Raziščite dane funkcije z metodami diferencialnega računa v spletu. Splošna shema za preučevanje funkcije in risanje grafa

Preučimo funkcijo \\ (y \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x) \\) in sestavimo njen graf.

1. Obseg opredelitve.
Področje opredelitve racionalne funkcije (uloma) bo: imenovalec ni enak nič, tj. \\ (1 -x \\ ne 0 \u003d\u003e x \\ ne 1 \\). Obseg $$ D_f \u003d (- \\ infty; 1) \\ cup (1; + \\ infty) $$

2. Prelomne točke funkcije in njihova razvrstitev.
Funkcija ima eno prelomno točko x \u003d 1
raziskati točko x \u003d 1. Poišči mejo funkcije desno in levo od točke prekinitve, desno $$ \\ lim_ (x \\ do 1 + 0) (\\ frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - \\ infty $$ in levo od točke $$ \\ lim_ (x \\ do 1-0) (\\ frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d + \\ infty $$ To je prelomna točka druge vrste, ker enostranske meje so \\ (\\ infty \\).

Ravna črta \\ (x \u003d 1 \\) je navpična asimptota.

3. Pariteta funkcije.
Preverite enakomernost \\ (f (-x) \u003d \\ frac ((- x) ^ 3) (1 + x) \\) funkcija ni niti enakomerna niti neparna.

4. ničle funkcije (točke presečišča z osjo Ox). Vpišite intervale funkcije.
Zero funkcije (točka presečišča z osjo osi): enačimo \\ (y \u003d 0 \\), dobimo \\ (\\ frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 \\). Krivulja ima eno presečišče z osjo Ox s koordinatami \\ ((0; 0) \\).

Intervali stalnosti funkcije.
V obravnavanih intervalih \\ ((- \\ infty; 1) \\ cup (1; + \\ infty) \\) ima krivulja eno presečišče z osjo Ox, zato bomo področje opredelitve upoštevali v treh intervalih.

Določimo znak funkcije na intervalih področja definiranja:
interval \\ ((- \\ infty; 0) \\) najti vrednost funkcije v kateri koli točki \\ (f (-4) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \\ ((0; 1) \\) najti vrednost funkcije v kateri koli točki \\ (f (0,5) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)\u003e 0 \\), v tem intervalu je funkcija pozitivna \\ (f (x )\u003e 0 \\), tj. se nahaja nad osjo Ox.
interval \\ ((1; + \\ infty) \\) poišči vrednost funkcije v kateri koli točki \\ (f (4) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Točke presečišča z osjo Oy: enačimo \\ (x \u003d 0 \\), dobimo \\ (f (0) \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \\). Koordinate presečišča z osjo Oy \\ ((0; 0) \\)

6. Intervali monotonije. Funkcijski ekstrem.
Poiščimo kritične (stacionarne) točke, za to najdemo prvo izpeljanko in jo izenačimo na nič $$ y "\u003d (\\ frac (x ^ 3) (1-x))" \u003d \\ frac (3x ^ 2 (1-x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ enači z 0 $$ \\ frac (x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) \u003d 0 \u003d\u003e x_1 \u003d 0 \\ quad x_2 \u003d \\ frac (3) (2) $$ Poišči vrednost funkcije na tej točki \\ (f (0) \u003d 0 \\) in \\ (f (\\ frac (3) (2)) \u003d -6,75 \\). Dobili smo dve kritični točki s koordinatama \\ ((0; 0) \\) in \\ ((1,5; -6,75) \\)

Monotoni intervali.
Funkcija ima dve kritični točki (točke možnega ekstremuma), zato bo monotonost upoštevana v štirih intervalih:
interval \\ ((- \\ infty; 0) \\) najti vrednost prvega izvoda v kateri koli točki intervala \\ (f (-4) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e
intervala \\ ((0; 1) \\) poiščite vrednost prvega izvoda v kateri koli točki intervala \\ (f (0,5) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0 \\) , se funkcija v tem intervalu poveča.
intervala \\ ((1; 1,5) \\) najti vrednost prvega izvoda v kateri koli točki intervala \\ (f (1.2) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)\u003e 0 \\) , se funkcija v tem intervalu poveča.
interval \\ ((1,5; + \\ infty) \\) najti vrednost prvega izvoda v kateri koli točki v intervalu \\ (f (4) \u003d \\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijski ekstrem.

Pri preučevanju funkcije sta bili dobljeni dve kritični (stacionarni) točki na intervalu definicijske domene. Ugotovite, ali so ekstremi. Upoštevajmo spremembo znaka izpeljanke pri prehodu skozi kritične točke:

točka \\ (x \u003d 0 \\) izpeljanka spremeni znak z \\ (\\ quad + \\ quad 0 \\ quad + \\ quad \\) - točka ni ekstrem.
točka \\ (x \u003d 1,5 \\) izpeljanka spremeni znak z \\ (\\ quad + \\ quad 0 \\ quad - \\ quad \\) - točka je največja točka.

