Zanimivi načini iskanja vozlišč in vozlišč. Vozlišče in Nock števil - največji skupni delilec in najmanjši skupni večkratnik več števil

Številni delitelji

Razmislite o naslednjem problemu: poiščite delilec števila 140. Očitno ima 140 več kot en delitelj. V takih primerih naj bi bila težava veliko rešitve. Najdimo jih vse. Najprej razširimo to število na glavne faktorje:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Zdaj lahko enostavno zapišemo vse delilnike. Začnimo s prvimi delitelji, to je tistimi, ki so prisotni v zgornji dekompoziciji:

Nato izpišemo tiste, ki jih dobimo z parnim množenjem osnovnih deliteljev:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Nato - tiste, ki vsebujejo tri glavne delilnike:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Na koncu ne pozabimo na razčlenjeno enoto in samo število:

Vsi delilniki, ki smo jih našli, oblikujejo veliko delilniki 140, kar je zapisano s kodrastimi oklepaji:

Nabor delitelja 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Za lažje zaznavanje smo tukaj zapisali delilnike ( elementov sklopa) v naraščajočem vrstnem redu, vendar na splošno to ni obvezno. Poleg tega uvedemo okrajšavo zapisa. Namesto "Množica deliteljev števila 140" bomo napisali "D (140)". tako,

Na enak način lahko najdete niz deliteljev za katero koli drugo naravno število. Na primer iz razgradnje

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dobimo:

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Množico vseh deliteljev je treba razlikovati od množice prostih deliteljev, ki sta za števila 140 in 105 enaka:

PD (140) = (2, 5, 7).

PD (105) = (3, 5, 7).

Posebej je treba poudariti, da sta pri razgradnji 140 na prafaktorje dvakrat prisotna dva, medtem ko je v množici DP (140) samo ena. Množica PD (140) je v bistvu vsi odgovori na problem: "Poišči primarni faktor 140". Jasno je, da se isti odgovor ne sme ponoviti več kot enkrat.

Zmanjševanje frakcij. Največji skupni delilec

Upoštevajte ulomek

Vemo, da lahko ta ulomek prekličemo s številom, ki je tako delilec števca (105) kot delilec imenovalca (140). Oglejmo si množici D (105) in D (140) in zapišimo njune skupne elemente.

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D (140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Skupni elementi množic D (105) in D (140) =

Zadnjo enakost lahko zapišemo krajše, in sicer:

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35).

Tukaj poseben znak "∩" ("vreča z luknjo navzdol") samo označuje, da je treba od dveh nizov, napisanih na nasprotnih straneh nje, izbrati le skupne elemente. Zapis "D (105) ∩ D (140)" se glasi " prečkanje določa Te od 105 in Te od 140".

[Upoštevajte, da lahko z nizi izvajate različne binarne operacije, skoraj tako kot s številkami. Druga pogosta binarna operacija je unija, kar je označeno z ikono "∪" ("vreča z luknjo navzgor"). Združenje dveh množic vključuje vse elemente tako ene kot druge množice:

PD (105) = (3, 5, 7);

PD (140) = (2, 5, 7);

PD (105) ∪ PD (140) = (2, 3, 5, 7). ]

Tako smo ugotovili, da je ulomek

lahko prekliče katera koli od številk, ki pripadajo nizu

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35)

in ga ni mogoče zmanjšati za nobeno drugo naravno število. Tukaj so vse možne okrajšave (razen nezanimive okrajšave z eno):

Očitno je najbolj praktično zmanjšati ulomek za čim večje število. V tem primeru je to število 35, ki naj bi bilo največji skupni dejavnik (Gcd) številki 105 in 140. To je zapisano kot

GCD (105, 140) = 35.

Vendar v praksi, če imamo dve številki in moramo najti njihov največji skupni delilec, nam sploh ni treba graditi nobenih množic. Dovolj je, da obe številki preprosto faktorizirate v prafaktorje in poudarite tiste od teh dejavnikov, ki so skupni obema razširitvama, na primer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Če pomnožimo podčrtane številke (v kateri koli od razširitev), dobimo:

GCD (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Seveda je možen primer, ko je podčrtanih dejavnikov več kot dva:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Iz tega je jasno, da

GCD (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Posebej velja omeniti situacijo, ko skupnih dejavnikov sploh ni in ni kaj poudariti, na primer:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

V tem primeru,

GCD (42, 55) = 1.

