Najmenšia a najväčšia hodnota funkcie v segmente. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie v segmente

Drahí priatelia! Do skupiny úloh súvisiacich s derivátom patria úlohy - podmienka dáva graf funkcie, niekoľko bodov na tomto grafe a otázka znie:

V ktorom okamihu je hodnota derivácie najväčšia (najmenšia)?

Zopakujme si v krátkosti:

Derivácia v bode sa rovná sklonu dotyčnice prechádzajúcejtento bod na grafe.
Maťglobálny koeficient dotyčnice sa zase rovná dotyčnici uhla sklonu tejto dotyčnice.

* Týka sa to uhla medzi dotyčnicou a úsečkou.

1. V intervaloch zvyšovania funkcie má derivácia kladnú hodnotu.

2. V intervaloch jeho poklesu má derivácia zápornú hodnotu.

Zvážte nasledujúci náčrt:

V bodoch 1,2,4 má derivácia funkcie zápornú hodnotu, pretože tieto body patria do intervalov klesania.

V bodoch 3,5,6 má derivácia funkcie kladnú hodnotu, pretože tieto body patria do rastúcich intervalov.

Ako vidíte, s hodnotou derivácie je všetko jasné, to znamená, že nie je ťažké určiť, aké má znamienko (kladné alebo záporné) v určitom bode grafu.

Navyše, ak v týchto bodoch mentálne zostrojíme dotyčnice, uvidíme, že priamky prechádzajúce bodmi 3, 5 a 6 tvoria uhly s osou oX ležiacou v rozmedzí od 0 do 90 o a priamky prechádzajúce bodmi 1 , 2 a 4 sa formujú s uhlami osi O v rozmedzí od 90 ° do 180 °.

* Vzťah je jasný: dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi do intervalov zväčšujúcej sa funkcie tvoria ostré uhly s osou oX, dotyčnice prechádzajúce bodmi patriacimi do intervalov zmenšujúcich sa funkcií vytvárajú tupé uhly s osou oX.

Teraz k dôležitej otázke!

Ako sa mení hodnota derivátu? Tangenta nakoniec v rôznych bodoch grafu spojitej funkcie utvára rôzne uhly, podľa toho, ktorým bodom v grafe prechádza.

* Alebo zjednodušene povedané, dotyčnica je umiestnená akoby „vodorovne“ alebo „zvisle“. Pozri sa:

Priame čiary tvoria uhly s osou ОХ v rozmedzí od 0 do 90 °

Priame čiary tvoria uhly s osou ОХ v rozmedzí od 90 ° do 180 °

Preto ak existujú otázky:

- v ktorom z týchto bodov grafu má derivácia najmenšiu hodnotu?

- v ktorom z týchto bodov grafu má derivačná hodnota najväčšiu hodnotu?

potom pre odpoveď je potrebné pochopiť, ako sa mení hodnota dotyčnice uhla dotyčnice v rozsahu od 0 do 180 °.

* Ako už bolo spomenuté, hodnota derivácie funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla sklonu dotyčnice k osi oX.

Hodnota dotyčnice sa mení takto:

Keď sa uhol sklonu priamky zmení z 0 o na 90 o, hodnota dotyčnice a teda aj derivácie sa zmení z 0 na + ∞;

Keď sa uhol sklonu priamky zmení z 90 ° na 180 °, hodnota dotyčnice a teda aj derivácie sa zmení z –∞ na 0.

To je zrejmé z grafu funkcie tangens:

Jednoducho povedané:

V uhle sklonu dotyčnice od 0 o do 90 o

Čím je to bližšie k 0 о, tým viac sa hodnota derivácie bude blížiť k nule (na kladnej strane).

Čím je uhol bližší k 90 °, tým viac sa bude hodnota derivácie zvyšovať smerom k + ∞.

V uhle sklonu dotyčnice od 90 o do 180 o

Čím je to bližšie k 90 °, tým viac sa hodnota derivácie zníži na –∞.