7. Intervali konveksnosti in konkavnosti. Pregibna mesta.

Če najdemo intervale konveksnosti in konkavnosti, najdemo drugi izvod funkcije in ga enačimo z nič $$ y "" \u003d (\\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)) "\u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ ustreza nič $$ \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) \u003d 0 \u003d\u003e 2x (x ^ 2-3x + 3) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 $$ Funkcija ima eno kritično točko druge vrste s koordinatami \\ ((0; 0) \\).
Konveksnost določimo na intervalih definicijske domene ob upoštevanju kritične točke druge vrste (točke možnega pregiba).

interval \\ ((- \\ infty; 0) \\) najti vrednost drugega izvoda v kateri koli točki \\ (f "" (- 4) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervala \\ ((0; 1) \\) najti vrednost drugega izvoda v kateri koli točki \\ (f "" (0,5) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)\u003e 0 \\), v tem intervalu je drugi izvod funkcije pozitiven \\ (f "" (x)\u003e 0 \\) funkcija je izbočena navzdol (izbočena).
interval \\ ((1; \\ infty) \\) najti vrednost drugega izvoda v kateri koli točki \\ (f "" (4) \u003d \\ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Pregibna mesta.

Upoštevajte spremembo znaka druge izpeljanke ob prehodu skozi kritično točko druge vrste:
V točki \\ (x \u003d 0 \\) drugi derivat spremeni znak iz \\ (\\ quad - \\ quad 0 \\ quad + \\ quad \\), graf funkcije spremeni konveksnost, tj. je prelomna točka s koordinatami \\ ((0; 0) \\).

8. Asimptote.

Navpična asimptota... Graf funkcije ima eno navpično asimptoto \\ (x \u003d 1 \\) (glej točko 2).
Poševna asimptota.
Da bi graf funkcije \\ (y \u003d \\ frac (x ^ 3) (1-x) \\) z \\ (x \\ do \\ infty \\) imel poševno asimptoto \\ (y \u003d kx + b \\), je nujen in zadosten tako da obstajata dve omejitvi $$ \\ lim_ (x \\ do + \\ infty) \u003d \\ frac (f (x)) (x) \u003d k $$ najdite ga $$ \\ lim_ (x \\ do \\ infty) (\\ frac ( x ^ 3) (x (1-x))) \u003d \\ infty \u003d\u003e k \u003d \\ infty $$ in druga omejitev $$ \\ lim_ (x \\ do + \\ infty) (f (x) - kx) \u003d b $ $, ker \\ (k \u003d \\ infty \\) - poševne asimptote ni.

Vodoravni asimptoto: za obstoj horizontalne asimptote mora omejitev obstajati $$ \\ lim_ (x \\ do \\ infty) f (x) \u003d b $$ najti jo $$ \\ lim_ (x \\ do + \\ infty) (\\ frac ( x ^ 3) (1-x)) \u003d - \\ infty $$$$ \\ lim_ (x \\ to - \\ infty) (\\ frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - \\ infty $$
Vodoravne asimptote ni.

9. Graf funkcije.

Referenčne točke pri preučevanju funkcij in konstrukciji njihovih grafov so značilne točke - točke preloma, ekstremuma, pregiba, presečišča s koordinatnimi osi. S pomočjo diferenčnega izračuna je mogoče ugotoviti značilne značilnosti sprememb funkcij: povečanje in zmanjšanje, maksime in minima, smer konveksnosti in konkavnosti grafa, prisotnost asimptotov.

Skica grafa funkcije je mogoče (in bi morala) skicirati po iskanju asimptotov in skrajnih točk, priročno pa je, da med študijo izpolnite vrtilno tabelo funkcije funkcije.

Običajno se uporablja naslednja shema študije funkcij.

1. Poiščite domeno, intervale neprekinjenosti in točke preloma funkcije.

2. Preučite funkcijo za enakomernost ali neparnost (osna ali osrednja simetrija grafa.

3. Poiščite asimptote (navpične, vodoravne ali poševne).

4. Poiščite in raziščite intervale povečanja in zmanjšanja funkcije, točke njenega ekstremuma.

5. Poiščite intervale izbočenosti in konkavnosti krivulje, točke njenega pregiba.

6. Poiščite presečišča krivulje s koordinatnimi osi, če obstajajo.

7. Pripravite pregledno tabelo študije.

8. Sestavite graf ob upoštevanju študije funkcije, ki se izvaja na zgornjih točkah.

Primer. Raziščite funkcijo

in zgraditi svoj graf.

