नोड्स और नोड्स खोजने के दिलचस्प तरीके। संख्याओं का नोड और नॉक - सबसे बड़ा सामान्य भाजक और कई संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक

कई भाजक

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: 140 का भाजक ज्ञात कीजिए। जाहिर है, 140 में एक से अधिक भाजक हैं। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि समस्या है बहुत सारेसमाधान। आइए उन सभी को खोजें। सबसे पहले, आइए इस संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करें:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

अब हम सभी भाजक को आसानी से लिख सकते हैं। आइए अभाज्य भाजक से शुरू करें, जो कि ऊपर के अपघटन में मौजूद हैं:

फिर हम उन्हें लिखते हैं जो अभाज्य भाजक के जोड़ीदार गुणन द्वारा प्राप्त होते हैं:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

तब - वे जिनमें तीन अभाज्य गुणनखंड होते हैं:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

अंत में, इकाई और स्वयं विघटित होने वाली संख्या को न भूलें:

सभी डिवाइडर हमें फॉर्म . मिले बहुत सारे 140 के भाजक, जो घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग करके लिखा गया है:

140 = . का भाजक समुच्चय

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

बोध में आसानी के लिए, हमने यहाँ भाजक लिखा है ( सेट के तत्व) आरोही क्रम में, लेकिन आम तौर पर बोलना, यह वैकल्पिक है। इसके अलावा, हम संकेतन का एक संक्षिप्त परिचय देते हैं। "140 की संख्या के भाजक का समुच्चय" के स्थान पर हम "D (140)" लिखेंगे। इस प्रकार,

इसी प्रकार, आप किसी अन्य प्राकृत संख्या के लिए भाजक का समुच्चय ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अपघटन से

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

हम पाते हैं:

डी (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)।

सभी भाजक के सेट को अभाज्य भाजक के सेट से अलग किया जाना चाहिए, जो क्रमशः 140 और 105 की संख्या के बराबर हैं:

पीडी (140) = (2, 5, 7)।

पीडी (105) = (3, 5, 7)।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि प्रमुख कारकों में 140 के अपघटन में, दो दो बार मौजूद होते हैं, जबकि डीपी (140) के सेट में केवल एक होता है। पीडी (140) का सेट, संक्षेप में, समस्या के सभी उत्तर हैं: "140 का एक प्रमुख कारक खोजें"। यह स्पष्ट है कि एक ही उत्तर को एक से अधिक बार नहीं दोहराया जाना चाहिए।

अंशों को कम करना। महत्तम सामान्य भाजक

भिन्न पर विचार करें

हम जानते हैं कि इस भिन्न को एक ऐसी संख्या द्वारा रद्द किया जा सकता है जो अंश (105) का भाजक और हर (140) का भाजक दोनों हो। आइए सेट डी (105) और डी (140) पर एक नज़र डालें और उनके सामान्य तत्वों को लिखें।

डी (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

डी (140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)।

समुच्चय D (105) और D (140) के उभयनिष्ठ अवयव =

अंतिम समानता को छोटा लिखा जा सकता है, अर्थात्:

डी (105) डी (140) = (1, 5, 7, 35)।

यहां, एक विशेष चिन्ह "∩" ("छेद वाला बैग") केवल यह इंगित करता है कि इसके विपरीत पक्षों पर लिखे गए दो सेटों में से केवल सामान्य तत्वों का चयन किया जाना चाहिए। रिकॉर्ड "डी (105) ∩ डी (140)" पढ़ता है " चौराहा Te को 105 से और Te को 140 से सेट करता है।

[ध्यान दें कि आप सेट के साथ विभिन्न बाइनरी ऑपरेशन कर सकते हैं, लगभग संख्याओं की तरह। एक अन्य सामान्य बाइनरी ऑपरेशन है संघ, जिसे "∪" ("छेद वाला बैग") आइकन द्वारा दर्शाया जाता है। दो समुच्चयों के मिलन में एक और दूसरे समुच्चय दोनों के सभी अवयव शामिल होते हैं:

पीडी (105) = (3, 5, 7);

पीडी (140) = (2, 5, 7);

पीडी (105) पीडी (140) = (2, 3, 5, 7)। ]

तो, हमने पाया कि भिन्न

सेट से संबंधित किसी भी संख्या द्वारा रद्द किया जा सकता है

डी (105) डी (140) = (1, 5, 7, 35)

और किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से कम नहीं किया जा सकता है। यहां सभी संभावित संक्षिप्ताक्षर दिए गए हैं (एक के बिना रुचिकर संक्षिप्त नाम को छोड़कर):

जाहिर है, भिन्न को यथासंभव बड़ी संख्या से कम करना सबसे व्यावहारिक है। इस मामले में, यह संख्या 35 है, जिसे कहा जाता है सबसे बड़ा साझा कारक (जीसीडी) संख्या 105 और 140। इसे इस प्रकार लिखा जाता है

जीसीडी (105, 140) = 35.

हालाँकि, व्यवहार में, यदि हमें दो संख्याएँ दी जाती हैं और उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता होती है, तो हमें कोई समुच्चय बनाने की आवश्यकता नहीं है। यह केवल दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है और इनमें से उन कारकों पर जोर देना है जो दोनों विस्तारों के लिए सामान्य हैं, उदाहरण के लिए:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

रेखांकित संख्याओं (किसी भी विस्तार में) को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जीसीडी (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

बेशक, मामला तब संभव है जब रेखांकित कारक दो से अधिक हों:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

इससे यह स्पष्ट होता है कि

जीसीडी (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

स्थिति विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है जब कोई सामान्य कारक नहीं हैं और जोर देने के लिए कुछ भी नहीं है, उदाहरण के लिए:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

इस मामले में,

जीसीडी (42, 55) = 1.

दो प्राकृत संख्याएँ जिनके लिए GCD एक के बराबर होती है, कहलाती हैं परस्पर सरल... उदाहरण के लिए, यदि आप ऐसी संख्याओं से भिन्न की रचना करते हैं,

तो ऐसा भिन्न है अलघुकरणीय.

सामान्यतया, भिन्नों को कम करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

		ए/ जीसीडी ( ए, बी)
		बी/ जीसीडी ( ए, बी)

यहाँ यह माना जाता है कि एतथा बी- प्राकृत संख्याएँ, और पूर्ण भिन्न धनात्मक है। यदि हम अब इस समानता के दोनों पक्षों को ऋण चिह्न प्रदान करते हैं, तो हमें ऋणात्मक भिन्नों के लिए संगत नियम प्राप्त होता है।

भिन्नों का जोड़ और घटाव। न्यूनतम समापवर्तक

मान लीजिए कि दो भिन्नों के योग की गणना करना आवश्यक है:

हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे भाजक अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होते हैं:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

इस विस्तार से यह तुरंत इस प्रकार है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के लिए, यह पहले अंश के अंश और हर को 2 2 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है (दूसरे हर के अस्थिर अभाज्य गुणनखंडों का उत्पाद), और दूसरे अंश का अंश और हर - 3 से ("उत्पाद" पहले हर के अप्रतिम अभाज्य गुणनखंड)। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर उस संख्या के बराबर हो जाते हैं जिसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

यह देखना आसान है कि दोनों प्रारंभिक भाजक (105 और 140 दोनों) 420 के भाजक हैं, और 420, बदले में, दोनों हरों का गुणज है - और केवल एक बहु नहीं, यह है न्यूनतम समापवर्तक (अनापत्ति प्रमाण पत्र) संख्या 105 और 140। यह इस प्रकार लिखा गया है:

एलसीएम (105, 140) = 420।

संख्या 105 और 140 के अपघटन पर करीब से नज़र डालने पर, हम देखते हैं कि

105 140 = एलसीएम (105, 140) जीसीडी (105, 140)।

इसी तरह, मनमानी प्राकृतिक संख्याओं के लिए बीतथा डी:

बी ∙ डी= एलसीएम ( बी, डी) जीसीडी ( बी, डी).

अब हम अपने भिन्नों को जोड़ना समाप्त करते हैं:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

ध्यान दें।कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि किसी संख्या का वर्ग क्या होता है। चुकता संख्या एनंबर कहा जाता है एअपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात् ए∙ए... (जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, यह एक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है ए).

सबसे बड़ा सामान्य भाजक और कम से कम सामान्य गुणक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएं हैं जो अंशों में हेरफेर करना आसान बनाती हैं। एलसीएम और बहुधा भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का भाजक एक अन्य पूर्णांक Y है जो X को बिना किसी शेषफल के विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। X का एक पूर्णांक गुणज वह संख्या है जो बिना शेष के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3 15 का गुणज है, और 6 12 है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके उभयनिष्ठ भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई भाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए GCD का सबसे बड़ा भाजक और LCM का सबसे छोटा गुणक गणना में उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटे भाजक का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा गुणक भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत की ओर जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• भाजक की क्रमिक गणना, एक जोड़े के लिए सामान्य का चुनाव और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिथम।

आज, शैक्षिक संस्थानों में, सबसे लोकप्रिय हैं प्राइम फैक्टराइजेशन के तरीके और यूक्लिडियन एल्गोरिथम। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है: पूर्णांक में संकल्प की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने के लिए जीसीडी की खोज की आवश्यकता होती है।

एनओसी . का पता लगाना

कम से कम सामान्य गुणक भी अनुक्रमिक गणना या अविभाज्य कारकों में गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो एलसीएम को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीडी (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि GCD (15.18) = 3, तो LCM (15.18) = 15 × 18/3 = 90। LCM का उपयोग करने का सबसे स्पष्ट उदाहरण एक सामान्य हर का पता लगाना है, जो दिए गए अंशों के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक है।

परस्पर अभाज्य संख्याएं

यदि संख्याओं के एक युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे जोड़े को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए GCD हमेशा एक के बराबर होता है, और भाजक और गुणकों के बीच संबंध के आधार पर, coprime के लिए LCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 25 और 28 अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, क्योंकि उनके पास कोई सामान्य भाजक नहीं है, और एलसीएम (25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाती है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव परस्पर अभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और बहु ​​कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर के साथ, आप चुनने के लिए संख्याओं की मनमानी संख्या के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना के लिए कार्य ग्रेड 5, 6 में अंकगणित में पाए जाते हैं, हालांकि, जीसीडी और एलसीएम गणित में प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, योजनामिति और संचार बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य भाजक

कम से कम सामान्य गुणक का उपयोग कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो कि LCM को खोजने की समस्या तक कम हो जाता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 नंबर चुनें और संबंधित सेल में हर के मान दर्ज करें। कार्यक्रम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम के हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, अतिरिक्त कारक इस तरह दिखेंगे:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी भिन्नों को संगत अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और परिणाम 159/360 के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और हम अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के व्यंजक हैं। यदि अनुपात d / gcd (a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए पूर्णांक समाधानों के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, GCD (150.8) = 2 खोजें। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण का कोई पूर्णांक मूल नहीं है।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। GCD (1320, 1760) = 440 को खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक में हल करने योग्य है गुणांक।

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएं स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और कम से कम गुणकों की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि कोई प्राकृत संख्या a, प्राकृत संख्या $ b $ से विभाज्य है, तो $ b $ को $ a $ का भाजक कहा जाता है, और $ a $ को $ b $ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $ c $ को $ a $ और $ b $ दोनों के लिए सामान्य भाजक कहा जाता है।

$ a $ और $ b $ के लिए सामान्य भाजक का सेट परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $ a $ से अधिक नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक के बीच एक सबसे बड़ा है, जिसे संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है $a $ तथा $b $, और इसे दर्शाने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है:

$ जीसीडी \ (ए; बी) \ या \ डी \ (ए; बी) $

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

उदाहरण 1

$ 121 $ और $ 132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए। $

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के अपघटन में शामिल हैं

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

उदाहरण 2

$63 और $81 एकपदी का GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

हम उन संख्याओं को चुनते हैं जो इन संख्याओं के अपघटन में शामिल होती हैं

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का GCD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

संख्या $ 48 $: $ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ दाएँ \) $ के भाजक का सेट खोजें

अब हम संख्या $ 60 $: $ \ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ के भाजक का सेट पाते हैं ) $

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ दाएँ \) $ - यह सेट $ 48 $ की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा और $ 60 $। इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ का नंबर होगा। तो $48 और $60 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12 होगा।

एलसीएम की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सामान्य गुणज$ a $ और $ b $ एक प्राकृत संख्या है जो $ a $ और $ b $ दोनों का गुणज है।

सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $ 25 $ और $ 50 की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $ 50,100,150,200, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और एलसीएम $ (ए; बी) $ या के $ (ए; बी) द्वारा दर्शाया जाएगा। $

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. कारक संख्या
2. उन गुणनखंडों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या में नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

कारक संख्या

$ 99 = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उनमें वे कारक जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले में नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

संख्या विभाजकों की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। यूक्लिड के एल्गोरिथ्म नामक जीसीडी को खोजने का एक तरीका है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और $ a \ vdots b $, तो $ D (a; b) = b $

यदि $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि $ b

$ डी (ए; बी) = डी (ए-बी; बी) $ का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से मानी गई संख्याओं को तब तक घटा सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की ऐसी जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $ a $ और $ b $ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $ a $ और $ b $ का कोई भी सामान्य गुणक K $ (a; b) $ . से विभाज्य है
2. यदि $ a \ vdots b $, तो K $ (a; b) = a $

