Определяне на правилния тетраедър. Правилен тетраедър (пирамида). Тетраедри в микросвета

Всичките му лица са равни триъгълници. Разгъването на изоедричен тетраедър е триъгълник, разделен от три средни линии на четири равни триъгълника. В равностранен тетраедър основите на височините, средните точки на височините и точките на пресичане на височините на лицата лежат върху повърхността на една сфера (сфера от 12 точки) (аналог на окръжността на Ойлер за триъгълник).

Свойства на изоедричния тетраедър:

• Всичките му лица са равни (конгруентни).
• Кръстосаните ръбове са равни по двойки.
• Триъгълните ъгли са равни.
• Противоположните двугранни ъгли са равни.
• Два равнинни ъгъла, опиращи на един ръб, са равни.
• Сумата от плоските ъгли във всеки връх е 180 °.
• Разгънете тетраедър - триъгълник или паралелограм.
• Описаният паралелепипед е правоъгълен.
• Тетраедърът има три оси на симетрия.
• Общите перпендикуляри на пресичащите се ребра са по двойки перпендикулярни.
• Средните линии са перпендикулярни по двойки.
• Периметрите на лицата са равни.
• Площите на лицата са равни.
• Височините на тетраедъра са равни.
• Отсечките, свързващи върховете с центровете на тежестта на противоположните лица, са равни.
• Радиусите на окръжностите, описани около ръбовете, са равни.
• Центърът на тежестта на тетраедъра съвпада с центъра на описаната сфера.
• Центърът на тежестта съвпада с центъра на вписаната сфера.
• Центърът на описаната сфера съвпада с центъра на вписаната.
• Вписаната сфера докосва лицата в центровете на окръжностите, описани около тези лица.
• Сумата от външните единични нормали (единични вектори, перпендикулярни на лицата) е нула.
• Сумата от всички двугранни ъгли е нула.

Ортоцентричен тетраедър

Всички височини, спуснати от върхове до противоположни лица, се пресичат в една точка.

Свойства на ортоцентричен тетраедър:

• Височините на тетраедъра се пресичат в една точка.
• Основите на височините на тетраедъра са ортоцентрите на лицата.
• Всеки два противоположни ръба на тетраедър са перпендикулярни.
• Сумите от квадратите на противоположните ръбове на тетраедъра са равни.
• Сегментите, свързващи средните точки на противоположните ръбове на тетраедъра, са равни.
• Произведенията на косинусите на противоположните двугранни ъгли са равни.
• Сумата от квадратите на площите на лицата е четири пъти по-малка от сумата на квадратите на произведенията на противоположните ръбове.
• Имайте ортоцентричен тетраедъркръг от 9 точки (окръжността на Ойлер) от всяко лице принадлежи на една сфера (сфера от 24 точки).
• Имайте ортоцентричен тетраедърцентровете на тежестта и точките на пресичане на височините на лицата, както и точките, разделящи сегментите на всяка височина на тетраедъра от върха до точката на пресичане на височините в съотношение 2: 1, лежат върху същата сфера (сфера от 12 точки).

Правоъгълен тетраедър

Всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Правоъгълен тетраедър се получава чрез отрязване на тетраедър с равнина от правоъгълен паралелепипед.

Скелетен тетраедър

Това е тетраедър, който отговаря на някое от следните условия:

• има сфера, докосваща всички ръбове,
• сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни,
• сумите от двустранните ъгли на противоположните ръбове са равни,
• кръговете, вписани в лицата, се докосват по двойки,
• са описани всички четириъгълници, получени на тетраедъра,
• перпендикуляри, издигнати към лицата от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.

Съизмерим тетраедър

Свойствата на съизмерим тетраедър:

• Височините са равни. Тетраедър бифетите са общи перпендикуляри на два пресичащи се ръба на тетраедър (ръба, които нямат общи върхове).
• Проекцията на тетраедър върху равнина, перпендикулярна на която и да е бимедианци, има ромб. Бимедианцитетраедър се наричат ​​сегментите, свързващи средните точки на пресичащите му ръбове (които нямат общи върхове).
• Лицата на описания паралелепипед са с еднакъв размер.
• Изпълнени са следните съотношения: $4a\; ^\; 2\; (a\_1)\; ^\; 2-\; (b\; ^\; 2\; +\; (b\_1)\; ^\; 2-c\; ^\; 2-\; (c\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4b\; ^\; 2\; (b\_1)\; ^\; 2-\; (c\; ^\; 2\; +\; (c\_1)\; ^\; 2-a\; ^\; 2-\; (a\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4c\; ^\; 2\; (c\_1)\; ^\; 2-\; (a\; ^\; 2\; +\; (a\_1)\; ^\; 2-b\; ^\; 2-\; (b\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$, където $а$и $a\_1$, $б$и $b\_1$, $°\; С$и $c\_1$- дължината на противоположните ребра.
• За всяка двойка противоположни ръбове на тетраедъра равнините, прокарани през единия от тях и средата на втория, са перпендикулярни.
• В описания паралелепипед на съизмерим тетраедър може да се впише сфера.

Инцентричен тетраедър

При този тип сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжностите, вписани в противоположните страни, се пресичат в една точка. Свойства на инцентричния тетраедър:

• Сегментите, свързващи центровете на тежестта на лицата на тетраедъра с противоположните върхове (медиани на тетраедъра), винаги се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тетраедъра.
• Коментирайте... Ако в последното условие заменим центровете на тежестта на лицата с ортоцентрите на лицата, то ще се превърне в нова дефиниция ортоцентричен тетраедър... Ако ги заменим с центровете на окръжностите, вписани в лицата, понякога наричани центрове, получаваме дефиницията на нов клас тетраедри - инцентричен.
• Сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжностите, вписани в противоположните страни, се пресичат в една точка.
• Симетралите на ъглите на две лица, изтеглени към общия ръб на тези лица, имат обща основа.
• Произведенията на дължините на противоположните ръбове са равни.
• Триъгълник, образуван от вторите точки на пресичане на три ръба, простиращи се от един връх с която и да е сфера, минаваща през три края на тези ръбове, е равностранен.

Правилен тетраедър

Това е изоедъричен тетраедър, всичките му лица са правилни триъгълници. Това е едно от петте тела на Платон.

