Kako najti prevojne točke funkcije. Intervali konveksnosti in konkavnosti funkcijskega grafa Primeri prevojnih točk konveksnosti funkcijskega grafa

1. Pojem konveksne in konkavne funkcije

Pri raziskovanju funkcije je lahko koristno ugotoviti, na katerih intervalih je funkcija konveksna in na katerih je konkavna.

Za določitev konveksne in konkavne funkcije narišemo tangente na grafe funkcije v poljubnih točkah X 1 in X 2 (sl. 15.1 in 15.2):

Graf funkcije se imenuje konkavno na intervalu, če se nahaja nad katero koli tangento na graf funkcije na danem intervalu.

Graf funkcije se imenuje konveksen na intervalu, če se nahaja pod katero koli tangento na graf funkcije na danem intervalu.

Imenuje se točka na grafu zvezne funkcije, pri kateri se spremeni narava konveksnosti prevojna točka . Na prevojni točki bo tangenta sekala krivuljo.

Funkcija ima lahko več intervalov konveksnosti in konkavnosti, več prevojnih točk. Pri določanju intervalov konveksnosti in konkavnosti je kot odgovor izbran obseg vrednosti: prevojne točke se ne pripisujejo niti intervalom konveksnosti niti intervalom konkavnosti.

Torej je graf funkcije na sliki 15.3 konveksen na intervalih (- ; X 1) in ( X 2; +); konkavno na ( X 1 ;X 2). Graf funkcije ima dve prevojni točki: ( X 1 ;pri 1) in ( X 2 ;pri 2).

1. Kriterij konveksnosti-konkavnosti funkcije in prevojne točke.

Intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije najdemo z uporabo naslednjega izreka:

Izrek. 1. Če ima funkcija pozitiven drugi odvod, potem je graf funkcije na intervalu konkaven.

2. Če ima funkcija negativen drugi odvod, potem je graf funkcije na intervalu konveksen.

Predstavljajte si kriterij za konveksnost-konkavnost funkcije v obliki diagrama:

Torej raziskovanje funkcije za konveksnost-konkavnost pomeni najti tiste intervale definicijskega področja, v katerih drugi odvod ohrani svoj predznak.

Upoštevajte, da lahko spremeni svoj predznak samo v tistih točkah, kjer je drugi odvod enak nič ali ne obstaja. Takšne točke se imenujejo kritične točke druge vrste .

Samo kritične točke so lahko prevojne točke. Za njihovo iskanje se uporabi naslednji izrek:

Izrek (zadostni pogoj za obstoj prevojnih točk). Če drugi odvod pri prehodu skozi točko x o spremeni predznak, nato točka grafa z absciso x o je prelomna točka.

Ko preučujete funkcijo za konveksnost-konkavnost in prevojne točke, lahko uporabite naslednje algoritem :

Primer 15.1. Poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti, prevojne točke grafa funkcije.

rešitev. 1. Ta funkcija je definirana na množici R.

2. Poiščite prvi odvod funkcije: = .

3. Poiščite drugi odvod funkcije: =2 X-6.

4. Določite kritične točke druge vrste ( 0): 2 X-6= 0 X=3.

5. Na realni osi označimo kritično točko X=3. Domen funkcije razdeli na dva intervala (-∞;3) in (3;+∞). Uredi predznake drugega odvoda funkcije 2 X-6 na vsakem od prejetih intervalov:

pri X=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

pri X=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

t. pregib

6. Po kriteriju konveksnosti-konkavnosti je graf funkcije konveksen pri X(-∞;3), konkavno pri X (3;+ ∞).

Pomen X=3 je abscisa prevojne točke. Izračunajmo vrednost funkcije za X=3:

2. Torej je točka s koordinatami (3;2) prevojna točka.

Odgovori: graf funkcije je konveksen pri X (-∞;3),

konkavno pri X(3;+∞); (3;2) – prevojna točka.

Primer 15.2. Poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti, prevojne točke grafa funkcije.

rešitev. 1. Ta funkcija je definirana, ko je imenovalec različen od nič: X-7≠0 .

2. Poiščite prvi odvod funkcije:

3. Poiščite drugi odvod funkcije: = =

Odstranite števec 2∙( X-7) zunanji oklepaji:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

kong.

6. Po kriteriju konveksnosti-konkavnosti je graf funkcije konveksen, ko X(-∞;7), konkavno pri X (7;+ ∞).

Točka z absciso X=7 ne more biti prevojna točka, ker na tej točki funkcija ne obstaja (pokvari).

Odgovori: graf funkcije je konveksen pri X(-∞;7), konkavno pri X (7;+ ∞).

Kontrolna vprašanja:

S spletnim kalkulatorjem lahko najdete prevojne točke in intervali konveksnosti funkcijskega grafa z zasnovo rešitve v Wordu. Ali je funkcija dveh spremenljivk f(x1,x2) konveksna, se odloči z uporabo Hessove matrike.

Pravila vnosa funkcij:

Smer konveksnosti grafa funkcije. Prevojne točke

Definicija: Krivulja y=f(x) se imenuje navzdol konveksna v intervalu (a; b), če leži nad tangento v kateri koli točki tega intervala.

Definicija: Krivulja y=f(x) se imenuje navzgor konveksna v intervalu (a; b), če leži pod tangento v kateri koli točki tega intervala.

Definicija: Intervale, v katerih je graf funkcije konveksen navzgor ali navzdol, imenujemo intervali konveksnosti grafa funkcije.

Za konveksnost navzdol ali navzgor krivulje, ki je graf funkcije y=f(x) , je značilen predznak njenega drugega odvoda: če je v nekem intervalu f''(x) > 0, potem je krivulja konveksna navzdol na tem intervalu; če f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definicija: Točka grafa funkcije y=f(x), ki ločuje intervale konveksnosti nasprotnih smeri tega grafa, se imenuje prevojna točka.

Samo kritične točke druge vrste lahko služijo kot prevojne točke; točke, ki pripadajo domeni funkcije y = f(x) , pri kateri drugi odvod f''(x) izniči ali se prekine.

Pravilo za iskanje prevojnih točk grafa funkcije y = f(x)

1. Poiščite drugi odvod f''(x) .
2. Poiščite kritične točke druge vrste funkcije y=f(x) , tj. točka, kjer f''(x) izgine ali se zlomi.
3. Raziščite predznak drugega odvoda f''(x) v intervalih, na katere najdene kritične točke delijo domeno funkcije f(x) . Če v tem primeru kritična točka x 0 ločuje intervale konveksnosti nasprotnih smeri, potem je x 0 abscisa prevojne točke grafa funkcije.
4. Izračunajte vrednosti funkcij na prevojnih točkah.

Primer 1. Poiščite vrzeli konveksnosti in prevojne točke naslednje krivulje: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Rešitev: Poiščite f '(x) = 12x - 3x 2 , f '(x) = 12 - 6x.
Poiščimo kritične točke z drugim odvodom z reševanjem enačbe 12-6x=0 . x=2 .


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Odgovor: Funkcija je konveksna navzgor za x∈(2; +∞) ; funkcija je konveksna navzdol za x∈(-∞; 2) ; prevojna točka (2;16) .

Primer 2. Ali ima funkcija prevojne točke: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Primer 3. Poiščite intervale, kjer je graf funkcije konveksen in konveksen: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Funkcijski graf l=f(x) klical konveksen na intervalu (a;b), če se nahaja pod katero koli svojo tangento na tem intervalu.

Funkcijski graf l=f(x) klical konkavno na intervalu (a;b), če se nahaja nad katero koli svojo tangento v tem intervalu.

Slika prikazuje konveksno krivuljo na (a;b) in konkavno do (b;c).

Primeri.

Razmislite o zadostnem znaku, ki vam omogoča, da ugotovite, ali bo graf funkcije v danem intervalu konveksen ali konkaven.

Izrek. Pustiti l=f(x) razločljiv po (a;b). Če na vseh točkah intervala (a;b) drugi odvod funkcije l = f(x) negativna, tj. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 je konkaven.

