1 kvadratickej rovnice. Riešenie kvadratických rovníc: koreňový vzorec, príklady

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 alebo x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Keď ste sa naučili riešiť rovnice prvého stupňa, samozrejme, chcete pracovať s ostatnými, najmä s rovnicami druhého stupňa, ktoré sa inak nazývajú kvadratické.

Kvadratické rovnice- ide o rovnice typu ax² + bx + c = 0, kde premenná je x, čísla sú a, b, c, kde a sa nerovná nule.

Ak sa v kvadratickej rovnici jeden alebo druhý koeficient (c alebo b) rovná nule, potom bude táto rovnica klasifikovaná ako neúplná kvadratická rovnica.

Ako riešiť neúplnú kvadratickú rovnicu, ak žiaci doteraz vedeli riešiť len rovnice prvého stupňa? Zvážte neúplné kvadratické rovnice odlišné typy a jednoduché spôsoby ich riešenia.

a) Ak sa koeficient c rovná 0 a koeficient b sa nerovná nule, potom ax ² + bx + 0 = 0 sa redukuje na rovnicu v tvare ax ² + bx = 0.

Na vyriešenie takejto rovnice potrebujete poznať vzorec na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice, ktorý spočíva v faktorizácii jej ľavej strany a neskôr s použitím podmienky, že súčin sa rovná nule.

Napríklad 5x² – 20x = 0. Vynásobíme ľavú stranu rovnice, pričom vykonáme zvyčajnú matematickú operáciu: vyberieme spoločný faktor zo zátvoriek

5x (x - 4) = 0

Používame podmienku, že súčin sa rovná nule.

5 x = 0 alebo x - 4 = 0

Odpoveď bude: prvý koreň je 0; druhý koreň je 4.

b) Ak b = 0 a voľný člen sa nerovná nule, potom sa rovnica ax ² + 0x + c = 0 zredukuje na rovnicu v tvare ax ² + c = 0. Rovnice sa riešia dvoma spôsobmi : a) rozkladom polynómu rovnice na ľavej strane; b) pomocou aritmetických vlastností odmocnina. Takáto rovnica môže byť vyriešená pomocou jednej z metód, napríklad:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpoveď bude: prvý koreň je 5/2; druhý koreň sa rovná - 5/2.

c) Ak sa b rovná 0 a c sa rovná 0, potom ax ² + 0 + 0 = 0 sa redukuje na rovnicu v tvare ax ² = 0. V takejto rovnici sa x bude rovnať 0.

Ako vidíte, neúplné kvadratické rovnice môžu mať najviac dva korene.

Viac jednoduchým spôsobom. Ak to chcete urobiť, vložte z zo zátvoriek. Dostanete: z(аz + b) = 0. Faktory môžu byť napísané: z=0 a аz + b = 0, keďže výsledkom oboch môže byť nula. V zápise az + b = 0 posunieme druhého doprava s iným znamienkom. Odtiaľ dostaneme z1 = 0 a z2 = -b/a. Toto sú korene originálu.

Ak existuje neúplná rovnica v tvare аz² + с = 0, in v tomto prípade sa nachádzajú jednoduchým prevodom voľného termínu na pravá strana rovnice Zmeňte aj jeho znamenie. Výsledkom bude az² = -с. Vyjadrite z² = -c/a. Vezmite odmocninu a napíšte dve riešenia - kladnú a zápornú druhú odmocninu.

Poznámka

Ak sú v rovnici zlomkové koeficienty, vynásobte celú rovnicu príslušným faktorom, aby ste sa zlomkov zbavili.

Znalosť riešenia kvadratických rovníc je potrebná pre školákov aj študentov, niekedy to môže pomôcť aj dospelému v bežnom živote. Existuje niekoľko špecifických metód riešenia.

Riešenie kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica tvaru a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je požadovaná premenná, a, b, c sú číselné koeficienty. Pamätajte, že znamienko „+“ sa môže zmeniť na znamienko „-“.

Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné použiť Vietovu vetu alebo nájsť diskriminant. Najbežnejšou metódou je nájsť diskriminant, keďže pre niektoré hodnoty a, b, c nie je možné použiť Vietovu vetu.