7. Sestavimo povzetek tabele študije funkcije, kjer bomo vnesli vse značilne točke in intervale med njimi. Glede na parnost funkcije dobimo naslednjo tabelo:

				Značilnosti urnika
[-1, 0[			Povečanje	Konveksno
				(0; 1) - največja točka
]0, 1[			Zmanjša	Konveksno
				Točka pregiba, tvori z osjo Oxobsutni kot

Kako preučiti funkcijo in jo narisati?

Zdi se, da začenjam razumeti močan, dušen obraz voditelja svetovnega proletariata, avtorja zbranih del v 55 zvezkih ... Počasna pot se je začela z osnovnimi informacijami o funkcije in grafiin zdaj se delo na naporni temi konča z naravnim rezultatom - člankom o celotnem študiju funkcij... Dolgo pričakovana naloga je oblikovana na naslednji način:

Preučite funkcijo z metodami diferencialnega izračuna in na podlagi rezultatov študije sestavite njen graf

Ali na kratko: preučite funkcijo in jo narišite.

Zakaj raziskave? V preprostih primerih nam ne bo težko obravnavati elementarnih funkcij, narisati graf, pridobljen z uporabo elementarne geometrijske transformacije itd. Vendar lastnosti in grafika kompleksnejših funkcij še zdaleč niso očitne, zato je potrebna cela raziskava.

Glavni koraki rešitve so povzeti v referenčnem gradivu Diagram študije funkcij, to je vaš vodič po razdelku. Lutki potrebujejo podrobno razlago teme, nekateri bralci ne vedo, kje začeti in kako organizirati študij, napredne študente pa morda zanimajo le nekatere točke. Kdorkoli že ste, dragi obiskovalec, vas bo predlagani sinopsis s kazalci na različne lekcije v najkrajšem možnem času usmeril in usmeril v zanimive smeri. Roboti so prelili solze \u003d) Priročnik je sestavljen v obliki pdf datoteke in je na strani zasedel svoje mesto. Matematične formule in tabele.

Preučil sem študijo funkcije na 5-6 točk:

6) Dodatne točke in graf glede na rezultate raziskav.

Na račun končne akcije mislim, da vsi razumejo vse - zelo žaljivo bo, če ga v nekaj sekundah prečrtamo in nalogo vrnemo na revizijo. PRAVILNO IN TOČNO RISANJE je glavni rezultat odločitve! Najverjetneje bo "zajel" analitične vpoglede, medtem ko bo napačen in / ali ponosen urnik povzročal težave tudi pri odlično izvedeni raziskavi.

Upoštevati je treba, da se lahko v drugih virih število raziskovalnih točk, vrstni red njihovega izvajanja in slog oblikovanja bistveno razlikujejo od sheme, ki sem jo predlagal, vendar je v večini primerov povsem dovolj. Najenostavnejša različica problema je sestavljena iz samo 2-3 stopnje in je formulirana nekako takole: "raziščite funkcijo z uporabo izpeljanke in sestavite graf" ali "preučite funkcijo s 1. in 2. izpeljavo, zgradite graf".

Seveda, če je drug algoritem podrobno analiziran v vašem priročniku za usposabljanje ali vaš učitelj od vas strogo zahteva, da se držite njegovih predavanj, boste morali prilagoditi rešitev. Nič težjega kot zamenjati vilice z žlico z motorno žago.

Preverimo funkcijo za parno / liho parnost:

Sledi odjava predloge:
, zato ta funkcija ni enakomerna ali nenavadna.

Ker je funkcija neprekinjena, ni navpičnih asimptotov.

Tudi poševnih asimptotov ni.

Opomba : opomni, da višje vrstni red rastipotem pa je končna meja natančno " plus neskončnost ".

Ugotovimo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:

Z drugimi besedami, če gremo desno, potem gre lestvica neskončno daleč navzgor, če levo - neskončno daleč navzdol. Da, pod enim vnosom sta tudi dve omejitvi. Če imate težave z dešifriranjem znakov, obiščite lekcijo o neskončno majhne funkcije.

Torej funkcija ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj... Glede na to, da nimamo prelomnih točk, postane jasno in območje delovanja: - tudi vsako resnično število.

KORISTNA TEHNIČNA POMOČ

Vsaka faza naloge prinese nove informacije o funkcijskem grafu, zato je med rešitvijo priročno uporabiti nekakšen LAYOUT. Na osnutek narišemo kartuzijanski koordinatni sistem. Kaj se že zagotovo pozna? Prvič, graf nima asimptotov, zato ni treba risati ravnih črt. Drugič, vemo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti. Na podlagi analize bomo potegnili prvi približek:

Upoštevajte, da zaradi kontinuiteta delovanje in dejstvo, da mora graf vsaj enkrat prečkati os. Ali je morda več presečišč?

3) ničle funkcije in intervali stalnosti.

Najprej najdemo točko presečišča grafa z ordinatno osjo. Preprosto je. Vrednost funkcije je treba izračunati, če:

Ena in pol nadmorske višine.

