Násobenie a delenie desatinných miest. Delenie desatinným zlomkom – Knowledge Hypermarket

Rozdelenie podľa desiatkový redukuje na delenie prirodzeným číslom.

Pravidlo na delenie čísla desatinným zlomkom

Ak chcete deliť číslo desatinným zlomkom, musíte posunúť desatinnú čiarku v deliteľovi aj v deliteľovi o toľko číslic doprava, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou. Potom vydeľte prirodzeným číslom.

Príklady.

Deliť desatinným zlomkom:

Ak chcete deliť desatinnou čiarkou, musíte posunúť desatinnú čiarku v deliteľovi aj v deliteľovi o toľko číslic doprava, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi, teda o jednu číslicu. Získame: 35,1: 1,8 = 351: 18. Teraz vykonáme rozdelenie s rohom. V dôsledku toho dostaneme: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Pri delení desatinných zlomkov v deliteľovi aj v deliteľovi posunieme desatinnú čiarku o jedno správne miesto: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Teraz vykonáme prirodzené číslo. Výsledok: 14,76: 3,6 = 4,1.

Ak chcete rozdeliť prirodzené číslo desatinným zlomkom, musíte posunúť deliteľa aj deliteľa doprava o toľko miest, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou. Keďže sa v tomto prípade čiarka do deliteľa nepíše, chýbajúci počet znakov doplníme nulami: 70: 1,75 = 7000: 175. Výsledné prirodzené čísla vydelíme rohom: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Aby sme vydelili jeden desatinný zlomok druhým, posunieme desatinnú čiarku doprava v deleni aj v deliteľovi o toľko číslic, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou, teda o tri desatinné miesta. Teda 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58. Delenie desatinným zlomkom bolo nahradené delením prirodzeným číslom. Máme spoločný kútik. Máme: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Ako násobiť a deliť desatinné miesta?

1. Nebojte sa a neponáhľajte sa.
2. 
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   

   
   Napríklad: 1,1 0,2 = 0,22
   Napríklad: 22 0,1 = 2,2
   22: 10 = 2,2

3. Ak má desatinný zlomok čiarku, potom pri vynásobení 10, 100, 1000 sa desatinná čiarka posunie doprava o 1 2 alebo 3 číslice 0,234*10=2,34 0,234*100=23,4
   ak nemá čiarku, potom sa vzadu pridá 0 00 alebo 000 23*10=230
   pri delení sa čiarka posunie doľava o 1 2 alebo 3 číslice 234/100=2/34
4. 2
   Stále budete musieť násobiť čísla, ale musíte pochopiť, ako sa mení pozícia desatinnej čiarky. Môžete sformulovať určité pravidlo, ale aby ste mu porozumeli, musíte pochopiť, ako sa desatinné zlomky prevádzajú na obyčajné zlomky a ako sa obyčajné zlomky násobia.

   Na vyjadrenie desatinného zlomku vo forme obyčajného zlomku musíte toto číslo zapísať do čitateľa bez desatinnej čiarky a do menovateľa číslo typu jedna a toľko núl, koľko bolo oddelených desatinných miest v desatinnej čiarke. zlomok (teda v menovateli čísel 10, 100, 1000 atď. Ďalej).

   Napríklad číslo 1,238 v tvare obyčajného zlomku možno zapísať ako 12381000 v čitateli rovnaké číslo, ale bez čiarky a v menovateli 1000 je jedna a tri nuly, keďže v 1,238 čiarka oddeľuje tri číslice .

   V tomto príklade budú zlomky 5410, 710 a 2810.

   Podobne v opačnom smere, ak je menovateľom jedna s nulami: v čitateli oddeľuje čiarka toľko miest, koľko bolo núl v menovateli. Napríklad:

   537100=5,37
   Ďalej zvážime otázku násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Pri násobení obyčajných zlomkov je čitateľ výsledku súčinom čitateľov faktorov a menovateľ výsledku súčinom menovateľov faktorov. Napríklad:

   3752=3572=1514
   Pri delení jedného desatinného zlomku druhým sa delený zlomok obráti a prvý zlomok sa ním vynásobí. Napríklad:

   3475=3457=1528
   Teraz sa pozrime, ako sa násobia desatinné miesta. Zoberme si dva zlomky, predstavme ich ako obyčajné zlomky, vynásobme ich a napíšme znova ako desatinné miesta:

   5,40,7=5410710=547100=378100=3,78

5. 4,15*10 = 41,5 – jedna 0 znamená, že za desatinnou čiarkou bude 1 číslica.
   Tiež 3.12*1000=3120 - čiarku odstraňujeme, pretože nie je dostatok čísel
   To je všetko.
6. pri násobení: vynásobte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom
   pri delení: prvý zlomok necháme rovnaký a druhý otočíme a potom sa riadime pravidlom násobenia
7. Vynásobíte ako čísla bez čiarky a potom vo výslednom výsledku oddelíte toľko znamienok (sprava doľava), koľko je znamienok v oboch faktoroch spolu
8. Pri násobení desatinného zlomku 10, 100, 1000 atď. je potrebné posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku doprava o toľko miest, koľko núl je v násobiteľi. Napríklad:
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.

   Násobenie dvoch desatinných zlomkov sa vykonáva takto: Čísla sa násobia bez zohľadnenia čiarok. Čiarka v produkte je umiestnená tak, aby oddeľovala sprava toľko znakov, koľko je oddelených v oboch faktoroch dohromady.
   Napríklad: 1,1 0,2 = 0,22
   Namiesto vynásobenia ľubovoľného čísla číslom 0,1; 0,01; 0,001, toto číslo môžete vydeliť 10; 100; alebo 1000 resp.
   Napríklad: 22 0,1 = 2,2
   22: 10 = 2,2

9. ešte si ma nevidel, len získavam body)
10. Násobenie desatinných zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako násobenie prirodzených čísel podľa rovnakých pravidiel, ale v súčine sa čiarka umiestni podľa súčtu číslic faktorov v zlomkovej časti, pričom sa počíta sprava doľava (tj. súčet číslic faktorov je počet číslic za desatinnou čiarkou pre faktory spolu).

    Pri delení zlomkov sa desatinný deliteľ zväčší o toľko číslic, koľko je číslic v zlomkovej časti. Aby sa zlomok nezmenil, delenec sa zvýši o rovnaký počet číslic (v deliteľovi a deliteľovi sa čiarka presunie na rovnaký počet číslic). Čiarka sa umiestni do kvocientu v tom štádiu delenia, keď sa delí celá časť zlomku.

V minulej lekcii sme sa naučili sčítať a odčítať desatinné miesta (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie desatinných miest“). Zároveň sme zhodnotili, o koľko sú výpočty zjednodušené v porovnaní s bežnými „dvojposchodovými“ zlomkami.

Žiaľ, pri násobení a delení desatinných miest tento efekt nenastáva. V niektorých prípadoch desiatkový zápis dokonca tieto operácie komplikuje.

Najprv si predstavme novú definíciu. Budeme ho vídať pomerne často a nielen v tejto lekcii.

Významná časť čísla je všetko medzi prvou a poslednou nenulovou číslicou vrátane koncov. Hovoríme len o číslach, desatinná čiarka sa neberie do úvahy.

Číslice obsiahnuté vo významnej časti čísla sa nazývajú významné číslice. Môžu sa opakovať a dokonca sa rovnať nule.

Zvážte napríklad niekoľko desatinných zlomkov a napíšte zodpovedajúce významné časti:

1. 91,25 → 9125 (významné čísla: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (významné čísla: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (významné čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (významné čísla: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (existuje len jedno platné číslo: 3).

Upozornenie: nuly vo vnútri významnej časti čísla nikam nevedú. S niečím podobným sme sa už stretli, keď sme sa učili prevádzať desatinné zlomky na obyčajné (pozri lekciu “ Desatinné čísla”).

Tento bod je taký dôležitý a chyby sa tu robia tak často, že v blízkej budúcnosti zverejním test na túto tému. Určite cvičte! A my, vyzbrojení konceptom významnej časti, v skutočnosti pristúpime k téme hodiny.

Násobenie desatinných miest

Operácia násobenia pozostáva z troch po sebe nasledujúcich krokov:

1. Pre každý zlomok zapíšte významnú časť. Získate dve obyčajné celé čísla – bez menovateľov a desatinných čiarok;
2. Vynásobte tieto čísla ľubovoľným pohodlným spôsobom. Priamo, ak sú čísla malé, alebo v stĺpci. Získame významnú časť požadovanej frakcie;
3. Zistite, kde a o koľko číslic je posunutá desatinná čiarka v pôvodných zlomkoch, aby ste získali zodpovedajúcu významnú časť. Vykonajte spätné posuny pre významnú časť získanú v predchádzajúcom kroku.

Ešte raz pripomeniem, že nuly po stranách významnej časti sa nikdy neberú do úvahy. Ignorovanie tohto pravidla vedie k chybám.

1. 0,28 ± 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Pracujeme s prvým výrazom: 0,28 · 12,5.

1. Vypíšme významné časti pre čísla z tohto výrazu: 28 a 125;
2. Ich súčin: 28 · 125 = 3500;
3. V prvom faktore je desatinná čiarka posunutá o 2 číslice doprava (0,28 → 28) av druhom je posunutá o ďalšiu 1 číslicu. Celkovo potrebujete posun doľava o tri číslice: 3500 → 3 500 = 3,5.

Teraz sa pozrime na výraz 6,3 · 1,08.

1. Vypíšme podstatné časti: 63 a 108;
2. Ich súčin: 63 · 108 = 6804;
3. Opäť dva posuny doprava: o 2 a 1 číslicu. Celkom - opäť 3 číslice doprava, takže spätný posun bude 3 číslice doľava: 6804 → 6,804. Tentoraz nie sú žiadne koncové nuly.

Dosiahli sme tretí výraz: 132,5 · 0,0034.

1. Významné časti: 1325 a 34;
2. Ich súčin: 1325 · 34 = 45 050;
3. V prvom zlomku sa desatinná čiarka posunie doprava o 1 číslicu a v druhej - až o 4. Celkom: 5 doprava. Posúvame sa o 5 doľava: 45 050 → ,45050 = 0,4505. Nula bola na konci odstránená a pridaná dopredu, aby nezostala „holá“ desatinná čiarka.

Nasledujúci výraz je: 0,0108 · 1600,5.

1. Významné časti píšeme: 108 a 16 005;
2. Vynásobíme ich: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Spočítame čísla za desatinnou čiarkou: v prvom čísle sú 4, v druhom 1. Súčet je opäť 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci bola „extra“ nula odstránená.

Nakoniec posledný výraz: 5,25 10 000.

1. Významné časti: 525 a 1;
2. Vynásobíme ich: 525 · 1 = 525;
3. Prvý zlomok je posunutý o 2 číslice doprava a druhý zlomok je posunutý o 4 číslice doľava (10 000 → 1 0000 = 1). Celkom 4 − 2 = 2 číslice vľavo. Prevedieme spätný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli sme pridať nuly).

Poznámka v poslednom príklade: keďže sa desatinná čiarka pohybuje rôznymi smermi, celkový posun sa zistí cez rozdiel. Toto je veľmi dôležitý bod! Tu je ďalší príklad:

Zoberme si čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doľava). „Vykročíme“ o 1 číslicu doprava a potom o 2 doľava. V dôsledku toho sme ustúpili 2 − 1 = 1 číslica doľava.

Desatinné delenie

Rozdelenie je možno najťažšia operácia. Samozrejme, tu môžete konať analogicky s násobením: rozdeliť významné časti a potom „presunúť“ desatinnú čiarku. Ale v tomto prípade existuje veľa jemností, ktoré negujú potenciálne úspory.

Preto sa pozrime na univerzálny algoritmus, ktorý je o niečo dlhší, ale oveľa spoľahlivejší:

1. Preveďte všetky desatinné zlomky na obyčajné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zaberie pár sekúnd;
2. Rozdeľte výsledné frakcie klasickým spôsobom. Inými slovami, vynásobte prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou (pozri lekciu „Násobenie a delenie číselných zlomkov“);
3. Ak je to možné, uveďte výsledok znova ako desatinný zlomok. Tento krok je tiež rýchly, keďže menovateľom je často už mocnina desať.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Zoberme si prvý výraz. Najprv prevedieme zlomky na desatinné miesta:

Urobme to isté s druhým výrazom. Čitateľ prvého zlomku bude opäť rozdelený na faktor:

V treťom a štvrtom príklade je dôležitý bod: po zbavení sa desatinného zápisu sa objavia redukovateľné zlomky. Toto zníženie však nevykonáme.

Posledný príklad je zaujímavý, pretože čitateľ druhého zlomku obsahuje prvočíslo. Tu jednoducho nie je čo faktorizovať, takže to zvážime priamo:

Niekedy je výsledkom rozdelenia celé číslo(hovorím o poslednom príklade). V tomto prípade sa tretí krok vôbec nevykoná.

Okrem toho pri delení často vznikajú „škaredé“ zlomky, ktoré sa nedajú previesť na desatinné miesta. Toto odlišuje delenie od násobenia, kde sú výsledky vždy reprezentované v desatinnej forme. Samozrejme, v tomto prípade sa posledný krok opäť nevykoná.

Venujte pozornosť aj 3. a 4. príkladu. V nich zámerne neredukujeme obyčajné zlomky získané z desatinných miest. V opačnom prípade to skomplikuje inverznú úlohu - predstavuje konečnú odpoveď opäť v desiatkovej forme.

Pamätajte: základná vlastnosť zlomku (ako každé iné pravidlo v matematike) sama o sebe neznamená, že sa musí aplikovať všade a vždy, pri každej príležitosti.

§ 107. Sčítanie desatinných zlomkov.

Pridávanie desatinných miest je rovnaké ako pridávanie celých čísel. Pozrime sa na to na príkladoch.

1) 0,132 + 2,354. Označme pojmy pod sebou.

Tu pridanie 2 tisícin k 4 tisícinám viedlo k 6 tisícinám;
z pridania 3 stotín s 5 stotinami je výsledok 8 stotín;
od pridania 1 desatiny s 3 desatinami -4 desatiny a
zo sčítania 0 celých čísel s 2 celými číslami - 2 celé čísla.

2) 5,065 + 7,83.

V druhom termíne nie sú žiadne tisíciny, preto je dôležité nerobiť chyby pri označovaní termínov za sebou.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Tu pri pripočítaní tisícin je výsledkom 21 tisícin; napísali sme 1 pod tisíciny a pridali 2 na stotiny, takže na stotinovom mieste sme dostali tieto výrazy: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; celkovo dávajú 19 stotín, my sme podpísali 9 pod stotiny a 1 sa počítala ako desatina atď.

Pri sčítavaní desatinných zlomkov treba teda dodržať nasledovné poradie: zlomky podpíšte pod sebou tak, aby vo všetkých členoch boli pod sebou rovnaké číslice a všetky čiarky boli v rovnakom zvislom stĺpci; Napravo od desatinných miest niektorých výrazov sa pripočítava taký počet núl, aspoň mentálne, aby všetky výrazy za desatinnou čiarkou mali rovnaký počet číslic. Potom vykonajte sčítanie po číslach, počnúc od pravá strana, a vo výslednom súčte je čiarka umiestnená v rovnakom zvislom stĺpci, v ktorom sa nachádza v týchto pojmoch.

§ 108. Odčítanie desatinných zlomkov.

Odčítanie desatinných miest funguje rovnako ako odčítanie celých čísel. Ukážme si to na príkladoch.

1) 9,87 - 7,32. Podznamenajme subtrahend pod minuend tak, aby jednotky rovnakej číslice boli pod sebou:

2) 16,29 - 4,75. Podpíšme subtrahend pod minuend, ako v prvom príklade:

Aby ste odčítali desatiny, museli ste vziať jednu celú jednotku zo 6 a rozdeliť ju na desatiny.

