Ktorá funkcia klesá pozdĺž celej súradnicovej čiary. Lineárna funkcia

Vlastnosti a úlohy grafov kvadratickej funkcie spôsobiť, ako ukazuje prax, vážne ťažkosti. Je to dosť zvláštne, pretože v 8. ročníku študujú kvadratickú funkciu a potom celý prvý štvrťrok 9. ročníka „trápia“ vlastnosti paraboly a stavajú jej grafy pre rôzne parametre.

Je to spôsobené tým, že keď núti študentov konštruovať paraboly, prakticky nevenujú čas „čítaniu“ grafov, to znamená, že necvičia pochopenie informácií získaných z obrázka. Zrejme sa predpokladá, že po zostrojení tucta či dvoch grafov šikovný študent sám objaví a sformuluje vzťah medzi koeficientmi vo vzorci a vzhľad grafické umenie. V praxi to nefunguje. Na takéto zovšeobecnenie je potrebná vážna prax v matematickom minivýskume, ktorou väčšina deviatakov, samozrejme, nedisponuje. Štátna inšpekcia medzitým navrhuje určiť znamienka koeficientov pomocou harmonogramu.

Nebudeme od školákov vyžadovať nemožné a jednoducho ponúkneme jeden z algoritmov na riešenie takýchto problémov.

Takže funkcia formulára y = ax 2 + bx + c nazývaný kvadratický, jeho grafom je parabola. Ako už názov napovedá, hlavným pojmom je sekera 2. Teda A by sa nemali rovnať nule, zostávajúce koeficienty ( b A s) sa môže rovnať nule.

Pozrime sa, ako znamienka jeho koeficientov ovplyvňujú vzhľad paraboly.

Najjednoduchšia závislosť pre koeficient A. Väčšina školákov sebavedomo odpovedá: „ak A> 0, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

IN v tomto prípade A = 0,5

A teraz pre A < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade A = - 0,5

Vplyv koeficientu s Je to tiež celkom jednoduché sledovať. Predstavme si, že chceme nájsť hodnotu funkcie v bode X= 0. Dosaďte do vzorca nulu:

r = a 0 2 + b 0 + c = c. Ukazuje sa, že y = c. Teda s je ordináta priesečníka paraboly s osou y. Tento bod sa zvyčajne dá ľahko nájsť na grafe. A určiť, či leží nad nulou alebo pod. Teda s> 0 alebo s < 0.

s > 0:

y = x 2 + 4 x + 3

s < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V súlade s tým, ak s= 0, potom parabola nevyhnutne prejde cez počiatok:

y = x 2 + 4x

Náročnejšie s parametrom b. Bod, v ktorom ho nájdeme, závisí nielen od b ale aj z A. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (súradnica osi X) sa zistí podľa vzorca x v = - b/(2a). teda b = - 2x palec. To znamená, že postupujeme takto: nájdeme vrchol paraboly na grafe, určíme znamienko jej úsečky, to znamená, že sa pozrieme napravo od nuly ( x v> 0) alebo doľava ( x v < 0) она лежит.

To však nie je všetko. Pozor si treba dať aj na znamienko koeficientu A. To znamená, že sa pozrite, kam smerujú vetvy paraboly. A až potom podľa vzorca b = - 2x palec určiť znamenie b.

Pozrime sa na príklad:

Vetvy smerujú nahor, čo znamená A> 0, parabola pretína os pri pod nulou, tzn s < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palec = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, s < 0.

>>Matematika: Lineárna funkcia a jej graf

Lineárna funkcia a jej graf

Algoritmus na zostavenie grafu rovnice ax + by + c = 0, ktorý sme sformulovali v § 28, sa matematikom pri všetkej jeho prehľadnosti a istote veľmi nepáči. Zvyčajne robia nároky na prvé dva kroky algoritmu. Prečo, hovoria, riešiť rovnicu dvakrát pre premennú y: najprv ax1 + by + c = O, potom ax1 + by + c = O? Nie je lepšie okamžite vyjadriť y z rovnice ax + by + c = 0, potom bude jednoduchšie vykonávať výpočty (a čo je najdôležitejšie, rýchlejšie)? Skontrolujme to. Najprv zvážime rovnica 3x - 2r + 6 = 0 (pozri príklad 2 z § 28).

Zadaním x špecifických hodnôt je ľahké vypočítať zodpovedajúce hodnoty y. Napríklad, keď x = 0, dostaneme y = 3; pri x = -2 máme y = 0; pre x = 2 máme y = 6; pre x = 4 dostaneme: y = 9.

Vidíte, ako ľahko a rýchlo sa našli body (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) a (4; 9), ktoré boli zvýraznené v príklade 2 z § 28.

Rovnakým spôsobom by sa dala previesť rovnica bx - 2y = 0 (pozri príklad 4 z § 28) do tvaru 2y = 16 -3x. ďalej y = 2,5x; nie je ťažké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré spĺňajú túto rovnicu.

Nakoniec rovnicu 3x + 2y - 16 = 0 z toho istého príkladu možno transformovať do tvaru 2y = 16 -3x a potom nie je ťažké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré jej vyhovujú.

Pozrime sa teraz na naznačené transformácie do všeobecný pohľad.

Lineárnu rovnicu (1) s dvoma premennými x a y je teda možné vždy transformovať do tvaru
y = kx + m,(2) kde k,m sú čísla (koeficienty) a .

Tento konkrétny typ lineárnej rovnice budeme nazývať lineárna funkcia.

Pomocou rovnosti (2) je ľahké určiť konkrétnu hodnotu x a vypočítať zodpovedajúcu hodnotu y. Nech napr.

y = 2x + 3. Potom:
ak x = 0, potom y = 3;
ak x = 1, potom y = 5;
ak x = -1, potom y = 1;
ak x = 3, potom y = 9 atď.

Zvyčajne sú tieto výsledky prezentované vo forme tabuľky:

Hodnoty y z druhého riadku tabuľky sa nazývajú hodnoty lineárnej funkcie y = 2x + 3 v bodoch x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

V rovnici (1) sú premenné hnu rovnaké, ale v rovnici (2) nie sú: jednej z nich - premennej x priraďujeme konkrétne hodnoty, pričom hodnota premennej y závisí od zvolenej hodnoty premennej x. Preto zvyčajne hovoríme, že x je nezávislá premenná (alebo argument), y je závislá premenná.

Všimnite si, že lineárna funkcia je špeciálny druh lineárnej rovnice s dvoma premennými. Graf rovnice y - kx + m, ako každá lineárna rovnica s dvoma premennými, je priamka - nazýva sa aj grafom lineárnej funkcie y = kx + m. Platí teda nasledujúca veta.

Príklad 1 Zostrojte graf lineárnej funkcie y = 2x + 3.

Riešenie. Urobme si tabuľku:

V druhej situácii nezávislá premenná x, ktorá rovnako ako v prvej situácii označuje počet dní, môže nadobúdať iba hodnoty 1, 2, 3, ..., 16. Ak x = 16, potom pomocou vzorca y = 500 - 30x zistíme : y = 500 - 30 16 = 20. To znamená, že už na 17. deň nebude možné vyskladniť 30 ton uhlia, keďže k tomuto dňu už len 20 ton zostane v sklade a proces odvozu uhlia sa bude musieť zastaviť. Preto rafinovaný matematický model druhej situácie vyzerá takto:

y = 500 - ZOD:, kde x = 1, 2, 3, .... 16.

V tretej situácii nezávislý premenlivý x môže teoreticky nadobudnúť akúkoľvek nezápornú hodnotu (napríklad hodnota x = 0, hodnota x = 2, hodnota x = 3,5 atď.), ale prakticky turista nemôže kráčať konštantnou rýchlosťou bez spánku a odpočinku za akúkoľvek sumu času. Takže sme potrebovali urobiť rozumné obmedzenia pre x, povedzme 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Pripomeňme, že geometrický model neprísnej dvojitej nerovnosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Dohodnime sa, že namiesto slovného spojenia „x patrí do množiny X“ (čítaj: „prvok x patrí do množiny X“, e je znakom príslušnosti) napíšeme. Ako vidíte, naše zoznamovanie sa s matematickým jazykom neustále prebieha.

Ak by sa lineárna funkcia y = kx + m mala brať do úvahy nie pre všetky hodnoty x, ale iba pre hodnoty x z určitého číselného intervalu X, potom píšu:

Príklad 2. Vytvorte graf lineárnej funkcie:

Riešenie, a) Zostavme tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x + 1

Zostrojme body (-3; 7) a (2; -3) v súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku. Toto je graf rovnice y = -2x: + 1. Ďalej vyberte úsečku spájajúcu zostrojené body (obr. 38). Tento segment je grafom lineárnej funkcie y = -2x+1, kdexe [-3, 2].

