Najmanjša in največja vrednost funkcije na segmentu. Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu

dragi prijatelji! Skupina nalog, povezanih z odvodom, vključuje naloge - pogoj podaja graf funkcije, več točk na tem grafu in vprašanje:

Na kateri točki je odvod največji (najmanjši)?

Na kratko ponovimo:

Odvod v točki je enak naklon tangenta, ki poteka skozito točko na grafu.
UGlobalni koeficient tangente pa je enak tangensu kota naklona te tangente.

*To se nanaša na kot med tangento in osjo x.

1. Na intervalih naraščajoče funkcije ima odvod pozitivna vrednost.

2. V intervalih padanja ima izpeljanka negativno vrednost.

Razmislite o naslednji skici:

V točkah 1,2,4 ima odvod funkcije negativno vrednost, saj te točke pripadajo padajočim intervalom.

V točkah 3,5,6 ima odvod funkcije pozitivno vrednost, saj te točke pripadajo naraščajočim intervalom.

Kot lahko vidite, je s pomenom derivata vse jasno, to pomeni, da sploh ni težko določiti, kakšen znak ima (pozitiven ali negativen) na določeni točki grafa.

Poleg tega, če miselno konstruiramo tangente na teh točkah, bomo videli, da ravne črte, ki potekajo skozi točke 3, 5 in 6, tvorijo kote z osjo oX v razponu od 0 do 90 o, ravne črte, ki potekajo skozi točke 1, 2 in 4, pa tvorijo z osjo oX se koti gibljejo od 90 o do 180 o.

*Povezava je jasna: tangente, ki potekajo skozi točke, ki pripadajo intervalom naraščajočih funkcij, tvorijo z osjo oX ostri koti, tangente, ki potekajo skozi točke, ki pripadajo intervalom padajočih funkcij, tvorijo tope kote z osjo oX.

Zdaj pa pomembno vprašanje!

Kako se spreminja vrednost izpeljanke? Navsezadnje je tangenta v različne točke Graf zvezne funkcije ima različne kote glede na to, skozi katero točko na grafu gre.

* Ali, govorjenje v preprostem jeziku tangenta se nahaja kot "vodoravno" ali "navpično". poglej:

Ravne črte tvorijo z osjo oX kote od 0 do 90 o

Ravne črte tvorijo z osjo oX kote od 90° do 180°

Torej, če imate kakršna koli vprašanja:

— na kateri od danih točk na grafu ima izpeljanka najmanjšo vrednost?

- na kateri od danih točk na grafu ima izpeljanka največjo vrednost?

potem je za odgovor potrebno razumeti, kako se vrednost tangente tangentnega kota spreminja v območju od 0 do 180 o.

*Kot že rečeno, je vrednost odvoda funkcije v točki enaka tangensu naklonskega kota tangente na os oX.

Vrednost tangente se spreminja na naslednji način:

Ko se naklonski kot premice spremeni od 0° do 90°, se vrednost tangente in s tem odvod ustrezno spremeni od 0 do +∞;

Ko se naklonski kot premice spremeni od 90° do 180°, se vrednost tangente in s tem odvod ustrezno spremeni –∞ na 0.

To je jasno razvidno iz grafa funkcije tangente:

Preprosto povedano:

Pri tangentnem kotu naklona od 0° do 90°

Bližje kot je 0 o, večja bo vrednost odvoda blizu nič (na pozitivni strani).

Bližje kot je kot 90°, bolj se bo vrednost odvoda povečala proti +∞.

S tangentnim kotom naklona od 90° do 180°

Bližje kot je 90 o, bolj se bo vrednost odvoda zmanjšala proti –∞.

Bližje kot je kot 180°, večja bo vrednost odvoda blizu nič (na negativni strani).

317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in točke so označene–2, –1, 1, 2. Na kateri od teh točk je odvod največji? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, na katerih funkcija pada (to sta točki –1 in 1), dve pa intervaloma, na katerih funkcija narašča (to sta točki –2 in 2).

Takoj lahko sklepamo, da ima odvod v točkah –1 in 1 negativno vrednost, v točkah –2 in 2 pa pozitivno vrednost. Zato v v tem primeru potrebno je analizirati točki –2 in 2 ter ugotoviti, katera bo imela največjo vrednost. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi navedene točke:

Vrednost tangensa kota med premico a in abscisno osjo bo večja vrednost tangens kota med premico b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost izpeljanke v točki –2 največja.

Bomo odgovorili naslednje vprašanje: Na kateri točki –2, –1, 1 ali 2 je odvod najbolj negativen? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Odvod bo imel negativno vrednost v točkah, ki pripadajo padajočim intervalom, zato razmislimo o točkah –2 in 1. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi njih:

Vidimo, da je top kot med premico b in osjo oX "bližje" 180 O , zato bo njegov tangens večji od tangensa kota, ki ga tvorita premica a in os oX.

Tako bo v točki x = 1 vrednost odvoda največja negativna.

317544. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in točke so označene–2, –1, 1, 4. V kateri od teh točk je odvod najmanjši? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, v katerih funkcija pada (to sta točki –1 in 4), dve pa intervaloma, v katerih funkcija narašča (to sta točki –2 in 1).

Takoj lahko sklepamo, da ima odvod v točkah –1 in 4 negativno vrednost, v točkah –2 in 1 pa pozitivno vrednost. Zato je v tem primeru potrebno analizirati točki –1 in 4 in ugotoviti, katera od njiju bo imela najmanjšo vrednost. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi navedene točke:

Vrednost tangensa kota med premico a in abscisno osjo bo večja od vrednosti tangensa kota med premico b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost odvoda v točki x = 4 najmanjša.

Odgovor: 4

Upam, da vas nisem "preobremenila" s količino napisanega. Pravzaprav je vse zelo preprosto, le razumeti morate lastnosti derivata, njegove geometrijski pomen in kako se spreminja tangens kota od 0 do 180 o.

1. Najprej določite predznake odvoda na teh točkah (+ ali -) in izberite potrebne točke (odvisno od zastavljenega vprašanja).

2. Konstruirajte tangente na teh točkah.

3. Z grafom tangesoida shematsko označi kote in prikazAleksander.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

S praktičnega vidika je največje zanimanje uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja moramo reševati probleme optimizacije nekaterih parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na določenem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene definicije. Sam interval X je lahko segment, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Oglejmo si na kratko glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za kogarkoli neenakost je res.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost to za kogarkoli neenakost je res.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejemljiva vrednost na obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke– to so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije postane nič.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame svoje največje in najmanjše vrednosti v točkah, kjer prvi odvod te funkcije ne obstaja in je funkcija sama definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene definicije funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Za jasnost bomo podali grafično ilustracijo. Poglejte slike in marsikaj vam bo bolj jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenimo segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki 3 so mejne točke segmenta [-3;2] abscise točk, ki ustrezata največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, predstavljenem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y) v stacionarni točki z absciso x=1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

V intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 približuje z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (premica x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišimo algoritem, ki nam omogoča iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Poiščemo domeno definicije funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v odseku (običajno so takšne točke v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v potenčnih funkcijah z ulomljeno-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo znotraj segmenta. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo točko.
Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja), kot tudi na x=a in x=b.
Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo zahtevana največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem za reševanje primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4;-1] .

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realna števila, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščite odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1].

Iz enačbe določimo stacionarne točke. Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1, x=2 in x=4:

Zato je največja vrednost funkcije se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti – pri x=2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

Včasih so v problemih B15 "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej se je to dogajalo le med vzorčnimi testi, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravi na pravi enotni državni izpit ni več mogoče prezreti.

V tem primeru delujejo druge tehnike, od katerih je ena monotono.

Za funkcijo f (x) pravimo, da monotono narašča na odseku, če za kateri koli točki x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Za funkcijo f (x) pravimo, da je monotono padajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f(x). Za padajočo funkcijo velja nasprotno: večji ko je x, tem manj f(x).

Na primer, logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0< a < 1. Не забывайте про область sprejemljive vrednosti logaritem: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetični kvadratni (in ne samo kvadratni) koren monotono narašča na celotnem področju definicije:

Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča pri a > 1 in pada pri 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentna funkcija definirano za vsa števila, ne samo za x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Končno stopinje z negativnim eksponentom. Lahko jih zapišete kot ulomek. Imajo točko preloma, kjer se prekine monotonija.

Vseh teh funkcij ni nikoli mogoče najti v čista oblika. Seštevajo polinome, ulomke in druge neumnosti, kar oteži izračun odvoda. Poglejmo, kaj se zgodi v tem primeru.

Koordinate vrha parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadratni trinom oblike y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola, ki nas zanima:

Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Oglišče parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije, v kateri ta funkcija doseže minimum (za a > 0) ali maksimum (a< 0) значение.