Čím je uhol bližší k 180 °, tým viac sa hodnota derivácie bude blížiť k nule (na negatívnej strane).

317543. Na obrázku je graf funkcie y \u003d f(x) a označené body–2, –1, 1, 2. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivácie najväčšia? Tento bod uveďte vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva z nich patria do intervalov, v ktorých funkcia klesá (to sú body –1 a 1), a dva intervaly, v ktorých sa funkcia zväčšuje (to sú body –2 a 2).

Okamžite môžeme konštatovať, že v bodoch –1 a 1 má derivácia zápornú hodnotu, v bodoch –2 a 2 kladnú hodnotu. Preto je v tomto prípade potrebné analyzovať body –2 a 2 a určiť, v ktorých z nich bude hodnota najväčšia. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce uvedenými bodmi:

Dotyčnica uhla medzi priamkou a a osou úsečky bude väčšia ako dotyčnica uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivácie v bode –2 bude najväčšia.

Odpovedzme si na nasledujúcu otázku: v ktorom z bodov –2, –1, 1 alebo 2 je hodnota derivácie najväčším záporom? Tento bod uveďte vo svojej odpovedi.

Derivácia bude mať zápornú hodnotu v bodoch patriacich k intervalom klesania, preto zvážte body –2 a 1. Zostrojte dotyčnice prechádzajúce nimi:

Vidíme, že tupý uhol medzi priamkou b a osou oX je „bližšie“ k 180 o , preto jeho dotyčnica bude väčšia ako dotyčnica uhla tvoreného priamkou a a osou oX.

V bode x \u003d 1 bude teda hodnota derivácie najväčším záporom.

317544. Na obrázku je graf funkcie y \u003d f(x) a označené body–2, –1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je hodnota derivácie najmenšia? Tento bod uveďte vo svojej odpovedi.

Máme štyri body: dva z nich patria do intervalov, v ktorých funkcia klesá (sú to body –1 a 4), a dva intervaly, v ktorých sa funkcia zväčšuje (to sú body –2 a 1).

Okamžite môžeme konštatovať, že v bodoch –1 a 4 má derivácia zápornú hodnotu, v bodoch –2 a 1 kladnú hodnotu. Preto je v tomto prípade potrebné analyzovať body –1 a 4 a určiť - v ktorých z nich bude hodnota najmenšia. Zostrojme dotyčnice prechádzajúce naznačenými bodmi:

Dotyčnica uhla medzi priamkou a a osou úsečky bude väčšia ako dotyčnica uhla medzi priamkou b a touto osou. To znamená, že hodnota derivácie v bode x \u003d 4 bude najmenšia.

Odpoveď: 4

Dúfam, že som vás tým „písaním“ „nezahltil“. V skutočnosti je všetko veľmi jednoduché, musíte iba pochopiť vlastnosti derivácie, jej geometrický význam a to, ako sa hodnota dotyčnice uhla mení z 0 na 180 °.

1. Najskôr určite znaky derivácie v daných bodoch (+ alebo -) a vyberte potrebné body (v závislosti od položenej otázky).

2. Nakreslite dotyčnice v týchto bodoch.

3. Pomocou tangeoidného grafu načrtnite uhly a zobrazte ichAlexander.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste nám o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Aký je dôvod? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, stanovenie optimálneho zaťaženia zariadenia ... Inými slovami, v mnohých sférach života je potrebné vyriešiť problém optimalizácie akýchkoľvek parametrov. A to sú úlohy hľadania najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne vyhľadáva v nejakom intervale X, ktorým je buď celá doména funkcie alebo časť domény. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku si povieme niečo o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y \u003d f (x).

Navigácia po stránke.

Najvyššia a najnižšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

V krátkosti sa pozrime na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie to pre hocikoho nerovnosť je pravda.

Najmenšia hodnota funkcie y \u003d f (x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota to pre hocikoho nerovnosť je pravda.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota v uvažovanom intervale na úsečke.

