Как да намерите обема на правилна шестоъгълна пирамида по формула. Обем на правилна шестоъгълна пирамида

Проблеми с пирамидите. В тази статия ще продължим да разглеждаме проблемите с пирамидите. Те не могат да бъдат причислени към нито един клас или тип задачи и не могат да бъдат дадени общи (алгоритмични) препоръки за решение. Просто тук се събират останалите задачи, които не бяха разгледани по-рано.

Ще изброя теорията, която трябва да опресните паметта си, преди да решите: пирамиди, свойства на подобие на фигури и тела, свойства на правилни пирамиди, Питагорова теорема, формула за площта на триъгълник (това е второто). Нека разгледаме задачите:

от триъгълна пирамида, чийто обем е 80, триъгълна пирамида се отрязва от равнина, минаваща през върха на пирамидата и средната линия на основата. Намерете обема на отсечената триъгълна пирамида.

Обемът на пирамида е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа и нейната височина:

Тези пирамиди (първоначални и отсечени) имат обща височина, така че техните обеми са свързани като площите на техните основи. средна линияот оригиналния триъгълник, отрязва триъгълник, чиято площ е четири пъти по-малка, тоест:

Повече информация за това можете да намерите тук.

Това означава, че обемът на отсечената пирамида ще бъде четири пъти по-малък.

Така че ще бъде равно на 20.

Отговор: 20

* подобен проблем, използва се формулата за площта на триъгълник.

Обемът на триъгълна пирамида е 15. Равнината минава през страната на основата на тази пирамида и пресича противоположния страничен ръб в точка, която го разделя в съотношение 1: 2, като се брои от върха на пирамидата. Намерете най-големия обем на пирамидите, на които равнината разделя оригиналната пирамида.

Да построим пирамида и да отбележим върховете.Нека отбележим точка E на ръба AS, така че AE да е два пъти по-голям от ES (условието казва, че ES е свързано с AE като 1 към 2), и да конструираме посочената равнина, минаваща през ръба AC и точка E:

Нека анализираме обема на коя пирамида ще бъде по-голяма: EABC или SEBC?

* Обемът на пирамида е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа и нейната височина:

Ако разгледаме двете получени пирамиди и вземем лицето EBC като основа и в двете, става очевидно, че обемът на пирамидата AEB ще бъде по-голям от обема на пирамидата SEBC. Защо?

Разстоянието от точка А до равнината EBC е по-голямо от разстоянието от точка S. И това разстояние играе ролята на височина за нас.

И така, нека намерим обема на пирамидата EABC.

Обемът на оригиналната пирамида ни е даден; пирамидите SABC и EABC имат обща основа. Ако установим съотношението на височините, лесно можем да определим обема.

От отношението на отсечките ES и AE следва, че AE е равно на две трети от ES. Височините на пирамидите SABC и EABC са в еднаква връзка -височината на пирамидата EABC ще бъде равна на 2/3 от височината на пирамидата SABC.

По този начин, ако

Че

Отговор: 10

Силата на звука е правилна шестоъгълна пирамида 6. Страната на основата е 1. Намерете страничния ръб.

В правилната пирамида върхът е проектиран в центъра на основата.Нека изпълним допълнителни конструкции:

Можем да намерим страничния ръб от правоъгълния триъгълник SOC. За да направите това, трябва да знаете SO и OS.

SO е височината на пирамидата, можем да я изчислим с помощта на формулата за обем:

Нека изчислим площта на основата. това е правилен шестоъгълник със страна, равна на 1. Площта на правилния шестоъгълник е равна на площта на шест равностранни триъгълника със същата страна, повече за това (раздел 6), така че:

Средства

OS = BC = 1, тъй като в правилния шестоъгълник сегментът, свързващ центъра му с върха, е равен на страната на този шестоъгълник.

Така според Питагоровата теорема:

Отговор: 7

Сила на звукаОбемът на тетраедър е 200. Намерете обема на многостен, чиито върхове са среди на ръбовете на дадения тетраедър.

Обемът на посочения полиедър е равен на разликата между обемите на оригиналния тетраедър V 0 и четири равни тетраедъра, всеки от които се получава чрез отрязване на равнина, минаваща през средните точки на ръбовете, имащи общ връх:

Нека определим обема на отрязания тетраедър.