3) 14,0213-5,350712. Podpíšme subtrahend pod minuend:

Odčítanie sa uskutočnilo nasledovne: keďže od 0 nemôžeme odpočítať 2 milióntiny, mali by sme sa obrátiť na najbližšiu číslicu vľavo, t.j. na stotisíciny, ale namiesto stotisícín je aj nula, takže vezmeme 1 desaťtisícinu z 3 desaťtisíciny a Rozdelíme to na stotisíciny, dostaneme 10 stotisícin, z ktorých necháme 9 stotisícin v kategórii stotisíciny a 1 stotisícinu rozdelíme na milióntiny, dostaneme 10 miliónov. V posledných troch čísliciach teda máme: milióntiny 10, stotisíciny 9, desaťtisíciny 2. Pre väčšiu prehľadnosť a pohodlie (aby sa nezabudlo) sú tieto čísla napísané nad príslušnými zlomkovými číslicami menovky. Teraz môžete začať odpočítavať. Od 10 milióntin odpočítame 2 milióntiny, dostaneme 8 milióntin; od 9 stotisícin odpočítame 1 stotisícinu, dostaneme 8 stotisícin atď.

Pri odčítavaní desatinných zlomkov sa teda dodržiava nasledovné poradie: podpíšte podradník pod minuend tak, aby sa rovnaké číslice nachádzali pod sebou a všetky čiarky boli v rovnakom zvislom stĺpci; napravo pridajú, aspoň mentálne, toľko núl v minuende alebo subtrahende, aby mali rovnaký počet číslic, potom odčítajú po číslicach, začínajúc od pravej strany a vo výslednom rozdiele dajú čiarku rovnaký vertikálny stĺpec, v ktorom sa nachádza v minuende a odčítaní.

§ 109. Násobenie desatinných zlomkov.

Pozrime sa na niekoľko príkladov násobenia desatinných zlomkov.

Aby sme našli súčin týchto čísel, môžeme uvažovať takto: ak sa faktor zvýši 10-krát, potom oba faktory budú celé čísla a potom ich môžeme vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie celých čísel. Ale vieme, že keď sa jeden z faktorov zvýši niekoľkokrát, produkt sa zvýši o rovnakú hodnotu. To znamená, že číslo, ktoré sa získa vynásobením celočíselných faktorov, teda 28 číslom 23, je 10-krát väčšie ako skutočný súčin a na získanie skutočného súčinu sa nájdený súčin musí 10-krát znížiť. Preto tu budete musieť raz násobiť 10 a raz deliť 10, ale násobenie a delenie 10 sa vykonáva posunutím desatinnej čiarky doprava a doľava o jedno miesto. Preto musíte urobiť toto: vo faktore presuňte čiarku na jedno správne miesto, čím sa bude rovnať 23, potom musíte vynásobiť výsledné celé čísla:

Tento produkt je 10-krát väčší ako skutočný produkt. Preto ho treba zmenšiť 10-krát, za čo posunieme čiarku o jedno miesto doľava. Tak dostaneme

28 2,3 = 64,4.

Pre účely overenia môžete napísať desatinný zlomok s menovateľom a vykonať akciu podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov, t.j.

2) 12,27 0,021.

Rozdiel medzi týmto príkladom a predchádzajúcim je v tom, že tu sú oba faktory reprezentované ako desatinné zlomky. Tu však v procese násobenia nebudeme venovať pozornosť čiarkam, t.j. násobiteľ dočasne zvýšime 100-krát a násobiteľ 1 000-krát, čím sa súčin zväčší 100 000-krát. Vynásobením 1 227 číslom 21 teda dostaneme:

1 227 21 = 25 767.

Ak vezmeme do úvahy, že výsledný produkt je 100 000-krát väčší ako skutočný produkt, musíme ho teraz zmenšiť 100 000-krát správnym umiestnením čiarky, potom dostaneme:

32,27 0,021 = 0,25767.

Skontrolujme to:

Na vynásobenie dvoch desatinných zlomkov teda stačí, bez toho, aby sme dávali pozor na čiarky, vynásobiť ich ako celé čísla a v súčine oddeliť čiarkou na pravej strane toľko desatinných miest, koľko ich bolo v násobilke resp. v multiplikátore spolu.

Posledný príklad viedol k produktu s piatimi desatinnými miestami. Ak sa takáto veľká presnosť nevyžaduje, desatinný zlomok sa zaokrúhli. Pri zaokrúhľovaní by ste mali použiť rovnaké pravidlo, aké bolo uvedené pre celé čísla.

§ 110. Násobenie pomocou tabuliek.

Násobenie desatinných miest možno niekedy vykonať pomocou tabuliek. Na tento účel môžete použiť napríklad násobilky dvojciferné čísla, ktorého popis bol uvedený skôr.

1) Vynásobte číslo 53 číslom 1,5.

53 vynásobíme 15. V tabuľke sa tento súčin rovná 795. Našli sme súčin 53 15, no náš druhý faktor bol 10x menší, čiže súčin treba zmenšiť 10x, t.j.

53 1,5 = 79,5.

2) Vynásobte 5,3 číslom 4,7.

