičiaus tereikia pridėti vieną, kad gautumėte dar didesnį skaičių. Nors patys skaičiai yra begaliniai, jie neturi daug tikrinių vardų, nes dauguma jų tenkinasi vardais, sudarytais iš mažesnių skaičių. Taigi, pavyzdžiui, skaičiai turi savo pavadinimus „vienas“ ir „šimtas“, o skaičiaus pavadinimas jau yra sudėtinis („šimtas vienas“). Aišku, kad baigtinėje skaičių aibėje, kurią apdovanojo žmonija savo vardą, turi būti koks nors didžiausias skaičius. Bet kaip tai vadinasi ir kam prilygsta? Pabandykime tai išsiaiškinti ir tuo pačiu metu išsiaiškinti, kokius didelius skaičius sugalvojo matematikai.

"Trumpa" ir "ilga" skalė

Istorija moderni sistema Didelių skaičių pavadinimai datuojami XV amžiaus viduriu, kai Italijoje tūkstančiui kvadratų buvo pradėti vartoti žodžiai „milijonas“ (pažodžiui - didelis tūkstantis), o milijonas kvadratų – „bmilijonas“ ir „trimilijonas“. milijonas kubelių. Apie šią sistemą žinome prancūzų matematiko Nicolas Chuquet (apie 1450 m. – apie 1500 m.) dėka: savo traktate „Skaičių mokslas“ (Triparty en la science des nombres, 1484) jis išplėtojo šią idėją, siūlydamas jas toliau naudoti. lotyniški kardinalieji skaičiai (žr. lentelę), pridedant juos prie galūnės „-milijonas“. Taigi „bmilijonas“ Schuke pavertė milijardu, „trimilijonas“ tapo trilijonu, o milijonas ketvirtajai galiai tapo „kvadrilijonu“.

Chuquet sistemoje skaičius nuo milijono iki milijardo neturėjo savo pavadinimo ir buvo tiesiog vadinamas "tūkstantis milijonų", panašiai vadinamas "tūkstantis milijardas", "tūkstantis trilijonas" ir kt. Tai nebuvo labai patogu, ir 1549 m. prancūzų rašytojas ir mokslininkas Jacques'as Peletier du Mansas (1517–1582) pasiūlė tokius „tarpinius“ skaičius pavadinti tais pačiais lotyniškais priešdėliais, bet su galūne „-milijardas“. Taigi jis buvo pradėtas vadinti „milijardu“, „biliardu“, „trilijonu“ ir kt.

Chuquet-Peletier sistema pamažu išpopuliarėjo ir buvo naudojama visoje Europoje. Tačiau XVII amžiuje iškilo netikėta problema. Paaiškėjo, kad kažkodėl kai kurie mokslininkai pradėjo sutrikti ir vadinti numeriu ne „milijardas“ ar „tūkstantis milijonų“, o „milijardas“. Netrukus ši klaida greitai išplito ir susidarė paradoksali situacija - „milijardas“ vienu metu tapo „milijardo“ () ir „milijonų milijonų“ () sinonimu.

Ši painiava tęsėsi gana ilgą laiką ir lėmė tai, kad JAV sukūrė savo didelių skaičių įvardijimo sistemą. Pagal amerikietišką sistemą skaičių pavadinimai sudaromi taip pat, kaip ir Schuquet sistemoje - lotyniškas priešdėlis ir galūnė „milijonas“. Tačiau šių skaičių dydžiai yra skirtingi. Jei Schuquet sistemoje pavadinimai su galūne „ilijonas“ gavo skaičius, kurie buvo milijono laipsniai, tai amerikietiškoje sistemoje galūnė „-ilijonas“ gavo tūkstančio laipsnius. Tai yra, tūkstantis milijonų () buvo pradėti vadinti „milijardu“, () - „trilijonu“, () - „kvadrilijonu“ ir kt.

Senoji didelių skaičių įvardijimo sistema ir toliau buvo naudojama konservatyvioje Didžiojoje Britanijoje ir pradėta vadinti „britišku“ visame pasaulyje, nepaisant to, kad ją išrado prancūzai Chuquet ir Peletier. Tačiau aštuntajame dešimtmetyje JK oficialiai perėjo prie „amerikietiškos sistemos“, o tai lėmė tai, kad tapo kažkaip keista vieną sistemą vadinti amerikietiška, o kitą – britiška. Dėl to amerikietiška sistema dabar dažniausiai vadinama „trumpąja skale“, o britų arba Chuquet-Peletier sistema – „ilgąja skale“.