Dokaz. Predpostavimo za gotovost, da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Oglejte si graf funkcije y = f(x) poljubna točka M0 z absciso x0 Î ( a; b) in nariši skozi točko M0 tangenta. Njena enačba. Pokazati moramo, da je graf funkcije na (a;b) leži pod to tangento, tj. z enako vrednostjo x ordinata krivulje y = f(x) bo manjša od ordinate tangente.

Torej je enačba krivulje y = f(x). Označimo tangentno ordinato, ki ustreza abscisi x. Potem. Zato je razlika med ordinatami krivulje in tangento pri isti vrednosti x volja .

Razlika f(x) – f(x0) transformirajo po Lagrangeovem izreku, kjer c med x in x0.

torej

Ponovno uporabimo Lagrangeov izrek za izraz v oglatih oklepajih: , kjer c 1 med c 0 in x0. Po izreku f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Tako katera koli točka krivulje leži pod tangento krivulje za vse vrednosti x in x0 Î ( a; b), kar pomeni, da je krivulja konveksna. Drugi del izreka dokažemo podobno.

Primeri.

Imenuje se točka na grafu zvezne funkcije, ki loči njen konveksni del od konkavnega prevojna točka.

Očitno na prevojni točki tangenta, če obstaja, seka krivuljo, ker na eni strani te točke leži krivulja pod tangento, na drugi strani pa nad njo.

Določimo zadostne pogoje, da je dana točka krivulje prevojna točka.

Izrek. Naj bo krivulja definirana z enačbo y = f(x). če f ""(x 0) = 0 oz f ""(x 0) ne obstaja in pri prehodu skozi vrednost x = x0 izpeljanka f ""(x) spremeni predznak, nato točka grafa funkcije z absciso x = x0 obstaja prelomna točka.

Dokaz. Pustiti f ""(x) < 0 при x < x0 in f ""(x) > 0 pri x > x0. Nato pri x < x0 krivulja je konveksna in x > x0- konkavno. Zato bistvo A, ki leži na krivulji, z absciso x0 obstaja prelomna točka. Podobno lahko obravnavamo drugi primer, ko f ""(x) > 0 pri x < x0 in f ""(x) < 0 при x > x0.

Prevojne točke je torej treba iskati samo med tistimi točkami, kjer drugi odvod izgine ali ne obstaja.

Primeri. Poiščite prevojne točke in določite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulj.

ASIMPTOTE GRAFA FUNKCIJE

Pri raziskovanju funkcije je pomembno ugotoviti obliko njenega grafa z neomejeno odstranitvijo točke grafa od izhodišča.

Posebej zanimiv je primer, ko se graf funkcije, ko je njena spremenljiva točka odmaknjena v neskončnost, neomejeno približuje določeni premici.

Direktno poklicano asimptota funkcijski graf l = f(x)če je oddaljenost od spremenljive točke M graf na to črto, ko je točka odstranjena M v neskončnost teži k nič, tj. točka grafa funkcije, ker teži v neskončnost, se mora neomejeno približevati asimptoti.

Krivulja se lahko približa svoji asimptoti, ostane na eni strani ali na različnih straneh, seka asimptoto neskončno velikokrat in se premika z ene strani na drugo.

Če z d označimo oddaljenost od točke M krivulje na asimptoto, je jasno, da se d nagiba k ničli, ko točko odstranimo M do neskončnosti.

Nadalje bomo razlikovali med navpičnimi in poševnimi asimptotami.

VERTIKALNE ASIMPTOTE

Naj pri x→ x0 obe strani funkcije l = f(x) neomejeno narašča v absolutni vrednosti, tj. ali ali . Potem iz definicije asimptote sledi, da je premica x = x0 je asimptota. Obratno je tudi očitno, če črta x = x0 je asimptota, torej .

Tako je navpična asimptota grafa funkcije y = f(x) se imenuje črta, če f(x)→ ∞ pod vsaj enim od pogojev x→ x0– 0 oz x → x0 + 0, x = x0

Zato najdemo navpične asimptote grafa funkcije l = f(x) treba najti te vrednosti x = x0, pri katerem gre funkcija v neskončnost (trpi neskončno diskontinuiteto). Potem ima navpična asimptota enačbo x = x0.

Primeri.