Klicani sta dve naravni števili, pri katerih je GCD enak eni obojestransko preprosto... Če iz takšnih številk sestavite ulomek, npr.

potem je tak ulomek nezmanjšljiv.

Na splošno lahko pravilo za zmanjševanje ulomkov zapišemo takole:

		a/ Gcd ( a, b)
		b/ Gcd ( a, b)

Tukaj se domneva, da a in b so naravna števila in cel ulomek je pozitiven. Če zdaj obema stranema te enakosti dodelimo znak minus, dobimo ustrezno pravilo za negativne ulomke.

Seštevanje in odštevanje ulomkov. Najmanj pogosti večkratnik

Naj bo potrebno izračunati vsoto dveh ulomkov:

Že vemo, kako so imenovalci razstavljeni na prafaktorje:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iz te razširitve takoj sledi, da je za približevanje ulomkov skupnemu imenovalcu dovolj, da števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z 2 ∙ 2 (zmnožek nenapetih prafaktorjev drugega imenovalca), in števec in imenovalec drugega ulomka - za 3 ("proizvod" nenaglašeni prafaktorji prvega imenovalca). Posledično postaneta imenovalca obeh ulomkov enaka številu, ki ga lahko predstavimo na naslednji način:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Zlahka je videti, da sta oba začetna imenovalca (oba 105 in 140) delitelja 420, 420 pa je večkratnik obeh imenovalcev - in ne samo večkratnik, je najmanjši skupni večkratnik (NOC) številki 105 in 140. Zapiše se takole:

LCM (105, 140) = 420.

Če podrobneje pogledamo razgradnjo števil 105 in 140, vidimo, da

105 ∙ 140 = LCM (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Prav tako za poljubna naravna števila b in d:

b ∙ d= LCM ( b, d) ∙ GCD ( b, d).

Zdaj pa zaključimo s seštevanjem naših ulomkov:


3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Opomba.Če želite rešiti nekatere težave, morate vedeti, kakšen je kvadrat števila. Kvadratno število a poklical številko a pomnoženo s sabo, tj a∙a... (Kot zlahka vidite, je enak površini kvadrata s stranico a).

Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik sta ključna aritmetična koncepta, ki olajšata manipulacijo z ulomki. LCM in se najpogosteje uporabljajo za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.

Osnovni koncepti

Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, ki deli X brez ostanka. Na primer, delilec 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Celoštevilčni večkratnik X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15, 6 pa 12.

Za kateri koli par števil lahko najdemo njihove skupne delilce in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni mnogokratnik 18, skupni delilec pa 3. Očitno imajo lahko pari več deliteljev in večkratnikov, zato se v izračuni.

Najmanjši delilec nima smisla, saj je za vsako število vedno ena. Največji večkratnik je tudi nesmiseln, saj se zaporedje večkratnikov nagiba k neskončnosti.

Iskanje GCD

Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:

zaporedno naštevanje delilnikov, izbira skupnega za par in iskanje največjega od njih;
razgradnja števil na nedeljive faktorje;
Evklidov algoritem;
binarni algoritem.

Danes so v izobraževalnih ustanovah najbolj priljubljene metode osnovne faktorizacije in Evklidov algoritem. Slednji se po drugi strani uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti njene razrešitve v celih številih.

Iskanje NOC

Najmanjši skupni večkratnik se določi tudi z zaporednim štetjem ali faktorizacijo na nedeljive faktorje. Poleg tega je LCM enostavno najti, če je največji delilec že določen. Za števila X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:

LCM (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).

Na primer, če je GCD (15,18) = 3, potem je LCM (15,18) = 15 × 18/3 = 90. Najbolj očiten primer uporabe LCM je iskanje skupnega imenovalca, ki je najmanjši skupni večkratnik za dane ulomke.