Свойства на правилния тетраедър:

• всички ръбове на тетраедъра са равни един на друг,
• всички лица на тетраедъра са равни една на друга,
• периметрите и площите на всички лица са равни една на друга.
• Правилният тетраедър е едновременно ортоцентричен, рамков, равноотдалечен, инцентричен и пропорционален.
• Тетраедърът е правилен, ако принадлежи към всеки два от следните видове тетраедри: ортоцентричен, рамка, инцентричен, пропорционален, равен.
• Тетраедърът е правилен, ако е такъв равнии принадлежи към един от следните типове тетраедри: ортоцентричен, рамков, инцентричен, пропорционален.
• Октаедърът може да бъде вписан в правилен тетраедър, освен това четири (от осем) лица на октаедъра ще бъдат подравнени с четирите лица на тетраедъра, всичките шест върха на октаедъра ще бъдат подравнени с центровете на шестте ръба на тетраедърът.
• Правилният тетраедър се състои от един вписан октаедър (в центъра) и четири тетраедъра (по върховете), а ръбовете на тези тетраедър и октаедър са наполовина по-малки от ръбовете на правилния тетраедър.
• Правилен тетраедър може да бъде вписан в куб по два начина, освен това четирите върха на тетраедъра ще бъдат подравнени с четирите върха на куба.
• Правилен тетраедър може да бъде вписан в икосаедър, освен това четирите върха на тетраедъра ще бъдат подравнени с четирите върха на икосаедъра.
• Кръстосаните ръбове на правилния тетраедър са взаимно перпендикулярни.

Обем на тетраедъра

• Обемът на тетраедъра (като се вземе предвид знака), чиито върхове са разположени в точките $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$е равно на

$V\; =\; \backslash \; frac16$

\ begin (vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ end (vmatrix) = \ frac16 \ begin ( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \ end (vmatrix),или

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; S\; H,$

където $С$Е площта на всяко лице и $Х$- височината падна до този ръб.

• Обемът на тетраедъра по отношение на дължините на ръбовете се изразява с помощта на детерминантата на Cayley-Menger:

$288\; \backslash \; cdot\; V\; ^\; 2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\ 1 & d_ (14) ^ 2 & d_ ( 24) ^ 2 & d_ (34) ^ 2 и 0

\ край (vmatrix).

• Тази формула има плосък аналог за площта на триъгълник под формата на вариант на формулата на Херон чрез подобен детерминант.
• Обем на тетраедър през дължините на два противоположни ръба аи бкато пресичане на далечни линии зедин от друг и образуват ъгъл един с друг $\backslash \; phi$, се намира по формулата:

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.$

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; abc\; \backslash \; sqrt\; (D),$

където $$D\; =\; \backslash \; начало\; (vmatrix)$$

1 & \ cos \ gamma & \ cos \ beta \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alpha \\ \ cos \ beta & \ cos \ alpha & 1 \ end (vmatrix).

• Аналог на равнината на последната формула е формулата за площта на триъгълник по отношение на дължините на двете му страни аи бизлизащи от един връх и образуващи един с друг ъгъл $\backslash \; гама$:

$S\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \; ab\; \backslash \; sqrt\; (D),$

където $D\; =\; \backslash \; начало\; (vmatrix)$

1 & \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma & 1 \\ \ край (vmatrix).

Тетраедри в микросвета

• Правилният тетраедър се образува по време на sp 3 -хибридизация на атомни орбитали (осите им са насочени към върховете на правилния тетраедър, а ядрото на централния атом се намира в центъра на описаната сфера на правилния тетраедър), следователно, много молекули, в които се извършва такава хибридизация на централния атом, имат формата на този полиедър
• Молекула на метан CH 4
• Сулфатен йон SO 4 2-, фосфат йон PO 4 3-, перхлорат йон ClO 4 - и много други йони
• Диамант C е тетраедър с ръб, равен на 2,5220 ангстрьома
• Флуорит CaF 2, тетраедър с ръб, равен на 3, 8626 ангстрема
• Сфалерит, ZnS, тетраедър с ръб, равен на 3,823 ангстрема
• Комплексни йони -, 2-, 2-, 2+
• Силикати, чиято структура се основава на силициево-кислородния тетраедър 4-

Тетраедри в природата

Някои плодове, които са четири от едната страна, са разположени във върховете на тетраедър, който е близо до правилния. Този дизайн се дължи на факта, че центровете на четири еднакви топки, докосващи се една друга, са във върховете на правилен тетраедър. Следователно, подобните на топка плодове образуват подобно взаимно подреждане. Така например могат да се позиционират орехите.

Тетраедри в технологията

Вижте също

• Симплекс - n-мерен тетраедър

Напишете отзив за статията "Тетрахедър"

Бележки (редактиране)

литература

• Матизен В.Е., Дубровски. Из геометрията на тетраедъра "Квант", No 9, 1988 г. С.66.
• Zaslavsky A.A. // Математическо образование, сер. 3 (2004), бр. 8, с. 78-92.

вярно вярно неизпъкнал Изпъкнала формули, теореми, теория Друго

Откъс от тетраедъра

На четвъртия ден започнаха пожари на Зубовски вал.
Пиер и тринадесет други бяха отведени в Кримски брод, в каретата на къща на търговец. Минавайки по улиците, Пиер се задушаваше от дима, който сякаш стоеше над целия град. Пожарите се виждаха от различни посоки. Пиер все още не разбираше значението на изгорената Москва по това време и гледаше с ужас на тези пожари.
Пиер остана още четири дни в навеса за карета на къща близо до Кримския брод и през тези дни от разговора на френските войници разбра, че всички, които се намират тук, всеки ден очакват решението на маршала. Какъв маршал, Пиер не можа да разбере от войниците. Очевидно за войника маршалът изглеждаше най-високото и донякъде мистериозно звено на властта.
Тези първи дни, до 8 септември, денят, в който затворниците бяха отведени за втори разпит, бяха най-трудни за Пиер.

х
На 8 септември един много важен офицер влезе в плевнята при затворниците, ако се съди по уважението, с което надзирателите се отнасяха към него. Този офицер, вероятно щабен офицер, със списък в ръцете си, извика на всички руснаци, викайки Пиер: celui qui n "avoue pas son nom [този, който не казва името си]. И безразлично и лениво гледаше всички затворници, той заповяда на пазача, офицерът трябва да ги облече правилно и да ги подреди, преди да ги отведе при маршала. Един час по-късно пристигна рота войници, а Пиер и останалите тринадесет бяха отведени до Моминото поле. Денят беше ясен , слънчево след дъжд и въздухът беше необичайно чист. онзи ден, когато Пиер беше изведен от караулката на Зубовския вал; дим се издигаше на колони в чистия въздух. Огънците не се виждаха, но от всички посоки и цяла Москва, всичко, което Пиер можеше да види, беше един пожар. От всички страни се виждаха пустоши с печки и комини и от време на време изгорели стени на каменни къщи. Пиер се вгледа внимателно в огньовете и не позна познатите квартали на града.На места се виждаха оцелели църкви.Кремъл необезпокояван блестеше отдалеч с кулите си и Иван Ве лице. Наблизо куполът на Ново Девишкия манастир блестеше весело, а оттам се чуха особено силно камбаните и свирките. Това съобщение напомни на Пиер, че е неделя и празникът Рождество Богородично. Но изглеждаше, че нямаше кой да празнува този празник: навсякъде имаше опустошение от пожара, а от руския народ имаше само от време на време дрипави, уплашени хора, които се криеха при вида на французите.
Очевидно руското гнездо е опустошено и разрушено; но зад унищожаването на този руски житейски ред Пиер несъзнателно усеща, че над това разрушено гнездо е установен негов собствен, съвсем различен, но твърд френски ред. Той го усети от вида на онези, весело и весело, в редовни редици маршируващи войници, които го ескортираха с други престъпници; можеше да го усети от вида на някакъв важен френски служител в парен вагон, управляван от войник, който яздеше към него. Той го усети от веселите звуци на полковата музика, долитащи от лявата страна на полето, и особено го усети и разбра от списъка, че френският офицер, който пристигна тази сутрин, след като извика пленниците, го прочете тази сутрин. Пиер е отведен от някои войници, отведен на едно място, на друго място с десетки други хора; изглежда можеха да забравят за него, да го смесят с други. Но не: отговорите му, дадени по време на разпит, се върнаха към него под формата на името му: celui qui n "avoue pas son nom. И под това име, от което Пиер се страхуваше, сега го водеха нанякъде, с несъмнена увереност изписана на лицата им, че всички останали затворници и той са тези, които са били необходими и че са отведени на правилното място. ”Пиер се чувстваше като незначителен чип, уловен в колелата на непозната за него машина, но работеща правилно .
Пиер и други престъпници бяха отведени от дясната страна на Девическото поле, недалеч от манастира, до голяма бяла къща с огромна градина. Това беше къщата на княз Шчербатов, в която Пиер често посещаваше собственика и в която сега, както разбра от разговора на войниците, имаше маршал, херцог на Екмюл.
Отведоха ги на верандата и ги въвеждаха в къщата един по един. Пиер беше доведен шести. През стъклена галерия, входно антре, познато на Пиер, го отведоха в дълъг нисък кабинет, на вратата на който стоеше адютант.
Даву седеше в края на стаята над маса с очила на носа. Пиер се приближи до него. Даву, без да вдига очи, очевидно се справи с някаква хартия, която лежеше пред него. Без да вдига очи, той тихо попита:
- Qui etes vous? [Кой си ти?]
Пиер мълчеше, защото не можеше да изрече думите. Даву за Пиер не беше просто френски генерал; защото Пиер Даву беше човек, известен със своята жестокост. Гледайки студеното лице на Даву, който като строг учител се съгласи да има търпение известно време и да изчака отговор, Пиер почувства, че всяка секунда забавяне може да му струва живота; но не знаеше какво да каже. Той не посмя да каже това, което каза на първия разпит; да разкрие ранга и положението му беше едновременно опасно и срамно. Пиер мълчеше. Но преди Пиер да успее да реши каквото и да било, Даву вдигна глава, вдигна очилата към челото си, присви очи и погледна внимателно Пиер.
— Познавам този човек — каза той с премерен, студен глас, очевидно изчислен да уплаши Пиер. Студът, който преди това бе стичал гърба на Пиер, сграбчи главата му като в порок.
- Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu ... [Не можеше да ме познавате, генерале, никога не съм ви виждал.]
- C "est un espion russe, [Това е руски шпионин]", прекъсна го Даву, обръщайки се към друг генерал, който беше в стаята и когото Пиер не беше забелязал. И Даву се извърна. С неочаквано пляскане в гласа, Пиер изведнъж заговори бързо.
— Не, монсеньор — каза той, като изведнъж си спомни, че Даву е херцог. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Не, Ваше Височество... Не, Ваше Височество, не бихте могли да ме познавате. Аз съм полицай и не съм напускал Москва.]
- Votre nom? [Вашето име?] повтори Даву.
- Безухоф. [Безухов.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Кой ще ми докаже, че не лъжеш?]
- Монсеньор! [Ваше височество!] - извика Пиер с умолителен, а не обиден глас.
Даву вдигна очи и погледна внимателно Пиер. В продължение на няколко секунди те се спогледаха и този поглед спаси Пиер. В тази гледна точка, в допълнение към всички условия на война и съд, между тези двама души бяха установени човешки отношения. И двамата в тази минута смътно усетиха безброй неща и разбраха, че и двамата са деца на човечеството, че са братя.
На пръв поглед за Даву, който вдигна само глава от списъка си, където човешките дела и животът се наричаха числа, Пиер беше само обстоятелство; и, без да приема лошото дело на съвестта си, Даву щеше да го застреля; но сега той видя в него мъж. Той се замисли за момент.
- Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Как ще ми докажеш истинността на думите си?] - студено каза Даву.
Пиер си спомни за Рамбал и нарече полка си, и фамилията си, и улицата, на която беше къщата.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Ти не си това, което казваш.] - каза отново Даву.
Пиер с треперещ, счупен глас започна да доказва достоверността на показанията си.
Но в това време адютантът влезе и съобщи нещо на Даву.
Даву внезапно засия при новините, съобщени от адютанта, и започна да се закопчава. Явно напълно забрави за Пиер.
Когато адютантът му напомни за затворника, той, намръщен, кимна към Пиер и каза да го водят. Но къде трябваше да го отведат - Пиер не знаеше: обратно в кабината или до подготвеното място за екзекуция, което, минавайки през Моминото поле, неговите другари му показаха.
Обърна глава и видя, че адютантът отново пита нещо.
- Oui, sans doute! [Да, разбира се!] - каза Даву, но това "да", Пиер не знаеше.
Пиер не си спомняше как, колко време е вървял и къде. Той, в състояние на пълна глупост и тъпота, не виждайки нищо около себе си, движеше краката си заедно с останалите, докато всички спряха и той спря. Една мисъл през цялото това време беше в главата на Пиер. Това беше мисълта кой най-накрая го осъди на смърт. Това не бяха хората, които го разпитваха в комисията: нито един от тях не искаше и очевидно не можеше да го направи. Не Даву го погледна толкова човешки. Още една минута и Даву щеше да разбере какво правят нередно, но тази минута беше прекъсната от влезлия адютант. И този адютант, очевидно, не искаше нищо лошо, но не можеше да влезе. Кой най-накрая екзекутира, уби, отне живота му - Пиер с всичките му спомени, стремежи, надежди, мисли? Кой го направи? И Пиер почувства, че това е никой.
Беше ред, стечение на обстоятелствата.
Някаква заповед го уби – Пиер, лиши го от живота, всичко, унищожи го.

