Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții. În ce moment este derivata cea mai mare?

Lecția cu tema „Folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval” va examina probleme relativ simple de găsire a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat folosind derivata .

Subiect: derivat

Lecție: Utilizarea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

În această lecție, vom lua în considerare o problemă mai simplă și anume, se va da un interval, se va da o funcție continuă pe acest interval. Trebuie să aflăm cel mai mare și cea mai mică valoare dat funcții pe un dat între.

Nr. 32.1 (b). Dat: , . Să desenăm un grafic al funcției (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Graficul unei funcții.

Se știe că această funcție crește pe interval, ceea ce înseamnă că crește și pe interval. Aceasta înseamnă că, dacă găsiți valoarea unei funcții în puncte și , atunci limitele de modificare ale acestei funcții, vor fi cunoscute valorile sale cele mai mari și cele mai mici.

Când argumentul crește de la la 8, funcția crește de la la .

Răspuns: ; .

Nr. 32.2 (a) dat: Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un interval dat.

Să reprezentăm grafic această funcție (vezi Fig. 2).

Dacă argumentul se schimbă în intervalul , atunci funcția crește de la -2 la 2. Dacă argumentul crește de la , atunci funcția scade de la 2 la 0.

Orez. 2. Graficul funcției.

Să găsim derivata.

, . Dacă , atunci această valoare aparține și segmentului dat. Daca atunci. Este ușor de verificat dacă ia alte valori și punctele staționare corespunzătoare se încadrează în afara segmentului dat. Să comparăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate la care derivata este egală cu zero. Vom găsi

;

Răspuns: ;.

Deci, răspunsul a fost primit. Derivat în în acest caz,Îl poți folosi, nu îl poți folosi, poți aplica proprietățile funcției care au fost studiate mai devreme. Acest lucru nu se întâmplă întotdeauna; uneori, utilizarea unui derivat este singura metodă care vă permite să rezolvați astfel de probleme.

Dat: , . Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe un anumit segment.

Dacă în cazul precedent a fost posibil să se facă fără derivată - știam cum se comportă funcția, atunci în acest caz funcția este destul de complexă. Prin urmare, metodologia pe care am menționat-o în sarcina anterioară este pe deplin aplicabilă.

1. Să găsim derivata. Să găsim puncte critice, deci - puncte critice. Dintre acestea le selectăm pe cele care aparțin acestui segment: . Să comparăm valoarea funcției în punctele , , . Pentru asta vom găsi

Să ilustrăm rezultatul în figură (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Limitele modificărilor valorilor funcției

Vedem că dacă argumentul se schimbă de la 0 la 2, funcția se modifică în intervalul de la -3 la 4. Funcția nu se schimbă monoton: fie crește, fie scade.

Răspuns: ;.

Deci, folosind trei exemple, a fost demonstrată tehnica generală de găsire a valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un interval, în acest caz pe un segment.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții:

1. Aflați derivata funcției.

2. Găsiți punctele critice ale funcției și selectați acele puncte care se află pe un segment dat.

3. Găsiți valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate.

4. Comparați aceste valori și alegeți cel mai mare și cel mai mic.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției , .

Graficul acestei funcții a fost considerat anterior (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Graficul funcției.

Pe interval, intervalul de valori ale acestei funcții . Punct - punct maxim. Când - funcția crește, când - funcția scade. Din desen este clar că , - nu există.

Deci, în lecție ne-am uitat la problema celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții atunci când intervalul dat este un segment; a formulat un algoritm pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general ( nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și calcul pentru clasa a 10-a ( tutorial pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la instituțiile de învățământ superior (editat de M.I. Skanavi).- M.: Liceu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. Clasele 8-11: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice) - M.: Gutarda, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (manual pentru profesori).-M.: Educaţie, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portalul Științelor Naturii ().

Fă-o acasă

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebră și începuturi de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) editată de A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în cazurile în care trebuie să determinăm valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori într-un anumit interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi ca un segment [a; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest articol vă vom spune cum să calculați în mod explicit valoarea cea mai mare și cea mai mică funcţie dată cu o variabilă y=f(x) y = f (x) .

Definiții de bază

Să începem, ca întotdeauna, cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X, care pentru orice valoare x x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f (x) ≤ f (x) valabil 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0) , care pentru orice valoare x ∈ X, x ≠ x 0 face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f (x 0).

Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai simplu, putem spune asta: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare mare importanță pe un interval cunoscut la abscisă x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0.

Definiția 3

Punctele staționare sunt acele valori ale argumentului unei funcții la care derivata acesteia devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este punctul în care se află extremul funcției diferențiabile (adică, minimul sau maximul local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O funcție poate lua, de asemenea, cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită și derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect: în toate cazurile putem determina valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face acest lucru atunci când limitele unui interval dat coincid cu limitele zonei de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție dintr-un segment dat sau la infinit să ia valori infinit de mici sau infinit de mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste puncte vor deveni mai clare după ce vor fi reprezentate pe grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și cele mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6 ] și constatăm că valoarea maximă a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa la limita dreaptă a intervalului, iar cea minimă - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a unei anumite funcții.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6; 6).

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6), atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Cea mai mare valoare ne va fi necunoscută. Funcția ar putea lua valoarea maximă la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acesta este exact cazul prezentat în graficul 5.

Pe graficul 6 valoarea cea mai mică această funcție dobândește la limita dreaptă a intervalului (- 3; 2 ] și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7 vedem că funcția va avea m a x y într-un punct staționar având o abscisă egală cu 1. Funcția își va atinge valoarea minimă la limita intervalului c partea dreapta. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3.

Dacă luăm intervalul x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare pe ea. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este exact cazul prezentat în Figura 8.

În acest paragraf vom prezenta succesiunea de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit segment.

1. Mai întâi, să găsim domeniul de definire al funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcțiile al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcțiile de putere al căror exponent este un număr fracțional rațional.
3. În continuare, vom afla ce puncte staționare vor cădea în segmentul dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să selectați rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează în segmentul dat, atunci trecem la pasul următor.
4. Determinăm ce valori va lua funcția în anumite puncte staționare (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b.
5. 5. Avem un număr de valori ale funcției, din care acum trebuie să selectăm cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să le găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe segmente [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul de definiție al unei funcții date. În acest caz, ea va avea mult din toată lumea numere reale, cu excepția 0 . Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Ambele segmente specificate în condiție vor fi în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a fracțiilor:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata unei funcții va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta folosind ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [1; 4 ] .

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și în acest punct, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am constatat că cea mai mare valoare a funcției m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1, iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2.

Al doilea segment nu include un singur punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Aceasta înseamnă m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a studia această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, parcurgeți următorii pași secvențial.

1. În primul rând, trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. Ele apar de obicei pentru funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și pentru funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
3. Acum să determinăm care puncte staționare se vor încadra în intervalul dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul specificat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

• Dacă intervalul este de forma [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a; b ], atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x).
• Dacă intervalul are forma (a; b), atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Dacă intervalul este de forma [ a ; + ∞), atunci trebuie să calculăm valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
• Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
• Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
• Dacă - ∞; + ∞ , atunci considerăm limitele pe minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor și limitelor funcției obținute. Există multe opțiuni disponibile aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Mai jos vom analiza un exemplu tipic. Descrieri detaliate te va ajuta să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Exemplul 2

Condiție: funcție dată y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul de definire al funcției. Numitorul fracției conține un trinom pătratic, care nu trebuie să se transforme la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de definire al funcției căreia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există în întregul său domeniu de definire.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ], precum și limita la minus infinit:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1, înseamnă că m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a Putem doar concluziona că există o constrângere sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

Particularitatea celui de-al doilea interval este că nu există un singur punct staționar și nici o singură limită strictă în el. În consecință, nu vom putea calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. După ce am definit limita la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar un interval de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1. De asemenea, va trebui să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 pe partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. Tot ce știm , este prezenţa unei limite inferioare la - 4 .

Pentru intervalul (- 3 ; 2), luați rezultatele calculului anterior și calculați din nou cu ce este egală limita unilaterală când tindeți spre 2 pe partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Aceasta înseamnă că m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt limitate de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am obținut în cele două calcule anterioare, putem spune că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1, dar este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞) funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce valoarea funcției va fi egală la x = 4, aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt afișate prin linii punctate.

Asta este tot ce am vrut să vă spunem despre găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții. Secvențele de acțiuni pe care le-am oferit vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale funcția va scădea și la care va crește, după care puteți trage concluzii suplimentare. Astfel, puteți determina cu mai multă acuratețe cele mai mari și mai mici valori ale funcției și puteți justifica rezultatele obținute.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Uneori, în problemele B14 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real. În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monotonia. Definiție Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele: x 1

Definiție. Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru oricare dintre punctele x 1 și x 2 ale acestui segment se întâmplă următoarele: x 1 f (x 2). Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mic.

Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Exemple Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1, și monoton scade dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0: 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:" title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> !}

0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 9 Coordonatele vârfului parabolei Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile parabolei pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a title="(! LANG: Coordonatele vârfului unei parabole Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătratic de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile unei parabole pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a

Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum; Dar există un singur astfel de punct - vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași: Scrieți ecuația parabolei și găsiți vârful acesteia folosind formula: Aflați valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.

0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Sub rădăcină este funcţie pătratică Graficul acestei funcții de parabolă are ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Partea de sus a parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb „> 18 Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2) 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină se află o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Aflați cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Găsiți cea mai mică valoare a functiei: Rezolvare Sub logaritm se afla din nou o functie patratica Graficul parabolei are ramuri in sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) ) = 2/2 = 1"> title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Aflați cea mai mare valoare a funcției: Rezolvare: Exponentul conține o funcție pătratică Să o rescriem în formă normală: Evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = 1

Corolare din domeniul funcției Uneori pentru a rezolva problema B14 nu este suficient să găsim pur și simplu vârful parabolei. Valoarea dorită se poate afla la sfârșitul segmentului și deloc în punctul extremum. Dacă problema nu specifică deloc un segment, priviți zona valori acceptabile functia originala. Și anume:

0 2. Aritmetică Rădăcină pătrată există numai din numere negative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătratul aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero: 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: „> 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul a unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: "> 0 2. Aritmetică rădăcina pătrată există numai a numerelor nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. The argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătrat aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:"> !}

Soluție Sub rădăcină este din nou o funcție pătratică. Graficul său este parabolic, dar ramurile sunt îndreptate în jos, deoarece a = 1
Acum să găsim vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punctul x 0 = 1 aparține segmentului ODZ și acesta este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ: y(3) = y(1) = 0 Deci, am obținut numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare număr 2. Răspuns: 2

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine. Căutăm vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Vârful parabolei se potrivește cu ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Răspuns: -2

Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.

În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.

Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, functie exponentiala definit pentru toate numerele, nu doar x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în formă pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.

Coordonatele vârfurilor parabolei

Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:

1. Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.

De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:

Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:

Puncte extreme trinom pătraticși funcția complexă în care este inclusă coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.

Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:

1. Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
2. Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:

1. Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
2. Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și raționamentul său pot părea complicate. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.

Să ne uităm la problemele reale din examen de stat unificat de probă la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.

Sub rădăcină se află o funcție pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.

Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.

În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:

Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Corolare din domeniul unei funcții

Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc la punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Și anume:

Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Scriem intervalul de valori admisibile (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Acum să găsim vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar nu pot exista numere negative în logaritm, așa că scriem ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.

Căutăm vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Dragi prieteni! Grupul de sarcini legate de derivată include sarcini - condiția oferă un grafic al unei funcții, mai multe puncte pe acest grafic și întrebarea este:

În ce moment este derivata cea mai mare (mai mică)?

Să repetăm ​​pe scurt:

Derivata intr-un punct este egala cu pantă tangente care trece prinacest punct din grafic.

UCoeficientul global al tangentei, la rândul său, este egal cu tangentei unghiului de înclinare al acestei tangente.

*Acest lucru se referă la unghiul dintre tangentă și axa x.

1. Pe intervale de funcție crescătoare, derivata are valoare pozitivă.

2. La intervale de scădere a acesteia, derivata are o valoare negativă.

Luați în considerare următoarea schiță:

La punctele 1,2,4, derivata funcției are o valoare negativă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor descrescătoare.

La punctele 3,5,6, derivata funcției are o valoare pozitivă, deoarece aceste puncte aparțin intervalelor crescătoare.

După cum puteți vedea, totul este clar cu semnificația derivatei, adică nu este deloc dificil să determinați ce semn are (pozitiv sau negativ) la un anumit punct al graficului.

Mai mult, dacă construim mental tangente în aceste puncte, vom vedea că drepte care trec prin punctele 3, 5 și 6 formează unghiuri cu axa oX cuprinsă între 0 și 90 o, iar drepte care trec prin punctele 1, 2 și 4 formează. cu axa oX unghiurile variază de la 90 o până la 180 o.

*Relația este clară: tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții crescătoare se formează cu axa oX colțuri ascuțite, tangentele care trec prin puncte aparținând intervalelor de funcții descrescătoare formează unghiuri obtuze cu axa oX.

Acum întrebarea importantă!

Cum se modifică valoarea instrumentului derivat? La urma urmei, tangenta în puncte diferite Graficul unei funcții continue face unghiuri diferite în funcție de punctul de pe grafic prin care trece.

* Sau, vorbind într-un limbaj simplu, tangenta este situată parcă „orizontal” sau „vertical”. Uite:

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 0 la 90 o

Liniile drepte formează unghiuri cu axa oX variind de la 90° la 180°

Prin urmare, dacă aveți întrebări:

— în care dintre punctele date din grafic derivata are cea mai mică valoare?

- în care dintre punctele date ale graficului are derivata cea mai mare valoare?

apoi pentru a răspunde este necesar să înțelegem cum se modifică valoarea tangentei unghiului tangentei în intervalul de la 0 la 180 o.

* După cum sa menționat deja, valoarea derivatei funcției într-un punct este egală cu tangentei unghiului de înclinare al tangentei la axa oX.

Valoarea tangentei se modifică după cum urmează:

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 0° la 90°, valoarea tangentei, și deci derivata, se modifică în mod corespunzător de la 0 la +∞;

Când unghiul de înclinare al dreptei se modifică de la 90° la 180°, valoarea tangentei și, prin urmare, derivata, se modifică în consecință –∞ la 0.

Acest lucru poate fi văzut clar din graficul funcției tangente:

In termeni simpli:

La un unghi de înclinare tangentă de la 0° la 90°

Cu cât este mai aproape de 0 o, cu atât valoarea derivatei va fi mai mare aproape de zero (pe partea pozitivă).

Cu cât unghiul este mai aproape de 90°, cu atât valoarea derivatei va crește spre +∞.

Cu un unghi de înclinare tangentă de la 90° la 180°

Cu cât este mai aproape de 90 o, cu atât valoarea derivatei va scădea spre –∞.

Cu cât unghiul este mai aproape de 180°, cu atât valoarea derivatei va fi mai aproape de zero (pe partea negativă).

317543. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(X) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 2. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mare? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 1) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 2).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 1 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 2 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –2 și 2 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mare valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi valoare mai mare tangenta unghiului dintre linia b si aceasta axa. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei la punctul –2 va fi cea mai mare.

Vom răspunde urmatoarea intrebare: În ce punct –2, –1, 1 sau 2 este derivata cea mai negativă? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Derivata va avea o valoare negativă în punctele aparținând intervalelor descrescătoare, deci să luăm în considerare punctele –2 și 1. Să construim tangente care trec prin ele:

Vedem că unghiul obtuz dintre linia dreaptă b și axa oX este „mai aproape” de 180 O , prin urmare tangenta ei va fi mai mare decât tangenta unghiului format de dreapta a și axa oX.

Astfel, în punctul x = 1, valoarea derivatei va fi cea mai mare negativă.

317544. Figura prezintă graficul funcției y = f(X) iar punctele sunt marcate–2, –1, 1, 4. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Avem patru puncte: două dintre ele aparțin intervalelor la care funcția scade (sunt punctele –1 și 4) și două intervalelor la care funcția crește (sunt punctele –2 și 1).

Putem concluziona imediat că la punctele –1 și 4 derivata are o valoare negativă, iar la punctele –2 și 1 are o valoare pozitivă. Prin urmare, în acest caz, este necesar să se analizeze punctele –1 și 4 și să se determine care dintre ele va avea cea mai mică valoare. Să construim tangente care trec prin punctele indicate:

Valoarea tangentei unghiului dintre dreapta a și axa absciselor va fi mai mare decât valoarea tangentei unghiului dintre dreapta b și această axă. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei în punctul x = 4 va fi cea mai mică.

Raspuns: 4

Sper că nu v-am „supraîncărcat” cu cantitatea de scris. De fapt, totul este foarte simplu, trebuie doar să înțelegeți proprietățile derivatului, al acestuia sens geometricși cum se modifică tangenta unghiului de la 0 la 180 o.

1. Mai întâi, determină semnele derivatei în aceste puncte (+ sau -) și selectează punctele necesare (în funcție de întrebarea pusă).

2. Construiți tangente în aceste puncte.

3. Folosind graficul tangesoid, marcați schematic unghiurile și afișațiAlexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.