Medsebojna praštevila

Če par številk nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje kopraprost. GCD za takšne pare je vedno enak eni in na podlagi povezave med delitelji in večkratniki je LCM za sopraproste enak njihovemu produktu. Na primer, številki 25 in 28 sta relativno prosti, ker nimata skupnih deliteljev, in LCM (25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi števili bosta vedno vzajemno prosti.

Skupni delilec in večkratni kalkulator

Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število številk, med katerimi lahko izbirate. Naloge za računanje skupnih deliteljev in večkratnikov najdemo v aritmetiki v 5., 6. razredu, vendar sta GCD in LCM ključna pojma v matematiki in se uporabljata v teoriji števil, planimetriji in komunikacijski algebri.

Primeri iz resničnega življenja

Skupni imenovalec ulomkov

Najmanjši skupni večkratnik se uporablja za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov. Naj v aritmetični nalogi je potrebno sešteti 5 ulomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za seštevanje ulomkov je treba izraz reducirati na skupni imenovalec, ki se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, v kalkulatorju izberite 5 številk in v ustrezne celice vnesite vrednosti imenovalcev. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate izračunati dodatne faktorje za vsak ulomek, ki so opredeljeni kot razmerje LCM in imenovalec. Tako bodo dodatni dejavniki videti tako:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Po tem pomnožimo vse ulomke z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takšne ulomke zlahka seštejemo in dobimo rezultat v obliki 159/360. Zmanjšamo ulomek za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.

Reševanje linearnih diofantovskih enačb

Linearne diofantske enačbe so izrazi v obliki ax + by = d. Če je razmerje d / gcd (a, b) celo število, je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb za celoštevilske rešitve. Najprej preverite enačbo 150x + 8y = 37. S kalkulatorjem poiščite GCD (150,8) = 2. Razdelite 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenov.

Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščimo GCD (1320, 1760) = 440. Delimo 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantov ekvador v koeficienti.

Zaključek

GCD in LCM igrata pomembno vlogo v teoriji števil, sama koncepta pa se pogosto uporabljata na različnih področjih matematike. Z našim kalkulatorjem izračunajte največje delitelje in najmanjše večkratnike poljubnega števila števil.

Največji skupni delilec

Opredelitev 2

Če je naravno število a deljivo z naravnim številom $ b $, potem $ b $ imenujemo delilec $ a $, $ a $ pa večkratnik $ b $.

Naj bosta $ a $ in $ b $ naravni števili. Število $ c $ se imenuje skupni delilec za $ a $ in $ b $.

Množica skupnih deliteljev za $ a $ in $ b $ je končna, saj noben od teh deliteljev ne more biti večji od $ a $. Zato je med temi delitelji največji, ki se imenuje največji skupni delilec števil $ a $ in $ b $, za označevanje pa se uporablja zapis:

$ Gcd \ (a; b) \ ali \ D \ (a; b) $

Če želite najti največji skupni delilec dveh števil, morate:

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Dobljeno število bo želeni največji skupni delilec.

Primer 1

Poiščite gcd številk $ 121 $ in $ 132. $

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Izberite številke, ki so vključene v razgradnjo teh številk

242 $ = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Dobljeno število bo želeni največji skupni faktor.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Primer 2

Poiščite GCD monomov 63 $ in 81 $.

Poiskali bomo po predstavljenem algoritmu. Za to:

Razstavimo števila na prafaktorje

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Izberemo števila, ki so vključena v razgradnjo teh števil

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Poiščite zmnožek števil, najdenih v koraku 2. Dobljeno število bo želeni največji skupni faktor.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

GCD dveh številk lahko najdete na drug način, z uporabo nabora deliteljev števil.

Primer 3

Poiščite GCD številk 48 $ in 60 $.

rešitev:

Poiščite množico deliteljev števila $ 48 $: $ \ levo \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ desno \) $

Zdaj najdemo množico deliteljev števila $ 60 $: $ \ \ levo \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ desno \ ) $

Poiščimo presečišče teh množic: $ \ levo \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ desno \) $ - ta množica bo določila množico skupnih deliteljev števil $ 48 $ in 60 $. Največji element v danem nizu bo številka 12 $. Torej bo največji skupni delilec 48 $ in 60 $ 12 $.

Opredelitev LCM

Opredelitev 3

Skupni večkratnik naravnih števil$ a $ in $ b $ je naravno število, ki je večkratnik tako $ a $ kot $ b $.