Stacionárne body Sú hodnoty argumentu, pri ktorých derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčšej a najmenšej hodnoty? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda z tohto intervalu často berie svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov.

Funkcia môže tiež často mať najväčšiu a najmenšiu hodnotu v bodoch, v ktorých neexistuje prvá derivácia tejto funkcie a je definovaná samotná funkcia.

Poďme si okamžite odpovedať na jednu z najbežnejších otázok k tejto téme: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami domény definície funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie na nekonečno a na hraniciach definičnej oblasti môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch sa nedá povedať nič o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre názornosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a veľa sa ukáže.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia berie najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6; 6].

Zvážte prípad znázornený na druhom obrázku. Zmeňte segment na. V tomto príklade je najmenšia hodnota funkcie dosiahnutá v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s úsečkou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

V otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia berie najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch nachádzajúcich sa v otvorenom intervale (-6; 6).

Z intervalu nemožno vyvodiť nijaké závery o najväčšej hodnote.

Na nekonečno

V príklade zobrazenom na siedmom obrázku berie funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v nehybnom bode s osou x \u003d 1 a najmenšia hodnota (min y) sa dosiahne na pravom okraji intervalu. Pri mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y \u003d 3.

V intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď máme tendenciu k x \u003d 2 vpravo, hodnoty funkcie majú sklon k mínus nekonečnu (priama čiara x \u003d 2 je vertikálny asymptot), a keď má úsečka tendenciu plus nekonečno, hodnoty funkcie asymptoticky priblížiť y \u003d 3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na vyhľadanie najväčšej a najmenšej hodnoty spojitej funkcie v segmente.

Poďme napísať algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v segmente.

Nájdite doménu funkcie a skontrolujte, či obsahuje celý segment.
Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne sa také body nachádzajú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v silových funkciách s frakčným racionálnym exponentom). Ak také body nie sú, prejdite na nasledujúcu položku.
Určte všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme to na nulu, vyriešime výslednú rovnicu a zvolíme príslušné korene. Ak nie sú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na nasledujúcu položku.
Vypočítame hodnoty funkcie vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj pre x \u003d a a x \u003d b.
Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - pôjde o požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie v segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

na segmente;
na segmente [-4; -1].

Rozhodnutie.

Doménou funkcie je celá množina reálnych čísel, teda okrem nuly. Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4; -1].

Stacionárne body sa určia z rovnice. Jediný platný koreň je x \u003d 2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

Pre prvý prípad vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a na stacionárnom bode, to znamená pre x \u003d 1, x \u003d 2 a x \u003d 4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x \u003d 1 a najmenšej hodnote - pre x \u003d 2.

Pre druhý prípad vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4; -1] (pretože neobsahuje jediný stacionárny bod):

Problémy B15 niekedy narazia na „zlé“ funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo iba na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na skutočnú skúšku.

V takom prípade fungujú ďalšie triky, z ktorých jeden je - monotónny.

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne zväčšujúca sa na segmente, ak pre akékoľvek body x 1 a x 2 tohto segmentu platí toto:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne klesajúca na segmente, ak pre všetky body x 1 a x 2 tohto segmentu platí toto:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).

Inými slovami, pre zväčšujúcu sa funkciu platí, čím väčšie je x, tým väčšie je f (x). Pri klesajúcej funkcii platí opak: čím väčšie x, tým menej f (x).