यदि K $ (a; b) = k $ और $ m $ एक प्राकृत संख्या है, तो K $ (am; bm) = किमी $

यदि $ d $ $ a $ और $ b $ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d) ) $

यदि $ a \ vdots c $ और $ b \ vdots c $, तो $ \ frac (ab) (c) $ $ a $ और $ b $ का एक सामान्य गुणक है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $ a $ और $ b $ के लिए, समानता

$ डी (ए; बी) \ cdot К (ए; बी) = अब $

संख्याओं $ a $ और $ b $ का कोई भी सामान्य भाजक संख्या $ D (a; b) $ का भाजक है

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12 को 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाजित किया जाता है;

36 संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है भाजक... प्राकृतिक संख्या भाजक एएक प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एशेष के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, कहलाती है कम्पोजिट... ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दी गई दो संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एतथा बी- यह वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एतथा बी. एकाधिक संख्याओं का सामान्य भाजक (जीसीडी)एक संख्या है जो उनमें से प्रत्येक के लिए भाजक के रूप में कार्य करती है।

संख्याओं का संक्षेप में सबसे बड़ा सामान्य भाजक एतथा बीइस तरह लिखें:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12.

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

उदाहरण:

जीसीडी (7; 9) = 1

संख्याएँ 7 और 9 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर सरलची स्लैमी.

परस्पर अभाज्य संख्याएंवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. उनकी GCD 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), गुण।

• मूल संपत्ति: सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमतथा एनइन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है। उदाहरण: संख्या 12 और 18 के लिए, सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 6 है; यह इन संख्याओं के सभी सामान्य भाजक से विभाज्य है: 1, 2, 3, 6।
• उपफल 1: सामान्य भाजक का समुच्चय एमतथा एनजीसीडी के भाजक के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).
• उपफल 2: सामान्य गुणकों का समुच्चय एमतथा एनएकाधिक एलसीएम के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

इसका मतलब है, विशेष रूप से, कि एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने के लिए, इसके अंश और हर को उनके जीसीडी द्वारा विभाजित करना आवश्यक है।

• संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमतथा एनउनके सभी रैखिक संयोजनों के सेट के सबसे छोटे सकारात्मक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

और इसलिए हम संख्याओं के एक रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं एमतथा एन:

इस अनुपात को कहा जाता है बेज़आउट अनुपात, और गुणांक तुमतथा वी — बेज़आउट गुणांक... Bezout गुणांकों की गणना विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम द्वारा कुशलता से की जाती है। यह कथन प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए सामान्यीकृत है - इसका अर्थ यह है कि सेट द्वारा उत्पन्न समूह का उपसमूह चक्रीय है और एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है: GCD ( ए 1 , ए 2 , … , एक).

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी) की गणना।

दो संख्याओं की gcd की गणना करने के प्रभावी तरीके हैं यूक्लिड का एल्गोरिथमतथा बायनरीकलन विधि... इसके अलावा, gcd का मान ( एम,एन) की गणना आसानी से की जा सकती है यदि संख्याओं का विहित विस्तार ज्ञात हो एमतथा एनप्रमुख कारकों द्वारा:

जहां विभिन्न अभाज्य संख्याएं हैं, और और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि विस्तार में संगत अभाज्य नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)। फिर जीसीडी ( एम,एन) और एलसीएम ( एम,एन) सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यदि दो से अधिक संख्याएँ हैं:, उनका GCD निम्न एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है:

- यह वांछित जीसीडी है।

इसके अलावा, खोजने के लिए सबसे बड़ा साझा कारक, आप दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं। फिर केवल उन्हीं गुणनखंडों को अलग-अलग लिखिए जो दी गई सभी संख्याओं में शामिल हैं। फिर हम लिखित संख्याओं को एक साथ गुणा करते हैं - गुणा का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है .

आइए हम सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना का चरण दर चरण विश्लेषण करें:

1. संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले भाजक लिखें, दाईं ओर - भाजक। इसके बाद, बाएं कॉलम में, भागफल के मान लिखें। आइए इसे सीधे एक उदाहरण से समझाते हैं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

2. हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करते हैं:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और उत्तर लिखिए:

जीसीडी (28; 64) = 2. 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

GCD ढूँढना दो तरह से किया जा सकता है: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया है) या एक लाइन में।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका:

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका:

अब GCD की खोज का समाधान एक पंक्ति में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

डी (10) = (1, 2, 5, 10)

डी (15) = (1, 3, 5, 15)

डी (10, 15) = (1, 5)

यह लेख इस तरह के प्रश्न के लिए समर्पित है जैसे कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना। सबसे पहले, हम समझाएंगे कि यह क्या है, और कई उदाहरण देते हैं, 2, 3 या अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषाएं पेश करते हैं, जिसके बाद हम इस अवधारणा के सामान्य गुणों पर ध्यान देंगे और उन्हें साबित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

सामान्य भाजक क्या होते हैं

यह समझने के लिए कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है, हम पहले बताते हैं कि पूर्णांकों के लिए सामान्य भाजक क्या है।

गुणज और भाजक पर लेख में, हमने कहा था कि एक पूर्णांक में हमेशा कई भाजक होते हैं। यहां हम एक साथ एक निश्चित संख्या के पूर्णांकों के भाजक में रुचि रखते हैं, विशेष रूप से सभी के लिए सामान्य (समान) वाले। आइए मुख्य परिभाषा लिखें।

परिभाषा 1

कई पूर्णांकों का सामान्य भाजक एक संख्या है जो निर्दिष्ट सेट से प्रत्येक संख्या का विभाजक हो सकता है।

उदाहरण 1

ऐसे भाजक के उदाहरण यहां दिए गए हैं: तीन संख्या - 12 और 9 के लिए एक सामान्य भाजक होंगे, क्योंकि समानताएं 9 = 3 · 3 और - 12 = 3 · (- 4) सत्य हैं। संख्या 3 और - 12 के अन्य सामान्य गुणनखंड हैं, जैसे 1, - 1, और - 3। आइए एक और उदाहरण लेते हैं। चार पूर्णांक 3, - 11, - 8, और 19 के दो उभयनिष्ठ गुणनखंड होंगे: 1 और -1।

विभाज्यता के गुणों को जानने के बाद, हम यह दावा कर सकते हैं कि किसी भी पूर्णांक संख्या को एक और शून्य से विभाजित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों के किसी भी सेट में पहले से ही कम से कम दो सामान्य भाजक होंगे।

यह भी ध्यान दें कि यदि हमारे पास कई संख्याओं के लिए एक सामान्य भाजक है, तो समान संख्याओं को विपरीत संख्या से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात - बी। सिद्धांत रूप में, हम केवल सकारात्मक कारक ले सकते हैं, फिर सभी सामान्य कारक भी 0 से अधिक होंगे। आप इस दृष्टिकोण का भी उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आपको नकारात्मक संख्याओं को पूरी तरह से अनदेखा नहीं करना चाहिए।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) क्या है

विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि b एक पूर्णांक a का भाजक है जो 0 के बराबर नहीं है, तो संख्या b का मापांक a के मापांक से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए, कोई भी संख्या जो 0 के बराबर नहीं है भाजक की एक सीमित संख्या। इसका मतलब यह है कि कई पूर्णांकों के सामान्य भाजक की संख्या, जिनमें से कम से कम एक शून्य से अलग है, भी परिमित होगा, और उनके पूरे सेट से हम हमेशा सबसे बड़ी संख्या का चयन कर सकते हैं (हम पहले से ही सबसे बड़ी की अवधारणा के बारे में बात कर चुके हैं और सबसे छोटा पूर्णांक, हम आपको इस सामग्री को दोहराने की सलाह देते हैं)।

निम्नलिखित में, हम यह मानेंगे कि संख्याओं के समुच्चय में से कम से कम एक जिसके लिए हमें सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक खोजने की आवश्यकता है, वह 0 से भिन्न होगा। यदि वे सभी 0 के बराबर हैं, तो कोई भी पूर्णांक उनका भाजक हो सकता है, और चूँकि अनंत रूप से बहुत से हैं, हम सबसे बड़ा नहीं चुन सकते हैं। दूसरे शब्दों में, 0 के बराबर संख्याओं के सेट के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना असंभव है।

हम मुख्य परिभाषा के निर्माण के लिए आगे बढ़ते हैं।

परिभाषा 2

कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं को विभाजित करता है।

लिखित रूप में, सबसे बड़े सामान्य भाजक को अक्सर संक्षिप्त नाम GCD द्वारा निरूपित किया जाता है। दो संख्याओं के लिए, इसे GCD (a, b) के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2

दो पूर्णांकों के लिए GCD का उदाहरण क्या है? उदाहरण के लिए, 6 और - 15 के लिए यह 3 होगा। आइए इसे सही ठहराते हैं। सबसे पहले, हम छह के सभी भाजक लिखते हैं: ± 6, ± 3, ± 1 और फिर पंद्रह के सभी भाजक: ± 15, ± 5, ± 3 और ± 1। उसके बाद हम सामान्य चुनते हैं: ये हैं - 3, - 1, 1 और 3। उनमें से सबसे बड़ी संख्या का चयन किया जाना चाहिए। यह 3 होगा।

तीन या अधिक संख्याओं के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषा बहुत समान होगी।

परिभाषा 3

तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक सबसे बड़ा पूर्णांक होगा जो इन सभी संख्याओं को एक ही समय में विभाजित करेगा।

संख्या a 1, a 2,…, a n के लिए भाजक को GCD (a 1, a 2,…, a n) के रूप में निरूपित करना सुविधाजनक है। भाजक मान को ही GCD (a 1, a 2,…, a n) = b के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण 3

यहां कई पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक के उदाहरण दिए गए हैं: 12, - 8, 52, 16। यह चार के बराबर होगा, जिसका अर्थ है कि हम लिख सकते हैं कि जीसीडी (12, - 8, 52, 16) = 4।

आप इन संख्याओं के सभी भाजक को रिकॉर्ड करके और फिर उनमें से सबसे बड़ा चुनकर इस कथन की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

व्यवहार में, अक्सर ऐसे मामले होते हैं जहां सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं में से एक के बराबर होता है। ऐसा तब होता है जब अन्य सभी संख्याओं को दी गई संख्या से विभाजित किया जा सकता है (लेख के पहले पैराग्राफ में, हमने इस कथन का प्रमाण दिया है)।

उदाहरण 4

तो, संख्या 60, 15 और - 45 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि पंद्रह न केवल 60 और - 45 से विभाज्य है, बल्कि स्वयं से भी, और इन सभी संख्याओं के लिए कोई बड़ा भाजक नहीं है।

एक विशेष मामला सहअभाज्य संख्याओं से बना होता है। वे पूर्णांक हैं जिनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

जीसीडी और यूक्लिड के एल्गोरिथम के मूल गुण

सबसे बड़े सामान्य भाजक में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं। आइए हम उन्हें प्रमेयों के रूप में सूत्रबद्ध करें और उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करें।

ध्यान दें कि ये गुण शून्य से बड़े पूर्णांकों के लिए तैयार किए गए हैं, और हम केवल सकारात्मक भाजक पर विचार करेंगे।

परिभाषा 4

संख्या ए और बी में बी और ए के लिए जीसीडी के बराबर सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, यानी जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, ए)। स्वैपिंग नंबर अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करते हैं।

यह गुण GCD की परिभाषा से ही चलता है और इसके लिए प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है।

परिभाषा 5

यदि संख्या a को संख्या b से विभाजित किया जा सकता है, तो इन दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय संख्या b के भाजक के समुच्चय के समान होगा, अर्थात GCD (a, b) = b.

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

सबूत 1

यदि संख्या a और b के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, तो उनमें से किसी को भी उनके द्वारा विभाजित किया जा सकता है। उसी समय, यदि a, b का गुणज है, तो कोई भी भाजक b भी a का भाजक होगा, क्योंकि विभाज्यता में ट्रांजिटिविटी जैसी संपत्ति होती है। इसलिए, कोई भी भाजक b संख्याओं a और b के लिए उभयनिष्ठ होगा। इससे यह सिद्ध होता है कि यदि हम a को b से विभाजित कर सकते हैं, तो दोनों संख्याओं के सभी भाजक का समुच्चय एक संख्या b के भाजक के समुच्चय से मेल खाता है। और चूँकि किसी भी संख्या का सबसे बड़ा भाजक यह संख्या ही होती है, तो संख्या a और b का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक भी b के बराबर होगा, अर्थात। जीसीडी (ए, बी) = बी। यदि a = b, तो gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, उदाहरण के लिए, gcd (132, 132) = 132।

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पा सकते हैं यदि उनमें से एक को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है। ऐसा भाजक इन दो संख्याओं में से एक के बराबर होता है, जिससे दूसरी संख्या को विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, GCD (8, 24) = 8, क्योंकि 24 आठ का गुणज है।

परिभाषा 6 सबूत 2

आइए इस संपत्ति को साबित करने का प्रयास करें। हमारे पास शुरू में समानता a = b q + c है, और a और b का कोई भी सामान्य भाजक c को भी विभाजित करेगा, जिसे संबंधित विभाज्यता गुण द्वारा समझाया गया है। इसलिए, b और c का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक a को विभाजित करेगा। इसका मतलब यह है कि आम भाजक ए और बी का सेट भाजक बी और सी के सेट के साथ मेल खाता है, जिसमें उनमें से सबसे बड़ा शामिल है, जिसका अर्थ है कि समानता जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, सी) सत्य है।

परिभाषा 7

अगली संपत्ति को यूक्लिड का एल्गोरिथ्म कहा जाता है। इसका उपयोग दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के साथ-साथ GCD के अन्य गुणों को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

संपत्ति बनाने से पहले, हम आपको उस प्रमेय को दोहराने की सलाह देते हैं जिसे हमने विभाजन के लेख में शेष के साथ साबित किया था। इसके अनुसार, विभाज्य संख्या a को bq + r के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ b एक भाजक है, q कुछ पूर्णांक है (इसे अपूर्ण भागफल भी कहा जाता है), और r एक शेष है जो 0 r b की स्थिति को संतुष्ट करता है। .

मान लें कि हमारे पास 0 से बड़े दो पूर्णांक हैं, जिसके लिए निम्नलिखित समानताएं होंगी:

ए = बी क्यू 1 + आर 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ये समानताएँ तब समाप्त होती हैं जब r k + 1 0 हो जाता है। यह बिना किसी असफलता के होगा, क्योंकि अनुक्रम b> r 1> r 2> r 3, ... घटते पूर्णांकों की एक श्रृंखला है, जिसमें उनमें से केवल एक सीमित संख्या शामिल हो सकती है। अत: r k, a और b का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक है, अर्थात r k = gcd (a, b)।

सबसे पहले, हमें यह साबित करना होगा कि r k संख्याओं a और b का एक सामान्य भाजक है, और उसके बाद - कि r k केवल एक भाजक नहीं है, बल्कि दो दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

आइए ऊपर से ऊपर तक, ऊपर की समानताओं की सूची को देखें। अंतिम समानता के अनुसार,
r k - 1 को r k से विभाजित किया जा सकता है। इस तथ्य के आधार पर, साथ ही साथ सबसे बड़े सामान्य भाजक की पिछली सिद्ध संपत्ति के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि r k - 2 को r k से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि
r k - 1 r k से विभाज्य है और r k, r k से विभाज्य है।

नीचे से तीसरी समानता हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि r k - 3 को r k से विभाजित किया जा सकता है, और इसी तरह। नीचे से दूसरा यह है कि b, r k से विभाज्य है, और पहला यह है कि a, r k से विभाज्य है। इन सब से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k, a और b का उभयनिष्ठ भाजक है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि r k = gcd (a, b) है। मुझे क्या करना चाहिये? दर्शाइए कि a और b का कोई उभयनिष्ठ भाजक r k को विभाजित करेगा। हम इसे r 0 से निरूपित करते हैं।

आइए समानता की समान सूची को देखें, लेकिन ऊपर से नीचे तक। पिछली संपत्ति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि r 1 r 0 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दूसरी समानता के अनुसार, r 2, r 0 से विभाज्य है। हम सभी समानताएं नीचे जाते हैं और बाद वाले से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k, r 0 से विभाज्य है। इसलिए, आर के = जीसीडी (ए, बी)।

इस गुण पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उभयनिष्ठ भाजक a और b का समुच्चय इन संख्याओं के GCD के भाजक के समुच्चय के समान है। यह कथन, जो यूक्लिडियन एल्गोरिथम का परिणाम है, हमें दो दी गई संख्याओं के सभी सामान्य भाजक की गणना करने की अनुमति देगा।

आइए अन्य गुणों पर चलते हैं।

परिभाषा 8

यदि a और b पूर्णांक हैं जो 0 के बराबर नहीं हैं, तो दो अन्य पूर्णांक u 0 और v 0 होने चाहिए, जिसके लिए समानता GCD (a, b) = a u 0 + b v 0 मान्य होगी।

संपत्ति विवरण में दी गई समानता ए और बी के सबसे बड़े सामान्य भाजक का रैखिक प्रतिनिधित्व है। इसे बेज़ाउट अनुपात कहा जाता है, और संख्या u 0 और v 0 को Bezout गुणांक कहा जाता है।

सबूत 3

आइए हम इस संपत्ति को साबित करें। आइए हम यूक्लिडियन एल्गोरिथम के अनुसार समानता का एक क्रम लिखें:

ए = बी क्यू 1 + आर 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

पहली समानता हमें बताती है कि r 1 = a - b q 1. हम 1 = s 1 और - q 1 = t 1 को निरूपित करते हैं और इस समानता को r 1 = s 1 a + t 1 b के रूप में फिर से लिखते हैं। यहाँ संख्याएँ s 1 और t 1 पूर्णांक होंगी। दूसरी समानता हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि आर 2 = बी - आर 1 क्यू 2 = बी - (एस 1 ए + टी 1 बी) क्यू 2 = - एस 1 क्यू 2 ए + (1 - टी 1 क्यू 2) बी। हम - s 1 q 2 = s 2 और 1 - t 1 q 2 = t 2 को निरूपित करते हैं और समानता को r 2 = s 2 a + t 2 b के रूप में फिर से लिखते हैं, जहाँ s 2 और t 2 भी पूर्णांक होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि पूर्णांकों का योग, उनका गुणनफल और अंतर भी पूर्णांक होते हैं। ठीक उसी तरह से हम तीसरी समानता r 3 = s 3 a + t 3 b से प्राप्त करते हैं, निम्नलिखित r 4 = s 4 a + t 4 b, आदि से। अंत में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k = s k a + t k b पूर्णांक s k और t k के लिए। चूँकि rk = gcd (a, b), हम sk = u 0 और tk = v 0 को निरूपित करते हैं, परिणामस्वरूप, हम आवश्यक रूप में gcd का रैखिक निरूपण प्राप्त कर सकते हैं: gcd (a, b) = au 0 + bv 0.

परिभाषा 9

जीसीडी (एम ए, एम बी) = एम जीसीडी (ए, बी) एम के किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए।

सबूत 4

इस संपत्ति को निम्नानुसार प्रमाणित किया जा सकता है। यूक्लिड के एल्गोरिथ्म में प्रत्येक समानता के दोनों पक्षों को संख्या m से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि GCD (m a, m b) = m r k, और r k, GCD (a, b) है। इसलिए, जीसीडी (एम ए, एम बी) = एम जीसीडी (ए, बी)। यह सबसे बड़े सामान्य भाजक की यह संपत्ति है जिसका उपयोग अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा GCD को खोजने के लिए किया जाता है।

परिभाषा 10

यदि संख्या a और b में एक उभयनिष्ठ भाजक p है, तो gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p। मामले में जब p = gcd (a, b) हमें gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b) = 1 मिलता है, इसलिए, संख्याएँ a: gcd (a, b) और b : जीसीडी (ए, बी) कोप्राइम हैं।

चूँकि a = p (a: p) और b = p (b: p), पिछली संपत्ति के आधार पर, हम GCD (a, b) = GCD (p (a: p), p · के रूप की समानताएँ बना सकते हैं। (बी: पी)) = पी · जीसीडी (ए: पी, बी: पी), जिसके बीच इस संपत्ति का सबूत होगा। हम इस कथन का उपयोग तब करते हैं जब हम साधारण भिन्नों को एक अपरिमेय रूप में घटाते हैं।

परिभाषा 11

सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1, a 2, ..., ak संख्या dk होगी, जिसे क्रमिक रूप से GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d की गणना करके पाया जा सकता है। 3, जीसीडी (डी 3, ए 4) = डी 4,…, जीसीडी (डीके - 1, एके) = डीके।

यह गुण तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए उपयोगी है। इसका उपयोग इस क्रिया को दो संख्याओं के साथ संचालन में कम करने के लिए किया जा सकता है। इसका आधार यूक्लिडियन एल्गोरिथम का एक परिणाम है: यदि आम भाजक का सेट ए 1, ए 2 और ए 3 सेट डी 2 और ए 3 के साथ मेल खाता है, तो यह डिवाइडर डी 3 के साथ मेल खाता है। संख्या a 1, a 2, a 3 और a 4 के भाजक d 3 के भाजक के साथ मेल खाएंगे, जिसका अर्थ है कि वे d 4 के भाजक के साथ भी मेल खाएंगे, और इसी तरह। अंत में, हम पाते हैं कि संख्या a 1, a 2,…, ak के सामान्य भाजक dk के भाजक के साथ मेल खाते हैं, और चूंकि संख्या dk का सबसे बड़ा भाजक यह संख्या ही होगी, फिर GCD (a 1, ए 2,…, एके) = डी के।

बस इतना ही हम आपको सबसे बड़े सामान्य भाजक के गुणों के बारे में बताना चाहेंगे।

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