3 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें। दो नंबरों की नोड और नोक, यूक्लिडियन एल्गोरिथम

एलसीएम कैसे खोजें (कम से कम सामान्य एकाधिक)

दो पूर्णांकों का उभयनिष्ठ गुणज वह पूर्णांक होता है जो बिना किसी शेषफल के दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा होता है जो दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से और बिना शेषफल के विभाज्य होता है।

विधि 1. आप एलसीएम, बदले में, दी गई प्रत्येक संख्या के लिए, आरोही क्रम में लिख कर उन सभी संख्याओं को प्राप्त कर सकते हैं जो उन्हें 1, 2, 3, 4, और इसी तरह से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए।
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 के लिए एलसीएम 18 होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और पूर्णांकों के अनुक्रम से उन्हें गुणा करना आसान हो। हालांकि, ऐसे मामले हैं जब आपको दो अंकों या तीन अंकों की संख्या के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है, और जब तीन या उससे भी अधिक प्रारंभिक संख्याएं होती हैं।

विधि 2. आप मूल संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात कर सकते हैं।
अपघटन के बाद, अभाज्य गुणनखंडों की परिणामी श्रृंखला से समान संख्याओं को पार करना आवश्यक है। पहली संख्या के शेष अंक दूसरे के लिए गुणनखंड होंगे, और दूसरी संख्या की शेष संख्याएं पहले के लिए गुणनखंड होंगी।

उदाहरण 75 और 60 की संख्या के लिए।
इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
75 = 3 * 5 *5, और
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणनखंड 3 और 5 दोनों पंक्तियों में होते हैं। मानसिक रूप से हम उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करते समय, हमने संख्या 5 को छोड़ दिया, और संख्या 60 को विघटित करते समय, हमने 2 * 2 छोड़ दिया
इसलिए, संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें शेष संख्याओं को 75 के विस्तार (यह 5 है) से 60 से गुणा करना होगा, और संख्या 60 के विस्तार से शेष संख्या (यह 2 * 2 है) ) 75 से गुणा करें। यानी समझने में आसानी के लिए, हम कहते हैं कि हम "क्रॉसवाइज" को गुणा करते हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस तरह हमने 60 और 75 की संख्या का एलसीएम ज्ञात किया। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 . के लिए एलसीएम निर्धारित करें
इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन, पहले, हमेशा की तरह, हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी (यह संख्या 12 है) का चयन करते हैं और क्रमिक रूप से इसके कारकों के माध्यम से जाते हैं, यदि संख्याओं की कम से कम एक अन्य पंक्तियों में एक ही गुणक है जिसे अभी तक पार नहीं किया गया है, तो उन्हें पार करते हैं। बाहर।

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2*2 संख्याओं की सभी श्रंखलाओं में आता है। हम उन्हें पार करते हैं।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. संख्या 12 के अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्या 3 बची है। लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद है। हम संख्या 3 को दोनों पंक्तियों से काटते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है। .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "क्रॉस आउट" कर दिया। तो एनओसी की खोज पूरी हो गई है। यह केवल इसके मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है।
संख्या 12 के लिए, हम शेष गुणनखंडों को संख्या 16 से लेते हैं (आरोही क्रम में निकटतम)
12 * 2 * 2 = 48
यह है एनओसी

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम खोजना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, तो यह विधि आपको इसे तेज़ी से करने की अनुमति देती है। हालांकि, एलसीएम खोजने के दोनों तरीके सही हैं।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को उच्चतम होने वाली घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सबसे बड़े घातांक के साथ लेना होगा जिसके साथ यह होता है, और इन कारकों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 सहअभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की खोज करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका यह है कि फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक का पता लगाया जाए।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या अन्य दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है, तो इन संख्याओं का LCM उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6. उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एनओसी (60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम ऐसी संख्याएँ पाते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए - यह संख्या 24 है। इसके बाद, 24 के गुणज ज्ञात कीजिए, यह जाँचते हुए कि उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है या नहीं:

24 1 = 24 3 से विभाज्य है लेकिन 18 से विभाज्य नहीं है।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 \u003d 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

तो एलसीएम (24, 3, 18) = 72।

अनुक्रमिक खोज एलसीएम द्वारा ढूँढना

तीसरा तरीका एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

दो दी गई संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अत: LCM(12, 8) = 24.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का LCM ज्ञात किया जाता है।
2. फिर, कम से कम सामान्य गुणक का एलसीएम और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी कम से कम सामान्य गुणक और चौथी संख्या का एलसीएम, और इसी तरह।
4. इस प्रकार एलसीएम खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएं होती हैं।

उदाहरण 2. आइए तीन दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12, 8 और 9। हम पिछले उदाहरण में संख्याओं 12 और 8 के एलसीएम को पहले ही ढूंढ चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या - 9 को खोजने के लिए बनी हुई है। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: gcd (24, 9) = 3. LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

तो एलसीएम(12, 8, 9) = 72।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 6433

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और नॉक क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर से।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजकये नंबर। जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।

दो प्राकृतिक संख्याओं 18 और 60 के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें:

1 आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 पहली संख्या के विस्तार में से वे सभी गुणनखंड हटा दें जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं, हमें प्राप्त होता है 2×3×3 .

3 हम शेष अभाज्य गुणनखंडों को काटकर गुणा करते हैं और संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक प्राप्त करते हैं: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 ध्यान दें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहली या दूसरी संख्या से हम गुणनखंडों को काट देते हैं, परिणाम समान होगा:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 तथा 432

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

पहली संख्या से हटा दें, जिसके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें मिलता है:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

जीसीडी के परिणामस्वरूप ( 324 , 111 , 432 )=3

यूक्लिड के एल्गोरिदम के साथ जीसीडी ढूँढना

का उपयोग करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का दूसरा तरीका यूक्लिड का एल्गोरिथम. यूक्लिड का एल्गोरिथ्म खोजने का सबसे कारगर तरीका है जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको संख्याओं के शेष भाग को लगातार खोजने और लागू करने की आवश्यकता है आवर्तक सूत्र.

आवर्तक सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, एक मॉड बी), जहाँ a mod b, a को b से विभाजित करने का शेषफल है।

यूक्लिड का एल्गोरिथम

उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें 7920 तथा 594

आइए जीसीडी खोजें ( 7920 , 594 ) यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके शेष भाग की गणना करेंगे।

जीसीडी( 7920 , 594 )

जीसीडी( 594 , 7920 आधुनिक 594 ) = जीसीडी ( 594 , 198 )

जीसीडी( 198 , 594 आधुनिक 198 ) = जीसीडी ( 198 , 0 )

जीसीडी( 198 , 0 ) = 198

• 7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 मॉड 198 = 594 - 3 × 198 = 0

परिणामस्वरूप, हमें GCD ( 7920 , 594 ) = 198

आम एकाधिक

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय एक सामान्य भाजक को खोजने के लिए, आपको जानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है आम एकाधिक(एनओसी)।

संख्या "ए" का एक गुणक एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेष के संख्या "ए" से विभाजित होती है।

संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात, इन संख्याओं को बिना शेष के 8 से विभाजित किया जाएगा): ये संख्याएँ हैं 16, 24, 32 ...

9:18, 27, 36, 45 के गुणज…

दी गई संख्या a के अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं, जो एक ही संख्या के भाजक के विपरीत होते हैं। भाजक - एक परिमित संख्या।

दो प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज वह संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है।.

आम एकाधिकदो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का (LCM) वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या है जो स्वयं इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

एनओसी कैसे पता करें

LCM को दो तरह से पाया और लिखा जा सकता है।

एलसीएम खोजने का पहला तरीका

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।

1. हम पंक्ति में प्रत्येक संख्या के गुणकों को तब तक लिखते हैं जब तक कि दोनों संख्याओं के लिए समान गुणज न हो।
2. संख्या "ए" का एक गुणक एक बड़े अक्षर "के" द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।

एलसीएम खोजने का दूसरा तरीका

तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

संख्याओं के प्रसार में समान गुणनखंडों की संख्या भिन्न हो सकती है।

छोटी संख्या (छोटी संख्या) के विस्तार में, उन कारकों को रेखांकित करें जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे (हमारे उदाहरण में, यह 2 है) और इन कारकों को बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ें।
एलसीएम (24, 60) = 2 2 3 5 2

प्रतिक्रिया में परिणामी कार्य को रिकॉर्ड करें।
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120

आप निम्न प्रकार से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने को औपचारिक रूप दे सकते हैं। आइए एलसीएम खोजें (12, 16, 24)।

24 = 2 2 2 3

जैसा कि आप संख्याओं के विस्तार से देख सकते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के विस्तार में शामिल हैं, इसलिए हम संख्या 16 के विस्तार से LCM में केवल एक 2 जोड़ते हैं।

एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48

एनओसी खोजने के विशेष मामले

यदि संख्याओं में से एक संख्या अन्य से समान रूप से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक इस संख्या के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

हमारी साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए ऑनलाइन कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।

कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालाँकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में, आप 997 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

• संख्या 12, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
• 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के भाजक कहलाते हैं।

एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।

वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाजित होती हैं।

महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" की सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा दोनों संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाज्य हैं।

संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस प्रकार लिखा गया है:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

संख्या 7 और 9 में केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य संख्या.

कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका जीसीडी 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

• संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करें।
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका

अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

हमारी सूचना साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए एक सहायक कार्यक्रम की सहायता से ऑनलाइन सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी ढूंढ सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना, विधियाँ, LCM ज्ञात करने के उदाहरण।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

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gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए GCD के साथ LCM के लिंक का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM निकाल सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक अल्पतम समापवर्तक प्राप्त करते हैं: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 ।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

चूँकि 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, तो gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 ।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) से निम्नानुसार है। वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस उत्पाद का मान 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । तो एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 ।

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार के गुणनखंडों में जोड़ दें, तो परिणामी गुणनफल का मान संख्याओं a और b के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

पहले हम m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , जहां से LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करें, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

एम 4 = एलसीएम (एम 3, ए 4) = एलसीएम (3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , इसलिए LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 । यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94500।

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ मेल खाता है) और 143=11 13.

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि 2 और 3 दोनों पहले संख्या 84 के विस्तार में पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।

इसलिए, एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48048।

एलसीएम(84, 6, 48, 7,143)=48048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको कम से कम सामान्य संख्याएँ खोजने की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक, कई या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी ऋणात्मक संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसके बाद सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का यह तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)।

हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएं हैं)। वास्तव में, मान लीजिए कि b a का कुछ गुणज है, फिर b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की अवधारणा ऐसे पूर्णांक q के अस्तित्व पर जोर देती है कि b=a q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो, विभाज्यता की समान अवधारणा के आधार पर, का अर्थ है कि b −a से विभाज्य है, अर्थात b, −a का गुणज है। विलोम कथन भी सत्य है: यदि b −a का कुछ गुणज है, तो b भी a का गुणज है।

ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से बदलें। हमारे पास LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) है। gcd(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांकों −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक 1,305 है।

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हम डिवीजन का अध्ययन जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अवधारणाओं को देखेंगे जैसे जीसीडीतथा अनापत्ति प्रमाण पत्र.

जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

अनापत्ति प्रमाण पत्रकम से कम सामान्य गुणक है।

विषय थोड़ा उबाऊ है, लेकिन इसे समझना जरूरी है। इस विषय को समझे बिना आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एकतथा बी एकतथा बीशेष के बिना विभाजित।

इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, हम चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एकतथा बीकोई दो संख्याएँ, उदाहरण के लिए, चर के स्थान पर एकसंख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीसंख्या 9. अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 तथा 9 सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा 12 तथा 9 शेष के बिना विभाजित।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के एक सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) पाया जाना चाहिए।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी समय लेने वाली है, लेकिन यह आपको विषय के सार को अच्छी तरह से समझने और उसके पूरे अर्थ को महसूस करने की अनुमति देती है।

दूसरी और तीसरी विधियां काफी सरल हैं और जीसीडी को जल्दी से ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों विधियों पर विचार करेंगे। और व्यवहार में क्या लागू करना है - आप चुनते हैं।

पहला तरीका यह है कि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा चुनें। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करें: संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.

सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा में सभी भाजक में विभाजित करते हैं। यदि भाजक हमें 12 को बिना शेष के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे नीले रंग में हाइलाइट करेंगे और कोष्ठक में उचित व्याख्या कीजिए।

12: 1 = 12
(12) बिना शेषफल के 1 से भाग देने पर, 1, 12 का भाजक होता है।

12: 2 = 6
(12 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, अतः 2, 12 का भाजक है)

12: 3 = 4
(12 को 3 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 12 का भाजक है)

12: 4 = 3
(12) बिना शेषफल के 4 से विभाजित, इसलिए 4, 12 का भाजक है।

12:5 = 2 (2 बाएँ)
(12 बिना शेष बचे 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 12 का भाजक नहीं है)

12: 6 = 2
(12) बिना शेषफल के 6 से भाग दिया जाता है, इसलिए 6, 12 का भाजक है।

12:7 = 1 (5 बाएँ)
(12, बिना शेष बचे 7 से विभाजित नहीं है, इसलिए 7, 12 का भाजक नहीं है)

12: 8 = 1 (4 बाएँ)
(12 बिना शेषफल के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 12 का भाजक नहीं है)

12:9 = 1 (3 बाएँ)
(12 को 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 9, 12 का भाजक नहीं है)

12: 10 = 1 (2 बाएँ)
(12 को 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 10, 12 का भाजक नहीं है)

12:11 = 1 (1 बाएँ)
(12 बिना शेष के 11 से विभाजित नहीं है, इसलिए 11, 12 का भाजक नहीं है)

12: 12 = 1
(12 को 12 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 12, 12 का भाजक है)

अब संख्या 9 के भाजक ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें।

9: 1 = 9
(9 को 1 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 1 9 का भाजक है)

9: 2 = 4 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 2 से विभाजित नहीं है, इसलिए 2 9 का भाजक नहीं है)

9: 3 = 3
(9 को 3 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 9 का भाजक है)

9: 4 = 2 (1 बाएँ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 4, 9 का भाजक नहीं है)

9:5 = 1 (4 बाएँ)
(9 बिना शेष के 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 9 का भाजक नहीं है)

9: 6 = 1 (3 बाएँ)
(9 शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए 6 9 का भाजक नहीं है)

9:7 = 1 (2 बाएँ)
(9 बिना शेष के 7 से विभाजित नहीं है, इसलिए 7, 9 का भाजक नहीं है)

9:8 = 1 (1 बाएँ)
(9 को बिना शेष के 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 8, 9 का भाजक नहीं है)

9: 9 = 1
(9 को 9 से बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, इसलिए 9, 9 का भाजक है)

अब दोनों संख्याओं के भाजक लिखिए। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ भाजक हैं। आइए उन्हें लिखते हैं:

भाजक लिखने के बाद, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।

परिभाषा के अनुसार, 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे 12 और 9 समान रूप से विभाज्य हैं। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 . है

संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना शेष के 3 से विभाज्य हैं:

तो जीसीडी (12 और 9) = 3

जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।

उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 . की GCD ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

अब हम उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करते हैं। भ्रमित न होने के लिए, सामान्य कारकों को रेखांकित किया जा सकता है।

हम संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका पहला गुणनखंड 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों दो को रेखांकित करते हैं:

हम फिर से संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका दूसरा गुणनखंड भी 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह दूसरी बार नहीं है। तब हम कुछ भी हाइलाइट नहीं करते हैं।

संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में गायब हैं।

हम संख्या 24 के अपघटन में अंतिम कारक की ओर जाते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और हम देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों तीनों पर जोर देते हैं:

तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। GCD प्राप्त करने के लिए, इन कारकों को गुणा करना होगा:

तो जीसीडी (24 और 18) = 6

जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के तीसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित कर दिया जाता है। फिर, पहली संख्या के अपघटन से, दूसरी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं किए गए कारकों को हटा दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और GCD प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, आइए 28 और 16 की संख्या के लिए जीसीडी इस तरह से खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

हमें दो विस्तार मिले: और

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में सात शामिल नहीं है। हम इसे पहले विस्तार से हटा देंगे:

अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और GCD प्राप्त करते हैं:

संख्या 4 संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ शेष के बिना 4 से विभाज्य हैं:

उदाहरण 2संख्या 100 और 40 . की GCD ज्ञात कीजिए

संख्या 100 . का गुणनखंड करना

संख्या 40 . का गुणनखंड करना

हमें दो विस्तार मिले:

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। हम इसे पहले अपघटन से हटाते हैं

शेष संख्याओं को गुणा करें:

हमें उत्तर 20 मिला। तो संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ शेष के बिना 20 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (100 और 40) = 20।

उदाहरण 3 72 और 128 . की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए

संख्या 72 . का गुणनखंड करना

संख्या 128 . का गुणनखंड करना

2×2×2×2×2×2×2

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक शामिल नहीं हैं (बिल्कुल भी नहीं हैं)। हम उन्हें पहले विस्तार से हटाते हैं:

हमें उत्तर 8 मिल गया। तो संख्या 8, संख्या 72 और 128 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना शेष के 8 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (72 और 128) = 8

एकाधिक संख्याओं के लिए GCD ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए 18, 24 और 36 . की संख्याओं के लिए GCD ज्ञात करें

संख्या 18 . का गुणनखंड करना

संख्या 24 . का गुणनखंड करना

संख्या 36 . का गुणनखंड

हमें तीन विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को तीनों संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि 18, 24 और 36 की संख्या के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला है। तो संख्या 6, 18, 24 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ शेष के बिना 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (18, 24 और 36) = 6

उदाहरण 2संख्या 12, 24, 36 और 42 . के लिए gcd ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक संख्या का गुणनखंड करें। तब हम इन संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं।

संख्या 12 का गुणन

संख्या 42 . का गुणनखंड

हमें चार विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को सभी चार संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि संख्या 12, 24, 36 और 42 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला। तो संख्या 6, 12, 24, 36 और 42 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये संख्याएँ बिना शेष के 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी(12, 24, 36 और 42) = 6

पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को शेषफल के बिना दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो वह इस संख्या का गुणज कहलाती है।

यह पता चला है कि एक बहु कई संख्याओं के लिए सामान्य हो सकता है। और अब हम दो संख्याओं के गुणज में रुचि लेंगे, जबकि यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।

परिभाषा। संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) एकतथा बी- एकतथा बी एकऔर संख्या बी.

परिभाषा में दो चर शामिल हैं एकतथा बी. आइए इन चरों के लिए किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक चर के बजाय एकसंख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब आइए परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) 9 तथा 12 - सबसे छोटी संख्या है जो का गुणज है 9 तथा 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के विभाज्य है 9 और नंबर पर 12 .

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो 9 और 12 के शेष के बिना विभाज्य है। इस एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है।

कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणकों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणकों में से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं और छोटी दोनों के लिए समान हो। आइए इस विधि को लागू करें।

सबसे पहले, आइए संख्या 9 के लिए पहला गुणज खोजें। 9 के गुणज खोजने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से बारी-बारी से गुणा करना होगा। आपको जो उत्तर मिलेंगे, वे संख्या 9 के गुणज होंगे। तो, चलो शुरू करो। गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा:

अब हम संख्या 12 के गुणज पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को सभी संख्याओं 1 से 12 को बारी-बारी से गुणा करते हैं।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM निकाल सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

समाधान।

इसलिये 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

उत्तर:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात्, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस तरह, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या बी के विस्तार से लापता कारकों को संख्या ए के अपघटन से कारकों में जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्पाद का मूल्य संख्याओं ए और बी के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर होगा.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 . यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करें, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि 2 और 3 दोनों पहले संख्या 84 के विस्तार में पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।