Navadni večkratniki števil so števila, ki so deljiva z izvirnikom brez ostanka. Na primer, za števili $ 25 $ in $ 50 $ bodo skupni večkratniki števili $ 50,100,150,200 itd.

Najmanjši skupni večkratnik se imenuje najmanjši skupni večkratnik in ga označimo z LCM $ (a; b) $ ali K $ (a; b).

Če želite najti LCM dveh številk, potrebujete:

Številke faktorjev
Zapišite faktorje, ki so del prvega števila, in jim dodajte faktorje, ki so del drugega in ne gredo v prvo

Primer 4

Poiščite LCM številk 99 $ in 77 $.

Poiskali bomo po predstavljenem algoritmu. Za to

Številke faktorjev

99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Napišite dejavnike, ki so vključeni v prvi

dodajte jim dejavnike, ki so del drugega in ne gredo v prvo

Poiščite zmnožek številk, ki jih najdete v 2. koraku. Dobljeno število bo želeni najmanjši skupni večkratnik

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

Sestavljanje seznamov številskih deliteljev je pogosto zelo zamudno. Obstaja način za iskanje GCD, imenovan Evklidov algoritem.

Izjave, na katerih temelji Evklidov algoritem:

Če sta $ a $ in $ b $ naravna števila in $ a \ vdots b $, potem je $ D (a; b) = b $

Če sta $ a $ in $ b $ naravni števili, tako da je $ b

Z uporabo $ D (a; b) = D (a-b; b) $ lahko zaporedoma zmanjšujemo obravnavana števila, dokler ne dosežemo takšnega para števil, da je eno od njih deljivo z drugim. Potem bo manjše od teh števil želeni največji skupni delilec za števili $ a $ in $ b $.

Lastnosti GCD in LCM

Vsak skupni večkratnik $ a $ in $ b $ je deljiv s K $ (a; b) $
Če je $ a \ vdots b $, potem je K $ (a; b) = a $

Če je K $ (a; b) = k $ in $ m $ naravno število, potem je K $ (am; bm) = km $

Če je $ d $ skupni delilec za $ a $ in $ b $, potem je K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

Če je $ a \ vdots c $ in $ b \ vdots c $, potem je $ \ frac (ab) (c) $ skupni večkratnik $ a $ in $ b $

Za poljubna naravna števila $ a $ in $ b $ velja enakost

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

Vsak skupni delilec števil $ a $ in $ b $ je delilec števila $ D (a; b) $

Toda mnoga naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Število 36 je deljivo z 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Številke, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilniki... Naravni delilec števila a je naravno število, ki deli dano število a brez preostanka. Imenuje se naravno število, ki ima več kot dva delitelja sestavljeni... Upoštevajte, da imata številki 12 in 36 skupne faktorje. To so števila: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delilec teh števil je 12.

Skupni delilec dveh danih števil a in b- to je število, s katerim sta obe podani števili deljivi brez ostanka a in b. Skupni delilec več števil (GCD) Je število, ki služi kot delilec za vsakega od njih.

Na kratko, največji skupni delilec števil a in b napiši takole:

Primer: GCD (12; 36) = 12.

Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko črko "D".

Primer:

GCD (7; 9) = 1

Števili 7 in 9 imata samo en skupni delilec - število 1. Takšna števila se imenujejo obojestransko preprostochi slamy.

Medsebojna praštevila- to so naravna števila, ki imajo samo en skupni delilec - število 1. Njihov gcd je enak 1.

Največji skupni delitelj (GCD), lastnosti.

Osnovna lastnost: največji skupni delilec m in n je deljivo s katerim koli skupnim deliteljem teh števil. Primer: pri številih 12 in 18 je največji skupni delilec 6; deljivo je z vsemi skupnimi delitelji teh števil: 1, 2, 3, 6.
Posledica 1: množica skupnih deliteljev m in n sovpada z množico deliteljev GCD ( m, n).
Posledica 2: množica skupnih večkratnikov m in n sovpada z nizom več LCM ( m, n).

To zlasti pomeni, da je treba za zmanjšanje ulomka v nereducibilno obliko njegov števec in imenovalec deliti z njihovim GCD.

