Kako pomnožiti ulomke. Pravilo za množenje ulomkov s celimi števili

Množenje celega števila z ulomkom ni težka naloga. Obstajajo pa podrobnosti, ki ste jih verjetno razumeli v šoli, a ste jih od takrat pozabili.

Kako pomnožiti celo število z ulomkom - nekaj izrazov

Če se spomnite, kaj sta števec in imenovalec ter kako se pravi ulomek razlikuje od nepravilnega, preskočite ta odstavek. Je za tiste, ki so popolnoma pozabili na teorijo.

Števec je zgornji del ulomki so tisto, kar delimo. Imenovalec je nižji. To je tisto, po čemer se delimo.
Pravi ulomek je tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Nepravi ulomek je tisti, katerega števec je večji ali enak imenovalcu.

Kako pomnožiti celo število z ulomkom

Pravilo množenja celega števila z ulomkom je zelo preprosto – števec pomnožimo s celim številom, imenovalca pa se ne dotikamo. Na primer: dva pomnožena z eno petino - dobimo dve petini. Štiri pomnoženo s tremi šestnajstinami je enako dvanajst šestnajstin.

Zmanjšanje

V drugem primeru lahko dobljeno frakcijo zmanjšamo.
Kaj to pomeni? Upoštevajte, da sta števec in imenovalec tega ulomka deljiva s štiri. Obe števili delite z skupni delilnik in se imenuje zmanjševanje ulomka. Dobimo tri četrtine.

Nepravilni ulomki

Toda predpostavimo, da pomnožimo štiri z dvema petinama. Izkazalo se je osem petin. To je nepravilen ulomek.
Vsekakor jo je treba pripeljati prava vrsta. Če želite to narediti, morate iz njega izbrati celoten del.
Tukaj morate uporabiti deljenje z ostankom. Kot ostanek dobimo ena in tri.
Eno celo in tri petine so naš pravi ulomek.

Petintrideset osmink je nekoliko težje spraviti v pravilno obliko.Število, ki je najbližje sedemintridesetim in je deljivo z osem, je dvaintrideset. Pri deljenju dobimo štiri. Od petintrideset odštejemo dvaintrideset in dobimo tri. Rezultat: štiri cele in tri osmine.

Enakost števca in imenovalca. In tukaj je vse zelo preprosto in lepo. Če sta števec in imenovalec enaka, je rezultat preprosto ena.

) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Deljenje ulomkov z naravnimi števili.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
• množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
• zmanjšati delež;
• Če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.

Opomba! Pomnožiti mešana frakcija v drug mešani ulomek, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu množenja navadni ulomki.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.

Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.

Iz zgornjega primera je razvidno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnadstropni ulomki.

V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:

Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Opomba, Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.

2. Pri nalogah z različni tipi ulomki - pojdite v obliko navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.

5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.

Druga operacija, ki jo lahko izvedemo z navadnimi ulomki, je množenje. Poskušali bomo razložiti njegova osnovna pravila pri reševanju nalog, pokazati, kako množimo navadni ulomek z naravnim številom in kako pravilno množimo tri navadne ulomke ali več.

Najprej zapišimo osnovno pravilo:

Definicija 1

Če pomnožimo en navaden ulomek, bo števec dobljenega ulomka enak zmnožku števcev prvotnih ulomkov, imenovalec pa zmnožku njihovih imenovalcev. V dobesedni obliki je za dva ulomka a / b in c / d to mogoče izraziti kot a b · c d = a · c b · d.

Oglejmo si primer, kako pravilno uporabiti to pravilo. Recimo, da imamo kvadrat, katerega stranica je enaka eni numerični enoti. Potem bo površina figure 1 kvadrat. enota. Če kvadrat razdelimo na enake pravokotnike s stranicami enakimi 1 4 in 1 8 številskimi enotami, dobimo, da je sedaj sestavljen iz 32 pravokotnikov (ker je 8 4 = 32). V skladu s tem bo površina vsakega od njih enaka 1 32 površine celotne figure, tj. 1 32 kvadratnih metrov enote.

Imamo osenčen fragment s stranicami, ki so enake 5 8 številskim enotam in 3 4 številskim enotam. Če želite izračunati njegovo površino, morate prvi ulomek pomnožiti z drugim. To bo enako 5 8 · 3 4 kvadratnih metrov. enote. Lahko pa preprosto preštejemo, koliko pravokotnikov je vključenih v fragment: 15 jih je, kar pomeni, da je skupna površina 15 32 kvadratnih enot.

Ker je 5 3 = 15 in 8 4 = 32, lahko zapišemo naslednjo enakost:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Potrjuje pravilo, ki smo ga oblikovali za množenje navadnih ulomkov, ki je izraženo kot a b · c d = a · c b · d. Deluje enako za prave in neprave ulomke; Uporablja se lahko za množenje ulomkov z različnimi in enakimi imenovalci.

Oglejmo si rešitve več problemov, ki vključujejo množenje navadnih ulomkov.

Primer 1

Pomnožite 7 11 z 9 8.

rešitev

Najprej izračunajmo produkt števcev navedenih ulomkov tako, da pomnožimo 7 z 9. Imamo 63. Nato izračunamo zmnožek imenovalcev in dobimo: 11 · 8 = 88. Sestavimo dve števili in odgovor je: 63 88.

Celotno rešitev lahko zapišemo takole:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Če v odgovoru dobimo zmanjšljiv ulomek, moramo dokončati izračun in izvesti njegovo zmanjševanje. Če dobimo nepravilen ulomek, moramo iz njega izločiti cel del.

Primer 2

Izračunajte zmnožek ulomkov 4 15 in 55 6 .

rešitev

V skladu z zgoraj preučenim pravilom moramo števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem. Zapis rešitve bo videti takole:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Dobili smo zmanjšljivi ulomek, tj. ki je deljivo z 10.

Zmanjšajmo ulomek: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220 : 10 90 : 10 = 22 9. Kot rezultat smo dobili nepravilni ulomek, iz katerega izberemo cel del in dobimo mešano število: 22 9 = 2 4 9.

odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Za lažje računanje lahko izvirne ulomke pred izvedbo operacije množenja tudi skrčimo, za kar moramo ulomek reducirati na obliko a · c b · d. Razčlenimo vrednosti spremenljivk na preproste faktorje in zmanjšamo iste.

Razložimo, kako je to videti z uporabo podatkov iz določene naloge.

Primer 3

Izračunaj zmnožek 4 ​​15 55 6.

rešitev

Zapišimo račune po pravilu množenja. Dobili bomo:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Ker je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 in 6 = 2 3, potem je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Številski izraz, v katerem poteka množenje navadnih ulomkov, ima komutativno lastnost, to pomeni, da lahko po potrebi spremenimo vrstni red faktorjev:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kako pomnožiti ulomek z naravnim številom

Takoj zapišimo osnovno pravilo, nato pa ga poskusimo razložiti v praksi.

Definicija 2

Če želite navadni ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom. V tem primeru bo imenovalec končnega ulomka enak imenovalcu prvotnega navadnega ulomka. Množenje določenega ulomka a b z naravnim številom n lahko zapišemo kot formulo a b · n = a · n b.

To formulo je enostavno razumeti, če se spomnite, da je vsako naravno število mogoče predstaviti kot navaden ulomek z imenovalcem enakim ena, to je:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Razložimo našo idejo s konkretnimi primeri.

Primer 4

Izračunaj produkt 2 27 krat 5.

rešitev

Kot rezultat množenja števca prvotnega ulomka z drugim faktorjem dobimo 10. Na podlagi zgoraj navedenega pravila bomo kot rezultat dobili 10 27. Celotna rešitev je podana v tej objavi:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

odgovor: 2 27 5 = 10 27

Ko naravno število množimo z ulomkom, moramo rezultat pogosto skrajšati ali pa ga predstaviti kot mešano število.

Primer 5

Pogoj: izračunajte zmnožek 8 krat 5 12.

rešitev

Po zgornjem pravilu pomnožimo naravno število s števcem. Kot rezultat dobimo, da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Končni ulomek ima znake deljivosti z 2, zato ga moramo zmanjšati:

LCM (40, 12) = 4, torej 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Sedaj moramo le še izbrati cel del in zapisati pripravljen odgovor: 10 3 = 3 1 3.

V tem vnosu si lahko ogledate celotno rešitev: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Ulomek bi lahko tudi zmanjšali tako, da bi števec in imenovalec faktorizirali na prafaktorje in rezultat bi bil popolnoma enak.

odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.

Tudi številski izraz, v katerem je naravno število pomnoženo z ulomkom, ima lastnost premika, to pomeni, da vrstni red faktorjev ne vpliva na rezultat:

a b · n = n · a b = a · n b

Kako pomnožiti tri ali več navadnih ulomkov

Na dejanje množenja navadnih ulomkov lahko razširimo iste lastnosti, ki so značilne za množenje naravnih števil. To izhaja iz same definicije teh pojmov.

Zahvaljujoč poznavanju kombiniranih in komutativnih lastnosti lahko pomnožite tri ali več navadnih ulomkov. Sprejemljivo je preurediti faktorje za večjo priročnost ali razporediti oklepaje na način, ki olajša štetje.

Pokažimo s primerom, kako se to naredi.

Primer 6

Pomnožite štiri navadne ulomke 1 20, 12 5, 3 7 in 5 8.

Rešitev: Najprej posnemimo delo. Dobimo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Vse števce in vse imenovalce moramo pomnožiti skupaj: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Preden začnemo z množenjem, si lahko nekoliko olajšamo stvari in nekatera števila razdelimo na prafaktorje za nadaljnje zmanjševanje. To bo lažje kot zmanjšati nastalo frakcijo, ki je že pripravljena.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Primer 7

Pomnoži 5 števil 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

rešitev

Zaradi udobja lahko ulomek 7 8 združimo s številko 8, število 12 pa z ulomkom 5 36, saj nam bodo prihodnje okrajšave očitne. Kot rezultat bomo dobili:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V srednjih in srednjih šolah so učenci obravnavali temo »Ulomki«. Vendar je ta koncept veliko širši od tistega, kar je podano v procesu učenja. Danes se koncept ulomka srečuje precej pogosto in vsi ne morejo izračunati katerega koli izraza, na primer množenja ulomkov.

Kaj je ulomek?

Zgodovinsko se je tako zgodilo ulomkov nastala zaradi potrebe po merjenju. Kot kaže praksa, pogosto obstajajo primeri določanja dolžine segmenta in prostornine pravokotnega pravokotnika.

Učenci se najprej seznanijo s pojmom delnice. Na primer, če lubenico razdelite na 8 delov, bo vsaka oseba dobila eno osmino lubenice. Ta del osmice se imenuje delež.

Delež, ki je enak ½ katere koli vrednosti, se imenuje polovica; ⅓ - tretjina; ¼ - četrtina. Zapisi v obliki 5/8, 4/5, 2/4 se imenujejo navadni ulomki. Navadni ulomek je razdeljen na števec in imenovalec. Med njima je ulomkov trak ali ulomkov trak. Ulomljeno črto lahko narišemo kot vodoravno ali poševno črto. IN v tem primeru predstavlja znak delitve.

Imenovalec predstavlja, na koliko enakih delov je količina ali predmet razdeljen; števec pa je, koliko enakih delnic se vzame. Števec je zapisan nad ulomkovo črto, imenovalec pa pod njo.

Najbolj priročno je prikazati navadne ulomke na koordinatnem žarku. Če je segment enote razdeljen na 4 enake dele, označite vsak del latinska črka, potem je lahko rezultat odličen slikovno gradivo. Torej točka A prikazuje delež, ki je enak 1/4 celotnega segmenta enote, točka B pa 2/8 danega segmenta.

Vrste ulomkov

Ulomki so lahko navadna, decimalna in mešana števila. Poleg tega lahko ulomke razdelimo na prave in neprave. Ta razvrstitev je primernejša za navadne ulomke.

Pravi ulomek je število, katerega števec je manjši od imenovalca. V skladu s tem je nepravilni ulomek število, katerega števec je večji od imenovalca. Druga vrsta je običajno zapisana kot mešano število. Ta izraz je sestavljen iz celega in ulomka. Na primer, 1½. 1 - cel del, ½ - delno. Če pa morate z izrazom izvesti nekaj manipulacij (deljenje ali množenje ulomkov, njihovo zmanjševanje ali pretvorbo), se mešano število pretvori v nepravilen ulomek.

Pravilen ulomek je vedno manjši od ena, nepravilen pa je vedno večji ali enak 1.

Kar zadeva ta izraz, mislimo na zapis, v katerem je predstavljeno poljubno število, katerega imenovalec izraza v ulomku je mogoče izraziti z eno z več ničlami. Če je ulomek pravilen, bo celoštevilski del v decimalnem zapisu enak nič.

Če želite zapisati decimalni ulomek, morate najprej napisati cel del, ga ločiti od ulomka z vejico in nato zapisati ulomkov izraz. Ne smemo pozabiti, da mora števec za decimalno vejico vsebovati enako število digitalnih znakov, kot je ničel v imenovalcu.

Primer. Izrazite ulomek 7 21 / 1000 v decimalnem zapisu.

Algoritem za pretvorbo nepravilnega ulomka v mešano število in obratno

V odgovoru na nalogo ni pravilno zapisati nepravilnega ulomka, zato ga je treba pretvoriti v mešano število:

• delite števec z obstoječim imenovalcem;
• V konkreten primer nepopolni količnik – celota;
• in ostanek je števec ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen.

Primer. Pretvori nepravilni ulomek v mešano število: 47/5.

rešitev. 47: 5. Delni količnik je 9, ostanek = 2. Torej, 47/5 = 9 2/5.

Včasih morate mešano število predstaviti kot nepravilen ulomek. Nato morate uporabiti naslednji algoritem:

• celoštevilski del se pomnoži z imenovalcem ulomljenega izraza;
• dobljeni produkt prištejemo k števcu;
• rezultat zapišemo v števec, imenovalec ostane nespremenjen.

Primer. Število predstavite v mešani obliki kot nepravilni ulomek: 9 8 / 10.

rešitev. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je števec.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje ulomkov

Na navadnih ulomkih je mogoče izvajati različne algebraične operacije. Če želite pomnožiti dve števili, morate pomnožiti števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Poleg tega se množenje ulomkov z različnimi imenovalci ne razlikuje od množenja ulomkov z enakimi imenovalci.

Zgodi se, da morate po ugotovitvi rezultata zmanjšati ulomek. Nujno je treba dobljeni izraz čim bolj poenostaviti. Seveda ne moremo reči, da je nepravilen ulomek v odgovoru napaka, vendar je tudi temu težko reči pravilen odgovor.

Primer. Poiščite produkt dveh navadnih ulomkov: ½ in 20/18.

Kot je razvidno iz primera, po iskanju produkta dobimo reducibilni delni zapis. Tako števec kot imenovalec sta v tem primeru deljena s 4, rezultat pa je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih ulomkov

Zmnožek decimalnih ulomkov se po principu precej razlikuje od zmnožka navadnih ulomkov. Torej je množenje ulomkov naslednje:

• dva decimalna ulomka morata biti zapisana drug pod drugim tako, da sta skrajni desni števki ena pod drugo;
• zapisana števila morate množiti kljub vejicam, torej kot naravna števila;
• prešteti število števk za decimalno vejico v vsakem številu;
• v rezultatu, dobljenem po množenju, morate od desne prešteti toliko digitalnih simbolov, kot jih vsebuje vsota v obeh faktorjih za decimalno vejico, in postaviti ločilni znak;
• če je v zmnožku manj števil, potem morate pred njimi napisati toliko ničel, da pokrijete to število, postavite vejico in prištejte cel del, ki je enak nič.

Primer. Izračunajte zmnožek dveh decimalnih ulomkov: 2,25 in 3,6.

rešitev.

Množenje mešanih ulomkov

Za izračun produkta dveh mešanih ulomkov morate uporabiti pravilo za množenje ulomkov:

• pretvarjati mešana števila v neprave ulomke;
• poiščite zmnožek števcev;
• poiščite zmnožek imenovalcev;
• zapišite rezultat;
• čim bolj poenostavite izraz.

Primer. Poiščite zmnožek 4½ in 6 2/5.

Množenje števila z ulomkom (ulomki s številom)

Poleg iskanja produkta dveh ulomkov in mešanih števil obstajajo naloge, kjer morate pomnožiti z ulomkom.

Torej, najti izdelek decimalno in naravno število, potrebujete:

• pod ulomek zapiši število tako, da so skrajne desne števke druga nad drugo;
• poišči izdelek kljub vejici;
• v dobljenem rezultatu ločite celo število od ulomka z vejico, pri čemer odštejte od desne število števk, ki se nahajajo za decimalno vejico v ulomku.

Če želite navadni ulomek pomnožiti s številom, morate najti produkt števca in naravnega faktorja. Če odgovor ustvari ulomek, ki ga je mogoče zmanjšati, ga je treba pretvoriti.

Primer. Izračunajte zmnožek 5/8 in 12.

rešitev. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kot lahko vidite iz prejšnjega primera, je bilo treba zmanjšati dobljeni rezultat in pretvoriti napačen ulomek v mešano število.

Množenje ulomkov zadeva tudi iskanje produkta števila v mešani obliki in naravnega faktorja. Če želite pomnožiti ti dve števili, morate celoten del mešanega faktorja pomnožiti s številom, števec pomnožiti z isto vrednostjo, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Če je potrebno, morate dobljeni rezultat čim bolj poenostaviti.

Primer. Poiščite zmnožek 9 5 / 6 in 9.

rešitev. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje s faktorji 10, 100, 1000 ali 0,1; 0,01; 0,001

Iz prejšnjega odstavka izhaja naslednje pravilo. Če želite decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000, 10000 itd., morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko števk, kolikor je ničel v faktorju za enico.

Primer 1. Poiščite zmnožek 0,065 in 1000.

rešitev. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primer 2. Poiščite zmnožek 3,9 in 1000.

rešitev. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Če morate pomnožiti naravno število in 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., premaknite vejico v nastalem zmnožku v levo za toliko števk, kolikor je ničel pred ena. Po potrebi se pred naravno število zapiše zadostno število ničel.

Primer 1. Poiščite zmnožek 56 in 0,01.

rešitev. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primer 2. Poiščite zmnožek 4 ​​in 0,001.

rešitev. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Torej iskanje produkta različnih ulomkov ne bi smelo povzročati težav, razen morda izračuna rezultata; v tem primeru brez kalkulatorja enostavno ne gre.

Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate vedeti preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.

Množenje navadnega ulomka z ulomkom.

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Poglejmo primer:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krat 3)(7 \krat 3) = \frac(4)(7)\\\)

Ulomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je bil zmanjšan za 3.

Množenje ulomka s številom.

Najprej se spomnimo pravila, poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Uporabimo to pravilo pri množenju.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravi ulomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvorjen v mešani ulomek.

Z drugimi besedami, Pri množenju števila z ulomkom število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo nespremenjen. primer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mešanih ulomkov.

Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, zmnoževalec pa z imenovalcem.

primer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rdeča) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rdeča) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih ulomkov in števil.

Ulomek \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzna ulomku \(\bf \frac(b)(a)\), če je a≠0,b≠0.
Ulomka \(\bf \frac(a)(b)\) in \(\bf \frac(b)(a)\) imenujemo recipročni ulomki. Produkt recipročnih ulomkov je enak 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana vprašanja:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: Zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Če želite dobiti produkt mešanih ulomkov, jih morate pretvoriti v nepravilen ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.

Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno, ali imajo ulomki enake ali različne imenovalce, množenje poteka po pravilu iskanja produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.

Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravilni ulomek in nato zmnožek poiskati po pravilih množenja.

Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo enak.

Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

rešitev:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rdeča) (5))(3 \krat \barva(rdeča) (5) \krat 13) = \frac(4)(39)\)

Primer #2:
Izračunajte zmnožke števila in ulomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

rešitev:
a) \(3 \krat \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krat \frac(17)(23) = \frac(3 \krat 17)(1 \krat 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost ulomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh medsebojno inverznih ulomkov: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

rešitev:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Primer #5:
Ali so lahko recipročni ulomki:
a) sočasno s pravimi ulomki;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) hkrati naravna števila?

rešitev:
a) za odgovor na prvo vprašanje navedimo primer. Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi, njegov obratni ulomek bo enak \(\frac(3)(2)\) - nepravi ulomek. Odgovor: ne.

b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, obstajajo pa številke, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomki. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac(3)(3)\), njegov obratni ulomek pa je enak \(\frac(3)(3)\). Dobimo dva neprava ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.

c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, …. Če vzamemo število \(3 = \frac(3)(1)\), bo njegov inverzni ulomek \(\frac(1)(3)\). Ulomek \(\frac(1)(3)\) ni naravno število. Če gremo skozi vsa števila, je recipročna vrednost števila vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njen recipročni ulomek \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: hkrati so lahko naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.

Primer #6:
Naredite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \krat 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krat 3\frac(2)(7)\ )

rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krat \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primer #7:
Lahko dva medsebojno recipročna števila biti hkrati mešana števila?

Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac(1)(2)\), poiščimo njegov inverzni ulomek, za to ga pretvorimo v nepravi ulomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni ulomek bo enak \(\frac(2)(3)\) . Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.