Zvyčajne hovoria toto: na úsečku [- 3, 2] sme nakreslili lineárnu funkciu y = - 2x + 1.

b) Ako sa tento príklad líši od predchádzajúceho? Lineárna funkcia je rovnaká (y = -2x + 1), čo znamená, že ako jej graf slúži rovnaká priamka. Ale buď opatrný! - tentoraz x e (-3, 2), t.j. hodnoty x = -3 a x = 2 sa neberú do úvahy, nepatria do intervalu (- 3, 2). Ako sme označili konce intervalu na súradnicovej čiare? Svetlé kruhy (obr. 39), o tom sme hovorili v § 26. Podobne body (- 3; 7) a B; - 3) budú musieť byť na výkrese označené svetlými krúžkami. To nám pripomenie, že sa berú len tie body priamky y = - 2x + 1, ktoré ležia medzi bodmi označenými krúžkami (obr. 40). Niekedy však v takýchto prípadoch používajú skôr šípky ako svetelné kruhy (obr. 41). To nie je zásadné, hlavnou vecou je pochopiť, čo sa hovorí.

Príklad 3 Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty lineárnej funkcie na segmente.
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu

Zostrojme body (0; 4) a (6; 7) na súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku - graf lineárnej funkcie x (obr. 42).

Túto lineárnu funkciu musíme uvažovať nie ako celok, ale na segmente, t.j. pre x e.

Zodpovedajúci segment grafu je na výkrese zvýraznený. Všimli sme si, že najväčšia súradnica bodov patriacich do vybranej časti sa rovná 7 - to je najvyššia hodnota lineárna funkcia na segmente. Zvyčajne sa používa nasledujúci zápis: y max =7.

Všimli sme si, že najmenšia ordináta bodov patriacich do časti čiary zvýraznenej na obrázku 42 sa rovná 4 - to je najmenšia hodnota lineárna funkcia na segmente.
Zvyčajne sa používa nasledujúci zápis: y meno. = 4.

Príklad 4. Nájdite y naib a y naim. pre lineárnu funkciu y = -1,5x + 3,5

a) na segmente; b) na intervale (1,5);
c) v polovičnom intervale.

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y = -l,5x + 3,5:

Zostrojme body (1; 2) a (5; - 4) v súradnicovej rovine xOy a narysujme cez ne priamku (obr. 43-47). Vyberme na zostrojenej priamke časť zodpovedajúcu hodnotám x zo segmentu (obr. 43), z intervalu A, 5) (obr. 44), z polovičného intervalu (obr. 47).

a) Pomocou obrázku 43 je ľahké usúdiť, že y max = 2 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 1) a y min. = - 4 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 5).

b) Pomocou obrázku 44 sme dospeli k záveru: táto lineárna funkcia nemá ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty v danom intervale. prečo? Faktom je, že na rozdiel od predchádzajúceho prípadu sú oba konce segmentu, v ktorých boli dosiahnuté najväčšie a najmenšie hodnoty, vylúčené z úvahy.

c) Pomocou obrázku 45 sme dospeli k záveru, že y max. = 2 (ako v prvom prípade) a lineárna funkcia nemá minimálnu hodnotu (ako v druhom prípade).

d) Pomocou obrázku 46 dospejeme k záveru: y max = 3,5 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 0) a y max. neexistuje.

e) Pomocou obrázku 47 dospejeme k záveru: y max = -1 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 3) a y max neexistuje.

Príklad 5. Vytvorte graf lineárnej funkcie

y = 2x - 6. Pomocou grafu odpovedzte na nasledujúce otázky:

a) pri akej hodnote x bude y = 0?
b) pre aké hodnoty x bude y > 0?
c) pri akých hodnotách x bude y< 0?

