Права триъгълна пирамида. Пирамида. Визуално ръководство (2019)

• апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, която се изтегля от нейния връх (освен това апотемата е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилния многоъгълник до една от страните му);
• странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се срещат във върха;
• странични ребра ( КАТО , Б.С. , C.S. , Д.С. ) — общи страни на страничните лица;
• върха на пирамидата (т. S) - точка, която свързва страничните ребра и която не лежи в равнината на основата;
• височина ( ТАКА ) - перпендикулярен сегмент, начертан през върха на пирамидата към равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
• диагонално сечение на пирамидата- разрез на пирамидата, който минава през върха и диагонала на основата;
• база (ABCD) - многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Свойства на пирамидата.

1. Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава:

• лесно е да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
• страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата;
• Освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ребра се образуват с равнината на основата равни ъгли, или когато кръг може да бъде описан близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг, което означава, че всички странични ръбове на пирамидата са с еднакъв размер.

2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон към равнината на основата със същата стойност, тогава:

• лесно е да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
• височините на страничните лица са с еднаква дължина;
• площта на страничната повърхност е равна на ½ произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

3. Може да се опише сфера около пирамида, ако в основата на пирамидата има многоъгълник, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средите на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.

4. Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.

Най-простата пирамида.

Въз основа на броя на ъглите основата на пирамидата е разделена на триъгълна, четириъгълна и т.н.

Ще има пирамида триъгълна, четириъгълна, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълни - петоъгълни и така нататък.

Триизмерна фигура, която често се появява в геометрични задачи, е пирамидата. Най-простата от всички фигури в този клас е триъгълна. В тази статия ще анализираме подробно основните формули и свойствата на правилните

Геометрични идеи за фигурата

Преди да преминем към разглеждане на свойствата на правилната триъгълна пирамида, нека разгледаме по-подробно за каква фигура говорим.

Да приемем, че в триизмерното пространство има произволен триъгълник. Нека изберем всяка точка от това пространство, която не лежи в равнината на триъгълника и я свържем с трите върха на триъгълника. Имаме триъгълна пирамида.

Състои се от 4 страни, всички от които са триъгълници. Точките, в които се срещат три лица, се наричат ​​върхове. Фигурата също има четири от тях. Линиите на пресичане на две лица са ръбове. Въпросната пирамида има 6 ръба на фигурата по-долу.

Тъй като фигурата е образувана от четири страни, тя се нарича още тетраедър.

Правилна пирамида

По-горе разгледахме произволна фигура с триъгълна основа. Сега да предположим, че начертаваме перпендикулярен сегмент от върха на пирамидата до нейната основа. Този сегмент се нарича височина. Очевидно можете да нарисувате 4 различни височини за фигурата. Ако височината пресича триъгълната основа в геометричния център, тогава такава пирамида се нарича права.

Права пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник, се нарича правилна. За нея се образуват и трите триъгълника странична повърхностфигурите са равнобедрени и равни една на друга. Специален случай на правилна пирамида е ситуацията, когато и четирите страни са равностранни еднакви триъгълници.

Нека разгледаме свойствата на правилна триъгълна пирамида и да дадем съответните формули за изчисляване на нейните параметри.

Основна страна, височина, страничен ръб и апотема

Всеки два от изброените параметъра еднозначно определят другите две характеристики. Нека представим формули, които свързват тези количества.

Да приемем, че страната на основата на правилна триъгълна пирамида е a. Дължината на страничния му ръб е b. Каква ще бъде височината на правилна триъгълна пирамида и нейната апотема?

За височина h получаваме израза:

Тази формула следва от Питагоровата теорема, за която са страничният ръб, височината и 2/3 от височината на основата.

Апотемата на пирамидата е височината на всеки страничен триъгълник. Дължината на апотемата a b е равна на:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

От тези формули става ясно, че каквато и да е страната на основата на триъгълна правилна пирамида и дължината на нейния страничен ръб, апотемата винаги ще бъде по-голяма от височината на пирамидата.

Представените две формули съдържат и четирите линейни характеристики на въпросната фигура. Следователно, при известните две от тях, можете да намерите останалите, като решите системата от писмени равенства.

Обем на фигурата

За абсолютно всяка пирамида (включително наклонена) стойността на обема на ограниченото от нея пространство може да се определи, като се знае височината на фигурата и площта на нейната основа. Съответната формула е:

Прилагайки този израз към въпросната фигура, получаваме следната формула:

Където височината на правилна триъгълна пирамида е h, а нейната основна страна е a.

Не е трудно да се получи формула за обема на тетраедър, в който всички страни са равни една на друга и представляват равностранни триъгълници. В този случай обемът на фигурата се определя по формулата:

Това означава, че се определя еднозначно от дължината на страната a.