Največji skupni delilec števil m in n lahko definiramo kot najmanjši pozitivni element množice vseh njihovih linearnih kombinacij:

in ga zato lahko predstavimo kot linearno kombinacijo številk m in n:

To razmerje se imenuje Brezout razmerje, in koeficienti u in v — Bezoutovi koeficienti... Bezoutovi koeficienti so učinkovito izračunani z razširjenim evklidskim algoritmom. Ta izjava je posplošena na nize naravnih števil - njen pomen je, da je podskupina skupine, ki jo generira niz, ciklična in jo generira en element: GCD ( a 1 , a 2 , … , a n).

Izračunavanje največjega skupnega delitelja (GCD).

Učinkoviti načini za izračun gcd dveh števil so Evklidov algoritem in binarnoalgoritem... Poleg tega je vrednost gcd ( m,n) je mogoče enostavno izračunati, če je znana kanonična razširitev števil m in n po primarnih faktorjih:

kjer so različna praštevila in in so nenegativna cela števila (lahko so ničle, če ustrezen praštevila ni v razširitvi). Potem gcd ( m,n) in LCM ( m,n) so izraženi s formulami:

Če sta več kot dve številki:, se njihov GCD najde po naslednjem algoritmu:

- to je želeni GCD.

Tudi zato, da bi našli največji skupni dejavnik, lahko vsako od danih števil razstaviš na prafaktorje. Nato posebej zapišite le tiste faktorje, ki so vključeni v vsa podana števila. Nato zapisana števila pomnožimo skupaj – rezultat množenja je največji skupni delilec .

Analizirajmo korak za korakom izračun največjega skupnega delitelja:

1. Razdelite delilnike števil na prafaktorje:

Izračuni so priročno zapisani s pomočjo navpične vrstice. Levo od vrstice najprej napišite dividendo, desno - delilec. Nato v levem stolpcu zapišite vrednosti količnikov. Takoj razložimo s primerom. Razdelimo številki 28 in 64 na pra faktorje.

2. V obeh številkah podčrtamo enake prafaktorje:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Poišči zmnožek istih osnovnih faktorjev in zapiši odgovor:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Iskanje GCD se lahko izvede na dva načina: v stolpcu (kot je storjeno zgoraj) ali v vrstici.

Prvi način za pisanje gcd:

Poiščite GCD 48 in 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

Drugi način za pisanje gcd:

Zdaj pa zapišimo rešitev iskanja GCD v vrstico. Poiščite GCD 10 in 15.

D (10) = (1, 2, 5, 10)

D (15) = (1, 3, 5, 15)

D (10, 15) = (1, 5)

Ta članek je posvečen takšnemu vprašanju, kot je iskanje največjega skupnega delitelja. Najprej bomo razložili, kaj je, in navedli več primerov, predstavili definicije največjega skupnega delitelja 2, 3 ali več števil, nato pa se bomo podrobneje posvetili splošnim lastnostim tega pojma in jih dokazali.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj so skupni delitelji

Da bi razumeli, kaj je največji skupni delilec, najprej navedemo, kaj je skupni delitelj za cela števila.

V članku o večkratnikih in delilnikih smo rekli, da ima celo število vedno več deliteljev. Tu nas zanimajo delitelji določenega števila celih števil naenkrat, predvsem skupnih (istih) za vse. Zapišimo glavno definicijo.

Opredelitev 1

Skupni delilec več celih števil bo takšno število, ki je lahko delitelj vsakega števila iz podanega niza.

Primer 1

Tukaj so primeri takega delitelja: tri bo skupni delilec za števili - 12 in 9, saj sta enakosti 9 = 3 · 3 in - 12 = 3 · (- 4) resnični. Števila 3 in - 12 imata druge skupne faktorje, kot so 1, - 1 in - 3. Vzemimo še en primer. Štiri cela števila 3, - 11, - 8 in 19 bodo imela dva skupna faktorja: 1 in - 1.

Če poznamo lastnosti deljivosti, lahko trdimo, da lahko vsako celo število delimo z ena in minus ena, kar pomeni, da bo imela vsaka množica celih števil že vsaj dva skupna delitelja.

