Pomer susednej nohy k prepone. Trigonometria. Ochutnajme tieto vzorce pomocou nácviku hľadania bodov na kruhu

V živote musíme často čeliť matematickým problémom: v škole, na univerzite a potom pomáhať dieťaťu s domácimi úlohami. Ľudia v určitých profesiách budú denne vystavení matematike. Preto je užitočné si zapamätať alebo pripomenúť matematické pravidlá. V tomto článku analyzujeme jednu z nich: nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka.

Čo je pravý trojuholník

Na začiatok si pripomeňme, čo je pravý trojuholník. Pravouhlý trojuholník je geometrický útvar z troch úsečiek, ktoré spájajú body, ktoré neležia na jednej priamke, a jeden z rohov tohto útvaru má 90 stupňov. Boky tvoriace pravý uhol sa nazývajú nohy a strana ležiaca oproti pravému uhlu sa nazýva prepona.

Nájdite nohu pravého trojuholníka

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich zvážiť podrobnejšie.

Pytagorova veta na nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka

Ak poznáme preponu a nohu, potom môžeme zistiť dĺžku neznámej nohy pomocou Pytagorovej vety. Znie to takto: „Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.“ Vzorec: c² \u003d a² + b², kde c je prepona, a a b sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a² \u003d c²-b².

Príklad. Prepona je 5 cm a stehno 3 cm. Transformujeme vzorec: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Potom sa rozhodneme: a² \u003d 5² – 3²; a² \u003d 25-9; a2 \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (cm).

Trigonometrické vzťahy na nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka

Môžete tiež nájsť neznámu nohu, ak je známa akákoľvek iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti, ako nájsť nohu pomocou trigonometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens, kotangens. Nasledujúca tabuľka nám pomôže vyriešiť problémy. Zvážme tieto možnosti.

Pomocou sínusu nájdite nohu pravého trojuholníka

Sínus uhla (sin) je pomer opačnej nohy k prepone. Vzorec: sin \u003d a / c, kde a je noha oproti danému uhlu a c je prepona. Ďalej transformujeme vzorec a dostaneme: a \u003d sin * c.

Príklad. Prepona je 10 cm, uhol A je 30 stupňov. Podľa tabuľky vypočítame sínus uhla A, je 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca vyriešime: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínusu

Kosínus uhla (cos) je pomer susednej nohy k prepone. Vzorec: cos \u003d b / c, kde b je noha susediaca s daným uhlom a c je prepona. Transformujme vzorec a získajme: b \u003d cos * c.

Príklad. Uhol A je 60 stupňov, prepona je 10 cm.Podľa tabuľky vypočítame kosínus uhla A, je 1/2. Potom sa rozhodneme: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou dotyčnice

Tangenta uhla (tg) je pomer opačného ramena k susednému ramenu. Vzorec: tg \u003d a / b, kde a je noha oproti rohu a b je susedná noha. Transformujeme vzorec a dostaneme: a \u003d tg * b.

Príklad. Uhol A sa rovná 45 stupňom, prepona sa rovná 10 cm. Podľa tabuľky vypočítame dotyčnicu uhla A, rovná sa Solve: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (cm).

Nájdite nohu pravého trojuholníka pomocou kotangensu

Kotangens uhla (ctg) je pomer susednej nohy s opačnou nohou. Vzorec: ctg \u003d b / a, kde b je noha susediaca s rohom a opačná noha. Inými slovami, kotangens je „obrátená tangenta“. Získame: b \u003d ctg * a.

Príklad. Uhol A je 30 stupňov, opačná noha má 5 cm. Podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítame: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (cm).

Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to tak ťažké, hlavnou vecou je zapamätať si vzorce.

Kapitola I. Riešenie pravouhlých trojuholníkov

§ 3 ods. 37. Základné vzťahy a úlohy

V trigonometrii sa uvažuje o problémoch, pri ktorých je potrebné vypočítať určité prvky trojuholníka pomocou dostatočného počtu číselných hodnôt jeho daných prvkov. Tieto úlohy sa bežne označujú ako úlohy v serveri rozhodnutie trojuholník.

