Izenačite ravno črto. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki. Članek" " Obljubil sem vam, da analizirate drugo metodo reševanja predstavljenih problemov iskanja izvoda, za dani graf funkcije in tangento na ta graf. To metodo bomo analizirali v , Ne spreglejte! Zakaj v naslednjem?

Dejstvo je, da bo tam uporabljena formula za enačbo ravne črte. Seveda bi lahko samo pokazali to formulo in vam svetovali, da se je naučite. Ampak bolje je razložiti - od kod prihaja (kako je izpeljan). To je potrebno! Če ga pozabite, ga hitro obnovitene bo težko. Vse je podrobno opisano spodaj. Torej imamo dve točki A na koordinatni ravnini(x 1; y 1) in B (x 2; y 2), se skozi označene točke potegne ravna črta:

Tukaj je formula za ravno črto:

* To pomeni, da pri zamenjavi določenih koordinat točk dobimo enačbo v obliki y = kx + b.

** Če je ta formula preprosto "nazobčana", obstaja velika verjetnost, da se boste zamenjali z indeksi pri X... Poleg tega je mogoče indekse označiti na različne načine, na primer:

Zato je pomembno razumeti pomen.

Zdaj pa zaključek te formule. Vse je zelo preprosto!

Trikotnika ABE in ACF sta si podobna po ostrem kotu (prvi znak podobnosti pravokotnih trikotnikov). Iz tega sledi, da so razmerja posameznih elementov enaka, to je:

Zdaj te segmente preprosto izrazimo v smislu razlike v koordinatah točk:

Seveda ne bo pomote, če relacije elementov zapišete v drugačnem vrstnem redu (glavno je, da ohranite korespondenco):

Rezultat bo enaka enačba ravne črte. To je vse!

Se pravi, ne glede na to, kako so označene same točke (in njihove koordinate), boste z razumevanjem te formule vedno našli enačbo ravne črte.

Formulo je mogoče izpeljati z uporabo lastnosti vektorjev, vendar bo načelo sklepanja enako, saj bomo govorili o sorazmernosti njihovih koordinat. V tem primeru deluje enak videz pravokotnih trikotnikov. Po mojem mnenju je zgoraj opisani rezultat bolj jasen)).

Oglejte si izhod skozi vektorske koordinate >>>

Naj se na koordinatni ravnini sestavi premica, ki poteka skozi dve dani točki A (x 1; y 1) in B (x 2; y 2). Označimo na ravni črti poljubno točko C s koordinatami ( x; y). Označimo tudi dva vektorja:

Znano je, da so za vektorje, ki ležijo na vzporednih črtah (ali na eni ravni črti), njihove ustrezne koordinate sorazmerne, to je:

- zapišemo enakost razmerij ustreznih koordinat:

Poglejmo primer:

Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi dve točki s koordinatama (2; 5) in (7: 3).

Niti vam ni treba graditi same ravne črte. Uporabljamo formulo:

Pomembno je, da pri sestavljanju razmerja ujamete korespondenco. Ne morete zgrešiti, če zapišete:

Odgovor: y = -2 / 5x + 29/5 pojdi y = -0,4x + 5,8

Da se prepričate, da je dobljena enačba pravilno najdena, preverite - vanj nadomestite koordinate podatkov v stanju točk. Morali bi dobiti pravilne enakosti.

To je vse. Upam, da vam je bilo gradivo koristno.

S spoštovanjem, Alexander.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi nam povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Premo črto, ki poteka skozi točko K (x 0; y 0) in je vzporedna z premico y = kx + a, najdemo po formuli:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Kjer je k naklon premice.

Alternativna formula:
Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1; y 1) in je vzporedna s premo črto Ax + By + C = 0, je predstavljena z enačbo

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Naredite enačbo premice, ki poteka skozi točko K ( ;) vzporedno z premico y = x + .

