Keď sa kosínus rovná sínusu. Pravidlá hľadania goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens

Štúdium trigonometrie začneme pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeňme si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovičný natočený uhol.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je „tupý“ urážkou, ale matematickým výrazom :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje ako . Upozorňujeme, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana protiľahlá uhol A je označený .

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia pravouhlého trojuholníka je strana opačná k pravému uhlu.

Nohy- strany ležiace oproti ostrým uhlom.

Noha ležiaca oproti uhlu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej zo strán uhla, sa nazýva priľahlé.

Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej strany k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej strany k opačnej strane (alebo, ktorý je rovnaký, pomer kosínusu k sínusu):

Všimnite si základné vzťahy pre sínus, kosínus, tangens a kotangens nižšie. Budú sa nám hodiť pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a zapísali vzorce. Prečo však stále potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka sa rovná.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že ak poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany pravouhlého trojuholníka, môžete nájsť tretiu. To znamená, že uhly majú svoj vlastný pomer a strany majú svoj vlastný. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku poznáte jeden uhol (okrem pravého) a jednu stranu, no potrebujete nájsť ostatné strany?

S tým sa ľudia v minulosti stretávali pri tvorbe máp oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež funkcie trigonometrických uhlov- dať vzťahy medzi strany A rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si prosím dve červené čiarky v tabuľke. Pri vhodných hodnotách uhla tangens a kotangens neexistujú.

Pozrime sa na niekoľko problémov s trigonometriou z FIPI Task Bank.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pretože , .

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Poďme to nájsť pomocou Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a. Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Pozreli sme sa na problémy riešenia pravouhlých trojuholníkov – teda hľadanie neznámych strán či uhlov. Ale to nie je všetko! IN Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.

V tomto článku si ukážeme, ako dať definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o zápisoch, uvádzame príklady zápisov a uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uveďme paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.

Navigácia na stránke.

Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu

Pozrime sa, ako sa tvorí myšlienka sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu školský kurz matematiky. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá hovorí o sínusoch, kosíne, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uveďme všetky tieto definície, uveďme príklady a uveďme potrebné komentáre.

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Z kurzu geometrie poznáme definície sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uveďme ich formulácie.

Definícia.

Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone.

Definícia.

Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.

Definícia.

Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku– toto je pomer protiľahlej strany k priľahlej.

Definícia.

Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku- toto je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Zavádzajú sa tam aj označenia sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.

Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru opačnej strany BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.

Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj z známe hodnoty nájdite dĺžky ostatných strán pomocou sínus, kosínus, tangens, kotangens a dĺžku jednej zo strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku sa rameno AC rovná 3 a prepona AB sa rovná 7, potom by sme mohli vypočítať hodnotu kosínusu ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/ AB = 3/7.

Uhol natočenia

V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Veľkosť uhla natočenia na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od −∞ do +∞.

V tomto svetle nie sú definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu dané ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého ide takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po jeho otočení o uhol α okolo bodu O - začiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.

Definícia.

Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1, teda sinα=y.

Definícia.

Kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1, to znamená cosα=x.

Definícia.

Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, to znamená tanα=y/x.

Definícia.

Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, to znamená ctgα=x/y.

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy môžeme určiť úsečku a ordinátu bodu, ktorý získame otočením začiatočného bodu o uhol α. Ale dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1), a to sa vyskytuje pri uhloch 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Pri takýchto uhloch natočenia totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0), a to nastáva pre uhly 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) a kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definície zahŕňajú nám už známe označenia sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť s označením tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens) . Takže sínus uhla rotácie 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, vstupy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú tangente uhla rotácie −24° 17 minút a kotangens uhla rotácie α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad kosínus uhla natočenia tri pi rad sa zvyčajne označuje cos3·π.

Na záver tohto bodu stojí za zmienku, že keď sa hovorí o sínusovom, kosínusovom, tangente a kotangense uhla rotácie, často sa vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto frázy „sínus uhla natočenia alfa“ sa zvyčajne používa fráza „sínus uhla alfa“ alebo ešte kratšia „sínus alfa“. To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.

Povieme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Toto zdôvodníme.

čísla

Definícia.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla rotácie v t radiánoch.

Napríklad kosínus čísla 8·π podľa definície je číslo rovné kosínusu uhla 8·π rad. A kosínus uhla 8·π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8·π rovná 1.

Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v tom, že každý Reálne číslo t je priradené bodu na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Ukážme, ako sa vytvorí korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu:

• číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0);
• kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
• záporné číslo t je spojené s bodom jednotkovej kružnice, do ktorej sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .

Teraz prejdeme k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu na kružnici A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1) ).

Definícia.

Sínus čísla t je ordináta bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda sint=y.

Definícia.

Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda náklady=x.

Definícia.

Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.

Definícia.

Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je táto: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t: ctgt=cena/sint.

Tu poznamenávame, že práve uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku. Bod na jednotkovej kružnici zodpovedajúci číslu t sa totiž zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.

Stále stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme vstup sin3. Ako môžeme pochopiť, či hovoríme o sínuse čísla 3 alebo sínusu uhla natočenia 3 radiánov? To je zvyčajne jasné z kontextu, inak to pravdepodobne nemá zásadný význam.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sinα, ako aj hodnote cosα. Okrem toho všetky uhly otáčania iné ako 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zodpovedajú hodnotám tgα a hodnoty iné ako 180°k, k∈Z (πk rad ) – hodnoty z ctgα. Preto sinα, cosα, tanα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sint, ako aj nákladom. Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z - hodnotám ctgt.

Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, či máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme o nezávislej premennej uvažovať ako o mieri uhla (uhlový argument) aj ako o číselnom argumente.

V škole však študujeme najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Preto ak hovoríme o konkrétne o funkciách je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.

Vzťah medzi definíciami z geometrie a trigonometrie

Ak vezmeme do úvahy uhol rotácie α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, potom definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens uhla rotácie v kontexte trigonometrie sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu. ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú uvedené v kurze geometrie. Zdôvodnime to.

Ukážme si jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Označme začiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y). Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.

Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku uhol A 1 OH rovný uhlu rotácia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, to znamená |OH|=x, dĺžka ramena A 1 H oproti rohu sa rovná ordináte bod A 1, teda |A 1 H|=y, a dĺžka prepony OA 1 je rovná jednej, keďže ide o polomer jednotkovej kružnice. Potom sa podľa definície z geometrie sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, keď α je od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 ročníkov: učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra a elementárne funkcie: Návod pre žiakov 9. ročníka strednej školy / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vydanie. M.: Školstvo, 1969.
4. Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník O 14.00 hod. 1. časť: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie ( úroveň profilu)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Sínus je jedným z hlavných goniometrické funkcie, ktorej aplikácia nie je obmedzená len na geometriu. Tabuľky na výpočet goniometrických funkcií, ako napríklad inžinierske kalkulačky, nie sú vždy po ruke a výpočet sínusu je niekedy potrebný na riešenie rôznych problémov. Vo všeobecnosti výpočet sínusu pomôže upevniť zručnosti kreslenia a znalosti trigonometrických identít.

Hry s pravítkom a ceruzkou

Jednoduchá úloha: ako nájsť sínus uhla nakresleného na papieri? Na vyriešenie budete potrebovať bežné pravítko, trojuholník (alebo kompas) a ceruzku. Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať sínus uhla, je vydeliť vzdialenú časť trojuholníka s pravým uhlom dlhou stranou - preponou. Najprv teda musíte dokončiť ostrý uhol do tvaru pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary kolmej na jeden z lúčov v ľubovoľnej vzdialenosti od vrcholu uhla. Budeme musieť zachovať uhol presne 90°, na čo potrebujeme klerikálny trojuholník.

Používanie kompasu je o niečo presnejšie, ale zaberie to viac času. Na jednom z lúčov musíte označiť 2 body v určitej vzdialenosti, nastaviť polomer na kompase približne rovnaký ako vzdialenosť medzi bodmi a nakresliť polkruhy so stredmi v týchto bodoch, kým sa nedosiahnu priesečníky týchto čiar. Vzájomným spojením priesečníkov našich kružníc dostaneme prísnu kolmicu na lúč nášho uhla, zostáva len predĺžiť čiaru, kým sa nepretne s iným lúčom.

Vo výslednom trojuholníku musíte pomocou pravítka zmerať stranu oproti rohu a dlhú stranu na jednom z lúčov. Pomer prvého rozmeru k druhému bude požadovaná hodnota sínusu ostrého uhla.

Nájdite sínus pre uhol väčší ako 90°

Pre tupý uhol nie je úloha oveľa ťažšia. Musíme pomocou pravítka nakresliť lúč z vrcholu v opačnom smere, aby sme vytvorili priamku s jedným z lúčov uhla, ktorý nás zaujíma. S prijatými ostrý uhol by mali postupovať tak, ako je popísané vyššie, sínusy priľahlé rohy, ktoré spolu tvoria spätný uhol 180°, sú rovnaké.

Výpočet sínusu pomocou iných goniometrických funkcií

Výpočet sínusu je tiež možný, ak sú známe hodnoty iných goniometrických funkcií uhla alebo aspoň dĺžky strán trojuholníka. Pomôžu nám s tým trigonometrické identity. Pozrime sa na bežné príklady.

Ako nájsť sínus so známym kosínusom uhla? Prvá trigonometrická identita, založená na Pytagorovej vete, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu toho istého uhla sa rovná jednej.

Ako nájsť sínus so známou dotyčnicou uhla? Tangenta sa získa vydelením vzdialenej strany blízkou stranou alebo delením sínusu kosínusom. Sínus teda bude súčinom kosínusu a dotyčnice a druhá mocnina sínusu bude druhou mocninou tohto súčinu. Druhý mocninový kosínus nahradíme rozdielom medzi jednotou a druhým sínusom podľa prvej goniometrickej identity a jednoduchými manipuláciami zredukujeme rovnicu na výpočet druhého sínusu cez dotyčnicu; podľa toho na výpočet sínusu budete musieť extrahovať koreň získaného výsledku.

Ako nájsť sínus so známym kotangensom uhla? Hodnotu kotangensu možno vypočítať vydelením dĺžky nohy, ktorá je najbližšie k uhlu, dĺžkou vzdialenejšej časti, ako aj vydelením kosínusu sínusom, to znamená, že kotangens je funkcia inverzná k relatívnej dotyčnici. k číslu 1. Na výpočet sínusu môžete vypočítať dotyčnicu pomocou vzorca tg α = 1 / ctg α a použiť vzorec v druhej možnosti. Môžete tiež odvodiť priamy vzorec analogicky s tangensom, ktorý bude vyzerať takto.

Ako nájsť sínus troch strán trojuholníka

Existuje vzorec na zistenie dĺžky neznámej strany ľubovoľného trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka, z dvoch známych strán pomocou trigonometrickej funkcie kosínusu opačného uhla. Vyzerá takto.

No, sínus sa dá ďalej vypočítať z kosínusu podľa vzorcov vyššie.

Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia

|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Tangenta ( opálenie α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .

Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .

Tangenta

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.

Graf funkcie dotyčnice, y = tan x

Kotangens

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Akceptované sú aj nasledujúce zápisy:
;
;
.

Graf funkcie kotangens, y = ctg x

Vlastnosti dotyčnice a kotangens

Periodicita

Funkcie y = tg x a y = ctg x sú periodické s periódou π.

Parita

Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.

Oblasti definície a hodnôt, rastúce, klesajúce

Dotykové a kotangens funkcie sú spojité vo svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangens a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé).

	y = tg x	y = ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnôt	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zvyšovanie		-
Zostupne	-
Extrémy	-	-
Nuly, y = 0
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	y = 0	-

Vzorce

Výrazy využívajúce sínus a kosínus

; ;
; ;
;

Vzorce pre tangens a kotangens zo súčtu a rozdielu

Zostávajúce vzorce sa dajú ľahko získať napr

Súčin dotyčníc

Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc

Táto tabuľka predstavuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre určité hodnoty argumentu.

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; .

.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >

Integrály

Rozšírenia série

Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy navzájom, . Takto sa získajú nasledujúce vzorce.

o .

v .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca:

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie tangens a kotangens sú arkustangens a arkotangens.

Arctangens, arctg

, Kde n- celý.

Arckotangens, arcctg

, Kde n- celý.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov, 2012.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla vám pomôže pochopiť pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana \(AC\)); nohy sú dve zostávajúce strany \(AB\) a \(BC\) (tie susediace s pravý uhol), a ak vezmeme nohy do úvahy vzhľadom na uhol \(BC\) , potom noha \(AB\) je susedná noha, a noha \(BC\) je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla– to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosínus uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta uhla– ide o pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).

