Hypotenuse के लिए आसन्न कैटेक का अनुपात। त्रिकोणमिति। खैर, चलो इन सूत्रों को स्वाद के लिए आज़माएं, सर्कल पर अंक खोजने में सावधान रहें

जीवन में, हमें अक्सर गणितीय कार्यों का सामना करना पड़ता है: स्कूल में, विश्वविद्यालय में, और फिर अपने बच्चे को होमवर्क के साथ मदद करना। कुछ व्यवसायों के लोगों को दैनिक गणित का सामना करना पड़ेगा। इसलिए, गणितीय नियमों को याद रखने या याद करने के लिए उपयोगी है। इस लेख में हम उनमें से एक का विश्लेषण करेंगे: एक आयताकार त्रिभुज श्रेणी ढूँढना।

एक आयताकार त्रिकोण क्या है

शुरू करने के लिए, याद रखें कि एक आयताकार त्रिकोण क्या है। आयताकार त्रिभुज तीन खंडों का एक ज्यामितीय आंकड़ा है जो अंकों को जोड़ता है जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोल रहे हैं, और इस आकृति के कोनों में से एक 90 डिग्री है। एक सीधा कोण बनाने वाले पक्षों को श्रेणियां कहा जाता है, और जिस पक्ष को सीधे कोण - hypotenuse के विपरीत है।

हमें एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल मिलता है

श्रेणी की लंबाई सीखने के कई तरीके हैं। मैं उन्हें अधिक विस्तार से विचार करना चाहूंगा।

Pythagore के प्रमेय एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल खोजने के लिए

अगर हम hypotenuse और catat के लिए जाने जाते हैं, तो हम Pythagora प्रमेय पर एक अज्ञात श्रेणी की लंबाई पा सकते हैं। ऐसा लगता है: "हाइपोटेन्यूज का वर्ग कैथेट के वर्गों के योग के बराबर है।" फॉर्मूला: c² \u003d a ² + b², जहां सी hypotenuse, ए और बी - Kartets है। हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: A² \u003d c²-b²।

उदाहरण। हाइपोटेन्यूज 5 सेमी है, और रोल - 3 सेमी। हम सूत्र को बदलते हैं: c² \u003d a ² + b² → a² \u003d c²-b²। इसके बाद, हम निर्णय लेते हैं: A² \u003d 5²-3²; A² \u003d 25-9; A² \u003d 16; ए \u003d √16; ए \u003d 4 (सेमी)।

एक आयताकार त्रिभुज का एक रोल खोजने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

यदि कोई अन्य पक्ष और आयताकार त्रिभुज के किसी भी तेज कोने को भी जाना जाता है तो आप एक अज्ञात कैटैट भी पा सकते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके कैटेक खोजने के लिए चार विकल्प हैं: साइनस, कोसाइन, टेंगेंट, कोटेगेंट में। कार्यों को हल करने के लिए, हम टेबल की मदद करेंगे, जो थोड़ा कम है। इन विकल्पों पर विचार करें।

साइनस के साथ एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल खोजें

साइन कोण (SIN) hypotenuse के लिए विपरीत श्रेणी का अनुपात है। फॉर्मूला: पाप \u003d ए / सी, जहां एक-कैट, इस कोण के खिलाफ झूठ बोल रहा है, और सी hypotenuse है। इसके बाद, हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: ए \u003d पाप * सी।

उदाहरण। Hypotenuse 10 सेमी है, कोण ए 30 डिग्री है। तालिका के अनुसार, साइनस कोण ए की गणना करें, यह 1/2 है। फिर, रूपांतरित सूत्र के अनुसार, हम हल करते हैं: a \u003d sin∠a * c; A \u003d 1/2 * 10; ए \u003d 5 (सेमी)।

एक कोसाइन के साथ एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल खोजें

कोसाइन कोण (सीओएस) हाइपोटेन्यूज़ के लिए आसन्न कैटेक का अनुपात है। फॉर्मूला: कॉस \u003d बी / सी, जहां बी - सीएटीएट, इस कोने के नजदीक, और सी hypotenuse है। हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: बी \u003d कॉस * सी।

उदाहरण। कोण ए 60 डिग्री है, हाइपोटेन्यूज 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, कोण ए के कोसाइन की गणना करें, यह 1/2 है। इसके बाद, हम निर्णय लेते हैं: बी \u003d कोसिला * सी; बी \u003d 1/2 * 10, बी \u003d 5 (सेमी)।

टेंगेंट के साथ एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल खोजें

टेंगेंट कोण (टीजी) आसन्न के लिए एक विपरीत कैटेक का अनुपात है। फॉर्मूला: टीजी \u003d ए / बी, जहां एक कोने में कैटेट लेने वाला है, और बी सबसे प्रमुख है। हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: ए \u003d टीजी * बी।

उदाहरण। कोण ए 45 डिग्री है, हाइपोटेन्यूज 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, टेंगेंट कोण ए की गणना करें, यह घटता है: ए \u003d tg∠a * b; ए \u003d 1 * 10; ए \u003d 10 (सेमी)।

Cotangent के साथ एक आयताकार त्रिकोण का एक रोल खोजें

कोटेगेंट कोण (सीटीजी) निकटतम श्रेणी का अनुपात विपरीत है। फॉर्मूला: सीटीजी \u003d बी / ए, जहां बी बुनाई चाकू है, लेकिन विपरीत है। दूसरे शब्दों में, कोट्टांगनेस "उलटा टैंगेंट" है। हमें मिलता है: b \u003d ctg * a।

उदाहरण। कोण ए 30 डिग्री है, विपरीत बिल्लीटैट 5 सेमी है। कोण की स्पर्शरेखा तालिका के अनुसार √3 है। गणना करें: बी \u003d ctg∠a * a; बी \u003d √3 * 5; बी \u003d 5√3 (सेमी)।

तो अब आप जानते हैं कि एक आयताकार त्रिकोण में एक कैट कैसे ढूंढें। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह इतना मुश्किल नहीं है, मुख्य बात सूत्रों को याद रखना है।

अध्याय I. आयताकार त्रिकोण का समाधान

§3 (37)। मुख्य संबंध और कार्य

त्रिकोणमिति उन कार्यों को संबोधित करती है जिनमें उन्हें अपने सेट तत्वों के संख्यात्मक मूल्यों की पर्याप्त संख्या में त्रिभुज के उन अन्य तत्वों की गणना करने की आवश्यकता होती है। इन कार्यों को आमतौर पर कार्य कहा जाता है फैसले को त्रिकोण।

चलो एबीसी एक आयताकार त्रिभुज, सी - दाएं कोण, लेकिन अ तथा बी - जड़ों, तीव्र कोनों का विरोध ए और बी, से - hypotenuse (लानत 3);

तो हमारे पास हैं:

तीव्र कोण का कोसाइन हाइपोटेन्यूज़ के लिए आसन्न श्रेणी का अनुपात है:

cos a \u003d। बी / सी। , कोस बी \u003d ए / सी। (1)

एक तीव्र कोण की साइन हाइपोटेन्यूज़ के विपरीत श्रेणी का दृष्टिकोण है:

पाप ए \u003d। ए / सी। , पाप बी \u003d बी / सी। (2)

तीव्र कोण का टेंगेंट निकटतम श्रेणी का रवैया है:

tg a \u003d। ए / बी , टीजी बी \u003d बी / ए। (3)

तीव्र कोण के कोटेंगनेस निकटवर्ती श्रेणी का अनुपात विपरीत है:

cTG A \u003d। बी / ए। , सीटीजी बी \u003d ए / बी (4)

तेज कोनों की मात्रा बराबर है 90 °.