Primer # 1. Sestavite enačbo premice, ki poteka skozi točko M 0 (-2,1) in hkrati:
a) vzporedno s premo 2x + 3y -7 = 0;
b) pravokotno na premico 2x + 3y -7 = 0.
Rešitev ... Enačbo z naklonom predstavimo kot y = kx + a. Če želite to narediti, premaknite vse vrednosti razen y na desno stran: 3y = -2x + 7. Nato desno stran delimo s faktorjem 3. Dobimo: y = -2 / 3x + 7/3
Poiščite enačbo NK, ki poteka skozi točko K (-2; 1), vzporedno s premico y = -2 / 3 x + 7/3
Če zamenjamo x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1, dobimo:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
oz
y = -2 / 3 x - 1/3 ali 3y + 2x +1 = 0

Primer št. 2. Napišite enačbo premice, ki je vzporedna z premico 2x + 5y = 0 in tvori skupaj s koordinatnimi osmi trikotnik, katerega površina je 5.
Rešitev ... Ker sta premici vzporedni, je enačba želene premice 2x + 5y + C = 0. Površina pravokotnega trikotnika, kjer sta a in b njegova kraka. Poiščite presečišča želene premice s koordinatnimi osemi:
;
.
Torej A (-C / 2,0), B (0, -C / 5). Nadomestek v formuli za območje: ... Dobimo dve rešitvi: 2x + 5y + 10 = 0 in 2x + 5y - 10 = 0.

Primer št. 3. Naredite enačbo premice, ki poteka skozi točko (-2; 5) in je vzporedna z premico 5x-7y-4 = 0.
Rešitev. To ravno črto lahko predstavimo z enačbo y = 5/7 x - 4/7 (tukaj a = 5/7). Enačba zahtevane premice je y - 5 = 5/7 (x - (-2)), t.j. 7 (y-5) = 5 (x + 2) ali 5x-7y + 45 = 0.

Primer št. 4. Če rešimo primer 3 (A = 5, B = -7) s formulo (2), najdemo 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0.

Primer št. 5. Izenačimo premico, ki poteka skozi točko (-2; 5) in je vzporedna z premico 7x + 10 = 0.
Rešitev. Tukaj je A = 7, B = 0. Formula (2) daje 7 (x + 2) = 0, tj. x + 2 = 0. Formula (1) ni uporabna, saj te enačbe ni mogoče rešiti glede na y (ta premica je vzporedna z ordinatno osjo).

Ta članek nadaljuje temo enačbe premice na ravnini: upoštevajte takšno obliko enačbe kot splošna enačba ravne črte. Definirajmo izrek in podajte njegov dokaz; Ugotovimo, kaj je nepopolna splošna enačba premice in kako narediti prehode iz splošne enačbe v druge vrste enačb ravne črte. Celotno teorijo bomo utrdili z ilustracijami in reševanjem praktičnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Naj je na ravnini podan pravokotni koordinatni sistem O x y.

Izrek 1

Vsaka enačba prve stopnje, ki ima obliko A x + B y + C = 0, kjer so A, B, C nekaj realnih števil (A in B nista enaka nič hkrati), definira ravno črto v pravokotni koordinatni sistem na ravnini. Po drugi strani je katera koli ravna črta v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini določena z enačbo, ki ima obliko A x + B y + C = 0 za določen niz vrednosti A, B, C.

Dokaz

navedeni izrek je sestavljen iz dveh točk, vsako od njih bomo dokazali.

1. Dokažimo, da enačba A x + B y + C = 0 definira ravno črto na ravnini.

Naj obstaja neka točka М 0 (x 0, y 0), katere koordinate ustrezajo enačbi A x + B y + C = 0. Torej: A x 0 + B y 0 + C = 0. Od leve in desne strani enačbe A x + B y + C = 0 odštejemo levo in desno stran enačbe A x 0 + B y 0 + C = 0, dobimo novo enačbo, ki ima obliko A ( x - x 0) + B (y - y 0) = 0. To je enakovredno A x + B y + C = 0.

Nastala enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nujen in zadosten pogoj za vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0). Tako množica točk M (x, y) definira ravno črto v pravokotnem koordinatnem sistemu, pravokotno na smer vektorja n → = (A, B). Predvidevamo lahko, da to ni tako, vendar potem vektorji n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili pravokotni in enakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo res.

Zato enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 opredeljuje neko premo črto v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini, zato enakovredna enačba A x + B y + C = 0 opredeljuje ista ravna črta. Tako smo dokazali prvi del izreka.

1. Dokazimo, da lahko katero koli premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini definiramo z enačbo prve stopnje A x + B y + C = 0.

Postavimo premico a v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini; točka M 0 (x 0, y 0), skozi katero poteka ta premica, kot tudi vektor normale te premice n → = (A, B).

Naj obstaja tudi neka točka M (x, y) - plavajoča točka premice. V tem primeru sta vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) pravokotna drug na drugega, njihov skalarni produkt pa je nič:

n →, M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišemo enačbo A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 in na koncu dobimo enačbo A x + B y + C = 0.

Torej, dokazali smo drugi del izreka in celoten izrek smo dokazali kot celoto.