Upoštevajte tudi, da če imamo skupni delilec b za več števil, potem lahko ista števila delimo z nasprotnim številom, to je z - b. Načeloma lahko vzamemo samo pozitivne faktorje, potem bodo tudi vsi skupni faktorji večji od 0. Ta pristop je mogoče uporabiti tudi, vendar negativnih številk ne smemo v celoti prezreti.

Kaj je največji skupni delilec (GCD)

Glede na lastnosti deljivosti, če je b delilec celega števila a, ki ni enako 0, potem modul števila b ne more biti večji od modula a, zato ima vsako število, ki ni enako 0, končno število deliteljev. To pomeni, da bo končno tudi število skupnih deliteljev več celih števil, od katerih se vsaj eno razlikuje od nič, iz njihove celotne množice pa lahko vedno izberemo največje število (o pojmu največjega in najmanjše celo število, vam svetujemo, da to snov ponovite).

V nadaljevanju bomo domnevali, da bo vsaj eno od številk, za katere moramo najti največji skupni delilec, drugačno od 0. Če so vsi enaki 0, potem je lahko vsako celo število njihov delilec, in ker jih je neskončno veliko, ne moremo izbrati največjega. Z drugimi besedami, ne morete najti največjega skupnega delitelja za nabor števil, ki je enak 0.

Prehajamo na formulacijo glavne definicije.

Opredelitev 2

Največji skupni delilec večih števil je največje celo število, ki deli vsa ta števila.

V pisni obliki je največji skupni delilec najpogosteje označen z okrajšavo GCD. Za dve številki jo lahko zapišemo kot GCD (a, b).

Primer 2

Kaj je primer GCD za dve celi števili? Na primer, za 6 in - 15 bi bilo to 3. Upravičimo to. Najprej zapišemo vse delilnike šestih: ± 6, ± 3, ± 1, nato pa vse delitelje petnajstih: ± 15, ± 5, ± 3 in ± 1. Nato izberemo splošne: to so - 3, - 1, 1 in 3. Med njimi je treba izbrati največje število. To bo 3.

Za tri ali več številk bo definicija največjega skupnega delitelja precej enaka.

Opredelitev 3

Največji skupni delilec treh ali več številk bo največje celo število, ki bo delilo vsa ta števila hkrati.

Za števila a 1, a 2,…, a n je priročno označiti delilec kot GCD (a 1, a 2,…, a n). Sama vrednost delitelja je zapisana kot GCD (a 1, a 2,…, a n) = b.

Primer 3

Tukaj so primeri največjega skupnega delitelja več celih števil: 12, - 8, 52, 16. Enako bo štiri, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je GCD (12, - 8, 52, 16) = 4.

Pravilnost te trditve lahko preverite tako, da zapišete vse delilce teh števil in nato izberete največje od njih.

V praksi so pogosto primeri, ko je največji skupni delilec enak enemu od števil. To se zgodi, ko lahko vsa ostala števila delimo z danim številom (v prvem odstavku članka smo podali dokaz te trditve).

Primer 4

Torej, največji skupni delilec števil 60, 15 in - 45 je 15, saj je petnajst deljivo ne samo s 60 in - 45, temveč tudi s samim seboj in za vsa ta števila ni večjega delitelja.

Poseben primer sestavljajo sopraprosta števila. So cela števila z največjim skupnim deliteljem 1.

Osnovne lastnosti gcd in Evklidovega algoritma

Največji skupni delilec ima nekaj značilnih lastnosti. Formulirajmo jih v obliki izrekov in dokažemo vsakega od njih.

Upoštevajte, da so te lastnosti formulirane za cela števila, večja od nič, in upoštevali bomo samo pozitivne delilnike.

4. opredelitev

Števila a in b imata največji skupni delilec, enak gcd za b in a, to je gcd (a, b) = gcd (b, a). Zamenjava številk ne vpliva na končni rezultat.

Ta lastnost izhaja iz same definicije GCD in ne potrebuje dokazov.

Definicija 5

Če je mogoče število a deliti s številom b, bo množica skupnih deliteljev teh dveh številk podobna množici deliteljev števila b, to je GCD (a, b) = b.

Dokažimo to izjavo.

Dokaz 1

Če imata številki a in b skupne faktorje, potem lahko katero koli od njih delimo z njimi. Hkrati, če je a večkratnik b, bo vsak delilec b tudi delilec za a, saj ima deljivost takšno lastnost, kot je tranzitivnost. Zato bo vsak delilec b skupen za števila a in b. To dokazuje, da če lahko a delimo z b, potem množica vseh deliteljev obeh števil sovpada z množico deliteljev enega števila b. In ker je največji delilec katerega koli števila samo to število, bo tudi največji skupni delilec števil a in b enak b, tj. Gcd (a, b) = b. Če je a = b, potem gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, na primer gcd (132, 132) = 132.

S to lastnostjo lahko najdemo največji skupni delilec dveh števil, če lahko eno od njiju delimo z drugim. Tak delilec je enak enemu od teh dveh števil, s katerim je mogoče deliti drugo število. Na primer, GCD (8, 24) = 8, saj je 24 večkratnik osmih.

Definicija 6 Dokaz 2

Poskusimo dokazati to lastnost. Na začetku imamo enakost a = b q + c in vsak skupni delilec a in b bo delil tudi c, kar je razloženo z ustrezno lastnostjo deljivosti. Zato bo vsak skupni delilec b in c delil a. To pomeni, da množica skupnih deliteljev a in b sovpada z množico deliteljev b in c, vključno z največjim med njimi, kar pomeni, da velja enakost GCD (a, b) = GCD (b, c).

Opredelitev 7

Naslednja lastnost se imenuje Evklidov algoritem. Uporablja se lahko za izračun največjega skupnega delitelja dveh števil, kot tudi za dokazovanje drugih lastnosti GCD.

Preden formulirate lastnost, vam svetujemo, da ponovite izrek, ki smo ga dokazali v članku o delitvi z ostankom. Po njem lahko deljivo število a predstavimo kot bq + r, kjer je b delilec, q je neko celo število (imenujemo ga tudi nepopoln količnik) in r je ostanek, ki izpolnjuje pogoj 0 ≤ r ≤ b .

Recimo, da imamo dve celi števili, večji od 0, za katera bodo veljale naslednje enakosti:

a = b q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Te enakosti se končajo, ko r k + 1 postane 0. To se bo zagotovo zgodilo, saj je zaporedje b> r 1> r 2> r 3, ... niz padajočih celih števil, ki lahko vključujejo le končno število. Zato je r k največji skupni delilec a in b, to je r k = gcd (a, b).

Najprej moramo dokazati, da je r k skupni delilec števil a in b, nato pa - da r k ni le delitelj, ampak največji skupni delilec dveh danih števil.

Poglejmo zgornji seznam enakosti, od spodaj navzgor. Glede na zadnjo enakost,
r k - 1 lahko delimo z r k. Na podlagi tega dejstva, pa tudi prejšnje dokazane lastnosti največjega skupnega delitelja, lahko trdimo, da je r k - 2 mogoče deliti z r k, saj
r k - 1 je deljivo z r k in r k je deljivo z r k.

Tretja enakost od spodaj nam omogoča sklepanje, da lahko r k - 3 delimo z r k itd. Drugo od spodaj je, da je b deljivo z r k, in prvo, da je a deljivo z r k. Iz vsega tega sklepamo, da je r k skupni delilec a in b.

Zdaj pa dokažimo, da je r k = gcd (a, b). Kaj moram storiti? Pokažite, da bo vsak skupni delilec a in b delil r k. Označimo ga z r 0.

Poglejmo isti seznam enakosti, vendar od zgoraj navzdol. Na podlagi prejšnje lastnosti lahko sklepamo, da je r 1 deljivo z r 0, kar pomeni, da je po drugi enakosti r 2 deljivo z r 0. Vse enakosti se spustimo navzdol in iz slednjih sklepamo, da je r k deljivo z r 0. Zato je r k = gcd (a, b).

Ob upoštevanju te lastnosti sklepamo, da je množica skupnih deliteljev a in b podobna množici deliteljev GCD teh števil. Ta izjava, ki je posledica evklidskega algoritma, nam bo omogočila izračun vseh skupnih delilnikov dveh danih števil.

