Unde derivata este negativă pe grafic. Rezolvarea derivatei pentru manechine: definiție, cum se găsește, exemple de soluții

Ce este un derivat?
Definiția și semnificația unei funcții derivate

Mulți vor fi surprinși de plasarea neașteptată a acestui articol în cursul autorului meu despre derivata unei funcții a unei variabile și aplicațiile acesteia. La urma urmei, așa cum a fost de la școală: manualul standard dă în primul rând definiția unei derivate, semnificația sa geometrică, mecanică. În continuare, elevii găsesc derivate ale funcțiilor prin definiție și, de fapt, abia atunci perfecționează tehnica diferențierii folosind tabele derivate.

Dar din punctul meu de vedere, următoarea abordare este mai pragmatică: în primul rând, este indicat să ÎNȚELEGI BINE limita unei funcții, și, în special, cantități infinitezimale. Adevărul este că definiţia derivatei se bazează pe conceptul de limită, care este prost considerat în curs şcolar. De aceea, o parte semnificativă a tinerilor consumatori ai granitului cunoașterii nu înțeleg însăși esența derivatului. Astfel, dacă ești prost orientat în calcul diferenţial sau un creier înțelept a scăpat cu succes de acest bagaj de-a lungul multor ani, vă rog să începeți cu limitele funcției. În același timp, stăpâniți/rețineți soluția lor.

Același simț practic spune că este mai întâi avantajos învață să găsești derivate, inclusiv derivate ale funcţiilor complexe. Teoria este teorie, dar, după cum se spune, întotdeauna vrei să diferențiezi. În acest sens, este mai bine să lucrați prin lecțiile de bază enumerate și poate maestru al diferențierii fără să-şi dea seama măcar de esenţa acţiunilor lor.

Recomand să începeți cu materialele de pe această pagină după citirea articolului. Cele mai simple probleme cu derivatele, unde, în special, se consideră problema tangentei la graficul unei funcții. Dar poți aștepta. Faptul este că multe aplicații ale derivatului nu necesită înțelegerea acestuia și nu este surprinzător că lecția teoretică a apărut destul de târziu - când trebuia să explic constatând intervale crescătoare/descrescătoare şi extreme funcții. Mai mult, a fost pe subiect destul de mult timp. Funcții și grafice”, până când în sfârșit m-am hotărât să o pun mai devreme.

Prin urmare, dragi ceainice, nu vă grăbiți să absorbiți esența derivatului ca animalele flămânde, pentru că saturația va fi lipsită de gust și incompletă.

Conceptul de creștere, scădere, maxim, minim al unei funcții

Mulți mijloace didactice a condus la conceptul de derivat folosind unele probleme practice și am venit și eu cu exemplu interesant. Imaginați-vă că suntem pe cale să călătorim într-un oraș la care se poate ajunge în diverse feluri. Să renunțăm imediat la căile curbe și să luăm în considerare doar autostrăzile drepte. Cu toate acestea, direcțiile în linie dreaptă sunt și ele diferite: puteți ajunge în oraș pe o autostradă lină. Sau de-a lungul unei autostrăzi deluroase - în sus și în jos, în sus și în jos. Un alt drum merge doar în sus, iar altul merge în jos tot timpul. Pasionații extremi vor alege un traseu printr-un defileu cu o stâncă abruptă și un urcuș abrupt.

Dar oricare ar fi preferințele dumneavoastră, este indicat să cunoașteți zona sau măcar să o localizați harta topografică. Ce se întâmplă dacă astfel de informații lipsesc? La urma urmei, puteți alege, de exemplu, o cale netedă, dar, ca rezultat, dați peste o pârtie de schi cu finlandezi veseli. Nu este un fapt că un navigator sau chiar o imagine din satelit va oferi date fiabile. Prin urmare, ar fi bine să formalizezi relieful căii folosind matematica.

Să ne uităm la un drum (vedere laterală):

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc un fapt elementar: călătoriile se întâmplă de la stanga la dreapta. Pentru simplitate, presupunem că funcția continuuîn zona luată în considerare.

Care sunt caracteristicile acestui grafic?

La intervale funcţie crește, adică fiecare valoare următoare a acesteia Mai mult precedentul. În linii mari, programul este activ jos sus(urcăm dealul). Și pe interval funcția scade– fiecare valoare următoare Mai puțin anterior, iar programul nostru este activat de sus în jos(coboram panta).

Să fim atenți și la punctele speciale. În punctul în care ajungem maxim, acesta este există o astfel de secțiune a căii unde valoarea va fi cea mai mare (cea mai mare). În același punct se realizează minim, Și există vecinătatea sa în care valoarea este cea mai mică (cea mai mică).

