तर्कसंगत समीकरणों का समाधान कैसे हल करें। आंशिक तर्कसंगत समीकरण। एल्गोरिथ्म समाधान

टी। कोस्यकोवा,
स्कूल एन 80, क्रास्नोडार

पैरामीटर युक्त स्क्वायर और फ्रैक्शनल तर्कसंगत समीकरणों का समाधान

पाठ 4।

थीम सबक:

पाठ का उद्देश्य:पैरामीटर युक्त फ्रैक्शनल तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की क्षमता का निर्माण।

पाठ का प्रकार: परिचय नई सामग्री।

1. (मौखिक रूप से।) समीकरण तय करें:

उदाहरण 1।। समीकरण तय करें

फेसला।

अमान्य मान खोजें ए।:

उत्तर। यदि एक यदि एक ए। = – 19 , कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 2।। समीकरण तय करें

फेसला।

अमान्य पैरामीटर मान खोजें ए। :

10 – ए। = 5, ए। = 5;

10 – ए। = ए।, ए। = 5.

उत्तर। यदि एक ए। = 5 ए। № 5 टी x \u003d 10- ए। .

उदाहरण 3।। पैरामीटर के किस मूल्यों के तहत बी समीकरण यह है:

a) दो जड़ें; b) एकमात्र जड़?

फेसला।

1) अमान्य पैरामीटर मान खोजें बी :

x \u003d। बी, बी 2 (बी 2 – 1) – 2बी 3 + बी 2 = 0, बी 4 – 2बी 3 = 0,
बी \u003d 0 या बी = 2;
x \u003d 2, 4 ( बी 2 – 1) – 4बी 2 + बी 2 = 0, बी 2 – 4 = 0, (बी – 2)(बी + 2) = 0,
बी \u003d 2 या बी = – 2.

2) समाधान समीकरण x 2 ( बी 2 – 1) – 2बी 2 x +। बी 2 = 0:

डी \u003d 4। बी 4 – 4बी 2 (बी 2 - 1), डी \u003d 4 बी 2 .

लेकिन अ)

अमान्य पैरामीटर मानों को छोड़कर बी , हम यह प्राप्त करते हैं कि समीकरण में दो जड़ें हैं बी № – 2, बी № – 1, बी № 0, बी № 1, बी № 2 .

बी) 4बी 2 = 0, बी = 0, लेकिन यह पैरामीटर का एक अवैध मान है बी ; यदि एक बी 2 –1=0 , अर्थात। बी=1 या।

उत्तर: ए) यदि बी № –2 , बी № –1, बी № 0, बी № 1, बी № 2 , फिर दो जड़ें; b) यदि बी=1 या b \u003d -1। , फिर एकमात्र जड़।

स्वतंत्र काम

विकल्प 1

समीकरण तय करें:

विकल्प 2।

समीकरण तय करें:

जवाब

1 में। क्या हो अगर ए।=3 , कोई जड़ नहीं; यदि एक b) अगर अगर ए। № 2 , कोई जड़ नहीं।

दो पर। यदि एक ए।=2 , कोई जड़ नहीं; यदि एक ए।=0 , कोई जड़ नहीं; यदि एक
b) यदि ए।=– 1 , समीकरण इसका अर्थ खो देता है; अगर कोई जड़ नहीं है;
यदि एक

घर पर कार्य।

समीकरण तय करें:

उत्तर: ए) यदि ए। № –2 टी x \u003d। ए। ; यदि एक ए।=–2 , तो कोई समाधान नहीं है; b) यदि ए। № –2 टी x \u003d 2। ; यदि एक ए।=–2 , तो कोई समाधान नहीं है; c) यदि ए।=–2 टी एक्स। - किसी भी संख्या को छोड़कर 3 ; यदि एक ए। № –2 टी x \u003d 2। ; d) यदि ए।=–8 , कोई जड़ नहीं; यदि एक ए।=2 , कोई जड़ नहीं; यदि एक

पाठ 5।

थीम सबक: "पैरामीटर युक्त फ्रैक्शनल तर्कसंगत समीकरणों का समाधान।"

उद्देश्य सबक:

गैर-मानक स्थिति के साथ समीकरणों को हल करने के लिए सीखना;
जानबूझकर बीजगणितीय अवधारणाओं और उनके बीच संबंधों के छात्रों को आत्मसात करें।

पाठ का प्रकार: व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।

अपने होमवर्क की जाँच करें।

उदाहरण 1।। समीकरण तय करें

क) एक्स के सापेक्ष; बी) वाई के सापेक्ष।

फेसला।

a) अस्वीकार्य मान खोजें वाई: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0। - पैरामीटर का अमान्य मान वाई.

यदि एक वाई№ 0 टी x \u003d y-2 ; यदि एक y \u003d 0। , समीकरण इसका अर्थ खो देता है।

b) हमें अमान्य पैरामीटर मान मिलेगा एक्स।: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - पैरामीटर का अमान्य मान एक्स।; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 या y \u003d 2 + x;

y \u003d 0। स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है y (y-x)№ 0 .

उत्तर: ए) यदि y \u003d 0। , समीकरण इसका अर्थ खो देता है; यदि एक वाई№ 0 टी x \u003d y-2 ; b) यदि x \u003d 0। एक्स।№ 0 टी y \u003d 2 + x .

उदाहरण 2।। समीकरण की जड़ों के पैरामीटर के किस मूल्य पर अंतराल से संबंधित है

डी \u003d (3) ए। + 2) 2 – 4ए।(ए। + 1) · 2 \u003d 9 ए। 2 + 12ए। + 4 – 8ए। 2 – 8ए।,

डी \u003d ( ए। + 2) 2 .

यदि एक ए। № 0 या ए। № – 1 टी

उत्तर: 5 .

उदाहरण 3।। अपेक्षाकृत खोजें एक्स। समीकरण के समाधान

उत्तर। यदि एक y \u003d 0। , समीकरण समझ में नहीं आता है; यदि एक y \u003d -1। टी एक्स। - शून्य के अलावा कोई भी पूर्णांक; यदि एक Y№ 0, y№ - 1, मेरे पास कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 4। समीकरण तय करें पैरामीटर के साथ ए। तथा बी .

यदि एक ए।№ - बी। टी

उत्तर। यदि एक ए \u003d।0 या b \u003d।0 , समीकरण इसका अर्थ खो देता है; यदि एक ए।№ 0, बी№ 0, ए \u003d-बी टी एक्स। - शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या; यदि एक ए।№ 0, बी№ 0, ए№ -बी, उस x \u003d -a, x \u003d -b .

उदाहरण 5।। साबित करें कि पैरामीटर एन के किसी भी मूल्य के साथ, शून्य, समीकरण से अलग केवल जड़ बराबर है - एन। .

फेसला।

अर्थात। x \u003d साबित करने के लिए आवश्यक है।

घर पर कार्य।

1. समीकरण के पूरे समाधान खोजें

2. पैरामीटर के किस मूल्यों पर सी। समीकरण यह है:
a) दो जड़ें; b) एकमात्र जड़?

3. समीकरण की सभी संपूर्ण जड़ें खोजें यदि एक ए।के बारे में एन .

4. समीकरण का निर्णय लें 3xy - 5x + 5y \u003d 7:ए) के बारे में वाई ; b) के बारे में एक्स। .

1. समीकरण शून्य के अलावा किसी भी पूर्णांक बराबर मान x और y को संतुष्ट करता है।
2. ए) जब
b) पर या
3. – 12; – 9; 0 .
4. ए) यदि जड़ें नहीं हैं; यदि एक
b) यदि कोई जड़ नहीं है; यदि एक

परीक्षा

विकल्प 1

1. समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें 7 सी (सी + 3) x 2 + (सी -2) एक्स -8 \u003d 0 के साथ) सी \u003d -3। ; बी) सी \u003d 2; में) सी \u003d 4। .

2. समीकरण तय करें: ए) x 2 -bx \u003d 0; बी) सीएक्स 2 -6x + 1 \u003d 0 ; में)

3. समीकरण तय करें 3x-xy-2y \u003d 1:

ए) के बारे में एक्स। ;
b) के बारे में वाई .

एनएक्स 2 - 26x + n \u003d 0, यह जानकर कि पैरामीटर एन केवल पूर्णांक मान लेता है।

5. क्या मूल्य बी समीकरण यह है:

a) दो जड़ें;
b) एकमात्र जड़?

विकल्प 2।

1. समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें 5 सी (सी + 4) x 2 + (सी -7) x + 7 \u003d 0 के साथ) सी \u003d -4; बी) सी \u003d 7; में) c \u003d 1। .

2. समीकरण तय करें: ए) वाई 2 + सीवाई \u003d 0; बी) NY 2 -8Y + 2 \u003d 0; में)

3. समीकरण तय करें 6x-xy + 2y \u003d 5:

ए) के बारे में एक्स। ;
b) के बारे में वाई .

4. पूरे रूट्स समीकरण खोजें एनएक्स 2 -22x + 2n \u003d 0, यह जानकर कि पैरामीटर एन केवल पूर्णांक मान लेता है।

5. पैरामीटर के किस मूल्यों पर एक समीकरण यह है:

a) दो जड़ें;
b) एकमात्र जड़?

जवाब

1 में। 1. ए) रैखिक समीकरण;
बी) अधूरा वर्ग समीकरण; सी) स्क्वायर समीकरण।
2. ए) यदि b \u003d 0। टी x \u003d 0। ; यदि एक b№ 0। टी x \u003d 0, x \u003d b;
बी) यदि एक सह (9; + ґ) , कोई जड़ नहीं;
c) यदि ए।=–4 , समीकरण इसका अर्थ खो देता है; यदि एक ए।№ –4 टी x \u003d - ए। .
3. ए) यदि y \u003d 3। , कोई जड़ नहीं; यदि एक);
बी) ए।=–3, ए।=1.

अतिरिक्त काम

समीकरण तय करें:

साहित्य

1. गोलुबेव वी.आई., गोल्डमैन एएम, डोरोफेव जीवी। बहुत शुरुआत से पैरामीटर के बारे में। - ट्यूटर, नंबर 2/1991, पी। 3-13।
2. ग्रोनोस्टीन पीआई, पोल्स्की वीबी, याकीर एमएस पैरामीटर के साथ कार्यों में पूर्वापेक्षाएँ। - मात्रा, संख्या 11/1991, पी। 44-49।
3. Dorofeyev जीवी, Zatakai v.v. पैरामीटर वाले कार्यों को हल करना। भाग 2. - एम, परिप्रेक्ष्य, 1 99 0, पी। 2-38।
4. Tynyakin एसए। पैरामीटर के साथ पांच सौ चौदह कार्य। - वोल्गोग्राड, 1 99 1।
5. yarstresicky g.a. पैरामीटर के साथ कार्य। - एम, ज्ञान, 1 9 86।

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हमने पहले ही स्क्वायर समीकरणों को हल करना सीखा है। अब हम तर्कसंगत समीकरणों के लिए अध्ययन विधियों को फैलाते हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति क्या है? हम पहले ही इस अवधारणा में आ चुके हैं। तर्कसंगत अभिव्यक्ति उन्हें संख्याओं, चर, उनकी डिग्री और गणितीय कार्यों के संकेतों से बना भाव कहा जाता है।

तदनुसार, तर्कसंगत समीकरणों को फॉर्म के समीकरण कहा जाता है: जहां - तर्कसंगत अभिव्यक्ति।

पहले, हमने केवल उन तर्कसंगत समीकरणों को माना जाता है जो रैखिक में कम हो जाते हैं। अब कम और वर्ग दोनों तर्कसंगत समीकरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें :.

फेसला:

अंश 0 है और केवल तभी यदि इसका अंक 0 है, और denominator 0 के बराबर नहीं है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

पहला सिस्टम समीकरण एक वर्ग समीकरण है। निर्णय लेने का निर्णय लेने से पहले, हम अपने सभी गुणांक को 3 से विभाजित करते हैं। प्राप्त:

हमें दो जड़ें मिलती हैं :; ।

चूंकि 2 कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है, यह आवश्यक है कि दो स्थितियां की जाती हैं: । चूंकि उपरोक्त प्राप्त समीकरण में से कोई भी वैरिएबल के अस्वीकार्य मूल्यों के साथ मेल नहीं खाता है, जो दूसरी असमानता को हल करने के लिए निकला, वे इस समीकरण के दोनों समाधान हैं।

उत्तर:.

तो, तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम तैयार करते हैं:

1. सभी शर्तों को बाएं भाग में स्थानांतरित करने के लिए ताकि दाएं भाग में यह 0 हो जाता है।

2. बाएं हिस्से को बदलें और सरल बनाएं, सभी अंशों को सामान्य संप्रदाय में लाएं।

3. परिणामी अंश निम्नलिखित एल्गोरिदम के अनुसार 0 के बराबर होने के लिए: .

4. पहले समीकरण में निकलने वाली जड़ों को रिकॉर्ड करें और प्रतिक्रिया में दूसरी असमानता को संतुष्ट करें।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2।

समीकरण हल करें: .

फेसला

शुरुआत में, हम बाईं ओर सभी घटकों को स्थगित कर देंगे ताकि सही अवशेष हो। हमें मिलता है:

अब हम समीकरण के बाएं हिस्से को सामान्य संप्रदाय के लिए देंगे:

यह समीकरण सिस्टम के बराबर है:

पहला सिस्टम समीकरण एक वर्ग समीकरण है।

इस समीकरण के गुणांक :. भेदभाव की गणना करें:

हमें दो जड़ें मिलती हैं :; ।

अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं: गुणक का उत्पाद 0 नहीं है यदि केवल तभी यदि कोई कारक 0 के बराबर नहीं है।

यह आवश्यक है कि दो स्थितियों का प्रदर्शन किया जाता है: । हम पहले समीकरण की दो जड़ों से केवल एक - 3 उपयुक्त हैं।

उत्तर:.

इस पाठ में, हमने याद किया कि इस तरह की तर्कसंगत अभिव्यक्ति, और यह भी पता चला कि तर्कसंगत समीकरणों को कैसे हल किया जाए जो वर्ग समीकरणों में कम हो जाते हैं।

अगले पाठ में, हम वास्तविक परिस्थितियों के मॉडल के रूप में तर्कसंगत समीकरणों को देखेंगे, साथ ही आंदोलन कार्यों पर विचार करेंगे।

ग्रन्थसूची

1. Bashmakov एमआई बीजगणित, ग्रेड 8। - एम।: Enlightenment, 2004।
2. डोरोफेव जीवी, सुवोरोवा एसबी, बेनोविच ईए। और अन्य। बीजगणित, 8. 5 वें एड। - एम।: Enlightenment, 2010।
3. निकोलस्की एस.एम., पोटापोव मा, reshetnikov एनएन।, शेवकिन ए वी। बीजगणित, ग्रेड 8। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम।: शिक्षा, 2006।

1. शैक्षणिक विचारों का उत्सव "ओपन सबक" ()।
2. School.xvatit.com ()।
3. Rudocs.exdat.com ()।

होम वर्क

अंशों के साथ समीकरणों को हल करना उदाहरणों पर विचार करें। उदाहरण सरल और संकेतक हैं। उनकी मदद से, आप सबसे समझने योग्य तरीके को असाइन करने में सक्षम होंगे।
उदाहरण के लिए, इसे सरल समीकरण X / B + C \u003d D को हल करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार के समीकरणों को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि संप्रदाय में केवल संख्याएं हैं।

समाधान बी पर समीकरण के दोनों हिस्सों को गुणा करके किया जाता है, फिर समीकरण फॉर्म एक्स \u003d बी * (डी - सी), यानी लेता है। बाईं ओर डेनोमोटर denominator कम हो गया है।

उदाहरण के लिए, एक आंशिक समीकरण को कैसे हल करें:
X / 5 + 4 \u003d 9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है:
x + 20 \u003d 45
x \u003d 45-20 \u003d 25

एक और उदाहरण जब अज्ञात denominator में है:

इस प्रकार के समीकरणों को fractional या बस fractional कहा जाता है।

अंशों से छुटकारा पाने के द्वारा आंशिक समीकरण को हल करना संभव होगा, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या वर्ग में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। किसी को केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• 0 में चर का मान Denominator रूट नहीं हो सकता है;
• आप अभिव्यक्ति \u003d 0 पर समीकरण को विभाजित या गुणा नहीं कर सकते हैं।

यहां, यह अवधारणा लागू होती है, क्योंकि अनुमोदित मूल्यों (ओटीजेड) के क्षेत्र - ये समीकरण की जड़ों के मूल्य हैं जिनमें समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करना, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, जिसके बाद उन्हें ओटीजेड के अनुपालन के लिए जांचें। उन जड़ों जो हमारे ओडब्ल्यूज़ से मेल नहीं खाते हैं, को जवाब से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, एक आंशिक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपर्युक्त नियमों के आधार पर x \u003d 0 नहीं हो सकता है, यानी इस मामले में otz: एक्स - शून्य के अलावा कोई भी मूल्य।

एक्स पर समीकरण के सभी सदस्यों को गुणा करके denominator से छुटकारा पाएं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x \u003d 1
3x \u003d 1।
x \u003d 1/3

उत्तर: x \u003d 1/3

समीकरण को अधिक जटिल बनाने के लिए:

यह भी मौजूद है ... ओटीजेड: एक्स -2।

इस समीकरण का निर्णय करके, हम सबकुछ एक दिशा में नहीं ले जाएंगे और सामान्य संप्रदाय को अंश लाएंगे। हम तत्काल समीकरण के दोनों हिस्सों को अभिव्यक्ति पर गुणा करेंगे जो एक ही समय में सभी संप्रदायों को कम कर देगा।

संप्रदायों को कम करने के लिए, बाईं तरफ एक्स + 2 पर गुणा करने की आवश्यकता है, और दाएं - 2। इसका मतलब है कि समीकरण के दोनों हिस्सों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह उन अंशों का सबसे आम गुणा है जिसे हमने पहले ही ऊपर माना है।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन कुछ अलग

बाईं तरफ (x + 2), और दाहिने हाथ से कम हो गया है 2. कमी के बाद, हम एक पारंपरिक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ के अनुरूप है

उत्तर: x \u003d 2।

अंशों के साथ समीकरणों को हल करना उतना मुश्किल नहीं है जितना लग सकता है। इस लेख में, हमने इसे उदाहरणों में दिखाया। यदि आपको कोई कठिनाई है अंशों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।