Kako določiti ravno črto z dvema točkama. Enačba premice na ravnini. Smerni vektor je raven. Normalni vektor

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki. V članku" " Obljubil sem vam, da si bom ogledal drugi način reševanja predstavljenih problemov iskanja odvoda glede na graf funkcije in tangento na ta graf. O tej metodi bomo razpravljali v , Ne spreglejte! zakaj v naslednjem?

Dejstvo je, da bo tam uporabljena formula za enačbo ravne črte. Seveda bi lahko preprosto pokazali to formulo in vam svetovali, da se je naučite. Vendar je bolje razložiti, od kod izvira (kako je izpeljan). Nujno je! Če ga pozabite, ga lahko hitro obnovitene bo težko. Spodaj je vse podrobno opisano. Torej imamo dve točki A na koordinatni ravnini(x 1;y 1) in B(x 2;y 2) je skozi označene točke narisana premica:

Tukaj je neposredna formula:

*To pomeni, da pri zamenjavi določenih koordinat točk dobimo enačbo oblike y=kx+b.

**Če si preprosto »zapomnite« to formulo, potem obstaja velika verjetnost, da se zamenjate z indeksi, ko X. Poleg tega je mogoče indekse označiti na različne načine, na primer:

Zato je pomembno razumeti pomen.

Sedaj pa izpeljava te formule. Vse je zelo preprosto!

Trikotnika ABE in ACF sta si podobna v ostrem kotu (prvi znak podobnosti pravokotnih trikotnikov). Iz tega sledi, da so razmerja ustreznih elementov enaka, to je:

Sedaj preprosto izrazimo te segmente z razliko v koordinatah točk:

Seveda ne bo napake, če napišete razmerja elementov v drugačnem vrstnem redu (glavno je ohraniti doslednost):

Rezultat bo enaka enačba premice. To je vse!

To pomeni, ne glede na to, kako so označene same točke (in njihove koordinate), boste z razumevanjem te formule vedno našli enačbo ravne črte.

Formulo lahko izpeljemo z uporabo lastnosti vektorjev, vendar bo princip izpeljave enak, saj bomo govorili o sorazmernosti njihovih koordinat. V tem primeru deluje enaka podobnost pravokotnih trikotnikov. Po mojem mnenju je zgoraj opisan zaključek bolj jasen)).

Ogled rezultatov prek vektorskih koordinat >>>

Naj bo na koordinatni ravnini zgrajena premica, ki poteka skozi dve podani točki A(x 1;y 1) in B(x 2;y 2). Označimo poljubno točko C na premici s koordinatami ( x; l). Označimo tudi dva vektorja:

Znano je, da so za vektorje, ki ležijo na vzporednih premicah (ali na isti premici), njihove ustrezne koordinate sorazmerne, to je:

— zapišemo enakost razmerij ustreznih koordinat:

Poglejmo primer:

Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi dve točki s koordinatama (2;5) in (7:3).

Niti vam ni treba zgraditi same ravne črte. Uporabimo formulo:

Pomembno je, da pri sestavljanju razmerja razumete korespondenco. Ne morete zgrešiti, če napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 pojdi y=-0,4x+5,8

Da bi se prepričali, da je nastala enačba pravilna, ne pozabite preveriti - vanj nadomestite koordinate podatkov v pogoju točk. Enačbe morajo biti pravilne.

To je vse. Upam, da vam je bil material koristen.

S spoštovanjem, Alexander.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Pozdravljeni dragi bralec!

Danes se bomo začeli učiti algoritmov, povezanih z geometrijo. Dejstvo je, da je v računalništvu povezanih z računalniško geometrijo kar veliko olimpijskih nalog in reševanje takih nalog pogosto povzroča težave.

V več učnih urah bomo obravnavali številne osnovne podnaloge, na katerih temelji rešitev večine problemov v računalniški geometriji.

V tej lekciji bomo ustvarili program za iskanje enačbe premice, ki poteka skozi dano dve točki. Za reševanje geometrijskih problemov potrebujemo nekaj znanja o računalniški geometriji. Del učne ure bomo namenili njihovemu spoznavanju.

Vpogled v računalniško geometrijo

Računalniška geometrija je veja računalništva, ki preučuje algoritme za reševanje geometrijskih problemov.

Začetni podatki za takšne probleme so lahko niz točk na ravnini, niz segmentov, poligon (določen na primer s seznamom njegovih oglišč v vrstnem redu urinega kazalca) itd.

Rezultat je lahko bodisi odgovor na neko vprašanje (kot na primer, ali točka pripada odseku, ali se dva odseka sekata, ...), bodisi nek geometrijski objekt (na primer najmanjši konveksni mnogokotnik, ki povezuje dane točke, ploščina mnogokotnik itd.).