От къщата на княз Щербатов пленниците бяха отведени направо надолу по Девиче поле, вляво от Девишкия манастир, и отведени в градината, върху която стоеше стълбът. Зад стълба беше изкопана голяма яма с прясно изкопана пръст и голяма тълпа от хора застана в полукръг близо до ямата и стълба. Тълпата се състоеше от малък брой руснаци и голям брой наполеонови войски извън линията: германци, италианци и французи в различни униформи. Отдясно и вляво от колоната бяха фронтовете на френските войски в сини униформи с червени пагони, в ботуши и шакос.
Престъпниците бяха подредени в известен ред, който беше в списъка (Пиер беше шести) и доведени на поста. Няколко барабана изведнъж удариха от двете страни и Пиер почувства, че с този звук част от душата му е откъсната. Той загуби способността да мисли и разсъждава. Можеше само да вижда и чува. И имаше само едно желание - желанието да се случи нещо ужасно, което трябваше да се направи възможно най-скоро. Пиер погледна назад към другарите си и ги огледа.
Двама души на ръба бяха обръснати и предпазливи. Единият е висок, слаб; другият е черен, космат, мускулест, със сплескан нос. Третият беше двор, на около четиридесет и пет години, с побеляла коса и пълно, нахранено тяло. Четвъртият беше мъж, много красив, с гъста руса брада и черни очи. Петият беше фабричен работник, жълт, слаб, на около осемнайсет години, в пеньоар.
Пиер чу, че французите се съветват как да стрелят - един по един или два? — Двама наведнъж — хладно и спокойно отговори старшият офицер. Имаше раздвижване в редиците на войниците и се забелязваше, че всички бързаха - и те бързаха, не толкова, колкото бързат, да направят нещо разбираемо за всички, но в същото бързане, както бързат да извършат необходима, но неприятна и неразбираема задача.
Френски чиновник с шал мина от дясната страна на строя на престъпниците и прочете присъдата на руски и френски.
Тогава две двойки французи се приближиха до престъпниците и взеха, по указание на офицера, двама пазачи на затвора, стоящи на ръба. Пазачите, качвайки се на поста, спряха и, докато донасяха чувалите, мълчаливо ги огледаха, както нокаутирано животно гледа подходящ ловец. Единият продължаваше да се прекръсти, другият се чешеше по гърба и правеше движение с устни като усмивка. Войниците, бързащи с ръце, започнаха да им завързват очите, да обличат чували и да ги връзват за стълб.
Дванадесет души стрелци с пушки излязоха иззад редиците и спряха на осем крачки от стълба. Пиер се обърна, за да не види какво ще се случи. Изведнъж се чу трясък и трясък, който на Пиер се стори по-силен от най-ужасните гръмотевични удари, и той се огледа. Имаше дим и французите с бледи лица и треперещи ръце правеха нещо близо до ямата. Другите двама бяха водени. По същия начин, с едни и същи очи, тези двамата гледаха всички, напразно, с едни и същи очи, мълчаливо, молейки за закрила и явно не разбирайки и не вярвайки какво ще се случи. Те не можеха да повярват, защото само те знаеха какъв е животът им за тях и затова не разбираха и не вярваха, за да може да бъде отнет.
Пиер искаше да не гледа и отново се обърна; но отново, сякаш страшен взрив удари ушите му и наред с тези звуци той видя дим, нечия кръв и бледите изплашени лица на французите, които отново правеха нещо край поста, блъскайки се с треперещи ръце. Пиер, дишайки тежко, се огледа около себе си, сякаш питаше: какво е това? Същият въпрос беше във всички погледи, които срещнаха Пиер.

В този урок ще разгледаме тетраедъра и неговите елементи (ръб на тетраедъра, повърхност, лица, върхове). И ние ще решим няколко задачи за изграждане на сечения в тетраедър, използвайки общия метод за изграждане на сечения.

Тема: Паралелизъм на прави и равнини

Урок: Тетраедър. Проблеми със сечение на тетраедър

Как да изградим тетраедър? Вземете произволен триъгълник ABC... Произволна точка дне лежи в равнината на този триъгълник. Получаваме 4 триъгълника. Повърхността, образувана от тези 4 триъгълника, се нарича тетраедър (фиг. 1.). Вътрешните точки, ограничени от тази повърхност, също са част от тетраедъра.

Ориз. 1. Тетраедър ABCD

Тетраедърни елементи
А,Б, ° С, д - върхове на тетраедър.
АБ, AC, АД, пр.н.е, BD, CD - ръбове на тетраедър.
ABC, ABD, BDC, ADC - лица на тетраедър.

коментар:можеш да вземеш самолет ABC per основа на тетраедър, а след това точката де връх на тетраедър... Всеки ръб на тетраедър е пресечната точка на две равнини. Например ребро АБе пресечната точка на равнините АБди ABC... Всеки връх на тетраедър е пресечната точка на три равнини. Връх Алежи в самолети ABC, АБд, АдС... точка А- това е пресечната точка на трите обозначени равнини. Този факт е написан по следния начин: А= ABC ∩ АБд ∩ КАТОд.