Napríklad logaritmus sa monotónne zvyšuje, ak je báza a\u003e 1, a monotónne klesá, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Aritmetická druhá odmocnina (a nielen druhá odmocnina) sa zvyšuje monotónne v celej definičnej oblasti:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pre\u003e 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Nakoniec záporné exponenty. Môžete ich napísať ako zlomok. Majte bod nespojitosti, v ktorom je narušená monotónnosť.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú v čistej podobe. Pridávajú polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké spočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Parabolové vrcholné súradnice

Najčastejšie je argument funkcie nahradený štvorcový trojčlen tvaru y \u003d sekera 2 + bx + c. Jeho graf je štandardnou parabolou, o ktorú sa zaujímame:

Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pri\u003e 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Vrchol paraboly je krajný bod kvadratickej funkcie, v ktorom táto funkcia zaujme najmenší (pre\u003e 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčší záujem je presne vrchol paraboly, ktorého úsečka sa počíta podľa vzorca:

Našli sme teda extrémny bod kvadratickej funkcie. Ale ak je pôvodná funkcia monotónna, bude pre ňu bod x 0 tiež extrémnym bodom. Sformulujeme teda kľúčové pravidlo:

Krajné body kvadratickej trojčlenky a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete vyhľadať x 0 pre štvorcový trojuholník a skórovať podľa funkcie.

Z vyššie uvedeného dôvodu zostáva nejasné, ktorý bod dostaneme: maximálny alebo minimálny. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby to nevadilo. Posúďte sami:

Vo vyhlásení o probléme nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f (a) a f (b). Zostáva brať do úvahy iba krajné body;
Existuje ale iba jeden takýto bod - to je vrchol paraboly x 0, ktorého súradnice sa počítajú doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a pozostáva iba z dvoch krokov:

Napíšte rovnicu paraboly y \u003d ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol podľa vzorca: x 0 \u003d −b / 2a;
Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, bude to odpoveď.

Na prvý pohľad sa môže zdať tento algoritmus a jeho zdôvodnenie odstrašujúce. Zámerne nezverejňujem „holé“ riešenie, pretože bezohľadné uplatňovanie týchto pravidiel je plné chýb.

Zvážte skutočné problémy zo skúšobnej skúšky z matematiky - tu sa najčastejšie stretávame s touto technikou. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom stalo veľa úloh B15 takmer slovných.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 1) \u003d −6/2 \u003d −3

Pretože vetvy paraboly smerujú nahor, v bode x 0 \u003d −3 má funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Koreň sa monotónne zväčšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y \u003d denník 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami hore, keďže a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −2 / (2 1) \u003d −2/2 \u003d −1

Takže v bode x 0 \u003d −1 má kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y \u003d log 2 x je monotónna, preto:

y min \u003d y (−1) \u003d log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Exponent obsahuje kvadratickú funkciu y \u003d 1 - 4x - x 2. Prepíšme to do normálnej formy: y \u003d −x 2 - 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a \u003d −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 (−1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 \u003d −2:

Pozorný čitateľ si pravdepodobne všimne, že sme nevypísali rozsah prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. To však nebolo potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy kladné.

Dôsledky z domény funkcie

Na vyriešenie úlohy B15 niekedy nestačí nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak v probléme nie je uvedený vôbec žiadny segment, pozrieme sa na rozsah platných hodnôt pôvodná funkcia. Menovite:

Ešte raz si všimnite: nula môže byť úplne pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateli zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa smerom nadol, pretože a \u003d −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme rozsah prípustných hodnôt (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz nájdeme vrchol paraboly:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 (−1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d −1

Bod x 0 \u003d −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz vypočítame hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

Takže sme dostali čísla 2 a 0. Žiada sa nás, aby sme našli najväčšiu - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y \u003d log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu sa nachádza kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť žiadne záporné čísla, preto napíšeme ODZ:

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, takže konce nepatria ODZ. Takto sa logaritmus líši od koreňa, kde sú pre nás konce segmentu celkom vhodné.

Hľadáme vrchol paraboly:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 (−1)) \u003d −6 / (- 2) \u003d 3

Vrchol paraboly je vhodný pre ODV: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Ale pretože nás nezaujímajú konce segmentu, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0,5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d −2

Ako nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v segmente?

Pre to postupujeme podľa známeho algoritmu:

1 ... Nájdeme funkciu ODZ.

2 ... Nájdite deriváciu funkcie

3 ... Rovnanie derivácie na nulu

4 ... Nájdeme intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko, a z nich určíme intervaly zväčšenia a zmenšenia funkcie:

Ak je na intervale I derivácia funkcie 0 "title \u003d" (! LANG: f ^ (prime) (x)\u003e 0">, то функция !} zvyšuje v tomto intervale.

Ak je derivácia funkcie na intervale I, potom funkcia v tomto intervale klesá.

5 ... Nájdeme maximálny a minimálny bod funkcie.

IN maximálny bod funkcie, derivácia zmení znamienko z „+“ na „-“.

IN minimálny bod funkcie znamienko zmeny derivácie z „-“ na „+“.

6 ... Nájdite hodnotu funkcie na koncoch segmentu,

potom porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a na maximálnych bodoch a vyberte najväčšiu z nich, ak potrebujeme nájsť najväčšiu hodnotu funkcie
alebo porovnajte hodnotu funkcie na koncoch segmentu a na minimálnych bodoch a vyberte najmenšiu z nich, ak potrebujeme nájsť najmenšiu hodnotu funkcie

Avšak v závislosti od toho, ako sa funkcia chová v segmente, je možné tento algoritmus výrazne znížiť.

Zvážte funkciu ... Graf tejto funkcie vyzerá takto:

Uvažujme o niekoľkých príkladoch riešenia problémov z Open Bank úloh pre

jeden. Úloha B15 (# 26695)

Na segmente.

1. Funkcia je definovaná pre všetky skutočné hodnoty x

Je zrejmé, že tieto rovnice nemajú riešenie a derivácia je pozitívna pre všetky hodnoty x. V dôsledku toho sa funkcia zvyšuje a svoju najväčšiu hodnotu nadobúda na pravom konci intervalu, to znamená na x \u003d 0.

Odpoveď: 5.

2 . Úloha B15 (# 26702)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Funkcie ODZ title \u003d "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

Derivácia sa rovná nule, avšak v týchto bodoch nemení znamienko:

Preto title \u003d "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))\u003e \u003d 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3\u003e \u003d 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} sa zvyšuje a má najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, o.

Aby bolo zrejmé, prečo derivácia nemení znamienko, transformujeme výraz pre deriváciu takto:

Title \u003d "(! LANG: y ^ (prime) \u003d 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 \u003d (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) \u003d (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) \u003d 3 tg ^ 2 (x)\u003e \u003d 0">!}

Odpoveď: 5.

3. Úloha B15 (# 26708)

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie v segmente.

1. Funkcia ODZ: title \u003d "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

Korene tejto rovnice umiestnime na trigonometrický kruh.

Medzi nimi sú dve čísla: a

Umiestnime značky. Za týmto účelom definujeme znamienko derivácie v bode x \u003d 0: ... Pri prechode cez body a derivačné zmeny sa podpíše.

Predstavme zmenu znamienok derivácie funkcie na súradnicovej čiare:

Je zrejmé, že bod je minimálny bod (v ňom sa derivačný znak zmeny z „-“ na „+“) a na nájdenie najmenšej hodnoty funkcie v segmente je potrebné porovnať hodnoty funkcie na minimálny bod a na ľavom konci segmentu.

Nechajte funkciu y \u003df (X) je spojitá v segmente [ a, b]. Ako viete, takáto funkcia v tomto segmente dosahuje najväčšie a najmenšie hodnoty. Funkcia môže nadobúdať tieto hodnoty buď vo vnútornom bode segmentu [ a, b] alebo na hranici segmentu.

Vyhľadanie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie v segmente [ a, b] je to nevyhnutné:

1) nájdite kritické body funkcie v intervale ( a, b);

2) vypočítajte hodnoty funkcie v nájdených kritických bodoch;

3) vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu, to znamená pre x= a a x \u003d b;

4) vyberte najväčšiu a najmenšiu zo všetkých vypočítaných hodnôt funkcie.