Probleme računalniške geometrije bomo obravnavali samo na ravnini in samo v kartezičnem koordinatnem sistemu.

Vektorji in koordinate

Za uporabo metod računalniške geometrije je potrebno geometrijske slike prevesti v jezik številk. Predpostavili bomo, da ima ravnina kartezični koordinatni sistem, v katerem se smer vrtenja v nasprotni smeri urnega kazalca imenuje pozitivna.

Sedaj dobijo geometrijski objekti analitičen izraz. Če želite določiti točko, je dovolj, da navedete njene koordinate: par številk (x; y). Odsek je mogoče določiti z določitvijo koordinat njegovih koncev; ravno črto lahko določite z določitvijo koordinat para njegovih točk.

Toda naše glavno orodje za reševanje problemov bodo vektorji. Zato naj spomnim na nekaj podatkov o njih.

Odsek črte AB, ki ima točko A se šteje za začetek (točka uporabe) in točka IN– konec, imenovan vektor AB in je na primer označen z ali ali s krepko malo črko A .

Za označevanje dolžine vektorja (tj. dolžine ustreznega segmenta) bomo uporabili simbol modula (na primer ).

Poljubni vektor bo imel koordinate enake razliki med ustreznima koordinatama njegovega konca in začetka:

,

tukaj so točke A in B imajo koordinate oz.

Za izračune bomo uporabili koncept usmerjeni kot, to je kot, ki upošteva relativno lego vektorjev.

Orientirani kot med vektorji a in b pozitivno, če je rotacija iz vektorja a v vektor b se izvaja v pozitivni smeri (nasprotni smeri urinega kazalca) in negativno v drugem primeru. Glej sliko 1a, sliko 1b. Rečeno je tudi, da je par vektorjev a in b pozitivno (negativno) usmerjen.

Tako je vrednost orientiranega kota odvisna od vrstnega reda, v katerem so vektorji navedeni, in lahko sprejme vrednosti v intervalu.

Številni problemi v računalniški geometriji uporabljajo koncept vektorskih (poševnih ali psevdoskalarnih) produktov vektorjev.

Vektorski produkt vektorjev a in b je produkt dolžin teh vektorjev in sinusa kota med njima:

.

Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah:

Izraz na desni je determinanta drugega reda:

Za razliko od definicije, podane v analitični geometriji, je skalar.

Predznak vektorskega produkta določa položaj vektorjev drug glede na drugega:

a in b pozitivno usmerjeni.

Če je vrednost , potem je par vektorjev a in b negativno usmerjeni.

Navzkrižni produkt vektorjev, ki niso nič, je enak nič, če in samo če so kolinearni ( ). To pomeni, da ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah.

Oglejmo si nekaj preprostih problemov, ki so potrebni pri reševanju zahtevnejših.

Določimo enačbo premice iz koordinat dveh točk.

Enačba premice, ki poteka skozi dve različni točki, določeni z njunima koordinatama.

Naj sta na premici podani dve neskladni točki: s koordinatama (x1; y1) in s koordinatama (x2; y2). V skladu s tem ima vektor z začetkom v točki in koncem v točki koordinate (x2-x1, y2-y1). Če je P(x, y) poljubna točka na naši premici, potem so koordinate vektorja enake (x-x1, y – y1).

Z uporabo vektorskega produkta lahko pogoj za kolinearnost vektorjev in zapišemo na naslednji način:

Tisti. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Zadnjo enačbo prepišemo na naslednji način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Torej lahko ravno črto določimo z enačbo oblike (1).

Naloga 1. Podani sta koordinati dveh točk. Poiščite njegovo predstavitev v obliki ax + by + c = 0.

V tej lekciji smo se naučili nekaj informacij o računalniški geometriji. Reševali smo nalogo iskanja enačbe premice iz koordinat dveh točk.

V naslednji lekciji bomo ustvarili program za iskanje presečišča dveh premic, podanih z našimi enačbami.

Opredelitev. Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

Poleg tega konstanti A in B nista enaki nič hkrati. Ta enačba prvega reda se imenuje splošna enačba premice. Odvisno od vrednosti konstanta A, B in C so možni naslednji posebni primeri:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – premica poteka skozi izhodišče

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ravna črta, vzporedna z osjo Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – premica, vzporedna z osjo Oy

B = C = 0, A ≠0 – premica sovpada z osjo Oy

A = C = 0, B ≠0 – premica sovpada z osjo Ox

Enačbo ravne črte lahko predstavimo v v različnih oblikah odvisno od danih začetnih pogojev.