Če želite najti točke presečišča z osjo (ničle funkcije), morate rešiti enačbo, in tukaj nas čaka neprijetno presenečenje:

Na koncu se skriva prosti član, kar nalogo bistveno zaplete.

Takšna enačba ima vsaj eno pravo korenino, najpogosteje pa je ta korenina neracionalna. V najslabši pravljici nas čakajo trije prašiči. Enačba je rešljiva s pomočjo t.i. formule Cardanovendar je zapravljanje papirja primerljivo s skoraj celotno študijo. V zvezi s tem je pametneje ustno ali na osnutku poskusiti najti vsaj enega celoto koren. Preverimo, če številke niso:
- ne ustreza;
- tukaj je!

Srečno tukaj. V primeru okvare lahko tudi preizkusite, in če te številke niso ustrezale, potem so možnosti za dobičkonosno rešitev enačbe zelo majhne. Potem je bolje, da raziskovalno točko popolnoma preskočite - morda bo na zadnjem koraku kaj jasnejše, ko se bodo prebile dodatne točke. In če so korenine (korenine) očitno "slabe", potem je bolje, da molčite o intervalih stalnosti znakov in naredite risbo bolj previdno.

Vendar imamo lepo korenino, zato delimo polinom brez ostanka:

Algoritem za delitev polinoma na polinom je podrobno opisan v prvem primeru lekcije Izzivne meje.

Kot rezultat, leva stran prvotne enačbe razpade na delo:

In zdaj malo o zdravem načinu življenja. To vsekakor razumem kvadratne enačbe je treba rešiti vsak dan, danes pa bomo naredili izjemo: enačbo ima dve veljavni korenini.

Najdite vrednosti v številski vrstici in intervalna metoda določite znake funkcije:


Tako v intervalih graf se nahaja
pod osjo absces in v presledkih - nad to osjo.

Ugotovitve nam omogočajo natančno določitev naše postavitve, drugi približek grafa pa je videti takole:

Upoštevajte, da mora imeti funkcija vsaj en maksimum v intervalu in vsaj en minimum v intervalu. A kolikokrat, kje in kdaj bo urnik "zanke", še ne vemo. Mimogrede, funkcijo ima lahko neskončno veliko ekstrem.

4) Povečanje, zmanjšanje in ekstrem funkcije.

Poiščimo kritične točke:

Ta enačba ima dve resnični korenini. Odložimo jih na številčno vrstico in določimo znake izpeljanke:


Zato se funkcija poveča za in zmanjša za.
V določenem trenutku funkcija doseže svoj maksimum: .
V določenem trenutku funkcija doseže najmanj: .

Ugotovljena dejstva našo predlogo vodijo v precej tog okvir:

Ni treba posebej poudarjati, da je diferencialno računanje močna stvar. Končno razumemo obliko grafa:

5) Konveksnost, izbočenost in pregibna mesta.

Poiščimo kritične točke drugega izvoda:

Določimo znake:


Graf funkcije je izbočen in konkaven. Izračunamo ordinato prelomne točke:.

Skoraj vse se je razjasnilo.

6) Ostaja še iskanje dodatnih točk, ki vam bodo pomagale bolj natančno sestaviti graf in opraviti samotestiranje. V tem primeru jih je malo, vendar ne bomo zanemarili:

Izvedimo risbo:

Točka nagiba je označena z zeleno, dodatne točke so označene s križi. Kubični graf funkcije je simetričen glede na pregibno točko, ki je med maksimumom in minimumom vedno točno na sredini.

Med nalogo sem dal tri hipotetične vmesne risbe. V praksi je dovolj, da sestavimo koordinatni sistem, označimo najdene točke in po vsaki točki študije miselno ugotovimo, kako lahko izgleda graf funkcije. Študentom, ki imajo dobro stopnjo pripravljenosti, ne bo težko izvesti takšne analize samo v glavi, ne da bi vključili osnutek.

Za samostojno rešitev:

Primer 2

Raziščite funkcijo in narišite graf.

Tu je vse hitrejše in bolj zabavno, grob primer zaključka na koncu pouka.

Študij frakcijskih racionalnih funkcij razkriva veliko skrivnosti:

Primer 3

S pomočjo metod diferencialnega izračuna izračunajte funkcijo in na podlagi rezultatov študije sestavite njen graf.

Odločba: prve stopnje študije ne odlikuje nič izjemnega, razen luknje na področju opredelitve:

1) Funkcija je definirana in neprekinjena v celotni številski vrstici, razen točke, domena: .

, potem ta funkcija ni enakomerna ali nenavadna.

Funkcija je očitno neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dve neprekinjeni veji, ki se nahajata v levi in \u200b\u200bdesni polovici ravnine - to je morda najpomembnejši zaključek 1. točke.

2) Asimptote, vedenje funkcije v neskončnosti.

a) Z enostranskimi omejitvami raziskujemo vedenje funkcije blizu sumljive točke, kjer mora biti navpična asimptota jasno:

Dejansko funkcije zdržijo neskončen premor na točki
in ravna črta (os) je navpična asimptota grafike.

b) Preverite, ali obstajajo poševne asimptote:

Ja, naravnost je poševna asimptota grafika, če.

Meje ni smiselno analizirati, saj je že jasno, da funkcija v objemu s svojo poševno asimptoto ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Druga točka raziskovanja je prinesla veliko pomembnih informacij o funkciji. Naredimo grobo skico:

Sklep št. 1 zadeva intervale stalnosti. Na "minus neskončnosti" je graf funkcije edinstveno nameščen pod osjo absces, na "plus neskončnosti" - nad to osjo. Poleg tega so nam enostranske meje povedale, da je funkcija levo in desno od točke tudi večja od nič. Upoštevajte, da mora graf v levi polovici ravnine vsaj enkrat prečkati absciso. V desni polovici ravnine morda ni ničle funkcije.

Zaključek št. 2 je, da se funkcija povečuje levo od točke (levo od spodaj navzgor). Desno od te točke se funkcija zmanjša (gre "od vrha do dna"). Desna veja grafikona mora imeti vsaj en minimum. Na levi strani skrajnosti niso zagotovljene.

Zaključek št. 3 podaja zanesljive podatke o konkavnosti grafa v bližini točke. Do zdaj o konveksnosti / konkavnosti v neskončnostih ne moremo reči ničesar, saj lahko črto pritisnemo na njeno asimptoto tako zgoraj kot spodaj. Na splošno velja, da obstaja analitični način, da to takoj ugotovite, vendar bo oblika grafa "brezplačno" postala jasna v poznejši fazi.

Zakaj toliko besed? Za nadzor nad naslednjimi raziskovalnimi točkami in izogibanje napakam! Nadaljnji izračuni ne bi smeli nasprotovati sklepom.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osi, intervali stalnega znaka funkcije.

Funkcijski graf ne prečka osi.

Z metodo intervalov določimo znake:

, če ;
, če .

Rezultati odstavka so popolnoma skladni s Sklepom št. 1. Po vsakem koraku si oglejte osnutek, miselno se obrnite na raziskavo in zaključite z risanjem grafikona funkcije.

V obravnavanem primeru je števec razdeljen poimensko na imenovalnik, kar je zelo koristno za razlikovanje:

Pravzaprav je to že bilo storjeno pri iskanju asimptotov.

- kritična točka.

Določimo znake:

poveča za in zmanjša za

V določenem trenutku funkcija doseže najmanj: .

Prav tako ni bilo razhajanj s Sklepom 2 in najverjetneje smo na pravi poti.

To pomeni, da je graf funkcije konkaven v celotni domeni definicije.

Odlično - in vam ni treba ničesar narisati.

Ni pregibnih točk.

Konkavnost je skladna s Sklepom št. 3, poleg tega pa kaže, da se v neskončnosti (tam in tam) nahaja graf funkcije višje njena poševna asimptota.

6) Nalogo vestno pripnite z dodatnimi točkami. Tu morate trdo delati, saj iz študije poznamo le dve točki.

In slika, ki so jo verjetno mnogi že davno predstavili:

Med dokončanjem naloge morate skrbno spremljati, da med fazami študije ni nasprotij, včasih pa so razmere nujne ali celo obupno slepe. Tukaj analitik "ne ustreza" - in to je to. V tem primeru priporočam zasilno metodo: najdemo čim več točk, ki pripadajo grafu (koliko potrpljenja je dovolj), in jih označimo na koordinatni ravnini. Grafična analiza najdenih vrednosti vam v večini primerov pove, kje je resnica in kje lažna. Poleg tega je graf mogoče vnaprej sestaviti z nekim programom, na primer v istem Excelu (za to so seveda potrebne spretnosti).

Primer 4

S pomočjo metod diferencialnega izračuna izračunajte funkcijo in sestavite njen graf.

To je primer rešitve, ki jo naredite sami. V njej je samonadzor okrepljen s pariteto funkcije - graf je simetričen glede na os, in če v vaši raziskavi nekaj nasprotuje temu dejstvu, poiščite napako.

Eno ali neparno funkcijo je mogoče raziskati samo pri in nato uporabiti simetrijo grafa. Ta rešitev je sicer optimalna, vendar je po mojem mnenju videti zelo nenavadno. Osebno upoštevam celotno številčno os, vendar še vedno najdem dodatne točke le na desni:

Primer 5

Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite njen graf.

Odločba: hudo hitela:

1) Funkcija je definirana in neprekinjena v celotni številski vrstici:.

To pomeni, da je ta funkcija neparna, njen graf pa je glede porekla simetričen.

Funkcija je očitno neperiodična.

2) Asimptote, vedenje funkcije v neskončnosti.

Ker je funkcija neprekinjena, ni navpičnih asimptotov

Za funkcijo, ki vsebuje eksponent, običajno ločeno študija "plus" in "minus neskončnosti", vendar nam življenje olajša simetrija grafa - bodisi je levo in desno asimptota, ali je ni. Zato je mogoče obe neskončni meji formalizirati pod enim vnosom. Pri reševanju uporabljamo lopitalovo pravilo:

Ravna črta (os) je vodoravna asimptota grafa pri.

Opazite, kako sem se spretno izognil celotnemu algoritmu za iskanje poševne asimptote: meja je povsem zakonita in razjasni vedenje funkcije v neskončnosti, vodoravni asimptot pa je bil najden "kot da bi bil hkrati".

Iz kontinuitete in obstoja vodoravne asimptote izhaja, da funkcija omejen od zgoraj in omejena od spodaj.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osi, intervali stalnosti.

Tukaj tudi skrajšamo rešitev:
Graf gre skozi izvor.

Drugih presečišč s koordinatnimi osi ni. Poleg tega so intervali stalnosti znaka očitni, os pa je mogoče izpustiti:, kar pomeni, da je znak funkcije odvisen samo od "x":
, če ;
, če .

4) Povečanje, zmanjšanje, ekstrem funkcije.


- kritične točke.

Točke so simetrične približno nič, kot bi morale biti.

Določimo znake izpeljanke:


Funkcija se v intervalih veča in v intervalih zmanjšuje

V določenem trenutku funkcija doseže svoj maksimum: .

Zaradi nepremičnine (liha funkcija) je mogoče izpustiti najmanj:

Ker se funkcija zmanjšuje v intervalu, potem se očitno graf nahaja na "minus neskončnost" spodaj njena asimptota. V intervalu se funkcija tudi zmanjša, vendar tukaj velja ravno obratno - po prehodu skozi največjo točko se črta približa osi že od zgoraj.

Iz zgornjega izhaja tudi, da je graf funkcije izbočen pri "minus neskončnosti" in konkaven pri "plus neskončnosti".

Po tej točki raziskovanja je bil izrisan tudi razpon vrednosti funkcije:

Če imate kakršne koli točke nerazumevanja, vas še enkrat pozivam, da v zvezek narišete koordinatne osi in ponovno snovite v svinčniku v roki vsak zaključek naloge.

5) Konveksnost, konkavnost, premiki grafa.

- kritične točke.

Simetrija točk je ohranjena in najverjetneje se ne motimo.

Določimo znake:


Graf funkcije je izbočen in konkavno naprej .

Konveksnost / konkavnost v ekstremnih intervalih je bila potrjena.

Na vseh kritičnih točkah so v grafu pregibi. Poiščite ordinat prelomnih točk in hkrati ponovno zmanjšajte število izračunov s pomočjo neparnosti funkcije:

Naredite popolno raziskavo in narišite funkcijo

y (x) \u003d x2 + 81 - x.y (x) \u003d x2 + 81 - x.

1) Območje opredelitve funkcije. Ker je funkcija ulomek, morate poiskati ničle imenovalca.

1 - x \u003d 0, ⇒x \u003d 1,1 - x \u003d 0, ⇒x \u003d 1.

Iz domene funkcije izključimo edino točko x \u003d 1x \u003d 1 in dobimo:

D (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞) D (y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Raziščimo vedenje funkcije v bližini točke prekinitve. Poiščimo enostranske meje:

Ker so meje enake neskončnosti, je točka x \u003d 1x \u003d 1 diskontinuiteta druge vrste, je premica x \u003d 1x \u003d 1 navpična asimptota.

3) Določimo točke presečišča grafa funkcije z koordinatnimi osi.

Poiščite točke presečišča z ordinatno osjo OyOy, za katero enačimo x \u003d 0x \u003d 0:

Tako ima točka presečišča z osjo OyOy koordinate (0; 8) (0; 8).

Poiščimo točke presečišča z osjo abscise OxOx, za katere postavimo y \u003d 0y \u003d 0:

Enačba nima korenin, zato ni presečišča z osjo OxOx.

Upoštevajte, da je x2 + 8\u003e 0x2 + 8\u003e 0 za kateri koli xx. Zato je za x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) funkcija y\u003e 0y\u003e 0 (sprejme pozitivne vrednosti, graf je nad osjo absces), za x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija ni niti neparna, saj:

5) Preučimo funkcijo za periodičnost. Funkcija ni periodična, saj gre za delno racionalno funkcijo.

6) Preučimo funkcijo za ekstrem in monotonost. Če želite to narediti, najdemo prvo izpeljanko funkcije:

Izvedimo izvod prvega na nič in poiščimo stacionarne točke (pri katerih je y ′ \u003d 0y ′ \u003d 0):

Dobili smo tri kritične točke: x \u003d −2, x \u003d 1, x \u003d 4x \u003d −2, x \u003d 1, x \u003d 4. Celotno domeno funkcije razdelimo v intervale z danimi točkami in v vsakem intervalu določimo znake izpeljanke:

Za x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) izpeljan y ′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈ (−2; 1), (1; 4) x∈ (−2; 1), (1; 4) izpeljanko y\u003e 0y\u003e 0, se funkcija na teh intervalih poveča.

V tem primeru je x \u003d −2x \u003d −2 lokalna najmanjša točka (funkcija se zmanjša in nato poveča), x \u003d 4x \u003d 4 je lokalna največja točka (funkcija se poveča in nato zmanjša).

Poiščimo vrednosti funkcije na teh točkah:

Tako je najmanjša točka (−2; 4) (- 2; 4), največja točka (4; −8) (4; −8).

7) Preučimo funkcijo nagibanja in izbočenosti. Poiščimo drugo izpeljanko funkcije:

Enačimo drugo izpeljanko z ničlo:

Nastala enačba nima korenin, zato ni pregibnih točk. Še več, kadar je x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) y ′ ′\u003e 0y ″\u003e 0, torej je funkcija konkavna, kadar je x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) y ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Raziščimo obnašanje funkcije v neskončnosti, torej na.

Ker so meje neskončne, vodoravnih asimptotov ni.

Poskusimo določiti poševne asimptote oblike y \u003d kx + z \u003d kx + b. Izračunamo vrednosti k, bk, b po dobro znanih formulah:

Dobili smo, da ima funkcija eno poševno asimptoto y \u003d −x - 1y \u003d −x - 1.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrednost funkcije na nekaterih drugih točkah, da natančneje sestavimo graf.

y (–5) \u003d 5,5; y (2) \u003d - 12; y (7) \u003d - 9,5.y (−5) \u003d 5,5; y (2) \u003d - 12; y (7) \u003d - 9,5.

10) Na podlagi pridobljenih podatkov bomo gradili graf in ga dopolnili z asimptotami x \u003d 1x \u003d 1 (modra), y \u003d −x - 1y \u003d −x - 1 (zelena) in označili značilne točke (vijolično presečišče z osi ordinate, oranžni ekstrem, črne dodatne točke) :

4. naloga: Geometrijski, ekonomski problemi (nimam pojma, kateri so, tukaj je približen izbor problemov z rešitvijo in formulami)

Primer 3.23. a

Odločba. x in y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Ker je x \u003d a / 4 edina kritična točka, preverimo, ali se znak izpeljanke spremeni pri prehodu skozi to točko. Za xa / 4 S "\u003e 0 in za x\u003e a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primer 3.24.

Odločba.
R \u003d 2, H \u003d 16/4 \u003d 4.

Primer 3.22.Poiščite ekstrem funkcije f (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Odločba.Ker je f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), potem so kritične točke funkcije x 1 \u003d 2 in x 2 \u003d 3. Extrema je lahko le na teh točkah. kot pri prehodu skozi točko x 1 \u003d 2 izpeljanka spremeni svoj znak plus v minus, potem ima funkcija na tem mestu največ. Ko prehod skozi točko x 2 \u003d 3, derivat spremeni svoj znak minus v plus, zato ima v točki x 2 \u003d 3 funkcija najmanj. Izračun vrednosti funkcije v točkah
x 1 \u003d 2 in x 2 \u003d 3, najdemo skrajnost funkcije: največ f (2) \u003d 14 in minimalno f (3) \u003d 13.

Primer 3.23.Potrebno je zgraditi pravokotno območje v bližini kamnite stene, tako da je na treh straneh ograjeno z žično mrežo, na četrti strani pa ob steni. Za to obstaja a tekočih metrov mreže. V kakšnem razmerju bo imelo spletno mesto največje območje?

Odločba.Strani mesta označujemo s x in y... Površina mesta je S \u003d xy. Naj bo y je dolžina strani, ki meji na steno. Potem je treba pod pogojem izpolniti enakost 2x + y \u003d a. Zato je y \u003d a - 2x in S \u003d x (a - 2x), kjer
0 ≤ x ≤ a / 2 (dolžina in širina mesta ne moreta biti negativna). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 za x \u003d a / 4, od kod
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Ker je x \u003d a / 4 edina kritična točka, preverimo, ali se znak izpeljanke spremeni pri prehodu skozi to točko. Za xa / 4 S "\u003e 0 in za x\u003e a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primer 3.24.Potrebna je izdelava zaprtega valjastega rezervoarja s prostornino V \u003d 16p ≈ 50 m 3. Kakšne so dimenzije rezervoarja (polmer R in višina H), da se za izdelavo porabi najmanj materiala?

Odločba.Skupna površina valja je S \u003d 2pR (R + H). Poznamo prostornino valja V \u003d pR 2 H Þ H \u003d V / pR 2 \u003d 16p / pR 2 \u003d 16 / R 2. Zato je S (R) \u003d 2p (R2 + 16 / R). Poiščite izpeljanko te funkcije:
S "(R) \u003d 2p (2R-16 / R 2) \u003d 4p (R-8 / R 2). S" (R) \u003d 0, ko je R 3 \u003d 8, torej
R \u003d 2, H \u003d 16/4 \u003d 4.

Podobne informacije.

Za popolno preučevanje funkcije in risanje njenega grafa je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:

1) poiščite domeno funkcije;

2) poiščite točke prekinitve funkcije in navpične asimptote (če obstajajo);

3) raziskati obnašanje funkcije v neskončnosti, poiskati vodoravne in poševne asimptote;

4) raziskati funkcijo za enakomernost (nenavadno) in periodičnost (za trigonometrične funkcije);

5) poiščite skrajnost in intervale monotonosti funkcije;

6) določiti intervale izbočenosti in pregibne točke;

7) poiščite točke presečišča s koordinatnimi osi, če je mogoče, in nekaj dodatnih točk, ki izpopolnijo graf.

Študija funkcije se izvaja sočasno z izdelavo njenega grafa.

Primer 9 Raziščite funkcijo in narišite graf.

1. Obseg opredelitve:;

2. Funkcija se prekine na točkah
,
;

Preučimo funkcijo za prisotnost navpičnih asimptotov.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Preučimo funkcijo glede prisotnosti poševnih in vodoravnih asimptotov.

Naravnost
─ poševna asimptota, če
,
.

,
.

Naravnost
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je tudi zato, ker
... Parnost funkcije kaže simetrijo grafa okoli ordinatne osi.

5. Poiščite intervale monotonosti in ekstremnosti funkcije.

Poiščimo kritične točke, tj. točke, na katerih je izpeljan 0 ali ne obstaja:
;
... Imamo tri točke
;

... Te točke razdelijo celotno veljavno os v štiri prostore. Določimo znake na vsakega od njih.

V intervalih (-∞; -1) in (-1; 0) se funkcija poveča, v intervalih (0; 1) in (1; + ∞) ─ se zmanjša. Pri prečkanju točke
znak derivata spremeni iz plus v minus, zato ima na tej točki funkcijo največ
.

6. Poiščite intervale konveksnosti, pregibne točke.

Poiščimo točke je 0 ali ne obstaja.

nima veljavnih korenin.
,
,

Točke
in
realno os razdelite na tri intervale. Določimo znak v vsakem intervalu.

Tako je krivulja v intervalih
in
izbočen navzdol, na intervalu (-1; 1) izbočen navzgor; ni pregibnih točk, saj je funkcija v točkah
in
nedoločen.

7. Poiščite točke presečišča z osmi.

Z osjo
graf funkcije seka v točki (0; -1) in z osjo
graf se ne prekriva, ker števec te funkcije nima pravih korenin.

Graf dane funkcije je prikazan na sliki 1.

Slika 1 ─ graf funkcije

Uporaba koncepta izpeljanke v ekonomiji. Elastičnost funkcije

Koncept elastičnosti funkcije se pogosto uporablja za proučevanje ekonomskih procesov in reševanje drugih uporabnih problemov.

Opredelitev. Elastičnost funkcije
se imenuje meja razmerja relativnega prirasta funkcije do relativnega prirasta spremenljivke ob
,. (Vii)

Elastičnost funkcije kaže približno, koliko se bo funkcija spremenila
pri spreminjanju neodvisne spremenljivke za 1%.

Elastičnost funkcije se uporablja pri analizi povpraševanja in porabe. Če elastičnost povpraševanja (v absolutni vrednosti)
, se povpraševanje šteje za elastično, če
─ nevtralno, če
─ neelastičen glede na ceno (ali dohodek).

Primer 10 Izračunamo elastičnost funkcije
in najti vrednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rešitev: v skladu s formulo (VII) elastičnost funkcije:

Pustimo torej x \u003d 3
To pomeni, da če se neodvisna spremenljivka poveča za 1%, potem se odvisna spremenljivka poveča za 1,42%.

Primer 11 Naj povpraševanje deluje glede cene ima obliko
kje ─ stalen koeficient. Poiščite vrednost indeksa elastičnosti funkcije povpraševanja po ceni x \u003d 3 den. enot

Rešitev: izračunajte elastičnost funkcije povpraševanja po formuli (VII)

Ob predpostavki
denarne enote, dobimo
... To pomeni, da po ceni
denarne enote 1-odstotno zvišanje cen bo povzročilo 6-odstotno zmanjšanje povpraševanja, tj. povpraševanje je elastično.