Največje zanimanje je vrh parabole, katere abscisa se izračuna po formuli:

Torej, našli smo ekstremno točko kvadratne funkcije. Če pa je izvorna funkcija monotona, bo zanjo tudi točka x 0 točka ekstrema. Zato oblikujmo ključno pravilo:

Ekstremne točke kvadratni trinom in kompleksna funkcija, v katero je vključena, sovpadata. Zato lahko iščete x 0 za kvadratni trinom in pozabite na funkcijo.

Iz zgornjega razmišljanja ostaja nejasno, katero točko dobimo: največjo ali minimalno. Vendar so naloge posebej oblikovane tako, da to ni pomembno. Presodite sami:

V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni potrebe po izračunavanju f(a) in f(b). Upoštevati je treba le ekstremne točke;
Vendar obstaja samo ena taka točka - to je vrh parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je reševanje problema močno poenostavljeno in se spušča v samo dva koraka:

Zapišite enačbo parabole y = ax 2 + bx + c in poiščite njeno oglišče po formuli: x 0 = −b /2a ;
Poiščite vrednost prvotne funkcije na tej točki: f (x 0). Če št dodatni pogoji ne, to bo odgovor.

Na prvi pogled se lahko ta algoritem in njegova utemeljitev zdita zapletena. Namenoma ne objavljam "golega" diagrama rešitve, saj je nepremišljena uporaba takih pravil polna napak.

Poglejmo resnične težave iz poskusni enotni državni izpit v matematiki - tu se ta tehnika najpogosteje pojavlja. Hkrati pa bomo poskrbeli, da bodo na ta način marsikatera težava z B15 postala skoraj ustna.

Pod korenino stoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Ker sta veji parabole usmerjeni navzgor, dobi v točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 najmanjšo vrednost.

Koren monotono narašča, kar pomeni, da je x 0 najmanjša točka celotne funkcije. Imamo:

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola z vejami navzgor, ker a = 1 > 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Torej v točki x 0 = −1 kvadratna funkcija prevzame svojo najmanjšo vrednost. Toda funkcija y = log 2 x je monotona, torej:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo y = 1 − 4x − x 2 . Zapišimo ga v normalni obliki: y = −x 2 − 4x + 1.

Očitno je graf te funkcije parabola, razvejana navzdol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Prvotna funkcija je eksponentna, je monotona, zato bo največja vrednost v najdeni točki x 0 = −2:

Pozoren bralec bo verjetno opazil, da nismo zapisali obsega dovoljenih vrednosti korena in logaritma. Vendar to ni bilo potrebno: znotraj so funkcije, katerih vrednosti so vedno pozitivne.

Posledice iz domene funkcije

Včasih preprosto iskanje vrha parabole ni dovolj za rešitev problema B15. Vrednost, ki jo iščete, je lahko lažna na koncu segmenta in sploh ne na skrajni točki. Če težava sploh ne kaže na segment, si oglejte razpon sprejemljivih vrednosti izvirno funkcijo. namreč:

Ponovno upoštevajte: ničla je lahko pod korenom, nikoli pa v logaritmu ali imenovalcu ulomka. Poglejmo, kako to deluje, s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenom je spet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njen graf je parabola, vendar se veje navzdol, ker je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadratni koren negativnega števila ne obstaja.

Zapišemo obseg dovoljenih vrednosti (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Zdaj pa poiščimo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - in to je dobro. Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Torej, dobili smo številki 2 in 0. Prosimo, da poiščemo največjo - to je številka 2.

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Znotraj logaritma je kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. To je parabola z vejami navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativna števila, zato izpišemo ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. To razlikuje logaritem od korena, kjer nam konci odseka precej ustrezajo.

Iščemo vrh parabole:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Oglišče parabole se prilega po ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, izračunamo vrednost funkcije samo v točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?

Za to sledimo znanemu algoritmu:

1 . Iskanje funkcij ODZ.

2 . Iskanje odvoda funkcije

3 . Izenačenje odvoda na nič

4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:

Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.

Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.

5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.

IN na maksimalni točki funkcije odvod spremeni predznak iz “+” v “-”.

IN minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".

6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,

nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
ali primerjajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na najmanjših točkah ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije

Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša na segmentu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.

Upoštevajte funkcijo . Graf te funkcije izgleda takole:

Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov iz Open Task Bank za

1. Naloga B15 (št. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x

Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Posledično funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Naloga B15 (št. 26702)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu.

1. Funkcije ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:

Zato je naslov="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .

Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Naloga B15 (št. 26708)

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na odseku.