Opredelitev 1

Enačba v obliki A x + B y + C = 0 - to splošna enačba premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemuO x y.

Na podlagi dokazanega izreka lahko sklepamo, da sta ravna črta in njena splošna enačba, podana na ravnini v fiksnem pravokotnem koordinatnem sistemu, neločljivo povezani. Z drugimi besedami, začetna ravna črta ustreza njeni splošni enačbi; splošna enačba premice ustreza dani ravni črti.

Iz dokaza izreka tudi sledi, da sta koeficienta A in B za spremenljivki x in y koordinate vektorja normale premice, ki jo poda splošna enačba premice A x + B y + C = 0.

Razmislite o posebnem primeru splošne enačbe ravne črte.

Naj bo podana enačba 2 x + 3 y - 2 = 0, ki ustreza ravni črti v danem pravokotnem koordinatnem sistemu. Normalni vektor te črte je vektor n → = (2, 3). Na risbi narišite dano ravno črto.

Prav tako je mogoče trditi naslednje: premico, ki jo vidimo na risbi, določa splošna enačba 2 x + 3 y - 2 = 0, saj tej enačbi ustrezajo koordinate vseh točk dane premice.

Enačbo λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 lahko dobimo tako, da obe strani splošne enačbe premice pomnožimo z neničelnim številom λ. Nastala enačba je enakovredna prvotni splošni enačbi, zato bo opisala isto premo črto na ravnini.

Opredelitev 2

Popolna splošna enačba premice- taka splošna enačba premice A x + B y + C = 0, v kateri so števila A, B, C drugačna nič. Sicer je enačba nepopolna.

Preučimo vse variacije nepopolne splošne enačbe premice.

1. Ko je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, splošna enačba postane B y + C = 0. Takšna nepopolna splošna enačba definira v pravokotnem koordinatnem sistemu O x y ravno črto, ki je vzporedna z osjo O x, saj bo za vsako realno vrednost x spremenljivka y vzela vrednost - C B. Z drugimi besedami, splošna enačba premice A x + B y + C = 0, ko je A = 0, B ≠ 0, definira lokus točk (x, y), katerih koordinate so enake številko - C B.
2. Če je A = 0, B ≠ 0, C = 0, ima splošna enačba obliko y = 0. Ta nepopolna enačba definira abscisno os O x.
3. Ko je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobimo nepopolno splošno enačbo A x + C = 0, ki definira ravno črto, vzporedno z ordinatno osjo.
4. Naj bo A ≠ 0, B = 0, C = 0, potem bo nepopolna splošna enačba dobila obliko x = 0, in to je enačba koordinatne premice O y.
5. Končno, za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 ima nepopolna splošna enačba obliko A x + B y = 0. In ta enačba opisuje ravno črto, ki poteka skozi izvor. Dejansko par številk (0, 0) ustreza enakosti A x + B y = 0, saj je A · 0 + B · 0 = 0.

Naj grafično ponazorimo vse zgornje vrste nepopolne splošne enačbe premice.

Primer 1

Znano je, da je dana ravna črta vzporedna z ordinatno osjo in poteka skozi točko 2 7, - 11. Zapisati je treba splošno enačbo dane premice.

Rešitev

Premo črto, vzporedno z ordinatno osjo, poda enačba v obliki A x + C = 0, v kateri je A ≠ 0. Prav tako pogoj določa koordinate točke, skozi katero poteka črta, koordinate te točke pa izpolnjujejo pogoje nepopolne splošne enačbe A x + C = 0, tj. enakost je resnična:

A · 2 7 + C = 0

Iz njega je mogoče določiti C tako, da A damo neko vrednost, ki ni nič, na primer A = 7. V tem primeru dobimo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Poznamo oba koeficienta A in C, nadomestimo ju v enačbo A x + C = 0 in dobimo zahtevano enačbo premice: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primer 2

Risba prikazuje ravno črto, potrebno je zapisati njeno enačbo.

Rešitev

Podana risba nam omogoča, da enostavno vzamemo začetne podatke za rešitev problema. Na risbi vidimo, da je podana premica vzporedna z osjo O x in poteka skozi točko (0, 3).

Ravna črta, ki je vzporedna z očmi abscise, določa nepopolno splošno enačbo B y + C = 0. Poiščimo vrednosti B in C. Koordinate točke (0, 3), ker dana ravna črta poteka skozi njo, bodo izpolnjevale enačbo premice B y + C = 0, potem velja enakost: B · 3 + C = 0. Nastavimo za B neko vrednost, ki ni nič. Recimo, da je B = 1, v tem primeru iz enakosti B 3 + C = 0 lahko najdemo C: C = - 3. Uporabimo znane vrednosti B in C, dobimo zahtevano enačbo ravne črte: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0.