Norėdami išvengti painiavos, apibendrinkite:

Numerio pavadinimas	Trumpos skalės vertė	Ilgos skalės vertė
Milijonas
Milijardas
Milijardas
Biliardas	-
trilijonas
trilijonas	-
Kvadrilijonas
Kvadrilijonas	-
Kvintilijonas
Kvintiliardas	-
Seksilijonas
Seksilijonas	-
Septilijonas
Septiliardas	-
Oktilijonas
Octilliard	-
Kvintilijonas
Nenoliardas	-
Decilionas
Deciliardas	-
Vigintilijonas
Wigintiljardas	-
Šimtlijonas
Centiliardas	-
Milijonas
Milijonas	-

Trumpoji pavadinimų skalė šiuo metu naudojama JAV, JK, Kanadoje, Airijoje, Australijoje, Brazilijoje ir Puerto Rike. Rusija, Danija, Turkija ir Bulgarija taip pat naudoja trumpą skalę, išskyrus tai, kad šis skaičius vadinamas „milijardais“, o ne „milijardais“. Ilgoji skalė ir toliau naudojama daugumoje kitų šalių.

Įdomu, kad mūsų šalyje galutinis perėjimas prie trumpo masto įvyko tik XX amžiaus antroje pusėje. Pavyzdžiui, Jakovas Isidorovičius Perelmanas (1882–1942) savo „Pramoginėje aritmetikoje“ mini dviejų svarstyklių egzistavimą SSRS. Trumpoji skalė, pasak Perelmano, buvo naudojama kasdieniame gyvenime ir finansiniuose skaičiavimuose, o ilgoji – mokslinėse astronomijos ir fizikos knygose. Tačiau dabar Rusijoje neteisinga naudoti ilgą skalę, nors ten skaičiai dideli.

Bet grįžkime prie didžiausio skaičiaus paieškos. Po deciliacijos skaičių pavadinimai gaunami sujungus priešdėlius. Taip gaunami skaičiai, pvz., undecilijonas, dvylikapirštėlis, tredecilis, quattordecilijonas, kvindecilis, lytis, septemdecilijas, oktodecilijonas, novemdecilijonas ir kt. Tačiau šie pavadinimai mums nebeįdomūs, nes sutarėme surasti didžiausią skaičių su savo nesudėtiniu pavadinimu.

Jei pažvelgsime į lotynų kalbos gramatiką, pamatysime, kad romėnai turėjo tik tris nesudėtinius pavadinimus skaičiams, didesniems nei dešimt: viginti - "dvidešimt", centum - "šimtas" ir mille - "tūkstantis". Romėnai neturėjo savo vardų skaičiams, didesniems nei tūkstantis. Pavyzdžiui, milijonas () Romėnai tai vadino „decies centena milia“, tai yra „dešimt kartų šimtas tūkstančių“. Pagal Chuquet taisyklę, šie trys likę lotyniški skaitmenys suteikia mums tokius skaičių pavadinimus kaip „vigintilijonas“, „centilionas“ ir „milijonas“.

Taigi, mes išsiaiškinome, kad „trumpoje skalėje“ didžiausias skaičius, turintis savo pavadinimą ir nesudarantis mažesnių skaičių, yra „milijonas“ (). Jei Rusija priimtų „ilgą skalę“ skaičiams įvardyti, didžiausias skaičius su savo pavadinimu būtų „milijardas“ ().

Tačiau yra ir dar didesnių skaičių pavadinimų.

Skaičiai už sistemos ribų

Kai kurie skaičiai turi savo pavadinimą, be jokio ryšio su vardų sistema, naudojant lotyniškus priešdėlius. Ir tokių skaičių yra daug. Pavyzdžiui, galite prisiminti skaičių e, skaičių „pi“, tuziną, žvėries skaičių ir tt Tačiau, kadangi dabar mus domina dideli skaičiai, svarstysime tik tuos skaičius, kurių jų nesudėtiniai skaičiai. vardų, kurie viršija milijoną.

