Ako vyjadriť x z logaritmu. Logaritmus akčného pravidla s logaritmami

odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu ale definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa od. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Vezmite dva logaritmy s rovnakým základom: log x A prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Existuje teda rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Skontrolujte, či sú pod znamienkom logaritmu záporné čísla alebo jedno. Táto metóda použiteľné na vyjadrenia formulára log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Nie je však vhodný pre niektoré špeciálne prípady:
- Logaritmus záporné číslo nedefinované z akéhokoľvek dôvodu (napr. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) alebo log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). V tomto prípade napíšte „žiadne riešenie“.
- Logaritmus nuly na akúkoľvek základňu tiež nie je definovaný. Ak ťa chytili ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), napíšte „žiadne riešenie“.
- Logaritmus jednoty v akejkoľvek základni ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) je vždy nula, pretože x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) pre všetky hodnoty X. Napíšte namiesto takéhoto logaritmu 1 a nepoužívajte nižšie uvedenú metódu.
- Ak majú logaritmy rôzne dôvody, napríklad l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))) a nie sú redukované na celé čísla, hodnotu výrazu nemožno nájsť ručne.
Preveďte výraz na jeden logaritmus. Ak výraz nie je jedným z vyššie uvedených špeciálne príležitosti, môže byť reprezentovaný ako jeden logaritmus. Použite na to nasledujúci vzorec: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Príklad 1: zvážte výraz log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Najprv predstavme výraz ako jeden logaritmus pomocou vyššie uvedeného vzorca: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Tento vzorec "zmeny bázy" pre logaritmus je odvodený od základných vlastností logaritmov.
Ak je to možné, vypočítajte hodnotu výrazu ručne. Nájsť log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)) predstavte si výraz " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, teda pýtaj sa ďalšia otázka: „Na aký exponent je potrebné zvýšiť a, Získať X?". Táto otázka môže vyžadovať kalkulačku, ale ak budete mať šťastie, môžete ju nájsť ručne.
- Príklad 1 (pokračovanie): Prepíšte ako 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Je potrebné nájsť, aké číslo má stáť namiesto znaku "?". Dá sa to urobiť pokusom a omylom:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Požadované číslo je teda 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Nechajte odpoveď v logaritmickej forme, ak ju nemôžete zjednodušiť. Mnoho logaritmov je veľmi ťažké vypočítať ručne. V tomto prípade budete potrebovať kalkulačku, aby ste získali presnú odpoveď. Ak však na hodine riešite problém, učiteľ sa s najväčšou pravdepodobnosťou uspokojí s odpoveďou v logaritmickej forme. Nižšie uvedená metóda sa používa na riešenie zložitejšieho príkladu:
- príklad 2: čo sa rovná log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- Skonvertujme tento výraz na jeden logaritmus: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Všimnite si, že základ 3 spoločný pre oba logaritmy zmizne; to platí pre akúkoľvek základňu.
- Prepíšme výraz vo forme 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) a pokúsiť sa nájsť hodnotu?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Keďže 58 je medzi týmito dvoma číslami, nie je vyjadrené ako celé číslo.
- Odpoveď ponecháme v logaritmickej forme: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Logaritmus čísla N podľa rozumu ale sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť ale získať číslo N

Za predpokladu, že
,
,

Z definície logaritmu vyplýva, že
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.

Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto
písať
.

základné logaritmy e sa nazývajú prirodzené a označované
.

Základné vlastnosti logaritmov.

Logaritmus jednoty pre akúkoľvek základňu je nula

Logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmy faktorov.

3) Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov

Faktor
sa nazýva modul prechodu z logaritmov na báze a na logaritmy na základni b .

Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.

Napríklad,

Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie recipročné voči logaritmom sa nazývajú potenciácia.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

1. Limity

limit funkcie
je konečné číslo A, ak pri snažení xx 0 pre každú vopred určenú
, je tam číslo
že hneď ako
, potom
.

Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo:
, kde - b.m.w., t.j.
.

Príklad. Zvážte funkciu
.

Pri snažení
, funkcia r ide na nulu:

1.1. Základné teorémy o limitách.

Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote

Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.

Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií.

Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limity týchto funkcií, ak sa limita menovateľa nerovná nule.

Pozoruhodné limity

,
, kde

1.2. Príklady výpočtu limitov

Nie všetky limity sa však vypočítajú tak jednoducho. Častejšie sa výpočet limitu redukuje na zverejnenie typovej neistoty: alebo .