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x-6:

Cez body (0; - 6) a (3; 0) vedieme priamku - graf funkcie y = 2x - 6 (obr. 48).

a) y = 0 pri x = 3. Graf pretína os x v bode x = 3, toto je bod s ordinátou y = 0.
b) y > 0 pre x > 3. V skutočnosti, ak x > 3, potom sa priamka nachádza nad osou x, čo znamená, že súradnice zodpovedajúcich bodov priamky sú kladné.

c) pri< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Upozorňujeme, že v tomto príklade sme použili graf na riešenie:

a) rovnica 2x - 6 = 0 (dostali sme x = 3);
b) nerovnosť 2x - 6 > 0 (dostali sme x > 3);
c) nerovnosť 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentujte. V ruštine sa ten istý objekt často nazýva inak, napríklad: „dom“, „budova“, „štruktúra“, „chata“, „zámok“, „kasáreň“, „chatrč“, „chata“. V matematickom jazyku je situácia približne rovnaká. Povedzme, že rovnosť s dvoma premennými y = kx + m, kde k, m sú špecifické čísla, možno nazvať lineárnou funkciou, možno ju nazvať lineárna rovnica s dvoma premennými x a y (alebo s dvoma neznámymi x a y), možno nazvať formulou, možno nazvať reláciou spájajúcou x a y, napokon možno nazvať závislosťou medzi x a y. Nezáleží na tom, hlavnou vecou je pochopiť to vo všetkých prípadoch hovoríme o o matematickom modeli y = kx + m

.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, a. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, súradnice bodov na grafe sa neustále zväčšujú, ako keby sme „šplhali do kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú výraz zvýšenie a hovoria toto: ak k>0, potom lineárna funkcia y = kx + m rastie.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, b. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, potom súradnice bodov na grafe neustále klesajú, akoby sme „šli z kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú termín pokles a hovoria toto: ak k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineárna funkcia v živote

Teraz si zhrňme túto tému. Už sme sa zoznámili s takým pojmom, ako je lineárna funkcia, poznáme jej vlastnosti a naučili sme sa zostavovať grafy. Tiež ste zvážili špeciálne prípady lineárnych funkcií a naučili ste sa, od čoho závisí relatívna poloha grafov lineárnych funkcií. Ale ukazuje sa, že v našom Každodenný život s týmto matematickým modelom sa tiež neustále prelíname.

Zamyslime sa nad tým, aké skutočné životné situácie sú spojené s takou koncepciou, ako sú lineárne funkcie? A tiež, medzi akými množstvami resp životné situácie možno vytvoriť lineárny vzťah?

Mnohí z vás pravdepodobne celkom nechápu, prečo potrebujú študovať lineárne funkcie, pretože je nepravdepodobné, že by to bolo užitočné v neskoršom živote. Tu sa však hlboko mýlite, pretože s funkciami sa stretávame stále a všade. Pretože aj bežný mesačný nájom je funkcia, ktorá závisí od mnohých premenných. A tieto premenné zahŕňajú plochu, počet obyvateľov, tarify, spotrebu elektriny atď.

Samozrejme, najčastejšie príklady lineárnych funkcií závislosti, s ktorými sme sa stretli, sú na hodinách matematiky.

Vy a ja sme riešili problémy, kde sme zisťovali vzdialenosti prejdené autami, vlakmi alebo chodcami pri určitej rýchlosti. Ide o lineárne funkcie času pohybu. Ale tieto príklady sú použiteľné nielen v matematike, sú prítomné aj v našom každodennom živote.

Obsah kalórií v mliečnych výrobkoch závisí od obsahu tuku a takáto závislosť je zvyčajne lineárna funkcia. Napríklad, keď sa zvýši percento tuku v kyslej smotane, zvýši sa aj obsah kalórií v produkte.

Teraz urobme výpočty a nájdime hodnoty k a b riešením systému rovníc:

Teraz odvodíme vzorec závislosti:

V dôsledku toho sme získali lineárny vzťah.

Poznať rýchlosť šírenia zvuku v závislosti od teploty je možné zistiť pomocou vzorca: v = 331 +0,6t, kde v je rýchlosť (v m/s), t je teplota. Ak nakreslíme graf tohto vzťahu, uvidíme, že bude lineárny, to znamená, že bude predstavovať priamku.

A takých praktické využitie poznatky v aplikácii lineárnej funkčnej závislosti možno vymenovať dlho. Počnúc poplatkami za telefón, dĺžkou a rastom vlasov a dokonca aj prísloviami v literatúre. A tento zoznam pokračuje ďalej a ďalej.

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf rovný alebo zakrivený. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte všeobecné pravidlá, pomocou ktorého sa berú deriváty, a až potom prejdite na ďalší krok.

• Prečítajte si článok.
• Je popísané, ako zobrať najjednoduchšie derivácie, napríklad deriváciu exponenciálnej rovnice. Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach opísaných v nich.

Naučte sa rozlišovať problémy, v ktorých je potrebné vypočítať koeficient sklonu pomocou derivácie funkcie. Problémy nie vždy vyžadujú, aby ste našli sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x,y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x,y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.