Vom analiza terminologia și definițiile mai stricte în clasă. despre extremele funcției, dar deocamdată să mai studiem una caracteristică importantă: la intervale funcția crește, dar crește la viteze diferite. Și primul lucru care vă atrage atenția este că graficul se ridică în sus în timpul intervalului mult mai misto, decât pe intervalul . Este posibil să măsurați abruptul unui drum folosind instrumente matematice?

Rata de schimbare a funcției

Ideea este următoarea: să luăm ceva valoare (citiți „delta x”), pe care o vom numi increment de argumentși să începem să „încercăm” în diferite puncte ale drumului nostru:

1) Să ne uităm la punctul cel mai din stânga: depășind distanța, urcăm panta la o înălțime (linia verde). Se numește cantitatea creșterea funcției, si in în acest caz, această creștere este pozitivă (diferența de valori de-a lungul axei este mai mare decât zero). Să creăm un raport care va fi o măsură a abruptului drumului nostru. Evident, acesta este un număr foarte specific și, deoarece ambele incremente sunt pozitive, atunci .

Atenţie! Denumirile sunt UNU simbol, adică nu puteți „smulge” „delta” din „X” și luați în considerare aceste litere separat. Desigur, comentariul se referă și la simbolul de creștere a funcției.

Să explorăm mai semnificativ natura fracției rezultate. Să fim inițial la o înălțime de 20 de metri (în punctul negru din stânga). După ce am parcurs distanța de metri (linia roșie din stânga), ne vom găsi la o altitudine de 60 de metri. Apoi, incrementul funcției va fi metri (linia verde) si: . Prin urmare, pe fiecare metru acest tronson de drum creste inaltimea in medie cu 4 metri...ți-ai uitat echipamentul de alpinism? =) Cu alte cuvinte, relația construită caracterizează RATA MEDIA DE MODIFICARE (în acest caz, creșterea) funcției.

Notă : valori numerice Exemplul luat în considerare corespunde proporțiilor desenului doar aproximativ.

2) Acum să mergem la aceeași distanță de la punctul negru din dreapta. Aici creșterea este mai graduală, astfel încât creșterea (linia purpurie) este relativ mică, iar raportul față de cazul precedent va fi foarte modest. Relativ vorbind, metri și rata de creștere a funcției este . Adică aici pentru fiecare metru de potecă există in medie o jumătate de metru de înălțime.

3) O mică aventură pe versantul muntelui. Să ne uităm la partea de sus Punct negru, situat pe axa ordonatelor. Să presupunem că acesta este marcajul de 50 de metri. Depășim din nou distanța, drept urmare ne aflăm mai jos - la nivelul de 30 de metri. Din moment ce mișcarea este efectuată de sus în jos(în direcția „contra” a axei), apoi finala creșterea funcției (înălțimea) va fi negativă: metri (segment maro din desen). Și în acest caz deja vorbim rata de scadere Caracteristici: , adică pentru fiecare metru de traseu al acestei secțiuni, înălțimea scade in medie cu 2 metri. Ai grijă de hainele tale la al cincilea punct.

Acum să ne punem întrebarea: ce valoare a „standardului de măsurare” este cel mai bine de utilizat? Este complet de înțeles, 10 metri este foarte dur. O duzină bună de hummocks pot încăpea cu ușurință pe ele. Indiferent de denivelări, poate exista un defileu adânc dedesubt, iar după câțiva metri se află cealaltă parte cu o înălțime abruptă. Astfel, cu un zece metri nu vom obține o descriere inteligibilă a unor astfel de secțiuni ale traseului prin raportul .

Din discuția de mai sus rezultă următoarea concluzie: Cum valoare mai mică , cu atât descriem mai precis topografia drumului. În plus, următoarele fapte sunt adevărate:

– Pentru oricine puncte de ridicare puteți selecta o valoare (chiar dacă este foarte mică) care se încadrează în limitele unei anumite creșteri. Aceasta înseamnă că creșterea corespunzătoare a înălțimii va fi garantată a fi pozitivă, iar inegalitatea va indica corect creșterea funcției în fiecare punct al acestor intervale.

- La fel, pentru orice punct de pantă există o valoare care se va potrivi complet pe această pantă. În consecință, creșterea corespunzătoare a înălțimii este clar negativă, iar inegalitatea va arăta corect scăderea funcției în fiecare punct al intervalului dat.