Enačba premice iz točke in normalnega vektorja

Opredelitev. V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu je vektor s komponentami (A, B) pravokoten na premico, podano z enačbo Ax + By + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točko A(1, 2) pravokotno na (3, -1).

rešitev. Pri A = 3 in B = -1 sestavimo enačbo premice: 3x – y + C = 0. Da bi našli koeficient C, v nastali izraz nadomestimo koordinate dane točke A. Dobimo: 3 – 2 + C = 0, torej C = -1 . Skupaj: zahtevana enačba: 3x – y – 1 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki

Naj sta v prostoru podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2), potem je enačba premice, ki poteka skozi ti točki:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti tudi pripadajoči števec enak nič.Na ravnini je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če je x 1 ≠ x 2 in x = x 1, če je x 1 = x 2.

Ulomek = k se imenuje naklon naravnost.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1, 2) in B(3, 4).

rešitev. Z uporabo zgoraj zapisane formule dobimo:

Enačba premice iz točke in naklona

Če je skupni Ax + Bu + C = 0, vodi do oblike:

in določiti , potem se pokliče nastala enačba enačba premice z naklonomk.

Enačba premice iz točke in smernega vektorja

Po analogiji s točko, ki obravnava enačbo premice skozi normalni vektor, lahko vnesete definicijo premice skozi točko in usmerjevalni vektor premice.

Opredelitev. Vsak neničelni vektor (α 1, α 2), katerega komponente izpolnjujejo pogoj A α 1 + B α 2 = 0, se imenuje usmerjevalni vektor premice.

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice s smernim vektorjem (1, -1) in poteka skozi točko A(1, 2).

rešitev. Enačbo iskane premice bomo iskali v obliki: Ax + By + C = 0. V skladu z definicijo morajo koeficienti izpolnjevati pogoje:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Takrat ima enačba premice obliko: Ax + Ay + C = 0 ali x + y + C / A = 0. Za x = 1, y = 2 dobimo C/ A = -3, tj. zahtevana enačba:

Enačba premice v segmentih

Če je v splošni enačbi ravne črte Ах + Ву + С = 0 С≠0, potem z deljenjem z –S dobimo: oz

Geometrijski pomen koeficientov je, da koeficient A je koordinata presečišča premice z osjo Ox in b– koordinata presečišča premice z osjo Oy.

Primer. Podana je splošna enačba premice x – y + 1 = 0. Poiščite enačbo te premice v segmentih.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna enačba premice

Če obe strani enačbe Ax + By + C = 0 pomnožimo s številom ki se imenuje normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalna enačba premice. Predznak ± normalizacijskega faktorja mora biti izbran tako, da μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Primer. Glede na splošno enačbo ravne črte 12x – 5y – 65 = 0. Zapisati morate Različne vrste enačbe te premice.

enačba te premice v segmentih:

enačba te premice z naklonom: (deli s 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Upoštevati je treba, da vsake ravne črte ni mogoče predstaviti z enačbo v segmentih, na primer ravne črte, ki so vzporedne z osemi ali potekajo skozi izhodišče koordinat.

Primer. Ravna črta odreže enake pozitivne segmente na koordinatnih oseh. Napišite enačbo za ravno črto, če je ploščina trikotnika, ki ga sestavljajo ti segmenti, 8 cm 2.

rešitev. Enačba premice ima obliko: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Primer. Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko A(-2, -3) in izhodišče.

rešitev. Enačba ravne črte je: , kjer je x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Kot med premicami na ravnini

Opredelitev.Če sta podani dve premici y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potem oster kot med temi ravnimi črtami bo definiran kot

.

Premici sta vzporedni, če je k 1 = k 2. Dve premici sta pravokotni, če je k 1 = -1/ k 2.

Izrek. Premici Ax + Bу + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sta vzporedni, ko sta koeficienta A 1 = λA, B 1 = λB sorazmerna. Če je tudi C 1 = λC, potem premice sovpadajo. Koordinate presečišča dveh premic najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano premico

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y = kx + b, je predstavljena z enačbo:

Razdalja od točke do črte

Izrek.Če je podana točka M(x 0, y 0), potem je razdalja do premice Ax + Bу + C = 0 določena kot

.

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščene iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M ​​1:

(1)

Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo z rešitvijo sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi zadaj to točko M 0 je pravokotna na dano premico. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določite kot med premicama: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Primer. Dokaži, da sta premici 3x – 5y + 7 = 0 in 10x + 6y – 3 = 0 pravokotni.

rešitev. Ugotovimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, torej sta premici pravokotni.

Primer. Dana so oglišča trikotnika A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo višine, narisane iz oglišča C.

rešitev. Najdemo enačbo stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Zahtevana višinska enačba ima obliko: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k = . Potem je y = . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate zadovoljujejo to enačbo: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema ravnima črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , l 1) v dani smeri, določeni z naklonom k,

l - l 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , l 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , l 1) in B(x 2 , l 2), napisano takole:

Kotni koeficient premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo premico A okrog presečišča teh črt v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve ravni črti podani z enačbami z naklonom

l = k 1 x + B 1 ,