Ak chcete nájsť diskriminant (D), musíte napísať vzorec D=b^2 - 4*a*c. Hodnota D môže byť väčšia, menšia alebo rovná nule. Ak je D väčšie alebo menšie ako nula, potom budú dva korene, ak D = 0, zostane iba jeden koreň, presnejšie môžeme povedať, že D má v tomto prípade dva ekvivalentné korene; Dosaďte do vzorca známe koeficienty a, b, c a vypočítajte hodnotu.

Potom, čo ste našli diskriminant, použite vzorce na nájdenie x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kde sqrt je funkcia, ktorá znamená odmocninu z dané číslo. Po výpočte týchto výrazov nájdete dva korene vašej rovnice, po ktorých sa rovnica považuje za vyriešenú.

Ak je D menšie ako nula, potom má stále korene. Táto sekcia sa v škole prakticky neštuduje. Vysokoškoláci by si mali uvedomiť, že pod odmocninou sa objavuje záporné číslo. Zbavia sa ho zvýraznením imaginárnej časti, čiže -1 pod odmocninou sa vždy rovná imaginárnemu prvku „i“, ktorý sa vynásobí odmocninou s rovnakým kladným číslom. Napríklad, ak D=sqrt(-20), po transformácii dostaneme D=sqrt(20)*i. Po tejto transformácii sa riešenie rovnice zredukuje na rovnaké nájdenie koreňov, ako je opísané vyššie.

Vietov teorém pozostáva z výberu hodnôt x(1) a x(2). Používajú sa dve rovnaké rovnice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. A veľmi dôležitý bod je znamienko pred koeficientom b, nezabudnite, že toto znamienko je opačné ako v rovnici. Na prvý pohľad sa zdá, že výpočet x(1) a x(2) je veľmi jednoduchý, no pri riešení sa stretnete s tým, že budete musieť vyberať čísla.

Prvky riešenia kvadratických rovníc

Podľa pravidiel matematiky sa niektoré dajú faktorizovať: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ak sa vám podarilo pretransformovať túto kvadratickú rovnicu podobným spôsobom pomocou matematických vzorcov, tak pokojne napíšte odpoveď. x(1) a x(2) sa budú rovnať susedným koeficientom v zátvorkách, ale s opačným znamienkom.

Tiež nezabudnite na neúplné kvadratické rovnice. Možno vám chýbajú niektoré výrazy, ak áno, potom sa všetky jeho koeficienty rovnajú nule. Ak pred x^2 alebo x nie je nič, potom sa koeficienty a a b rovnajú 1.

Táto téma sa môže na prvý pohľad zdať komplikovaná kvôli mnohým nie príliš jednoduchým vzorcom. Nielenže samotné kvadratické rovnice majú dlhé zápisy, ale korene sa nachádzajú aj prostredníctvom diskriminantu. Celkovo sa získajú tri nové vzorce. Nie je veľmi ľahké si zapamätať. To je možné len po častom riešení takýchto rovníc. Potom si všetky vzorce zapamätajú samy.

Všeobecný pohľad na kvadratickú rovnicu

Tu navrhujeme ich explicitné nahrávanie, kedy najviac vysoký stupeň napísané najskôr a potom v zostupnom poradí. Často sa vyskytujú situácie, keď sú podmienky nekonzistentné. Potom je lepšie rovnicu prepísať v zostupnom poradí podľa stupňa premennej.

Uveďme si nejaký zápis. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Ak prijmeme tieto zápisy, všetky kvadratické rovnice sa zredukujú na nasledujúci zápis.

Navyše koeficient a ≠ 0. Nech je tento vzorec označený ako číslo jedna.

Keď je daná rovnica, nie je jasné, koľko koreňov bude v odpovedi. Pretože vždy je možná jedna z troch možností:

• riešenie bude mať dva korene;
• odpoveď bude jedno číslo;
• rovnica nebude mať vôbec žiadne korene.

A kým sa rozhodnutie nedokončí, je ťažké pochopiť, ktorá možnosť sa objaví v konkrétnom prípade.

Typy záznamov kvadratických rovníc

V úlohách môžu byť rôzne položky. Nie vždy budú vyzerať ako všeobecný vzorec kvadratickej rovnice. Niekedy v ňom budú chýbať niektoré výrazy. To, čo bolo napísané vyššie, je úplná rovnica. Ak v ňom odstránite druhý alebo tretí výraz, získate niečo iné. Tieto záznamy sa nazývajú aj kvadratické rovnice, len neúplné.