1. Funkcije ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.

Interval vsebuje dve števili: in

Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: . Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.

Upodabljamo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:

Očitno je točka minimalna točka (v kateri izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+"), in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjšo točko in na levem koncu segmenta, .

Naj funkcija y =f(X) je zvezna na intervalu [ a, b]. Kot je znano, taka funkcija na tem segmentu doseže svoje največje in najmanjše vrednosti. Funkcija lahko sprejme te vrednosti bodisi na notranji točki segmenta [ a, b] ali na meji segmenta.

Če želite najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) poiščite kritične točke funkcije v intervalu ( a, b);

2) izračunajte vrednosti funkcije na najdenih kritičnih točkah;

3) izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta, to je kdaj x=A in x = b;

4) med vsemi izračunanimi vrednostmi funkcije izberite največjo in najmanjšo.

Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

na segmentu.

Iskanje kritičnih točk:

Te točke ležijo znotraj segmenta; l(1) = ‒ 3; l(2) = ‒ 4; l(0) = ‒ 8; l(3) = 1;

na točki x= 3 in v točki x= 0.

Študij funkcije za konveksnost in prevojno točko.

funkcija l = f (x) klical izbočeno vmes (a, b) , če njen graf leži pod tangento, narisano na kateri koli točki v tem intervalu, in se imenuje konveksno navzdol (konkavno), če njen graf leži nad tangento.

Imenuje se točka, skozi katero se konveksnost zamenja s konkavnostjo ali obratno prevojna točka.

Algoritem za pregled konveksnosti in prevoja:

1. Poiščite kritične točke druge vrste, to je točke, v katerih je drugi odvod enak nič ali ne obstaja.

2. Na številsko premico narišite kritične točke in jo razdelite na intervale. Poiščite predznak drugega odvoda na vsakem intervalu; če je funkcija konveksna navzgor, če pa je funkcija konveksna navzdol.

3. Če se pri prehodu skozi kritično točko druge vrste znak spremeni in je na tej točki drugi odvod enak nič, potem je ta točka abscisa prevojne točke. Poiščite njegovo ordinato.

Asimptote grafa funkcije. Študij funkcije za asimptote.

Opredelitev. Asimptota grafa funkcije se imenuje naravnost, ki ima lastnost, da se razdalja od katere koli točke na grafu do te premice nagiba k nič, ko se točka na grafu neomejeno premika od izhodišča.

Obstajajo tri vrste asimptot: navpično, vodoravno in nagnjeno.

Opredelitev. Ravna črta se imenuje navpična asimptota funkcijska grafika y = f(x), če je vsaj ena od enostranskih limitov funkcije na tej točki enaka neskončnosti, tj.

kjer je točka diskontinuitete funkcije, to pomeni, da ne spada v domeno definicije.

Primer.

D ( l) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – prelomna točka.

Opredelitev. Naravnost y =A klical horizontalna asimptota funkcijska grafika y = f(x) ob , če

Primer.

x
l

Opredelitev. Naravnost y =kx +b (k≠ 0). poševna asimptota funkcijska grafika y = f(x) pri , kje

Splošna shema za preučevanje funkcij in konstruiranje grafov.

Algoritem raziskovanja funkcijy = f(x) :

1. Poiščite domeno funkcije D (l).

2. Poiščite (če je mogoče) točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi (če x= 0 in pri l = 0).

3. Preverite parnost in lihost funkcije ( l (‒ x) = l (x) ‒ pariteta; l(‒ x) = ‒ l (x) ‒ Čuden).

4. Poiščite asimptote grafa funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti funkcije.

6. Poiščite ekstreme funkcije.

7. Poiščite intervale konveksnosti (konkavnosti) in prevojne točke grafa funkcije.

8. Na podlagi opravljene raziskave sestavite graf funkcije.

Primer. Raziščite funkcijo in sestavite njen graf.

1) D (l) =

x= 4 – prelomna točka.

2) Kdaj x = 0,

(0; ‒ 5) – točka presečišča z oh.

pri l = 0,

3) l(‒ x)= funkcijo splošni pogled(niti sodo niti liho).

4) Pregledujemo asimptote.

a) navpično

b) vodoravno

c) poiščite poševne asimptote, kjer

‒enačba poševne asimptote

5) V tej enačbi ni potrebno najti intervalov monotonosti funkcije.

Te kritične točke razdelijo celotno domeno definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) in (10; +∞). Dobljene rezultate je priročno predstaviti v obliki naslednje tabele.