Площ

Нека продължим да разглеждаме свойствата на правилната триъгълна пирамида. Общата площ на всички лица на фигура се нарича нейната повърхност. Последното може да бъде удобно проучено чрез разглеждане на съответното развитие. Фигурата по-долу показва как изглежда развитието на правилна триъгълна пирамида.

Да приемем, че знаем височината h и страната на основата a на фигурата. Тогава площта на основата му ще бъде равна на:

Всеки ученик може да получи този израз, ако си спомни как да намери площта на триъгълник и също така вземе предвид, че надморската височина на равностранен триъгълник също е ъглополовяща и медиана.

Площта на страничната повърхност, образувана от три еднакви равнобедрени триъгълника, е:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Това равенство следва от израза на апотемата на пирамидата по отношение на височината и дължината на основата.

Общата площ на фигурата е:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Обърнете внимание, че за тетраедър, в който и четирите страни са еднакви равностранни триъгълници, площта S ще бъде равна на:

Свойства на правилна пресечена триъгълна пирамида

Ако върхът на разглежданата триъгълна пирамида се отреже с равнина, успоредна на основата, тогава останалите Долна частще се нарича пресечена пирамида.

В случай на триъгълна основа, резултатът от описания метод на сечение е нов триъгълник, който също е равностранен, но има по-къса дължина на страната от страната на основата. Съкратен триъгълна пирамидапоказано по-долу.

Виждаме, че тази фигура вече е ограничена от две триъгълни основи и три равнобедрени трапеца.

Да приемем, че височината на получената фигура е равна на h, дължините на страните на долната и горната основа са съответно a 1 и a 2, а апотемата (височината на трапеца) е равна на a b. Тогава повърхността на пресечената пирамида може да се изчисли по формулата:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Тук първият член е площта на страничната повърхност, вторият член е площта на триъгълните основи.

Обемът на фигурата се изчислява, както следва:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

За да определите недвусмислено характеристиките на пресечена пирамида, трябва да знаете нейните три параметъра, което се демонстрира от дадените формули.

Триъгълна пирамида е пирамида, която има триъгълник в основата си. Височината на тази пирамида е перпендикулярът, който се спуска от върха на пирамидата до нейната основа.

Намиране на височината на пирамида

Как да намерите височината на пирамида? Много просто! За да намерите височината на всяка триъгълна пирамида, можете да използвате формулата за обем: V = (1/3)Sh, където S е площта на основата, V е обемът на пирамидата, h е нейната височина. От тази формула извлечете формулата за височина: за да намерите височината на триъгълна пирамида, трябва да умножите обема на пирамидата по 3 и след това да разделите получената стойност на площта на основата, тя ще бъде: h = (3V)/S. Тъй като основата на триъгълна пирамида е триъгълник, можете да използвате формулата за изчисляване на площта на триъгълник. Ако знаем: площта на триъгълника S и неговата страна z, тогава според формулата за площ S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, където h е височината на пирамидата, γ е ръбът на триъгълника; ъгълът между страните на триъгълника и самите две страни, след което използвайки следната формула: S = (1/2)γφsinQ, където γ, φ са страните на триъгълника, намираме площта на триъгълника. Стойността на синуса на ъгъл Q трябва да се разгледа в таблицата на синусите, която е достъпна в Интернет. След това заместваме стойността на площта във формулата за височина: h = (2S)/γ. Ако задачата изисква изчисляване на височината на триъгълна пирамида, тогава обемът на пирамидата вече е известен.

Правилна триъгълна пирамида

Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, тоест пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници, като знаете размера на ръба γ. В този случай ръбовете на пирамидата са страни на равностранни триъгълници. Височината на правилна триъгълна пирамида ще бъде: h = γ√(2/3), където γ е ръбът на равностранния триъгълник, h е височината на пирамидата. Ако площта на основата (S) е неизвестна и са дадени само дължината на ръба (γ) и обемът (V) на полиедъра, тогава необходимата променлива във формулата от предишната стъпка трябва да бъде заменена чрез неговия еквивалент, който се изразява като дължина на ръба. Площта на триъгълник (правилен) е равна на 1/4 от произведението на дължината на страната на този триъгълник на квадрат по корен квадратен от 3. Ние заместваме тази формула вместо площта на основата в предишния формула и получаваме следната формула: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Обемът на тетраедър може да се изрази чрез дължината на неговия ръб, след което от формулата за изчисляване на височината на фигура можете да премахнете всички променливи и да оставите само страната на триъгълното лице на фигурата. Обемът на такава пирамида може да се изчисли, като се раздели на 12 от произведението на кубичната дължина на лицето й на корен квадратен от 2.