Okrem toho môžu zmiznúť iba pojmy s koeficientmi „b“ a „c“. Číslo "a" sa za žiadnych okolností nemôže rovnať nule. Pretože v tomto prípade sa vzorec stáva lineárna rovnica. Vzorce pre neúplný tvar rovníc budú nasledovné:

Existujú teda iba dva typy, okrem úplných rovníc existujú aj neúplné kvadratické rovnice. Nech je prvý vzorec číslo dva a druhý - tri.

Diskriminácia a závislosť počtu koreňov od jej hodnoty

Toto číslo potrebujete poznať, aby ste mohli vypočítať korene rovnice. Vždy sa dá vypočítať, bez ohľadu na to, aký je vzorec kvadratickej rovnice. Aby ste mohli vypočítať diskriminant, musíte použiť rovnosť napísanú nižšie, ktorá bude mať číslo štyri.

Po nahradení hodnôt koeficientov do tohto vzorca môžete získať čísla pomocou rôzne znamenia. Ak je odpoveď áno, potom odpoveďou na rovnicu budú dva rôzne korene. Ak je číslo záporné, nebudú existovať žiadne korene kvadratickej rovnice. Ak sa rovná nule, odpoveď bude iba jedna.

Ako vyriešiť úplnú kvadratickú rovnicu?

V skutočnosti sa zvažovanie tejto otázky už začalo. Pretože najprv musíte nájsť diskriminanta. Keď sa zistí, že existujú korene kvadratickej rovnice a ich počet je známy, musíte pre premenné použiť vzorce. Ak existujú dva korene, musíte použiť nasledujúci vzorec.

Keďže obsahuje znamienko „±“, budú existovať dve hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Preto môže byť vzorec prepísaný inak.

Formula číslo päť. Z toho istého záznamu je zrejmé, že ak je diskriminant rovný nule, potom oba korene budú nadobúdať rovnaké hodnoty.

Ak riešenie kvadratických rovníc ešte nebolo vypracované, potom je lepšie zapísať hodnoty všetkých koeficientov pred použitím diskriminačných a premenných vzorcov. Neskôr tento moment nespôsobí ťažkosti. Hneď na začiatku je však zmätok.

Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu?

Všetko je tu oveľa jednoduchšie. Nie sú ani potrebné ďalšie vzorce. A tie, ktoré už boli napísané pre diskriminujúcich a neznámych, nebudú potrebné.

Najprv sa pozrime na neúplnú rovnicu číslo dva. V tejto rovnosti je potrebné neznámu veličinu vyňať zo zátvoriek a vyriešiť lineárnu rovnicu, ktorá zostane v zátvorkách. Odpoveď bude mať dva korene. Prvý sa nevyhnutne rovná nule, pretože existuje multiplikátor pozostávajúci zo samotnej premennej. Druhý získame riešením lineárnej rovnice.

Neúplnú rovnicu číslo tri riešime posunutím čísla z ľavej strany rovnosti doprava. Potom musíte deliť koeficientom, ktorý čelí neznámemu. Zostáva len extrahovať druhú odmocninu a nezabudnite ju zapísať dvakrát s opačnými znamienkami.

Nižšie je uvedených niekoľko krokov, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť všetky druhy rovnosti, ktoré sa menia na kvadratické rovnice. Pomôžu žiakovi vyhnúť sa chybám z nepozornosti. Tieto nedostatky môžu spôsobiť zlé známky pri štúdiu rozsiahlej témy „Kvadratické rovnice (8. ročník). Následne tieto akcie nebude potrebné vykonávať neustále. Pretože sa objaví stabilná zručnosť.

• Najprv musíte napísať rovnicu v štandardnom tvare. To znamená, že najprv výraz s najväčším stupňom premennej a potom - bez stupňa a posledný - len číslo.

• Ak sa pred koeficientom „a“ objaví mínus, začiatočníkovi pri štúdiu kvadratických rovníc to môže skomplikovať prácu. Je lepšie sa ho zbaviť. Na tento účel sa musí všetka rovnosť vynásobiť „-1“. To znamená, že všetky výrazy zmenia znamienko na opačné.

• Rovnakým spôsobom sa odporúča zbaviť sa zlomkov. Jednoducho vynásobte rovnicu príslušným faktorom tak, aby sa menovatelia vyrovnali.