आयताकार त्रिकोण पर मुख्य कार्य।

कार्य I. उपहार hypotenuses और एक तेज कोनों में से एक, अन्य तत्वों की गणना।

फेसला।देना से और ए कोण बी \u003d 90 डिग्री - साथ ही ज्ञात; Kartets सूत्र (1) और (2) से हैं।

ए \u003d एस। पाप ए बी \u003d एस कोस ए

कार्य द्वितीय। . दाना कैट और तेज कोनों में से एक, अन्य तत्वों की गणना करें।

फेसला। देना लेकिन अ और ए कोण बी \u003d 90 डिग्री - और ज्ञात; सूत्रों (3) और (2) से हम पाएंगे:

बी = ए। टीजी बी (\u003d ए। सीटीजी ए) से = ए। / पाप ए

कार्य III। दाना कैटैट और हाइपोटेन्यूज, शेष तत्वों की गणना करें।

फेसला। देना लेकिन अ तथा से (तथा लेकिन अ< с )। समानता से (2) मुझे एक कोण एक मिलेगा:

पाप ए \u003d। ए / सी। और ए \u003d आर्क पाप ए / सी। ,

और अंत में कैटैट बी:

बी = से Cos a (\u003d से sin c)।

कार्य iv। दाना कार्तता ए और बी अन्य तत्वों को ढूंढें।

फेसला। समानताओं से (3) हमें एक तेज कोण मिलेगा, उदाहरण के लिए, ए:

tg a \u003d। ए / बी , ए \u003d आर्क टीजी ए / बी ,

कोण बी \u003d 90 डिग्री - ए,

hypotenuse: सी। = ए। / पाप ए (\u003d बी / पाप बी; \u003d। ए। / Cos b)

नीचे लॉगरिदमिक तालिकाओं का उपयोग करके एक आयताकार त्रिभुज को हल करने का एक उदाहरण है।

* प्राकृतिक तालिकाओं के साथ आयताकार त्रिकोणों के तत्वों की गणना VIII वर्ग ज्यामिति के पाठ्यक्रम से जाना जाता है।

लॉगरिदमिक तालिकाओं की गणना करते समय, ज्ञात तत्वों (या उनके त्रिकोणमितीय कार्यों) के आवश्यक लॉगरिफ्ट को खोजने के लिए, संख्यात्मक डेटा को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयुक्त सूत्रों को लिखा जाना चाहिए, वांछित तत्वों (या उनके त्रिकोणमितीय कार्यों) के लॉगरिदम की गणना करने के लिए और तालिकाओं पर खोजने के लिए वांछित तत्व।

उदाहरण।दाना कार्तेट। लेकिन अ \u003d 166.1 और hypotenuse से \u003d 187.3; तेज कोनों, अन्य कैटैट और क्षेत्र की गणना करें।

फेसला। हमारे पास है:

पाप ए \u003d। ए / सी। ; lg sin a \u003d lg ए। - एलजी। सी।;

एक ≈ 62 डिग्री 30 ", ≈ 90 डिग्री - 62 डिग्री 30" ≈ 27 डिग्री 30 "में।

कैथेट की गणना करें बी:

बी \u003d एटीजी बी; एलजी बी\u003d एलजी। बी+ एलजी टीजी बी;

त्रिभुज के क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

S \u003d 1/2 अब = 0,5 ए। 2 टीजी इन;

नियंत्रण के लिए, हम कोण और लॉगरिदमिक रेखा पर गणना करते हैं:

ए \u003d आर्क पाप ए / सी। \u003d आर्क पाप 166/187 ≈ 62 डिग्री।

ध्यान दें।कैथे बी स्क्वायर और स्क्वायर रूट्स (तालिका III और IV) की तालिकाओं का उपयोग करके पाइथागोरा प्रमेय पर गणना करना संभव है:

बी= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

पहले प्राप्त मूल्य के साथ विसंगति b \u003d। 86.48 तालिकाओं की त्रुटियों से समझाया गया है जिसमें कार्यों के अनुमानित मूल्य दिए जाते हैं। परिणाम 86.54 अधिक सटीक है।

Hypotenuses के लिए विपरीत श्रेणी का दृष्टिकोण कहा जाता है तीव्र कोण का साइनस आयताकार त्रिकोण।

\\ sin \\ अल्फा \u003d \\ frac (a) (c)

एक आयताकार त्रिभुज के तीव्र कोण की कोसाइन

हाइपोटेन्यूज़ के लिए पास की श्रेणी का रवैया कहा जाता है तीव्र कोने का कोसाइन आयताकार त्रिकोण।

\\ Cos \\ अल्फा \u003d \\ frac (b) (c)

एक आयताकार त्रिभुज के तीव्र कोने का टेंगेंट

आस-पास के कैथलेट के विपरीत श्रेणी का रवैया कहा जाता है तीव्र कोने का टेंगेंट आयताकार त्रिकोण।

tg \\ अल्फा \u003d \\ frac (a) (b)

आयताकार त्रिभुज के तीव्र कोण के cotangenes

निकटतम कैथलेट के लिए पास की श्रेणी का रवैया कहा जाता है तीव्र कोने का कुत्ता आयताकार त्रिकोण।

ctg \\ अल्फा \u003d \\ frac (b) (ए)

साइनस मनमाना कोण

यूनिट सर्कल पर बिंदु का क्रम, जो कोण \\ अल्फा कॉल से मेल खाता है साइनस मनमाना कोण \\ अल्फा बारी।

\\ sin \\ अल्फा \u003d y

एक मनमाना कोण का कोसाइन

यूनिट सर्कल पर Abscissa बिंदु, जो कोण \\ अल्फा के अनुरूप है कहा जाता है एक मनमाना कोण का कोसाइन \\ अल्फा बारी।

\\ cos \\ अल्फा \u003d एक्स

टेंगेंट मनमाना कोण

रोटेशन \\ अल्फा के एक मनमाने ढंग से कोण के साइनस का अनुपात उसकी कोसाइन को कहा जाता है टेंगेंट मनमाना कोण \\ अल्फा बारी।

tg \\ अल्फा \u003d y_ (a)

tg \\ अल्फा \u003d \\ frac (\\ sin \\ अल्फा) (\\ cos \\ अल्फा)

एक मनमाने ढंग से कोण का कॉटनेंस

अपने साइनस के लिए रोटेशन \\ अल्फा के मनमाने ढंग से कोण की कोसाइन का रवैया कहा जाता है कोट्टनन मनमानी कोण \\ अल्फा बारी।

ctg \\ अल्फा \u003d x_ (a)

ctg \\ अल्फा \u003d \\ frac (\\ cos \\ अल्फा) (\\ SIN \\ अल्फा)

एक मनमाना कोण खोजने का एक उदाहरण

यदि \\ अल्फा एओएम का एक निश्चित कोण है, जहां एम एक सर्कल का एक बिंदु है, तो

\\ sin \\ अल्फा \u003d y_ (m), \\ cos \\ अल्फा \u003d x_ (m), tg \\ अल्फा \u003d \\ frac (y_ (m)) (x_ (m)), ctg \\ अल्फा \u003d \\ frac (x_ (m)) (y_ (m)).

उदाहरण के लिए, यदि \\ कोण aom \u003d - \\ frac (\\ pi) (4)फिर: ऑर्डिनेट पॉइंट एम बराबर है - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2), Abscissa बराबर है \\ Frac (\\ sqrt (2)) (2) और यही कारण है

\\ Sin \\ Left (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ दाएं) \u003d - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

\\ Cos \\ left (\\ frac (\\ pi) (4) \\ दाएं) \u003d \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

टीजी।;

सीटीजी। \\ Left (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ दाएं) \u003d - 1.

Cotangens टेंगेंट के साइनस साइनस की तालिका

मुख्य सामान्य कोणों के मान तालिका में दिखाए जाते हैं:

	0 ^ (\\ सरक) (0)	30 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ FRAC (\\ PI) (6) \\ अधिकार)	45 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ Frac (\\ PI) (4) \\ अधिकार)	60 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ Frac (\\ PI) (3) \\ अधिकार)	90 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ Frac (\\ PI) (2) \\ अधिकार)	180 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ PI \\ राइट)	270 ^ (\\ सर्क) \\ Left (\\ FRAC (3 \\ PI) (2) \\ अधिकार)	360 ^ (\\ सर्क) \\ Left (2 \\ Pi \\ राइट)
\\ sin \\ अल्फा	0	\\ Frac12।	\\ Frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ Frac (\\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\\ Cos \\ अल्फा	1	\\ Frac (\\ sqrt 3) (2)	\\ Frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ Frac12।	0	−1	0	1
टीजी \\ अल्फा।	0	\\ Frac (\\ sqrt 3) (3)	1	\\ Sqrt3।	—	0	—	0
सीटीजी \\ अल्फा।	—	\\ Sqrt3।	1	\\ Frac (\\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

साइनस एक आयताकार त्रिभुज का तीव्र कोण α एक रिश्ता है सामने Hypotenuse के लिए केट।
के रूप में दर्शाता है: पाप α।

कोज्या आयताकार त्रिभुज का तीव्र कोण α Hypotenuse के लिए आसन्न कैटेक का अनुपात है।
निम्नानुसार दर्शाता है: कोस α।

स्पर्शरेखा तीव्र कोण α निकटतम कैथे के विपरीत कैटेक का अनुपात है।
के रूप में दर्शाता है: टीजी α।

कॉथेंटेंटेंट तीव्र कोण α निकटतम कैटेक का अनुपात विपरीत है।
के रूप में दर्शाता है: सीटीजी α।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेनेस कोण केवल कोण की परिमाण पर निर्भर करते हैं।

नियम:

एक आयताकार त्रिभुज में मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

(α - तीव्र कोण, विपरीत कैथेट बी और कैथेट के समीप ए। । पक्ष से - hypotenuse। β - दूसरा तेज कोण)।

बी पाप α \u003d - सी।	पाप 2 α + cos 2 α \u003d 1
ए। कोस α \u003d - सी।	1 1 + टीजी 2 α \u003d - कॉस 2 α।
बी टीजी α \u003d - ए।	1 1 + सीटीजी 2 α \u003d - पाप 2 α।
ए। CTG α \u003d - बी	1 1 1 + -- = -- टीजी 2 α पाप 2 α
पाप α। टीजी α \u003d - कॉस α।

तीव्र कोण में वृद्धि के साथsin α i।टीजी α बढ़ रहा है, औरकॉस α घटता है।

किसी भी तीव्र कोण के लिए α:

पाप (90 ° - α) \u003d cos α

कॉस (90 डिग्री - α) \u003d पाप α

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

मान लीजिए आयताकार त्रिभुज एबीसी
एबी \u003d 6,
सूर्य \u003d 3,
कोण ए \u003d 30º।

साइन कोण ए और कोसाइन कोण वी का पता लगाएं।

फेसला ।

1) सबसे पहले हमें कोण वी की परिमाण मिलती है। सब कुछ सरल है: एक आयताकार त्रिभुज में, तेज कोनों की राशि 90º है, फिर कोण बी \u003d 60º:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।

2) पाप ए की गणना करें। हम जानते हैं कि साइनस हाइपोटेन्यूज़ के लिए विपरीत कैटेक के दृष्टिकोण के बराबर है। एक कोण और विपरीत कैथेट के लिए विमान का पक्ष है। इसलिए:

बीसी 3 1।
पाप ए \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2।

3) अब मैं सीओएस बी की गणना करता हूं हम जानते हैं कि कोसाइन हाइपोटेन्यूज़ के लिए आसन्न कैटेक के दृष्टिकोण के बराबर है। आसन्न कैथेट में एक कोण के लिए, सूर्य के समान पक्ष। इसका मतलब यह है कि हमें एवी पर विमान को फिर से विभाजित करना होगा - यानी, साइनस कोण की गणना करते समय एक ही कार्यवाही करने के लिए ए:

बीसी 3 1।
cos b \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2।

नतीजतन, यह पता चला है:
पाप A \u003d COS B \u003d 1/2।

पाप 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2।

यह इस प्रकार है कि एक आयताकार त्रिभुज में एक तीव्र कोण के साइनस एक और तीव्र कोण के कोसाइन के बराबर है - और इसके विपरीत। यह वही है जो हमारे दो सूत्रों का मतलब है:
पाप (90 ° - α) \u003d cos α
कॉस (90 डिग्री - α) \u003d पाप α