Замествайки този израз в предишната формула, получаваме следната формула за изчисление: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Освен това правилна триъгълна призма може да бъде вписана в сфера и като се знае само радиуса на сферата (R), може да се намери височината на самия тетраедър. Дължината на ръба на тетраедъра е: γ = 4R/√6. Заменяме променливата γ с този израз в предишната формула и получаваме формулата: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Същата формула може да се получи, като се знае радиуса (R) на окръжност, вписана в тетраедър. В този случай дължината на ръба на триъгълника ще бъде равна на 12 съотношения между корен квадратенот 6 и радиус. Заместваме този израз в предишната формула и имаме: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как да намерите височината на правилна четириъгълна пирамида

За да отговорите на въпроса как да намерите дължината на височината на пирамида, трябва да знаете какво е правилна пирамида. Четириъгълна пирамида е пирамида, която има четириъгълник в основата си. Ако в условията на проблема имаме: обем (V) и площ на основата (S) на пирамидата, тогава формулата за изчисляване на височината на полиедъра (h) ще бъде следната - разделете обема, умножен с 3 по площта S: h = (3V)/S. Дадена е квадратна основа на пирамида с даден обем (V) и дължина на страната γ, заменете площта (S) в предишната формула с квадрата на дължината на страната: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Височината на правилна пирамида h = SO минава точно през центъра на окръжността, която е описана близо до основата. Тъй като основата на тази пирамида е квадрат, точка O е пресечната точка на диагонали AD и BC. Имаме: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. След това в правоъгълния триъгълник SOC намираме (използвайки Питагоровата теорема): SO = √(SC 2 -OC 2). Сега знаете как да намерите височината на правилна пирамида.

Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, засегнахме темата „Пирамида“. Тази тема ни хареса, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашите бъдеща професияархитект, вдъхновени от тази фигура, смятаме, че тя може да ни тласне към страхотни проекти.

Здравината на архитектурните структури е най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, ние говорим заза онази геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометрична формаопределя и здравината на една архитектурна конструкция.

От древни времена египетските пирамиди се считат за най-издръжливите архитектурни структури. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамида гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Цел на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията си и намерете практическо приложение.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

· Научете историческа информация за пирамидата

· Разгледайте пирамидата като геометрична фигура

· Намерете приложение в бита и архитектурата

· Открийте приликите и разликите между пирамиди, разположени в различни части на света

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата е положено в Древен Египет и Вавилон, но активно се развива през Древна Гърция. Първият, който установява обема на пирамидата, е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите „Елементи“ и също така извежда първото определение на пирамида: твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробници на египетски фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза - в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Изграждането на пирамидата, в която гърците и римляните вече виждат паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, обрекла целия народ на Египет на безсмислено строителство, беше най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистична идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата през свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известни са и специалните култови почести, които са били отдавани на самата пирамида.

Основни понятия

Пирамидасе нарича многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх.

апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх;

Странични лица- триъгълници, срещащи се във връх;

Странични ребра- общи страни на страничните лица;

Върхът на пирамидата- точка, свързваща страничните ребра и не лежаща в равнината на основата;

Височина- перпендикулярен сегмент, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основни свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Странична зона и пълна повърхностпирамиди.

Площта на страничната повърхност на пирамида (пълна и пресечена) е сумата от площите на всички нейни странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всичките й лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- основен периметър;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

стр. 1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща повърхност на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S 1 + S 2- основна площ

Обем на пирамидата

Форма volume ula се използва за пирамиди от всякакъв вид.

з- височина на пирамидата.

Ъгли на пирамида

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат ​​двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Ъглите, образувани от страничния ръб и неговата проекция върху основната равнина, се наричат ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Пирамидни секции

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, следователно сечението на пирамидата, определено от режеща равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонално сечение

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамида– пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

За правилна пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенните ъгли в основата са равни

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични ръбове

Пресечена пирамида- част от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечена пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е центърът на основата, SO=8 cm, BD=30 cm Намерете страничния ръб SA.

Разрешаване на проблем

номер 1. IN правилна пирамидавсички лица и ръбове са равни.

Помислете за OSB: OSB е правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 =SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамидата е монументална структура с формата на обикновена правилна геометрична пирамида, при което странисе събират в една точка. от функционално предназначениеПирамидите в древността са били места за погребения или култови поклонения. Основата на пирамидата може да бъде триъгълна, четириъгълна или във формата на многоъгълник с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Има значителен брой пирамиди, построени от различни култури. Древен святпредимно като храмове или паметници. Големите пирамиди включват египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Сградите на пирамидите напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетски пирамидинай-големите архитектурни паметници Древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. В допълнение към офисите и сервизните помещения, вътре в обема има доста просторна концертна зала, която има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който е „мълчалив, непроменен и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-великия музей в света. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.