Обърнете внимание, че оригиналният тетраедър и „отрязаният“ тетраедър са подобни тела. Известно е, че съотношението на обемите на подобни тела е равно на k 3, където k е коефициентът на подобие. IN в такъв случайтой е равен на 2 (тъй като всички линейни размери на оригиналния тетраедър са два пъти по-големи от съответните размери на изрязания):

Нека изчислим обема на изрязания тетраедър:

Така необходимият обем ще бъде равен на:

Отговор: 100

Повърхнината на тетраедъра е 120. Намерете повърхнината на многостена, чиито върхове са средните точки на ръбовете на дадения тетраедър.

Първи начин:

Необходимата повърхност се състои от 8 равностранни триъгълника със страна, половината от размера на ръба на оригиналния тетраедър. Повърхността на оригиналния тетраедър се състои от 16 такива триъгълника (на всяко от 4-те лица на тетраедъра има 4 триъгълника), така че търсената площ е равна на половината от повърхността на дадения тетраедър и е равна на 60.

Втори начин:

Тъй като повърхността на тетраедъра е известна, можем да намерим неговия ръб, след това да определим дължината на ръба на полиедъра и след това да изчислим неговата повърхност.

Инструкции

Дадена е основа на квадратна пирамида с известна дължина на страната (a) и даден обем (V), заменете площта във формулата за изчисление от предишната стъпка с дължината на страната на квадрат: H = 3*V/a².

Формулата от първата стъпка може да се трансформира, за да се изчисли височината (H) правилна пирамидас основа от всякаква форма. Първоначалните данни, които трябва да бъдат включени в него, са обемът (V) на полиедъра, дължината на ръба в основата (a) и броят на върховете в основата (n). Площта на правилен многоъгълник се определя от една четвърт от произведението на броя на върховете по квадрата на дължината на страната и котангенса на ъгъла, равен на отношението на 180° и броя на върховете: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Заместете този израз във формулата от първата стъпка: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .

Ако площта на основата е неизвестна от условията на проблема и са дадени само обемът (V) и дължината на ръба (a), тогава липсващата променлива във формулата от предишната стъпка може да бъде заменена чрез неговия еквивалент, изразен чрез дължината на ръба. Площта (тя, както си спомняте, лежи в основата на пирамидата от въпросния тип) е равна на една четвърт от продукта корен квадратенот трите до квадрата на дължината на страната. Заместете този израз вместо площта на основата във формулата от предишната стъпка и получете следния резултат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Тъй като обемът на тетраедър може да бъде изразен и чрез дължината на ръба, всички променливи могат да бъдат премахнати от формулата за изчисляване на височината на фигура, оставяйки само страната на нейното лице. Обемът на тази пирамида се изчислява, като се раздели на 12 произведението от корен квадратен от две на кубичната дължина на лицето. Заместете този израз във формулата от предишната стъпка и получете резултата: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Правилна призма може да бъде вписана в сфера и като се знае само нейният радиус (R), може да се изчисли тетраедър. Дължината на ръба е равна на четири пъти отношението на радиуса и корен квадратен от шест. Заменете променлива a във формулата от предишната стъпка с този израз и получете равенството: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

Подобна формула може да се получи, като се знае радиуса (r) на окръжността, вписана в тетраедъра. В този случай дължината на ръба ще бъде равна на дванадесет съотношения между радиуса и квадрата на шест. Заместете този израз във формулата от третата стъпка: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Пирамидата е една от най-мистичните фигури в геометрията. Потоци от космическа енергия са свързани с него; много древни народи са избрали тази форма за изграждане на своите религиозни сгради. От математическа гледна точка обаче пирамидата е просто многостен, с многоъгълник в основата, а лицата са триъгълници с общ връх. Нека да разгледаме как да намерим квадрат ръбове V пирамида.

Ще имаш нужда

• калкулатор.