Splošna enačba premice, ki poteka skozi dano točko ravnine

Naj podana premica poteka skozi točko М 0 (x 0, y 0), potem njene koordinate ustrezajo splošni enačbi premice, t.j. enakost velja: A x 0 + B y 0 + C = 0. Levo in desno stran te enačbe odštejemo od leve in desne strani splošne popolne enačbe premice. Dobimo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ta enačba je enakovredna prvotni splošni, gre skozi točko М 0 (x 0, y 0) in ima normalen vektor n → = (A, B).

Rezultat, ki smo ga dobili, nam omogoča, da zapišemo splošno enačbo premice z znanimi koordinatami normalnega vektorja premice in koordinatami določene točke te premice.

Primer 3

Glede na točko М 0 (- 3, 4), skozi katero poteka ravna črta, in normalni vektor te premice n → = (1, - 2). Zapisati je treba enačbo dane premice.

Rešitev

Začetni pogoji nam omogočajo, da pridobimo potrebne podatke za sestavo enačbe: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Nato:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Težavo bi lahko rešili drugače. Splošna enačba premice ima obliko A x + B y + C = 0. Dani normalni vektor vam omogoča, da dobite vrednosti koeficientov A in B, nato:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Zdaj poiščemo vrednost C z uporabo točke M 0 (- 3, 4), določene s pogojem problema, skozi katero poteka ravna črta. Koordinate te točke ustrezajo enačbi x - 2 y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Zato je C = 11. Zahtevana enačba premice ima obliko: x - 2 y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0.

Primer 4

Podani sta premica 2 3 x - y - 1 2 = 0 in točka М 0, ki leži na tej ravni črti. Znana je samo abscisa te točke in je enaka - 3. Treba je določiti ordinato dane točke.

Rešitev

Postavimo oznako koordinat točke М 0 kot x 0 in y 0. Začetni podatki kažejo, da je x 0 = - 3. Ker točka pripada dani ravni črti, potem njene koordinate ustrezajo splošni enačbi te premice. Potem bo enakost resnična:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Določi y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prehod iz splošne enačbe premice na druge vrste enačb premice in obratno

Kot vemo, obstaja več vrst enačb za isto premo črto na ravnini. Izbira vrste enačbe je odvisna od pogojev problema; mogoče je izbrati tistega, ki je bolj primeren za njegovo reševanje. Tu pride prav spretnost pretvorbe enačbe ene vrste v enačbo druge vrste.

Za začetek razmislimo o prehodu iz splošne enačbe v obliki A x + B y + C = 0 na kanonično enačbo x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Če A ≠ 0, potem prenesemo člen B y na desno stran splošne enačbe. Na levi strani vstavite A izven oklepajev. Kot rezultat dobimo: A x + C A = - B y.

To enakost lahko zapišemo kot razmerje: x + C A - B = y A.

Če V ≠ 0, na levi strani splošne enačbe pustimo le člen A x, preostanek prenesemo na desno stran, dobimo: A x = - B y - C. Izven oklepajev vzamemo - B, nato: A x = - B y + C B.

Prepišimo enakost kot razmerje: x - B = y + C B A.

Seveda ni treba zapomniti nastalih formul. Dovolj je poznati algoritem dejanj pri prehodu iz splošne enačbe v kanonično.

Primer 5

Podana je splošna enačba premice: 3 y - 4 = 0. Preoblikovati ga je treba v kanonično enačbo.

Rešitev

Prepišite prvotno enačbo kot 3 y - 4 = 0. Nato ravnamo po algoritmu: izraz 0 x ostane na levi strani; in na desni strani vzamemo - 3 zunaj oklepajev; dobimo: 0 x = - 3 y - 4 3.

Dobljeno enakost zapišemo kot razmerje: x - 3 = y - 4 3 0. Tako smo dobili enačbo kanonske oblike.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Za preoblikovanje splošne enačbe premice v parametrične se najprej izvede prehod v kanonično obliko, nato pa prehod iz kanonične enačbe premice v parametrične enačbe.

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametrične enačbe te premice.