– Un caz deosebit de interesant este atunci când rata de modificare a funcției este zero: . În primul rând, incrementul de înălțime zero () este un semn al unei căi netede. Și în al doilea rând, există și alte situații interesante, exemple pe care le vedeți în figură. Imaginați-vă că soarta ne-a adus chiar în vârful unui deal cu vulturi înălțători sau pe fundul unei râpe cu broaște croncănitoare. Dacă faci un pas mic în orice direcție, modificarea înălțimii va fi neglijabilă și putem spune că rata de modificare a funcției este de fapt zero. Aceasta este exact imaginea observată la puncte.

Astfel, am ajuns la o oportunitate uimitoare de a caracteriza perfect cu exactitate rata de schimbare a unei funcții. La urma urmei, analiza matematică face posibilă direcționarea incrementului argumentului la zero: , adică să-l facă infinitezimal.

Ca urmare, apare o altă întrebare logică: este posibil să găsiți drumul și programul acestuia altă funcție, care ne-ar anunța despre toate secțiunile plate, ascensiuni, coborâri, vârfuri, văi, precum și ritmul de creștere/scădere în fiecare punct de-a lungul drumului?

Ce este un derivat? Definiţia derivative.
Semnificația geometrică a derivatei și diferențiale

Vă rugăm să citiți cu atenție și nu prea repede - materialul este simplu și accesibil tuturor! Este în regulă dacă în unele locuri ceva nu pare foarte clar, poți oricând să revii la articol mai târziu. Voi spune mai multe, este util să studiem teoria de mai multe ori pentru a înțelege temeinic toate punctele (sfatul este relevant în special pentru studenții „tehnici”, pentru care matematica superioară joacă un rol semnificativ în procesul de învățământ).

Desigur, chiar în definiția derivatei la un punct o înlocuim cu:

La ce am ajuns? Și am ajuns la concluzia că pentru funcția conform legii este pus în conformitate alta functie, Care e numit funcţie derivată(sau pur și simplu derivat).

Derivatul caracterizează rata de schimbare funcții Cum? Ideea merge ca un fir roșu încă de la începutul articolului. Să luăm în considerare un punct domeniul definirii funcții Fie funcția să fie diferențiabilă într-un punct dat. Apoi:

1) Dacă , atunci funcția crește în punctul . Și evident că există interval(chiar și una foarte mică), care conține un punct în care funcția crește, iar graficul acesteia merge „de jos în sus”.

2) Dacă , atunci funcția scade în punctul . Și există un interval care conține un punct în care funcția scade (graficul merge „de sus în jos”).

3) Dacă , atunci infinit de aproapeîn apropierea unui punct funcția își menține viteza constantă. Acest lucru se întâmplă, după cum sa menționat, cu o funcție constantă și în punctele critice ale funcţiei, în special la punctele minime și maxime.

Un pic de semantică. Ce înseamnă verbul „diferențiere” în sens larg? A diferenția înseamnă a evidenția o trăsătură. Prin diferențierea unei funcții, „izolăm” rata de schimbare a acesteia sub forma unei derivate a funcției. Apropo, ce se înțelege prin cuvântul „derivat”? Funcţie s-a întâmplat din functie.

Termenii sunt interpretați cu mare succes prin sensul mecanic al derivatului :
Să luăm în considerare legea schimbării coordonatelor unui corp, în funcție de timp, și funcția vitezei de mișcare a unui corp dat. Funcția caracterizează viteza de modificare a coordonatelor corpului, prin urmare este prima derivată a funcției în raport cu timpul: . Dacă conceptul de „mișcare a corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de „viteza corpului”.

Accelerația unui corp este rata de schimbare a vitezei, prin urmare: . Dacă conceptele inițiale de „mișcare a corpului” și „viteza corpului” nu ar exista în natură, atunci nu ar exista derivat conceptul de „accelerare corporală”.

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile să fie date f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivata unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați la exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă se află în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcția g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate acționa bine un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Conținutul articolului

DERIVAT– derivata functiei y = f(X), dat pe un anumit interval ( A, b) la un moment dat X a acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0, iar la unii momentul următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 - la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

viteza medie nu poate în toate cazurile caracteriza cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a deplasat foarte repede și, la sfârșit, foarte lent, atunci viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile indicate ale mișcării punctului și să dea o idee despre adevărata viteză a mișcării sale în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza curentă:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția liniilor tangente este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată legată de calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată Metodă nouă maximele și minimele, precum și tangentele, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale și un tip special de calcul pentru aceasta nu servesc drept obstacol.

Fie curba graficul funcției y =f(X) într-un sistem de coordonate dreptunghiular ( cm. orez.).

La o oarecare valoare X funcția contează y =f(X). Aceste valori XȘi y punctul de pe curbă corespunde M 0(X, y). Dacă argumentul X da increment D X, apoi noua valoare a argumentului X+D X corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(X + D X). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(X+D X,y+D y). Dacă desenezi o secantă M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, reiese imediat din figură că .