2. Derivácia funkcie

Nech máme funkciu
, kontinuálne na segmente
.

Argumentovať dostal nejakú podporu
. Potom sa funkcia zvýši
.

Hodnota argumentu zodpovedá hodnote funkcie
.

Hodnota argumentu
zodpovedá hodnote funkcie .

V dôsledku toho, .

Nájdime hranicu tohto vzťahu na
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.

Definícia 3derivácie danej funkcie
argumentom nazývaná hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.

Derivácia funkcie
možno označiť takto:

; ; ; .

Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Zvážte priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.

Nech v určitom okamihu pohyblivý bod
bol na diaľku z východiskovej pozície
.

Po určitom čase
posunula sa na diaľku
. Postoj =- priemerná rýchlosť hmotný bod
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy
.

V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.

2.2. Geometrická hodnota derivátu

Predpokladajme, že máme graficky definovanú nejakú funkciu
.

Ryža. 1. Geometrický význam derivácie

Ak
, potom bod
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu
.

V dôsledku toho
, t.j. hodnota derivátu daná hodnotou argumentu číselne sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného dotyčnicou v danom bode s kladným smerom osi
.

2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.

Funkcia napájania

Exponenciálna funkcia

logaritmická funkcia

goniometrická funkcia

Inverzná goniometrická funkcia

2.4. Pravidlá diferenciácie.

Derivát z

Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií

Derivácia súčinu dvoch funkcií

Derivácia podielu dvoch funkcií

2.5. Derivácia komplexnej funkcie.

Nechajte funkciu
tak, aby mohol byť reprezentovaný ako

A
, kde premenná je teda stredný argument

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na x.

Príklad 1.

Príklad2.

3. Funkčný diferenciál.

Nech je tam
, diferencovateľné na nejakom intervale
nechaj to tak pri táto funkcia má deriváciu

potom môžeš písať

(1),

kde - nekonečne malé množstvo,

pretože pri

Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o
máme:

Kde
- b.m.v. vyššia moc.

Hodnota
sa nazýva diferenciál funkcie
a označené

3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.

Nechajte funkciu
.

Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.

Je zrejmé, že diferenciál funkcie
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.

3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.

Ak existuje
, potom
sa nazýva prvý derivát.

Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a zapisuje sa
.

Derivácia n-tého rádu funkcie
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:

Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu.

.

.

3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.

Úloha1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom
, kde N - počet mikroorganizmov (v tisícoch), t – čas (dni).

b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?

Odpoveď. Kolónia bude rásť vo veľkosti.

Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na kontrolu obsahu patogénnych baktérií. Naprieč t dní po testovaní sa koncentrácia baktérií určí pomerom

Kedy bude v jazere minimálna koncentrácia baktérií a bude sa v ňom dať plávať?

Riešenie Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nula.

Stanovme si, že maximum alebo minimum bude za 6 dní. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu.

Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: log a X a log a r. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

log a X+ denník a r= log a (X · r);
log a X−log a r= log a (X : r).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčový moment tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukazuje celkom normálne čísla. Na základe tejto skutočnosti mnohí testovacie papiere. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom možno exponent tohto stupňa odobrať zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá majú zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, X> 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
[Titul obrázku]

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Máme:

[Titul obrázku]

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli základ a argument stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základňami. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nechajte logaritmus logovať a X. Potom pre ľubovoľné číslo c také že c> 0 a c≠ 1, platí rovnosť:
[Titul obrázku]
Najmä ak dáme c = X, dostaneme:
[Titul obrázku]

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v bežných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

[Titul obrázku]

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme vypočítali logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

[Titul obrázku]

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

[Titul obrázku]

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade číslo n sa stáva exponentom argumentu. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Nazýva sa to základná logaritmická identita.

Vskutku, čo sa stane, ak číslo b zdvihnúť k moci tak, že b do tejto miery dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
[Titul obrázku]

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

[Titul obrázku]

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha zo skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

log a a= 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tejto základne sa rovná jednej.
log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Logaritmus b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1) je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.

Logaritmus základu 10 z b možno zapísať ako log(b) a logaritmus na základ e (prirodzený logaritmus) - ln(b).

Často sa používa pri riešení problémov s logaritmami:

Vlastnosti logaritmov

Existujú štyri hlavné vlastnosti logaritmov.