Rešitev

Naredimo prehod iz splošne enačbe v kanonično:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Zdaj vzamemo obe strani nastale kanonične enačbe enaki λ, nato:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Splošno enačbo lahko pretvorimo v enačbo premice z naklonom y = k x + b, vendar le, če je B ≠ 0. Za prehod na levi strani pustimo izraz B y, ostali se prenesejo na desno. Dobimo: B y = - A x - C. Obe strani nastale enakosti delimo z B, ki se razlikuje od nič: y = - A B x - C B.

Primer 7

Podana je splošna enačba premice: 2 x + 7 y = 0. To enačbo morate pretvoriti v enačbo naklona.

Rešitev

Izvedite potrebna dejanja po algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x.

Iz splošne enačbe premice je dovolj, da preprosto dobimo enačbo v segmentih oblike x a + y b = 1. Za tak prehod prenesemo število C na desno stran enakosti, delimo obe strani nastale enakosti z - С in na koncu prenesemo koeficiente za spremenljivki x in y v imenovalce:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primer 8

Splošno enačbo premice x - 7 y + 1 2 = 0 je treba preoblikovati v enačbo premice v segmentih.

Rešitev

Premakni 1 2 na desno stran: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

Obe strani enakosti delimo z -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Na splošno je tudi povratni prehod enostaven: iz drugih vrst enačb na splošno.

Enačbo ravne črte v segmentih in enačbo s koeficientom naklona je mogoče enostavno pretvoriti v splošno, preprosto tako, da zberete vse člene na levi strani enakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonična enačba se pretvori v splošno po naslednji shemi:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Za prehod s parametričnega se najprej izvede prehod na kanonično in nato na splošno:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primer 9

Podane so parametrične enačbe premice x = - 1 + 2 · λ y = 4. Zapisati je treba splošno enačbo te premice.

Rešitev

Naredimo prehod iz parametričnih enačb v kanonično:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pojdimo od kanoničnega k splošnemu:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primer 10

Podana je enačba premice v segmentih x 3 + y 1 2 = 1. Treba je narediti prehod na splošno obliko enačbe.

rešitev:

Prepišimo enačbo v zahtevani obliki:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Sestavljanje splošne enačbe ravne črte

Zgoraj smo rekli, da lahko splošno enačbo zapišemo z znanimi koordinatami normalnega vektorja in koordinatami točke, skozi katero poteka ravna črta. Takšno premico določa enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam smo analizirali tudi ustrezen primer.

Zdaj bomo obravnavali bolj zapletene primere, v katerih je najprej treba določiti koordinate normalnega vektorja.

Primer 11

Podana je premica, vzporedna s premo 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Znana je tudi točka M 0 (4, 1), skozi katero poteka dana premica. Zapisati je treba enačbo dane premice.

Rešitev

Začetni pogoji nam povedo, da so premice vzporedne, nato pa kot vektor normale premice, katere enačbo je treba napisati, vzamemo usmerjevalni vektor premice n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Zdaj poznamo vse potrebne podatke za sestavo splošne enačbe premice:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Primer 12

Navedena premica poteka skozi izhodišče pravokotno na premico x - 2 3 = y + 4 5. Za dano ravno črto je treba sestaviti splošno enačbo.

Rešitev

Vektor normale dane premice bo vektor smeri premice x - 2 3 = y + 4 5.

Potem je n → = (3, 5). Premica poteka skozi izhodišče, t.j. skozi točko O (0, 0). Sestavimo splošno enačbo dane premice:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema ravnima črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , y 1) v dani smeri, ki jo določa naklon k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira snop ravnih črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , y 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , y 1) in B(x 2 , y 2) je zapisano takole:

Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B imenujemo kot, za katerega morate zaviti prvo naravnost A okoli točke presečišča teh premic v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B... Če sta dve ravni črti podani z enačbami z naklonom

y = k 1 x + B 1 ,

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Pozdravljeni dragi bralec!

Danes bomo začeli raziskovati algoritme, povezane z geometrijo. Dejstvo je, da je v računalništvu veliko olimpijskih problemov, povezanih z računsko geometrijo, in reševanje takšnih problemov pogosto povzroča težave.

V nekaj lekcijah si bomo ogledali številne osnovne podprobleme, na katerih temelji rešitev večine problemov računalniške geometrije.

V tej lekciji bomo izdelali program za iskanje enačbe premice prehod skozi dano dve točki... Za reševanje geometrijskih problemov potrebujemo nekaj znanja o računski geometriji. Del lekcije bomo posvetili njihovemu spoznavanju.

Vpogledi v računalniško geometrijo

Računalniška geometrija je veja računalništva, ki preučuje algoritme za reševanje geometrijskih problemov.