Определение за тетраедър

Така, тетраедъре повърхност, образувана от четири триъгълника.

Ръб на тетраедър- линията на пресичане на две равнини на тетраедъра.

Направете 4 равни триъгълника от 6 клечки. Проблемът не може да бъде решен в самолет. И в космоса е лесно да се направи. Да вземем тетраедър. 6 съвпадения са неговите ръбове, четири лица на тетраедър и ще бъдат четири равни триъгълника. Проблемът е решен.

Дан тетраедър ABCд. точка Мпринадлежи на ръба на тетраедъра АБ, точка нпринадлежи на ръба на тетраедъра Vди точка Рпринадлежи на ръба дС(фиг. 2.). Конструирайте сечение на тетраедър с равнина MNP.

Ориз. 2. Чертеж към задача 2 - Построете сечение на тетраедър от равнина

Решение:
Помислете за лицето на тетраедъра дслънце... На този ръб на точката ни Пкраищата принадлежат дслънце, а оттам и тетраедърът. Но според условието на точката Н, Ппринадлежат на сечещата равнина. означава, НПе линията на пресичане на две равнини: лицева равнина дслънцеи секуща равнина. Да предположим, че правите линии НПи слънцене успоредно. Лежат в една и съща равнина. дслънце.Намерете пресечната точка на линиите НПи слънце... Ние го обозначаваме Е(фиг. 3.).

Ориз. 3. Чертеж за задача 2. Намиране на точка E

точка Епринадлежи на секционната равнина MNPтъй като лежи на права линия НПи направо НПлежи изцяло в равнината на сечението MNP.

Също точка Ележи в самолета ABCзащото лежи на права линия слънцеизвън самолета ABC.

Ние разбираме това ЯЖТЕ- линия на пресичане на равнини ABCи MNP,тъй като точките Еи Млежат едновременно в две равнини - ABCи MNP.Свържи точките Ми Е, и продължете направо ЯЖТЕпреди да пресече права линия КАТО... Пресечна точка на линиите ЯЖТЕи КАТОобозначават В.

Така че в този случай NPQMе необходимият раздел.

Ориз. 4. Чертеж за задача 2. Решение на задача 2

Нека сега разгледаме случая, когато НПуспоредно пр.н.е... Ако прави НПуспоредна на някаква права линия, например права линия слънцеизвън самолета ABCслед това направо НПуспоредно на цялата равнина ABC.

Желаната секционна равнина минава през права линия НПуспоредно на равнината ABC, и пресича равнината по права линия МQ... Така че линията на пресичане МQуспоредно на правата линия НП... Получаваме NPQMе необходимият раздел.

точка Млежи на страничния ръб АдVтетраедър ABCд... Построете сечение на тетраедър с равнина, която минава през точка Муспоредно на основата ABC.

Ориз. 5. Чертеж за задача 3 Построете сечение на тетраедър от равнина

Решение:
Режеща равнина φ успоредно на равнината ABCпо условие, това означава, че тази равнина φ успоредни на прави линии АБ, КАТО, слънце.
В самолета АБдпрез точката Мнека начертаем права линия PQуспоредно АБ(фиг. 5). Направо PQлежи в самолета АБд... По същия начин и в самолета КАТОдпрез точката Рнека начертаем права линия PRуспоредно КАТО... Разбрах смисъла Р... Две пресичащи се линии PQи PRсамолет PQRсъответно успоредни на две пресичащи се прави линии АБи КАТОсамолет ABCследователно самолетите ABCи PQRса успоредни. PQRе необходимият раздел. Проблемът е решен.

Дан тетраедър ABCд... точка М- вътрешна точка, лицева точка на тетраедър АБд. н- вътрешна точка на сегмента дС(фиг. 6.). Начертайте пресичане на линия НМи самолет ABC.

Ориз. 6. Чертеж за задача 4

Решение:
За да решите, постройте спомагателна равнина дМN... Нека бъде направо дМпресича правата AB в точката ДА СЕ(фиг. 7.). Тогава, SCде част от самолета дМNи тетраедър. В самолета дМNлъжи и направо НМ, и получената права линия SC... Така че, ако НМне успоредно SC, тогава те ще се пресичат в някакъв момент Р... точка Ри ще има желаната пресечна точка на правата линия НМи самолет ABC.

Ориз. 7. Чертеж за задача 4. Решение на задача 4

Дан тетраедър ABCд. М- вътрешна точка на лицето АБд. Р- вътрешна точка на лицето ABC. н- вътрешна точка на реброто дС(фиг. 8.). Построете сечение на тетраедър с равнина, минаваща през точките М, ни Р.

Ориз. 8. Чертеж за задача 5 Построете сечение на тетраедър от равнина

Решение:
Помислете за първия случай, когато правата линия MNне е успоредна на равнината ABC... В последната задача намерихме пресечната точка на правата MNи самолет ABC... Това е въпросът ДА СЕ, се получава с помощта на спомагателната равнина дМN, т.е. ние правим дМи получаваме точка Ф... Ние изпълняваме CFи на кръстовището MNсхванете идеята ДА СЕ.

Ориз. 9. Чертеж за задача 5. Намиране на точка К

Да начертаем права линия KR... Направо KRлежи както в равнината на сечението, така и в равнината ABC... Получаваме точки R 1и R 2... Ние се свързваме R 1и Ми в продължението разбираме точката М 1... Свържете точката R 2и н... В резултат на това получаваме необходимия раздел Р 1 Р 2 НМ 1... Проблемът в първия случай е решен.
Помислете за втория случай, когато правата линия MNуспоредно на равнината ABC... Самолет MNPпреминава през права линия МNуспоредно на равнината ABCи пресича самолета ABCпо някаква права линия R 1 R 2след това направо R 1 R 2успоредно на тази линия MN(фиг. 10.).

Ориз. 10. Чертеж за задача 5. Необходимият разрез

Сега нека начертаем права линия P 1 Mи вземете точка М 1.Р 1 Р 2 НМ 1е необходимият раздел.