Najprv v tabuľke nájdeme súčin 53 krát 47, bude to 2 491. Ale keďže sme násobiteľ a násobiteľ zvýšili celkovo 100-krát, výsledný súčin je 100-krát väčší, ako by mal byť; takže musíme znížiť tento produkt 100-krát:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Vynásobte 0,53 číslom 7,4.

Najprv nájdeme v tabuľke súčin 53 x 74; bude to 3 922. Ale keďže sme zvýšili multiplikand 100-krát a multiplikátor 10-krát, súčin sa zvýšil 1 000-krát; tak to teraz musíme znížiť 1000-krát:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Delenie desatinných zlomkov.

Pozrime sa na delenie desatinných zlomkov v tomto poradí:

1. Delenie desatinného zlomku celým číslom,

1. Vydeľte desatinný zlomok celým číslom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 2.

Delili sme 2 najprv celé, potom desatiny a nakoniec stotiny.

2) Vydeľte 32,46 číslom 3.

32,46: 3 = 10,82.

Vydelili sme 3 desiatky 3, potom sme začali deliť 2 jednotky 3; keďže počet jednotiek dividendy je (2) menší ako deliteľ(3), potom som musel dať 0 do kvocientu; ďalej, do zvyšku sme vzali 4 desatiny a 24 desatín vydelili 3; dostal v kvociente 8 desatín a napokon delilo 6 stotín.

3) Vydeľte 1,2345 číslom 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Tu v kvociente je prvé miesto nula celých čísel, pretože jedno celé číslo nie je deliteľné 5.

4) Vydeľte 13,58 číslom 4.

Zvláštnosťou tohto príkladu je, že keď sme v kvociente dostali 9 stotín, objavili sme zvyšok rovný 2 stotinám, tento zvyšok sme rozdelili na tisíciny, dostali 20 tisícin a dokončili delenie.

Pravidlo. Delenie desatinného zlomku celým číslom sa vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie celých čísel a výsledné zvyšky sa prevedú na desatinné zlomky, menšie a menšie; Delenie pokračuje, kým sa zvyšok nerovná nule.

2. Vydeľte desatinné miesto desatinným miestom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 0,2.

Už vieme, ako deliť desatinný zlomok celým číslom. Zamyslime sa, je možné tento nový prípad rozdelenia zredukovať na predchádzajúci? Kedysi sme považovali za pozoruhodnú vlastnosť kvocientu, ktorá spočíva v tom, že zostáva nezmenený, keď sa dividenda a deliteľ súčasne zvýšia alebo znížia o rovnaký počet krát. Mohli by sme ľahko rozdeliť čísla, ktoré nám boli dané, ak by deliteľ bol celé číslo. K tomu ho stačí zvýšiť 10-násobne a na získanie správneho kvocientu je potrebné zvýšiť dividendu o rovnakú sumu, teda 10-násobok. Potom bude delenie týchto čísel nahradené delením nasledujúcich čísel:

Okrem toho už nebude potrebné upravovať údaje.

Urobme toto rozdelenie:

Takže 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Vydeľte 1,25 číslom 1,6.

Deliteľa (1,6) zväčšíme 10-krát; aby sa podiel nezmenil, zvýšime dividendu 10-krát; 12 celých čísel nie je deliteľných 16, preto do kvocientu napíšeme 0 a 125 desatín vydelíme 16, dostaneme 7 desatín v kvociente a zvyšok 13. 13 desatín rozdelíme na stotiny priradením nuly a 130 stotín vydelíme 16, atď. Upozorňujeme na nasledujúce:

a) keď v určitom nie sú žiadne celé čísla, potom sa na ich miesto zapíšu nulové celé čísla;

b) keď po pripočítaní číslice deliteľa k zvyšku dostaneme číslo, ktoré nie je deliteľné deliteľom, potom sa do podielu zapíše nula;

c) keď po odstránení poslednej číslice dividendy delenie nekončí, delenie pokračuje pridaním nuly k zvyšku;

d) ak je dividenda celé číslo, potom sa pri delení desatinným zlomkom zvýši pripočítaním núl.

Ak teda chcete deliť číslo desatinným zlomkom, musíte zahodiť čiarku v deliteľovi a potom zvýšiť deliteľ toľkokrát, koľkokrát sa deliteľ zvýšil, keď sa v ňom zahodí čiarka, a potom vykonať delenie podľa pravidla na delenie desatinného zlomku celým číslom.

§ 112. Približné podiely.

V predchádzajúcom odseku sme sa pozreli na delenie desatinných zlomkov a vo všetkých príkladoch, ktoré sme riešili, bolo delenie dokončené, t.j. získal sa presný kvocient. Vo väčšine prípadov však nie je možné získať presný kvocient, bez ohľadu na to, ako ďaleko v delení pokračujeme. Tu je jeden taký prípad: vydeľte 53 číslom 101.

Už sme dostali päť číslic v kvociente, ale delenie sa ešte neskončilo a nie je nádej, že sa niekedy skončí, pretože vo zvyšku začíname mať čísla, s ktorými sme sa už stretli. V kvociente sa budú opakovať aj čísla: je zrejmé, že za číslom 7 sa objaví číslo 5, potom 2 atď. V takýchto prípadoch je delenie prerušené a obmedzené na niekoľko prvých číslic kvocientu. Tento kvocient sa nazýva blízkych. Na príkladoch si ukážeme, ako vykonať delenie.

Nech je potrebné deliť 25 3. Je zrejmé, že z takéhoto delenia nemožno získať presný kvocient, vyjadrený ako celé číslo alebo desatinný zlomok. Preto budeme hľadať približný kvocient:

25: 3 = 8 a zvyšok 1

Približný podiel je 8; je to samozrejme menej ako presný kvocient, pretože je tam zvyšok 1. Na získanie presného kvocientu je potrebné pripočítať zlomok, ktorý získame delením zvyšku rovného 1 3 k nájdenému približnému kvocientu, t.j. , až 8; toto bude zlomok 1/3. To znamená, že presný kvocient bude vyjadrený ako zmiešané číslo 8 1/3. Keďže 1/3 je vlastný zlomok, t.j. zlomok, menej ako jeden, potom to odhodíme, povolíme chyba, ktorý menej ako jeden. Podiel 8 bude približný kvocient až po jednotu s nevýhodou. Ak namiesto 8 vezmeme v kvociente 9, tak pripustíme aj chybu, ktorá je menšia ako jedna, keďže nepripočítame celú jednotku, ale 2/3. Taký súkromný závet približný kvocient v rámci jednej s prebytkom.

Uveďme si teraz ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme deliť 27 číslom 8. Keďže tu nedostaneme presný podiel vyjadrený ako celé číslo, budeme hľadať približný podiel:

27: 8 = 3 a zvyšok 3.

Tu sa chyba rovná 3/8, je menšia ako jedna, čo znamená, že približný kvocient (3) bol zistený s presnosťou na jednu s nevýhodou. Pokračujme v delení: zvyšok 3 rozdeľte na desatiny, dostaneme 30 desatín; vydeľte ich 8.

Dostali sme 3 v kvociente namiesto desatín a 6 desatín vo zvyšku. Ak sa obmedzíme na číslo 3,3 a zvyšok 6 zahodíme, tak pripustíme chybu menšiu ako jednu desatinu. prečo? Pretože presný kvocient by sme získali, keby sme k 3,3 pridali výsledok delenia 6 desatín 8; toto delenie by vynieslo 6/80, čo je menej ako jedna desatina. (Skontrolujte!) Ak sa teda v kvociente obmedzíme na desatiny, potom môžeme povedať, že sme našli kvocient s presnosťou na jednu desatinu(s nevýhodou).

Pokračujme v delení, aby sme našli ďalšie desatinné miesto. Aby sme to urobili, rozdelíme 6 desatín na stotiny a získame 60 stotín; vydeľte ich 8.

V podiele na treťom mieste to bolo 7 a zvyšok 4 stotiny; ak ich vyradíme, pripustíme chybu menšiu ako stotinu, pretože 4 stotiny delené 8 sú menej ako jedna stotina. V takýchto prípadoch hovoria, že kvocient bol nájdený s presnosťou na stotinu(s nevýhodou).

V príklade, na ktorý sa teraz pozeráme, môžeme získať presný kvocient vyjadrený ako desatinný zlomok. Na to stačí rozdeliť posledný zvyšok, 4 stotiny, na tisíciny a rozdeliť 8.

V drvivej väčšine prípadov je však nemožné získať presný kvocient a treba sa obmedziť na jeho približné hodnoty. Teraz sa pozrieme na tento príklad:

40: 7 = 5,71428571...

Bodky umiestnené na konci čísla označujú, že delenie nie je dokončené, t. j. rovnosť je približná. Zvyčajne sa približná rovnosť zapisuje takto:

40: 7 = 5,71428571.

Vzali sme kvocient s ôsmimi desatinnými miestami. Ale ak nie je potrebná taká veľká presnosť, môžete sa obmedziť iba na celú časť kvocient, teda číslo 5 (presnejšie 6); pre väčšiu presnosť by sme mohli brať do úvahy desatiny a vziať kvocient rovný 5,7; ak je táto presnosť z nejakého dôvodu nedostatočná, potom sa môžete zastaviť na stotinách a vziať 5,71 atď. Vypíšme si jednotlivé kvocienty a pomenujte ich.

Prvý približný podiel s presnosťou na jednu 6.

Druhá » » » až jedna desatina 5.7.

Tretia » » » na stotinu 5,71.

Štvrtá » » » na tisícinu 5,714.

Aby ste teda našli približný podiel s presnosťou na nejaké, napríklad 3. desatinné miesto (t. j. až na jednu tisícinu), zastavte delenie hneď, ako sa nájde toto znamenie. V tomto prípade treba pamätať na pravidlo uvedené v § 40.

§ 113. Najjednoduchšie úlohy týkajúce sa percent.

Keď sa dozvieme o desatinných číslach, urobíme niekoľko ďalších percent problémov.

Tieto úlohy sú podobné tým, ktoré sme riešili v oddelení zlomkov; ale teraz budeme písať stotiny vo forme desatinných zlomkov, teda bez výslovne určeného menovateľa.

V prvom rade musíte vedieť jednoducho prejsť z obyčajného zlomku na desatinné číslo s menovateľom 100. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť čitateľa menovateľom:

Nasledujúca tabuľka ukazuje, ako sa číslo so symbolom % (percento) nahrádza desatinným zlomkom s menovateľom 100:

Pozrime sa teraz na niekoľko problémov.