POŠEVNE ASIMPTOTE

Ker je asimptota ravna črta, potem je krivulja l = f(x) ima poševno asimptoto, potem bo njena enačba l = kx + b. Naša naloga je najti koeficiente k in b.

Izrek. Naravnost l = kx + b služi kot poševna asimptota pri x→ +∞ za graf funkcije l = f(x)če in samo če . Podobna izjava velja za x → –∞.

Dokaz. Pustiti MP- dolžina segmenta je enaka razdalji od točke M do asimptote. Po stanju. Označimo s φ kot naklona asimptote glede na os Ox. Potem od ΔMNP temu sledi. Ker je φ konstanten kot (φ ≠ π/2), potem , ampak

Ko narišemo funkcijo, je pomembno, da definiramo konveksne intervale in prevojne točke. Potrebujemo jih skupaj z intervali padanja in naraščanja za jasen prikaz funkcije v grafični obliki.

Za razumevanje te teme je potrebno vedeti, kaj je odvod funkcije in kako ga izračunati v določenem vrstnem redu, pa tudi znati rešiti različne vrste neenakosti.

Na začetku članka so opredeljeni glavni pojmi. Nato bomo pokazali, kakšno razmerje obstaja med smerjo konveksnosti in vrednostjo drugega odvoda v določenem intervalu. Nato bomo navedli pogoje, pod katerimi je mogoče določiti prevojne točke grafa. Vse sklepanje bo ponazorjeno s primeri rešitev problemov.

Definicija 1

V smeri navzdol na določenem intervalu v primeru, ko njegov graf ni nižji od tangente nanj na kateri koli točki tega intervala.

Definicija 2

Diferenciacijska funkcija je konveksna navzgor na določenem intervalu, če se graf te funkcije ne nahaja višje od tangente na katero koli točko tega intervala.

Navzdol konveksno funkcijo lahko imenujemo tudi konkavna. Obe definiciji sta jasno prikazani v spodnjem grafu:

Definicija 3

Prevojna točka funkcije je točka M (x 0 ; f (x 0)), v kateri je tangenta na graf funkcije, pod pogojem, da odvod obstaja v bližini točke x 0 , kjer ima graf funkcije različne smeri konveksnosti na levi in ​​desni strani.

Preprosto povedano, prevojna točka je mesto na grafu, kjer je tangenta, in smer konveksnosti grafa pri prehodu skozi to mesto spremeni smer konveksnosti. Če se ne spomnite, pod kakšnimi pogoji je možen obstoj navpične in nenavpične tangente, vam svetujemo, da ponovite poglavje o tangenti grafa funkcije v točki.

Spodaj je graf funkcije, ki ima več prevojnih točk označenih z rdečo. Naj pojasnimo, da prisotnost prevojnih točk ni obvezna. Na grafu ene funkcije je lahko ena, dve, več, neskončno veliko ali nobena.

V tem razdelku bomo govorili o izreku, s katerim lahko določite intervale konveksnosti na grafu določene funkcije.

Definicija 4

Graf funkcije bo imel konveksnost v smeri navzdol ali navzgor, če ima ustrezna funkcija y = f (x) drugi končni odvod na podanem intervalu x, pod pogojem, da je neenakost f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) bo res.

Z uporabo tega izreka lahko najdete intervale konkavnosti in konveksnosti na katerem koli grafu funkcije. Če želite to narediti, morate le rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 na domeni ustrezne funkcije.

Naj pojasnimo, da bodo v intervale konveksnosti in konkavnosti vključene tiste točke, kjer drugi odvod ne obstaja, je pa definirana funkcija y = f (x).

Oglejmo si primer specifičnega problema, kako pravilno uporabiti ta izrek.

Primer 1

Pogoj: dana funkcija y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Ugotovite, v katerih intervalih bo imel njegov graf konveksnost in konkavnost.

rešitev

Domena te funkcije je celotna množica realnih števil. Začnimo z izračunom drugega odvoda.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidimo, da je domena drugega odvoda sovpadala z domeno same funkcije, zato moramo za identifikacijo intervalov konveksnosti rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Dobili smo, da bo imel graf dane funkcije konkavnost na segmentu [ 2 ; + ∞) in konveksnost na segmentu (- ∞ ; 2 ] .

