यदि कोण न्यून है, तो गुणांक क्या है। ढलान का पता कैसे लगाएं

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एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हर स्नातक इस सवाल का जवाब नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात। यौगिक, - विभिन्न। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?

हम वास्तव में जो देख रहे हैं वह यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजा जाए।

किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। उस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लें। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक उपयोगी मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस खंड में ग्राफ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।

पता लगाते हैं । हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न पैर के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के कार्य अक्सर गणित में परीक्षा में अंक के तहत मिलते हैं।

एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिलता है

आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।

एक बिंदु पर, समारोह बढ़ रहा है। बिंदु पर खींची गई ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक न्यून कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। चूँकि अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इसलिए बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर होता है, लेकिन इसका चिन्ह "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रुचिकर लगता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, अवकलज भी शून्य होता है और चिह्न को ऋण से धन में बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

	बढ़ती है	अधिकतम बिंदु	कम हो जाती है	न्यूनतम बिंदु	बढ़ती है
+	0	-	0	+

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। समस्या को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :

एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालाँकि, बिंदु से पहले फ़ंक्शन बढ़ता है - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है।

लेकिन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन एक ग्राफ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया है? इस मामले में, यह लागू होता है

रेखा y \u003d f (x) बिंदु x0 पर चित्र में दिखाए गए ग्राफ के स्पर्शरेखा होगी यदि यह निर्देशांक (x0; f (x0)) के साथ बिंदु से गुजरती है और एक ढलान f "(x0) है। खोजें ऐसा गुणांक, स्पर्शरेखा की विशेषताओं को जानना मुश्किल नहीं है।

आपको चाहिये होगा

• - गणितीय संदर्भ पुस्तक;
• - एक साधारण पेंसिल;
• - स्मरण पुस्तक;
• - चांदा;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - कलम।

अनुदेश

यदि मान f'(x0) मौजूद नहीं है, तो या तो कोई स्पर्शरेखा नहीं है, या यह लंबवत रूप से गुजरती है। इसे देखते हुए, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की उपस्थिति एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के अस्तित्व के कारण है जो बिंदु (x0, f(x0)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संपर्क में है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x0) के बराबर होगा। इस प्रकार, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट हो जाता है - स्पर्शरेखा के ढलान की गणना।

अतिरिक्त स्पर्शरेखाएँ खींचिए जो बिंदु x1, x2 और x3 पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के संपर्क में होंगी, और इन स्पर्शरेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों को भुज अक्ष के साथ भी चिह्नित करें (ऐसे कोण को अक्ष से स्पर्शरेखा तक सकारात्मक दिशा में गिना जाता है) रेखा)। उदाहरण के लिए, कोण, यानी α1, न्यून होगा, दूसरा (α2) अधिक है, और तीसरा (α3) शून्य है, क्योंकि स्पर्शरेखा रेखा OX अक्ष के समानांतर है। इस स्थिति में, अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, न्यून कोण की स्पर्श रेखा धनात्मक होती है और tg0 के लिए परिणाम शून्य होता है।

ध्यान दें

स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण को सही ढंग से निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करें।

उपयोगी सलाह

दो तिरछी रेखाएँ समानांतर होंगी यदि उनके ढलान एक दूसरे के बराबर हों; लंबवत यदि इन स्पर्शरेखाओं की ढलानों का गुणनफल -1 है।

स्रोत:

• कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

कोसाइन, जैसे साइन, को "प्रत्यक्ष" त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में जाना जाता है। स्पर्शरेखा (कोटांगेंट के साथ) को "डेरिवेटिव्स" नामक एक अन्य जोड़ी में जोड़ा जाता है। इन फलनों की कई परिभाषाएँ हैं, जो समान मान के ज्ञात मान द्वारा दी गई कोज्या की स्पर्शरेखा ज्ञात करना संभव बनाती हैं।

अनुदेश

दिए गए कोण के कोसाइन द्वारा एकता से भागफल को मूल्य से घटाएं, और परिणाम से वर्गमूल निकालें - यह कोण से स्पर्शरेखा का मान होगा, जो इसके कोसाइन द्वारा व्यक्त किया जाएगा: tg (α) \u003d (1-1 / (cos (α)) ) । उसी समय, इस तथ्य पर ध्यान दें कि सूत्र में कोसाइन भिन्न के हर में है। शून्य से विभाजित करने की असंभवता 90° के बराबर कोणों के लिए इस व्यंजक के उपयोग के साथ-साथ 180° (270°, 450°, -90°, आदि) के गुणकों द्वारा इस मान से भिन्न होने को भी शामिल नहीं करती है।

ज्ञात कोज्या मान से स्पर्शरेखा की गणना करने का एक वैकल्पिक तरीका है। इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब दूसरे के उपयोग पर कोई प्रतिबंध न हो। इस पद्धति को लागू करने के लिए, पहले कोसाइन के ज्ञात मान से कोण का मान निर्धारित करें - यह आर्ककोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है। फिर परिणामी मूल्य के कोण के लिए स्पर्शरेखा की गणना करें। सामान्य तौर पर, इस एल्गोरिथ्म को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))।

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के माध्यम से कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करते हुए एक और आकर्षक विकल्प है। इस परिभाषा में कोसाइन माना कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात से मेल खाती है। कोज्या का मान जानकर आप उसके अनुरूप इन दोनों भुजाओं की लंबाई चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि cos(α)=0.5, तो आसन्न को 10 सेमी, और कर्ण - 20 सेमी के बराबर लिया जा सकता है। यहां विशिष्ट संख्याएं कोई मायने नहीं रखती हैं - आपको वही मिलेगा और किसी भी मान के साथ सही होगा जो समान है। फिर, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, लापता पक्ष की लंबाई निर्धारित करें - विपरीत पैर। यह वर्ग कर्ण की लंबाई और ज्ञात पैर के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा: (20²-10²)=√300. परिभाषा के अनुसार, स्पर्शरेखा विपरीत और आसन्न पैरों (√300/10) की लंबाई के अनुपात से मेल खाती है - इसकी गणना करें और कोसाइन की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके स्पर्शरेखा मान प्राप्त करें।

स्रोत:

• स्पर्शरेखा सूत्र के माध्यम से कोसाइन

त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक, जिसे अक्सर टीजी अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, हालांकि नोटेशन टैन भी पाया जाता है। सबसे आसान तरीका है कि स्पर्शरेखा को ज्या के अनुपात के रूप में दर्शाया जाए कोणइसके कोसाइन को। यह एक विषम आवधिक है और निरंतर कार्य नहीं है, जिसका प्रत्येक चक्र संख्या पाई के बराबर है, और विराम बिंदु इस संख्या के आधे के निशान से मेल खाता है।

आकृति आयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष सीधी रेखा के स्थान के लिए विभिन्न विकल्पों के लिए सीधी रेखा के झुकाव के कोण और ढलान गुणांक के मूल्य को दर्शाती है।

ऑक्स अक्ष के झुकाव के ज्ञात कोण पर एक सीधी रेखा की ढलान को खोजने में कोई कठिनाई नहीं होती है। ऐसा करने के लिए, ढलान गुणांक की परिभाषा को याद करने और ढलान कोण के स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण।

यदि रेखा के झुकाव का कोण x-अक्ष के बराबर है, तो रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

शर्त से। फिर, सीधी रेखा के ढलान की परिभाषा के अनुसार, हम गणना करते हैं .

उत्तर:

एक ज्ञात ढलान के साथ x-अक्ष के लिए एक सीधी रेखा के झुकाव कोण को खोजने का कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। यहां ढलान गुणांक के संकेत को ध्यान में रखना आवश्यक है। जब सीधी रेखा का झुकाव कोण न्यून हो और पाया जाता है . जब एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण अधिक होता है और इसे सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है .

उदाहरण।

x-अक्ष पर एक सीधी रेखा के झुकाव कोण का निर्धारण करें यदि इसकी ढलान 3 है।

समाधान।

चूंकि, शर्त के अनुसार, ढलान सकारात्मक है, ऑक्स अक्ष के लिए सीधी रेखा के झुकाव का कोण तेज है। हम इसकी गणना सूत्र के अनुसार करते हैं।

उत्तर:

उदाहरण।

सीधी रेखा का ढाल है। ऑक्स के लिए सीधी रेखा के झुकाव के कोण का निर्धारण करें।

समाधान।

निरूपित k सीधी रेखा का ढलान है, इस सीधी रेखा के ऑक्‍स-अक्ष की धनात्मक दिशा के झुकाव का कोण है। चूंकि , तो हम निम्नलिखित रूप की एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: . हम स्थिति से डेटा को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं: .

उत्तर:

एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

ढलान के साथ रेखा समीकरणका रूप है, जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है, b कुछ वास्तविक संख्या है। ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण किसी भी सीधी रेखा को निर्दिष्ट कर सकता है जो ओए अक्ष के समानांतर नहीं है (वाई-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के लिए, ढलान परिभाषित नहीं है)।

आइए वाक्यांश के अर्थ को देखें: "एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक रेखा फॉर्म के ढलान के साथ एक समीकरण द्वारा दी जाती है"। इसका अर्थ यह है कि समीकरण को रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट किया जाता है, न कि विमान के किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से। इस प्रकार यदि किसी बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त होती है, तो रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है। अन्यथा, बिंदु एक रेखा पर नहीं होता है।

उदाहरण।

सीधी रेखा ढलान वाले समीकरण द्वारा दी गई है। क्या बिंदु भी इसी रेखा के हैं?

समाधान।

एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के मूल समीकरण में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें: . हमने सही समानता प्राप्त की है, इसलिए, बिंदु M 1 एक सीधी रेखा पर स्थित है।

बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय, हमें गलत समानता मिलती है: . इस प्रकार, बिंदु M 2 एक सीधी रेखा पर नहीं है।

उत्तर:

दूरसंचार विभाग M 1 रेखा से संबंधित है, M 2 नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा, बिंदु से गुजरती है, क्योंकि समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय, हमें सही समानता मिलती है: ।

इस प्रकार, एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण एक विमान पर एक सीधी रेखा निर्धारित करता है जो एक बिंदु से गुजरती है और एब्सिस्सा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, और।

एक उदाहरण के रूप में, आइए फॉर्म के ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा खींचते हैं। यह रेखा बिंदु से होकर गुजरती है और इसका ढलान है रेडियन (60 डिग्री) ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में। इसका ढाल है।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

अब हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या को हल करेंगे: हम दिए गए ढलान k और बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करेंगे।

चूंकि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है, तो समानता . संख्या b हमारे लिए अज्ञात है। इससे छुटकारा पाने के लिए, हम एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों से घटाते हैं, क्रमशः, अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ भाग। ऐसा करने पर, हम प्राप्त करते हैं . यह समानता है किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए, इस सरल रेखा का ढाल -2 है।

समाधान।

हमारे पास की स्थिति से . तब ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण रूप लेगा।

उत्तर:

उदाहरण।

एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए यदि यह ज्ञात हो कि यह एक बिंदु से होकर गुजरती है और ऑक्स-अक्ष की धनात्मक दिशा का झुकाव कोण है।

समाधान।

सबसे पहले, हम उस सीधी रेखा के ढलान की गणना करते हैं जिसका समीकरण हम ढूंढ रहे हैं (हमने इस लेख के पिछले पैराग्राफ में ऐसी समस्या हल की है)। परिभाषा से . अब हमारे पास ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखने के लिए सभी डेटा हैं:

उत्तर:

उदाहरण।

एक ढलान वाली रेखा का समीकरण लिखिए जो रेखा के समानांतर एक बिंदु से होकर गुजरती है।

समाधान।

यह स्पष्ट है कि ऑक्स के समानांतर रेखाओं के झुकाव के कोण मेल खाते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख समानांतर रेखाएं देखें), इसलिए, समानांतर रेखाओं के ढलान गुणांक समान हैं। फिर सीधी रेखा का ढलान, जिसका समीकरण हमें प्राप्त करने की आवश्यकता है, 2 के बराबर है, क्योंकि सीधी रेखा का ढलान 2 है। अब हम एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण की रचना कर सकते हैं:

उत्तर:

एक ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरण में संक्रमण और इसके विपरीत।

सभी परिचितों के साथ, ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण समस्याओं को हल करते समय उपयोग करने के लिए हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। कुछ मामलों में, जब एक सीधी रेखा के समीकरण को एक अलग रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण आपको सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक या सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को तुरंत लिखने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, किसी को एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरण की ओर बढ़ना सीखना चाहिए।

एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण से, फॉर्म के एक तल पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को प्राप्त करना आसान है . ऐसा करने के लिए, हम शब्द b को समीकरण के दाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, फिर परिणामी समानता के दोनों भागों को ढलान k: से विभाजित करते हैं। ये क्रियाएं हमें एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण से एक सीधी रेखा के विहित समीकरण की ओर ले जाती हैं।

उदाहरण।

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण दें विहित रूप में।

समाधान।

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: .

उत्तर:

उदाहरण।

सीधी रेखा ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा दी गई है। क्या सदिश इस रेखा का एक सामान्य सदिश है?

समाधान।

इस समस्या को हल करने के लिए, आइए ढलान वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की ओर बढ़ते हैं: . हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में चर x और y के सामने के गुणांक इस सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के संगत निर्देशांक होते हैं, यानी सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर . जाहिर है, सदिश सदिश के समरेखीय है, क्योंकि संबंध सत्य है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। इस प्रकार, मूल सदिश भी रेखा का एक सामान्य सदिश है , और, इसलिए, एक सामान्य वेक्टर और मूल रेखा है।

उत्तर:

हां यह है।

और अब हम व्युत्क्रम समस्या को हल करेंगे - एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण को एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में लाने की समस्या।

सामान्य सीधी रेखा समीकरण से , जहां , ढलान समीकरण को पारित करना बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको y के संबंध में रेखा के सामान्य समीकरण को हल करना होगा। साथ ही, हमें मिलता है। परिणामी समानता के बराबर ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।