V našom trojuholníku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

V našom trojuholníku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:

Uvažujme napríklad kosínus uhla \(\beta \) . Podľa definície z trojuholníka \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale môžeme vypočítať kosínus uhla \(\beta \) z trojuholníka \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!

Pre trojuholník \(ABC \) zobrazený na obrázku nižšie nájdeme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(pole)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(pole) \)

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol \(\beta \) .

Odpovede: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným \(1\) . Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi \(x\) (v našom príklade toto je polomer \(AB\)).

Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi \(x\) a súradnici pozdĺž osi \(y\). Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Uvažujme trojuholník \(ACG\) . Je obdĺžnikový, pretože \(CG\) je kolmý na os \(x\).

Čo je \(\cos \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? To je správne \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Okrem toho vieme, že \(AC\) je polomer jednotkovej kružnice, čo znamená \(AC=1\) . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Čomu sa rovná \(\sin \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? no, samozrejme, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Dosaďte hodnotu polomeru \(AC\) do tohto vzorca a získajte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Viete teda povedať, aké súradnice má bod \(C\) patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si uvedomíte, že \(\cos \ \alpha \) a \(\sin \alpha \) sú len čísla? Akej súradnici zodpovedá \(\cos \alpha \)? No, samozrejme, súradnice \(x\)! A akej súradnici zodpovedá \(\sin \alpha \)? Správne, koordinujte \(y\)! Takže pointa \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čomu sa potom \(tg \alpha \) a \(ctg \alpha \) rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : uhol (ako susediaci s uhlom \(\beta \) ). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

\(\začiatok(pole)(l)\sin \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\uhol ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(pole) \)

No ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici \(y\) ; hodnota kosínusu uhla - súradnice \(x\) ; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi \(x\). Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek – negatívne.

Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je \(360()^\circ \) alebo \(2\pi \) . Je možné otočiť vektor polomeru o \(390()^\circ \) alebo o \(-1140()^\circ \)? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa na pozícii \(30()^\circ \) alebo \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V druhom prípade \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa na pozícii \(-60()^\circ \) alebo \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o \(360()^\circ \cdot m \) alebo \(2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo ), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol \(\beta =-60()^\circ \) . Rovnaký obrázok zodpovedá rohu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) alebo \(\beta +2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo)

\(\begin(pole)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(pole) \)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:

\(\begin(pole)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(pole) \)

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:

\(\begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(pole)\)

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh dovnútra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) zodpovedá bodu so súradnicami \(\left(0;1 \right) \), preto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 90()^\circ \)- neexistuje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) zodpovedajú bodom so súradnicami \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \vpravo) \), resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

Odpovede:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ \pi \)- neexistuje

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 270()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ 2\pi \)- neexistuje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

\(\left. \begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(pole) \right\)\\text(Musíte si to zapamätať alebo vedieť zobraziť!! \) !}

Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) v tabuľke nižšie si musíte pamätať:

Nebojte sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduchého zapamätania zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v \(30()^\circ \) . Keď poznáte tieto \(4\) hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

\(\begin(pole)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \koniec (pole) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ak to viete, môžete obnoviť hodnoty pre \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Čitateľ "\(1 \)" bude zodpovedať \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) a menovateľ "\(\sqrt(\text(3)) \)" bude zodpovedať \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si iba \(4\) hodnoty z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, ak poznáme súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia? No, samozrejme, že môžete! Odvoďme si všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu. Napríklad tu je kruh pred nami:

Je nám daný bod \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- stred kruhu. Polomer kruhu je \(1,5\) . Je potrebné nájsť súradnice bodu \(P\) získané otočením bodu \(O\) o \(\delta \) stupňov.

Ako vidno z obrázku, súradnica \(x\) bodu \(P\) zodpovedá dĺžke úsečky \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dĺžka segmentu \(UK\) zodpovedá súradnici \(x\) stredu kruhu, to znamená, že sa rovná \(3\) . Dĺžka segmentu \(KQ\) môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potom máme pre bod \(P\) súradnicu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod \(P\) . teda

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:

\(\začiatok(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(pole) \), Kde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - súradnice stredu kruhu,

\(r\) - polomer kruhu,

\(\delta \) - uhol natočenia polomeru vektora.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:

\(\begin(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(pole) \)

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!