Príklady

Je potrebné vyriešiť nasledujúce kvadratické rovnice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Prvá rovnica: x 2 − 7x = 0. Je neúplná, preto sa rieši tak, ako je popísané pre vzorec číslo dva.

Po vybratí zo zátvoriek sa ukáže: x (x - 7) = 0.

Prvý koreň nadobúda hodnotu: x 1 = 0. Druhý zistíme z lineárnej rovnice: x - 7 = 0. Je ľahké vidieť, že x 2 = 7.

Druhá rovnica: 5x 2 + 30 = 0. Opäť neúplná. Iba to je vyriešené tak, ako je opísané pre tretí vzorec.

Po presunutí 30 na pravú stranu rovnice: 5x 2 = 30. Teraz musíte deliť 5. Ukáže sa: x 2 = 6. Odpovede budú čísla: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Tretia rovnica: 15 − 2x − x 2 = 0. Tu a ďalej riešenie kvadratických rovníc začneme ich prepísaním do štandardného tvaru: − x 2 − 2x + 15 = 0. Teraz je čas použiť druhú rovnicu užitočné rady a všetko vynásobte mínusom jedna. Ukazuje sa x 2 + 2x - 15 = 0. Pomocou štvrtého vzorca musíte vypočítať diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Je to kladné číslo. Z vyššie uvedeného vyplýva, že rovnica má dva korene. Je potrebné ich vypočítať pomocou piateho vzorca. Ukazuje sa, že x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 = 3, x 2 = - 5.

Štvrtá rovnica x 2 + 8 + 3x = 0 sa transformuje na túto: x 2 + 3x + 8 = 0. Jej diskriminant sa rovná tejto hodnote: -23. Keďže toto číslo je záporné, odpoveďou na túto úlohu bude nasledujúca položka: „Neexistujú žiadne korene“.

Piata rovnica 12x + x 2 + 36 = 0 by sa mala prepísať takto: x 2 + 12x + 36 = 0. Po použití vzorca pre diskriminant sa získa číslo nula. To znamená, že bude mať jeden koreň, a to: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šiesta rovnica (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vyžaduje transformácie, ktoré spočívajú v tom, že musíte priniesť podobné pojmy, najskôr otvorte zátvorky. Na mieste prvého bude tento výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti sa objaví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po spočítaní podobných členov bude mať rovnica tvar: x 2 - x = 0. Stalo sa neúplným . O niečom podobnom sa už diskutovalo trochu vyššie. Koreňmi toho budú čísla 0 a 1.

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0.
Aplikujme na kvadratický trinom ax 2 + bx + c tie isté transformácie, aké sme vykonali v § 13, keď sme dokázali vetu, že graf funkcie y = ax 2 + bx + c je parabola.
Máme

Zvyčajne sa výraz b 2 - 4ac označuje písmenom D a nazýva sa diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 (alebo diskriminant kvadratická trojčlenka ax + bx + c).

Teda

To znamená, že kvadratickú rovnicu ax 2 + nich + c = O je možné prepísať do tvaru

Akákoľvek kvadratická rovnica môže byť transformovaná do tvaru (1), čo je vhodné, ako teraz uvidíme, na určenie počtu koreňov kvadratickej rovnice a nájdenie týchto koreňov.

Dôkaz. Ak D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время ľavá strana rovnica (1) má nezáporné hodnoty pre akékoľvek hodnoty x. To znamená, že neexistuje jediná hodnota x, ktorá by vyhovovala rovnici (1), a preto rovnica (1) nemá korene.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Riešenie. Tu a = 2, b = 4, c = 7,
D = b2-4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Keďže D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dôkaz. Ak D = 0, potom rovnica (1) nadobúda tvar

je jediným koreňom rovnice.

Poznámka 1. Pamätáte si, že x = - je úsečka vrcholu paraboly, ktorá slúži ako graf funkcie y = ax 2 + ich + c? Prečo toto
hodnota sa ukázala byť jediným koreňom kvadratickej rovnice ax 2 + nich + c - 0? „Rakva“ sa otvorí jednoducho: ak D je 0, potom, ako sme už zistili,

Graf rovnakej funkcie je parabola s vrcholom v bode (pozri napr. obr. 98). To znamená, že úsečka vrcholu paraboly a jediný koreň kvadratickej rovnice pre D = 0 sú rovnaké číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Riešenie. Tu a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Pretože D = 0, potom podľa vety 2 má táto kvadratická rovnica jeden koreň. Tento koreň sa nachádza podľa vzorca

Odpoveď: 2.5.