Daca acum D X tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D X. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( X) = tga

acestea. valoare derivată f´( X) pentru o valoare de argument dată X este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(X) în punctul corespunzător M 0(X,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiție. Dacă funcţia y = f(X) are o derivată la punct X = X 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest moment.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |X| continuă pentru toată lumea X(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcțiilor diferențiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segment [A,b], este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și la capete X = AȘi X = b merge la zero ( f(A) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ A,b] există cel puțin un punct X= Cu, A c b, în ​​care derivata fў( X) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există cel puțin un punct Cu, A c b că

f(b) – f(A) = fў( c)(b– A).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(X) Și g(X) – două funcții continue pe segment [A, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( X) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există un astfel de punct X = Cu, A c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(X) este diferențiabilă pe un anumit interval [ A, b]. Valori derivate f ў( X), în general, depind de X, adică derivat f ў( X) este, de asemenea, o funcție a X. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(X), care este notat f ўў ( X).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(X) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(X), Unde X– variabilă independentă, da dy = f ў( X)dx, unele functii de la X, dar din X numai primul factor poate depinde f ў( X), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente Xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la X, atunci putem determina diferența acestei funcții. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(X)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul 1 cu privire la x i este definit ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

Decide sarcini fizice sau exemple în matematică este complet imposibil fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul al acesteia. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata functie externa cu argumentul intermediar și apoi înmulțiți cu derivata argumentului intermediar însuși în raport cu variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. In spate Pe termen scurt Vă vom ajuta să rezolvați cele mai dificile teste și să rezolvați probleme, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Definiție. Fie definită funcția \(y = f(x)\) într-un anumit interval care conține punctul \(x_0\). Să dăm argumentului un increment \(\Delta x \) astfel încât să nu părăsească acest interval. Să găsim incrementul corespunzător al funcției \(\Delta y \) (când ne mutăm de la punctul \(x_0 \) la punctul \(x_0 + \Delta x \)) și să compunem relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Dacă există o limită a acestui raport la \(\Delta x \rightarrow 0\), atunci limita specificată se numește derivata unei functii\(y=f(x) \) în punctul \(x_0 \) și notăm \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata. Rețineți că y" = f(x) este o funcție nouă, dar legată în mod natural de funcția y = f(x), definită în toate punctele x la care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivata functiei y = f(x).

Sensul geometric al derivatului este după cum urmează. Dacă este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul cu abscisa x=a, care nu este paralel cu axa y, atunci f(a) exprimă panta tangentei :
\(k = f"(a)\)

Deoarece \(k = tg(a) \), atunci egalitatea \(f"(a) = tan(a) \) este adevărată.

Acum să interpretăm definiția derivatei din punctul de vedere al egalităților aproximative. Fie ca funcția \(y = f(x)\) să aibă o derivată într-un anumit punct \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x egalitatea aproximativă \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), adică \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Semnificația semnificativă a egalității aproximative rezultate este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei în punct dat X. De exemplu, pentru funcția \(y = x^2\) egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) este validă. Dacă analizăm cu atenție definiția unei derivate, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum se află derivata funcției y = f(x)?

1. Fixați valoarea lui \(x\), găsiți \(f(x)\)
2. Dați argumentului \(x\) o creștere \(\Delta x\), mergeți la un nou punct \(x+ \Delta x \), găsiți \(f(x+ \Delta x) \)
3. Găsiți incrementul funcției: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Creați relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției în punctul x.

Dacă o funcție y = f(x) are o derivată într-un punct x, atunci se numește derivabilă într-un punct x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y = f(x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate între ele continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Apoi o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M(x; f(x)) și, reamintim, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate „rupe” în punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă în punctul x.

Acestea au fost argumente „practice”. Să dăm un raționament mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) este valabilă. Dacă în această egalitate \(\Delta x \) tinde spre zero, atunci \(\Delta y\) va tinde spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Asa de, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este continuă în acel punct.

Afirmația inversă nu este adevărată. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de joncțiune” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat o tangentă nu poate fi trasă la graficul unei funcții, atunci derivata nu există în acel punct.

Încă un exemplu. Funcția \(y=\sqrt(x)\) este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. Dar în acest moment tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x = 0. Coeficientul de pantă o astfel de linie nu are, ceea ce înseamnă că nici \(f"(0) \) nu există

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum se poate concluziona din graficul unei funcții că este diferențiabilă?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat este posibil să se deseneze o tangentă la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul unei funcții nu există sau este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, trebuie să lucrați adesea cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care ușurează această lucrare. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt câteva funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată a unei funcții complexe:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $