पृथ्वी पर सबसे बड़ी संख्या क्या है। बड़ी संख्या के बड़े नाम होते हैं

ऐसे कठिन प्रश्न का उत्तर देते हुए, यह दुनिया में सबसे बड़ी संख्या क्या है, सबसे पहले यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आज संख्याओं के नामकरण के 2 स्वीकृत तरीके हैं - अंग्रेजी और अमेरिकी। अंग्रेजी प्रणाली के अनुसार, प्रत्यय -बिलियन या -मिलियन प्रत्येक बड़ी संख्या में बदले में जोड़े जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप संख्या मिलियन, बिलियन, ट्रिलियन, ट्रिलियार्ड, और इसी तरह होती है। यदि हम अमेरिकी प्रणाली से आगे बढ़ते हैं, तो उसके अनुसार प्रत्येक बड़ी संख्या में प्रत्यय -मिलियन जोड़ना आवश्यक है, जिसके परिणामस्वरूप संख्याएँ ट्रिलियन, क्वाड्रिलियन और बड़ी बनती हैं। यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि आधुनिक दुनिया में अंग्रेजी संख्या प्रणाली अधिक सामान्य है, और इसमें उपलब्ध संख्याएं हमारी दुनिया की सभी प्रणालियों के सामान्य कामकाज के लिए काफी पर्याप्त हैं।

बेशक, तार्किक दृष्टिकोण से सबसे बड़ी संख्या के प्रश्न का उत्तर स्पष्ट नहीं हो सकता है, क्योंकि प्रत्येक बाद के अंक में केवल एक को जोड़ना होता है, फिर एक नई बड़ी संख्या प्राप्त होती है, इसलिए, इस प्रक्रिया की कोई सीमा नहीं है। हालांकि, अजीब तरह से, दुनिया में सबसे बड़ी संख्या अभी भी मौजूद है और यह गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में सूचीबद्ध है।

ग्राहम की संख्या दुनिया की सबसे बड़ी संख्या है

यह वह संख्या है जिसे दुनिया में सबसे बड़े रिकॉर्ड के रूप में मान्यता प्राप्त है, जबकि यह समझाना बहुत मुश्किल है कि यह क्या है और यह कितना बड़ा है। एक सामान्य अर्थ में, ये आपस में गुणा किए गए ट्रिपल हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक व्यक्ति की समझ के बिंदु की तुलना में परिमाण के 64 आदेश अधिक होते हैं। परिणामस्वरूप, हम केवल ग्राहम संख्या के अंतिम 50 अंक दे सकते हैं – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

गूगोल नंबर

इस संख्या का इतिहास ऊपर की तरह जटिल नहीं है। तो अमेरिका के एक गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर ने अपने भतीजों के साथ बड़ी संख्या के बारे में बात करते हुए इस सवाल का जवाब नहीं दिया कि उन संख्याओं का नाम कैसे रखा जाए जिनमें 100 शून्य या अधिक हों। एक साधन संपन्न भतीजे ने ऐसे नंबरों को अपना नाम दिया - गूगोल। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस संख्या का अधिक व्यावहारिक महत्व नहीं है, हालांकि, इसे कभी-कभी गणित में अनंत को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गूगलप्लेक्स

इस संख्या का आविष्कार गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर और उनके भतीजे मिल्टन सिरोटा ने भी किया था। एक सामान्य अर्थ में, यह एक गूगोल की दसवीं शक्ति की संख्या है। कई जिज्ञासु प्रकृति के प्रश्न का उत्तर देते हुए, googleplex में कितने शून्य हैं, यह ध्यान देने योग्य है कि शास्त्रीय संस्करण में इस संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव नहीं है, भले ही ग्रह पर सभी कागज शास्त्रीय शून्य से आच्छादित हों।

तिरछी संख्या

1914 में जॉन लिटवुड द्वारा सिद्ध की गई सबसे बड़ी संख्या के खिताब के लिए एक और दावेदार स्क्यूज़ संख्या है। दिए गए साक्ष्यों के अनुसार यह संख्या लगभग 8.185 10370 है।

मोजर नंबर

बहुत बड़ी संख्याओं के नामकरण की इस पद्धति का आविष्कार ह्यूगो स्टीनहॉस ने किया था, जिन्होंने सुझाव दिया था कि उन्हें बहुभुजों द्वारा निरूपित किया जाए। प्रदर्शन की गई तीन गणितीय संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, संख्या 2 का जन्म एक मेगागोन (मेगा भुजाओं वाला बहुभुज) में होता है।

जैसा कि आप पहले ही देख सकते हैं, बड़ी संख्या में गणितज्ञों ने इसे खोजने का प्रयास किया है - दुनिया में सबसे बड़ी संख्या। बेशक, ये प्रयास कितने सफल रहे, यह हमारे लिए न्याय नहीं है, हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसी संख्याओं की वास्तविक प्रयोज्यता संदिग्ध है, क्योंकि वे मानव समझ के लिए भी उत्तरदायी नहीं हैं। इसके अलावा, यदि आप एक बहुत ही आसान गणितीय संक्रिया +1 करते हैं तो हमेशा एक संख्या अधिक होगी जो अधिक होगी।

ऐसी संख्याएँ हैं जो इतनी अविश्वसनीय, अविश्वसनीय रूप से बड़ी हैं कि पूरे ब्रह्मांड को उन्हें लिखने में भी लग सकता है। लेकिन यहाँ जो वास्तव में परेशान करने वाला है... इनमें से कुछ अतुलनीय रूप से बड़ी संख्याएँ दुनिया को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

जब मैं कहता हूं "ब्रह्मांड में सबसे बड़ी संख्या," मेरा मतलब वास्तव में सबसे बड़ा है सार्थकसंख्या, अधिकतम संभव संख्या जो किसी प्रकार से उपयोगी हो। इस उपाधि के कई दावेदार हैं, लेकिन मैं आपको तुरंत चेतावनी देता हूं: वास्तव में एक जोखिम है कि यह सब समझने की कोशिश करने से आपका दिमाग खराब हो जाएगा। और इसके अलावा, बहुत अधिक गणित के साथ, आपको थोड़ा मज़ा आता है।

गूगोल और गूगोलप्लेक्स

एडवर्ड कास्नेर

हम दो के साथ शुरू कर सकते हैं, संभवतः सबसे बड़ी संख्याएं जिनके बारे में आपने कभी सुना है, और ये वास्तव में दो सबसे बड़ी संख्याएं हैं जिन्होंने आम तौर पर अंग्रेजी भाषा में परिभाषाओं को स्वीकार किया है। (जितनी बड़ी संख्या में आप चाहें उतनी बड़ी संख्या के लिए उपयोग की जाने वाली सटीक नामकरण है, लेकिन ये दो संख्याएं वर्तमान में शब्दकोशों में नहीं मिलती हैं।) Google, क्योंकि यह विश्व प्रसिद्ध हो गया है (यद्यपि त्रुटियों के साथ, ध्यान दें। वास्तव में यह गूगोल है) Google का रूप, 1920 में बच्चों में बड़ी संख्या में रुचि जगाने के लिए पैदा हुआ था।

यह अंत करने के लिए, एडवर्ड कास्नर (चित्रित) अपने दो भतीजों, मिल्टन और एडविन सिरोट को न्यू जर्सी पालिसैड्स दौरे पर ले गए। उन्होंने उन्हें किसी भी विचार के साथ आने के लिए आमंत्रित किया, और फिर नौ वर्षीय मिल्टन ने "गूगोल" का सुझाव दिया। उसे यह शब्द कहाँ से मिला यह अज्ञात है, लेकिन कास्नर ने फैसला किया कि या वह संख्या जिसमें एक सौ शून्य एक के बाद आता है, अब से एक गूगोल कहलाएगी।

लेकिन युवा मिल्टन यहीं नहीं रुके, वह और भी बड़ी संख्या, गूगोलप्लेक्स लेकर आए। मिल्टन के अनुसार, यह एक संख्या है, जिसमें पहले 1 होता है और फिर थकने से पहले जितने शून्य आप लिख सकते हैं। जबकि विचार आकर्षक है, कास्नर ने महसूस किया कि एक और औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता थी। जैसा कि उन्होंने अपनी 1940 की पुस्तक मैथमेटिक्स एंड द इमेजिनेशन में समझाया, मिल्टन की परिभाषा ने खतरनाक संभावना को खोल दिया है कि कभी-कभार बफून अल्बर्ट आइंस्टीन से बेहतर गणितज्ञ बन सकता है, क्योंकि उसके पास अधिक सहनशक्ति है।

तो कास्नर ने फैसला किया कि गोगोलप्लेक्स, या 1 होगा, उसके बाद शून्य का गोगोल होगा। अन्यथा, और उस अंकन के समान जिसके साथ हम अन्य संख्याओं के साथ व्यवहार करेंगे, हम कहेंगे कि googolplex है । यह दिखाने के लिए कि यह कितना मंत्रमुग्ध करने वाला है, कार्ल सागन ने एक बार टिप्पणी की थी कि एक गोगोलप्लेक्स के सभी शून्य को लिखना शारीरिक रूप से असंभव था क्योंकि ब्रह्मांड में बस पर्याप्त जगह नहीं थी। यदि देखने योग्य ब्रह्मांड का पूरा आयतन लगभग 1.5 माइक्रोन आकार के महीन धूल कणों से भरा है, तो इन कणों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या लगभग एक गोगोलप्लेक्स के बराबर होगी।

भाषाई रूप से बोलते हुए, googol और googolplex शायद दो सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्याएं हैं (कम से कम अंग्रेजी में), लेकिन, जैसा कि हम अब स्थापित करेंगे, "महत्व" को परिभाषित करने के असीमित तरीके हैं।

असली दुनिया

अगर हम सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्या के बारे में बात करते हैं, तो एक उचित तर्क है कि इसका वास्तव में मतलब है कि आपको दुनिया में वास्तव में मौजूद मूल्य के साथ सबसे बड़ी संख्या खोजने की जरूरत है। हम वर्तमान मानव आबादी से शुरू कर सकते हैं, जो वर्तमान में लगभग 6920 मिलियन है। 2010 में विश्व सकल घरेलू उत्पाद का अनुमान लगभग 61,960 बिलियन डॉलर था, लेकिन दोनों संख्याएं मानव शरीर को बनाने वाली लगभग 100 ट्रिलियन कोशिकाओं की तुलना में छोटी हैं। बेशक, इनमें से कोई भी संख्या ब्रह्मांड में कणों की कुल संख्या के साथ तुलना नहीं कर सकती है, जिसे आमतौर पर लगभग माना जाता है, और यह संख्या इतनी बड़ी है कि हमारी भाषा में इसके लिए एक शब्द नहीं है।

हम माप प्रणालियों के साथ थोड़ा खेल सकते हैं, जिससे संख्याएं बड़ी और बड़ी हो जाती हैं। इस प्रकार, टन में सूर्य का द्रव्यमान पाउंड से कम होगा। ऐसा करने का एक शानदार तरीका प्लैंक इकाइयों का उपयोग करना है, जो कि सबसे छोटे संभव उपाय हैं जिनके लिए भौतिकी के नियम अभी भी लागू हैं। उदाहरण के लिए प्लैंक काल में ब्रह्माण्ड की आयु लगभग . अगर हम बिग बैंग के बाद पहली प्लैंक टाइम यूनिट में वापस जाएं, तो हम देखेंगे कि ब्रह्मांड का घनत्व तब था। हम अधिक से अधिक प्राप्त कर रहे हैं, लेकिन हम अभी तक एक गूगोल तक नहीं पहुंचे हैं।

किसी भी वास्तविक विश्व अनुप्रयोग के साथ सबसे बड़ी संख्या—या, इस मामले में, वास्तविक विश्व अनुप्रयोग—शायद, बहुविविध में ब्रह्मांडों की संख्या के नवीनतम अनुमानों में से एक है। यह संख्या इतनी बड़ी है कि मानव मस्तिष्क सचमुच इन सभी विभिन्न ब्रह्मांडों को देखने में असमर्थ होगा, क्योंकि मस्तिष्क केवल मोटे तौर पर विन्यास करने में सक्षम है। वास्तव में, यह संख्या शायद किसी भी व्यावहारिक अर्थ के साथ सबसे बड़ी संख्या है, यदि आप समग्र रूप से मल्टीवर्स के विचार को ध्यान में नहीं रखते हैं। हालांकि, वहां अभी भी बहुत बड़ी संख्या छिपी हुई है। लेकिन उन्हें खोजने के लिए, हमें शुद्ध गणित के दायरे में जाना चाहिए, और अभाज्य संख्याओं से बेहतर कोई जगह नहीं है।

मेर्सन प्राइम्स

कठिनाई का एक हिस्सा "सार्थक" संख्या क्या है की एक अच्छी परिभाषा के साथ आ रहा है। प्राइम और कंपोजिट के संदर्भ में सोचने का एक तरीका है। एक अभाज्य संख्या, जैसा कि आप शायद स्कूली गणित से याद करते हैं, कोई भी प्राकृत संख्या (एक के बराबर नहीं) होती है जो केवल अपने आप से विभाज्य होती है। अतः, और अभाज्य संख्याएँ हैं, और और भाज्य संख्याएँ हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी समग्र संख्या को अंततः उसके प्रमुख भाजक द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक मायने में, संख्या अधिक महत्वपूर्ण है, कहते हैं, क्योंकि छोटी संख्याओं के गुणन के रूप में इसे व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है हम थोड़ा और आगे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तव में न्यायसंगत है, जिसका अर्थ है कि एक काल्पनिक दुनिया में जहां संख्याओं का हमारा ज्ञान सीमित है, एक गणितज्ञ अभी भी व्यक्त कर सकता है। लेकिन अगली संख्या पहले से ही अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे व्यक्त करने का एकमात्र तरीका इसके अस्तित्व के बारे में सीधे जानना है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, लेकिन, कहते हैं, एक गूगोल - जो अंततः केवल संख्याओं का एक संग्रह है और, एक साथ गुणा किया जाता है - वास्तव में ऐसा नहीं होता है। और चूंकि अभाज्य संख्याएँ अधिकतर यादृच्छिक होती हैं, इसलिए यह अनुमान लगाने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है कि एक अविश्वसनीय रूप से बड़ी संख्या वास्तव में अभाज्य होगी। आज तक, नए अभाज्य संख्याओं की खोज करना एक कठिन कार्य है।

प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों के पास अभाज्य संख्याओं की अवधारणा कम से कम 500 ईसा पूर्व थी, और 2000 साल बाद भी लोग केवल यह जानते थे कि लगभग 750 तक अभाज्य संख्याएँ क्या थीं। यूक्लिड के विचारकों ने सरलीकरण की संभावना को देखा, लेकिन जब तक पुनर्जागरण गणितज्ञ नहीं कर सके वास्तव में व्यवहार में इसका उपयोग नहीं करते हैं। इन नंबरों को मेर्सन नंबर के रूप में जाना जाता है और इसका नाम 17 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी वैज्ञानिक मरीना मेर्सन के नाम पर रखा गया है। यह विचार काफी सरल है: एक Mersenne संख्या किसी भी रूप की संख्या है। इसलिए, उदाहरण के लिए, और यह संख्या अभाज्य है, के लिए भी यही सच है।

Mersenne primes किसी भी अन्य प्रकार के prime की तुलना में बहुत तेज़ और निर्धारित करने में आसान होते हैं, और पिछले छह दशकों से कंप्यूटर उन्हें खोजने में कठिन काम कर रहे हैं। 1952 तक, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या एक संख्या थी - अंकों वाली एक संख्या। उसी वर्ष, कंप्यूटर पर यह गणना की गई कि संख्या अभाज्य है, और इस संख्या में अंक होते हैं, जो इसे पहले से ही एक गूगोल से बहुत बड़ा बनाता है।

तब से कंप्यूटर की खोज की जा रही है, और वें मेर्सन संख्या वर्तमान में मानव जाति के लिए ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। 2008 में खोजा गया, यह लगभग लाखों अंकों वाली एक संख्या है। यह सबसे बड़ी ज्ञात संख्या है जिसे किसी भी छोटी संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और यदि आप और भी बड़ी Mersenne संख्या खोजने में मदद करना चाहते हैं, तो आप (और आपका कंप्यूटर) हमेशा http://www.mersenne पर खोज में शामिल हो सकते हैं। संगठन/.

तिरछी संख्या

स्टेनली स्क्यूसे

आइए अभाज्य संख्याओं पर वापस जाएं। जैसा कि मैंने पहले कहा, वे मौलिक रूप से गलत व्यवहार करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि अगली अभाज्य संख्या क्या होगी। भविष्य के अपराधों की भविष्यवाणी करने के लिए कुछ अस्पष्ट तरीके से भी गणितज्ञों को कुछ शानदार मापों की ओर मुड़ने के लिए मजबूर किया गया है। इन प्रयासों में सबसे सफल शायद अभाज्य संख्या फलन है, जिसका आविष्कार 18वीं शताब्दी के अंत में महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने किया था।

मैं आपको अधिक जटिल गणित छोड़ दूंगा - वैसे भी, हमारे पास अभी भी बहुत कुछ आना बाकी है - लेकिन फ़ंक्शन का सार यह है: किसी भी पूर्णांक के लिए, यह अनुमान लगाना संभव है कि कितने अभाज्य संख्या से कम हैं। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन भविष्यवाणी करता है कि अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए, यदि - अभाज्य संख्याएँ इससे कम हैं, और यदि, तो छोटी संख्याएँ हैं जो अभाज्य हैं।

अभाज्य संख्याओं की व्यवस्था वास्तव में अनियमित है, और अभाज्य संख्याओं की वास्तविक संख्या का केवल एक अनुमान है। वास्तव में, हम जानते हैं कि अभाज्य संख्या इससे कम है, अभाज्य संख्या इससे कम है और अभाज्य संख्या इससे कम है। यह सुनिश्चित करने के लिए एक अच्छा अनुमान है, लेकिन यह हमेशा एक अनुमान है ... और अधिक विशेष रूप से, ऊपर से एक अनुमान।

तक के सभी ज्ञात मामलों में, वह फ़ंक्शन जो अभाज्य संख्याओं की संख्या का पता लगाता है, उससे कम अभाज्य संख्याओं की वास्तविक संख्या को थोड़ा बढ़ा देता है। गणितज्ञों ने एक बार सोचा था कि यह हमेशा मामला होगा, एड इनफिनिटम, और यह निश्चित रूप से कुछ अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्याओं पर लागू होता है, लेकिन 1914 में जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने साबित कर दिया कि कुछ अज्ञात, अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्या के लिए, यह फ़ंक्शन कम प्राइम का उत्पादन करना शुरू कर देगा, और फिर यह कई बार overestimation और underestimation के बीच स्विच करेगा।

शिकार दौड़ के शुरुआती बिंदु के लिए था, और यहीं पर स्टेनली स्क्यूज़ दिखाई दिए (फोटो देखें)। 1933 में, उन्होंने साबित किया कि ऊपरी सीमा, जब कोई फ़ंक्शन जो पहली बार अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाता है, एक छोटा मान देता है, वह संख्या है। यह वास्तव में समझना मुश्किल है, यहां तक ​​​​कि सबसे अमूर्त अर्थ में, यह संख्या वास्तव में क्या है, और इस दृष्टिकोण से यह एक गंभीर गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या थी। तब से, गणितज्ञ ऊपरी सीमा को अपेक्षाकृत कम संख्या में कम करने में सक्षम रहे हैं, लेकिन मूल संख्या को तिरछी संख्या के रूप में जाना जाता है।

तो, कितनी बड़ी संख्या है जो शक्तिशाली गूगोलप्लेक्स को भी बौना बना देती है? द पेंगुइन डिक्शनरी ऑफ क्यूरियस एंड इंटरेस्टिंग नंबर्स में, डेविड वेल्स ने एक तरीके का वर्णन किया है जिसमें गणितज्ञ हार्डी स्क्यूज़ नंबर के आकार को समझने में सक्षम थे:

"हार्डी ने सोचा कि यह 'गणित में किसी विशेष उद्देश्य की पूर्ति के लिए अब तक की सबसे बड़ी संख्या है' और सुझाव दिया कि यदि शतरंज को ब्रह्मांड के सभी कणों के साथ टुकड़ों के रूप में खेला जाता है, तो एक चाल में दो कणों की अदला-बदली होगी, और खेल बंद हो जाएगा जब उसी स्थिति को तीसरी बार दोहराया गया था, फिर सभी संभावित खेलों की संख्या लगभग स्क्यूज़ की संख्या के बराबर होगी।

आगे बढ़ने से पहले एक आखिरी बात: हमने दो तिरछी संख्याओं में से छोटी संख्या के बारे में बात की। एक और Skewes संख्या है, जिसे गणितज्ञ ने 1955 में खोजा था। पहली संख्या इस आधार पर ली गई है कि तथाकथित रीमैन परिकल्पना सत्य है - गणित में एक विशेष रूप से कठिन परिकल्पना जो अप्रमाणित रहती है, जब यह अभाज्य संख्याओं की बात आती है तो बहुत उपयोगी होती है। हालाँकि, यदि रीमैन परिकल्पना गलत है, तो Skewes ने पाया कि कूदने का प्रारंभ बिंदु बढ़कर .

परिमाण की समस्या

इससे पहले कि हम ऐसी संख्या पर पहुँचें जिससे स्क्यूज़ की संख्या भी छोटी दिखे, हमें पैमाने के बारे में थोड़ी बात करने की ज़रूरत है क्योंकि अन्यथा हमारे पास यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि हम कहाँ जा रहे हैं। आइए पहले एक संख्या लें - यह एक छोटी संख्या है, इतनी छोटी कि लोग वास्तव में इसका अर्थ समझ सकते हैं। बहुत कम संख्याएँ हैं जो इस विवरण में फिट बैठती हैं, क्योंकि छह से बड़ी संख्याएँ अलग-अलग संख्याएँ नहीं रह जाती हैं और "कई", "कई", आदि बन जाती हैं।

अब आइए लेते हैं, यानी। . हालांकि हम वास्तव में सहज ज्ञान युक्त नहीं हो सकते हैं, जैसा कि हमने संख्या के लिए किया था, यह पता लगा सकते हैं कि यह क्या है, यह बहुत आसान है। अब तक सब कुछ ठीक चल रहा है। लेकिन क्या होगा अगर हम जाते हैं? यह बराबर है , या । हम इस मूल्य की कल्पना करने में सक्षम होने से बहुत दूर हैं, किसी भी अन्य बहुत बड़े मूल्य की तरह - हम लगभग दस लाख के आसपास अलग-अलग हिस्सों को समझने की क्षमता खो रहे हैं। (बेशक, वास्तव में किसी भी चीज़ की एक लाख तक गिनती करने में बहुत लंबा समय लगेगा, लेकिन बात यह है कि हम अभी भी उस संख्या को समझने में सक्षम हैं।)

हालाँकि, हालांकि हम कल्पना नहीं कर सकते हैं, हम कम से कम सामान्य शब्दों में समझ सकते हैं कि 7600 बिलियन क्या है, शायद इसकी तुलना यूएस जीडीपी जैसी किसी चीज़ से की जाए। हम अंतर्ज्ञान से प्रतिनिधित्व तक केवल समझ में चले गए हैं, लेकिन कम से कम अभी भी हमारी समझ में कुछ अंतर है कि एक संख्या क्या है। यह बदलने वाला है क्योंकि हम एक और सीढ़ी ऊपर चढ़ते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें डोनाल्ड नुथ द्वारा पेश किए गए संकेतन पर स्विच करने की आवश्यकता है, जिसे तीर संकेतन के रूप में जाना जाता है। इन नोटेशन को इस प्रकार लिखा जा सकता है। जब हम उस पर जाएंगे, तो हमें जो नंबर मिलेगा वह होगा। यह उस स्थान के बराबर है जहां कुल त्रिक है। अब हम पहले से ही उल्लिखित अन्य सभी संख्याओं को बहुत अधिक और सही मायने में पार कर चुके हैं। आखिरकार, उनमें से सबसे बड़े में भी सूचकांक श्रृंखला में केवल तीन या चार सदस्य थे। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि सुपर स्क्यूज़ संख्या "केवल" है - इस तथ्य के बावजूद कि आधार और घातांक दोनों की तुलना में बहुत बड़े हैं, यह अभी भी अरबों सदस्यों के साथ संख्या टावर के आकार की तुलना में बिल्कुल कुछ भी नहीं है।

जाहिर है, इतनी बड़ी संख्या को समझने का कोई तरीका नहीं है... और फिर भी, जिस प्रक्रिया से वे बनते हैं, उसे अभी भी समझा जा सकता है। हम शक्तियों के टावर द्वारा दी गई वास्तविक संख्या को नहीं समझ सके, जो कि एक अरब ट्रिपल है, लेकिन हम मूल रूप से कई सदस्यों के साथ ऐसे टावर की कल्पना कर सकते हैं, और वास्तव में एक सभ्य सुपरकंप्यूटर स्मृति में ऐसे टावरों को स्टोर करने में सक्षम होगा, भले ही यह उनके वास्तविक मूल्यों की गणना नहीं कर सकते।

यह अधिक से अधिक सारगर्भित होता जा रहा है, लेकिन यह केवल बदतर होता जा रहा है। आप सोच सकते हैं कि शक्तियों का एक टॉवर जिसकी घातांक लंबाई है (इसके अलावा, इस पोस्ट के पिछले संस्करण में मैंने ठीक वही गलती की थी), लेकिन यह सिर्फ . दूसरे शब्दों में, कल्पना करें कि आप त्रिगुणों के एक शक्ति टॉवर के सटीक मूल्य की गणना करने में सक्षम थे, जिसमें तत्व होते हैं, और फिर आपने यह मान लिया और एक नया टॉवर बनाया जिसमें जितने हैं ... जो देता है।

प्रत्येक क्रमागत संख्या के साथ इस प्रक्रिया को दोहराएं ( ध्यान देंदाईं ओर से शुरू) जब तक आप इसे एक बार नहीं करते हैं, और फिर अंत में आपको . यह एक ऐसी संख्या है जो केवल अविश्वसनीय रूप से बड़ी है, लेकिन कम से कम इसे प्राप्त करने के लिए कदम स्पष्ट प्रतीत होते हैं यदि सब कुछ बहुत धीरे-धीरे किया जाता है। हम अब संख्याओं को नहीं समझ सकते हैं या उस प्रक्रिया की कल्पना नहीं कर सकते हैं जिसके द्वारा उन्हें प्राप्त किया जाता है, लेकिन कम से कम हम मूल एल्गोरिथम को केवल पर्याप्त रूप से लंबे समय में समझ सकते हैं।

आइए अब मन को वास्तव में इसे उड़ाने के लिए तैयार करें।

ग्राहम (ग्राहम) की संख्या

रोनाल्ड ग्राहम

इस तरह आपको ग्राहम का नंबर मिलता है, जो कि गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में किसी गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या के रूप में दर्ज है। यह कल्पना करना बिल्कुल असंभव है कि यह कितना बड़ा है, और यह ठीक-ठीक समझाना उतना ही कठिन है कि यह वास्तव में क्या है। मूल रूप से, हाइपरक्यूब के साथ काम करते समय ग्राहम की संख्या चलन में आती है, जो तीन से अधिक आयामों के साथ सैद्धांतिक ज्यामितीय आकार हैं। गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राहम (फोटो देखें) यह पता लगाना चाहते थे कि हाइपरक्यूब के कुछ गुणों को स्थिर रखने वाले आयामों की सबसे छोटी संख्या क्या है। (इस अस्पष्ट व्याख्या के लिए खेद है, लेकिन मुझे यकीन है कि इसे और अधिक सटीक बनाने के लिए हम सभी को कम से कम दो गणित डिग्री की आवश्यकता है।)

किसी भी मामले में, ग्राहम संख्या इस न्यूनतम संख्या के आयामों का ऊपरी अनुमान है। तो यह ऊपरी सीमा कितनी बड़ी है? आइए इतनी बड़ी संख्या पर वापस जाएं कि हम इसे अस्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम को समझ सकें। अब, केवल एक और स्तर तक कूदने के बजाय, हम उस संख्या की गणना करेंगे जिसमें पहले और अंतिम त्रिगुणों के बीच तीर हैं। अब हम इस बात की थोड़ी सी भी समझ से परे हैं कि यह संख्या क्या है या इसकी गणना करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है।

अब इस प्रक्रिया को कई बार दोहराएं ( ध्यान देंप्रत्येक अगले चरण में, हम पिछले चरण में प्राप्त संख्या के बराबर तीरों की संख्या लिखते हैं)।

यह, देवियों और सज्जनों, ग्राहम की संख्या है, जो मानव समझ के बिंदु से ऊपर परिमाण के क्रम के बारे में है। यह एक ऐसी संख्या है जो किसी भी संख्या से बहुत अधिक है जिसकी आप कल्पना कर सकते हैं - यह किसी भी अनंत से कहीं अधिक है जिसकी आप कभी भी कल्पना कर सकते हैं - यह केवल सबसे अमूर्त विवरण की भी अवहेलना करता है।

लेकिन यहाँ अजीब बात है। चूंकि ग्राहम की संख्या मूल रूप से केवल एक साथ तीन गुना गुणा है, हम वास्तव में इसकी गणना किए बिना इसके कुछ गुणों को जानते हैं। हम ग्राहम की संख्या को किसी भी ऐसे अंकन में प्रदर्शित नहीं कर सकते जिससे हम परिचित हैं, भले ही हमने इसे लिखने के लिए पूरे ब्रह्मांड का उपयोग किया हो, लेकिन मैं अभी आपको ग्राहम की संख्या के अंतिम बारह अंक दे सकता हूं: . और इतना ही नहीं: हम ग्राहम की संख्या के कम से कम अंतिम अंक जानते हैं।

बेशक, यह याद रखने योग्य है कि ग्राहम की मूल समस्या में यह संख्या केवल ऊपरी सीमा है। यह संभव है कि वांछित संपत्ति को पूरा करने के लिए आवश्यक मापों की वास्तविक संख्या बहुत, बहुत कम हो। वास्तव में, 1980 के दशक से, इस क्षेत्र के अधिकांश विशेषज्ञों द्वारा यह माना गया है कि वास्तव में केवल छह आयाम हैं - एक संख्या इतनी छोटी है कि हम इसे सहज स्तर पर समझ सकते हैं। तब से निचली सीमा को बढ़ा दिया गया है, लेकिन अभी भी इस बात की बहुत अच्छी संभावना है कि ग्राहम की समस्या का समाधान ग्राहम जितनी बड़ी संख्या में नहीं है।

अनन्त तक

तो ग्राहम की संख्या से बड़ी संख्याएँ हैं? बेशक, शुरुआत के लिए ग्राहम संख्या है। जहां तक ​​महत्वपूर्ण संख्या का सवाल है... ठीक है, गणित के कुछ बेहद कठिन क्षेत्र हैं (विशेष रूप से, कॉम्बिनेटरिक्स के रूप में जाना जाने वाला क्षेत्र) और कंप्यूटर विज्ञान, जिसमें ग्राहम की संख्या से भी बड़ी संख्याएं हैं। लेकिन हम लगभग उस सीमा तक पहुँच चुके हैं जिसकी मैं उम्मीद कर सकता हूँ जो कभी भी उचित रूप से समझा सकता है। उन लोगों के लिए जो आगे जाने के लिए पर्याप्त लापरवाह हैं, आपके जोखिम पर अतिरिक्त पढ़ने की पेशकश की जाती है।

खैर, अब एक अद्भुत उद्धरण जिसका श्रेय डगलस रे को दिया जाता है ( ध्यान देंईमानदार होने के लिए, यह बहुत अजीब लगता है:

"मैं देखता हूं कि अस्पष्ट संख्याओं के गुच्छे अंधेरे में, प्रकाश के उस छोटे से स्थान के पीछे, जो मन की मोमबत्ती देता है। वे एक दूसरे से फुसफुसाते हैं; कौन क्या जानता है के बारे में बात कर रहे हैं। शायद वे हमें अपने छोटे भाइयों को हमारे दिमाग से पकड़ने के लिए बहुत पसंद नहीं करते हैं। या हो सकता है कि वे हमारी समझ से परे, जीवन का एक स्पष्ट संख्यात्मक तरीका जीते हैं।''

अनगिनत अलग-अलग संख्याएँ हमें हर दिन घेरती हैं। निश्चित रूप से कई लोगों ने कम से कम एक बार सोचा था कि कौन सी संख्या सबसे बड़ी मानी जाती है। आप बस एक बच्चे को बता सकते हैं कि यह एक मिलियन है, लेकिन वयस्क अच्छी तरह जानते हैं कि अन्य संख्याएं एक मिलियन का अनुसरण करती हैं। उदाहरण के लिए, किसी को हर बार संख्या में केवल एक जोड़ना होता है, और यह अधिक से अधिक होता जाएगा - यह विज्ञापन अनंत होता है। लेकिन अगर आप उन नंबरों को अलग करें जिनके नाम हैं, तो आप पता लगा सकते हैं कि दुनिया की सबसे बड़ी संख्या क्या कहलाती है।

संख्याओं के नामों की उपस्थिति: किन विधियों का उपयोग किया जाता है?

आज तक, 2 प्रणालियाँ हैं जिनके अनुसार संख्याओं को नाम दिए गए हैं - अमेरिकी और अंग्रेजी। पहला काफी सरल है, और दूसरा दुनिया भर में सबसे आम है। अमेरिकी आपको इस तरह बड़ी संख्या में नाम देने की अनुमति देता है: पहले, लैटिन में क्रमिक संख्या इंगित की जाती है, और फिर प्रत्यय "मिलियन" जोड़ा जाता है (यहां अपवाद एक मिलियन है, जिसका अर्थ है एक हजार)। इस प्रणाली का उपयोग अमेरिकियों, फ्रेंच, कनाडाई द्वारा किया जाता है, और यह हमारे देश में भी उपयोग किया जाता है।

इंग्लैंड और स्पेन में अंग्रेजी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसके अनुसार, संख्याओं को इस तरह नामित किया गया है: लैटिन में अंक "प्लस" प्रत्यय "मिलियन" के साथ है, और अगली (एक हजार गुना अधिक) संख्या "प्लस" "बिलियन" है। उदाहरण के लिए, एक ट्रिलियन पहले आता है, उसके बाद एक ट्रिलियन, एक क्वाड्रिलियन एक क्वाड्रिलियन का अनुसरण करता है, और इसी तरह।

तो, विभिन्न प्रणालियों में एक ही संख्या का अर्थ अलग-अलग चीजें हो सकता है, उदाहरण के लिए, अंग्रेजी प्रणाली में एक अमेरिकी अरब को एक अरब कहा जाता है।

ऑफ-सिस्टम नंबर

ज्ञात प्रणालियों (ऊपर दिए गए) के अनुसार लिखी गई संख्याओं के अलावा, ऑफ-सिस्टम वाले भी हैं। उनके अपने नाम हैं, जिनमें लैटिन उपसर्ग शामिल नहीं हैं।

आप उनके विचार की शुरुआत असंख्य नामक संख्या से कर सकते हैं। इसे एक सौ सैकड़ों (10000) के रूप में परिभाषित किया गया है। लेकिन अपने इच्छित उद्देश्य के लिए, इस शब्द का प्रयोग नहीं किया जाता है, बल्कि असंख्य भीड़ के संकेत के रूप में प्रयोग किया जाता है। यहां तक ​​कि डाहल का शब्दकोश भी कृपया ऐसी संख्या की परिभाषा प्रदान करेगा।

असंख्य के बाद अगला गूगोल है, जो 100 की घात के लिए 10 को दर्शाता है। पहली बार इस नाम का प्रयोग 1938 में एक अमेरिकी गणितज्ञ ई. कास्नर द्वारा किया गया था, जिन्होंने नोट किया कि उनका भतीजा इस नाम के साथ आया था।

Google (Search Engine) को इसका नाम Google के सम्मान में मिला। फिर 1 ज़ीरो (1010100) के गोगोल के साथ एक गोगोलप्लेक्स है - कास्नर भी ऐसा नाम लेकर आया है।

गूगोलप्लेक्स से भी बड़ा स्क्यूज़ नंबर (ई से ई की शक्ति से ई79 की शक्ति तक) है, जिसे स्क्यूस द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब प्राइम नंबरों पर रीमैन अनुमान (1933) को साबित किया गया था। एक और Skewes संख्या है, लेकिन इसका उपयोग तब किया जाता है जब रिममैन परिकल्पना अनुचित होती है। यह कहना मुश्किल है कि उनमें से कौन बड़ा है, खासकर जब बड़ी डिग्री की बात आती है। हालाँकि, इस संख्या को, इसकी "विशालता" के बावजूद, उन सभी में सबसे अधिक नहीं माना जा सकता है जिनके अपने नाम हैं।

और दुनिया में सबसे बड़ी संख्या में नेता ग्राहम नंबर (G64) है। यह वह था जिसे पहली बार गणितीय विज्ञान (1977) के क्षेत्र में प्रमाण का संचालन करने के लिए इस्तेमाल किया गया था।

जब ऐसी संख्या की बात आती है, तो आपको यह जानना होगा कि आप नुथ द्वारा बनाई गई एक विशेष 64-स्तरीय प्रणाली के बिना नहीं कर सकते हैं - इसका कारण संख्या जी का बाइक्रोमैटिक हाइपरक्यूब के साथ कनेक्शन है। नुथ ने सुपरडिग्री का आविष्कार किया, और इसे रिकॉर्ड करना सुविधाजनक बनाने के लिए, उन्होंने ऊपर तीरों का उपयोग करने का सुझाव दिया। तो हमने सीखा कि दुनिया की सबसे बड़ी संख्या को क्या कहा जाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह नंबर जी प्रसिद्ध बुक ऑफ रिकॉर्ड्स के पन्नों में शामिल हो गया।

कभी-कभी जो लोग गणित से संबंधित नहीं होते हैं वे आश्चर्य करते हैं: सबसे बड़ी संख्या क्या है? एक ओर, उत्तर स्पष्ट है - अनंत। बोर यह भी स्पष्ट करेंगे कि गणितज्ञों के अंकन में "प्लस इनफिनिटी" या "+∞"। लेकिन यह उत्तर सबसे अधिक संक्षारक को नहीं मनाएगा, खासकर जब से यह एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, बल्कि एक गणितीय अमूर्त है। लेकिन इस मुद्दे को अच्छी तरह समझने के बाद, वे एक दिलचस्प समस्या खोल सकते हैं।

दरअसल, इस मामले में कोई आकार सीमा नहीं है, लेकिन मानव कल्पना की एक सीमा है। प्रत्येक संख्या का एक नाम होता है: दस, एक सौ, अरब, सैक्सटिलियन, इत्यादि। लेकिन लोगों की कल्पना का अंत कहां होता है?

Google Corporation ट्रेडमार्क के साथ भ्रमित होने की नहीं, हालांकि वे एक समान मूल साझा करते हैं। इस संख्या को 10100 के रूप में लिखा जाता है, यानी एक के बाद एक सौ शून्य की एक पूंछ। इसकी कल्पना करना मुश्किल है, लेकिन गणित में इसका सक्रिय रूप से उपयोग किया गया था।

गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर के भतीजे - यह उनके बच्चे के साथ आया यह अजीब है। 1938 में, मेरे चाचा ने बहुत बड़ी संख्या के बारे में तर्कों के साथ छोटे रिश्तेदारों का मनोरंजन किया। बच्चे के आक्रोश के लिए, यह पता चला कि इतनी अद्भुत संख्या का कोई नाम नहीं था, और उसने अपना संस्करण दिया। बाद में, मेरे चाचा ने इसे अपनी एक किताब में डाल दिया, और यह शब्द अटक गया।

सैद्धांतिक रूप से, एक गूगोल एक प्राकृतिक संख्या है, क्योंकि इसका उपयोग गिनती के लिए किया जा सकता है। यह शायद ही किसी के पास अंत तक गिनने का धैर्य हो। इसलिए, केवल सैद्धांतिक रूप से।

जहां तक ​​कंपनी के नाम की बात है तो गूगल ने एक सामान्य गलती कर दी। पहला निवेशक और सह-संस्थापकों में से एक, चेक लिखते समय जल्दी में था, और "O" अक्षर से चूक गया, लेकिन इसे भुनाने के लिए, कंपनी को इस वर्तनी के तहत पंजीकृत होना पड़ा।

गूगोलप्लेक्स

यह संख्या गूगोल का व्युत्पन्न है, लेकिन इससे काफी बड़ा है। उपसर्ग "प्लेक्स" का अर्थ है आधार संख्या की शक्ति में दस बढ़ाना, इसलिए गुलोप्लेक्स 10 की शक्ति से 100 या 101000 की शक्ति तक है।

परिणामी संख्या देखने योग्य ब्रह्मांड में कणों की संख्या से अधिक है, जिसका अनुमान लगभग 1080 डिग्री है। लेकिन इसने वैज्ञानिकों को केवल "plex" उपसर्ग जोड़कर संख्या बढ़ाने से नहीं रोका: googolplexplex, googolplexplexplex, और इसी तरह। और विशेष रूप से विकृत गणितज्ञों के लिए, उन्होंने उपसर्ग "प्लेक्स" के अंतहीन दोहराव के बिना वृद्धि करने के विकल्प का आविष्कार किया - उन्होंने बस इसके सामने ग्रीक संख्याएं रखीं: टेट्रा (चार), पेंटा (पांच) और इसी तरह, डेका (दस) तक ) अंतिम विकल्प एक googoldekaplex की तरह लगता है और इसका मतलब है कि इसके आधार की शक्ति के लिए संख्या 10 को बढ़ाने के लिए प्रक्रिया का दस गुना संचयी दोहराव। मुख्य बात परिणाम की कल्पना नहीं करना है। आप अभी भी इसे महसूस नहीं कर पाएंगे, लेकिन मानस को आघात पहुँचाना आसान है।

48वां मर्सन नंबर

मुख्य पात्र: कूपर, उसका कंप्यूटर और एक नया अभाज्य संख्या

अपेक्षाकृत हाल ही में, लगभग एक साल पहले, अगले 48वें मेर्सन नंबर की खोज संभव थी। यह वर्तमान में दुनिया की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। याद रखें कि अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से शेषफल के बिना विभाज्य होती हैं। सबसे सरल उदाहरण 3, 5, 7, 11, 13, 17 इत्यादि हैं। समस्या यह है कि जंगलों में जितना अधिक होता है, उतनी ही कम संख्या में होते हैं। लेकिन अधिक मूल्यवान प्रत्येक अगले की खोज है। उदाहरण के लिए, एक नई अभाज्य संख्या में 17,425,170 अंक होते हैं यदि इसे हमारे परिचित दशमलव संख्या प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है। पिछले वाले में लगभग 12 मिलियन वर्ण थे।

यह अमेरिकी गणितज्ञ कर्टिस कूपर द्वारा खोजा गया था, जिन्होंने तीसरी बार गणितीय समुदाय को इस तरह के रिकॉर्ड से प्रसन्न किया। केवल उसका परिणाम जांचने और यह साबित करने के लिए कि यह संख्या वास्तव में अभाज्य है, उसके पर्सनल कंप्यूटर को 39 दिन लगे।

नुथ के तीर संकेतन में ग्राहम की संख्या इस प्रकार लिखी जाती है। यह कहना मुश्किल है कि सैद्धांतिक गणित में उच्च शिक्षा प्राप्त किए बिना इसे कैसे समझा जाए। इसे दशमलव रूप में लिखना भी असंभव है जिसके हम आदी हैं: देखने योग्य ब्रह्मांड बस इसे समाहित करने में सक्षम नहीं है। डिग्री के लिए बाड़ लगाने की डिग्री, जैसा कि गूगोलप्लेक्स के मामले में होता है, भी एक विकल्प नहीं है।

सूत्र अच्छा है, लेकिन समझ से बाहर है

तो हमें इस बेकार संख्या की आवश्यकता क्यों है? सबसे पहले, जिज्ञासु के लिए, इसे गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में रखा गया था, और यह पहले से ही बहुत कुछ है। दूसरे, इसका उपयोग एक ऐसी समस्या को हल करने के लिए किया गया था जो रैमसे समस्या का हिस्सा है, जो समझ से बाहर भी है, लेकिन गंभीर लगता है। तीसरा, इस संख्या को गणित में अब तक के सबसे बड़े उपयोग के रूप में पहचाना जाता है, न कि कॉमिक प्रूफ या बौद्धिक खेलों में, बल्कि एक बहुत ही विशिष्ट गणितीय समस्या को हल करने के लिए।

ध्यान! निम्नलिखित जानकारी आपके मानसिक स्वास्थ्य के लिए खतरनाक है! इसे पढ़कर, आप सभी परिणामों की जिम्मेदारी स्वीकार करते हैं!

उन लोगों के लिए जो अपने दिमाग का परीक्षण करना चाहते हैं और ग्राहम नंबर पर ध्यान करना चाहते हैं, हम इसे समझाने की कोशिश कर सकते हैं (लेकिन केवल कोशिश करें)।

कल्पना कीजिए 33. यह बहुत आसान है - आपको 3*3*3=27 मिलता है। क्या होगा यदि हम अब इस संख्या में तीन बढ़ा दें? यह 3 3 से 3 घात, या 3 27 निकलता है। दशमलव अंकन में, यह 7,625,597,484,987 के बराबर है। बहुत कुछ, लेकिन अभी के लिए इसे समझा जा सकता है।

नुथ के तीर संकेतन में, यह संख्या कुछ और सरलता से प्रदर्शित की जा सकती है - 33. लेकिन यदि आप केवल एक तीर जोड़ते हैं, तो यह और अधिक कठिन हो जाएगा: 33, जिसका अर्थ है 33 की शक्ति के लिए 33 या पावर नोटेशन में। यदि दशमलव संकेतन तक विस्तारित किया जाए, तो हमें 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 मिलते हैं। क्या आप अभी भी विचार का पालन करने में सक्षम हैं?

अगला चरण: 33= 33 33 । यही है, आपको पिछली क्रिया से इस जंगली संख्या की गणना करने और इसे उसी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

और 33 ग्राहम की संख्या के 64 सदस्यों में से केवल पहला है। दूसरा प्राप्त करने के लिए, आपको इस उग्र सूत्र के परिणाम की गणना करने की आवश्यकता है, और उचित संख्या में तीरों को 3(...)3 योजना में स्थानापन्न करना होगा। और इसी तरह, 63 बार और।

मुझे आश्चर्य है कि क्या उसके अलावा कोई और एक दर्जन अन्य सुपरमैथेमेटिशियन कम से कम अनुक्रम के मध्य तक पहुंचने में सक्षम होंगे और एक ही समय में पागल नहीं होंगे?

कुछ समझ में आया? हम नहीं हैं। लेकिन क्या रोमांच है!

सबसे बड़ी संख्या की आवश्यकता क्यों है? आम आदमी के लिए इसे समझना और महसूस करना मुश्किल है। लेकिन कुछ विशेषज्ञ उनकी मदद से निवासियों को नए तकनीकी खिलौने पेश करने में सक्षम हैं: फोन, कंप्यूटर, टैबलेट। शहरवासी भी यह नहीं समझ पा रहे हैं कि वे कैसे काम करते हैं, लेकिन वे अपने मनोरंजन के लिए उनका उपयोग करने में प्रसन्न हैं। और हर कोई खुश है: शहरवासियों को उनके खिलौने, "सुपरनर्ड्स" मिलते हैं - लंबे समय तक उनके दिमाग के खेल खेलने का अवसर।

इस प्रश्न का सही उत्तर देना असंभव है, क्योंकि संख्या श्रृंखला की कोई ऊपरी सीमा नहीं है। तो, किसी भी संख्या के लिए, एक और भी बड़ी संख्या प्राप्त करने के लिए केवल एक को जोड़ना पर्याप्त है। हालाँकि संख्याएँ स्वयं अनंत हैं, उनके पास बहुत अधिक उचित नाम नहीं हैं, क्योंकि उनमें से अधिकांश छोटी संख्याओं से बने नामों से संतुष्ट हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ और उनके अपने नाम "एक" और "एक सौ" हैं, और संख्या का नाम पहले से ही मिश्रित है ("एक सौ एक")। यह स्पष्ट है कि मानवता ने अपने नाम से जो संख्याएँ प्रदान की हैं, उनके अंतिम सेट में कोई न कोई सबसे बड़ी संख्या होनी चाहिए। लेकिन इसे क्या कहा जाता है और यह किसके बराबर है? आइए इसका पता लगाने की कोशिश करें और साथ ही यह पता करें कि गणितज्ञ कितनी बड़ी संख्या में आए।

"लघु" और "लंबा" पैमाना

बड़ी संख्या के लिए आधुनिक नामकरण प्रणाली का इतिहास 15वीं शताब्दी के मध्य का है, जब इटली में उन्होंने एक हज़ार वर्ग के लिए "मिलियन" (शाब्दिक रूप से - एक बड़ा हज़ार) शब्दों का उपयोग करना शुरू किया, एक मिलियन के लिए "बिलियन" वर्ग और "ट्रिमिलियन" एक मिलियन क्यूबिक के लिए। हम इस प्रणाली के बारे में फ्रांसीसी गणितज्ञ निकोलस चुक्वेट (सी। 1450 - सी। 1500) के लिए धन्यवाद जानते हैं: अपने ग्रंथ "द साइंस ऑफ नंबर्स" (ट्रिपार्टी एन ला साइंस डेस नोम्ब्रेस, 1484) में, उन्होंने इस विचार को विकसित करने का प्रस्ताव दिया। लैटिन कार्डिनल नंबरों का उपयोग करें (तालिका देखें), उन्हें अंतिम "-मिलियन" में जोड़कर। तो, शुक का "बिलियन" एक बिलियन में बदल गया, "ट्रिमिलियन" एक ट्रिलियन में, और एक मिलियन से चौथी शक्ति "क्वाड्रिलियन" बन गई।

Schücke की प्रणाली में, एक संख्या जो एक लाख और एक अरब के बीच थी, उसका अपना नाम नहीं था और इसे केवल "एक हजार मिलियन" कहा जाता था, इसी तरह इसे "एक हजार अरब", - "एक हजार ट्रिलियन", आदि कहा जाता था। यह बहुत सुविधाजनक नहीं था, और 1549 में फ्रांसीसी लेखक और वैज्ञानिक जैक्स पेलेटियर डू मैन्स (1517-1582) ने समान लैटिन उपसर्गों का उपयोग करते हुए ऐसे "मध्यवर्ती" नंबरों को नाम देने का प्रस्ताव रखा, लेकिन अंत में "-बिलियन"। तो, इसे "बिलियन", - "बिलियर्ड", - "ट्रिलियार्ड", आदि कहा जाने लगा।

शुक्वेट-पेलेटियर प्रणाली धीरे-धीरे लोकप्रिय हो गई और पूरे यूरोप में इसका इस्तेमाल किया जाने लगा। हालाँकि, 17वीं शताब्दी में, एक अप्रत्याशित समस्या उत्पन्न हुई। यह पता चला कि किसी कारण से कुछ वैज्ञानिक भ्रमित होने लगे और संख्या को "एक अरब" या "हजारों लाख" नहीं, बल्कि "एक अरब" कहा। जल्द ही यह गलती तेजी से फैल गई, और एक विरोधाभासी स्थिति पैदा हो गई - "बिलियन" एक ही समय में "बिलियन" () और "मिलियन मिलियन" () का पर्याय बन गया।

यह भ्रम लंबे समय तक जारी रहा और इस तथ्य को जन्म दिया कि संयुक्त राज्य अमेरिका में उन्होंने बड़ी संख्या में नामकरण के लिए अपनी प्रणाली बनाई। अमेरिकी प्रणाली के अनुसार, संख्याओं के नाम उसी तरह से बनाए गए हैं जैसे शुक प्रणाली में - लैटिन उपसर्ग और अंत "मिलियन"। हालाँकि, ये संख्याएँ भिन्न हैं। यदि शूके प्रणाली में अंतिम "मिलियन" के नामों को ऐसी संख्याएँ प्राप्त हुईं जो एक मिलियन की शक्तियाँ थीं, तो अमेरिकी प्रणाली में समाप्त होने वाले "-मिलियन" को एक हज़ार की शक्तियाँ प्राप्त हुईं। यानी एक हजार मिलियन () को "बिलियन", () - "ट्रिलियन", () - "क्वाड्रिलियन", आदि के रूप में जाना जाता है।

बड़ी संख्या में नामकरण की पुरानी प्रणाली का उपयोग रूढ़िवादी ग्रेट ब्रिटेन में किया जाता रहा और पूरी दुनिया में इसे "ब्रिटिश" कहा जाने लगा, इस तथ्य के बावजूद कि इसका आविष्कार फ्रेंच शुक्वेट और पेलेटियर द्वारा किया गया था। हालांकि, 1970 के दशक में, यूके ने आधिकारिक तौर पर "अमेरिकी प्रणाली" पर स्विच किया, जिसके कारण यह तथ्य सामने आया कि एक प्रणाली को अमेरिकी और दूसरे को ब्रिटिश कहना किसी तरह अजीब हो गया। नतीजतन, अमेरिकी प्रणाली को अब आमतौर पर "लघु पैमाने" और ब्रिटिश या चुक्वेट-पेलेटियर प्रणाली को "लंबे पैमाने" के रूप में जाना जाता है।

भ्रमित न होने के लिए, आइए मध्यवर्ती परिणाम का योग करें:

संख्या का नाम	"लघु पैमाने" पर मूल्य	"लंबे पैमाने" पर मूल्य
दस लाख
एक अरब
एक अरब
बिलियर्ड	-
खरब
खरब	-
क्वाड्रिलियन
क्वाड्रिलियन	-
क्विंटिलियन
क्विंटिलियन	-
सेक्सटिलियन
सेक्सटिलियन	-
सेप्टिलियन
सेप्टिलियार्ड	-
ऑक्टिलियन
ऑक्टिलियार्ड	-
क्विंटिलियन
नोनिलियार्ड	-
डेसिलियन
डेसिलियार्ड	-
विगिनटिलियन
विगिनबिलियन	-
सेंटीलियन
सेंटबिलियन	-
मिलियन
मिलीलियार्ड	-

संक्षिप्त नामकरण पैमाना वर्तमान में यूएस, यूके, कनाडा, आयरलैंड, ऑस्ट्रेलिया, ब्राजील और प्यूर्टो रिको में उपयोग किया जाता है। रूस, डेनमार्क, तुर्की और बुल्गारिया भी छोटे पैमाने का उपयोग करते हैं, सिवाय इसके कि संख्या को "अरब" के बजाय "अरब" कहा जाता है। अधिकांश अन्य देशों में आज भी लंबे पैमाने का उपयोग जारी है।

यह उत्सुक है कि हमारे देश में लघु पैमाने पर अंतिम संक्रमण 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में ही हुआ था। इसलिए, उदाहरण के लिए, यहां तक ​​​​कि याकोव इसिडोरोविच पेरेलमैन (1882-1942) ने अपने "एंटरटेनिंग अरिथमेटिक" में यूएसएसआर में दो पैमानों के समानांतर अस्तित्व का उल्लेख किया है। पेरेलमैन के अनुसार, लघु पैमाने का उपयोग रोजमर्रा की जिंदगी और वित्तीय गणनाओं में किया जाता था, और लंबे पैमाने का उपयोग खगोल विज्ञान और भौतिकी पर वैज्ञानिक पुस्तकों में किया जाता था। हालाँकि, अब रूस में लंबे पैमाने का उपयोग करना गलत है, हालाँकि वहाँ संख्याएँ बड़ी हैं।

लेकिन वापस सबसे बड़ी संख्या खोजने के लिए। दशमांश के बाद उपसर्गों को मिलाकर संख्याओं के नाम प्राप्त होते हैं। इस प्रकार अनिर्वचनीय, डुओडेसिलियन, ट्रेडेसिलियन, क्वाटोर्डेसिलियन, क्विनडेसिलियन, सेक्सडेसिलियन, सेप्टेमडेसिलियन, ऑक्टोडेसिलियन, नोवमडेसिलियन, आदि संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं। हालाँकि, ये नाम अब हमारे लिए रुचिकर नहीं हैं, क्योंकि हम अपने स्वयं के गैर-मिश्रित नाम के साथ सबसे बड़ी संख्या खोजने के लिए सहमत हुए हैं।

यदि हम लैटिन व्याकरण की ओर मुड़ें, तो हम पाएंगे कि रोमनों के पास दस से अधिक संख्याओं के लिए केवल तीन गैर-यौगिक नाम थे: विगिन्टी - "बीस", सेंटम - "एक सौ" और मिल - "हजार"। "हजार" से अधिक की संख्या के लिए, रोमनों के अपने नाम नहीं थे। उदाहरण के लिए, एक लाख () रोमनों ने इसे "डिसीस सेंटेना मिलिया" कहा, जो कि "दस गुना सौ हजार" है। शूके के नियम के अनुसार, ये तीन शेष लैटिन अंक हमें संख्याओं के लिए "विगिनटिलियन", "सेंटिलियन" और "मिलियन" जैसे नाम देते हैं।

इसलिए, हमने पाया कि "लघु पैमाने" पर अधिकतम संख्या जिसका अपना नाम है और छोटी संख्याओं का योग नहीं है, "मिलियन" () है। यदि रूस में नामकरण संख्याओं का एक "लंबा पैमाना" अपनाया जाता है, तो अपने नाम के साथ सबसे बड़ी संख्या "मिलियन" () होगी।

हालाँकि, इससे भी बड़ी संख्या के नाम हैं।

सिस्टम के बाहर की संख्या

लैटिन उपसर्गों का उपयोग करते हुए नामकरण प्रणाली के साथ किसी भी संबंध के बिना, कुछ संख्याओं का अपना नाम होता है। और ऐसे कई नंबर हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्या ई, संख्या "पी", एक दर्जन, जानवर की संख्या, आदि याद कर सकते हैं। हालांकि, चूंकि अब हम बड़ी संख्या में रुचि रखते हैं, हम केवल उन संख्याओं पर विचार करेंगे जिनके अपने गैर- यौगिक नाम जो एक मिलियन से अधिक हैं।

17वीं शताब्दी तक, रूस ने संख्याओं के नामकरण के लिए अपनी प्रणाली का उपयोग किया। दसियों हज़ारों को "अंधेरा" कहा जाता था, सैकड़ों हज़ारों को "लीजन्स" कहा जाता था, लाखों को "लियोड्रास" कहा जाता था, दसियों लाख को "रेवेन्स" कहा जाता था, और सैकड़ों लाखों को "डेक" कहा जाता था। करोड़ों तक के इस खाते को "छोटा खाता" कहा जाता था, और कुछ पांडुलिपियों में लेखकों को "महान खाता" भी माना जाता था, जिसमें समान नामों का उपयोग बड़ी संख्या में किया जाता था, लेकिन एक अलग अर्थ के साथ। तो, "अंधेरे" का अर्थ अब दस हजार नहीं, बल्कि एक हजार हजार था () , "लीजन" - उन का अंधेरा () ; "लियोडर" - दिग्गजों की सेना () , "रेवेन" - लेओडर लियोड्रोव (). किसी कारण से महान स्लाव खाते में "डेक" को "कौवे का कौआ" नहीं कहा जाता था () , लेकिन केवल दस "कौवे", यानी (तालिका देखें)।

संख्या का नाम	"छोटी गिनती" में अर्थ	"महान खाते" में अर्थ	पद
अंधेरा
सैन्य टुकड़ी
लियोद्रो
रेवेन (रेवेन)
डेक
विषयों का अंधेरा

संख्या का अपना नाम भी है और इसका आविष्कार नौ साल के लड़के ने किया था। और ऐसा ही था। 1938 में, अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर (एडवर्ड कास्नर, 1878-1955) अपने दो भतीजों के साथ पार्क में घूम रहे थे और उनके साथ बड़ी संख्या में चर्चा कर रहे थे। बातचीत के दौरान हमने एक सौ शून्य वाली एक संख्या के बारे में बात की, जिसका अपना नाम नहीं था। उनके एक भतीजे, नौ वर्षीय मिल्टन सिरोट ने इस नंबर को "गूगोल" कहने का सुझाव दिया। 1940 में, एडवर्ड कास्नर ने जेम्स न्यूमैन के साथ मिलकर लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक "गणित और कल्पना" लिखी, जहाँ उन्होंने गणित प्रेमियों को गूगोलों की संख्या के बारे में बताया। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में Google और भी व्यापक रूप से जाना जाने लगा, इसके नाम पर Google खोज इंजन के लिए धन्यवाद।

गूगोल से भी बड़ी संख्या का नाम 1950 में कंप्यूटर विज्ञान के जनक, क्लाउड शैनन (क्लाउड एलवुड शैनन, 1916–2001) के कारण उत्पन्न हुआ। अपने लेख "प्रोग्रामिंग ए कंप्यूटर टू प्ले शतरंज" में, उन्होंने शतरंज के खेल के संभावित रूपों की संख्या का अनुमान लगाने की कोशिश की। इसके अनुसार, प्रत्येक खेल में औसतन चाल चलती है, और प्रत्येक चाल पर खिलाड़ी विकल्पों का एक औसत विकल्प बनाता है, जो खेल विकल्पों के (लगभग बराबर) होता है। यह काम व्यापक रूप से जाना जाने लगा, और इस संख्या को "शैनन नंबर" के रूप में जाना जाने लगा।

प्रसिद्ध बौद्ध ग्रंथ जैन सूत्र में, जो 100 ईसा पूर्व का है, संख्या "असंख्य" के बराबर पाई जाती है। ऐसा माना जाता है कि यह संख्या निर्वाण प्राप्त करने के लिए आवश्यक ब्रह्मांडीय चक्रों की संख्या के बराबर है।

नौ वर्षीय मिल्टन सिरोटा ने न केवल गूगोल संख्या का आविष्कार करके गणित के इतिहास में प्रवेश किया, बल्कि एक ही समय में एक और संख्या का सुझाव देकर - "गूगोलप्लेक्स", जो "गोगोल" की शक्ति के बराबर है, अर्थात एक जीरो के गूगोल के साथ।

दक्षिण अफ्रीका के गणितज्ञ स्टेनली स्केव्स (1899-1988) द्वारा रीमैन परिकल्पना को सिद्ध करते हुए गूगोलप्लेक्स से दो बड़ी संख्याएँ प्रस्तावित की गई थीं। पहली संख्या, जिसे बाद में "स्क्यूज़ का पहला नंबर" कहा जाने लगा, वह घात के घात के घात के बराबर है, अर्थात . हालाँकि, "दूसरा Skewes संख्या" और भी बड़ी है और .

जाहिर है, डिग्रियों की संख्या में जितनी अधिक डिग्रियां होंगी, संख्याओं को लिखना और पढ़ते समय उनके अर्थ को समझना उतना ही कठिन होगा। इसके अलावा, ऐसी संख्याओं के साथ आना संभव है (और वे, वैसे, पहले ही आविष्कार किए जा चुके हैं), जब डिग्री की डिग्री बस पृष्ठ पर फिट नहीं होती है। हाँ, क्या पेज है! वे पूरे ब्रह्मांड के आकार की किताब में भी फिट नहीं होंगे! ऐसे में सवाल उठता है कि ऐसे नंबरों को कैसे लिखा जाए। समस्या, सौभाग्य से, हल करने योग्य है, और गणितज्ञों ने ऐसी संख्याओं को लिखने के लिए कई सिद्धांत विकसित किए हैं। सच है, इस समस्या को पूछने वाले प्रत्येक गणितज्ञ ने लिखने के अपने तरीके के साथ आया, जिसके कारण बड़ी संख्या में लिखने के कई असंबंधित तरीकों का अस्तित्व बना - ये नुथ, कॉनवे, स्टीनहॉस, आदि के नोटेशन हैं। अब हमें सौदा करना होगा उनमें से कुछ के साथ।

अन्य नोटेशन

1938 में, उसी वर्ष जब नौ वर्षीय मिल्टन सिरोटा गूगोल और गूगोलप्लेक्स नंबरों के साथ आए, ह्यूगो डियोनिज़ी स्टीनहॉस (1887-1972), मनोरंजक गणित के बारे में एक पुस्तक, द मैथमैटिकल कैलिडोस्कोप, पोलैंड में प्रकाशित हुई थी। यह पुस्तक बहुत लोकप्रिय हुई, कई संस्करणों के माध्यम से चली गई और अंग्रेजी और रूसी सहित कई भाषाओं में इसका अनुवाद किया गया। इसमें, स्टाइनहॉस, बड़ी संख्याओं की चर्चा करते हुए, उन्हें तीन ज्यामितीय आकृतियों - एक त्रिभुज, एक वर्ग और एक वृत्त का उपयोग करके लिखने का एक सरल तरीका प्रदान करता है:

"एक त्रिकोण में" का अर्थ है "",
"एक वर्ग में" का अर्थ है "त्रिकोण में",
"एक वृत्त में" का अर्थ है "वर्गों में"।

लिखने के इस तरीके की व्याख्या करते हुए, स्टाइनहॉस एक "मेगा" संख्या के साथ आता है, जो एक सर्कल में बराबर होता है और दिखाता है कि यह "वर्ग" या त्रिकोण में बराबर है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इसे एक शक्ति तक बढ़ाने की जरूरत है, परिणामी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाएं, फिर परिणामी संख्या को परिणामी संख्या की शक्ति तक बढ़ाएं, और इसी तरह समय की शक्ति को बढ़ाने के लिए। उदाहरण के लिए, एमएस विंडोज में कैलकुलेटर दो त्रिकोणों में भी अतिप्रवाह के कारण गणना नहीं कर सकता है। लगभग इतनी बड़ी संख्या है।

"मेगा" संख्या निर्धारित करने के बाद, स्टीनहॉस पाठकों को एक और संख्या - "मेडज़ोन" का स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करता है, जो एक सर्कल के बराबर है। पुस्तक के एक अन्य संस्करण में, स्टाइनहॉस ने मेडज़ोन के बजाय एक और भी बड़ी संख्या का मूल्यांकन करने का प्रस्ताव रखा है - "मेगिस्टन", एक सर्कल के बराबर। स्टाइनहॉस के बाद, मैं यह भी सिफारिश करूंगा कि पाठक इस पाठ से कुछ समय के लिए विराम लें और इन संख्याओं को सामान्य शक्तियों का उपयोग करके स्वयं लिखने का प्रयास करें ताकि उनके विशाल परिमाण को महसूस किया जा सके।

हालांकि, बड़ी संख्या के नाम हैं। इस प्रकार, कनाडा के गणितज्ञ लियो मोजर (लियो मोजर, 1921-1970) ने स्टीनहॉस संकेतन को अंतिम रूप दिया, जो इस तथ्य से सीमित था कि यदि एक मेगिस्टोन की तुलना में बहुत बड़ी संख्याओं को लिखना आवश्यक था, तो कठिनाइयाँ और असुविधाएँ पैदा होंगी, क्योंकि कई मंडलियों को एक दूसरे के अंदर खींचना होगा। मोजर ने सुझाव दिया कि वर्गों के बाद, वृत्त नहीं, बल्कि पेंटागन, फिर षट्भुज, और इसी तरह ड्रा करें। उन्होंने इन बहुभुजों के लिए एक औपचारिक संकेतन भी प्रस्तावित किया, ताकि संख्याओं को जटिल पैटर्न बनाए बिना लिखा जा सके। मोजर नोटेशन इस तरह दिखता है:

"त्रिकोण" ==;
"एक वर्ग में" == "त्रिकोण में" =;
"पंचभुज में" = = "वर्गों में" =;
"इन-गॉन" == "इन-गॉन" = .

इस प्रकार, मोजर के संकेतन के अनुसार, स्टीनहौसियन "मेगा" को "मेडज़ोन" के रूप में, और "मेगिस्टन" के रूप में लिखा जाता है। इसके अलावा, लियो मोजर ने एक बहुभुज को मेगा - "मेगागोन" के बराबर पक्षों की संख्या के साथ कॉल करने का प्रस्ताव दिया। और एक नंबर की पेशकश की « एक मेगागोन में", अर्थात्। यह संख्या मोजर संख्या के रूप में जानी जाती है, या बस "मोजर" के रूप में जानी जाती है।

लेकिन "मोजर" भी सबसे बड़ी संख्या नहीं है। तो, गणितीय प्रमाण में अब तक उपयोग की जाने वाली सबसे बड़ी संख्या "ग्राहम की संख्या" है। इस संख्या का उपयोग पहली बार 1977 में अमेरिकी गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राहम ने रैमसे सिद्धांत में एक अनुमान को साबित करते समय किया था, अर्थात् कुछ के आयामों की गणना करते समय आयामीबाइक्रोमैटिक हाइपरक्यूब्स। ग्राहम की संख्या को मार्टिन गार्डनर की 1989 की पुस्तक "फ्रॉम पेनरोज़ मोज़ाइक टू सिक्योर सिफर्स" में इसके बारे में कहानी के बाद ही प्रसिद्धि मिली।

यह समझाने के लिए कि ग्राहम संख्या कितनी बड़ी है, किसी को बड़ी संख्या लिखने का एक और तरीका बताना होगा, जिसे 1976 में डोनाल्ड नुथ द्वारा पेश किया गया था। अमेरिकी प्रोफेसर डोनाल्ड नुथ सुपरडिग्री की अवधारणा के साथ आए, जिसे उन्होंने ऊपर की ओर इशारा करते हुए तीर से लिखने का प्रस्ताव दिया।

सामान्य अंकगणितीय संचालन - जोड़, गुणा और घातांक - को स्वाभाविक रूप से हाइपरऑपरेटर के अनुक्रम में निम्नानुसार बढ़ाया जा सकता है।

प्राकृतिक संख्याओं के गुणन को जोड़ के बार-बार संचालन ("एक संख्या की प्रतियां जोड़ें") के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:

उदाहरण के लिए,

किसी संख्या को घात में बढ़ाने को दोहराए जाने वाले गुणन संक्रिया ("किसी संख्या की प्रतियों को गुणा करें") के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और नुथ के संकेतन में यह प्रविष्टि एक तीर की तरह दिखती है जो ऊपर की ओर इशारा करती है:

उदाहरण के लिए,

एल्गोल प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में इस तरह के सिंगल अप एरो को डिग्री आइकन के रूप में इस्तेमाल किया गया था।

उदाहरण के लिए,

यहां और नीचे, अभिव्यक्ति का मूल्यांकन हमेशा दाएं से बाएं जाता है, और परिभाषा के अनुसार नुथ के तीर ऑपरेटरों (साथ ही एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेशन) में सही सहयोगीता (दाएं से बाएं क्रम) होती है। इस परिभाषा के अनुसार,

यह पहले से ही काफी बड़ी संख्या की ओर ले जाता है, लेकिन संकेतन यहीं समाप्त नहीं होता है। ट्रिपल एरो ऑपरेटर का उपयोग डबल एरो ऑपरेटर (जिसे "पेंटेशन" के रूप में भी जाना जाता है) के बार-बार घातांक लिखने के लिए किया जाता है:

फिर "चौगुनी तीर" ऑपरेटर:

आदि सामान्य नियम संचालिका "-मैं हूंएरो", सही सहयोगीता के अनुसार, ऑपरेटरों की अनुक्रमिक श्रृंखला में दाईं ओर जारी है « तीर"। प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

उदाहरण के लिए:

अंकन प्रपत्र आमतौर पर तीरों के साथ लिखने के लिए उपयोग किया जाता है।

कुछ संख्याएँ इतनी बड़ी हैं कि नुथ के बाणों से लिखना भी बोझिल हो जाता है; इस मामले में, हाइपरऑपरेटर के लिए -एरो ऑपरेटर का उपयोग बेहतर है (और तीरों की एक चर संख्या के साथ विवरण के लिए भी), या समकक्ष। लेकिन कुछ संख्याएँ इतनी बड़ी होती हैं कि इतना अंकन भी पर्याप्त नहीं होता है। उदाहरण के लिए, ग्राहम संख्या।

Knuth's Arrow संकेतन का उपयोग करते समय, ग्राहम संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ प्रत्येक परत में तीरों की संख्या, ऊपर से शुरू होकर, अगली परत में संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात जहाँ , जहाँ तीर का सुपरस्क्रिप्ट तीरों की कुल संख्या को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, इसकी गणना चरणों में की जाती है: पहले चरण में हम तीन के बीच चार तीरों की गणना करते हैं, दूसरे में - तीन के बीच के तीरों के साथ, तीसरे में - तीन के बीच के तीरों के साथ, और इसी तरह; अंत में हम तीनों के बीच के तीरों से गणना करते हैं।

इसे इस रूप में लिखा जा सकता है, जहां, जहां सुपरस्क्रिप्ट y फ़ंक्शन पुनरावृत्तियों को दर्शाता है।

यदि "नाम" वाली अन्य संख्याओं का मिलान वस्तुओं की संगत संख्या से किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, ब्रह्मांड के दृश्य भाग में सितारों की संख्या का अनुमान सेक्स्टिलियन में लगाया जाता है - और ग्लोब बनाने वाले परमाणुओं की संख्या का क्रम है dodecallions), तो गूगोल पहले से ही "आभासी" है, ग्राहम संख्या के बारे में उल्लेख नहीं करने के लिए। अकेले पहले पद का पैमाना इतना बड़ा है कि इसे समझना लगभग असंभव है, हालाँकि उपरोक्त संकेतन को समझना अपेक्षाकृत आसान है। हालांकि - यह इस सूत्र में टावरों की संख्या है, यह संख्या पहले से ही प्लैंक वॉल्यूम (सबसे छोटी संभव भौतिक मात्रा) की संख्या से काफी बड़ी है जो अवलोकन योग्य ब्रह्मांड (लगभग) में निहित हैं। पहले सदस्य के बाद, तेजी से बढ़ते क्रम का एक और सदस्य हमारा इंतजार कर रहा है।