И така, ние разгледахме тетраедъра, решихме някои типични задачи за тетраедъра. В следващия урок ще разгледаме кутия.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, преработено и допълнено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : аз ще. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива)

2. Шаригин И.Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: Ил. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Дропла, 008 .-- 233 с. : аз ще. Геометрия. 10 клас: Учебник за учебни заведения със задълбочено и специализирано изучаване на математика

Допълнителни уеб ресурси

2. Как да построим разрез на тетраедър. Математика ().

3. Фестивал на педагогическите идеи ().

Правете домашни задачи по темата "Тетраедър", как да намерите ръба на тетраедър, лица на тетраедър, върхове и повърхност на тетраедър

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, преработено и допълнено - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задачи 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Есредно ребро МАтетраедър MAVS... Построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точките Б, Ви Е.

3. В тетраедъра MAVS точка M принадлежи на AMB лице, точка P - на BMC лице, точка K - на AC ръб. Построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точките М, Р, К.

4. Какви фигури могат да се получат в резултат на пресичане на равнината на тетраедъра?

Забележка... Това е част от урока с геометрични задачи (раздел стереометрия, задачи на пирамида). Ако трябва да решите геометричен проблем, който не е тук, пишете за него във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.За прости радикални изрази може да се използва знакът "√".. Правилен тетраедъре правилна триъгълна пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници.

За правилен тетраедър всички диедрични ъгли по ръбовете и всички триедрични ъгли при върховете са равни

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилен тетраедър са дадени в таблицата.

Където:
S - Площ на повърхността на правилен тетраедър
V - обем
h - височина, спусната до основата
r - радиус на окръжност, вписана в тетраедър
R - радиусът на описаната окръжност
а - дължина на ребрата

Практически примери

Задача.
Намерете повърхността на триъгълна пирамида с всеки ръб равен на √3

Решение.
Тъй като всички ръбове на триъгълна пирамида са равни, тя е правилна. Повърхността на правилната триъгълна пирамида е S = a 2 √3.
Тогава
S = 3√3

Отговор: 3√3

Задача.
Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са 4 см. Намерете обема на пирамидата

Решение.
Тъй като в правилна триъгълна пирамида височината на пирамидата е проектирана в центъра на основата, която е и центърът на описаната окръжност, тогава

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Така че височината на пирамидата OM може да се намери от правоъгълния триъгълник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Обемът на пирамидата се намира по формулата V = 1/3 Sh
В този случай площта на основата се намира по формулата S = √3 / 4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Отговор: 16√2 / 3 см

раздели: математика

План за подготовка и провеждане на урока:

I. Подготвителен етап:

1. Повторение на известните свойства на триъгълната пирамида.
2. Излагане на хипотези за възможни, неразглеждани по-рано, характеристики на тетраедъра.
3. Формиране на групи за провеждане на изследване на тези хипотези.
4. Разпределение на задачите за всяка група (отчитайки желанието).
5. Разпределение на отговорностите за задачата.

II. Основният етап:

1. Решение на хипотезата.
2. Консултация с учител.
3. Регистрация на работа.

III. Последният етап:

1. Представяне и защита на хипотезата.

Цели на урока:

• да обобщи и систематизира знанията и уменията на учениците; изучаване на допълнителен теоретичен материал по посочената тема; да научи да прилага знания при решаване на нестандартни задачи, да вижда прости компоненти в тях;
• да формират умението на учениците да работят с допълнителна литература, да усъвършенстват умението да анализират, обобщават, намират основното в прочетеното, доказват нови неща; развиват комуникативните умения на учениците;
• насърчаване на графична култура.

Подготвителен етап (1 урок):

1. Студентско послание „Тайните на Великите пирамиди“.
2. Встъпително слово на учителя за разнообразието от видове пирамиди.
3. Обсъждане на проблеми:

• Какви са критериите за комбиниране на неправилни триъгълни пирамиди
• Какво имаме предвид под ортоцентър на триъгълник и какво може да се нарече ортоцентър на тетраедър
• Правоъгълният тетраедър има ли ортоцентър?
• Кой тетраедър се нарича изоедър Какви свойства може да има?

1. В резултат на разглеждане на различни тетраедри, обсъждане на техните свойства, понятията се изясняват и се появява определена структура:

1. Помислете за свойствата на правилния тетраедър (Приложение)

Свойства 1-4 се доказват устно с помощта на Slide1.

Свойство 1: Всички ръбове са равни.

Свойство 2: Всички равнинни ъгли са 60°.

Свойство 3: Сумите от равнинните ъгли при всеки три върха на тетраедъра са 180°.

Свойство 4: Ако тетраедърът е правилен, тогава всеки от върховете му се проектира в ортоцентъра на противоположната страна.

дадено:

ABCD е правилен тетраедър

AH - височина

Докажи:

H - ортоцентър

доказателство:

1) точката H може да съвпада с всяка от точките A, B, C. Нека H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Помислете за ABH, BCH, ADH

AD - общо => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD т. H - е ортоцентърът ABC

Q.E.D.

1. В урок 1 свойства 5-9 са формулирани като хипотези, които изискват доказателство.

Всяка група получава своя домашна работа:

Докажете едно от свойствата.

Подгответе обосновка с презентация.

II. Основен етап (в рамките на една седмица):

1. Решение на хипотезата.
2. Консултация с учител.
3. Регистрация на работа.

III. Краен етап (1-2 урока):

Представяне и защита на хипотезата с помощта на презентации.

Когато подготвят материала за последния урок, учениците стигат до извода за особеността на точката на пресичане на височини, ние сме съгласни да я наречем „удивителна“ точка.

Свойство 5: Центровете на описаната и вписаната сфера съвпадат.

дадено:

DABC - правилен тетраедър

О 1 - центърът на описаната сфера

О - центърът на вписаната сфера

N - точката на допиране на вписаната сфера с лицето ABC

Докажете: О 1 = О

доказателство:

Нека OA = OB = OD = OC са радиусите на описаната окръжност

Нека пропуснем ОN + (ABC)

AON = CON - правоъгълна, по протежение на катета и хипотенуза => AN = CN

Пропуснете OM + (BCD)

COM DOM - правоъгълна, по протежение на катета и хипотенуза => CM = DM

От т. 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM са радиусите на вписаната окръжност.

Теоремата е доказана.

За правилен тетраедър има възможност за неговото взаимно положение със сфера - докосване на определена сфера с всичките й ръбове. Тази сфера понякога се нарича „полувписана“.