1. Hľadanie percent dané číslo.

Úloha 1. V jednej obci žije len 1600 ľudí. Počet detí školského veku je 25 % z celkový počet obyvateľov. Koľko školopovinných detí je v tejto obci?

V tomto probléme musíte nájsť 25 % alebo 0,25 z 1 600. Problém je vyriešený vynásobením:

1 600 0,25 = 400 (deti).

Preto 25 % z 1 600 je 400.

Pre jasné pochopenie tejto úlohy je užitočné pripomenúť, že na každých sto obyvateľov pripadá 25 detí v školskom veku. Preto, aby ste zistili počet všetkých školopovinných detí, môžete najprv zistiť, koľko stoviek je v čísle 1600 (16), a potom vynásobiť 25 počtom stoviek (25 x 16 = 400). Týmto spôsobom môžete skontrolovať platnosť riešenia.

Úloha 2. Sporiteľne poskytujú vkladateľom 2% výnos ročne. Aký príjem dostane vkladateľ za rok, ak vloží do pokladne: a) 200 rubľov? b) 500 rubľov? c) 750 rubľov? d) 1000 rub.?

Vo všetkých štyroch prípadoch budete musieť na vyriešenie problému vypočítať 0,02 z uvedených súm, t.j. každé z týchto čísel bude potrebné vynásobiť 0,02. Poďme na to:

a) 200 0,02 = 4 (rub.),

b) 500 0,02 = 10 (rub.),

c) 750 0,02 = 15 (rub.),

d) 1 000 0,02 = 20 (rub.).

Každý z týchto prípadov možno overiť nasledujúcimi úvahami. Sporiteľne dávajú investorom 2% výnos, t.j. 0,02 zo sumy uloženej na sporeniach. Ak by suma bola 100 rubľov, potom 0,02 z toho by boli 2 ruble. To znamená, že každých sto prináša investorovi 2 ruble. príjem. Preto v každom z uvažovaných prípadov stačí zistiť, koľko stoviek je v danom počte, a vynásobiť 2 ruble týmto počtom stoviek. V príklade a) sú 2 stovky, čo znamená

2 2 = 4 (rub.).

V príklade d) je 10 stoviek, čo znamená

2 10 = 20 (rub.).

2. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Úloha 1.Školu na jar ukončilo 54 študentov, čo predstavuje 6 % z celkového počtu zapísaných žiakov. Koľko žiakov bolo v škole v minulom školskom roku?

Najprv si objasnime význam tejto úlohy. Školu ukončilo 54 žiakov, čo je 6 % z celkového počtu žiakov, resp. 6 stotín (0,06) všetkých žiakov školy. To znamená, že poznáme časť žiakov vyjadrenú číslom (54) a zlomkom (0,06) a z tohto zlomku musíme nájsť celé číslo. Máme teda pred sebou obyčajnú úlohu nájsť číslo z jeho zlomku (§90, ods. 6). Problémy tohto typu sa riešia delením:

To znamená, že v škole bolo len 900 žiakov.

Takéto úlohy je užitočné skontrolovať vyriešením inverznej úlohy, t.j. po vyriešení úlohy by ste mali aspoň v hlave vyriešiť úlohu prvého typu (zistenie percenta z daného čísla): vezmite nájdené číslo ( 900), ako je uvedené, a nájdite jeho percento uvedené v riešenom probléme, konkrétne:

900 0,06 = 54.

Úloha 2. Rodina minie počas mesiaca na jedlo 780 rubľov, čo je 65 % mesačného zárobku otca. Určite jeho mesačný príjem.

Táto úloha má rovnaký význam ako predchádzajúca. Uvádza časť mesačného zárobku vyjadrenú v rubľoch (780 rubľov) a uvádza, že táto časť predstavuje 65 % alebo 0,65 z celkových zárobkov. A to, čo hľadáte, sú všetky zárobky:

780: 0,65 = 1 200.

Preto je požadovaný príjem 1200 rubľov.

3. Nájdenie percenta čísel.

Úloha 1. V školskej knižnici je len 6000 kníh. Medzi nimi je 1200 kníh o matematike. Koľko percent matematických kníh tvorí celkový počet kníh v knižnici?

Problémy tohto druhu sme už zvažovali (§97) a dospeli sme k záveru, že na výpočet percenta dvoch čísel musíte nájsť pomer týchto čísel a vynásobiť ho 100.

V našom probléme musíme nájsť percentuálny pomer čísel 1 200 a 6 000.

Najprv nájdime ich pomer a potom ho vynásobme 100:

Percento čísel 1 200 a 6 000 je teda 20. Inými slovami, matematické knihy tvoria 20 % z celkového počtu všetkých kníh.

Pre kontrolu vyriešme inverzný problém: nájdite 20 % zo 6 000:

6 000 0,2 = 1 200.

Úloha 2. Závod by mal dostať 200 ton uhlia. Dodaných už bolo 80 ton Koľko percent uhlia bolo dodaných do závodu?

Tento problém sa pýta, koľko percent je jedno číslo (80) od druhého (200). Pomer týchto čísel bude 80/200. Vynásobme to 100:

To znamená, že bolo dodaných 40 % uhlia.

Ak sa zdá, že vaše dieťa nevie prísť na to, ako deliť desatinné miesta, nie je to dôvod myslieť si, že nie je schopné matematiky.

S najväčšou pravdepodobnosťou mu jednoducho nevysvetlili, ako sa to stalo. Musíme dieťaťu pomôcť a povedať mu o zlomkoch a operáciách s nimi čo najjednoduchším, takmer hravým spôsobom. A na to si musíme niečo sami zapamätať.

Zlomkové výrazy sa používajú, keď hovoríme o o neceločíselných číslach. Ak je zlomok menší ako jedna, potom opisuje časť niečoho, ak je viac, opisuje niekoľko celých častí a ďalší kus. Zlomky sú opísané 2 hodnotami: menovateľ, ktorý vysvetľuje koľko rovnakými dielmiČíslo je vydelené čitateľom, ktorý nám hovorí, koľko takýchto častí máme na mysli.

Povedzme, že ste koláč rozrezali na 4 rovnaké časti a jednu z nich dali svojim susedom. Menovateľ bude rovný 4. A čitateľ závisí od toho, čo chceme opísať. Ak hovoríme o tom, koľko bolo rozdaných susedom, potom je čitateľ 1, a ak hovoríme o tom, koľko zostalo, potom 3.

V príklade koláča je menovateľ 4 a vo výraze „1 deň je 1/7 týždňa“ je to 7. Výraz zlomku s ľubovoľným menovateľom je spoločný zlomok.

Matematici, ako všetci ostatní, sa snažia uľahčiť si život. A preto boli vynájdené desatinné zlomky. V nich sa menovateľ rovná 10 alebo číslam, ktoré sú násobkami 10 (100, 1000, 10 000 atď.) a zapisujú sa takto: celočíselná zložka čísla sa oddeľuje od zlomkovej zložky čiarkou. Napríklad 5,1 je 5 celých a 1 desatina a 7,86 je 7 celých a 86 stotín.

Malé útočisko nie je pre vaše deti, ale pre vás. U nás je zvykom oddeľovať zlomkovú časť čiarkou. V zahraničí je podľa ustálenej tradície zvykom oddeľovať ho bodkou. Preto, ak na podobné označenie v cudzom texte narazíte, nečudujte sa.

Delenie zlomkov

Každá aritmetická operácia s podobnými číslami má svoje vlastné charakteristiky, ale teraz sa pokúsime naučiť, ako deliť desatinné zlomky. Zlomok je možné deliť prirodzeným číslom alebo iným zlomkom.

Na uľahčenie zvládnutia tejto aritmetickej operácie je dôležité zapamätať si jednu jednoduchú vec.

Keď sa naučíte používať čiarky, môžete použiť rovnaké pravidlá delenia ako pre celé čísla.

Zvážte delenie zlomku prirodzeným číslom. Technológia rozdelenia na stĺpec by vám mala byť známa už z predtým pokrytých materiálov. Postup je podobný. Dividenda sa delí znamienkom po znamienku deliteľ. Len čo obrat dosiahne posledné znamienko pred čiarkou, vloží sa do kvocientu čiarka a potom sa pokračuje v delení obvyklým spôsobom.

Teda okrem odstránenia čiarky je to najčastejšie delenie a čiarka nie je veľmi náročná.

Delenie zlomku zlomkom

Príklady, v ktorých musíte vydeliť jednu zlomkovú hodnotu druhou, sa zdajú byť veľmi zložité. Ale v skutočnosti nie je o nič ťažšie sa s nimi vysporiadať. Delenie jedného desatinného zlomku druhým bude oveľa jednoduchšie, ak sa zbavíte čiarky v deliteľovi.

Ako to spraviť? Ak potrebujete dať 90 ceruziek do 10 škatúľ, koľko ceruziek bude v každej škatuľke? 9. Vynásobme obe čísla 10 - 900 ceruziek a 100 políčok. Koľko v každej? 9. Rovnaký princíp platí, keď potrebujete rozdeliť desatinný zlomok.

Deliteľ sa úplne zbaví čiarky a čiarka dividendy sa posunie doprava o toľko miest, koľko bolo predtým v deliteľovi. A potom sa uskutoční obvyklé rozdelenie do stĺpca, o ktorom sme hovorili vyššie. Napríklad:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Dividenda sa musí násobiť a násobiť 10, kým sa deliteľ nestane celým číslom. Preto môže mať napravo nuly navyše.

40,6/0,58 =4060/58=70.

Nie je na tom nič zlé. Zapamätajte si príklad s ceruzkami – odpoveď sa nezmení, ak obe čísla zvýšite o rovnakú hodnotu. Bežný zlomok delenie je náročnejšie, najmä ak v čitateli a menovateli nie sú spoločné činitele.

Delenie desatinného čísla je v tomto smere oveľa pohodlnejšie. Najnáročnejší trik je tu trik s ovíjaním čiarkou, ale ako sme videli, je ľahké ho zvládnuť. Tým, že to budete môcť sprostredkovať svojmu dieťaťu, naučíte ho deliť desatinné čísla.

Po zvládnutí tohto jednoduchého pravidla sa váš syn alebo dcéra budú cítiť na hodinách matematiky oveľa sebavedomejšie a ktovie, možno ho tento predmet začne zaujímať. Matematická myseľ sa zriedka prejavuje s rané detstvo, niekedy treba postrčiť, zaujať.

Tým, že budete dieťaťu pomáhať s domácimi úlohami, zlepšíte nielen jeho študijné výsledky, ale aj rozšírite okruh jeho záujmov, za čo vám bude po čase vďačné.