Pojdimo na druge lastnosti.

Opredelitev 8

Če sta a in b celi števili, ki nista enaki 0, potem morata obstajati še dve celi števili u 0 in v 0, za katera bo veljala enakost GCD (a, b) = a u 0 + b v 0.

Enakost, podana v izjavi lastnosti, je linearna predstavitev največjega skupnega delitelja a in b. Imenuje se Bezoutovo razmerje, številki u 0 in v 0 pa se imenujeta Bezoutova koeficienta.

Dokaz 3

Dokažimo to lastnost. Zapišimo zaporedje enakosti po Evklidovem algoritmu:

Prva enakost nam pove, da je r 1 = a - b q 1. Označimo 1 = s 1 in - q 1 = t 1 in to enakost prepišemo kot r 1 = s 1 · a + t 1 · b. Tukaj bosta številki s 1 in t 1 celi števili. Druga enakost nam omogoča, da zaključimo, da je r 2 = b - r 1 q 2 = b - (s 1 a + t 1 b) q 2 = - s 1 q 2 a + (1 - t 1 q 2) b. Označimo - s 1 q 2 = s 2 in 1 - t 1 q 2 = t 2 in prepišemo enakost kot r 2 = s 2 a + t 2 b, kjer bosta tudi s 2 in t 2 celi števili. To je zato, ker so vsota celih števil, njihov produkt in razlika tudi cela števila. Na popolnoma enak način dobimo iz tretje enakosti r 3 = s 3 a + t 3 b, iz naslednjega r 4 = s 4 a + t 4 b itd. Na koncu sklepamo, da je r k = s k a + t k b za celo število s k in t k. Ker je rk = gcd (a, b), označimo sk = u 0 in tk = v 0, zato lahko dobimo linearno predstavitev gcd v zahtevani obliki: gcd (a, b) = au 0 + bv 0.

Opredelitev 9

GCD (m a, m b) = m GCD (a, b) za katero koli naravno vrednost m.

Dokaz 4

To lastnost je mogoče utemeljiti na naslednji način. Če obe strani vsake enakosti v Evklidovem algoritmu pomnožimo s številom m, dobimo, da je GCD (m a, m b) = m r k in je r k GCD (a, b). Zato je gcd (m a, m b) = m gcd (a, b). Prav ta lastnost največjega skupnega delitelja se uporablja za iskanje GCD z metodo razvrščanja praštevil.

Opredelitev 10

Če imata številki a in b skupni delilec p, potem je gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. V primeru, ko je p = gcd (a, b) dobimo gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b) = 1, od tod številki a: gcd (a, b) in b: gcd (a, b) so sopraprosti.

Ker je a = p (a: p) in b = p (b: p), potem lahko na podlagi prejšnje lastnosti ustvarite enakosti v obliki GCD (a, b) = GCD (p (a: p), p · (B: p)) = p · gcd (a: p, b: p), med katerimi bo dokaz te lastnosti. To izjavo uporabljamo, ko reduciramo navadne ulomke v nezvodljivo obliko.

Opredelitev 11

Največji skupni delilec a 1, a 2, ..., ak bo število dk, ki ga lahko najdemo z zaporednim izračunom GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3, GCD (d 3 , a 4) = d 4,…, gcd (dk - 1, ak) = dk.

Ta lastnost je uporabna za iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil. To dejanje je mogoče uporabiti za zmanjšanje tega dejanja na operacije z dvema številkama. Njegova osnova je posledica evklidskega algoritma: če množica skupnih deliteljev a 1, a 2 in a 3 sovpada z množico d 2 in a 3, potem sovpada z delitelji d 3. Delitelji števil a 1, a 2, a 3 in a 4 bodo sovpadali z delitelji d 3, kar pomeni, da bodo sovpadali tudi z delitelji d 4 itd. Na koncu dobimo, da skupni delitelji števil a 1, a 2,…, ak sovpadajo z delitelji dk, in ker bo največji delilec števila dk samo to število, potem je GCD (a 1, a 2,…, ak) = d k.

To je vse, kar bi vam radi povedali o lastnostih največjega skupnega delitelja.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter