Katera funkcija pada vzdolž celotne koordinatne premice. Linearna funkcija

Naloge za lastnosti in grafe kvadratna funkcija povzročajo, kot kaže praksa, resne težave. To je precej nenavadno, saj kvadratno funkcijo preučujejo v 8. razredu, nato pa v prvi četrtini 9. razreda "mučijo" lastnosti parabole in gradijo njene grafe za različne parametre.

To je posledica dejstva, da ko učence silijo v konstrukcijo parabol, praktično ne posvečajo časa "branju" grafov, torej ne vadijo razumevanja informacij, prejetih s slike. Očitno se domneva, da bo po izdelavi ducata ali dveh grafov pameten študent sam odkril in oblikoval razmerje med koeficienti v formuli in videz grafične umetnosti. V praksi to ne deluje. Za takšno posploševanje so potrebne resne izkušnje z matematičnimi mini raziskavami, ki jih večina devetošolcev seveda nima. Državni inšpektorat medtem predlaga določitev predznakov koeficientov z urnikom.

Od šolarjev ne bomo zahtevali nemogočega in bomo preprosto ponudili enega od algoritmov za reševanje takšnih problemov.

Torej funkcija oblike y = ax 2 + bx + c imenujemo kvadratna, njen graf pa je parabola. Kot že ime pove, je glavni izraz sekira 2. To je A ne sme biti enak nič, preostali koeficienti ( b in z) je lahko enako nič.

Poglejmo, kako predznaki njenih koeficientov vplivajo na videz parabole.

Najenostavnejša odvisnost za koeficient A. Večina šolarjev samozavestno odgovori: »če A> 0, potem so veje parabole usmerjene navzgor in če A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

IN v tem primeru A = 0,5

In zdaj za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

V tem primeru A = - 0,5

Vpliv koeficienta z Prav tako je precej enostavno slediti. Predstavljajmo si, da želimo najti vrednost funkcije v točki X= 0. Nadomestite ničlo v formulo:

l = a 0 2 + b 0 + c = c. Izkazalo se je, da y = c. To je z je ordinata presečišča parabole z osjo y. Običajno je to točko enostavno najti na grafu. In ugotovite, ali leži nad ničlo ali pod. To je z> 0 oz z < 0.

z > 0:

y = x 2 + 4x + 3

z < 0

y = x 2 + 4x - 3

V skladu s tem, če z= 0, potem bo parabola nujno potekala skozi izvor:

y = x 2 + 4x

Težje s parametrom b. Točka, na kateri jo bomo našli, ni odvisna samo od b ampak tudi iz A. To je vrh parabole. Njegova abscisa (koordinata osi X) najdemo s formulo x in = - b/(2a). torej b = - 2 ax in. To pomeni, da nadaljujemo na naslednji način: na grafu najdemo vrh parabole, določimo znak njene abscise, torej pogledamo desno od ničle ( x v> 0) ali v levo ( x v < 0) она лежит.

Vendar to še ni vse. Pozorni moramo biti tudi na predznak koeficienta A. Se pravi, poglejte, kam so usmerjene veje parabole. In šele po tem, po formuli b = - 2 ax in določi znak b.

Poglejmo primer:

Veje so usmerjene navzgor, kar pomeni A> 0, parabola seka os pri pod ničlo, tj z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Torej b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, z < 0.

>>Matematika: Linearna funkcija in njen graf

Linearna funkcija in njen graf

Algoritem za izgradnjo grafa enačbe ax + by + c = 0, ki smo ga oblikovali v § 28, kljub vsej njegovi jasnosti in gotovosti, matematikom ni ravno všeč. Običajno trdijo o prvih dveh korakih algoritma. Zakaj, pravijo, dvakrat rešiti enačbo za spremenljivko y: najprej ax1 + by + c = O, nato ax1 + by + c = O? Ali ni bolje, da takoj izrazimo y iz enačbe ax + by + c = 0, potem bo lažje izvesti izračune (in, kar je najpomembneje, hitreje)? Preverimo. Najprej razmislimo enačba 3x - 2y + 6 = 0 (glej primer 2 iz § 28).

Če navedete specifične vrednosti x, je enostavno izračunati ustrezne vrednosti y. Na primer, ko je x = 0, dobimo y = 3; pri x = -2 imamo y = 0; za x = 2 imamo y = 6; za x = 4 dobimo: y = 9.

Vidite, kako enostavno in hitro so bile najdene točke (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) in (4; 9), ki so bile poudarjene v primeru 2 iz 28. §.

Na enak način bi lahko enačbo bx - 2y = 0 (glej primer 4 iz § 28) preoblikovali v obliko 2y = 16 -3x. nadalje y = 2,5x; ni težko najti točk (0; 0) in (2; 5), ki ustrezajo tej enačbi.

Končno lahko enačbo 3x + 2y - 16 = 0 iz istega primera pretvorimo v obliko 2y = 16 -3x in potem ni težko najti točk (0; 0) in (2; 5), ki ji ustrezata.

Oglejmo si zdaj navedene transformacije v splošni pogled.

Tako lahko linearno enačbo (1) z dvema spremenljivkama x in y vedno pretvorimo v obliko
y = kx + m,(2) kjer so k,m števila (koeficienti) in .

To posebno vrsto linearne enačbe bomo imenovali linearna funkcija.

Z uporabo enakosti (2) je enostavno določiti določeno vrednost x in izračunati ustrezno vrednost y. Naj npr.

y = 2x + 3. Potem:
če je x = 0, potem je y = 3;
če je x = 1, potem je y = 5;
če je x = -1, potem je y = 1;
če je x = 3, potem je y = 9 itd.

Običajno so ti rezultati predstavljeni v obliki mize:

Vrednosti y iz druge vrstice tabele se imenujejo vrednosti linearne funkcije y = 2x + 3 v točkah x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

V enačbi (1) sta spremenljivki hnu enakovredni, v enačbi (2) pa ne: eni izmed njih - spremenljivki x pripišemo specifične vrednosti, medtem ko je vrednost spremenljivke y odvisna od izbrane vrednosti spremenljivke x. Zato običajno rečemo, da je x neodvisna spremenljivka (ali argument), y pa odvisna spremenljivka.

Upoštevajte, da je linearna funkcija posebna vrsta linearne enačbe z dvema spremenljivkama. Graf enačbe y - kx + m, kot vsaka linearna enačba z dvema spremenljivkama, je ravna črta - imenujemo jo tudi graf linearne funkcije y = kx + m. Tako velja naslednji izrek.

Primer 1. Zgradite graf linearne funkcije y = 2x + 3.

rešitev. Naredimo tabelo:

V drugi situaciji lahko neodvisna spremenljivka x, ki tako kot v prvi situaciji označuje število dni, sprejme le vrednosti 1, 2, 3, ..., 16. Dejansko, če je x = 16, nato s formulo y = 500 - 30x ugotovimo: y = 500 - 30 16 = 20. To pomeni, da že 17. dan ne bo mogoče odstraniti 30 ton premoga iz skladišča, saj do tega dne le 20 ton bo ostalo v skladišču, postopek odvoza premoga pa bo treba ustaviti. Zato je izpopolnjen matematični model druge situacije videti takole:

y = 500 - ZOD:, kjer je x = 1, 2, 3, .... 16.

V tretji situaciji neodvisno spremenljivka x lahko teoretično zavzame katero koli nenegativno vrednost (na primer vrednost x = 0, vrednost x = 2, vrednost x = 3,5 itd.), vendar praktično turist ne more hoditi s konstantno hitrostjo brez spanja in počitka za kakršno koli količino časa Zato smo morali narediti razumne omejitve na x, recimo 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Spomnimo se, da je geometrijski model nestroge dvojne neenakosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Dogovorimo se, da namesto fraze napišemo “x pripada množici X” (beri: “element x pripada množici X”, e je znak pripadnosti). Kot lahko vidite, naše spoznavanje matematičnega jezika nenehno poteka.

Če je treba linearno funkcijo y = kx + m upoštevati ne za vse vrednosti x, ampak samo za vrednosti x iz določenega številskega intervala X, potem pišejo:

Primer 2. Graf linearne funkcije:

Rešitev, a) Naredimo tabelo za linearno funkcijo y = 2x + 1

Konstruirajmo točki (-3; 7) in (2; -3) na koordinatni ravnini xOy in skozenj narišimo premico. To je graf enačbe y = -2x: + 1. Nato izberite segment, ki povezuje konstruirane točke (slika 38). Ta segment je graf linearne funkcije y = -2x+1, kjer je xe [-3, 2].

Običajno pravijo takole: narisali smo linearno funkcijo y = - 2x + 1 na segmentu [- 3, 2].

b) V čem se ta primer razlikuje od prejšnjega? Linearna funkcija je enaka (y = -2x + 1), kar pomeni, da ista premica služi kot njen graf. Ampak – previdno! - tokrat x e (-3, 2), tj. vrednosti x = -3 in x = 2 se ne upoštevajo, ne pripadajo intervalu (- 3, 2). Kako smo na koordinatni premici označili konce intervala? Svetlobni krogi (sl. 39), o tem smo govorili v § 26. Podobno točke (- 3; 7) in B; - 3) bo treba na risbi označiti s svetlimi krogi. To nas bo spomnilo, da so vzete samo tiste točke premice y = - 2x + 1, ki ležijo med točkama, označenima s krogci (slika 40). Vendar včasih v takšnih primerih namesto svetlih krogcev uporabijo puščice (slika 41). To ni temeljno, glavna stvar je razumeti, kaj je povedano.

Primer 3. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost linearne funkcije na segmentu.
rešitev. Naredimo tabelo za linearno funkcijo

Konstruirajmo točki (0; 4) in (6; 7) na koordinatni ravnini xOy in skozenj narišimo premico – graf linearne funkcije x (slika 42).

Te linearne funkcije ne moramo obravnavati kot celoto, temveč na segmentu, tj. za x e.

Na risbi je označen ustrezen segment grafa. Opazimo, da je največja ordinata točk, ki pripadajo izbranemu delu, enaka 7 - to je najvišjo vrednost linearna funkcija na segmentu. Običajno se uporablja naslednji zapis: y max =7.

Opažamo, da je najmanjša ordinata točk, ki pripadajo delu premice, označenemu na sliki 42, enaka 4 - to je najmanjša vrednost linearna funkcija na segmentu.
Običajno se uporablja naslednji zapis: y ime. = 4.

Primer 4. Poišči y naib in y naim. za linearno funkcijo y = -1,5x + 3,5

a) na segmentu; b) na intervalu (1,5);
c) na polovičnem intervalu.

rešitev. Naredimo tabelo za linearno funkcijo y = -l,5x + 3,5:

Konstruirajmo točki (1; 2) in (5; - 4) na koordinatni ravnini xOy in skozenj narišimo premico (sl. 43-47). Na konstruirani ravni črti izberimo del, ki ustreza vrednosti x iz segmenta (slika 43), iz intervala A, 5) (slika 44), iz polintervala (slika 47).

a) S pomočjo slike 43 zlahka sklepamo, da je y max = 2 (linearna funkcija doseže to vrednost pri x = 1) in y min. = - 4 (linearna funkcija doseže to vrednost pri x = 5).

b) S sliko 44 sklepamo: ta linearna funkcija nima ne največjih ne najmanjših vrednosti na danem intervalu. Zakaj? Dejstvo je, da sta za razliko od prejšnjega primera oba konca segmenta, v katerih sta bili doseženi največji in najmanjši vrednosti, izključena iz obravnave.

c) S pomočjo slike 45 sklepamo, da je y max. = 2 (kot v prvem primeru), linearna funkcija pa nima minimalne vrednosti (kot v drugem primeru).

d) S pomočjo slike 46 sklepamo: y max = 3,5 (linearna funkcija doseže to vrednost pri x = 0) in y max. ne obstaja.

e) S pomočjo slike 47 sklepamo: y max = -1 (linearna funkcija doseže to vrednost pri x = 3), y max pa ne obstaja.

Primer 5. Graf linearne funkcije

y = 2x - 6. S pomočjo grafa odgovorite na naslednja vprašanja:

a) pri kateri vrednosti x bo y = 0?
b) za katere vrednosti x bo y > 0?
c) pri katerih vrednostih x bo y< 0?

Rešitev Naredimo tabelo za linearno funkcijo y = 2x-6:

Skozi točki (0; - 6) in (3; 0) narišemo premico - graf funkcije y = 2x - 6 (slika 48).

a) y = 0 pri x = 3. Graf seka os x v točki x = 3, to je točka z ordinato y = 0.
b) y > 0 za x > 3. Če je x > 3, se premica nahaja nad osjo x, kar pomeni, da so ordinate ustreznih točk premice pozitivne.

mačka< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Upoštevajte, da smo v tem primeru uporabili graf za rešitev:

a) enačba 2x - 6 = 0 (dobili smo x = 3);
b) neenakost 2x - 6 > 0 (dobili smo x > 3);
c) neenakost 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentiraj. V ruščini se isti predmet pogosto imenuje drugače, na primer: "hiša", "zgradba", "konstrukcija", "koča", "dvorec", "baraka", "baraka", "koča". V matematičnem jeziku je situacija približno enaka. Recimo, enakost z dvema spremenljivkama y = kx + m, kjer sta k, m določeni števili, lahko imenujemo linearna funkcija, linearna enačba z dvema spremenljivkama x in y (ali z dvema neznankama x in y), lahko imenujemo formula, lahko imenujemo relacija, ki povezuje x in y, končno lahko imenujemo odvisnost med x in y. Ni važno, glavna stvar je, da to razumete v vseh primerih govorimo o o matematičnem modelu y = kx + m

.

Razmislite o grafu linearne funkcije, prikazanem na sliki 49, a. Če se premikamo po tem grafu od leve proti desni, se ordinate točk na grafu ves čas povečujejo, kot da se »vzpenjamo v hrib«. V takšnih primerih matematiki uporabljajo izraz povečanje in pravijo takole: če k>0, potem linearna funkcija y = kx + m narašča.

Razmislite o grafu linearne funkcije, prikazanem na sliki 49, b. Če se premikamo po tem grafu od leve proti desni, potem se ordinate točk na grafu ves čas zmanjšujejo, kot da se »spuščamo po hribu navzdol«. V takih primerih matematiki uporabljajo izraz zmanjšanje in pravijo takole: če k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Linearna funkcija v življenju

Zdaj pa povzamemo to temo. Spoznali smo že koncept linearne funkcije, poznamo njene lastnosti in se naučimo graditi grafe. Obravnavali ste tudi posebne primere linearnih funkcij in spoznali, od česa je odvisna relativna lega grafov linearnih funkcij. A izkazalo se je, da v našem Vsakdanje življenje se tudi nenehno križamo s tem matematičnim modelom.

Pomislimo, katere resnične življenjske situacije so povezane s takim konceptom, kot so linearne funkcije? In tudi, med katerimi količinami oz življenjske situacije morda vzpostaviti linearno razmerje?

Mnogi od vas verjetno ne razumejo povsem, zakaj morajo študirati linearne funkcije, ker je malo verjetno, da bi jim to koristilo v poznejšem življenju. Toda tukaj se globoko motite, saj se s funkcijami srečujemo ves čas in povsod. Kajti tudi redna mesečna najemnina je tudi funkcija, ki je odvisna od številnih spremenljivk. Te spremenljivke vključujejo kvadraturo, število prebivalcev, tarife, porabo električne energije itd.

Seveda so najpogostejši primeri linearnih odvisnosti funkcij, s katerimi smo se srečali pri pouku matematike.

Ti in jaz sva reševala naloge, kjer sva ugotavljala razdalje, ki so jih prevozili avtomobili, vlaki ali pešci pri določeni hitrosti. To so linearne funkcije časa gibanja. Toda ti primeri niso uporabni samo v matematiki, prisotni so v našem vsakdanjem življenju.

Vsebnost kalorij v mlečnih izdelkih je odvisna od vsebnosti maščobe, taka odvisnost pa je običajno linearna. Na primer, ko se odstotek maščobe v kisli smetani poveča, se poveča tudi vsebnost kalorij v izdelku.

Zdaj pa naredimo izračune in poiščimo vrednosti k in b z reševanjem sistema enačb:

Zdaj pa izpeljimo formulo odvisnosti:

Kot rezultat smo dobili linearno razmerje.

Če želite izvedeti hitrost širjenja zvoka glede na temperaturo, jo lahko ugotovite z uporabo formule: v = 331 +0,6t, kjer je v hitrost (v m/s), t je temperatura. Če narišemo graf tega odnosa, bomo videli, da bo linearen, torej bo predstavljal ravno črto.

In take praktične uporabe znanje o uporabi linearne funkcionalne odvisnosti lahko naštevamo še dolgo. Začenši s telefonskimi stroški, dolžino in rastjo las in celo pregovori v literaturi. In ta seznam se nadaljuje in nadaljuje.

Koledarsko-tematsko načrtovanje pri matematiki, video pri matematiki na spletu, Matematika v šoli download

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Učbenik za izobraževalne ustanove

Naučite se jemati odvode funkcij. Izvod označuje hitrost spremembe funkcije na določeni točki, ki leži na grafu te funkcije. V tem primeru je graf lahko ravna ali ukrivljena črta. To pomeni, da odvod označuje hitrost spremembe funkcije v določenem trenutku. Ne pozabite splošna pravila, s katerim se vzamejo izpeljanke, in šele nato nadaljujte z naslednjim korakom.

• Preberi članek.
• Opisano je, kako vzeti najpreprostejše odvode, na primer odvod eksponentne enačbe. Izračuni, predstavljeni v naslednjih korakih, bodo temeljili na tam opisanih metodah.

Naučite se razlikovati naloge, pri katerih je treba naklon izračunati preko odvoda funkcije. Težave od vas ne zahtevajo vedno, da poiščete naklon ali odvod funkcije. Na primer, morda boste morali poiskati stopnjo spremembe funkcije v točki A(x,y). Morda boste morali poiskati tudi naklon tangente v točki A(x,y). V obeh primerih je treba vzeti odvod funkcije.

Vzemite izpeljanko funkcije, ki vam je dana. Tukaj ni treba graditi grafa - potrebujete samo enačbo funkcije. V našem primeru vzemite odvod funkcije. Vzemite derivat v skladu z metodami, opisanimi v zgoraj omenjenem članku:

• Izpeljanka:

Koordinate točke, ki vam je bila dana, nadomestite z najdenim odvodom, da izračunate naklon. Odvod funkcije je enak naklonu v določeni točki. Z drugimi besedami, f"(x) je naklon funkcije v kateri koli točki (x,f(x)). V našem primeru:

• Poiščite naklon funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2).
• Izpeljanka funkcije:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Nadomestite vrednost koordinate "x" te točke:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Poiščite naklon:
• Funkcija naklona f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2) je enako 22.

Če je mogoče, preverite svoj odgovor na grafu. Ne pozabite, da naklona ni mogoče izračunati na vsaki točki. Diferencialni račun preučuje kompleksne funkcije in kompleksne grafe, kjer naklona ni mogoče izračunati v vsaki točki, v nekaterih primerih pa točke sploh ne ležijo na grafih. Če je mogoče, uporabite grafični kalkulator, da preverite, ali je naklon dane funkcije pravilen. V nasprotnem primeru narišite tangento na graf v točki, ki vam je dana, in razmislite, ali se vrednost naklona, ​​ki ste jo našli, ujema s tem, kar vidite na grafu.

• Tangenta bo imela enak naklon kot graf funkcije na določeni točki. Če želite na določeni točki narisati tangento, se premaknite levo/desno na osi X (v našem primeru 22 vrednosti v desno) in nato eno navzgor na osi Y. Označite točko in jo povežite z točka, ki vam je bila dana. V našem primeru povežite točki s koordinatama (4,2) in (26,3).

"Kritične točke funkcije" - Kritične točke. Med kritičnimi točkami so ekstremne točke. Predpogoj ekstrem. Odgovor: 2. Definicija. Če pa je f" (x0) = 0, potem ni nujno, da bo točka x0 točka ekstrema. Točke ekstrema (ponovitev). Kritične točke funkcije. Točke ekstrema.

“Koordinatna ravnina 6. razred” - Matematika 6. razred. 1. X. 1. Poišči in zapiši koordinate točke A, B, C,D: -6. Koordinatna ravnina. O. -3. 7. U.

"Funkcije in njihovi grafi" - Kontinuiteta. Največja in najmanjša vrednost funkcije. Koncept inverzne funkcije. Linearno. Logaritemsko. Monotona. Če je k > 0, je nastali kot oster, če je k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funkcije 9. razred” - Veljavne aritmetične operacije na funkcijah. [+] – seštevanje, [-] – odštevanje, [*] – množenje, [:] – deljenje. V takih primerih govorimo o grafičnem podajanju funkcije. Oblikovanje razreda elementarnih funkcij. Potenčna funkcija y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenec 9. razreda srednje šole RMOU Raduzhskaya.

“Lekcija Tangentna enačba” - 1. Pojasnite koncept tangente na graf funkcije. Leibniz je obravnaval problem risanja tangente na poljubno krivuljo. ALGORITEM ZA RAZVOJ ENAČBE ZA TANGENTO NA GRAF FUNKCIJE y=f(x). Tema lekcije: Test: poiščite odvod funkcije. Tangentna enačba. Flukcija. 10. razred. Dešifrirajte, kar je Isaac Newton imenoval funkcija izpeljave.

“Zgradite graf funkcije” - Dana je funkcija y=3cosx. Graf funkcije y=m*sin x. Graf funkcije. Vsebina: Dana funkcija: y=sin (x+?/2). Raztezanje grafa y=cosx vzdolž osi y. Za nadaljevanje kliknite na l. Gumb miške. Podana je funkcija y=cosx+1. Odmiki grafa y=sinx navpično. Glede na funkcijo y=3sinx. Horizontalni premik grafa y=cosx.

V temi je skupno 25 predstavitev

1) Funkcijska domena in funkcijsko območje.

Domena funkcije je nabor vseh veljavnih vrednosti argumentov x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) odločen. Območje funkcije je množica vseh realnih vrednosti l, ki jih funkcija sprejme.

V osnovni matematiki se funkcije preučujejo le na množici realnih števil.

2) Funkcijske ničle.

Funkcija nič je vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.

3) Intervali konstantnega predznaka funkcije.

Intervali konstantnega znaka funkcije so nizi vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Naraščajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, za katero višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Padajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, pri kateri večji vrednosti argumenta iz tega intervala ustreza manjša vrednost funkcije.

5) Soda (liha) funkcija.

Soda funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije enakost f(-x) = f(x). Urnik celo funkcijo simetrično glede na ordinatno os.

Liha funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije velja enakost f(-x) = - f(x). Urnik nenavadna funkcija simetričen glede izvora.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M tako, da |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če taka številka ne obstaja, je funkcija neomejena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz domene definicije funkcije velja: f(x+T) = f(x). To najmanjše število imenujemo perioda funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodični. (Trigonometrične formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi. Uporaba funkcij v ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihove lastnosti in grafi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija se imenuje funkcija oblike , kjer je x spremenljivka, a in b sta realni števili.

številka A klical naklon premica, je enaka tangensu naklonskega kota te premice na pozitivno smer abscisne osi. Graf linearne funkcije je ravna črta. Opredeljujeta ga dve točki.

Lastnosti linearne funkcije

1. Domena definicije - množica vseh realnih števil: D(y)=R

2. Množica vrednosti je množica vseh realnih števil: E(y)=R

3. Funkcija zavzame vrednost nič, ko oz.

4. Funkcija narašča (pada) na celotnem področju definicije.

5. Linearna funkcija je zvezna na celotnem definicijskem področju, diferenciabilna in .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblike, kjer je x spremenljivka, koeficienti a, b, c realna števila, se imenuje kvadratni