Zaradi preglednosti bomo narisali graf funkcije in na njem konveksni del označili z modro, konkavni del pa z rdečo.

odgovor: graf dane funkcije bo imel konkavnost na segmentu [ 2 ; + ∞) in konveksnost na segmentu (- ∞ ; 2 ] .

Toda kaj storiti, če domena drugega odvoda ne sovpada z domeno funkcije? Pri tem nam pride prav zgornja opomba: tiste točke, kjer končna druga odvodnica ne obstaja, bomo prav tako vključili v segmenta konkavnosti in konveksnosti.

Primer 2

Pogoj: dana funkcija y = 8 x x - 1 . Ugotovite, v katerih intervalih bo njegov graf konkaven in v katerih bo konveksen.

rešitev

Najprej ugotovimo obseg funkcije.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Zdaj izračunamo drugi derivat:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Domena drugega odvoda je množica x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidimo, da bo x enak nič v domeni prvotne funkcije, ne pa tudi v domeni drugega odvoda. Ta točka mora biti vključena v segment konkavnosti ali konveksnosti.

Nato moramo rešiti neenačbi f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0 na domeni dane funkcije. Za to uporabljamo intervalno metodo: pri x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 ali x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 števec 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 postane 0 in imenovalec je 0, ko je x nič ali ena.

Dobljene točke postavimo na graf in določimo predznak izraza na vseh intervalih, ki bodo vključeni v domeno prvotne funkcije. Na grafu je to območje označeno s šrafuro. Če je vrednost pozitivna, označite interval s plusom, če je negativna, pa z minusom.

torej

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Vklopimo prej označeno točko x = 0 in dobimo želeni odgovor. Graf prvotne funkcije bo imel pri 0 izboklino navzdol; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in navzgor - za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Narišimo graf, pri čemer konveksni del označimo z modro, konkavni pa z rdečo. Navpična asimptota je označena s črno pikčasto črto.

odgovor: Graf prvotne funkcije bo imel pri 0 izboklino navzdol; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) in navzgor - za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Prevojni pogoji za funkcijski graf

Začnimo s formulacijo potrebnega pogoja za pregib grafa neke funkcije.

Definicija 5

Recimo, da imamo funkcijo y = f(x), katere graf ima prevojno točko. Za x = x 0 ima zvezen drugi odvod, zato bo veljala enakost f "" (x 0) = 0.

Glede na ta pogoj bi morali iskati prevojne točke med tistimi, pri katerih se bo drugi odvod obrnil na 0. Ta pogoj ne bo zadostoval: vse takšne točke nam ne bodo ustrezale.

Upoštevajte tudi, da bomo glede na splošno definicijo potrebovali tangento, navpično ali nenavpično. V praksi to pomeni, da bi morali za iskanje prevojnih točk vzeti tiste, v katerih drugi odvod te funkcije postane 0. Zato moramo za iskanje abscis prevojnih točk vzeti vse x 0 iz domene funkcije, kjer je lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ in lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Najpogosteje so to točke, v katerih se imenovalec prvega odvoda spremeni v 0.

Prvi zadostni pogoj za obstoj prevojne točke grafa funkcije

Našli smo vse vrednosti x 0, ki jih lahko vzamemo kot absciso prevojnih točk. Po tem moramo uporabiti prvi zadostni pregibni pogoj.

Opredelitev 6

Recimo, da imamo funkcijo y = f (x), ki je zvezna v točki M (x 0 ; f (x 0)). Poleg tega ima na tej točki tangento, sama funkcija pa ima drugi odvod v bližini te točke x 0 . V tem primeru, če drugi derivat pridobi nasprotne znake na levi in ​​desni strani, potem se ta točka lahko šteje za prevojno točko.

Vidimo, da ta pogoj ne zahteva, da drugi odvod nujno obstaja na tej točki, zadostuje njegova prisotnost v okolici točke x 0.

Vse zgoraj je mogoče priročno predstaviti kot zaporedje dejanj.

1. Najprej morate najti vse abscise x 0 možnih prevojnih točk, kjer je f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞.
2. Ugotovite, v katerih točkah bo odvod spremenil predznak. Te vrednosti so abscise prevojnih točk, točke M (x 0 ; f (x 0)), ki jim ustrezajo, pa so same prevojne točke.

Zaradi jasnosti razmislimo o dveh težavah.

Primer 3

Pogoj: dana funkcija y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Določite, kje bo graf te funkcije imel prevojne in izbokline.

rešitev

Ta funkcija je definirana na celotni množici realnih števil. Upoštevamo prvo izpeljanko:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Zdaj pa poiščimo domeno prve izpeljanke. Je tudi množica vseh realnih števil. Zato enakosti lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ in lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ne morejo biti izpolnjene za nobeno vrednost x 0 .

Izračunamo drugi odvod:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Našli smo abscisi dveh verjetnih prevojnih točk - 2 in 3. Preostane nam le še, da preverimo, na kateri točki izpeljanka spremeni predznak. Narišimo numerično os in nanjo narišemo te točke, nato pa na nastale intervale postavimo znake drugega odvoda.

Loki prikazujejo smer konveksnosti grafa v vsakem intervalu.

Drugi odvod obrne predznak (iz plusa v minus) v točki z absciso 3 , ki poteka skoznjo od leve proti desni, in enako (iz minusa v plus) v točki z absciso 3 . Torej lahko sklepamo, da sta x = - 2 in x = 3 abscisi prevojnih točk grafa funkcije. Ustrezale bodo točkam grafa - 2; - 4 3 in 3 ; - 15 8 .

Ponovno si oglejmo sliko numerične osi in nastale znake na intervalih, da sklepamo o mestih konkavnosti in konveksnosti. Izkazalo se je, da se bo izboklina nahajala na segmentu - 2; 3 in konkavnost na segmentih (- ∞ ; - 2 ] in [ 3 ; + ∞) .

Rešitev problema je jasno prikazana na grafu: modra barva - konveksnost, rdeča - konkavnost, črna barva pomeni prevojne točke.

odgovor: izboklina se nahaja na segmentu - 2; 3 in konkavnost na segmentih (- ∞ ; - 2 ] in [ 3 ; + ∞) .

Primer 4

Pogoj: izračunaj abscise vseh prelomnih točk grafa funkcije y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

rešitev

Domena dane funkcije je množica vseh realnih števil. Izračunamo izpeljanko:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Za razliko od funkcije njen prvi derivat ne bo določen pri vrednosti x 3, ampak:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To pomeni, da bo skozi to točko potekala navpična tangenta na graf. Zato je lahko 3 abscisa prevojne točke.

Izračunamo drugi odvod. Najdemo tudi območje njegove definicije in točke, na katerih se spremeni v 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Imamo še dve možni prevojni točki. Vse postavimo na številsko premico in dobljene intervale označimo z znaki:

Sprememba predznaka se zgodi pri prehodu skozi vsako določeno točko, kar pomeni, da so vse prevojne točke.

odgovor: Narišimo graf funkcije, pri čemer označimo konkavnosti z rdečo, konveksnosti z modro in prevojne točke s črno:

Če poznamo prvi zadostni prevojni pogoj, lahko določimo potrebne točke, kjer prisotnost druge izpeljanke ni potrebna. Na podlagi tega se lahko prvi pogoj šteje za najbolj univerzalnega in primernega za reševanje različnih vrst problemov.

Upoštevajte, da obstajata še dva pregibna pogoja, ki pa ju je mogoče uporabiti le, če je na določeni točki končna izpeljanka.

Če imamo f "" (x 0) = 0 in f """ (x 0) ≠ 0, potem bo x 0 abscisa prevojne točke grafa y = f (x) .

Primer 5

Pogoj: podana je funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Ugotovite, ali bo graf funkcije imel pregib v točki 3; 4 5 .

rešitev

Najprej se moramo prepričati, ali bo dana točka sploh pripadala grafu te funkcije.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Podana funkcija je definirana za vse argumente, ki so realna števila. Izračunamo prvi in ​​drugi odvod:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Dobili smo, da bo drugi odvod šel na 0, če je x enak 0. To pomeni, da bo potreben prevojni pogoj za to točko izpolnjen. Zdaj uporabimo drugi pogoj: poiščemo tretji odvod in ugotovimo, ali se bo pri 3 spremenil v 0:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Tretji derivat ne bo izginil za nobeno vrednost x. Zato lahko sklepamo, da bo ta točka prevojna točka grafa funkcije.

odgovor: Pokažimo rešitev na sliki:

Recimo, da je f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . ., f (n) (x 0) = 0 in f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . V tem primeru za sodo n dobimo, da je x 0 abscisa prevojne točke grafa y \u003d f (x) .

Primer 6

Pogoj: dana funkcija y = (x - 3) 5 + 1 . Izračunajte prevojne točke njegovega grafa.

rešitev

Ta funkcija je definirana na celotni množici realnih števil. Izračunajte odvod: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Ker bo definiran tudi za vse realne vrednosti argumenta, bo na kateri koli točki njegovega grafa obstajala nenavpična tangenta.

Zdaj pa izračunajmo, za katere vrednosti se bo drugi derivat spremenil v 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Ugotovili smo, da ima lahko graf funkcije pri x = 3 prevojno točko. Za potrditev tega uporabimo tretji pogoj:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Po tretjem zadostnem pogoju imamo n = 4. To je sodo število, zato bo x \u003d 3 abscisa prevojne točke in točka grafa funkcije (3; 1) ji ustreza.

odgovor: Tukaj je graf te funkcije z označeno konveksnostjo, konkavnostjo in prevojno točko:

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Koncept konveksnosti funkcije

Razmislite o funkciji \(y = f\levo(x \desno),\), za katero se predpostavlja, da je zvezna na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\) Funkcija \(y = f \levo(x \desno),\) )\). konveksno navzdol (ali preprosto konveksen), če za katero koli točko \((x_1)\) in \((x_2)\) iz \(\levo[ (a,b) \desno]\) x_1),(x_2) \in \levo[ (a, b) \desno],\), tako da \((x_1) \ne (x_2),\) se imenuje funkcija \(f\levo(x \desno) \). strogo konveksno navzdol

Navzgor konveksna funkcija je definirana podobno. Pokliče se funkcija \(f\levo(x \desno)\). konveksno navzgor (oz konkavno), če za katero koli točko \((x_1)\) in \((x_2)\) segmenta \(\levo[ (a,b) \desno]\) velja neenakost \ Če je ta neenakost stroga za katero koli \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \desno],\), tako da \((x_1) \ne (x_2),\) potem funkcija \(f\left(x \desno) ) \) se imenujejo strogo konveksno navzgor na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

Geometrijska interpretacija konveksnosti funkcije

Uvedene definicije konveksne funkcije imajo preprosto geometrijsko interpretacijo.

Za funkcijo, konveksno navzdol (risba \(1\)), središče \(B\) poljubne tetive \((A_1)(A_2)\) leži višji

Podobno velja za funkcijo konveksno navzgor (risba \(2\)), središče \(B\) poljubne tetive \((A_1)(A_2)\) leži spodaj ustrezna točka \((A_0)\) grafa funkcije ali sovpada s to točko.

Konveksne funkcije imajo še eno vizualno lastnost, ki je povezana z lokacijo tangenta na graf funkcije. Funkcija \(f\levo(x \desno)\) je konveksno navzdol na odseku \(\levo[ (a,b) \desno]\), če in samo če njegov graf ne leži nižje od tangente, narisane nanj v kateri koli točki \((x_0)\) odseka \(\levo [ (a ,b) \desno]\) (slika \(3\)).

V skladu s tem je funkcija \(f\levo(x \desno)\). konveksno navzgor na odseku \(\levo[ (a,b) \desno]\), če in samo če njegov graf ne leži višje od tangente, narisane nanj v kateri koli točki \((x_0)\) odseka \(\levo [ (a ,b) \desno]\) (slika \(4\)). Te lastnosti so izrek in jih je mogoče dokazati z uporabo definicije konveksnosti funkcije.

Zadostni pogoji za konveksnost

Naj za funkcijo \(f\left(x \desno)\) prvi odvod \(f"\left(x \desno)\) obstaja na segmentu \(\left[ (a,b) \desno], \) in drugi odvod \(f""\levo(x \desno)\) − na intervalu \(\levo((a,b) \desno).\) Potem veljajo naslednji zadostni kriteriji za konveksnost:

Če je \(f""\levo(x \desno) \ge 0\) za vse \(x \in \levo((a,b) \desno),\), potem je funkcija \(f\levo(x \ prav )\) konveksno navzdol na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno];\)

Če je \(f""\levo(x \desno) \le 0\) za vse \(x \in \levo((a,b) \desno),\), potem je funkcija \(f\levo(x \ prav )\) konveksno navzgor na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

V primerih, ko je drugi odvod strogo večji od (manjši od) nič, govorimo o stroga konveksnost navzdol (oz gor ).

Dokažimo zgornji izrek za primer navzdol konveksne funkcije. Naj ima funkcija \(f\left(x \right)\) nenegativni drugi odvod na intervalu \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \desno) \ge 0.\) Označimo z \((x_0)\) razpolovišče odseka \(\levo[ ((x_1),(x_2)) \desno].\) Predpostavimo, da je dolžina tega odseka je enako \(2h.\). Potem lahko koordinate \((x_1)\) in \((x_2)\) zapišemo kot: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Razširi funkcijo \(f\left(x \desno)\) v točki \((x_0)\) v Taylorjevo vrsto z ostankom v Lagrangeovi obliki. Dobimo naslednje izraze: \[ (f\levo(((x_1)) \desno) = f\levo(((x_0) - h) \desno) ) = (f\levo(((x_0)) \desno ) - f"\levo(((x_0)) \desno)h + \frac((f""\levo(((\xi _1)) \desno)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Dodajte obe enakosti: \[ (f\levo(((x_1)) \desno) + f\levo(((x_2)) \desno) ) = (2f\levo(((x_0)) \desno) + \frac (((h^2)))(2)\levo[ (f""\levo(((\xi _1)) \desno) + f""\levo(((\xi _2)) \desno)) \desno].) \] Ker \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \desno),\) so drugi odvodi na desni strani nenegativni . Torej \ ali \, ki je po definiciji funkcija \(f\levo(x \desno)\) konveksno navzdol .

Upoštevajte, da je nujen pogoj konveksnosti za funkcijo (tj. neposredni izrek, v katerem na primer iz pogoja konveksnosti sledi \(f""\left(x \desno) \ge 0\)) izpolnjen samo za nestroge neenakosti. V primeru stroge konveksnosti nujni pogoj praviloma ni izpolnjen. Na primer, funkcija \(f\levo(x \desno) = (x^4)\) je strogo konveksna navzdol. Vendar pa je v točki \(x = 0\) njen drugi odvod enak nič, tj. stroga neenakost \(f""\left(x \desno) \gt 0\) v tem primeru ni izpolnjena.

Lastnosti konveksnih funkcij

Naštejemo nekaj lastnosti konveksnih funkcij ob predpostavki, da so vse funkcije definirane in zvezne na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno].\)

Če sta funkciji \(f\) in \(g\) konveksni navzdol (navzgor), potem katera koli od njiju linearna kombinacija \(af + bg,\), kjer so \(a\), \(b\) pozitivna realna števila, prav tako konveksna navzdol (navzgor).

Če je funkcija \(u = g\levo(x \desno)\) konveksna navzdol in je funkcija \(y = f\levo(u \desno)\) konveksna navzdol in nepadajoča, potem kompleksna funkcija \(y = f\levo((g\levo(x \desno)) \desno)\) bo tudi konveksno navzdol.

Če je funkcija \(u = g\levo(x \desno)\) konveksna navzgor in je funkcija \(y = f\levo(u \desno)\) konveksna navzdol in nenaraščajoča, potem kompleksna funkcija \(y = f\levo((g\levo(x \desno)) \desno)\) bo konveksiral navzdol.

Lokalni maksimum konveksna navzgor definirana funkcija na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno],\) je hkrati njegova najvišjo vrednost na tem segmentu.

Lokalni minimum navzdol konveksna funkcija, definirana na segmentu \(\levo[ (a,b) \desno],\), je hkrati njegova najmanjša vrednost na tem segmentu.