Свойство 6: Отсечките, свързващи средните точки на противоположни ръбове и перпендикулярни на тези ръбове, са радиусите на полувписаната сфера.

дадено:

ABCD е правилен тетраедър;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

Докажи:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Доказателство.

Тетраедър ABCD - правилно => AO = BO = CO = DO

Помислете за триъгълници AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>?AOB - равнобедрен =>
OL - медиана, височина, ъглополовяща
AO = CO =>? AOC– равнобедрен =>
ОК - медиана, височина, ъглополовяща
CO = DO =>?COD– равнобедрен =>
ON– медиана, височина, ъглополовяща AOB => AOC = COD =
BO = DO =>? BOD– равнобедрен => BOD = BOC = AOD
OM - медиана, височина, ъглополовяща
AO = DO =>? AOD– равнобедрен =>
OS - медиана, височина, ъглополовяща
BO = CO =>? BOC– равнобедрен =>
OP – медиана, височина, ъглополовяща
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - височини равни на OL, OK, ON, OM, OS, OP радиуси

равнобедрен триъгълник на сферата

Извод:

В правилен тетраедър може да се начертае полувписана сфера.

Свойство 7:ако тетраедърът е правилен, тогава всеки два противоположни ръба на тетраедъра са взаимно перпендикулярни.

дадено:

DABC - правилен тетраедър;

H - ортоцентър

Докажи:

доказателство:

DABC - правилен тетраедър =>? ADB - равностранен

(ADB) (EDC) = ED

ED - височина ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

По подобен начин се доказва перпендикулярността на други ръбове.

Свойство 8: Шест равнини на симетрия се пресичат в една точка. В точка O се пресичат четири прави линии, проведени през центровете на описаното около ръбовете на окръжностите, перпендикулярни на равнините на лицата, а точка O е центърът на описаната сфера.

дадено:

ABCD е правилен тетраедър

Докажи:

O - центърът на описаната сфера;

6 равнини на симетрия се пресичат в точка O;

Доказателство.

CG + BD, защото BCD - равностранен => GO + BD (по теоремата за три перпендикуляра GO + BD)

BG = GD, защото AG - медиана ABD

ABD (ABD) =>? BOD - равнобедрен => BO = DO

ED + AB, защото ABD - едностранно => OE + AD (по теоремата за трите перпендикуляри)

BE = AE, защото DE е медианата? ABD

ABD (ABD) =>?AOB - равнобедрен => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (по теоремата за три

BF + AC, защото ABC - равностранни перпендикуляри)

AF = FC, защото BF - медиана? ABC

ABC (ABC) => AOC - равнобедрен => AO = CO

(AOC)? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - радиуси на сфера,

AO = CO, описано около тетраедър ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

следователно:

Точка O е центърът на описаната сфера,

6 равнини на симетрия се пресичат в точка О.

Свойство 9: Тъпият ъгъл между перпендикулярите, преминаващи през върховете на тетраедъра към ортоцентрите, е 109 ° 28 "

дадено:

ABCD е правилен тетраедър;

O е центърът на описаната сфера;

Докажи:

доказателство:

1) AS - височина

ASB = 90 o OSB правоъгълен

2) (чрез свойството на правилен тетраедър)

3) AO = BO - радиусите на описаната сфера

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? BOD =? BOC

е пресечната точка на височините на правилния тетраедър

е центърът на вписаната сфера

е центърът на полувписаната сфера

е центърът на описаната сфера

е центърът на тежестта на тетраедъра

е върха на четири равни правилни триъгълни пирамиди с основи - тетраедърни лица.

Заключение.

(Учителят и учениците обобщават урока. Един от учениците говори с кратко съобщение за тетраедрите като структурна единица от химични елементи.)

Изследват се свойствата на правилния тетраедър и неговата „удивителна“ точка.

Установено е, че формата само на такъв тетраедър, който има всички изброени по-горе свойства, както и „идеална“ точка, може да има молекули силикати и въглеводороди. Алтернативно, молекулите могат да бъдат съставени от няколко правилни тетраедра. В момента тетраедърът е известен не само като представител на древната цивилизация, математиката, но и като основа на структурата на веществата.

Силикатите са солеподобни вещества, съдържащи силициево-кислородни съединения. Името им идва от латинската дума "sylex" - "кремен". Основата на силикатните молекули са атомните радикали под формата на тетраедри.

Силикатите са пясък, глина, тухли, стъкло, цимент, емайл, талк, азбест, смарагд и топаз.

Силикатите съставляват повече от 75% от земната кора (и заедно с кварца около 87%) и повече от 95% от магматични скали.

Важна характеристика на силикатите е способността за взаимно комбиниране (полимеризация) на два или повече силициево-кислородни тетраедри чрез общ кислороден атом.

Наситените въглеводороди имат същата форма на молекули, но се състоят, за разлика от силикатите, от въглерод и водород. Обща формула на молекулите

Въглеводородите включват природен газ.

Необходимо е да се вземат предвид свойствата на правоъгълните и равностранните тетраедри.

литература.

• Потапов В.М., Татаринчик С.Н. „Органична химия”, Москва 1976г
• В. П. Бабарин „Тайните на големите пирамиди”, Санкт Петербург, 2000г.
• Шаригин И. Ф. „Проблеми в геометрията“, Москва, 1984 г.
• Голям енциклопедичен речник.
• "Училищен справочник", Москва, 2001 г.

|
тетраедър, тетраедър формула
тетраедър(старогръцки τετρά-εδρον - тетраедър, от старогръцки. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες – „четири” + старогръцки. ἕδρα - "седалка, основа") е най-простият полиедър, чиито лица са четири триъгълника. Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба. Тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници, се нарича правилен. Правилният тетраедър е един от петте правилни полиедъра.

• 1 Свойства на тетраедъра
• 2 вида тетраедри
• 3 Обем на тетраедър
• 4 тетраедъра в микросвета
• 5 тетраедъра в природата
• 6 тетраедъра в техниката
• 7 Бележки
• 8 Вижте също

Свойства на тетраедъра

• Паралелни равнини, минаващи през двойки пресичащи се ръбове на тетраедър, определят паралелепипед, описан около тетраедъра.
• Равнината, минаваща през средните точки на два пресичащи се ръба на тетраедъра, го разделя на две части с равен обем.: 216-217

Видове тетраедри

В допълнение към правилния тетраедър се разграничават следните специални видове тетраедри.

