Faktorji zapiši razširitev števil. Faktoring - spletni kalkulator

Kaj pomeni faktorizirati? To pomeni iskanje števil, katerih produkt je enak prvotnemu številu.

Če želite razumeti, kaj pomeni faktorizirati, razmislite o primeru.

Primer faktoriziranja števila

Razčlenite število 8.

Število 8 lahko predstavimo kot produkt 2 s 4:

Predstavitev 8 kot zmnožek 2 * 4 in s tem faktorizacija.

Upoštevajte, da to ni edina faktorizacija števila 8.

Konec koncev je 4 faktorizirano na naslednji način:

Od tu lahko predstavljamo 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Preverimo naš odgovor. Ugotovimo, čemu je faktorizacija enaka:

Se pravi, prejeli smo originalno številko, odgovor je pravilen.

Faktoriziraj število 24

Kako faktorizirati število 24?

Število imenujemo praštevilo, če je deljivo le z 1 in samim seboj.

Število 8 lahko predstavimo kot produkt 3 z 8:

Tukaj je število 24 faktorizirano. Toda v nalogi piše "razložiti število 24 na faktorje", tj. potrebujemo glavne dejavnike. In v naši razširitvi je 3 prafaktor, 8 pa ni prafaktor.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo razne informacije vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije za izboljšanje storitev, ki jih nudimo, in za zagotavljanje priporočil glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.

Ta članek daje odgovore na vprašanje o faktoriziranju števila v liste. Razmislite splošna ideja o razgradnji s primeri. Analizirajmo kanonično obliko dekompozicije in njen algoritem. Vse alternativne metode bomo upoštevali z uporabo znakov deljivosti in tabele množenja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj pomeni razložiti število na prafaktorje?

Oglejmo si koncept prafaktorjev. Znano je, da je vsak praštevilo praštevilo. V zmnožku oblike 2 7 7 23 imamo 4 prafaktorje v obliki 2 , 7 , 7 , 23 .

Faktoring vključuje njegovo predstavitev kot produkte praštevil. Če morate razstaviti število 30, potem dobimo 2, 3, 5. Vnos bo v obliki 30 = 2 3 5 . Možno je, da se množitelji ponavljajo. Število, kot je 144, ima 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Vse številke niso nagnjene k razgradnji. Števila, ki so večja od 1 in so cela števila, je mogoče faktorizirati. Praštevila so deljiva le z 1 in sama s seboj, ko jih razgradimo, zato je teh števil nemogoče predstaviti kot produkt.

Ko se z nanaša na cela števila, je predstavljen kot produkt a in b, kjer je z deljen z a in b. Sestavljena števila se razčlenijo na prafaktorje z uporabo osnovnega aritmetičnega izreka. Če je število večje od 1, potem je njegova faktorizacija p 1 , p 2 , … , p n ima obliko a = p 1 , p 2 , … , p n . Razgradnja se predvideva v eni sami različici.

Kanonična razgradnja števila na prafaktorje

Med razgradnjo se dejavniki lahko ponavljajo. Zapisani so strnjeno z diplomo. Če imamo pri razgradnji števila a faktor p 1 , ki se pojavi s 1-krat in tako naprej p n - s n-krat. Tako razgradnja dobi obliko a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Ta vnos se imenuje kanonična razgradnja števila na prafaktorje.

Pri razgradnji števila 609840 dobimo, da je 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , njegova kanonična oblika bo 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . S kanonično razširitvijo lahko najdete vse delilnike števila in njihovo število.

Če želite pravilno faktorizirati, morate razumeti praštevila in sestavljena števila. Bistvo je, da dobimo zaporedno število deliteljev oblike p 1 , p 2 , … , p n številke a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, to omogoča pridobitev a = p 1 a 1, kjer je a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, kjer je a 2 = a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , kje a n = a n - 1: p n. Po prejemu a n = 1, nato pa enakost a = p 1 p 2 … p n dobimo zahtevano razgradnjo števila a na prafaktorje. obvestilo, to p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Da bi našli najmanjše skupni delilniki morate uporabiti tabelo praštevil. To naredimo na primeru iskanja najmanjšega pradelitelja števila z. Ko vzamemo praštevila 2, 3, 5, 11 itd. in z njimi delimo število z. Ker z ni praštevilo, ne pozabite, da najmanjši praštevilo ne bo večji od z. Vidimo lahko, da za z ni deliteljev, potem je jasno, da je z praštevilo.

Primer 1

Razmislite o primeru številke 87. Ko ga delimo z 2, dobimo 87: 2 \u003d 43 z ostankom 1. Iz tega sledi, da 2 ne more biti delitelj, deljenje mora biti izvedeno v celoti. Če ga delimo s 3, dobimo 87: 3 = 29. Od tod sklep - 3 je najmanjši pradelilnik števila 87.

Pri razgradnji na praštevila je treba uporabiti tabelo praštevil, kjer je a. Pri razgradnji 95 je treba uporabiti približno 10 praštevil, pri razgradnji 846653 pa približno 1000.

Razmislite o algoritmu prafaktorizacije:

• iskanje najmanjšega faktorja z deliteljem p 1 števila a s formulo a 1 \u003d a: p 1, ko je a 1 \u003d 1, potem je a praštevilo in je vključeno v faktorizacijo, če ni enako 1, potem a \u003d p 1 a 1 in sledite do spodnje točke;
• iskanje pradelitelja p 2 od 1 z zaporednim naštevanjem praštevil z uporabo a 2 = a 1: p 2 , ko je 2 = 1 , potem ima razširitev obliko a = p 1 p 2 , ko je 2 \u003d 1, potem a \u003d p 1 p 2 a 2 , in naredimo prehod na naslednji korak;
• ponavljanje praštevil in iskanje praštevila str 3številke a 2 po formuli a 3 \u003d a 2: p 3, ko je a 3 \u003d 1 , potem dobimo, da je a = p 1 p 2 p 3 , če ni enako 1, je a = p 1 p 2 p 3 a 3 in nadaljujte z naslednjim korakom;
• poiščite pradelilnik p nštevilke a n - 1 z naštevanjem praštevil z p n - 1, in a n = a n - 1: p n, kjer je a n = 1, je korak končen, posledično dobimo a = p 1 p 2 … p n .

Rezultat algoritma je zapisan v obliki tabele z dekomponiranimi faktorji z navpično črto zaporedno v stolpcu. Razmislite o spodnji sliki.

Dobljeni algoritem lahko uporabimo z razgradnjo števil na prafaktorje.

Pri faktoriziranju na prafaktorje je treba upoštevati osnovni algoritem.

Primer 2

Razstavite število 78 na prafaktorje.

rešitev

Da bi našli najmanjši pradelilnik, je treba vse ponoviti praštevila na voljo v 78. To je 78: 2 = 39. Deljenje brez ostanka, torej je to prvi pradelilnik, ki ga označimo s p 1. Dobimo, da je a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Prišli smo do enakosti oblike a = p 1 a 1 , kjer je 78 = 2 39 . Potem je 1 = 39, kar pomeni, da bi morali iti na naslednji korak.

Osredotočimo se na iskanje pradelitelja p2številke a 1 = 39. Razvrstiti morate praštevila, to je 39: 2 = 19 (ostalo 1). Ker ima deljenje ostanek, 2 ni delitelj. Ko izberemo številko 3, dobimo, da je 39: 3 = 13. To pomeni, da je p 2 = 3 najmanjši pradelilnik števila 39 z a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Dobimo enakost oblike a = p 1 p 2 a 2 v obliki 78 = 2 3 13 . Imamo, da a 2 = 13 ni enako 1, potem bi morali iti naprej.

Najmanjši pradelilnik števila a 2 = 13 najdemo s preštevanjem števil, začenši s 3 . Dobimo, da je 13: 3 = 4 (ost. 1). To kaže, da 13 ni deljivo s 5, 7, 11, ker je 13: 5 = 2 (ost. 3), 13: 7 = 1 (ost. 6) in 13: 11 = 1 (ost. 2). Vidimo lahko, da je 13 praštevilo. Formula je videti takole: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Dobili smo, da je 3 = 1, kar pomeni konec algoritma. Zdaj so faktorji zapisani kot 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

odgovor: 78 = 2 3 13 .

Primer 3

Razstavite število 83.006 na prafaktorje.

rešitev

Prvi korak vključuje faktoring p 1 = 2 in a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, kjer je 83 006 = 2 41 503 .

Drugi korak predvideva, da 2, 3 in 5 niso pradelilniki za 1 = 41503, vendar je 7 pradelilnik, ker je 41503: 7 = 5929. Dobimo, da je p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Očitno je 83 006 = 2 7 5 929 .

Iskanje najmanjšega pradelitelja p 4 števila a 3 = 847 je 7 . Vidimo, da je a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, torej 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Za iskanje pradelitelja števila a 4 = 121 uporabimo število 11, to je p 5 = 11. Nato dobimo izraz oblike a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, in 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Za številko a 5 = 11število p6 = 11 je najmanjši pradelilnik. Zato je 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Potem je 6 = 1. To označuje konec algoritma. Množitelji bodo zapisani kot 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Kanonični zapis odgovora bo v obliki 83 006 = 2 7 3 11 2 .

odgovor: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Primer 4

Faktoriziraj število 897 924 289.

rešitev

Če želite najti prvi praštevila, ponovite praštevila, začenši z 2. Konec naštevanja pade na številko 937 . Potem je p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 in 897 924 289 = 937 958 297.

Drugi korak algoritma je naštevanje manjših praštevil. Se pravi, začnemo s številko 937. Število 967 lahko štejemo za praštevilo, ker je pradelilnik števila a 1 = 958 297. Od tu dobimo, da je p 2 = 967, nato pa 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 in 897 924 289 = 937 967 991.

Tretji korak pravi, da je 991 praštevilo, saj nima praštevila, ki bi bilo manjše ali enako 991. Približna vrednost radikalnega izraza je 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Iz tega je razvidno, da je p 3 \u003d 991 in a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Dobimo, da razpad števila 897 924 289 na prafaktorje dobimo kot 897 924 289 \u003d 937 967 991.

odgovor: 897 924 289 = 937 967 991 .

Uporaba testov deljivosti za prafaktorizacijo

Če želite razstaviti število na prafaktorje, morate slediti algoritmu. Pri majhnih številkah je dovoljeno uporabljati tabelo množenja in znake za deljivost. Poglejmo si to s primeri.

Primer 5

Če je treba faktorizirati 10, je v tabeli prikazano: 2 5 \u003d 10. Dobljeni števili 2 in 5 sta praštevili, torej prafaktorji števila 10.

Primer 6

Če je treba razstaviti število 48, je v tabeli prikazano: 48 \u003d 6 8. Toda 6 in 8 nista prafaktorja, saj ju je mogoče razstaviti tudi kot 6 = 2 3 in 8 = 2 4 . Potem dobimo popolno razgradnjo od tukaj kot 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Kanonični zapis bo imel obliko 48 = 2 4 3 .

Primer 7

Pri razgradnji števila 3400 lahko uporabite znake deljivosti. IN ta primer pomembna sta znaka deljivosti z 10 in s 100. Od tu dobimo 3400 \u003d 34 100, pri čemer lahko 100 delimo z 10, to je zapisano kot 100 \u003d 10 10, kar pomeni, da je 3400 \u003d 34 10 10. Na podlagi znaka deljivosti dobimo, da je 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Vsi dejavniki so preprosti. Kanonična razširitev ima obliko 3400 = 2 3 5 2 17.

Pri iskanju prafaktorjev je treba uporabiti znake deljivosti in množilno tabelo. Če predstavljate število 75 kot zmnožek faktorjev, potem morate upoštevati pravilo deljivosti s 5. Dobimo, da je 75 = 5 15 in 15 = 3 5 . To pomeni, da je želena razgradnja primer oblike produkta 75 = 5 · 3 · 5 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Faktoriziranje velikega števila ni lahka naloga. Večini ljudi je težko razstaviti štiri- ali petmestna števila. Za poenostavitev postopka napišite številko nad oba stolpca.

• Razložimo število 6552 na faktorje.

Dano število delite z najmanjšim pradeliteljem (razen 1), ki dano število deli brez ostanka. Ta delitelj zapiši v levi stolpec, rezultat deljenja pa v desni stolpec. Kot je omenjeno zgoraj, je soda števila enostavno faktorizirati, ker bo njihov najmanjši prafaktor vedno 2 (liha števila imajo različne najmanjše prafaktorje).

• V našem primeru je 6552 sodo število, torej je 2 njegov najmanjši prafaktor. 6552 ÷ 2 = 3276. Zapišite 2 v levi stolpec in 3276 v desni stolpec.

Nato število v desnem stolpcu delite z najmanjšim pradeliteljem (razen 1), ki dano število deli brez ostanka. Ta delitelj zapišite v levi stolpec, rezultat deljenja pa v desni stolpec (nadaljujte s tem postopkom, dokler v desnem stolpcu ne ostane 1).

• V našem primeru: 3276 ÷ 2 = 1638. V levi stolpec zapišite 2 in v desni stolpec 1638. Naprej: 1638 ÷ 2 = 819. V levi stolpec zapišite 2 in v desni stolpec 819.

Imate liho število; za taka števila je težje najti najmanjši pradelilnik.Če dobite liho število, ga poskusite deliti z najmanjšimi lihimi praštevili: 3, 5, 7, 11.

• V našem primeru ste dobili liho število 819. Delite ga s 3: 819 ÷ 3 = 273. Zapišite 3 v levi stolpec in 273 v desni stolpec.
• Pri izbiri deliteljev poskusite vsa praštevila do kvadratni koren od največjega delitelja, ki ste ga našli. Če noben delitelj ne deli števila enakomerno, potem ste najverjetneje dobili praštevilo in lahko prenehate računati.

Nadaljujte s postopkom deljenja števil na praštevila, dokler v desnem stolpcu ne ostane 1 (če v desnem stolpcu dobite praštevilo, ga delite samo s seboj, da dobite 1).

• Nadaljujmo z našim primerom:
  • Deli s 3: 273 ÷ 3 = 91. Ni ostanka. Napišite 3 v levi stolpec in 91 v desni stolpec.
  • Deli s 3. 91 je deljivo s 3 z ostankom, zato deli s 5. 91 je deljivo s 5 z ostankom, torej deli s 7: 91 ÷ 7 = 13. Ostanka ni. V levi stolpec zapišite 7, v desni pa 13.
  • Delite s 7. 13 je deljivo s 7 z ostankom, torej delite z 11. 13 je deljivo z 11 z ostankom, torej delite s 13: 13 ÷ 13 = 1. Ostanka ni. V levi stolpec zapišite 13, v desni pa 1. Vaši izračuni so končani.

Levi stolpec prikazuje prafaktorje prvotnega števila. Z drugimi besedami, ko pomnožite vsa števila iz levega stolpca, boste dobili število, ki je napisano nad stolpci. Če se isti faktor večkrat pojavi na seznamu faktorjev, ga označite s eksponenti. V našem primeru se 2 na seznamu množiteljev pojavi 4-krat; te faktorje zapišite kot 2 4 , ne kot 2*2*2*2.

• V našem primeru je 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Število 6552 ste faktorizirali na prafaktorje (vrstni red faktorjev v tem zapisu ni pomemben).

Vsako sestavljeno število je mogoče izraziti kot produkt njegovih pradeliteljev:

28 = 2 2 7

Pravi deli dobljenih enačb se imenujejo prafaktorizacijaštevilki 15 in 28.

Razložiti dano sestavljeno število na prafaktorje pomeni to število predstaviti kot produkt njegovih pradeliteljev.

Razgradnja dano številko na prafaktorje se izvede na naslednji način:

1. Najprej morate iz tabele praštevil izbrati najmanjše praštevilo, s katerim je to sestavljeno število deljivo brez ostanka, in izvesti deljenje.
2. Nato morate znova izbrati najmanjše praštevilo, s katerim bo že dobljeni količnik razdeljen brez ostanka.
3. Izvedba drugega dejanja se ponavlja, dokler ne dobimo enote v količniku.

Kot primer razložimo število 940 na faktorje. Poiščite najmanjše praštevilo, ki deli 940. To število je 2:

Zdaj izberemo najmanjše praštevilo, s katerim je deljivo 470. To število je spet 2:

Najmanjše praštevilo, s katerim je 235 deljivo, je 5:

Število 47 je praštevilo, zato je najmanjše praštevilo, s katerim je deljivo 47, samo število:

Tako dobimo število 940, razčlenjeno na prafaktorje:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Če je razgradnja števila na prafaktorje povzročila več enakih faktorjev, jih lahko za kratkost zapišemo kot stopnjo:

940 = 2 2 5 47

Najprimerneje je razčlenitev na prafaktorje zapisati takole: najprej zapišemo dano sestavljeno število in desno od njega narišemo navpično črto:

Desno od črte vpišemo najmanjši enostavni delitelj, s katerim je dano sestavljeno število deljivo:

Izvedemo deljenje in dobljeni količnik zapišemo pod dividendo:

Z zasebnim se ukvarjamo enako kot z danim sestavljeno število, torej izberemo najmanjše praštevilo, s katerim je deljivo brez ostanka in izvedemo deljenje. In tako ponavljamo, dokler v količniku ne dobimo enote:

Upoštevajte, da je včasih precej težko izvesti dekompozicijo števila na prafaktorje, saj lahko med dekompozicijo naletimo na veliko število, ki ga je na poti težko ugotoviti, ali je prafaktor ali sestavljeno. In če je sestavljen, potem ni vedno enostavno najti njegovega najmanjšega pradelitelja.

Poskusimo na primer razstaviti število 5106 na prafaktorje:

Ko dosežemo količnik 851, je težko takoj določiti njegov najmanjši delitelj. Obrnemo se na tabelo praštevil. Če je v njem število, ki nas spravlja v težave, potem je deljivo samo s seboj in z ena. Števila 851 ni v tabeli praštevil, kar pomeni, da je sestavljeno. Ostaja le, da ga razdelimo na praštevila z metodo zaporednega štetja: 3, 7, 11, 13, ... in tako naprej, dokler ne najdemo ustreznega praštevila. Z metodo štetja ugotovimo, da je 851 deljivo s številom 23.