ज्यामितीय आंकड़ों के क्षेत्र को कैसे खोजें? आकृति के क्षेत्र की गणना कैसे करें

ज्यामितीय आकार का वर्ग - संख्यात्मक मान दो-आयामी अंतरिक्ष में उनके आकार को दर्शाते हैं। यह मान सिस्टम और गैर-सिस्टम इकाइयों में मापा जा सकता है। तो, उदाहरण के लिए, क्षेत्र की एक घटना इकाई - बुनाई, हेक्टेयर। यह है कि मापा सतह भूमि भूखंड है। प्रणालीगत वर्ग वर्ग - वर्ग लंबाई। सिस्टम में, यह माना जाता है कि एक फ्लैट सतह क्षेत्र की इकाई एक वर्ग मीटर है। एसएसएस में, वर्ग की इकाई एक वर्ग सेंटीमीटर में व्यक्त की जाती है।

ज्यामिति और फील्ड फॉर्मूला अनजाने में जुड़े हुए हैं। यह रिश्ता इस तथ्य में निहित है कि विमान के आंकड़ों की गणना उनके उपयोग पर आधारित है। कई आंकड़ों के लिए, कई विकल्प व्युत्पन्न होते हैं जिनके लिए उनके वर्ग आकार की गणना की जाती है। कार्य की शर्तों से डेटा पर निर्भर करते हुए, हम हल करने का सबसे आसान तरीका निर्धारित कर सकते हैं। इस प्रकार गणना की सुविधा प्रदान करता है और गणना त्रुटि की संभावना को कम से कम तक कम करता है। ऐसा करने के लिए, ज्यामिति में आंकड़ों के मुख्य वर्गों पर विचार करें।

किसी भी त्रिभुज के क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों का प्रतिनिधित्व कई विकल्पों द्वारा किया जाता है:

1) त्रिभुज क्षेत्र की गणना आधार ए और ऊँचाई एच के आधार पर की जाती है। आधार को उस आंकड़े का पक्ष माना जाता है जिस पर ऊंचाई छोड़ी जाती है। फिर त्रिकोण है:

2) आयताकार त्रिभुज के क्षेत्र की गणना बिल्कुल भी की जाती है, अगर हाइपोटेन्यूज़ को आधार माना जाता है। यदि एक कैटैट लेने के लिए, तो आयताकार त्रिभुज का क्षेत्र कैथेट के उत्पाद द्वारा दो बार कम के बराबर होगा।

किसी भी त्रिकोण के क्षेत्र की गणना के लिए इस सूत्र पर समाप्त नहीं होता है। एक और अभिव्यक्ति में पार्टियां ए, बी और कोण के साइनसॉइडल फ़ंक्शन शामिल हैं γ ए और बी के बीच निष्कर्ष निकाला गया साइन का मूल्य तालिकाओं पर स्थित है। आप इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके भी पा सकते हैं। फिर त्रिकोण है:

इस समानता के लिए, आप यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि आयताकार त्रिभुज का क्षेत्र कैथेट की लंबाई के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। चूंकि कोण γ सीधे है, इसलिए आयताकार त्रिभुज के क्षेत्र की गणना साइनस फ़ंक्शन को गुणा किए बिना की जाती है।

3) एक विशेष मामले पर विचार करें - सही त्रिभुज, जिसमें साइड ए शर्त से जाना जाता है या इसकी लंबाई हल करने में पाई जाएगी। ज्यामिति के कार्य में आकृति के बारे में कुछ भी नहीं जाना जाता है। फिर इस स्थिति के तहत क्षेत्र कैसे खोजें? इस मामले में, सही त्रिभुज क्षेत्र के लिए सूत्र लागू किया जाता है:

आयत

एक आयताकार क्षेत्र कैसे खोजें और कुल कशेरुक होने वाली पार्टियों के आकार का उपयोग करें? गणना के लिए अभिव्यक्ति है:

यदि आयताकार की लंबाई विकर्ण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता होती है, तो उनके चौराहे के दौरान बनाए गए साइनस कोण का कार्य ले जाएगा। आयताकार क्षेत्र के इस सूत्र में फॉर्म है:

वर्ग

वर्ग का वर्ग पक्ष की दूसरी डिग्री के रूप में निर्धारित किया जाता है:

सबूत परिभाषा से बहती है, जिसके अनुसार वर्ग को आयताकार कहा जाता है। वर्ग बनाने वाले सभी पक्ष समान आयाम हैं। इसलिए, इस तरह के एक आयताकार की गणना एक से दूसरे को गुणा करने के लिए कम हो जाती है, जो कि दूसरी डिग्री तक है। और वर्ग के वर्ग की गणना के लिए सूत्र एक वांछित उपस्थिति ले जाएगा।

वर्ग का वर्ग एक अलग तरीके से पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आप विकर्ण का उपयोग करते हैं:

आकृति के आंकड़े की गणना कैसे करें, जो सर्कल द्वारा सीमित विमान के हिस्से द्वारा बनाई गई है? सूत्रों के क्षेत्र की गणना करने के लिए:

चतुर्भुज

सूत्र के समांतरोग्राम के लिए रैखिक पक्ष, ऊंचाई और गणितीय कार्रवाई - गुणा शामिल है। यदि ऊंचाई अज्ञात है, तो समांतर क्षेत्र कैसे ढूंढें? गणना करने का एक और तरीका है। एक निश्चित मूल्य की आवश्यकता होगी, जो आसन्न पार्टियों के साथ-साथ उनकी लंबाई के रूप में गठित कोण के त्रिकोणमितीय कार्य को भी ले जाएगा।

समांतरोग्राम के क्षेत्र का सूत्र निम्नानुसार हैं:

विषमकोण

रम्बस नामक एक चतुर्भुज क्षेत्र कैसे खोजें? रोमा क्षेत्र विकर्ण के साथ सरल गणितीय कार्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। सबूत इस तथ्य पर निर्भर करता है कि डी 1 और डी 2 में विकर्णों के खंड दाएं कोणों पर छेड़छाड़ करते हैं। साइनस तालिका के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि प्रत्यक्ष कोण के लिए, यह फ़ंक्शन एक के बराबर है। इसलिए, रोमा वर्ग की गणना की जाती है:

अधिक रोमा क्षेत्र एक और तरीके से पाया जा सकता है। यह साबित करना भी मुश्किल नहीं है, अगर आप मानते हैं कि इसकी पार्टियां लंबाई में समान हैं। फिर अपने उत्पाद को समांतरोग्राम के लिए समान अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने के लिए। आखिरकार, एक निजी मामला हीरा है। यहां γ रम्बस के भीतरी कोने है। रम्बस का क्षेत्र निर्धारित किया जाता है:

ट्रापेज़

आधार (ए और बी) के माध्यम से एक ट्रैपेज़ॉयड क्षेत्र कैसे ढूंढें यदि उनकी लंबाई समस्या में निर्दिष्ट हैं? यहां, ऊंचाई एच की लंबाई के ज्ञात मूल्य के बिना, इस तरह के एक ट्रेपेज़ियम के क्षेत्र की गणना करना संभव नहीं है। चूंकि इस परिमाण में गणना के लिए एक अभिव्यक्ति है:

आयताकार ट्रैपेज़ियम के वर्ग आकार की भी गणना की जा सकती है। साथ ही, इसे ध्यान में रखा जाता है कि एक आयताकार ट्रेपेज़ियम में, ऊंचाई और पक्ष की अवधारणाएं संयुक्त होती हैं। इसलिए, एक आयताकार ट्रेपेज़ियम के लिए, पार्श्व की लंबाई की ऊंचाई के बजाय इंगित करना आवश्यक है।

सिलेंडर और समानांतर

इस पर विचार करें कि आपको पूरे सिलेंडर की सतह की गणना करने की आवश्यकता है। इस आंकड़े का क्षेत्र सर्कल की एक जोड़ी है, जिसे बेस, और एक तरफ की सतह कहा जाता है। सर्कल बनाने वाली मंडलियों में आर के बराबर त्रिज्या लंबाई होती है। सिलेंडर क्षेत्र के लिए ऐसी गणना है:

एक समानांतर क्षेत्र कैसे खोजें जिसमें चेहरे के तीन जोड़े शामिल हैं? इसके आयाम एक विशिष्ट जोड़ी के साथ मेल खाते हैं। विपरीत चेहरे वाले चेहरे समान पैरामीटर होते हैं। सबसे पहले एस (1), एस (2), एस (3) - असमान चेहरों के वर्ग आकार। फिर Parallelepipeda का सतह क्षेत्र पहले से ही है:

अंगूठी

एक साझा केंद्र के साथ दो मंडल एक अंगूठी बनाते हैं। वे अंगूठियों के क्षेत्र को सीमित करते हैं। इस मामले में, दोनों निपटारे सूत्रों को प्रत्येक सर्कल के आकार को ध्यान में रखते हैं। उनमें से पहला, अंगूठी क्षेत्र की गणना, में अधिक आर और छोटे आर रेडी शामिल हैं। अक्सर उन्हें बाहरी और आंतरिक कहा जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, अंगूठी क्षेत्र की गणना एक बड़े डी और कम डी व्यास के माध्यम से की जाती है। इस प्रकार, ज्ञात त्रिज्या के अनुसार अंगूठी के क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जाती है:

व्यास की लंबाई का उपयोग करके अंगूठी क्षेत्र, निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

बहुभुज

बहुभुज क्षेत्र कैसे खोजें, जिसका रूप सही नहीं है? वर्ग के लिए सामान्य सूत्र ऐसा कोई आंकड़ा नहीं है। लेकिन अगर इसे समन्वय विमान पर चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए, इस मामले में सतह क्षेत्र को खोजने के लिए यह एक चेकर्ड पेपर हो सकता है? एक ऐसा तरीका है जिसे आकृति को मापने की आवश्यकता नहीं है। इसका पालन किया जाता है: यदि ऐसे अंक हैं जो सेल के कोने में आते हैं या पूरे निर्देशांक होते हैं, तो केवल उन्हें ध्यान में रखते हैं। फिर यह पता लगाने के लिए कि क्षेत्र के बराबर क्या है, चरम द्वारा सिद्ध सूत्र का उपयोग करें। टूटी हुई रेखा के अंदर स्थित अंकों की संख्या जोड़ना आवश्यक है, जिसमें आधा अंक झूठ बोलते हैं, और इकाई को घटाएं, यानी इसकी गणना इस तरह से की जाती है:

जहां बी, जी क्रमशः पूरी टूटी हुई रेखा के अंदर और पर स्थित बिंदुओं की संख्या है।

ज्यामिति के कार्यों को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे त्रिभुज क्षेत्र या समांतर क्षेत्र - साथ ही सरल तकनीकों जो हम बताएंगे।

शुरू करने के लिए, हम आंकड़ों के वर्गों के सूत्र को सीखते हैं। हमने विशेष रूप से उन्हें एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया। प्रिंट करें, सीखें और लागू करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में प्रोफाइल परीक्षा के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री के अनुसार अन्य त्रिभुज स्क्वायर सूत्रों का भी उपयोग किया जाता है। हम निश्चित रूप से उनके बारे में बताएंगे।

और क्या करना है, अगर आपको एक ट्रैपेज़ॉयड या त्रिकोण की जगह खोजने की ज़रूरत है, लेकिन किसी प्रकार का जटिल आकार? सार्वभौमिक तरीके हैं! आइए उन्हें बैंक के कार्य बैंक के उदाहरणों पर दिखाएं।

1. गैर-मानक आंकड़ों का एक क्षेत्र कैसे खोजें? उदाहरण के लिए, एक मनमानी क्वाड्रिलर? एक साधारण रिसेप्शन - हम उन आंकड़ों को तोड़ते हैं जिन्हें हम सभी जानते हैं, और अपने क्षेत्र को ढूंढते हैं - इन आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के रूप में।

हम इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा के साथ दो त्रिकोणों के बराबर विभाजित करते हैं, जिसके बराबर समान आधार होते हैं। इन त्रिकोणों की ऊंचाई बराबर है। फिर चतुर्भुज का क्षेत्र दो त्रिकोणों के क्षेत्रों के बराबर है :.

उत्तर :.

2. कुछ मामलों में, आंकड़े की आकृति को किसी भी स्थान के बीच एक अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस त्रिभुज में आधार और ऊंचाई की गणना करना इतना आसान नहीं है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्र एक पक्ष के साथ वर्ग वर्गों और तीन आयताकार त्रिकोण के साथ अंतर के बराबर है। तस्वीर में उन्हें देखें? हम पाते हैं :।

उत्तर :.

3. कभी-कभी कार्य में क्षेत्र को पूरा आंकड़ा नहीं, बल्कि इसके हिस्सों को ढूंढना आवश्यक होता है। आम तौर पर यह क्षेत्र क्षेत्र के बारे में है - सर्कल के कुछ हिस्सों। त्रिज्या सर्कल क्षेत्र के क्षेत्र को शामिल करें, जिसकी चाप की लंबाई बराबर है।

इस तस्वीर में हम सर्कल का हिस्सा देखते हैं। पूरे सर्कल का क्षेत्र तब से बराबर है। यह जानना बाकी है कि सर्कल का कौन सा हिस्सा चित्रित किया गया है। चूंकि पूरे सर्कल की लंबाई (एएस) के बराबर होती है, और इस क्षेत्र की चाप की लंबाई बराबर होती है, इसलिए, चाप की लंबाई पूरे परिधि की लंबाई से कम समय के भीतर होती है। जिस कोण पर यह आर्क निर्भर करता है वह पूर्ण सर्कल (वह, डिग्री) से भी कम है। तो, क्षेत्र क्षेत्र पूरे सर्कल के क्षेत्र से कम होगा।

फ्लैट आंकड़ों के सभी सूत्र वर्ग

एक बराबर ट्रेपेज़ियम का वर्ग

1. पार्टियों और कोण के माध्यम से एक संतुलन ट्रेपेज़ियम के एक क्षेत्र का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी - समान साइड साइड

α - निचले स्तर पर कोण

पार्टियों के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम का सूत्र, (एस):

पार्टियों और कोण के माध्यम से एक समान रूप से साझा ट्रैपेज़ियम का सूत्र, (एस):

2. अंकित सर्कल के त्रिज्या के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र

R- त्रिज्या अंकित सर्कल

डी-व्यास अंकित सर्कल

ओ- केंद्र उत्कीर्ण चक्र

एच- ट्रेपेज़ियम की ऊंचाई

α, β - ट्रेपेज़ियम कोण

अंकित सर्कल के त्रिज्या के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम का सूत्र, (एस):

काफी हद तक, एक समान चैग्रिन ट्रेपेज़ियम में अंकित सर्कल के लिए:

3. विकर्ण और उनके बीच कोण के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र

डी-विकर्ण ट्रैपेज़ियम

α, β-corners विकर्ण के बीच

विकर्ण के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र और उनके बीच कोण, (एस):

4. आधार पर मध्य रेखा, पक्ष और कोण के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र

साइड

एम- ट्रेपेज़ की मध्य रेखा

α, β - आधार पर कोण

आधार पर मध्य रेखा, पक्ष और कोण के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र,

(ओं):

5. आधार और ऊंचाई के माध्यम से एक समान ट्रेपेज़ियम क्षेत्र का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

एच - ट्रेपेज़ की ऊंचाई

बेस और हाइट्स के माध्यम से एक समान रूप से साझा ट्रैपेज़ियम का सूत्र, (एस):

पक्ष में त्रिभुज और दो कोनों, सूत्र का क्षेत्र।

ए, बी, त्रिभुज पक्ष

α, β, γ- विपरीत कोण

साइड के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्र और दो कोण (ओं):

सही बहुभुज का फॉर्मूला स्क्वायर

ए - बहुभुज पक्ष

एन - पार्टियों की संख्या

सही बहुभुज का वर्ग, (एस):

आधा संस्करणर के माध्यम से त्रिभुज क्षेत्र का फॉर्मूला (गेरॉन):

समतुल्य त्रिभुज क्षेत्र है:

गणना के लिए सूत्र, एक समतुल्य त्रिभुज क्षेत्र।

त्रिकोण के ए - पक्ष

एच - ऊंचाई

एक समान त्रिभुज क्षेत्र की गणना कैसे करें?

बी - त्रिभुज का आधार

एक समान पक्ष

एच - ऊंचाई

3. चार तरफ से ट्रेपेज़ियम के क्षेत्र का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी, डी - साइड

पक्षों और विकर्ण पर ट्रेपेज़ियम के वर्णित सर्कल का त्रिज्या

ए - ट्रेपेज़ियम के साइड साइड

सी - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

डी - विकर्ण

एच - ऊंचाई

ट्रेपेज़ियम के वर्णित सर्कल के त्रिज्या का सूत्र, (आर)

पक्षों पर एक पृथक त्रिभुज की वर्णित परिधि का त्रिज्या खोजें

एक अस्थिर मुक्त त्रिभुज के किनारों को जानना, सूत्र द्वारा यह संभव है, इस त्रिभुज के पास वर्णित वृत्त का त्रिज्या।

ए, बी - त्रिभुज पक्ष

एक आइसोबिक त्रिकोण (आर) की वर्णित परिधि का त्रिज्या:

हेक्सागोन में त्रिज्या अंकित सर्कल

ए - साइड हेक्सागोन

हेक्सागोन में अंकित सर्कल का त्रिज्या, (आर):

Rhombus में त्रिज्या अंकित सर्कल

आर - त्रिज्या अंकित सर्कल

ए - साइड रोमा

डी, डी - विकर्ण

एच - रोमा ऊंचाई

एक समान ट्रेपेज़ियम में अंकित सर्कल का त्रिज्या

सी - नीचे आधार

बी - शीर्ष आधार

ए - साइड

एच - ऊंचाई

त्रिज्या एक आयताकार त्रिभुज में उल्टा सर्कल

ए, बी - त्रिकोण कैटेट्स

सी - hypotenuse

एक समान त्रिभुज में अंकित परिधि का त्रिज्या

ए, बी - त्रिभुज पक्ष

साबित करें कि अंकित चार-संक्षिप्त क्षेत्र के बराबर है

\\ / (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी),

जहां पी आधा मीटर और ए, बी, एस और डी - क्वाड्रिल का पक्ष है।

साबित करें कि क्वाड्रिक के चक्र में अंकित क्षेत्र बराबर है

1/2 (एबी + सीबी) · पाप α, जहां ए, बी, एस और डी - क्वाड्रल के किनारे और α पार्टियों ए और बी के बीच कोण है।

एस \u003d √ [एक ƀ सी डी] पाप ½ (α + β)। - fb.ru पर और पढ़ें:

एक मनमानी क्वाड्रल (चित्र 1.13) का क्षेत्र अपने हिस्से ए, बी, सी और विपरीत कोणों की जोड़ी के योग के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

जहां पी एक चक्रवात की आधी अवधि है।

एक quarrong परिधि () (चित्र 1.14, ए) में अंकित क्षेत्र ब्रह्मगुप्त फॉर्मूला द्वारा गणना की जाती है

और वर्णित (चित्र 1.14, बी) () - सूत्र द्वारा

यदि चतुर्भुज दर्ज किया गया है और उसी समय वर्णित किया गया है (चित्र 1.14, सी), तो सूत्र बहुत आसान हो जाता है:

सूत्र उठाओ

चेकर्ड पेपर पर बहुभुज के क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है कि कितने कोशिकाएं इस बहुभुज को शामिल करती हैं (सेल क्षेत्र जिसे हम प्रति यूनिट स्वीकार करते हैं)। अधिक सटीक रूप से, यदि एस बहुभुज का क्षेत्र है, तो कोशिकाओं की संख्या जो पूरी तरह से बहुभुज के अंदर झूठ बोल रही है, और बहुभुज के आंतरिक रूप से कम से कम एक आम बिंदु के साथ कोशिकाओं की संख्या।

हम नीचे दिए गए ऐसे बहुभुजों पर विचार करेंगे, जिनमें से सभी शिखर चेक किए गए पेपर के नोड्स में स्थित हैं - ऐसे में जहां ग्रिड लाइनें छेड़छाड़ करती हैं। यह पता चला है कि ऐसे सूत्र को ऐसे बहुभुजों के लिए निर्दिष्ट किया जा सकता है:

जहां - क्षेत्र, आर नोड्स की संख्या है जो बहुभुज के अंदर सख्ती से झूठ बोलती है।

इस सूत्र को "पीक फॉर्मूला" कहा जाता है - नामित गणित ने इसे 18 99 में खोला।

क्षेत्र क्या है?

यह क्षेत्र एक बंद ज्यामितीय आकार (सर्कल, वर्ग, त्रिकोण, आदि) की विशेषता है, जो इसके आकार को दिखाता है। क्षेत्र को वर्ग सेंटीमीटर, मीटर आदि में मापा जाता है। पत्र को दर्शाता है एस(वर्ग)।