• Равностранен тетраедър с всички лица са равни триъгълници.
• Ортоцентричен тетраедър, в който всички височини, паднали от върховете до противоположните страни, се пресичат в една точка.
• Правоъгълен тетраедър, в който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг.
• Скелетният тетраедър е тетраедър, който отговаря на някое от следните условия:
  • има сфера, докосваща всички ръбове,
  • сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни,
  • сумите от двустранните ъгли на противоположните ръбове са равни,
  • кръговете, вписани в лицата, се докосват по двойки,
  • са описани всички четириъгълници, получени при развитието на тетраедър,
  • перпендикуляри, издигнати към лицата от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.
• Съизмерим тетраедър с еднакви височини.
• Инцентричен тетраедър, в който сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжностите, вписани в противоположни страни, се пресичат в една точка.

Обем на тетраедъра

Обемът на тетраедъра (като се вземе предвид знака), чиито върхове са разположени в точките, е равен на:

Или къде е площта на всяко лице и височината, паднала на това лице.

Чрез дължините на ръбовете обемът на тетраедъра се изразява с помощта на детерминантата на Cayley-Menger:

Тетраедри в микросвета

• Правилният тетраедър се образува по време на sp3 хибридизация на атомни орбитали (осите им са насочени към върховете на правилния тетраедър, а ядрото на централния атом се намира в центъра на описаната сфера на правилния тетраедър), следователно, много молекули в който се извършва такава хибридизация на централния атом, имат формата на този полиедър
• Молекула на метан CH4
• Амониев йон NH4+
• Сулфатен йон SO42-, фосфат йон PO43-, перхлоратен йон ClO4- и много други йони
• Диамант C е тетраедър с ръб, равен на 2,5220 ангстрьома
• Флуорит CaF2, тетраедър с ръб, равен на 3, 8626 ангстрема
• Сфалерит, ZnS, тетраедър с ръб, равен на 3,823 ангстрема
• Комплексни йони -, 2-, 2-, 2+
• Силикати, чиято структура се основава на силициево-кислородния тетраедър 4-

Тетраедри в природата

Орехов тетраедър

Някои плодове, които са четири от едната страна, са разположени във върховете на тетраедър, който е близо до правилния. Този дизайн се дължи на факта, че центровете на четири еднакви топки, докосващи се една друга, са във върховете на правилен тетраедър. Следователно, подобните на топка плодове образуват подобно взаимно подреждане. Така например могат да се позиционират орехите.

Тетраедри в технологията

• Тетраедърът образува твърда, статично дефинируема структура. Тетраедърът, изработен от пръти, често се използва като основа за пространствени носещи конструкции на участъци на сгради, подове, греди, ферми, мостове и др. Пръчките са подложени само на надлъжни натоварвания.
• Правоъгълният тетраедър се използва в оптиката. Ако лицата с прав ъгъл са покрити с отразяващо съединение или целият тетраедър е направен от материал със силно пречупване на светлината, така че да се получи ефектът на пълно вътрешно отражение, тогава светлината, насочена към лицето, противоположно на върха с прав ъгъл ще се отрази в същата посока, от която дойде... Това свойство се използва за създаване на ъглови рефлектори, рефлектори.
• Кватернерната тригерна графика е тетраедър.

Бележки (редактиране)

1. Древногръцко-руски речник на Бътлър "τετρά-εδρον"
2. Селиванов Д.Ф.,. Геометрично тяло // Енциклопедичен речник на Брокхаус и Ефрон: 86 тома (82 тома и 4 допълнителни). - СПб., 1890-1907.
3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторна алгебра в примери и задачи. - М .: Висше училище, 1985 .-- 232 с.
4. В. Е. МАТИЗЕН Униформени и рамкови тетраедри "Квант" No 7, 1983г.
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Тригер

Вижте също

• Симплекс - n-мерен тетраедър

Полиедри
вярно (платонови тела)
вярно неизпъкнал	Звезден додекаедър Звезден икосидодекаедър Звезден икосаедър Звезден полиедър Звезден октаедър
Изпъкнала	Архимедови тела Кубоктаедър Икосидодекаедър Скъсен тетраедър Скъсен октаедър Анти- пресечен икосаедър Скъсен куб Скъсен додекаедър Ромбокубооктаедър Ромбокозододекаедър Ромбо- пресечен кубоктаедър Ромбоктаедър пресечен ромбокубодекаедър Ромбоктаедър пресечен ромбокубокуб Каталунски тела Ромбододекаедър Ромботриаконтаедър Триакистететраедър Тетракишексаедър Пентакисдодекаедър Триакисоктаедър Триакисикосаедър Делтоиден икоситетраедър Делтоиден шестнадесетичен Пентагонален икостетраедър Без пълно пространствена симетрия Пирамида Призма Бипирамида Антипризма Зоноедър Паралелепипед Ромбоедър Призматоид Пресечена пирамида Пентагондодекаедър паралелоедър
формули, теореми, теория	Теорема на Александров за изпъкнали политопи Теорема на Бликер Теорема на Коши за политопи Теорема на Линделоф за многогранници Теорема на Минковски за политопи Теорема на Сабитов Теорема на Ойлер за многогранници Формула на Шлефли
Друго	Ортоцентричен тетраедър Равен тетраедър Правоъгълен паралелепипед Полиедърна група Додекаедри Плътен ъгъл Единичен куб Сгъваем полиедър Разгъване Символ на Шлефли Полиедър на Джонсън Многоизмерен (N-измерен тетраедър Tesseract Penteprateract Hexera) Hexera

тетраедър, тетраедър, тетраедър, тетраедър страничен изглед, тетраедър страничен изглед, тетраедър страничен изглед, тетраедър геж ю ве, тетраедър геж ю ве, тетраедър геж ю ве, тетраедър, дүrs, тетраедър, снимки на хартия, тетраедър, снимки тетраедър, тетраедър дефиниция на тетраедър, дефиниция на тетраедър, дефиниция на тетраедър, формули за тетраедър, формули за тетраедър, формули за тетраедър, модел на тетраедър, чертеж на тетраедър, чертеж на тетраедър, тетраедър

Информация за Tetrahedron