Nech a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnosť 1. Logaritmus produktu

Logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmov:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnosť 2. Logaritmus kvocientu

Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnosť 3. Logaritmus stupňa

Logaritmus stupňov sa rovná súčinu stupňa a logaritmu:

Ak je základ logaritmu v exponente, potom platí iný vzorec:

Vlastnosť 4. Logaritmus koreňa

Túto vlastnosť možno získať z vlastnosti logaritmu stupňa, pretože koreň n-tého stupňa sa rovná mocnine 1/n:

Vzorec na prechod od logaritmu na jednej báze k logaritmu na inej báze

Tento vzorec sa tiež často používa pri riešení rôznych úloh pre logaritmy:

Špeciálny prípad:

Porovnanie logaritmov (nerovnosti)

Predpokladajme, že máme 2 funkcie f(x) a g(x) pod logaritmami s rovnakými základňami a medzi nimi je znamienko nerovnosti:

Ak ich chcete porovnať, musíte sa najprv pozrieť na základ logaritmov a:

Ak a > 0, potom f(x) > g(x) > 0
Ak 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ako riešiť problémy s logaritmami: príklady

Úlohy s logaritmami zahrnuté v POUŽITÍ z matematiky pre 11. ročník v úlohe 5 a úlohe 7 nájdete úlohy s riešením na našej stránke v príslušných sekciách. V banke úloh z matematiky sa nachádzajú aj úlohy s logaritmami. Všetky príklady nájdete na stránke.

Čo je logaritmus

Logaritmy boli vždy brané do úvahy ťažká téma v školský kurz matematiky. Existuje mnoho rôznych definícií logaritmu, ale z nejakého dôvodu väčšina učebníc používa tie najzložitejšie a najnešťastnejšie z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Na to vytvoríme tabuľku:

Takže máme mocniny dvoch.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako riešiť

Ak vezmete číslo zo spodného riadku, potom môžete ľahko nájsť silu, na ktorú musíte zdvihnúť dvojku, aby ste získali toto číslo. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz - v skutočnosti definícia logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo a, aby sme dostali číslo x.

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je v skutočnosti to, čomu sa rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). Môže tiež log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Zavolá sa operácia hľadania logaritmu čísla k danému základu. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa dajú ľahko zvážiť. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na segmente. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем viac stupňa dva, tým väčšie číslo bude.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať donekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať takto: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mýli, kde je základ a kde je argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, stačí sa pozrieť na obrázok:

Pred nami nie je nič viac ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, ku ktorému je potrebné zvýšiť základ, aby ste dostali argument. Práve základ je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Toto úžasné pravidlo Hneď na prvej hodine hovorím svojim študentom – a nie je tam žiadny zmätok.

Ako počítať logaritmy

Prišli sme na definíciu - zostáva sa naučiť počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je zredukovaná definícia logaritmu.
Základ sa musí líšiť od jednoty, pretože jednotka k akejkoľvek moci je stále jednotkou. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv oblasť povolené hodnoty (ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu) nie je uložené. Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať ODZ logaritmu. Všetky obmedzenia už spracovatelia problémov vzali do úvahy. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DHS sa stanú povinnými. V základe a argumente totiž môžu byť veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz zvážte všeobecná schéma logaritmické výpočty. Pozostáva z troch krokov:

Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s najmenším možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných zlomkov;
Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to vidieť už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Podobný desatinné miesta: ak ich hneď preložíte do obyčajných, chýb bude mnohonásobne menej.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zostavme a vyriešme rovnicu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dostal odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Zostavme a vyriešme rovnicu:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Dostal odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Zostavme a vyriešme rovnicu:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Prijatá odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nie je vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa neuvažuje;
Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako sa uistiť, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Veľmi jednoduché – stačí to rozložiť na prvočiniteľa. Ak sú v expanzii aspoň dva odlišné faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú presné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; štrnásť.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 5 - opäť nie presný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opäť nie presný stupeň;

Poznamenávame tiež, že my základné čísla sú vždy presné sily samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a označenie.

argumentu x je základný 10 logaritmus, t.j. mocnina, na ktorú sa musí zvýšiť 10, aby sa získalo x. Označenie: lgx.

Napríklad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však na takéto označenie nie ste zvyknutí, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desatinné miesta.

prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoj vlastný zápis. V istom zmysle je ešte dôležitejšia ako desatinná. Je to o o prirodzenom logaritme.

argumentu x je logaritmus k základu e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme dostali číslo x. Označenie: lnx.

Mnohí sa budú pýtať: aké je číslo e? Ide o iracionálne číslo, jeho presná hodnota sa nedá nájsť a zapísať. Tu sú len prvé čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme sa ponoriť do toho, čo je toto číslo a prečo je to potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jednoty: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Pozri tiež:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnosť logaritmu).

Ako znázorniť číslo ako logaritmus?

Používame definíciu logaritmu.

Logaritmus je miera sily, na ktorú musí byť základňa zvýšená, aby sa číslo dostalo pod znamienko logaritmu.

Aby sme teda mohli reprezentovať určité číslo c ako logaritmus k základu a, je potrebné pod znamienko logaritmu vložiť stupeň s rovnakým základom ako základ logaritmu a zapísať toto číslo c do exponentu :

Vo forme logaritmu môžete reprezentovať absolútne akékoľvek číslo - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionálne, iracionálne:

Aby nedošlo k zámene písmen a a c v stresových podmienkach testu alebo skúšky, môžete si zapamätať nasledujúce pravidlo:

čo je dole, ide dole, čo je hore, ide hore.

Napríklad chcete reprezentovať číslo 2 ako logaritmus k základu 3.

Máme dve čísla - 2 a 3. Tieto čísla sú základ a exponent, ktoré zapíšeme pod znamienko logaritmu. Zostáva určiť, ktoré z týchto čísel by sa malo zapísať do základu stupňa a ktoré - hore do exponentu.

Základ 3 v zázname logaritmu je naspodku, čo znamená, že keď znázorníme dvojku ako logaritmus k základu 3, zapíšeme aj 3 k základu.

2 je vyššia ako 3. A v zápise stupňa napíšeme dvojku nad tri, teda v exponente:

Logaritmy. Prvá úroveň.

Logaritmy

logaritmus kladné číslo b podľa rozumu a, kde a > 0, a ≠ 1, je exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť. a, Získať b.

Definícia logaritmu dá sa to stručne napísať takto:

Táto rovnosť platí pre b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zvyčajne je tzv logaritmická identita.
Volá sa akcia nájdenia logaritmu čísla logaritmus.

Vlastnosti logaritmov:

Logaritmus produktu:

Logaritmus podielu z delenia:

Nahradenie základne logaritmu:

Logaritmus stupňov:

koreňový logaritmus:

Logaritmus s výkonovou základňou:

Desatinné a prirodzené logaritmy.

Desatinný logaritmusčísla volajú základný 10 logaritmus tohto čísla a píšu lg b
prirodzený logaritmusčísla volajú logaritmus tohto čísla k základni e, kde e je iracionálne číslo, približne rovné 2,7. Zároveň píšu ln b.

Ďalšie poznámky o algebre a geometrii

Základné vlastnosti logaritmov

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Uvažujme dva logaritmy s rovnakým základom: log a x a log a y. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Máme:

Prechod na nový základ

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus log a x. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme vypočítali logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu.

V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa skutočne stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

log a a = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus akejkoľvek základne a z tejto základne samotnej sa rovná jednej.
log a 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Ako vyjadriť x z logaritmu. Logaritmus akčného pravidla s logaritmami

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Odstránenie exponentu z logaritmu

Prechod na nový základ

Základná logaritmická identita

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Vlastnosti logaritmov

Vlastnosť 1. Logaritmus produktu

Vlastnosť 2. Logaritmus kvocientu

Vlastnosť 3. Logaritmus stupňa

Vlastnosť 4. Logaritmus koreňa

Vzorec na prechod od logaritmu na jednej báze k logaritmu na inej báze

Porovnanie logaritmov (nerovnosti)

Ako riešiť problémy s logaritmami: príklady

Čo je logaritmus

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako riešiť

Ako počítať logaritmy

Desatinný logaritmus

prirodzený logaritmus

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnosť logaritmu).

Logaritmy. Prvá úroveň.

Logaritmy

Desatinné a prirodzené logaritmy.

Základné vlastnosti logaritmov

Základné vlastnosti logaritmov

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Odstránenie exponentu z logaritmu

Ako riešiť logaritmy

Prechod na nový základ

Základná logaritmická identita

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Nové články

Populárne články