Kako faktorizirati kvadratni trinom: formula. Kvadratni trinom. Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Razširitev polinomov za pridobitev produkta se lahko včasih zdi zmedeno. Vendar to ni tako težko, če razumete postopek korak za korakom. Članek podrobno opisuje, kako faktorizirati kvadratni trinom.

Mnogi ljudje ne razumejo, kako faktorizirati kvadratni trinom in zakaj se to naredi. Sprva se morda zdi, da je to nesmiselna vaja. Toda v matematiki se nič ne naredi zastonj. Transformacija je potrebna za poenostavitev izraza in enostavnost izračuna.

Polinom oblike – ax²+bx+c, imenujemo kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativen ali pozitiven. V praksi se ta izraz imenuje kvadratna enačba. Zato včasih rečejo drugače: kako razgraditi kvadratna enačba.

zanimivo! Polinom imenujemo kvadrat zaradi njegove največje stopnje, kvadrata. In trinom - zaradi 3 komponent.

Nekatere druge vrste polinomov:

• linearni binom (6x+8);
• kubični kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Najprej je izraz enak nič, nato pa morate najti vrednosti korenin x1 in x2. Morda ni korenin, lahko sta ena ali dve korenini. Prisotnost korenin je določena z diskriminanto. Njegovo formulo morate znati na pamet: D=b²-4ac.

Če je rezultat D negativen, ni korenin. Če je pozitiven, obstajata dva korena. Če je rezultat nič, je koren ena. S formulo se izračunajo tudi korenine.

Če je pri izračunu diskriminante rezultat enak nič, lahko uporabite katero koli od formul. V praksi se formula preprosto skrajša: -b / 2a.

Formule za različne pomene diskriminanti se razlikujejo.

Če je D pozitiven:

Če je D nič:

Spletni kalkulatorji

Na internetu obstaja spletni kalkulator. Uporablja se lahko za izvajanje faktorizacije. Nekateri viri ponujajo možnost ogleda rešitve korak za korakom. Takšne storitve pomagajo bolje razumeti temo, vendar jo morate poskusiti dobro razumeti.

Uporaben videoposnetek: faktoriziranje kvadratnega trinoma

Primeri

Vabimo vas k ogledu preprosti primeri, kako faktorizirati kvadratno enačbo.

Primer 1

To jasno kaže, da je rezultat dva xa, ker je D pozitiven. Nadomestiti jih je treba v formulo. Če se korenine izkažejo za negativne, se znak v formuli spremeni v nasprotno.

Poznamo formulo za faktoriziranje kvadratnega trinoma: a(x-x1)(x-x2). Vrednosti postavimo v oklepaje: (x+3)(x+2/3). Pred izrazom v potenci ni števila. To pomeni, da je tam eden, gre dol.

Primer 2

Ta primer jasno prikazuje, kako rešiti enačbo z enim korenom.

Dobljeno vrednost nadomestimo:

Primer 3

Podano: 5x²+3x+7

Najprej izračunajmo diskriminanco, kot v prejšnjih primerih.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanta je negativna, kar pomeni, da ni korenin.

Po prejemu rezultata odprite oklepaje in preverite rezultat. Prikazati bi se moral izvirni trinom.

Alternativna rešitev

Nekateri ljudje se nikoli niso mogli spoprijateljiti z diskriminatorjem. Obstaja še en način za faktorizacijo kvadratnega trinoma. Za udobje je metoda prikazana s primerom.

Podano: x²+3x-10

Vemo, da bi morali dobiti 2 oklepaja: (_)(_). Ko je izraz videti takole: x²+bx+c, na začetku vsakega oklepaja postavimo x: (x_)(x_). Preostali dve števili sta zmnožek, ki daje "c", tj. v tem primeru -10. Edini način, da ugotovite, katere številke so to, je izbira. Zamenjane številke morajo ustrezati preostalemu izrazu.

Če na primer pomnožimo naslednja števila, dobimo -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. št.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. št.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. št.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Ustreza.

To pomeni, da transformacija izraza x2+3x-10 izgleda takole: (x-2)(x+5).

Pomembno! Pazite, da znakov ne zamenjate.

Razširitev kompleksnega trinoma

Če je "a" večji od ena, se začnejo težave. A vse ni tako težko, kot se zdi.

Če želite faktorizirati, morate najprej videti, ali je mogoče kaj faktorizirati.

Na primer, glede na izraz: 3x²+9x-30. Tukaj je številka 3 izvzeta iz oklepaja:

3(x²+3x-10). Rezultat je že znani trinom. Odgovor je videti takole: 3(x-2)(x+5)

Kako razstaviti, če je člen v kvadratu negativen? IN v tem primeruŠtevilo -1 je vzeto iz oklepaja. Na primer: -x²-10x-8. Izraz bo potem videti takole:

Shema se malo razlikuje od prejšnje. Obstaja le nekaj novih stvari. Recimo, da je podan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je zapisan tudi v 2 oklepajih, ki ju je potrebno izpolniti (_)(_). V 2. oklepaju je zapisan x, v 1. pa kar ostane. Videti je takole: (2x_)(x_). V nasprotnem primeru se ponovi prejšnja shema.

Število 3 je podano s števili:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Enačbe rešujemo tako, da te številke zamenjamo. Zadnja možnost je primerna. To pomeni, da transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda takole: (2x+1)(x+3).

Drugi primeri

Izraza ni vedno mogoče pretvoriti. Pri drugi metodi reševanje enačbe ni potrebno. Toda možnost preoblikovanja izrazov v produkt se preverja le prek diskriminatorja.

Vredno je vaditi reševanje kvadratnih enačb, tako da pri uporabi formul ni težav.

Uporaben video: faktoriziranje trinoma

Zaključek

Uporabljate ga lahko na kakršen koli način. Vendar je bolje vaditi oboje, dokler ne postane samodejno. Prav tako je potrebno naučiti se dobro reševati kvadratne enačbe in faktorizirati polinome za tiste, ki nameravajo svoje življenje povezati z matematiko. Vse naslednje matematične teme temeljijo na tem.

Vrsta lekcije: pouk utrjevanja in sistematiziranja znanja.

Vrsta lekcije: Preverjanje, vrednotenje in popravljanje znanja in načinov delovanja.

Cilji:

• Izobraževalni:

– razvijati pri učencih sposobnost faktoriziranja kvadratnega trinoma;
– utrjevanje znanja v procesu reševanja različnih nalog na določeno temo;
– oblikovanje matematičnega mišljenja;
– povečati zanimanje za snov v procesu ponavljanja obravnavane snovi.

Izobraževalni:

– spodbujanje organiziranosti in koncentracije;
– negovanje pozitivnega odnosa do učenja;
- negovanje radovednosti.

Izobraževalni:

– razvijati sposobnost samokontrole;
– razvijati sposobnost racionalnega načrtovanja dela;
– razvoj samostojnosti in pozornosti.

Oprema: didaktično gradivo za ustno delo, samostojno delo, testne naloge za preverjanje znanja, kartice z domačimi nalogami, učbenik o algebri Yu.N. Makaryčeva.

Učni načrt.

Koraki lekcije	Čas, min	Tehnike in metode
I. Stopnja obnavljanja znanja. Motivacija za učni problem	2	Učiteljev pogovor
II. Glavna vsebina lekcije. Oblikovanje in utrjevanje razumevanja učencev formule za faktorizacijo kvadratnega trinoma.	10	Učiteljeva razlaga. Hevristični pogovor
III. Oblikovanje spretnosti in spretnosti. Utrjevanje naučene snovi	25	Reševanje problema. Odgovori na študentska vprašanja
IV. Preverjanje usvajanja znanja. Odsev	5	Sporočilo učitelja. Študentsko sporočilo
V. Domača naloga	3	Naloga na kartah

Med poukom

I. Stopnja obnavljanja znanja. Motivacija vzgojnega problema.

Organiziranje časa.

Danes bomo v lekciji posplošili in sistematizirali znanje na temo: "Faktorizacija kvadratnega trinoma." Med izvajanjem različnih vaj si morate sami zapomniti točke, na katere morate biti še posebej pozorni pri reševanju enačb in praktičnih problemov. To je zelo pomembno pri pripravi na izpit.
Zapišite temo lekcije: »Faktoriranje kvadratnega trinoma. Reševanje primerov.«

II. Glavna vsebina lekcije. Oblikovanje in utrjevanje razumevanja učencev formule za faktorizacijo kvadratnega trinoma.

Ustno delo.

– Če želite uspešno faktorizirati kvadratni trinom, si morate zapomniti formulo za iskanje diskriminanta in formulo za iskanje korenov kvadratne enačbe, formulo za faktoriziranje kvadratnega trinoma in ju uporabiti v praksi.

1. Poglejte kartice »Nadaljuj ali razširi izjavo«.

2. Poglej tablo.

1. Kateri od predlaganih polinomov ni kvadraten?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Podajte definicijo kvadratnega trinoma. Določite koren kvadratnega trinoma.

2. Katera formula ni formula za izračun korenov kvadratne enačbe?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Poiščite koeficiente a, b, c kvadratnega trinoma – 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Katera od formul je formula za izračun korenin kvadratne enačbe

x 2 +px+q= 0 po Vietovem izreku?

1) x 1 + x 2 = p,
x 1 · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p,
x 1 · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p,
x 1 · x 2 = – q.

5. Razširi kvadratni trinom X 2 – 11x + 18 za množitelje.

Odgovor: ( X – 2)(X – 9)

6. Razširi kvadratni trinom pri 2 – 9y + 20 za množitelje

Odgovor: ( X – 4)(X – 5)

III. Oblikovanje spretnosti in spretnosti. Utrjevanje preučenega gradiva.

1. Faktoriziraj kvadratni trinom:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
ob 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Pri zmanjševanju ulomkov nam pomaga faktoring.

3. Brez uporabe korenske formule poiščite korenine kvadratnega trinoma:
A) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Sestavite kvadratni trinom, katerega korenine so števila:
A) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Samostojno delo.

Nalogo reši samostojno z možnostmi in nato preveri. Prvi dve nalogi zahtevata odgovor "Da" ali "Ne". Vpoklican je po en učenec iz vsake možnosti (delajo na zavihkih table). Po končanem samostojnem delu na tabli se izvede skupno preverjanje rešitve. Učenci ocenijo svoje delo.

1. možnost:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Število 2 je koren enačbe x 2 + 3x – 10 = 0.

3. Faktoriziraj kvadratni trinom 6 x 2 – 5x + 1;

2. možnost:

1. D>0. Enačba ima 2 korena.

2. Število 3 je koren kvadratne enačbe x 2 – x – 12 = 0.

3. Faktoriziraj kvadratni trinom 2 X 2 – 5x + 3

IV. Preverjanje usvajanja znanja. Odsev.

– Lekcija je pokazala, da poznate osnovno teoretično snov te teme. Povzeli smo znanje

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Kvadratni trinom sekira 2 +bx+c lahko faktoriziramo na linearne faktorje z uporabo formule:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Kje x 1, x 2- korenine kvadratne enačbe ax 2 +bx+c=0.

Razčlenimo kvadratni trinom na linearne faktorje:

Primer 1). 2x 2 -7x-15.

rešitev. 2x 2 -7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. To je splošni primer za popolno kvadratno enačbo. Iskanje diskriminante D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 pravi korenini.

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Predstavili smo ta trinom 2x 2 -7x-15 2x+3 in x-5.

odgovor: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

Primer 2). 3x 2 +2x-8.

rešitev. Poiščimo korenine kvadratne enačbe:

a=3; b=2;c=-8. To je poseben primer za popolno kvadratno enačbo s sodim drugim koeficientom ( b=2). Iskanje diskriminante D 1.

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Predstavili smo trinom 3x 2 +2x-8 kot produkt binomov x+2 in 3x-4.

odgovor: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

Primer 3). 5x 2 -3x-2.

rešitev. Poiščimo korenine kvadratne enačbe:

a=5; b=-3; c=-2. To je poseben primer za popolno kvadratno enačbo z naslednjim pogojem: a+b+c=0(5-3-2=0). V takih primerih prvi koren je vedno enako ena, in drugi koren enak količniku prostega člena, deljenega s prvim koeficientom:

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Predstavili smo trinom 5x 2 -3x-2 kot produkt binomov x-1 in 5x+2.

odgovor: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

Primer 4). 6x 2 +x-5.

rešitev. Poiščimo korenine kvadratne enačbe:

a=6; b=1; c=-5. To je poseben primer za popolno kvadratno enačbo z naslednjim pogojem: a-b+c=0(6-1-5=0). V takih primerih prvi koren je vedno enako minus ena in drugi koren je enak minus količniku deljenja prostega člena s prvim koeficientom:

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Predstavili smo trinom 6x 2 +x-5 kot produkt binomov x+1 in 6x-5.

odgovor: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Primer 5). x 2 -13x+12.

rešitev. Poiščimo korenine dane kvadratne enačbe:

x 2 -13x+12=0. Preverimo, ali ga je mogoče uporabiti. Da bi to naredili, poiščimo diskriminanco in se prepričajmo, da je popoln kvadrat celega števila.

a=1; b=-13; c=12. Iskanje diskriminante D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Uporabimo Vietin izrek: vsota korenin mora biti enaka drugemu koeficientu, vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa mora biti enak prostemu členu:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Očitno je, da je x 1 =1; x 2 =12.

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

odgovor: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Primer 6). x 2 -4x-6.

rešitev. Poiščimo korenine dane kvadratne enačbe:

a=1; b=-4; c=-6. Drugi koeficient je sodo število. Poiščite diskriminanco D1.

Diskriminanta ni popolni kvadrat celega števila, zato nam Vietov izrek ne bo pomagal, korene pa bomo našli po formulah za sodi drugi koeficient:

Uporabimo formulo: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) in zapišite odgovor.

Poiščimo vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe. Z uporabo formul (59.8) za korenine zgornje enačbe dobimo

(prva enakost je očitna, drugo dobimo po preprostem izračunu, ki ga bo bralec izvedel samostojno; priročno je uporabiti formulo za množenje vsote dveh števil z njuno razliko).

Dokazano je naslednje

Vietov izrek. Vsota korenov zgornje kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, njihov produkt pa je enak prostemu členu.

V primeru nereducirane kvadratne enačbe je treba izraze formule (60.1) nadomestiti s formulami (60.1) in prevzeti obliko

Primer 1. Sestavite kvadratno enačbo z njenimi koreninami:

Rešitev, a) Ugotovimo, da ima enačba obliko

Primer 2. Poiščite vsoto kvadratov korenin enačbe, ne da bi rešili samo enačbo.

rešitev. Vsota in produkt korenov sta znana. Predstavimo vsoto kvadratnih korenov v obliki

in dobimo

Iz Vietinih formul je enostavno dobiti formulo

izražanje pravila za faktorizacijo kvadratnega trinoma.

Res, zapišimo formule (60.2) v obliki

Zdaj imamo

kar smo morali dobiti.

Zgornjo izpeljavo Vietovih formul bralec pozna iz srednješolskega tečaja algebre. Drug zaključek je mogoče podati z uporabo Bezoutovega izreka in faktorizacije polinoma (odstavka 51, 52).

Naj bodo torej koreni enačbe splošno pravilo(52.2) je trinom na levi strani enačbe faktoriziran:

Če odpremo oklepaje na desni strani te enake enakosti, dobimo

in primerjava koeficientov pri istih potencah nam bo dala formulo Vieta (60.1).

Prednost te izpeljave je, da jo je mogoče uporabiti tudi za enačbe višje stopnje da bi dobili izraze za koeficiente enačbe skozi njene korene (brez iskanja samih korenov!). Na primer, če so korenine dane kubične enačbe

bistvo je, da glede na enakost (52.2) najdemo

(v našem primeru odpiranje oklepajev na desni strani enakosti in zbiranje koeficientov za različne stopnje dobimo