आइए इसे फिर से सुनिश्चित करें:

1) α \u003d 60º होने दें। साइन फॉर्मूला में α के मूल्य को प्रतिस्थापित करना, हमें मिलता है:
पाप (90º - 60º) \u003d सीओएस 60º।
पाप 30º \u003d cos 60º।

2) α \u003d 30º दें। कोसाइन फॉर्मूला में α के मूल्य को प्रतिस्थापित करना, हमें मिलता है:
कॉस (90 ° - 30º) \u003d पाप 30º।
कोस 60 ° \u003d पाप 30º।

(त्रिकोणमिति के बारे में अधिक - बीजगणित का चयन देखें)

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। सर्कल का त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि सर्कल का केंद्र निर्देशांक की शुरुआत में स्थित है, त्रिज्या-वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति धुरी की सकारात्मक दिशा के साथ तय की जाती है (हमारे उदाहरण में, यह एक त्रिज्या है )।

सर्कल का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: धुरी के साथ समन्वय करें और धुरी के साथ समन्वय करें। और यह समन्वय संख्या क्या है? और सामान्य रूप से, वे प्रश्न में विषय से क्या संबंधित हैं? ऐसा करने के लिए, हमें माना जाने वाला आयताकार त्रिभुज याद रखना चाहिए। ऊपर दिखाया गया आंकड़ा, आप दो आयताकार त्रिकोण के रूप में देख सकते हैं। एक त्रिकोण पर विचार करें। यह आयताकार है, क्योंकि यह धुरी के लिए एक लंबवत है।

त्रिभुज के बराबर क्या है? ये सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह एक सर्कल का त्रिज्या है, और इसलिए। कोसाइन के लिए हमारे सूत्र में इस मान को प्रतिस्थापित करें। यही वह निकलता है:

और त्रिकोण के बराबर क्या है? ठीक है, बिल्कुल, ! हम इस सूत्र में त्रिज्या के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

तो, क्या आप कह सकते हैं कि कौन सा निर्देशांक सर्कल से संबंधित बिंदु है? खैर, किसी भी तरह से नहीं? और यदि आप इसे समझते हैं - तो क्या यह सिर्फ संख्या है? समन्वय क्या अनुरूप है? खैर, ज़ाहिर है, समन्वय! और क्या समन्वय के अनुरूप है? ठीक है, समन्वय! इस प्रकार, बिंदु।

और फिर फिर बराबर और? यह सही है, हम स्पर्शक और कुंडेंट की प्रासंगिक परिभाषाओं का उपयोग करते हैं और हम इसे प्राप्त करते हैं, लेकिन।

और क्या होगा तो कोण अधिक है? उदाहरण के लिए, इस तस्वीर के रूप में:

इस उदाहरण में क्या बदल गया है? चलो सौदा करते हैं। ऐसा करने के लिए, आयताकार त्रिकोण पर वापस जाएं। एक आयताकार त्रिभुज पर विचार करें: कोण (कोने के समीप)। कोने के लिए साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और घुटने का अर्थ क्या है? ठीक है, त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करें:

खैर, जैसा कि आप देखते हैं, कोने साइनस का मूल्य अभी भी समन्वय है; कोने का कोसाइन मूल्य - समन्वय; और संबंधित संबंधों के साथ स्पर्शरेखा और कोट्टनन के मूल्य। इस प्रकार, ये अनुपात त्रिज्या-वेक्टर के किसी भी मोड़ पर लागू होते हैं।

यह पहले से ही उल्लेख किया गया है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति धुरी की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक, हमने इस वेक्टर को घुमावदार घुमाया, और यदि आप इसे घड़ी की दिशा में बदल देते हैं तो क्या होगा? असाधारण कुछ भी नहीं, यह एक निश्चित राशि का भी कोण भी होगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, जब त्रिज्या-वेक्टर घुमावदार घूर्णन करते हैं, तो यह निकलता है सकारात्मक कोण, और घड़ी की दिशा में घूर्णन करते समय - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि त्रिज्या-वेक्टर परिधि का पूरा कारोबार या है। क्या आप त्रिज्या-वेक्टर को चालू या चालू कर सकते हैं? खैर, ज़ाहिर है, आप कर सकते हैं! पहले मामले में, इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण मोड़ बना देगा और या बंद हो जाएगा।

दूसरे मामले में, यह है कि, त्रिज्या-वेक्टर तीन पूर्ण मोड़ देगा और स्थिति में बंद हो जाएगा या।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण जो भिन्न होते हैं या (जहां - कोई पूर्णांक) त्रिज्या वेक्टर की एक ही स्थिति के अनुरूप होता है।

आंकड़े में नीचे कोण दिखाता है। वही छवि कोने, आदि से मेल खाती है। इस सूची को अनंतता जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोनों को एक सामान्य सूत्र द्वारा दर्ज किया जा सकता है या (जहां - कोई पूर्णांक)

अब, मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानना और एक सर्कल का उपयोग करके, मूल्यों का उत्तर देने का प्रयास करें:

आपकी मदद करने के लिए यहां एक एकल सर्कल है:

कठिनाइयाँ हैं? फिर चलो। तो, हम जानते हैं कि:

यहां से, हम एक निश्चित कोण माप के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक को परिभाषित करते हैं। खैर, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने को निर्देशांक के साथ बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

अस्तित्व में नहीं है;

इसके अलावा, एक ही तर्क का पालन करते हुए, पता लगाएं कि कोनों को क्रमशः निर्देशांक के साथ अंक के अनुरूप है। इसे जानना, उचित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करना आसान है। सबसे पहले, खुद को आज़माएं, और फिर उत्तरों के साथ जांचें।

उत्तर:

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

इस प्रकार, हम निम्नलिखित संकेत दे सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। एक एकल सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के पत्राचार को याद रखने के लिए पर्याप्त है:

लेकिन नीचे दी गई तालिका में कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, याद करने की जरूरत है:

डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाते हैं प्रासंगिक मूल्यों का बहुत सरल यादगार:

इस विधि का उपयोग करने के लिए, सभी तीन कोणों () उपायों के साथ-साथ कोण के स्पर्शक के मूल्य के लिए साइनस मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानना, तीरों के अनुसार स्थानांतरित की गई संपूर्ण कोसाइन तालिका की पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है, यह है:

यह जानना कि इसके लिए मूल्य बहाल किया जा सकता है। संख्यात्मक "" अनुरूप होगा, और denominator "" अनुरूप है। Cotangen मान आकृति में निर्दिष्ट तीरों के अनुसार स्थानांतरित कर रहे हैं। यदि आप तीर योजना को समझते हैं और याद करते हैं, तो यह तालिका से पूरे मूल्य को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

सर्कल पर बिंदु के निर्देशांक

और क्या सर्कल पर बिंदु (इसके निर्देशांक) को ढूंढना संभव है, सर्कल के केंद्र, इसके त्रिज्या और रोटेशन के कोण के समन्वय को जानना?

खैर, ज़ाहिर है, आप कर सकते हैं! चलो बाहर लाते हैं बिंदु निर्देशांक खोजने के लिए सामान्य सूत्र.

यहां, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक सर्कल है:

हमें दिया जाता है कि बिंदु सर्कल का केंद्र है। सर्कल का त्रिज्या बराबर है। बिंदुओं को चालू करके प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना आवश्यक है।

जैसा कि आकृति से देखा जा सकता है, बिंदु समन्वय सेगमेंट की लंबाई से मेल खाता है। सेगमेंट की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय से मेल खाती है, यानी, बराबर है। सेगमेंट की लंबाई कोसाइन परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

फिर हमारे पास समन्वय बिंदु के लिए है।

एक ही तर्क से, हम एक बिंदु के लिए समन्वय y का मूल्य पाते हैं। इस तरह,

तो, सामान्य रूप में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

सर्कल के केंद्र के निर्देशांक,

सर्कल का त्रिज्या

वेक्टर त्रिज्या कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इकाई परिधि के लिए विचार के तहत, इन सूत्रों में काफी कमी आई है, क्योंकि केंद्र के समन्वय शून्य के बराबर हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

खैर, इस सूत्र को स्वाद के लिए प्रयास करें, सर्कल पर अंक खोजने में सावधान रहें?

1. बिंदु को चालू करके प्राप्त एक सर्कल पर बिंदु निर्देशांक का पता लगाएं।

2. बिंदु को चालू करके प्राप्त एक सर्कल पर बिंदु के निर्देशांक का पता लगाएं।

3. बिंदु को चालू करके प्राप्त एक सर्कल पर बिंदु के निर्देशांक का पता लगाएं।

4. प्वाइंट सर्कल का केंद्र है। सर्कल का त्रिज्या बराबर है। प्रारंभिक त्रिज्या-वेक्टर को चालू करके प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना आवश्यक है।

5. प्वाइंट सर्कल का केंद्र है। सर्कल का त्रिज्या बराबर है। प्रारंभिक त्रिज्या-वेक्टर को चालू करके प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना आवश्यक है।

सर्कल पर बिंदु के निर्देशांक खोजने में समस्याएं थीं?

इन पांच उदाहरणों को साझा करें (या हल करने में अच्छी तरह से समझें) और आप उन्हें ढूंढना सीखेंगे!

1.

आप वह देख सकते हैं। और हम जानते हैं कि यह शुरुआती बिंदु के पूर्ण कारोबार से मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु चालू होने पर एक ही स्थिति में होगा। इसे जानकर, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाएंगे:

2. परिधि केंद्र के साथ सिंगल है, इसका मतलब है कि हम सरलीकृत सूत्रों का लाभ उठा सकते हैं:

आप वह देख सकते हैं। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु की दो पूर्ण गति के अनुरूप क्या है। इस प्रकार, वांछित बिंदु चालू होने पर एक ही स्थिति में होगा। इसे जानकर, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाएंगे:

साइनस और कोसाइन टेबल मान हैं। उनके मूल्यों को याद रखें और प्राप्त करें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

3. परिधि केंद्र के साथ सिंगल है, इसका मतलब है कि हम सरलीकृत सूत्रों का लाभ उठा सकते हैं:

आप वह देख सकते हैं। चित्र चित्र में विचार किए गए उदाहरण:

त्रिज्या कोण अक्ष के बराबर, बराबर और। यह जानकर कि कोसाइन और साइन के टैबलेट बराबर हैं, और यह निर्धारित करते हुए कि कोसाइन नकारात्मक मूल्य लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:

विवरण इस तरह के उदाहरणों को विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को लाने के लिए सूत्रों का अध्ययन करते समय निपटाया जाता है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

4.

वेक्टर के वेक्टर के रोटेशन का कोण (स्थिति से)

साइनस और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक एकल सर्कल और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल्य, सकारात्मक रूप से, और मूल्य, जो नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के तालिका मानों को जानना, हम इसे प्राप्त करते हैं:

हम अपने सूत्र में मूल्यों को प्रतिस्थापित करेंगे और निर्देशांक ढूंढेंगे:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप से सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहां

सर्कल के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

सर्कल का त्रिज्या (हालत से)

वेक्टर (शर्त से) के त्रिज्या के घूर्णन का कोण।

हम सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

और - तालिका मान। हम उन्हें सूत्र में याद करते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

सारांश और मूल सूत्र

कोण की साइन हाइपोटेन्यूज़ के लिए विपरीत (लंबी दूरी की दूरी) श्रेणी का अनुपात है।

कोसाइन कोण Hypotenuse के लिए आसन्न (बंद) श्रेणी का अनुपात है।

टेंगेंट कोण निकट (लंबी दूरी) श्रेणी का अनुपात आसन्न (बंद) के अनुपात है।

कॉटेंगेंट कोण निकट (रिश्तेदार) श्रेणी का विपरीत (लंबी दूरी) का अनुपात है।