Začetni podatki za takšne naloge so lahko nabor točk na ravnini, niz segmentov, poligon (določen na primer s seznamom njegovih vozlišč v smeri urnega kazalca) itd.

Rezultat je lahko bodisi odgovor na neko vprašanje (na primer, ali točka pripada segmentu, ali se dva segmenta sekata, ...) ali nek geometrijski predmet (na primer najmanjši konveksni mnogokotnik, ki povezuje dane točke, površina poligon itd.) ...

Probleme računske geometrije bomo obravnavali le na ravnini in samo v kartezičnem koordinatnem sistemu.

Vektorji in koordinate

Za uporabo metod računalniške geometrije je potrebno geometrijske slike prevesti v jezik številk. Predvidevamo, da je na ravnini določen kartezijev koordinatni sistem, v katerem se smer vrtenja v nasprotni smeri urnega kazalca imenuje pozitivna.

Geometrijski objekti so zdaj analitično izraženi. Torej, da nastavite točko, je dovolj, da navedete njene koordinate: par številk (x; y). Segment je mogoče določiti z določitvijo koordinat njegovih koncev, ravno črto je mogoče določiti z določitvijo koordinat para njegovih točk.

Toda glavno orodje za reševanje problemov bodo vektorji. Zato naj vas spomnim na nekaj informacij o njih.

Oddelek AB, na kateri točki A upoštevali začetek (točko uporabe) in točko V- konec se imenuje vektor AB in označuje na primer eno ali krepko malo črko a .

Za označevanje dolžine vektorja (to je dolžine ustreznega segmenta) bomo uporabili simbol modula (na primer).

Poljubni vektor bo imel koordinate enake razliki med ustreznimi koordinatami njegovega konca in začetka:

,

tukaj so točke A in B imajo koordinate oz.

Za izračune bomo uporabili koncept usmerjen kot, to je kot, ki upošteva relativni položaj vektorjev.

Usmerjen kot med vektorji a in b pozitivno, če se vrtenje stran od vektorja a na vektor b se izvaja v pozitivni smeri (v nasprotni smeri urinega kazalca), drugače pa negativno. Glej sl.1a, sl.1b. Pravijo tudi, da je par vektorjev a in b pozitivno (negativno) usmerjeno.

Tako je vrednost usmerjenega kota odvisna od vrstnega reda, v katerem so vektorji navedeni, in lahko zavzame vrednosti v območju.

Številni problemi računalniške geometrije uporabljajo koncept vektorskih (poševnih ali psevdoskalarnih) produktov vektorjev.

Vektorski produkt vektorjev a in b je produkt dolžin teh vektorjev s sinusom kota med njima:

.

Vektorski produkt vektorjev v koordinatah:

Izraz na desni je determinanta drugega reda:

Za razliko od definicije, podane v analitični geometriji, je skalar.

Znak navzkrižnega produkta določa položaj vektorjev drug glede na drugega:

a in b pozitivno naravnana.

Če je vrednost, potem par vektorjev a in b negativno usmerjeni.

Vektorski produkt neničelnih vektorjev je enak nič, če in samo če so kolinearni ( ). To pomeni, da ležijo na eni ravni črti ali na vzporednih črtah.

Oglejmo si nekaj najpreprostejših nalog, potrebnih pri reševanju zahtevnejših.

Definirajmo enačbo premice s koordinatami dveh točk.

Enačba premice, ki poteka skozi dve različni točki, podani z njunimi koordinatami.

Naj sta na ravni črti podani dve nesovpadajoči točki: s koordinatami (x1; y1) in s koordinatami (x2; y2). V skladu s tem ima vektor z začetkom v točki in koncem v točki koordinate (x2-x1, y2-y1). Če je P (x, y) poljubna točka na naši premici, potem so vektorske koordinate (x-x1, y - y1).

Z uporabo vektorskega produkta je kolinearnost pogoj za vektorje in se lahko zapiše na naslednji način:

tiste. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Zadnjo enačbo prepišemo na naslednji način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Torej, ravno črto lahko postavimo z enačbo v obliki (1).

Naloga 1. Podane so koordinate dveh točk. Poiščite njegovo predstavitev kot ax + by + c = 0.

V tej lekciji smo se seznanili z nekaterimi informacijami iz računske geometrije. Rešili smo nalogo iskanja enačbe premice po koordinatah dveh točk.

V naslednji lekciji bomo sestavili program za iskanje presečišča dveh premic, ki sta podani z našimi enačbami.