Rusijoje jis buvo naudojamas iki XVII a savo sistema skaičių pavadinimai. Dešimtys tūkstančių buvo vadinami „tamsa“, šimtai tūkstančių – „legionais“, milijonai – „leoderiais“, dešimtys milijonų – „varnais“, o šimtai milijonų – „deniais“. Šis skaičius iki šimtų milijonų buvo vadinamas „mažuoju skaičiumi“, o kai kuriuose rankraščiuose autoriai laikė ir „didžiuoju skaičiumi“, kuriame tie patys pavadinimai buvo vartojami dideliems skaičiams, bet su kita reikšme. Taigi „tamsa“ reiškė nebe dešimt tūkstančių, o tūkstantį tūkstančių () , „legionas“ – tamsa tų () ; „leodr“ – legionų legionas () , "varnas" - Leodras Leodrovas (). Dėl tam tikrų priežasčių „denis“ didžiajame slavų skaičiavime nebuvo vadinamas „varnų varnu“. () , bet tik dešimt „varnų“, tai yra (žr. lentelę).

Numerio pavadinimas	Reikšmė „mažas skaičius“	Reikšmė „didžiajame skaičiuje“	Paskyrimas
Tamsus
Legionas
Leodras
Varnas (korvidas)
Denis
Temų tamsa

Skaičius taip pat turi savo pavadinimą ir jį sugalvojo devynerių metų berniukas. Ir buvo taip. 1938 m. amerikiečių matematikas Edwardas Kasneris (1878–1955) vaikščiojo parke su savo dviem sūnėnais ir aptarinėjo su jais apie didelius skaičius. Pokalbio metu kalbėjome apie skaičių su šimtu nulių, kuris neturėjo savo pavadinimo. Vienas iš sūnėnų, devynerių metų Miltonas Sirottas, pasiūlė paskambinti šiuo numeriu „googol“. 1940 m. Edwardas Kasneris kartu su Jamesu Newmanu parašė populiariąją mokslo knygą „Matematika ir vaizduotė“, kurioje matematikos mylėtojams papasakojo apie „googol“ skaičių. Dešimtojo dešimtmečio pabaigoje Googol tapo dar plačiau žinomas dėl jo vardu pavadintos Google paieškos sistemos.

Dar didesnio skaičiaus nei googol pavadinimas atsirado 1950 m. dėl kompiuterių mokslo tėvo Claude'o Elwoodo Shannono (1916–2001). Savo straipsnyje „Kompiuterio programavimas žaisti šachmatais“ jis bandė įvertinti skaičių galimi variantaišachmatų žaidimas. Pagal ją kiekvienas žaidimas trunka vidutiniškai ėjimų ir kiekviename ėjime žaidėjas vidutiniškai pasirenka iš variantų, atitinkančių (apytikriai lygų) žaidimo parinktis. Šis darbas tapo plačiai žinomas ir duotas numeris tapo žinomas kaip Šenono numeris.

Garsiajame budistų traktate Jaina Sutra, datuojamame 100 m. pr. Kr., skaičius „asankheya“ yra lygus . Manoma, kad šis skaičius yra lygus kosminių ciklų skaičiui, kurio reikia norint pasiekti nirvaną.

Devynerių metų Miltonas Sirotta pateko į matematikos istoriją ne tik todėl, kad sugalvojo skaičių googol, bet ir todėl, kad tuo pat metu pasiūlė kitą skaičių - „googolplex“, kuris yra lygus „ googol“, tai yra vienas su nulių googoliu.

Dar du skaičius, didesnius už googolplex, pasiūlė Pietų Afrikos matematikas Stanley Skewesas (1899–1988), įrodydamas Riemanno hipotezę. Pirmasis skaičius, kuris vėliau tapo žinomas kaip „Skuse skaičius“, yra lygus laipsniui laipsniui laipsniui , tai yra . Tačiau „antrasis Skewes skaičius“ yra dar didesnis ir siekia .

Akivaizdu, kad kuo daugiau galių yra galiose, tuo sunkiau rašyti skaičius ir suprasti jų reikšmę skaitant. Be to, galima sugalvoti tokius skaičius (o, beje, jie jau sugalvoti), kai laipsnių laipsniai tiesiog netelpa puslapyje. Taip, tai puslapyje! Jie net netilps į visos Visatos dydžio knygą! Tokiu atveju kyla klausimas, kaip tokius skaičius parašyti. Laimei, problema yra išspręsta, o matematikai sukūrė keletą tokių skaičių rašymo principų. Tiesa, kiekvienas matematikas, susimąstęs šia problema, sugalvojo savo rašymo būdą, dėl kurio atsirado keletas nesusijusių didelių skaičių rašymo metodų – tai Knutho, Conway, Steinhaus ir kt. su kai kuriais iš jų.

Kiti užrašai

1938 m., tais pačiais metais, kai devynmetis Miltonas Sirotta išrado skaičius „googol“ ir „googolplex“, Lenkijoje buvo išleista knyga apie pramoginę matematiką „Matematinis kaleidoskopas“, kurią parašė Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972). Ši knyga tapo labai populiari, išleido daugybę leidimų ir buvo išversta į daugelį kalbų, įskaitant anglų ir rusų kalbas. Jame Steinhausas, aptardamas didelius skaičius, siūlo paprastą būdą juos užrašyti naudojant tris geometrines figūras- trikampis, kvadratas ir apskritimas:

"trikampyje" reiškia "",
„kvadratas“ reiškia „trikampiuose“
„apskritime“ reiškia „kvadratuose“.

Aiškindamas šį žymėjimo būdą, Steinhausas pateikia skaičių „mega“, kuris lygus apskritime ir parodo, kad jis lygus „kvadrate“ arba trikampiuose. Norėdami jį apskaičiuoti, turite jį pakelti laipsniu , gautą skaičių pakelti iki laipsnio , tada gautą skaičių pakelti iki gauto skaičiaus laipsnio ir taip toliau, pakelti iki kartų laipsnio. Pavyzdžiui, MS Windows skaičiuotuvas negali skaičiuoti dėl perpildymo net dviejuose trikampiuose. Šis didžiulis skaičius yra maždaug.

Nustatęs „mega“ skaičių, „Steinhaus“ kviečia skaitytojus savarankiškai įvertinti kitą skaičių - „medzon“, lygų apskritime. Kitame knygos leidime Steinhausas vietoj medzonės siūlo įvertinti dar didesnį skaičių - „megistoną“, lygų apskritime. Sekdamas Steinhausu, taip pat rekomenduoju skaitytojams kuriam laikui atitrūkti nuo šio teksto ir pabandyti patiems užrašyti šiuos skaičius pasitelkus įprastus galius, kad pajustų jų gigantišką dydį.

Tačiau yra daug pavadinimų. Taigi kanadiečių matematikas Leo Moseris (Leo Moser, 1921–1970) pakeitė Steinhauso užrašą, kurį ribojo tai, kad jei reikėtų užrašyti daug didesnius už megistoną skaičius, kiltų sunkumų ir nepatogumų, nes reikia nubrėžti daug apskritimų vienas kito viduje. Moseris pasiūlė po kvadratų piešti ne apskritimus, o penkiakampius, tada šešiakampius ir pan. Jis taip pat pasiūlė oficialų šių daugiakampių žymėjimą, kad būtų galima rašyti skaičius nebraižant sudėtingų paveikslėlių. Moserio žymėjimas atrodo taip:

"trikampis" = = ;
"kvadratas" = = "trikampiai" = ;
"pentagone" = = "kvadratais" = ;
"in -gon" = = "in -gon" = .

Taigi, pagal Moserio užrašą, Steinhauso „mega“ rašoma kaip , „medzone“ kaip , o „megistonas“ kaip . Be to, Leo Moseris pasiūlė daugiakampį, kurio kraštinių skaičius lygus mega, vadinti „megagonu“. Ir pasiūlė numerį « megagone“, tai yra. Šis numeris tapo žinomas kaip Moser numeris arba tiesiog „Moser“.

Tačiau net „Moser“ nėra didžiausias skaičius. Taigi didžiausias skaičius, kada nors naudojamas matematiniuose įrodymuose, yra „Grahamo skaičius“. Šį skaičių pirmą kartą panaudojo amerikiečių matematikas Ronaldas Grahamas 1977 m., įrodydamas vieną Ramsey teorijos įvertį, būtent apskaičiuodamas tam tikro dydžio matmenis. - matmenų bichromatiniai hiperkubai. Grahamo numeris išgarsėjo tik po to, kai jis buvo aprašytas 1989 m. Martino Gardnerio knygoje „Nuo Penrose mozaikų iki patikimų šifrų“.

Norėdami paaiškinti, koks didelis yra Greimo skaičius, turime paaiškinti kitą didelių skaičių rašymo būdą, kurį 1976 m. pristatė Donaldas Knuthas. Amerikiečių profesorius Donaldas Knuthas sugalvojo supergalios koncepciją, kurią pasiūlė parašyti rodyklėmis į viršų.

Įprastos aritmetinės operacijos – sudėjimas, daugyba ir eksponencija – natūraliai gali būti išplėstos į hiperoperatorių seką, kaip nurodyta toliau.

Natūralių skaičių daugyba gali būti apibrėžta pakartotinai sudėjus („pridėti skaičiaus kopijas“):

Pavyzdžiui,

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį gali būti apibrėžtas kaip kartotinė daugybos operacija („skaičiaus kopijų dauginimas“), o Knutho užrašuose šis žymėjimas atrodo kaip viena aukštyn nukreipta rodyklė:

Pavyzdžiui,

Ši viena rodyklė aukštyn buvo naudojama kaip laipsnio piktograma Algol programavimo kalboje.

Pavyzdžiui,

Čia ir žemiau išraiška visada vertinama iš dešinės į kairę, o Knutho rodyklių operatoriai (taip pat ir eksponencijos operacija) pagal apibrėžimą turi dešinįjį asociatyvumą (tvarka iš dešinės į kairę). Pagal šį apibrėžimą,

Tai jau lemia gana didelius skaičius, tačiau žymėjimo sistema tuo nesibaigia. Trigubos rodyklės operatorius naudojamas pakartotiniam dvigubos rodyklės operatoriaus eksponencijai (taip pat žinomai kaip pentacija) rašyti:

Tada operatorius „keturkampė rodyklė“:

ir kt. Pagrindinė taisyklė operatorius "- aš rodyklė“, pagal dešinįjį asociatyvumą, tęsiasi į dešinę nuoseklioje operatorių serijoje « rodyklė“. Simboliškai tai galima parašyti taip,

Pavyzdžiui:

Žymėjimo forma dažniausiai naudojama žymėjimui su rodyklėmis.

Kai kurie skaičiai tokie dideli, kad net rašyti Knutho strėlėmis tampa pernelyg sudėtinga; šiuo atveju pageidautina naudoti operatorių -arrow (taip pat ir aprašams su kintamu rodyklių skaičiumi) arba yra lygiavertis hiperoperatoriams. Tačiau kai kurie skaičiai yra tokie dideli, kad net tokio žymėjimo nepakanka. Pavyzdžiui, Grahamo numeris.

Naudojant Knutho rodyklės žymėjimą, Grahamo skaičius gali būti parašytas kaip

Kai rodyklių skaičius kiekviename sluoksnyje, pradedant nuo viršaus, nustatomas pagal skaičių kitame sluoksnyje, tai yra, kur , kur rodyklės viršutinis indeksas rodo bendrą rodyklių skaičių. Kitaip tariant, skaičiuojama etapais: pirmajame žingsnyje skaičiuojame keturiomis rodyklėmis tarp trijų, antrame - rodyklėmis tarp trijų, trečiame - rodyklėmis tarp trijų ir t.t.; pabaigoje skaičiuojame rodyklėmis tarp trynukų.

Tai galima parašyti kaip , kur , kur viršutinis indeksas y žymi funkcijų iteracijas.

Jei kiti skaičiai su „pavadinimais“ gali būti suderinti su atitinkamu objektų skaičiumi (pavyzdžiui, žvaigždžių skaičius matomoje Visatos dalyje yra įvertintas sekstilijonais - , o atomų, sudarančių Žemė turi dodekalionų tvarką), tada googolis jau yra „virtualus“, jau nekalbant apie Grahamo skaičių. Vien pirmojo termino mastas yra toks didelis, kad jo beveik neįmanoma suprasti, nors aukščiau pateiktas žymėjimas yra gana lengvai suprantamas. Nors tai tik bokštų skaičius šioje formulėje, šis skaičius jau yra didelis daugiau kiekio Planko tūriai (mažiausias įmanomas fizinis tūris), esantis stebimoje visatoje (apytiksliai ). Po pirmojo nario laukiame dar vieno sparčiai augančios sekos nario.