Príklad. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií

na segmente.

Nájdite kritické body:

Tieto body ležia vo vnútri úsečky; r(1) = ‒ 3; r(2) = ‒ 4; r(0) = ‒ 8; r(3) = 1;

v bode x\u003d 3 a v bode x= 0.

Vyšetrenie funkcie pre konvexitu a inflexný bod.

Funkcia r = f (x) zavolal konvexné hore medzi (a, b) ak jeho graf leží pod dotyčnicou nakreslenou v ktoromkoľvek bode tohto intervalu a je volaný konvexné nadol (konkávne)ak jeho graf leží nad dotyčnicou.

Bod, pri prechode ktorým je konvexnosť nahradená konkávnosťou alebo naopak, sa nazýva inflexný bod.

Študijný algoritmus pre konvexitu a inflexný bod:

1. Nájdite kritické body druhého druhu, to znamená body, v ktorých je druhá derivácia nulová alebo neexistuje.

2. Nakreslite kritické body na číselnú čiaru rozdelením do intervalov. Nájdite znamienko druhej derivácie v každom intervale; ak, potom je funkcia konvexná smerom nahor; ak, potom je funkcia konvexná smerom dole.

3. Ak sa pri prechode kritickým bodom druhého druhu zmení znamienko a v tomto bode sa druhá derivácia rovná nule, potom je tento bod úsečkou inflexného bodu. Nájdi jej súradnicu.

Asymptoty grafu funkcie. Vyšetrenie funkcie pre asymptoty.

Definícia.Asymptota grafu funkcie sa nazýva rovno, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu grafu k tejto priamke má tendenciu k nule s neobmedzenou vzdialenosťou od bodu grafu od počiatku.

Existujú tri typy asymptotov: vertikálne, horizontálne a naklonené.

Definícia. Priama čiara sa nazýva vertikálny asymptotfunkčná grafika y \u003d f (x)ak sa aspoň jeden z jednostranných limitov funkcie v tomto bode rovná nekonečnu, to znamená

kde je bod diskontinuity funkcie, to znamená, že nepatrí do definičnej oblasti.

Príklad.

D ( r) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x\u003d 2 - bod zlomu.

Definícia.Rovno y \u003dA zavolal horizontálny asymptot funkčná grafika y \u003d f (x) o, ak

Príklad.

x
r

Definícia.Rovno y \u003dkx +b (kCalled 0) sa volá šikmý asymptot funkčná grafika y \u003d f (x) kde

Všeobecná schéma pre štúdium funkcií a vykreslenie.

Algoritmus výskumu funkciíy \u003d f (x) :

1. Nájdite doménu funkcie D (r).

2. Nájdite (ak je to možné) priesečníky grafu s osami súradníc (pre x \u003d 0 a pre r = 0).

3. Preskúmajte rovnomernosť a zvláštnosť funkcie ( r (‒ x) = r (x) ‒ parita; r(‒ x) = ‒ r (x) ‒ zvláštnosť).

4. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

5. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie.

6. Nájdite extrémy funkcie.

7. Nájdite intervaly konvexity (konkávnosti) a inflexných bodov grafu funkcie.

8. Na základe vykonaného výskumu si zostavte graf funkcie.

Príklad.Preskúmajte funkciu a vykreslite ju.

1) D (r) =

x \u003d 4 - bod zlomu.

2) Kedy x = 0,

(0; - 5) - priesečník s oy.

Kedy r = 0,

3) r(‒ x)= všeobecná funkcia (ani párna, ani nepárna).

4) Vyšetrite asymptoty.

a) vertikálne

b) horizontálne

c) kde nájdete šikmé asymptoty

- Šikmá asymptotová rovnica

5) V tejto rovnici sa nevyžaduje zisťovanie intervalov monotónnosti funkcie.

Tieto kritické body rozdelia celú doménu funkcie na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; + ∞). Získané výsledky je vhodné prezentovať vo forme nasledujúcej tabuľky.