Инструкции

Видове пирамиди: правилни (в основата е правилен многоъгълник, а върховете в центъра му), произволни (в основата има произволен многоъгълник и проекцията на върха не съвпада непременно с центъра му), правоъгълна (един от страничните ръбове правят прав ъгъл с основата) и . В зависимост от страните на многоъгълника в основата на пирамидата той се нарича три-, четири-, пет- или, например, десетоъгълник.

За всички видове пирамиди, с изключение на пресечените: умножете дължините на основата на триъгълника и височината, спусната върху него от върха на пирамидата. Разделете получения продукт на 2 - това ще бъде желаното квадратстрана ръбовепирамиди.

Пресечена пирамида Сгънете двете основи на трапеца, който е лицето на такава пирамида. Разделете полученото количество на две. Умножете получената стойност по височината ръбове- трапец. Получената стойност е квадратстрана ръбовепирамиди от този тип.

Видео по темата

Полезен съвет

Площта на страничната повърхност и основата, периметърът на основата на пирамидата и нейният обем са свързани с определени формули. Това понякога дава възможност да се изчислят стойностите на липсващите данни, необходими за определяне на площта на лицето в пирамидата.

Обемът на всяка непресечена пирамида е равен на една трета от произведението на височината на пирамидата и площта на основата. За обикновена пирамида е вярно: площта на страничната повърхност е равна на половината от периметъра на основата, умножена по височината на едно от лицата. Когато изчислявате обема на пресечена пирамида, вместо площта на основата, заменете стойността равно на суматаплощите на горната и долната основа и корен квадратен от техния продукт.

източници:

• Стереометрия
• как да намерите страничното лице на пирамида

Пирамидата се нарича правоъгълна, ако един от нейните ръбове е перпендикулярен на основата й, тоест стои под ъгъл от 90˚. Този ръб също е височината на правоъгълната пирамида. Формулата за обема на пирамида е изведена за първи път от Архимед.

Ще имаш нужда

• - химилка;
• - хартия;
• - калкулатор.

Инструкции

В правоъгълна височина ще има ръбът му, който стои под ъгъл от 90˚ спрямо основата. Тъй като площта на правоъгълната основа е означена като S, а височината, която също е пирамиди, − h. След това, за да намеря обема на това пирамиди, е необходимо да се умножи площта на основата му по височината и да се раздели на 3. По този начин обемът на правоъгълник пирамидиизчислено по формулата: V=(S*h)/3.

Изградете, като следвате зададените параметри. Обозначете основата му с латински ABCDE, а горната му част пирамиди- S. Тъй като чертежът ще бъде върху равнина в проекция, за да не се объркате, посочете данните, които вече знаете: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Изчислете обема на правоъгълник пирамиди, използвайки формулата. Замествайки данните и правейки изчисления, се оказва, че обемът на правоъгълник пирамидище бъде равно на: V=(45*30)/3=cm³.

Ако постановката на задачата не съдържа данни за и височина пирамиди, тогава трябва да извършите допълнителни изчисления, за да получите тези стойности. Площта на основата ще бъде изчислена в зависимост от това дали многоъгълникът лежи в основата си.

Височина пирамидиразберете дали знаете хипотенузата на някой от правоъгълните EDS или EAS и ъгъла, под който страничната страна SD или SA е наклонена спрямо основата си. Изчислете SE крака, като използвате синусовата теорема. Това ще бъде височината на правоъгълника пирамиди.

Забележка

Когато изчислявате величини като височина, обем, площ, трябва да запомните, че всяка от тях има своя собствена мерна единица. И така, площта се измерва в cm², височината в cm и обемът в cm³.
Кубичен сантиметъре единица за обем, равна на обема на куб с ръбове с дължина 1 cm. Ако заместим данните в нашата формула, получаваме: cm³= (cm²*cm)/3.

Полезен съвет

По правило, ако задачата изисква намиране на обема на правоъгълна пирамида, тогава всички необходими данни са известни - поне за да се намери площта на основата и височината на фигурата.

Дата: 2015-01-19

Ако се нуждаеш стъпка по стъпка инструкцияКак да изградим сканиране на пирамида, тогава ви моля да се присъедините към нашия урок. Първо преценете дали вашата пирамида е разгърната по начин, подобен на Фигура 1.

Ако го завъртите на 90 градуса, тогава ръбът, маркиран на фигурата като „известни реални стойности“ във вашия случай, може да бъде намерен на проекцията на профила, която ще трябва да конструирате. В моя случай това не е задължително, ние вече разполагаме с всички необходими количества за строителството. Важно е да не забравяме, че в този чертеж само ръбовете SA и SD в предната проекция са показани в пълен размер. Всички останали се проектират с изкривяване на дължината. В допълнение, в горния изглед всички страни на шестоъгълника също се проектират в пълен размер. Въз основа на това, нека продължим.

1. За по-голяма красота, нека начертаем първата линия хоризонтално (Фигура 1). След това, нека начертаем широка дъга с радиус R=a, т.е. радиус, равен на дължината на страничния ръб на пирамидата. Нека вземем точка А. С пергел ще направим резка на дъгата от нея с радиус r=b (дължината на страната на основата на пирамидата). Да вземем точка Б. Вече имаме първото лице на пирамидата!

2. От точка B правим още един прорез със същия радиус - получаваме точка C и свързвайки я с точки B и S получаваме второто странично лице на пирамидата (Фигура 2).

3. Повтаряне на тези стъпки необходимо количествопъти (всичко зависи от това колко лица има вашата пирамида) ще получим ветрило като това (Фигура 3). Ако е конструиран правилно, трябва да получите всички базови точки, а крайните трябва да се повторят.

4. Това не винаги е необходимо, но все пак е необходимо: ​​добавете основата на пирамидата към развитието на страничната повърхност. Вярвам, че всеки, който е прочел до тук, знае как да нарисува петоъгълник (как да нарисувате петоъгълник е описано подробно в урока). на точното мястои под прав ъгъл. Начертаваме ос през средата на всяко лице. От точката на пресичане с основната линия начертаваме разстоянието m, както е показано на фигура 4.


Като начертаем перпендикуляр през тази точка, получаваме осите на бъдещия шестоъгълник. От получения център рисуваме кръг, както направихте при конструирането на горния изглед. Моля, обърнете внимание, че кръгът трябва да минава през две точки на страничната повърхност (в моя случай това са F и A)

5. Фигура 5 показва крайния изглед на развитието на шестоъгълна призма.


Това завършва изграждането на пирамидата. Изграждайте своите разработки, научете се да намирате решения, бъдете педантични и никога не се отказвайте. Благодаря ви, че се отбихте. Не забравяйте да ни препоръчате на вашите приятели :) Всичко най-добро!

илизапишете нашия телефонен номер и кажете на приятелите си за нас - вероятно някой търси начин да завърши рисунките

илиСъздайте бележка за нашите уроци на вашата страница или блог - и някой друг ще може да овладее рисуването.

Рисунката е първа и много важна стъпкапри решаване на геометрична задача. Как трябва да изглежда чертежът на правилна пирамида?

Първо да си спомним свойства на паралелен дизайн:

- успоредни сегменти на фигура се изобразяват като успоредни сегменти;

— съотношението на дължините на отсечките от успоредни линии и отсечките от една права се запазва.

Чертеж на правилна триъгълна пирамида

Първо рисуваме основата. Тъй като при паралелно проектиране ъглите и съотношенията на дължините на неуспоредни сегменти не се запазват, правилният триъгълник в основата на пирамидата се изобразява като произволен триъгълник.

Център правилен триъгълнике пресечната точка на медианите на триъгълника. Тъй като медианите в пресечната точка са разделени в съотношение 2:1, като се брои от върха, мислено свързваме върха на основата със средата на противоположната страна, приблизително го разделяме на три части и поставяме точка на разстояние от 2 части от върха. От тази точка нагоре изчертаваме перпендикуляр. Това е височината на пирамидата. Начертайте перпендикуляр с такава дължина, че страничният ръб да не покрива изображението на височината.

Чертеж правилен четириъгълна пирамида

Също така започваме да рисуваме правилна четириъгълна пирамида от основата. Тъй като успоредността на сегментите е запазена, но стойностите на ъглите не са, квадратът в основата е изобразен като успоредник. За предпочитане остър ъгълнаправете този паралелограм по-малък, тогава страничните лица ще бъдат по-големи. Центърът на квадрат е пресечната точка на неговите диагонали. Начертаваме диагонали и възстановяваме перпендикуляр от пресечната точка. Този перпендикуляр е височината на пирамидата. Избираме дължината на перпендикуляра, така че страничните ребра да не се сливат един с друг.

Чертеж на правилна шестоъгълна пирамида

Тъй като при паралелно проектиране се запазва успоредността на сегментите, основата на правилна шестоъгълна пирамида - правилен шестоъгълник - се изобразява като шестоъгълник, чиито противоположни страни са успоредни и равни. Центърът на правилен шестоъгълник е пресечната точка на неговите диагонали. За да не претрупваме чертежа, не рисуваме диагонали, а намираме тази точка приблизително. От него възстановяваме перпендикуляра - височината на пирамидата - така че страничните ребра да не се сливат едно с друго.

Пирамидите биват: триъгълни, четириъгълни и др., в зависимост от това каква е основата - триъгълник, четириъгълник и др.
Пирамидата се нарича правилна (фиг. 286, b), ако, първо, нейната основа е правилен многоъгълник и, второ, нейната височина минава през центъра на този многоъгълник.
В противен случай пирамидата се нарича неправилна (фиг. 286, c). В правилната пирамида всички странични ребра са равни едно на друго (като наклонени с равни проекции). Следователно всички странични лица на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници.
Анализ на елементите на правилна шестоъгълна пирамида и тяхното изобразяване в сложен чертеж (фиг. 287).

а) Комплексен чертеж на правилна шестоъгълна пирамида. Основата на пирамидата е разположена в равнината P 1; две страни на основата на пирамидата са успоредни на проекционната равнина P 2.
б) Основата ABCDEF е шестоъгълник, разположен в проекционната равнина P 1.
V) Страничен ръб ASF е триъгълник, разположен в общата равнина.
d) Страничната повърхност на FSE е триъгълник, разположен в равнината на проектирането на профила.
д) Edge SE е сегмент в обща позиция.
е) Ребро SA - челен сегмент.
ж) Върхът S на пирамидата е точка в пространството.
Фигури 288 и 289 показват примери за последователни графични операции при извършване на сложен чертеж и визуални изображения (аксонометрия) на пирамидите.

дадени:
1. Основата е разположена в равнината P 1.
2. Една от страните на основата е успоредна на оста x 12.
I. Сложна рисунка.
аз, а. Проектираме основата на пирамидата - многоъгълник, според това състояниележащ в равнината P1.
Проектираме връх - точка, разположена в пространството. Височината на точка S е равна на височината на пирамидата. Хоризонталната проекция S 1 на точка S ще бъде в центъра на проекцията на основата на пирамидата (по условие).
аз, б. Проектираме ръбовете на пирамидата - сегменти; За целта свързваме проекциите на върховете на основата ABCDE със съответните проекции на върха на пирамидата S с прави линии. Изобразяваме фронталните проекции S 2 C 2 и S 2 D 2 на ръбовете на пирамидата с пунктирани линии, като невидими, затворени от ръбовете на пирамидата (SА и SAE).
Интегрална схема. Като се има предвид хоризонтална проекция K 1 на точка K върху страничната повърхност на SBA, трябва да намерите нейната фронтална проекция. За да направите това, начертайте спомагателна линия S 1 F 1 през точките S 1 и K 1 , намерете нейната фронтална проекция и върху нея, като използвате вертикална свързваща линия, определете местоположението на желаната фронтална проекция K 2 на точка K .
II. Развитието на повърхността на пирамидата е плоска фигура, състояща се от странични лица - еднакви равнобедрени триъгълници, едната страна на които е равна на страната на основата, а другите две - на страничните ръбове, и от правилен многоъгълник - базата.
Естествените размери на страните на основата се разкриват върху нейната хоризонтална проекция. На проекциите не се разкриват естествените размери на ребрата.
Хипотенуза S 2 ¯A 2 (фиг. 288, 1 , b) правоъгълен триъгълник S 2 O 2 ¯A 2 , в който големият катет е равен на височината S 2 O 2 на пирамидата, а малкият катет е равен на хоризонталната проекция на ръба S 1 A 1 е естествения размер на ръба на пирамидата. Изграждането на размаха трябва да се извърши в следния ред:
а) от произволна точка S (връх) изчертаваме дъга с радиус R, равен на ръба на пирамидата;
б) върху начертаната дъга начертаваме пет акорда с размер R 1 равен на странатаоснования;
в) свържете точки D, C, B, A, E, D с прави линии последователно една с друга и с точка S, получаваме пет равнобедрени равни триъгълници, съставляваща развитието на страничната повърхност на тази пирамида, изрязана по ръба SD;
г) прикрепяме основата на пирамидата - петоъгълник - към всяко лице, използвайки метода на триангулация, например към лицето на DSE.
Прехвърлянето на точка K към сканирането се извършва чрез спомагателна права линия, като се използва размерът B 1 F 1, взет върху хоризонталната проекция, и размерът A 2 K 2, взет върху естествения размер на реброто.
III. Визуално представяне на пирамида в изометрия.
III, а. Изобразяваме основата на пирамидата, като използваме координатите според (фиг. 288, 1 , А).
Ние изобразяваме върха на пирамидата, използвайки координатите според (фиг. 288, 1 , А).
III, б. Изобразяваме страничните ръбове на пирамидата, свързвайки върха с върховете на основата. Ръбът S"D" и страните на основата C"D" и D"E" са изобразени с пунктирани линии, като невидими, затворени от ръбовете на пирамидата C"S"B", B"S"A" и A"S"E".
III, д. Определяме точка K на повърхността на пирамидата, като използваме размерите y F и x K. За диметрично изображение на пирамида трябва да се следва същата последователност.
Изображение на неправилна триъгълна пирамида.

дадени:
1. Основата е разположена в равнината P 1.
2. Страната BC на основата е перпендикулярна на оста X.
I. Сложна рисунка
аз, а. Проектираме основата на пирамидата - равнобедрен триъгълник, лежащ в равнината P1, и върха S - точка, разположена в пространството, чиято височина е равна на височината на пирамидата.
аз, б. Проектираме ръбовете на пирамидата - сегменти, за които свързваме прави линии на едноименните проекции на базовите върхове с едноименните проекции на върха на пирамидата. Ние изобразяваме хоризонталната проекция на страната на основата на самолета с пунктирана линия, като невидима, покрита от две лица на пирамидата ABS, ACS.
Интегрална схема.
Върху фронталната проекция A 2 C 2 S 2 на страничната повърхност е дадена проекция D 2 на точка D. Трябва да намерите неговата хоризонтална проекция. За да направите това, през точка D 2 изчертаваме спомагателна линия, успоредна на оста x 12 - фронталната проекция на хоризонталата, след това намираме нейната хоризонтална проекция и върху нея, използвайки вертикална свързваща линия, определяме местоположението на желаната хоризонтална проекция D 1 на точка D.
На хоризонталната проекция се разкриват естествените размери на страните на основата. Естественият размер на реброто AS се разкрива във фронталната проекция; в проекциите няма естествени ръбове BS и CS; размерът на тези ръбове се разкрива чрез завъртането им около оста i, перпендикулярна на равнината P1, минаваща през върха на пирамидата S. Новата фронтална проекция ¯C 2 S 2 е естествената стойност на ръба CS.
Последователността на конструиране на развитието на повърхността на пирамидата:
а) начертайте равнобедрен триъгълник - лице CSB, чиято основа е равна на страната на основата на пирамидата CB, а страните са равни на естествения размер на ръба SC;
б) прикрепяме два триъгълника към страните SC и SB на построения триъгълник - лицата на пирамидата CSA и BSA, и към основата CB на построения триъгълник - основата CBA на пирамидата, в резултат получаваме пълна развитие на повърхността на тази пирамида.
Прехвърлянето на точка D към сканирането се извършва в следния ред: първо върху сканирането на страничната повърхност ASC начертайте хоризонтална линия с размер R 1 и след това определете местоположението на точка D върху хоризонталната линия с помощта на размер R 2.
III. Визуално представяне на пирамидата и фронтална диметрична проекция
III, а. Изобразяваме основата A"B"C и върха S" на пирамидата, използвайки координати според (