Poznámka 2. Všimnite si, že 4x 2 - 20x +25 je dokonalý štvorec: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Ak by sme si to hneď všimli, vyriešili by sme rovnicu takto: (2x - 5) 2 = 0, čo znamená 2x - 5 = 0, z čoho dostaneme x = 2,5. Vo všeobecnosti, ak D = 0, potom

ax 2 + bx + c = - to sme si všimli skôr v poznámke 1.
Ak D > 0, potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva korene, ktoré nájdeme podľa vzorcov

Dôkaz. Prepíšme kvadratickú rovnicu ax 2 + b x + c = 0 do tvaru (1)

Položme
Podľa podmienky D > 0, čo znamená, že pravá strana rovnice je kladné číslo. Potom z rovnice (2) dostaneme to

Daná kvadratická rovnica má teda dva korene:

Poznámka 3. V matematike sa málokedy stane, že zavedený pojem nemá, obrazne povedané, každodenné pozadie. Vezmime si niečo nové
pojem - diskriminačný. Pamätajte na slovo „diskriminácia“. Čo to znamená? Znamená to poníženie jedných a povýšenie druhých, t.j. iný postoj
k rôznym ľuďom. Obidve slová (diskriminačný a diskriminačný) pochádzajú z latinského diskriminans - „diskriminačný“. Diskriminant rozlišuje kvadratické rovnice podľa počtu koreňov.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Riešenie. Tu a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b2-4ac = 82-4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Pretože D > 0, potom podľa vety 3 má táto kvadratická rovnica dva korene. Tieto korene nájdeme podľa vzorcov (3)

V skutočnosti sme vyvinuli nasledujúce pravidlo:

Pravidlo na riešenie rovnice
ax 2 + bx + c = 0

Toto pravidlo je univerzálne, platí pre úplné aj neúplné kvadratické rovnice. Neúplné kvadratické rovnice sa však zvyčajne neriešia pomocou tohto pravidla, je vhodnejšie ich riešiť ako v predchádzajúcom odseku.

Príklad 4. Riešte rovnice:

a) x 2 + 3 x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x2-x + 3,5 = 0.

Riešenie a) Tu a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b2-4ac = Z2-4. 1. (-5) = 9 + 20 = 29.

Pretože D > 0, táto kvadratická rovnica má dva korene. Tieto korene nájdeme pomocou vzorcov (3)

B) Ako ukazuje skúsenosť, je vhodnejšie zaoberať sa kvadratickými rovnicami, v ktorých je vodiaci koeficient kladný. Preto najprv vynásobíme obe strany rovnice -1, dostaneme

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tu a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Pretože D = 0, táto kvadratická rovnica má jeden koreň. Tento koreň nájdeme podľa vzorca x = -. znamená,

Táto rovnica by sa dala vyriešiť inak: od r
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, potom dostaneme rovnicu (Зх - I) 2 = 0, odkiaľ zistíme Зх - 1 = 0, t.j. x = .

c) Tu a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Keďže D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematici sú praktickí, hospodárni ľudia. Prečo, hovoria, použiť také dlhé pravidlo na riešenie kvadratickej rovnice, je lepšie okamžite napísať všeobecný vzorec:

Ak sa ukáže, že diskriminant D = b 2 - 4ac je záporné číslo, potom napísaný vzorec nedáva zmysel (pod odmocninou je záporné číslo), čo znamená, že neexistujú žiadne odmocniny. Ak sa ukáže, že diskriminant sa rovná nule, dostaneme

To znamená jeden koreň (tiež hovoria, že kvadratická rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene:

Nakoniec, ak sa ukáže, že b 2 - 4ac > 0, potom dostaneme dva korene x 1 a x 2, ktoré sa vypočítajú pomocou rovnakých vzorcov (3), ako je uvedené vyššie.

Samotné číslo je v tomto prípade kladné (ako každá druhá odmocnina kladného čísla) a dvojité znamienko pred ním znamená, že v jednom prípade (pri nájdení x 1) sa toto kladné číslo pripočíta k číslu - b, a v inom prípade (pri zistení x 2) ide o kladné číslo
čítať z čísla - b.

Máte slobodu voľby. Chcete podrobne vyriešiť kvadratickú rovnicu pomocou pravidla formulovaného vyššie; Ak chcete, hneď si zapíšte vzorec (4) a použite ho na vyvodenie potrebných záverov.

Príklad 5. Riešte rovnice:

Riešenie, a) Samozrejme, môžete použiť vzorce (4) alebo (3), berúc do úvahy, že v tomto prípade Ale prečo robiť veci so zlomkami, keď je jednoduchšie a hlavne príjemnejšie zaobchádzať s celými číslami? Zbavme sa menovateľov. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť obe strany rovnice 12, to znamená najnižším spoločným menovateľom zlomkov, ktoré slúžia ako koeficienty rovnice. Dostaneme

preto 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Teraz použijeme vzorec (4)

B) Opäť máme rovnicu so zlomkovými koeficientmi: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Vynásobme obe strany rovnice 100, potom dostaneme rovnicu s celočíselnými koeficientmi:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Ďalej použijeme vzorec (4):

Jednoduchý výpočet ukazuje, že diskriminant (radikálny výraz) je záporné číslo. To znamená, že rovnica nemá korene.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu
Riešenie. Tu je, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, vhodnejšie konať podľa pravidla a nie podľa skráteného vzorca (4).

Máme a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Keďže D > 0, kvadratická rovnica má dva korene, ktoré budeme hľadať pomocou vzorcov (3)

Príklad 7. Vyriešte rovnicu
x 2 - (2p + 1)x + (p2 + p-2) = 0

Riešenie. Táto kvadratická rovnica sa líši od všetkých doteraz uvažovaných kvadratických rovníc tým, že koeficienty nie sú konkrétne čísla, ale doslovné výrazy. Takéto rovnice sa nazývajú rovnice s písmenovými koeficientmi alebo rovnice s parametrami. V tomto prípade je parameter (písmeno) p zahrnutý do druhého koeficientu a voľného člena rovnice.
Poďme nájsť diskriminant:

Príklad 8. Vyriešte rovnicu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Riešenie. Toto je tiež rovnica s parametrom p, ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu ju nemožno okamžite vyriešiť pomocou vzorcov (4) alebo (3). Faktom je, že uvedené vzorce sú použiteľné pre kvadratické rovnice, ale o danej rovnici to zatiaľ povedať nemôžeme. Naozaj, čo ak p = 0? Potom
rovnica bude mať tvar 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.j. x - 1 = 0, z čoho dostaneme x = 1. Teraz, ak to viete s istotou , môžete použiť vzorce pre korene kvadratického rovnica:

Pokračujeme v štúdiu témy " riešenie rovníc" S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a pokračujeme v zoznamovaní kvadratické rovnice.

Najprv sa pozrieme na to, čo je to kvadratická rovnica a ako sa v nej píše všeobecný pohľad, a dáme súvisiace definície. Potom pomocou príkladov podrobne preskúmame, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať konverzáciu o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj príbuzných definícií. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to spôsobené tým, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Uvedená definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen .

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x −3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient sa rovná −2 a voľný člen sa rovná −3. Všimnite si, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, potom krátka forma napísanie kvadratickej rovnice v tvare 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami ich písania. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient y sa rovná −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 daná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica nedotknuté.

Podľa túto definíciu, kvadratické rovnice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 atď. – daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch strán vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Potrebujeme len vydeliť obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, čo je rovnaké, (3x2):3+(12 x):3−7:3=0 a potom (3: 3) x 2 + (12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Takto sme získali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a≠0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola kvadratická, pretože keď a = 0, stáva sa vlastne lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Takéto mená neboli dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich diskusií.

Ak je koeficient b nula, potom má kvadratická rovnica tvar a·x 2 +0·x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a·x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a·x 2 +b·x+0=0, potom ju možno prepísať ako a·x 2 +b·x=0. A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri typy neúplných kvadratických rovníc:

• a·x 2 =0, tomu zodpovedajú koeficienty b=0 a c=0;
• ax2+c=0, keď b=0;
• a ax2+bx=0, keď c=0.

Pozrime sa v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje tým, že pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 =0 má teda jeden koreň x=0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 =0, jej jediným koreňom je x=0, preto má pôvodná rovnica jeden koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade možno napísať takto:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že presun člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 +c=0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
• a obe strany vydelíme a, dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6, potom ), nie je nula , keďže podľa podmienky c≠0. Pozrime sa na prípady samostatne.

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si spomenieme na , potom je koreň rovnice okamžite zrejmý, pretože . Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice, skutočne, . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme korene práve oznámenej rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2, odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že dosadením jej koreňov do rovnice namiesto x sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie správnych numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 −x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z výslednej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0, čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 =−x 1. Došli sme teda k rozporu, keďže na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0. Po presunutí voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k . Keďže pravá strana má záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7 = 0 nemá korene.

Vyriešme ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Presunieme deviatku na pravú stranu: −x 2 =−9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0. A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a·x+b=0, z ktorých druhá je lineárna a má koreň x=−b/a.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 +b·x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie na konkrétnom príklade.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vybratím x zo zátvoriek dostaneme rovnicu . Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a vydelíme zmiešané číslo o spoločný zlomok, nájdeme. Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe je možné riešenia takýchto rovníc stručne napísať:

odpoveď:

x=0, .

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si to zapísať vzorec pre korene kvadratickej rovnice: , Kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako bol odvodený koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obe strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je nasledujúca kvadratická rovnica.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
• V tejto fáze je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
• A tiež transformujme výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme skúmali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
• if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
• if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4·a 2 je vždy kladný, teda znamienkom výrazu b 2 −4·a·c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označený listom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aké je ich číslo - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici a prepíšme ju pomocou diskriminačného zápisu: . A vyvodíme závery:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D>0, potom rovnica má dva korene alebo, ktoré možno prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a zmenšení zlomkov na spoločný menovateľ dostávame .

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú ako , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4·a·c.

S ich pomocou, s pozitívnym diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď je diskriminant rovný nule, obidva vzorce dávajú rovnakú hodnotu odmocniny, zodpovedajúcu jediné riešenie kvadratická rovnica. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii druhej odmocniny záporné číslo, ktorá nás zavedie za hranice a školské osnovy. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus na riešenie kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec na výpočet ich hodnôt. Ale to skôr súvisí s hľadaním zložitých koreňov.

Avšak v školský kurz zvyčajne algebra hovoríme o nie o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv nájsť diskriminant, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme dospieť k záveru, že rovnica nemá skutočné korene), a až potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 potrebujete:

• pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4·a·c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu si všimneme, že ak je diskriminant rovný nule, môžete použiť aj vzorec, ktorý dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvažujme riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Poďme začať.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2·x−6=0.

Riešenie.

V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1, b=2 a c=−6. Podľa algoritmu musíte najprv vypočítať diskriminant, dosadíme naznačené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Poďme ich nájsť pomocou koreňového vzorca, dostaneme, tu môžete zjednodušiť výsledné výrazy tým, že urobíte posunutie násobiteľa za koreňový znak nasleduje redukcia frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5, b=6 a c=2. Tieto hodnoty dosadíme do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak potrebujete uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, zložité korene sú: .

Ešte raz si všimnime, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenachádzajú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D=b 2 −4·a·c vám umožňuje získať vzorec kompaktnejšieho tvaru, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pre x (alebo jednoducho s a koeficient, ktorý má napríklad tvar 2·n alebo 14·ln5=2·7·ln5). Poďme ju dostať von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x+c=0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Označme výraz n 2 −a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar , kde D 1 = n 2 −a·c.

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2·n potrebujete

• Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
• Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Uvažujme o riešení príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tu a=5, n=−3 a c=−32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou príslušného koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako začnete počítať korene kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x−6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typicky sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch strán určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade zvyčajne delíme obe strany rovnice o absolútne hodnoty jeho koeficienty. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4·x−18=0.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že takmer vždy sa zbavia mínusu pri najvyššom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch strán −1. Napríklad zvyčajne sa prejde od kvadratickej rovnice −2 x 2 −3 x+7=0 k riešeniu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej koeficientov. Na základe koreňového vzorca môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety sú tvaru a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pri pohľade na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov sa rovná 7/3 a súčin koreňov sa rovná 22. /3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších spojení medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice môžete vyjadriť prostredníctvom jej koeficientov: .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.