Nech ABC je pravouhlý trojuholník, C - pravý uhol, a a b - nohy oproti ostrým rohom A a B, od - prepona (obr. 3);

potom máme:

Kosínus ostrého uhla je pomer susednej nohy k prepone:

cos A \u003d b / c , cos B \u003d a / c (1)

Sínus ostrého uhla je pomer opačnej nohy k prepone:

hriech A \u003d a / c , hriech B \u003d b / c (2)

Tangenta ostrého uhla je pomer opačnej nohy k susednej:

tg A \u003d a / b tg B \u003d b / a (3)

Kotangens ostrého uhla je pomer susednej nohy s opačnou:

ctg A \u003d b / a , ctg B \u003d a / b (4)

Súčet ostrých uhlov je 90 °.

Základné úlohy pre pravouhlé trojuholníky.

Problém I. Vzhľadom na preponu a jednu z ostrých rohov vypočítajte ďalšie prvky.

Rozhodnutie.Nech sa dá od a A. Uhol B \u003d 90 ° - A je tiež známy; nohy sa nachádzajú zo vzorcov (1) a (2).

a \u003d c hriech A, b \u003d c cos A.

Úloha II . Vzhľadom na nohu a jeden z ostrých rohov vypočítajte ďalšie prvky.

Rozhodnutie. Nech sa dá a a A. Uhol B \u003d 90 ° - A je známy; z vzorcov (3) a (2) nájdeme:

b = a tg B (\u003d a ctg A), od = a / hriech A

Cieľ III. S ohľadom na nohu a preponu vypočítajte zvyšok prvkov.

Rozhodnutie. Nech sa dá a a od (navyše a< с ). Z rovností (2) nájdeme uhol A:

hriech A \u003d a / c a A \u003d oblúkový hriech a / c ,

a nakoniec noha b:

b = od cos А (\u003d od hriech B).

Cieľ IV. Vzhľadom na nohy a a b nájdite ďalšie prvky.

Rozhodnutie. Z rovností (3) nájdeme ostrý uhol, napríklad A:

tg А \u003d a / b , A \u003d oblúk tg a / b ,

uhol B \u003d 90 ° - A,

prepona: c = a / sin A (\u003d b / hriech B; \u003d a / cos B)

Ďalej uvádzame príklad riešenia pravouhlého trojuholníka pomocou logaritmických tabuliek *.

* Výpočet prvkov pravouhlých trojuholníkov pomocou prírodných tabuliek je známy z priebehu geometrie stupňa VIII.

Pri výpočte pomocou logaritmických tabuliek by ste si mali zapísať príslušné vzorce, logaritmovať ich, nahradiť číselné údaje, nájsť z tabuliek požadované logaritmy známych prvkov (alebo ich trigonometrických funkcií), vypočítať logaritmy požadovaných prvkov (alebo ich trigonometrických funkcií) ) a v tabuľkách vyhľadajte požadované prvky.

Príklad.Daná noha a \u003d 166,1 a prepona od \u003d 187,3; vypočítať ostré uhly, inú nohu a plochu.

Rozhodnutie. Máme:

hriech A \u003d a / c ; lg sin A \u003d lg a - lg c;

A ≈ 62 ° 30 ", B ≈ 90 ° - 62 ° 30" ≈ 27 ° 30 ".

Vypočítame nohu b:

b \u003d atg B; lg b\u003d lg b+ lg tg B;

Plochu trojuholníka je možné vypočítať podľa vzorca

S \u003d 1/2 ab = 0,5 a 2 tg B;

Pre kontrolu vypočítame uhol A na pravidle posuvu:

A \u003d oblúkový hriech a / c \u003d oblúkový hriech 166/187 ≈ 62 °.

Poznámka.Katetus b možno vypočítať Pytagorovou vetou pomocou tabuliek s druhou mocninou a s odmocninou (tabuľky III a IV):

b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Rozpor s predtým získanou hodnotou b \u003d 86,48 sa vysvetľuje chybami tabuliek, v ktorých sú uvedené približné hodnoty funkcií. Výsledok 86,54 je presnejší.

Pomer opačnej nohy a prepočítanej kosti sa nazýva sínus ostrý uhol správny trojuholník.

\\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (a) (c)

Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer blízkej nohy k prepone sa volá kosínus ostrého uhla správny trojuholník.

\\ cos \\ alpha \u003d \\ frac (b) (c)

Ostrá dotyčnica pravouhlého trojuholníka

Pomer opačnej nohy k susednej nohe sa nazýva dotyčnica ostrého uhla správny trojuholník.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (a) (b)

Cotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej nohy k opačnej nohe sa volá kotangens ostrého uhla správny trojuholník.

ctg \\ alpha \u003d \\ frac (b) (a)

Sínus ľubovoľného uhla

Vyvolá sa súradnica bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \\ alfa sínus ľubovoľného uhla rotácia \\ alfa.

\\ sin \\ alpha \u003d y

Kosínus ľubovoľného uhla

Volá sa úsečka bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \\ alfa kosínus ľubovoľného uhla rotácia \\ alfa.

\\ cos \\ alpha \u003d x

Ľubovoľná tangenta

Pomer sínusu ľubovoľného uhla rotácie \\ alfa a jeho kosínusu sa volá dotyčnica ľubovoľného uhla rotácia \\ alfa.

tg \\ alpha \u003d y_ (A)

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

Kotangens ľubovoľného uhla

Pomer kosínu ľubovoľného uhla rotácie \\ alfa a jeho sínusu sa volá kotangens ľubovoľného uhla rotácia \\ alfa.

ctg \\ alpha \u003d x_ (A)

ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

Príklad zistenia ľubovoľného uhla

Ak \\ alpha je nejaký uhol AOM, kde M je bod jednotkovej kružnice, potom

\\ sin \\ alpha \u003d y_ (M), \\ cos \\ alpha \u003d x_ (M), tg \\ alpha \u003d \\ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

Napríklad ak \\ uhol AOM \u003d - \\ frac (\\ pi) (4), potom: súradnica bodu M je - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2), úsečka je \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) a preto

\\ sin \\ left (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ right) \u003d - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

\\ cos \\ left (\\ frac (\\ pi) (4) \\ right) \u003d \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \\ doľava (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ doprava) \u003d - 1.

Tabuľka sínusových hodnôt kosínusov dotyčníc kotangens

Hodnoty hlavných spoločných uhlov sú uvedené v tabuľke:

	0 ^ (\\ circ) (0)	30 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ frac (\\ pi) (6) \\ vpravo)	45 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ frac (\\ pi) (4) \\ vpravo)	60 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ frac (\\ pi) (3) \\ vpravo)	90 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ frac (\\ pi) (2) \\ vpravo)	180 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ pi \\ vpravo)	270 ^ (\\ circ) \\ vľavo (\\ frac (3 \\ pi) (2) \\ vpravo)	360 ^ (\\ circ) \\ vľavo (2 \\ pi \\ right)
\\ sin \\ alpha	0	\\ frac12	\\ frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ frac (\\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\\ cos \\ alpha	1	\\ frac (\\ sqrt 3) (2)	\\ frac (\\ sqrt 2) (2)	\\ frac12	0	−1	0	1
tg \\ alfa	0	\\ frac (\\ sqrt 3) (3)	1	\\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \\ alpha	—	\\ sqrt3	1	\\ frac (\\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Sínus ostrý uhol α pravého trojuholníka je pomer opak noha k prepone.
Je označený ako: sin α.

Kosínus ostrý uhol α pravého trojuholníka je pomer susednej nohy s preponou.
Je označený ako: cos α.

Tečna ostrý uhol α je pomer opačnej nohy k susednej nohe.
Je označený takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer susednej nohy k opačnej.
Je označený takto: ctg α.

Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens uhla závisia iba od veľkosti uhla.

Pravidlá:

Základné trigonometrické identity v pravom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a susedí s nohou a ... Bočné od - prepona. β Je druhý ostrý uhol).

b sin α \u003d - c	sin 2 α + cos 2 α \u003d 1
a cos α \u003d - c	1 1 + tg 2 α \u003d - cos 2 α
b tg α \u003d - a	1 1 + ctg 2 α \u003d - hriech 2 α
a ctg α \u003d - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
hrešiť α tg α \u003d - cos α

So zväčšujúcim sa ostrým uhlomhrešiť α azvýšenie tg α acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

sin (90 ° - α) \u003d cos α

cos (90 ° - α) \u003d sin α

Upresnenie príkladu:

Nechajte v pravouhlom trojuholníku ABC
AB \u003d 6,
BC \u003d 3,
uhol A \u003d 30 °.

Zistite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Rozhodnutie.

1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Všetko je jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90 °, potom uhol B \u003d 60 °:

B \u003d 90 ° - 30 ° \u003d 60 °.

2) Vypočítajte hriech A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru opačného ramena k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

BC 3 1
hriech A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susedného ramena k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme BC rozdeliť na AB - teda vykonať rovnaké kroky ako pri výpočte sínusu uhla A:

BC 3 1
cos B \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

Výsledkom je:
sin A \u003d cos B \u003d 1/2.

sin 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínu iného ostrého uhla - a naopak. Toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d sin α

Poďme sa tým znova ubezpečiť:

1) Nech α \u003d 60 °. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) \u003d cos 60º.
sin 30º \u003d cos 60º.

2) Nech α \u003d 30º. Dosadením hodnoty α do kosínového vzorca dostaneme:
cos (90 ° - 30 °) \u003d hriech 30 °.
cos 60 ° \u003d hriech 30 °.

(Viac informácií o trigonometrii nájdete v časti Algebra.)

Ako vidíte, táto kružnica je zabudovaná v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží na začiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je zafixovaná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).

Každý bod kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi a súradnici pozdĺž osi. A aké sú to čísla súradníc? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s posudzovanou témou? Aby ste to dosiahli, musíte si spomenúť na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie vidíte dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.

Čo sa rovná trojuholníku? To je v poriadku. Okrem toho vieme, že - je polomer jednotkovej kružnice, a preto. Nahraďte túto hodnotu do nášho kosínového vzorca. Stáva sa toto:

A čo sa rovná trojuholníku? No samozrejme! Nahraďte hodnotu polomeru do tohto vzorca a získajte:

Môžete nám teda povedať, aké súradnice bodu patriaceho do kruhu? No nijako? A ak si to myslíte a sú to iba čísla? Akej súradnici to zodpovedá? Samozrejme, súradnica! A akej súradnici to zodpovedá? Máte pravdu, koordinujte sa! Takže pointa.

A čo sa potom rovná a? Máte pravdu, použijeme zodpovedajúce definície tangensu a kotangensu a získajme to, a.

Čo ak je uhol väčší? Napríklad tu, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Ak to chcete urobiť, opäť sa obráťte na pravouhlý trojuholník. Zvážte pravouhlý trojuholník: roh (ako priľahlý k rohu). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu pre uhol? Máte pravdu, riadime sa príslušnými definíciami trigonometrických funkcií:

Ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu súradnice uhla; a hodnoty dotyčnice a kotangensu k zodpovedajúcim pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre každú rotáciu vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo keby sme ho otočili v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, ukáže sa aj uhol určitej veľkosti, ale iba bude negatívny. Keď teda otočíte vektor polomeru proti smeru hodinových ručičiek, dostanete kladné uhly, a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívny.

Vieme teda, že celá revolúcia vektora polomeru v kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru o alebo o? Samozrejme môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu úplnú otáčku a zastaví sa na pozícii resp.

V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru urobí tri úplné otáčky a zastaví sa v polohe resp.

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme usudzovať, že uhly, ktoré sa líšia alebo (kde je celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Na nasledujúcom obrázku je uvedený uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Zoznam pokračuje ďalej a ďalej. Všetky tieto uhly je možné zapísať pomocou všeobecného vzorca alebo (kde je celé číslo)

Teraz, keď poznáte definície základných trigonometrických funkcií a pomocou jednotkovej kružnice, pokúsite sa odpovedať, čomu sa hodnoty rovnajú:

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Máte ťažkosti? Tak poďme na to. Vieme teda, že:

Odtiaľto určíme súradnice bodov zodpovedajúce určitým mieram uhla. Začnime v poriadku: roh zodpovedá bodu so súradnicami, preto:

Neexistuje;

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty trigonometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najskôr to vyskúšajte sami a potom skontrolujte odpovede.

Odpovede:

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné pamätať si všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať korešpondenciu súradníc bodov na jednotkovej kružnici a hodnôt trigonometrických funkcií:

Ale hodnoty trigonometrických funkcií uhlov v a, uvedené v nasledujúcej tabuľke, treba pamätať:

Nebojte sa, teraz si ukážeme jeden z príkladov celkom jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v. Ak poznáte tieto hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku ako celok - kosínové hodnoty sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

S týmto vedomím môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „“ sa bude zhodovať a menovateľ „“ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangensu sa prenášajú podľa šípok zobrazených na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, potom vám bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.

Bodové súradnice na kruhu

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kruhu, jeho polomer a uhol natočenia?

No samozrejme, že môžete! Prinesieme všeobecný vzorec na vyhľadanie súradníc bodu.

Napríklad tu máme taký kruh:

Je nám dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.

Ako je zrejmé z obrázku, dĺžka segmentu zodpovedá súradnici bodu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená rovná sa. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

Potom pre bod máme súradnicu.

S rovnakou logikou nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. Preto

Všeobecne súradnice bodov teda určujú vzorce:

Súradnice stredu kruhu,

Polomer kruhu,

Uhol natočenia polomeru vektora.

Ako vidíte, pre uvažovanú jednotkovú kružnicu sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer rovný jednej:

Skúsme tieto vzorce pre chuť, precvičenie hľadania bodov na kruhu?

1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získané otočením bodu o.

2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získané otočením bodu o.

3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získané otočením bodu o.

4. Bod je stredom kružnice. Polomer kruhu je. Je potrebné nájsť súradnice bodu získaného otočením vektora počiatočného polomeru o.

5. Bod je stredom kružnice. Polomer kruhu je. Je potrebné nájsť súradnice bodu získaného otočením vektora počiatočného polomeru o.

Máte ťažkosti s nájdením súradníc bodu na kružnici?

Vyriešte týchto päť príkladov (alebo dobre pochopte riešenie) a dozviete sa, ako ich nájsť!

1.

To vidíš. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri odbočení na. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

2. Kružnica je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

To vidíš. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri odbočení na. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pamätáme si ich význam a dostávame:

Požadovaný bod má teda súradnice.

3. Kružnica je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

To vidíš. Ukážme uvažovaný príklad na obrázku:

Polomer vytvára uhly s osou rovnou a. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínu a sínusu sú rovnaké, a po určení, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus je kladný, máme:

Podrobnejšie sa takéto príklady analyzujú pri štúdiu vzorcov pre casting trigonometrických funkcií v téme.

Požadovaný bod má teda súradnice.

4.

Uhol rotácie polomeru vektora (podľa podmienky)

Na určenie zodpovedajúcich znakov sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:

Ako vidíte, hodnota, teda kladná, a hodnota, teda záporná. Ak poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich trigonometrických funkcií, dostaneme:

Dosadme získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:

Požadovaný bod má teda súradnice.

5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnej podobe, kde

Súradnice stredu kruhu (v našom príklade

Polomer kruhu (podľa podmienky)

Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky,).

Nahraďte všetky hodnoty vo vzorci a získate:

a - tabuľkové hodnoty. Pamätáme si ich a nahradíme ich vzorcom:

Požadovaný bod má teda súradnice.

ZHRNUTIE A ZÁKLADNÉ FORMULÁRE

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

Kosínus uhla je pomer susednej (blízkej) nohy k prepone.

Tangenta uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej) nohe.

Kotangens uhla je pomer susednej (blízkej) nohy s opačnou (vzdialenou) nohou.