Vezmite deriváciu funkcie, ktorá vám bola pridelená. Tu nie je potrebné vytvárať graf - potrebujete iba rovnicu funkcie. V našom príklade vezmite deriváciu funkcie. Vezmite derivát podľa metód uvedených v článku uvedenom vyššie:

• odvodený:

Na výpočet sklonu dosaďte súradnice bodu, ktorý ste dostali, do nájdenej derivácie. Derivácia funkcie sa rovná sklonu v určitom bode. Inými slovami, f"(x) je sklon funkcie v ľubovoľnom bode (x,f(x)). V našom príklade:

• Nájdite sklon funkcie f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v bode A(4,2).
• Derivácia funkcie:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Dosaďte hodnotu súradnice „x“ tohto bodu:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Nájdite svah:
• Funkcia sklonu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v bode A(4,2) sa rovná 22.

Ak je to možné, skontrolujte svoju odpoveď v grafe. Pamätajte, že sklon nemožno vypočítať v každom bode. Diferenciálny počet skúma komplexné funkcie a komplexné grafy, kde nie je možné vypočítať sklon v každom bode a v niektorých prípadoch body na grafoch vôbec neležia. Ak je to možné, použite grafickú kalkulačku, aby ste skontrolovali, či je sklon zadanej funkcie správny. V opačnom prípade nakreslite dotyčnicu ku grafu v bode, ktorý vám bol daný, a porozmýšľajte, či sa nájdená hodnota sklonu zhoduje s tým, čo vidíte na grafe.

• Dotyčnica bude mať v určitom bode rovnaký sklon ako graf funkcie. Ak chcete nakresliť dotyčnicu v danom bode, posuňte sa doľava/doprava na osi X (v našom príklade 22 hodnôt doprava) a potom o jednu nahor na osi Y. Označte bod a potom ho pripojte k bod, ktorý ste dostali. V našom príklade spojte body so súradnicami (4,2) a (26,3).

„Kritické body funkcie“ - Kritické body. Medzi kritickými bodmi sú extrémne body. Predpoklad extrém. Odpoveď: 2. Definícia. Ale ak f" (x0) = 0, potom nie je nutné, aby bod x0 bol extrémnym bodom. Extrémne body (opakovanie). Kritické body funkcie. Extrémne body.

„Súradnicová rovina 6. ročník“ - Matematika 6. ročník. 1. X. 1. Nájdite a zapíšte súradnice body A, B, C, D: -6. Súradnicová rovina. O. -3. 7. U.

„Funkcie a ich grafy“ - Spojitosť. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie. Koncept inverznej funkcie. Lineárne. Logaritmické. Monotónne. Ak k > 0, potom je vytvorený uhol ostrý, ak k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Funkcie 9. ročníka“ – platné aritmetické operácie s funkciami. [+] – sčítanie, [-] – odčítanie, [*] – násobenie, [:] – delenie. V takýchto prípadoch hovoríme o grafickom špecifikovaní funkcie. Vytvorenie triedy elementárnych funkcií. Mocninná funkcia y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevič, študent 9. ročníka strednej školy RMOU Radužskaja.

“Lesson Tangent Equation” - 1. Objasnite pojem dotyčnica ku grafu funkcie. Leibniz uvažoval o probléme nakreslenia dotyčnice k ľubovoľnej krivke. ALGORITMUS NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFKU FUNKCIE y=f(x). Téma lekcie: Test: nájdite deriváciu funkcie. Tangentová rovnica. Fluxion. 10. ročník Dešifrujte to, čo Isaac Newton nazval derivačnou funkciou.

“Zostavte graf funkcie” - Je daná funkcia y=3cosx. Graf funkcie y=m*sin x. Graf funkcie. Obsah: Daná funkcia: y=sin (x+?/2). Roztiahnutie grafu y=cosx pozdĺž osi y. Pre pokračovanie kliknite na l. Tlačidlo myši. Vzhľadom na funkciu y=cosx+1. Odsadenie grafu y=sinx vertikálne. Vzhľadom na funkciu y=3sinx. Horizontálne posunutie grafu y=cosx.

V téme je spolu 25 prezentácií

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktoré funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia pre kt vyššiu hodnotu argument z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Rozvrh dokonca funkciu symetrické okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Rozvrh nepárna funkcia symetrické podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A volal sklon priamka, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický