यदि समीकरण ज्ञात है तो झुकाव का टेंगेंट कोण प्रत्यक्ष। समीकरण के कोणीय गुणांक कैसे खोजें

व्युत्पन्न कार्य स्कूल कार्यक्रम में जटिल विषयों में से एक है। प्रत्येक स्नातक नहीं होने के सवाल का जवाब नहीं देगा।

यह लेख बस स्पष्ट रूप से बात कर रहा है कि व्युत्पन्न क्या है और इसके लिए क्या चाहिए। हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास करने का प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अर्थ को समझना।

हमें परिभाषा याद है:

व्युत्पन्न कार्य के परिवर्तन की गति है।

तस्वीर में - तीन कार्यों के ग्राफिक्स। आपको क्या लगता है कि तेजी से बढ़ रहा है?

जवाब स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की सबसे बड़ी गति है, यानी, सबसे बड़ा व्युत्पन्न।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्ट्य, ग्रिशा और मैटव ने एक साथ नौकरी मिल गई। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदल गई:

अनुसूची पर तुरंत सबकुछ देखा जा सकता है, है ना? आधे साल के लिए हड्डी की आय दो बार से अधिक हो गई है। और ग्रिशा राजस्व भी उगाया गया है, लेकिन थोड़ा सा। और मैथ्यू की आय शून्य हो गई। शुरुआती स्थितियां समान हैं, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की गति, यानी है यौगिक- अलग अलग। मैथ्यू के लिए - उनकी आय नकारात्मक रूप से व्युत्पन्न है।

सहजता से, हम आसानी से कार्य के परिवर्तन की गति का आकलन कर रहे हैं। पर आपने कैसे किया?

वास्तव में, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितना ठंडा हो जाता है (या नीचे)। दूसरे शब्दों में, x में बदलाव के साथ वाई कितनी जल्दी बदलता है। जाहिर है, विभिन्न बिंदुओं पर एक ही कार्य में व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - यानी, यह तेजी से या धीमा हो सकता है।

व्युत्पन्न कार्य इंगित किया जाता है।

ग्राफ का उपयोग करके कैसे ढूंढें दिखाएं।

एक ग्राफ कुछ समारोह तैयार किया जाता है। उस पर एक abscissa के साथ एक बिंदु लें। हम इस बिंदु पर ग्राफिक्स फ़ंक्शन के लिए टेंगेंट करते हैं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितना ठंडा है। इसके लिए आरामदायक मूल्य - टेंगेंट झुकाव कोण.

इस बिंदु पर समारोह का व्युत्पन्न झुकाव कोण के स्पर्शक के बराबर है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ में किया गया है।

कृपया ध्यान दें - टेंगेंट टैगिंग के कोण के रूप में, हम धुरी की स्पर्शक और सकारात्मक दिशा के बीच कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफिक्स के लिए क्या स्पर्श होता है। यह एक प्रत्यक्ष है, इस साजिश पर एक शेड्यूल के साथ एक सामान्य बिंदु है, और जैसा कि हमारे आकृति में दिखाया गया है। परिधि के लिए टेंगेंट की तरह दिखता है।

हम ढूंढ लेंगे। हमें याद है कि एक आयताकार त्रिभुज में एक तीव्र कोण का स्पर्शक निकटतम केटेक के विपरीत कैटेक के दृष्टिकोण के बराबर है। त्रिभुज से:

हमें एक ग्राफ की मदद से एक व्युत्पन्न पाया गया, सूत्र फ़ंक्शन को भी नहीं जानता। इस तरह के कार्यों को अक्सर गणित में परीक्षा में पाया जाता है।

एक और महत्वपूर्ण अनुपात है। याद रखें कि प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है

इस समीकरण में मूल्य कहा जाता है कोणीय गुणांक प्रत्यक्ष। यह धुरी के लिए सीधे झुकाव के कोण के स्पर्शक के बराबर है।

.

हमें वह मिलता है

हमें यह सूत्र याद है। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न टेंगेंट के कोणीय गुणांक के बराबर है, जो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ में किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न टेंगेंट झुकाव कोण के बराबर है।

हमने पहले ही कहा है कि विभिन्न बिंदुओं पर एक ही समारोह में एक अलग व्युत्पन्न हो सकता है। चलो देखते हैं कि व्युत्पन्न कार्य के व्यवहार से कैसे जुड़ा हुआ है।

कुछ समारोह का एक ग्राफ बनाएं। इस समारोह को कुछ वर्गों पर बढ़ने दें, दूसरों पर - अलग-अलग गति के साथ घटता है। और यहां तक \u200b\u200bकि यदि यह सुविधा अधिकतम और न्यूनतम बिंदु होगी।

बिंदु पर, समारोह बढ़ता है। ग्राफ के लिए स्पर्शक, बिंदु पर बिताया एक तेज कोण बनाता है; एक सकारात्मक धुरी दिशा के साथ। तो, बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

बिंदु पर, हमारा कार्य घटता है। इस बिंदु पर टेंगेंट एक बेवकूफ कोण बनाता है; एक सकारात्मक धुरी दिशा के साथ। चूंकि सुस्त कोण टेंगेंट नकारात्मक है, इसलिए एक व्युत्पन्न बिंदु पर नकारात्मक है।

यही वह निकलता है:

यदि फ़ंक्शन बढ़ता है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि घट जाती है, तो इसका व्युत्पन्न नकारात्मक है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि अंक (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) टेंगेंट क्षैतिज। नतीजतन, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा टैंगेंट झुकाव कोण शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, बढ़ते कार्य को अवरोही द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। नतीजतन, "प्लस" के साथ "माइनस" के साथ एक बिंदु पर व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसके संकेत "माइनस" से "प्लस" में परिवर्तन करते हैं।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप उस समारोह के व्यवहार के बारे में जान सकते हैं जो हमें रूचि देता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ता है।

यदि व्युत्पन्न नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन घटता है।

अधिकतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और "प्लस" से "माइनस" से संकेत बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और "प्लस" से "माइनस" से संकेत बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

	बढ़ती है	अधिकतम बिंदु	कमी	न्यूनतम बिंदु	बढ़ती है
+	0	-	0	+

हम दो छोटे स्पष्टीकरण देंगे। समस्या को हल करते समय उनमें से एक को आपकी आवश्यकता होगी। अन्य - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, लेकिन इस बिंदु पर इस बिंदु पर अधिकतम कोई न्यूनतम कार्य नहीं है। यह तथाकथित है :

प्वाइंट टेंगेंट क्षैतिज के ग्राफिक्स के लिए, और व्युत्पन्न शून्य है। हालांकि, फ़ंक्शन का कार्य बढ़ गया - और बिंदु के बाद बढ़ने के बाद। व्युत्पन्न का संकेत नहीं बदलता है - यह सकारात्मक रहा है और बना रहा है।

यह भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न अस्तित्व में नहीं है। चार्ट पर, यह इस बिंदु पर स्पर्शक असंभव होने पर एक तेज तोड़ने के अनुरूप है।

और एक व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन को शेड्यूल द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया गया है, लेकिन सूत्र द्वारा? इस मामले में, लागू

कार्यों से डेरिवेटिव लेना सीखें। व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर झूठ बोलने वाले एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस मामले में, कार्यक्रम सीधे और वक्र रेखा दोनों हो सकता है। यही है, व्युत्पन्न समय में एक विशेष बिंदु पर कार्य के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। उन सामान्य नियमों को याद रखें जिसके लिए डेरिवेटिव लिए गए हैं, और केवल अगले चरण पर जाएं।

• लेख पढ़ो।
• सबसे सरल डेरिवेटिव कैसे लें, उदाहरण के लिए, वर्णित संकेत समीकरण का एक व्युत्पन्न। निम्न चरणों में प्रस्तुत गणनाओं में वर्णित विधियों पर आधारित होगी।

उन कार्यों को अलग करना सीखें जिनमें व्युत्पन्न गुणांक व्युत्पन्न कार्य के माध्यम से गणना करने की आवश्यकता होती है। कोणीय गुणांक या व्युत्पन्न कार्य खोजने के लिए कार्यों को हमेशा आमंत्रित नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपको बिंदु ए (एक्स, वाई) पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर खोजने के लिए कहा जा सकता है। आपको बिंदु ए (एक्स, वाई) पर कोणीय गुणांक स्पर्शक को खोजने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों मामलों में, व्युत्पन्न कार्य करना आवश्यक है।

आप के लिए व्युत्पन्न कार्य ले लो। यहां आपको एक शेड्यूल बनाने की आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, व्युत्पन्न कार्य करें। ऊपर वर्णित लेख में निर्धारित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न करें:

• व्युत्पन्न:

पाए गए व्युत्पन्न में, कोणीय गुणांक की गणना करने के लिए आपको बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। व्युत्पन्न कार्य एक विशिष्ट बिंदु पर कोणीय गुणांक के बराबर है। दूसरे शब्दों में, एफ "(एक्स) किसी भी बिंदु (एक्स, एफ (एक्स)) पर एक कोणीय कार्य गुणांक है। हमारे उदाहरण में:

• कॉर्नर फ़ंक्शन गुणांक खोजें f (x) \u003d 2 x 2 + 6 x (\\ displaystyle f (x) \u003d 2x ^ (2) + 6x) बिंदु ए (4.2) पर।
• व्युत्पन्न समारोह:
  • f '(x) \u003d 4 x + 6 (\\ displaystyle f "(x) \u003d 4x + 6)
• इस बिंदु का "एक्स" समन्वय मूल्य प्रस्तुत करें:
  • f '(x) \u003d 4 (4) + 6 (\\ displaystyle f "(x) \u003d 4 (4) +6)
• एक कोणीय गुणांक खोजें:
• कोणीय समारोह कारक f (x) \u003d 2 x 2 + 6 x (\\ displaystyle f (x) \u003d 2x ^ (2) + 6x) बिंदु ए (4.2) 22 है।

यदि संभव हो, तो ग्राफ के लिए प्राप्त प्रतिक्रिया की जांच करें। याद रखें कि कोणीय गुणांक की गणना प्रत्येक बिंदु पर की जा सकती है। विभेदक कैलकुस जटिल कार्यों और जटिल ग्राफ की जांच करता है, जहां कोणीय गुणांक की गणना प्रत्येक बिंदु पर की जा सकती है, और कुछ मामलों में अंक चार्ट पर बिल्कुल झूठ नहीं बोलते हैं। यदि संभव हो, तो आपको दिए गए कार्यों के कोणीय गुणांक की गणना की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए एक ग्राफिक कैलकुलेटर का उपयोग करें। अन्यथा, आपको दिए गए बिंदु में शेड्यूल में स्पर्श करें और सोचें कि चार्ट पर दिखाई देने वाले कोणीय गुणांक का मूल्य मेल खाता है या नहीं।

• टेंगेंट में एक विशिष्ट बिंदु पर फ़ंक्शन शेड्यूल के रूप में एक ही कोने गुणांक होगा। इस बिंदु पर टेंगेंट बिताने के लिए, एक्स अक्ष के साथ दाएं / बाएं स्थान पर जाएं (हमारे उदाहरण में 22 मूल्यों पर दाईं ओर), और फिर वाई अक्ष के साथ एक इकाई ऊपर। बिंदु को चिह्नित करें, और फिर इसे उस बिंदु से कनेक्ट करें। हमारे उदाहरण में, निर्देशांक (4.2) और (26.3) के साथ अंक कनेक्ट करें।

सीधी रेखा वाई \u003d एफ (एक्स) इस घटना में बिंदु x0 पर प्रदर्शित ग्राफ में स्पर्शरेखा होगी कि यह निर्देशांक (x0; f (x0)) के साथ एक बिंदु के माध्यम से गुजरता है और एक कोणीय गुणांक एफ "(x0) है )। टेंगेंट की विशिष्टताओं को जानकर, इस गुणांक को ढूंढें, आसान।

आपको चाहिये होगा

• - गणितीय निर्देशिका;
• - सरल पेंसिल;
• - स्मरण पुस्तक;
• - परिवहन;
• - वृत्त;
• - एक कलम।

अनुदेश

यदि मान एफ '(x0) मौजूद नहीं है, तो यह या तो कोई स्पर्श नहीं होता है, या यह लंबवत रूप से गुजरता है। इसके संदर्भ में, बिंदु x0 पर एक व्युत्पन्न कार्य की उपस्थिति एक गैर-प्रमाणित स्पर्शेंट के अस्तित्व के कारण है, जो बिंदु (x0, एफ (x0)) पर एक फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ आ रही है। इस मामले में, टेंगेंशियल का कोणीय गुणांक एफ "(x0) होगा। इस प्रकार, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट है - स्पर्शक के कोणीय गुणांक की गणना।

अतिरिक्त टैंगेंट पर चित्र जो अंक x1, x2 और x3 पर फ़ंक्शन के ग्राफ के संपर्क में आएंगे, साथ ही एब्सिसा अक्ष के साथ इन स्पर्शरेखाओं द्वारा गठित कोणों पर टिक टिकें (इस तरह के कोण को अक्ष से सकारात्मक दिशा में गिना जाता है टेंगेंट डायरेक्ट के लिए)। उदाहरण के लिए, एक कोण, α1, तेज होगा, दूसरा (α2) एक बेवकूफ है, और तीसरा (α3) शून्य है, क्योंकि टेंगेंट प्रत्यक्ष समांतर अक्ष ओह। इस मामले में, एक बेवकूफ कोण का टेंगेंट एक नकारात्मक, एक तीव्र कोण का टेंगेंट होता है - सकारात्मक, और टीजी 0 के साथ परिणाम शून्य है।

ध्यान दें

टेंगेंट द्वारा गठित कोण को उचित रूप से निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, परिवहन का उपयोग करें।

मददगार सलाह

दो इच्छुक सीधी रेखाएं समानांतर होंगी यदि उनके कोणीय गुणांक स्वयं के बीच हैं; लंबवत यदि इन स्पर्शरेखा के कोने गुणांक का उत्पाद -1 है।

स्रोत:

• ग्राफिक्स समारोह के लिए टेंगेंट

कोसाइन, साथ ही साइनस, "प्रत्यक्ष" त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित है। टेंगेंट (कोटेगेंट के साथ) को "डेरिवेटिव्स" नामक एक जोड़ी के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इन कार्यों की कई परिभाषाएं हैं जो एक ही मूल्य से कोसाइन की ज्ञात कुंजी द्वारा दिए गए टेंगेंट को ढूंढना संभव बनाती हैं।

अनुदेश

कोसाइन के मूल्य में निर्दिष्ट निर्दिष्ट कोण की कोसाइन में यूनिट से निजी को समर्पित करें, और परिणाम से, वर्गमूल को हटा दें - यह कोण से स्पर्शक का मूल्य होगा, इसकी कोसाइन व्यक्त किया गया: टीजी (α ) \u003d √ (1-1 / (कोस (α)) ²)। साथ ही, इस तथ्य पर ध्यान दें कि कोसाइन फॉर्मूला डेनोमोटर में है। शून्य को विभाजित करने की असंभवता 90 डिग्री के कोणों के लिए इस अभिव्यक्ति के उपयोग को समाप्त करती है, साथ ही संख्या में इस मान से भिन्न, कई 180 डिग्री (270 डिग्री, 450 डिग्री, -90 डिग्री, आदि)।

ज्ञात कोसाइन मान के लिए स्पर्शक की गणना के लिए एक वैकल्पिक तरीका है। यह लागू किया जा सकता है अगर यह दूसरों के उपयोग के लिए स्थापित नहीं है। इस विधि को लागू करने के लिए, पहले ज्ञात कोसाइन मान के अनुसार कोण का मूल्य निर्धारित करें - यह Arkkosinus फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है। फिर मूल्य के कोण के लिए टेंगेंट की गणना करें। आम तौर पर, इस एल्गोरिदम को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: टीजी (α) \u003d टीजी (आर्कोस (सीओएस (α)))।

एक आयताकार त्रिभुज के तेज कोनों के माध्यम से कोसाइन और टेंगेंट परिभाषा का उपयोग करके एक विदेशी विकल्प भी है। इस परिभाषा में कोसाइन हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई के प्रश्न में आसन्न श्रेणी की लंबाई के अनुपात से मेल खाता है। कोसाइन मूल्य को जानकर, आप इन दोनों पक्षों की इसी लंबाई का चयन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि सीओएस (α) \u003d 0.5, तो आसन्न को 10 सेमी के बराबर लिया जा सकता है, और हाइपोटेन्यूज 20 सेमी है। विशिष्ट संख्या यहां मान नहीं हैं - वही और सही आपके पास किसी भी मान के साथ मिलता है। फिर, पाइथागोर प्रमेय द्वारा, लापता पक्ष की लंबाई निर्धारित करें - विपरीत श्रेणी। यह वर्ग में बनाए गए hypotenuses की लंबाई के बीच के अंतर से वर्ग रूट के बराबर होगा और प्रसिद्ध श्रेणी: √ (20²-10²) \u003d √300। टेंगेंट, परिभाषा के अनुसार, विपरीत और आसन्न कैथेट (√300/10) की लंबाई के अनुपात से मेल खाता है - इसकी गणना करें और क्लासिक कोसाइन परिभाषा का उपयोग करके पाया गया टेंगेंट का मूल्य प्राप्त करें।

स्रोत:

• टेंगेंट फॉर्मूला के माध्यम से कोसाइन

त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक, जिसे अक्सर टीजी अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, हालांकि टीएएन पदनाम भी पाए जाते हैं। एक साइनस रवैये के रूप में टेंगेंट जमा करने का सबसे आसान तरीका कोण उसकी कोसाइन के लिए। यह एक अजीब आवधिक और गैर-निरंतर कार्य है, जिनमें से प्रत्येक चक्र पीआई की संख्या के बराबर है, और अंतर बिंदु इस संख्या के आधे से मेल खाता है।

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पिछले अध्याय में, यह दिखाया गया था कि विमान पर एक विशिष्ट समन्वय प्रणाली का चयन करके, हम वर्तमान निर्देशांक के बीच विश्लेषणात्मक रूप से समान रूप से समझा जा सकता है, हम विचाराधीन रेखा के बिंदु को दर्शाते हुए ज्यामितीय गुण कर सकते हैं। इस प्रकार, हमें लाइन समीकरण मिलता है। यह अध्याय प्रत्यक्ष रेखाओं के समीकरणों पर विचार करेगा।

कार्टेशियन निर्देशांक में समीकरण को सीधे बनाने के लिए, किसी भी तरह से समन्वय अक्षों के सापेक्ष परिस्थितियों को निर्धारित करने की शर्तों को निर्धारित करना आवश्यक है।

पहले हम प्रत्यक्ष के कोने अनुपात की अवधारणा पेश करते हैं, जो विमान पर सही स्थिति की विशेषता वाले मूल्यों में से एक है।

हम एक्सिस ओह को सीधे झुकाव के कोण को बुलाते हैं ओह, उस कोण को उस कोण को ओह किया जाना चाहिए ताकि यह इस सीधे के साथ मेल खाता हो (या इसके समानांतर हो गया)। हमेशा की तरह, कोण को संकेत को ध्यान में रखा जाएगा (संकेत रोटेशन की दिशा द्वारा निर्धारित किया जाता है: विरुद्ध या दक्षिणावर्त)। चूंकि एक्सिस ओह की अतिरिक्त मोड़ के बाद से, 180 डिग्री के कोण पर फिर से एक सीधी रेखा के साथ गठबंधन किया जाता है, फिर अक्ष को सीधे झुकाव का कोण अद्वितीय नहीं था (शब्द की सटीकता के साथ)।

इस कोण का टेंगेंट निश्चित रूप से निर्धारित है (क्योंकि कोण में परिवर्तन इसके स्पर्शरेखा को नहीं बदलता है)।

धुरी के लिए सीधे झुकाव के स्पर्शन कोण ओह को सीधे कोने गुणांक कहा जाता है।

कोणीय गुणांक प्रत्यक्ष दिशा को दर्शाता है (हम दोनों पारस्परिक रूप से विपरीत दिशाओं के बीच अंतर नहीं करते हैं)। यदि कोने गुणांक शून्य के बराबर है, तो Abscissa अक्ष के प्रत्यक्ष समानांतर। एक सकारात्मक कोणीय गुणांक के साथ, अक्ष को सीधे झुकाव का कोण तेज होगा (हम यहां झुकाव के कोण का सबसे छोटा सकारात्मक मूल्य मानते हैं) (चित्र 3 9); उसी समय, कोणीय गुणांक जितना बड़ा होता है, धुरी के झुकाव के कोण ओह। यदि कोणीय गुणांक नकारात्मक है, तो धुरी के लिए सीधे झुकाव का कोण ओह, ब्लंट होगा (चित्र 40)। ध्यान दें कि सीधे, अक्ष के लिए लंबवत ओह, एक कोणीय गुणांक नहीं है (कोने स्पर्शक मौजूद नहीं है)।