Какво означава правилна четириъгълна пирамида? Пирамида. Правилна пирамида

Обемна фигура, което често се появява в задачи по геометрия, е пирамидата. Най-простата от всички фигури в този клас е триъгълна. В тази статия ще анализираме подробно основните формули и свойствата на правилните

Геометрични идеи за фигурата

Преди да преминем към разглеждане на свойствата на правилна триъгълна пирамида, нека разгледаме по-подробно за каква фигура говорим.

Да приемем, че в триизмерното пространство има произволен триъгълник. Нека изберем всяка точка от това пространство, която не лежи в равнината на триъгълника и я свържем с трите върха на триъгълника. Имаме триъгълна пирамида.

Състои се от 4 страни, всички от които са триъгълници. Точките, в които се срещат три лица, се наричат ​​върхове. Фигурата също има четири от тях. Линиите на пресичане на две лица са ръбове. Въпросната пирамида има 6 ръба на фигурата по-долу.

Тъй като фигурата е образувана от четири страни, тя се нарича още тетраедър.

Правилна пирамида

По-горе разгледахме произволна фигура с триъгълна основа. Сега да предположим, че начертаваме перпендикулярен сегмент от върха на пирамидата до нейната основа. Този сегмент се нарича височина. Очевидно можете да нарисувате 4 различни височини за фигурата. Ако височината пресича триъгълната основа в геометричния център, тогава такава пирамида се нарича права.

Права пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник, се нарича правилна. За нея и трите триъгълника, образуващи страничната повърхност на фигурата, са равнобедрени и равни един на друг. Специален случай на правилна пирамида е ситуацията, когато всичките четири страни са равностранни еднакви триъгълници.

Нека разгледаме свойствата на правилна триъгълна пирамида и да дадем съответните формули за изчисляване на нейните параметри.

Основна страна, височина, страничен ръб и апотема

Всеки два от изброените параметъра еднозначно определят останалите две характеристики. Нека представим формули, които свързват тези количества.

Да приемем, че страната на основата на правилна триъгълна пирамида е a. Дължината на страничния му ръб е b. Каква ще бъде височината на правилна триъгълна пирамида и нейната апотема?

За височина h получаваме израза:

Тази формула следва от Питагоровата теорема, за която са страничният ръб, височината и 2/3 от височината на основата.

Апотемата на пирамидата е височината за всеки страничен триъгълник. Дължината на апотемата a b е равна на:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

От тези формули става ясно, че каквато и да е страната на основата на триъгълна правилна пирамида и дължината на нейния страничен ръб, апотемата винаги ще бъде по-голяма от височината на пирамидата.

Представените две формули съдържат и четирите линейни характеристики на въпросната фигура. Следователно, при известните две от тях, можете да намерите останалите, като решите системата от писмени равенства.

Обем на фигурата

За абсолютно всяка пирамида (включително наклонена) стойността на обема на ограниченото от нея пространство може да се определи, като се знае височината на фигурата и площта на нейната основа. Съответната формула е:

Прилагайки този израз към въпросната фигура, получаваме следната формула:

Където височината на правилна триъгълна пирамида е h, а нейната основна страна е a.

Не е трудно да се получи формула за обема на тетраедър, в който всички страни са равни една на друга и представляват равностранни триъгълници. В този случай обемът на фигурата се определя по формулата:

Това означава, че се определя еднозначно от дължината на страната a.

Площ

Нека продължим да разглеждаме свойствата на правилната триъгълна пирамида. Общата площ на всички лица на фигура се нарича нейната повърхност. Последното може да бъде удобно проучено чрез разглеждане на съответното развитие. Фигурата по-долу показва как изглежда развитието на правилна триъгълна пирамида.

Да приемем, че знаем височината h и страната на основата a на фигурата. Тогава площта на основата му ще бъде равна на:

Всеки ученик може да получи този израз, ако си спомни как да намери площта на триъгълник и също така вземе предвид, че надморската височина на равностранен триъгълник също е ъглополовяща и медиана.

Площта на страничната повърхност, образувана от три еднакви равнобедрени триъгълника, е:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Това равенство следва от израза на апотемата на пирамидата по отношение на височината и дължината на основата.

Общата площ на фигурата е:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Обърнете внимание, че за тетраедър, в който и четирите страни са еднакви равностранни триъгълници, площта S ще бъде равна на:

Свойства на правилна пресечена триъгълна пирамида

Ако върхът на разглежданата триъгълна пирамида се отреже с равнина, успоредна на основата, тогава останалите Долна частще се нарича пресечена пирамида.

В случай на триъгълна основа, резултатът от описания метод на сечение е нов триъгълник, който също е равностранен, но има по-къса дължина на страната от страната на основата. По-долу е показана пресечена триъгълна пирамида.

Виждаме, че тази фигура вече е ограничена от две триъгълни основи и три равнобедрени трапеца.

Да приемем, че височината на получената фигура е равна на h, дължините на страните на долната и горната основа са съответно a 1 и a 2, а апотемата (височината на трапеца) е равна на a b. Тогава повърхността на пресечената пирамида може да се изчисли по формулата:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Тук първият член е площта на страничната повърхност, вторият член е площта на триъгълните основи.

Обемът на фигурата се изчислява, както следва:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

За да определите недвусмислено характеристиките на пресечена пирамида, трябва да знаете нейните три параметъра, което се демонстрира от дадените формули.

Видео урок 2: Проблем с пирамидата. Обем на пирамида

Видео урок 3: Проблем с пирамидата. Правилна пирамида

Лекция: Пирамидата, нейната основа, странични ребра, височина, странична повърхност; триъгълна пирамида; правилна пирамида

Пирамида, нейните свойства

Пирамидае триизмерно тяло, което има многоъгълник в основата си, а всичките му лица се състоят от триъгълници.

Специален случай на пирамида е конус с кръг в основата си.

Нека да разгледаме основните елементи на пирамидата:

апотема- това е сегмент, който свързва върха на пирамидата със средата на долния ръб на страничната повърхност. С други думи, това е височината на ръба на пирамидата.

На фигурата можете да видите триъгълници ADS, ABS, BCS, CDS. Ако се вгледате внимателно в имената, можете да видите, че всеки триъгълник има една обща буква в името си - S. Това означава, че всички странични лица (триъгълници) се събират в една точка, която се нарича върха на пирамидата .

Отсечката OS, която свързва върха с пресечната точка на диагоналите на основата (при триъгълниците - с пресечната точка на височините), се нарича височина на пирамидата.

Диагонално сечение е равнина, която минава през върха на пирамидата, както и един от диагоналите на основата.

Тъй като страничната повърхност на пирамидата се състои от триъгълници, за да се намери общата площ на страничната повърхност, е необходимо да се намери площта на всяко лице и да се сумират. Броят и формата на лицата зависи от формата и размера на страните на многоъгълника, който лежи в основата.

Единствената равнина в пирамидата, която не принадлежи на нейния връх, се нарича базапирамиди.

На фигурата виждаме, че основата е успоредник, но може да бъде произволен многоъгълник.

Имоти:

Разгледайте първия случай на пирамида, в която има ръбове с еднаква дължина:

• Около основата на такава пирамида може да се начертае кръг. Ако проектирате върха на такава пирамида, тогава нейната проекция ще бъде разположена в центъра на кръга.
• Ъглите в основата на пирамидата са еднакви на всяко лице.
• При което достатъчно условиедо факта, че може да се опише кръг около основата на пирамидата и можем също да приемем, че всички ръбове различни дължини, можем да разгледаме равни ъгли между основата и всеки ръб на лицата.

Ако попаднете на пирамида, в която ъглите между страничните стени и основата са равни, тогава следните свойства са верни:

• Ще можете да опишете кръг около основата на пирамидата, чийто връх е проектиран точно в центъра.
• Ако начертаете всеки страничен ръб на височината към основата, тогава те ще бъдат с еднаква дължина.
• За да намерите страничната повърхност на такава пирамида, достатъчно е да намерите периметъра на основата и да го умножите по половината от дължината на височината.
• S bp = 0,5P oc H.
• Видове пирамиди.
• В зависимост от това кой многоъгълник лежи в основата на пирамидата, те могат да бъдат триъгълни, четириъгълни и т.н. Ако в основата на пирамидата лежи правилен многоъгълник (с равни страни), тогава такава пирамида ще се нарича правилна.

Правилна триъгълна пирамида

Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за Единния държавен изпит.

Помислете за равнина, многоъгълник , лежаща в нея и точка S, нележаща в нея. Нека свържем S с всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат ​​странични ребра. Многоъгълникът се нарича основа, а точка S е връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълна пирамида е тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, спускащ се от върха й към равнината на основата.

Пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на надморската височина на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на учителя:
Не бъркайте понятието „правилна пирамида“ и „ правилен тетраедър" В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага, че центърът P на многоъгълника съвпада с височина на основата, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.

Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Преподавател по математика за неговата терминология: 80% от работата с пирамиди е изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA

За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да извика първия от тях апотематичен, и второ крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формула за обем на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера, а е площта пълна повърхностпирамиди.
3) , където MN е разстоянието между всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.

Свойство на основата на височината на пирамида:

Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени

Коментар на учителя по математика: Моля, обърнете внимание, че всички точки имат едно общо нещо обща собственост: по един или друг начин страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна за учене формулировка: точка P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични стени. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички триъгълници-апотеми са равни.

Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .

Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.

2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.

3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За да се изчисли обемът на произволна пирамида, правилната формула е:

Където V- сила на звука;

S база– базова площ;

з– височина на пирамидата.

За правилна пирамида следните формули са правилни:

Където стр– основен периметър;

з а– апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S база– базова площ;

V– обем на правилна пирамида.

Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режеща равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основанияпресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни следните формули:

(4)

Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;

S пълен– обща повърхност;

S страна– площ на страничната повърхност;

з- височина;

V– обем на пресечена пирамида.

За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:

Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

з а– апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1.В дясно триъгълна пирамидадвустенният ъгъл при основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинеен сегмент BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 см 3.

Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничното лице на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и ОМ– радиус, вписан в окръжност:

MK = DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). всеки страничен ръбобразува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:

По същия начин означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме